HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  lnopconi Unicode version

Theorem lnopconi 23498
Description: A condition equivalent to " T is continuous" when  T is linear. Theorem 3.5(iii) of [Beran] p. 99. (Contributed by NM, 7-Feb-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 17-Nov-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
lnopcon.1  |-  T  e. 
LinOp
Assertion
Ref Expression
lnopconi  |-  ( T  e.  ConOp 
<->  E. x  e.  RR  A. y  e.  ~H  ( normh `  ( T `  y ) )  <_ 
( x  x.  ( normh `  y ) ) )
Distinct variable group:    x, y, T

Proof of Theorem lnopconi
Dummy variables  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lnopcon.1 . . 3  |-  T  e. 
LinOp
2 nmcopex 23493 . . 3  |-  ( ( T  e.  LinOp  /\  T  e.  ConOp )  ->  ( normop `  T )  e.  RR )
31, 2mpan 652 . 2  |-  ( T  e.  ConOp  ->  ( normop `  T
)  e.  RR )
4 nmcoplb 23494 . . 3  |-  ( ( T  e.  LinOp  /\  T  e.  ConOp  /\  y  e.  ~H )  ->  ( normh `  ( T `  y
) )  <_  (
( normop `  T )  x.  ( normh `  y )
) )
51, 4mp3an1 1266 . 2  |-  ( ( T  e.  ConOp  /\  y  e.  ~H )  ->  ( normh `  ( T `  y ) )  <_ 
( ( normop `  T
)  x.  ( normh `  y ) ) )
61lnopfi 23433 . . 3  |-  T : ~H
--> ~H
7 elcnop 23321 . . 3  |-  ( T  e.  ConOp 
<->  ( T : ~H --> ~H  /\  A. x  e. 
~H  A. z  e.  RR+  E. y  e.  RR+  A. w  e.  ~H  ( ( normh `  ( w  -h  x
) )  <  y  ->  ( normh `  ( ( T `  w )  -h  ( T `  x
) ) )  < 
z ) ) )
86, 7mpbiran 885 . 2  |-  ( T  e.  ConOp 
<-> 
A. x  e.  ~H  A. z  e.  RR+  E. y  e.  RR+  A. w  e. 
~H  ( ( normh `  ( w  -h  x
) )  <  y  ->  ( normh `  ( ( T `  w )  -h  ( T `  x
) ) )  < 
z ) )
96ffvelrni 5836 . . 3  |-  ( y  e.  ~H  ->  ( T `  y )  e.  ~H )
10 normcl 22588 . . 3  |-  ( ( T `  y )  e.  ~H  ->  ( normh `  ( T `  y ) )  e.  RR )
119, 10syl 16 . 2  |-  ( y  e.  ~H  ->  ( normh `  ( T `  y ) )  e.  RR )
121lnopsubi 23438 . 2  |-  ( ( w  e.  ~H  /\  x  e.  ~H )  ->  ( T `  (
w  -h  x ) )  =  ( ( T `  w )  -h  ( T `  x ) ) )
133, 5, 8, 11, 12lnconi 23497 1  |-  ( T  e.  ConOp 
<->  E. x  e.  RR  A. y  e.  ~H  ( normh `  ( T `  y ) )  <_ 
( x  x.  ( normh `  y ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    e. wcel 1721   A.wral 2674   E.wrex 2675   class class class wbr 4180   -->wf 5417   ` cfv 5421  (class class class)co 6048   RRcr 8953    x. cmul 8959    < clt 9084    <_ cle 9085   RR+crp 10576   ~Hchil 22383   normhcno 22387    -h cmv 22389   normopcnop 22409   ConOpccop 22410   LinOpclo 22411
This theorem is referenced by:  lnopcon  23499  cnlnadjlem8  23538
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-rep 4288  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668  ax-cnex 9010  ax-resscn 9011  ax-1cn 9012  ax-icn 9013  ax-addcl 9014  ax-addrcl 9015  ax-mulcl 9016  ax-mulrcl 9017  ax-mulcom 9018  ax-addass 9019  ax-mulass 9020  ax-distr 9021  ax-i2m1 9022  ax-1ne0 9023  ax-1rid 9024  ax-rnegex 9025  ax-rrecex 9026  ax-cnre 9027  ax-pre-lttri 9028  ax-pre-lttrn 9029  ax-pre-ltadd 9030  ax-pre-mulgt0 9031  ax-pre-sup 9032  ax-hilex 22463  ax-hfvadd 22464  ax-hvcom 22465  ax-hvass 22466  ax-hv0cl 22467  ax-hvaddid 22468  ax-hfvmul 22469  ax-hvmulid 22470  ax-hvmulass 22471  ax-hvdistr1 22472  ax-hvdistr2 22473  ax-hvmul0 22474  ax-hfi 22542  ax-his1 22545  ax-his2 22546  ax-his3 22547  ax-his4 22548
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-nel 2578  df-ral 2679  df-rex 2680  df-reu 2681  df-rmo 2682  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-pss 3304  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-tp 3790  df-op 3791  df-uni 3984  df-iun 4063  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-tr 4271  df-eprel 4462  df-id 4466  df-po 4471  df-so 4472  df-fr 4509  df-we 4511  df-ord 4552  df-on 4553  df-lim 4554  df-suc 4555  df-om 4813  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-ov 6051  df-oprab 6052  df-mpt2 6053  df-1st 6316  df-2nd 6317  df-riota 6516  df-recs 6600  df-rdg 6635  df-er 6872  df-map 6987  df-en 7077  df-dom 7078  df-sdom 7079  df-sup 7412  df-pnf 9086  df-mnf 9087  df-xr 9088  df-ltxr 9089  df-le 9090  df-sub 9257  df-neg 9258  df-div 9642  df-nn 9965  df-2 10022  df-3 10023  df-4 10024  df-n0 10186  df-z 10247  df-uz 10453  df-rp 10577  df-seq 11287  df-exp 11346  df-cj 11867  df-re 11868  df-im 11869  df-sqr 12003  df-abs 12004  df-grpo 21740  df-gid 21741  df-ablo 21831  df-vc 21986  df-nv 22032  df-va 22035  df-ba 22036  df-sm 22037  df-0v 22038  df-nmcv 22040  df-hnorm 22432  df-hba 22433  df-hvsub 22435  df-nmop 23303  df-cnop 23304  df-lnop 23305  df-unop 23307
  Copyright terms: Public domain W3C validator