HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  lnopeq0lem2 Structured version   Unicode version

Theorem lnopeq0lem2 23501
Description: Lemma for lnopeq0i 23502. (Contributed by NM, 26-Jul-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
lnopeq0.1  |-  T  e. 
LinOp
Assertion
Ref Expression
lnopeq0lem2  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  B  e.  ~H )  ->  ( ( T `  A )  .ih  B
)  =  ( ( ( ( ( T `
 ( A  +h  B ) )  .ih  ( A  +h  B
) )  -  (
( T `  ( A  -h  B ) ) 
.ih  ( A  -h  B ) ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( T `
 ( A  +h  ( _i  .h  B
) ) )  .ih  ( A  +h  (
_i  .h  B )
) )  -  (
( T `  ( A  -h  ( _i  .h  B ) ) ) 
.ih  ( A  -h  ( _i  .h  B
) ) ) ) ) )  /  4
) )

Proof of Theorem lnopeq0lem2
StepHypRef Expression
1 fveq2 5720 . . . 4  |-  ( A  =  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  ->  ( T `  A )  =  ( T `  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )
) )
21oveq1d 6088 . . 3  |-  ( A  =  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  ->  (
( T `  A
)  .ih  B )  =  ( ( T `
 if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h ) )  .ih  B ) )
3 oveq1 6080 . . . . . . . 8  |-  ( A  =  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  ->  ( A  +h  B )  =  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  +h  B
) )
43fveq2d 5724 . . . . . . 7  |-  ( A  =  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  ->  ( T `  ( A  +h  B ) )  =  ( T `  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  +h  B ) ) )
54, 3oveq12d 6091 . . . . . 6  |-  ( A  =  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  ->  (
( T `  ( A  +h  B ) ) 
.ih  ( A  +h  B ) )  =  ( ( T `  ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  +h  B
) )  .ih  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  +h  B ) ) )
6 oveq1 6080 . . . . . . . 8  |-  ( A  =  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  ->  ( A  -h  B )  =  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  -h  B
) )
76fveq2d 5724 . . . . . . 7  |-  ( A  =  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  ->  ( T `  ( A  -h  B ) )  =  ( T `  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  -h  B ) ) )
87, 6oveq12d 6091 . . . . . 6  |-  ( A  =  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  ->  (
( T `  ( A  -h  B ) ) 
.ih  ( A  -h  B ) )  =  ( ( T `  ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  -h  B
) )  .ih  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  -h  B ) ) )
95, 8oveq12d 6091 . . . . 5  |-  ( A  =  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  ->  (
( ( T `  ( A  +h  B
) )  .ih  ( A  +h  B ) )  -  ( ( T `
 ( A  -h  B ) )  .ih  ( A  -h  B
) ) )  =  ( ( ( T `
 ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  +h  B ) )  .ih  ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  +h  B
) )  -  (
( T `  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  -h  B ) )  .ih  ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  -h  B
) ) ) )
10 oveq1 6080 . . . . . . . . 9  |-  ( A  =  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  ->  ( A  +h  ( _i  .h  B ) )  =  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  +h  (
_i  .h  B )
) )
1110fveq2d 5724 . . . . . . . 8  |-  ( A  =  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  ->  ( T `  ( A  +h  ( _i  .h  B
) ) )  =  ( T `  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  +h  ( _i  .h  B
) ) ) )
1211, 10oveq12d 6091 . . . . . . 7  |-  ( A  =  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  ->  (
( T `  ( A  +h  ( _i  .h  B ) ) ) 
.ih  ( A  +h  ( _i  .h  B
) ) )  =  ( ( T `  ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  +h  (
_i  .h  B )
) )  .ih  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  +h  ( _i  .h  B
) ) ) )
13 oveq1 6080 . . . . . . . . 9  |-  ( A  =  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  ->  ( A  -h  ( _i  .h  B ) )  =  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  -h  (
_i  .h  B )
) )
1413fveq2d 5724 . . . . . . . 8  |-  ( A  =  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  ->  ( T `  ( A  -h  ( _i  .h  B
) ) )  =  ( T `  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  -h  ( _i  .h  B
) ) ) )
1514, 13oveq12d 6091 . . . . . . 7  |-  ( A  =  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  ->  (
( T `  ( A  -h  ( _i  .h  B ) ) ) 
.ih  ( A  -h  ( _i  .h  B
) ) )  =  ( ( T `  ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  -h  (
_i  .h  B )
) )  .ih  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  -h  ( _i  .h  B
) ) ) )
1612, 15oveq12d 6091 . . . . . 6  |-  ( A  =  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  ->  (
( ( T `  ( A  +h  (
_i  .h  B )
) )  .ih  ( A  +h  ( _i  .h  B ) ) )  -  ( ( T `
 ( A  -h  ( _i  .h  B
) ) )  .ih  ( A  -h  (
_i  .h  B )
) ) )  =  ( ( ( T `
 ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  +h  ( _i  .h  B
) ) )  .ih  ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  +h  (
_i  .h  B )
) )  -  (
( T `  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  -h  ( _i  .h  B
) ) )  .ih  ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  -h  (
_i  .h  B )
) ) ) )
1716oveq2d 6089 . . . . 5  |-  ( A  =  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  ->  (
_i  x.  ( (
( T `  ( A  +h  ( _i  .h  B ) ) ) 
.ih  ( A  +h  ( _i  .h  B
) ) )  -  ( ( T `  ( A  -h  (
_i  .h  B )
) )  .ih  ( A  -h  ( _i  .h  B ) ) ) ) )  =  ( _i  x.  ( ( ( T `  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  +h  ( _i  .h  B
) ) )  .ih  ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  +h  (
_i  .h  B )
) )  -  (
( T `  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  -h  ( _i  .h  B
) ) )  .ih  ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  -h  (
_i  .h  B )
) ) ) ) )
189, 17oveq12d 6091 . . . 4  |-  ( A  =  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  ->  (
( ( ( T `
 ( A  +h  B ) )  .ih  ( A  +h  B
) )  -  (
( T `  ( A  -h  B ) ) 
.ih  ( A  -h  B ) ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( T `
 ( A  +h  ( _i  .h  B
) ) )  .ih  ( A  +h  (
_i  .h  B )
) )  -  (
( T `  ( A  -h  ( _i  .h  B ) ) ) 
.ih  ( A  -h  ( _i  .h  B
) ) ) ) ) )  =  ( ( ( ( T `
 ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  +h  B ) )  .ih  ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  +h  B
) )  -  (
( T `  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  -h  B ) )  .ih  ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  -h  B
) ) )  +  ( _i  x.  (
( ( T `  ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  +h  (
_i  .h  B )
) )  .ih  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  +h  ( _i  .h  B
) ) )  -  ( ( T `  ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  -h  (
_i  .h  B )
) )  .ih  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  -h  ( _i  .h  B
) ) ) ) ) ) )
1918oveq1d 6088 . . 3  |-  ( A  =  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  ->  (
( ( ( ( T `  ( A  +h  B ) ) 
.ih  ( A  +h  B ) )  -  ( ( T `  ( A  -h  B
) )  .ih  ( A  -h  B ) ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( T `  ( A  +h  ( _i  .h  B ) ) ) 
.ih  ( A  +h  ( _i  .h  B
) ) )  -  ( ( T `  ( A  -h  (
_i  .h  B )
) )  .ih  ( A  -h  ( _i  .h  B ) ) ) ) ) )  / 
4 )  =  ( ( ( ( ( T `  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  +h  B ) )  .ih  ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  +h  B
) )  -  (
( T `  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  -h  B ) )  .ih  ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  -h  B
) ) )  +  ( _i  x.  (
( ( T `  ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  +h  (
_i  .h  B )
) )  .ih  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  +h  ( _i  .h  B
) ) )  -  ( ( T `  ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  -h  (
_i  .h  B )
) )  .ih  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  -h  ( _i  .h  B
) ) ) ) ) )  /  4
) )
202, 19eqeq12d 2449 . 2  |-  ( A  =  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  ->  (
( ( T `  A )  .ih  B
)  =  ( ( ( ( ( T `
 ( A  +h  B ) )  .ih  ( A  +h  B
) )  -  (
( T `  ( A  -h  B ) ) 
.ih  ( A  -h  B ) ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( T `
 ( A  +h  ( _i  .h  B
) ) )  .ih  ( A  +h  (
_i  .h  B )
) )  -  (
( T `  ( A  -h  ( _i  .h  B ) ) ) 
.ih  ( A  -h  ( _i  .h  B
) ) ) ) ) )  /  4
)  <->  ( ( T `
 if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h ) )  .ih  B )  =  ( ( ( ( ( T `
 ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  +h  B ) )  .ih  ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  +h  B
) )  -  (
( T `  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  -h  B ) )  .ih  ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  -h  B
) ) )  +  ( _i  x.  (
( ( T `  ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  +h  (
_i  .h  B )
) )  .ih  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  +h  ( _i  .h  B
) ) )  -  ( ( T `  ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  -h  (
_i  .h  B )
) )  .ih  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  -h  ( _i  .h  B
) ) ) ) ) )  /  4
) ) )
21 oveq2 6081 . . 3  |-  ( B  =  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )  ->  (
( T `  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )
)  .ih  B )  =  ( ( T `
 if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h ) )  .ih  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )
) )
22 oveq2 6081 . . . . . . . 8  |-  ( B  =  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )  ->  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  +h  B )  =  ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  +h  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )
) )
2322fveq2d 5724 . . . . . . 7  |-  ( B  =  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )  ->  ( T `  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  +h  B ) )  =  ( T `  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  +h  if ( B  e. 
~H ,  B ,  0h ) ) ) )
2423, 22oveq12d 6091 . . . . . 6  |-  ( B  =  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )  ->  (
( T `  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  +h  B ) )  .ih  ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  +h  B
) )  =  ( ( T `  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  +h  if ( B  e. 
~H ,  B ,  0h ) ) )  .ih  ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  +h  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )
) ) )
25 oveq2 6081 . . . . . . . 8  |-  ( B  =  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )  ->  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  -h  B )  =  ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  -h  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )
) )
2625fveq2d 5724 . . . . . . 7  |-  ( B  =  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )  ->  ( T `  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  -h  B ) )  =  ( T `  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  -h  if ( B  e. 
~H ,  B ,  0h ) ) ) )
2726, 25oveq12d 6091 . . . . . 6  |-  ( B  =  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )  ->  (
( T `  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  -h  B ) )  .ih  ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  -h  B
) )  =  ( ( T `  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  -h  if ( B  e. 
~H ,  B ,  0h ) ) )  .ih  ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  -h  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )
) ) )
2824, 27oveq12d 6091 . . . . 5  |-  ( B  =  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )  ->  (
( ( T `  ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  +h  B
) )  .ih  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  +h  B ) )  -  ( ( T `  ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  -h  B
) )  .ih  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  -h  B ) ) )  =  ( ( ( T `  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  +h  if ( B  e. 
~H ,  B ,  0h ) ) )  .ih  ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  +h  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )
) )  -  (
( T `  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  -h  if ( B  e. 
~H ,  B ,  0h ) ) )  .ih  ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  -h  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )
) ) ) )
29 oveq2 6081 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  =  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )  ->  (
_i  .h  B )  =  ( _i  .h  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )
) )
3029oveq2d 6089 . . . . . . . . 9  |-  ( B  =  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )  ->  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  +h  ( _i  .h  B
) )  =  ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  +h  (
_i  .h  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h ) ) ) )
3130fveq2d 5724 . . . . . . . 8  |-  ( B  =  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )  ->  ( T `  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  +h  ( _i  .h  B
) ) )  =  ( T `  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  +h  ( _i  .h  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )
) ) ) )
3231, 30oveq12d 6091 . . . . . . 7  |-  ( B  =  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )  ->  (
( T `  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  +h  ( _i  .h  B
) ) )  .ih  ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  +h  (
_i  .h  B )
) )  =  ( ( T `  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  +h  ( _i  .h  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )
) ) )  .ih  ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  +h  (
_i  .h  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h ) ) ) ) )
3329oveq2d 6089 . . . . . . . . 9  |-  ( B  =  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )  ->  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  -h  ( _i  .h  B
) )  =  ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  -h  (
_i  .h  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h ) ) ) )
3433fveq2d 5724 . . . . . . . 8  |-  ( B  =  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )  ->  ( T `  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  -h  ( _i  .h  B
) ) )  =  ( T `  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  -h  ( _i  .h  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )
) ) ) )
3534, 33oveq12d 6091 . . . . . . 7  |-  ( B  =  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )  ->  (
( T `  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  -h  ( _i  .h  B
) ) )  .ih  ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  -h  (
_i  .h  B )
) )  =  ( ( T `  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  -h  ( _i  .h  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )
) ) )  .ih  ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  -h  (
_i  .h  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h ) ) ) ) )
3632, 35oveq12d 6091 . . . . . 6  |-  ( B  =  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )  ->  (
( ( T `  ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  +h  (
_i  .h  B )
) )  .ih  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  +h  ( _i  .h  B
) ) )  -  ( ( T `  ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  -h  (
_i  .h  B )
) )  .ih  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  -h  ( _i  .h  B
) ) ) )  =  ( ( ( T `  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  +h  ( _i  .h  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )
) ) )  .ih  ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  +h  (
_i  .h  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h ) ) ) )  -  ( ( T `  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  -h  ( _i  .h  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )
) ) )  .ih  ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  -h  (
_i  .h  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h ) ) ) ) ) )
3736oveq2d 6089 . . . . 5  |-  ( B  =  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )  ->  (
_i  x.  ( (
( T `  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  +h  ( _i  .h  B
) ) )  .ih  ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  +h  (
_i  .h  B )
) )  -  (
( T `  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  -h  ( _i  .h  B
) ) )  .ih  ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  -h  (
_i  .h  B )
) ) ) )  =  ( _i  x.  ( ( ( T `
 ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  +h  ( _i  .h  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )
) ) )  .ih  ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  +h  (
_i  .h  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h ) ) ) )  -  ( ( T `  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  -h  ( _i  .h  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )
) ) )  .ih  ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  -h  (
_i  .h  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h ) ) ) ) ) ) )
3828, 37oveq12d 6091 . . . 4  |-  ( B  =  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )  ->  (
( ( ( T `
 ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  +h  B ) )  .ih  ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  +h  B
) )  -  (
( T `  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  -h  B ) )  .ih  ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  -h  B
) ) )  +  ( _i  x.  (
( ( T `  ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  +h  (
_i  .h  B )
) )  .ih  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  +h  ( _i  .h  B
) ) )  -  ( ( T `  ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  -h  (
_i  .h  B )
) )  .ih  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  -h  ( _i  .h  B
) ) ) ) ) )  =  ( ( ( ( T `
 ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  +h  if ( B  e. 
~H ,  B ,  0h ) ) )  .ih  ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  +h  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )
) )  -  (
( T `  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  -h  if ( B  e. 
~H ,  B ,  0h ) ) )  .ih  ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  -h  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )
) ) )  +  ( _i  x.  (
( ( T `  ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  +h  (
_i  .h  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h ) ) ) )  .ih  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  +h  ( _i  .h  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )
) ) )  -  ( ( T `  ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  -h  (
_i  .h  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h ) ) ) )  .ih  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  -h  ( _i  .h  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )
) ) ) ) ) ) )
3938oveq1d 6088 . . 3  |-  ( B  =  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )  ->  (
( ( ( ( T `  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  +h  B ) )  .ih  ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  +h  B
) )  -  (
( T `  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  -h  B ) )  .ih  ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  -h  B
) ) )  +  ( _i  x.  (
( ( T `  ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  +h  (
_i  .h  B )
) )  .ih  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  +h  ( _i  .h  B
) ) )  -  ( ( T `  ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  -h  (
_i  .h  B )
) )  .ih  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  -h  ( _i  .h  B
) ) ) ) ) )  /  4
)  =  ( ( ( ( ( T `
 ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  +h  if ( B  e. 
~H ,  B ,  0h ) ) )  .ih  ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  +h  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )
) )  -  (
( T `  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  -h  if ( B  e. 
~H ,  B ,  0h ) ) )  .ih  ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  -h  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )
) ) )  +  ( _i  x.  (
( ( T `  ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  +h  (
_i  .h  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h ) ) ) )  .ih  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  +h  ( _i  .h  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )
) ) )  -  ( ( T `  ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  -h  (
_i  .h  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h ) ) ) )  .ih  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  -h  ( _i  .h  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )
) ) ) ) ) )  /  4
) )
4021, 39eqeq12d 2449 . 2  |-  ( B  =  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )  ->  (
( ( T `  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )
)  .ih  B )  =  ( ( ( ( ( T `  ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  +h  B
) )  .ih  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  +h  B ) )  -  ( ( T `  ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  -h  B
) )  .ih  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  -h  B ) ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( T `
 ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  +h  ( _i  .h  B
) ) )  .ih  ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  +h  (
_i  .h  B )
) )  -  (
( T `  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  -h  ( _i  .h  B
) ) )  .ih  ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  -h  (
_i  .h  B )
) ) ) ) )  /  4 )  <-> 
( ( T `  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )
)  .ih  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h ) )  =  ( ( ( ( ( T `  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  +h  if ( B  e. 
~H ,  B ,  0h ) ) )  .ih  ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  +h  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )
) )  -  (
( T `  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  -h  if ( B  e. 
~H ,  B ,  0h ) ) )  .ih  ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  -h  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )
) ) )  +  ( _i  x.  (
( ( T `  ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  +h  (
_i  .h  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h ) ) ) )  .ih  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  +h  ( _i  .h  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )
) ) )  -  ( ( T `  ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  -h  (
_i  .h  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h ) ) ) )  .ih  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  -h  ( _i  .h  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )
) ) ) ) ) )  /  4
) ) )
41 lnopeq0.1 . . 3  |-  T  e. 
LinOp
42 ax-hv0cl 22498 . . . 4  |-  0h  e.  ~H
4342elimel 3783 . . 3  |-  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  e.  ~H
4442elimel 3783 . . 3  |-  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )  e.  ~H
4541, 43, 44lnopeq0lem1 23500 . 2  |-  ( ( T `  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )
)  .ih  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h ) )  =  ( ( ( ( ( T `  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  +h  if ( B  e. 
~H ,  B ,  0h ) ) )  .ih  ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  +h  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )
) )  -  (
( T `  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  -h  if ( B  e. 
~H ,  B ,  0h ) ) )  .ih  ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  -h  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )
) ) )  +  ( _i  x.  (
( ( T `  ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  +h  (
_i  .h  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h ) ) ) )  .ih  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  +h  ( _i  .h  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )
) ) )  -  ( ( T `  ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  -h  (
_i  .h  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h ) ) ) )  .ih  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  -h  ( _i  .h  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )
) ) ) ) ) )  /  4
)
4620, 40, 45dedth2h 3773 1  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  B  e.  ~H )  ->  ( ( T `  A )  .ih  B
)  =  ( ( ( ( ( T `
 ( A  +h  B ) )  .ih  ( A  +h  B
) )  -  (
( T `  ( A  -h  B ) ) 
.ih  ( A  -h  B ) ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( T `
 ( A  +h  ( _i  .h  B
) ) )  .ih  ( A  +h  (
_i  .h  B )
) )  -  (
( T `  ( A  -h  ( _i  .h  B ) ) ) 
.ih  ( A  -h  ( _i  .h  B
) ) ) ) ) )  /  4
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   ifcif 3731   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   _ici 8984    + caddc 8985    x. cmul 8987    - cmin 9283    / cdiv 9669   4c4 10043   ~Hchil 22414    +h cva 22415    .h csm 22416    .ih csp 22417   0hc0v 22419    -h cmv 22420   LinOpclo 22442
This theorem is referenced by:  lnopeq0i  23502
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-hilex 22494  ax-hfvadd 22495  ax-hvass 22497  ax-hv0cl 22498  ax-hvaddid 22499  ax-hfvmul 22500  ax-hvmulid 22501  ax-hvdistr2 22504  ax-hvmul0 22505  ax-hfi 22573  ax-his1 22576  ax-his2 22577  ax-his3 22578
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-riota 6541  df-er 6897  df-map 7012  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-2 10050  df-3 10051  df-4 10052  df-cj 11896  df-re 11897  df-im 11898  df-hvsub 22466  df-lnop 23336
  Copyright terms: Public domain W3C validator