HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  lnopeq0lem2 Unicode version

Theorem lnopeq0lem2 23357
Description: Lemma for lnopeq0i 23358. (Contributed by NM, 26-Jul-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
lnopeq0.1  |-  T  e. 
LinOp
Assertion
Ref Expression
lnopeq0lem2  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  B  e.  ~H )  ->  ( ( T `  A )  .ih  B
)  =  ( ( ( ( ( T `
 ( A  +h  B ) )  .ih  ( A  +h  B
) )  -  (
( T `  ( A  -h  B ) ) 
.ih  ( A  -h  B ) ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( T `
 ( A  +h  ( _i  .h  B
) ) )  .ih  ( A  +h  (
_i  .h  B )
) )  -  (
( T `  ( A  -h  ( _i  .h  B ) ) ) 
.ih  ( A  -h  ( _i  .h  B
) ) ) ) ) )  /  4
) )

Proof of Theorem lnopeq0lem2
StepHypRef Expression
1 fveq2 5668 . . . 4  |-  ( A  =  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  ->  ( T `  A )  =  ( T `  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )
) )
21oveq1d 6035 . . 3  |-  ( A  =  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  ->  (
( T `  A
)  .ih  B )  =  ( ( T `
 if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h ) )  .ih  B ) )
3 oveq1 6027 . . . . . . . 8  |-  ( A  =  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  ->  ( A  +h  B )  =  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  +h  B
) )
43fveq2d 5672 . . . . . . 7  |-  ( A  =  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  ->  ( T `  ( A  +h  B ) )  =  ( T `  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  +h  B ) ) )
54, 3oveq12d 6038 . . . . . 6  |-  ( A  =  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  ->  (
( T `  ( A  +h  B ) ) 
.ih  ( A  +h  B ) )  =  ( ( T `  ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  +h  B
) )  .ih  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  +h  B ) ) )
6 oveq1 6027 . . . . . . . 8  |-  ( A  =  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  ->  ( A  -h  B )  =  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  -h  B
) )
76fveq2d 5672 . . . . . . 7  |-  ( A  =  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  ->  ( T `  ( A  -h  B ) )  =  ( T `  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  -h  B ) ) )
87, 6oveq12d 6038 . . . . . 6  |-  ( A  =  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  ->  (
( T `  ( A  -h  B ) ) 
.ih  ( A  -h  B ) )  =  ( ( T `  ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  -h  B
) )  .ih  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  -h  B ) ) )
95, 8oveq12d 6038 . . . . 5  |-  ( A  =  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  ->  (
( ( T `  ( A  +h  B
) )  .ih  ( A  +h  B ) )  -  ( ( T `
 ( A  -h  B ) )  .ih  ( A  -h  B
) ) )  =  ( ( ( T `
 ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  +h  B ) )  .ih  ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  +h  B
) )  -  (
( T `  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  -h  B ) )  .ih  ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  -h  B
) ) ) )
10 oveq1 6027 . . . . . . . . 9  |-  ( A  =  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  ->  ( A  +h  ( _i  .h  B ) )  =  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  +h  (
_i  .h  B )
) )
1110fveq2d 5672 . . . . . . . 8  |-  ( A  =  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  ->  ( T `  ( A  +h  ( _i  .h  B
) ) )  =  ( T `  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  +h  ( _i  .h  B
) ) ) )
1211, 10oveq12d 6038 . . . . . . 7  |-  ( A  =  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  ->  (
( T `  ( A  +h  ( _i  .h  B ) ) ) 
.ih  ( A  +h  ( _i  .h  B
) ) )  =  ( ( T `  ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  +h  (
_i  .h  B )
) )  .ih  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  +h  ( _i  .h  B
) ) ) )
13 oveq1 6027 . . . . . . . . 9  |-  ( A  =  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  ->  ( A  -h  ( _i  .h  B ) )  =  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  -h  (
_i  .h  B )
) )
1413fveq2d 5672 . . . . . . . 8  |-  ( A  =  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  ->  ( T `  ( A  -h  ( _i  .h  B
) ) )  =  ( T `  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  -h  ( _i  .h  B
) ) ) )
1514, 13oveq12d 6038 . . . . . . 7  |-  ( A  =  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  ->  (
( T `  ( A  -h  ( _i  .h  B ) ) ) 
.ih  ( A  -h  ( _i  .h  B
) ) )  =  ( ( T `  ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  -h  (
_i  .h  B )
) )  .ih  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  -h  ( _i  .h  B
) ) ) )
1612, 15oveq12d 6038 . . . . . 6  |-  ( A  =  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  ->  (
( ( T `  ( A  +h  (
_i  .h  B )
) )  .ih  ( A  +h  ( _i  .h  B ) ) )  -  ( ( T `
 ( A  -h  ( _i  .h  B
) ) )  .ih  ( A  -h  (
_i  .h  B )
) ) )  =  ( ( ( T `
 ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  +h  ( _i  .h  B
) ) )  .ih  ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  +h  (
_i  .h  B )
) )  -  (
( T `  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  -h  ( _i  .h  B
) ) )  .ih  ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  -h  (
_i  .h  B )
) ) ) )
1716oveq2d 6036 . . . . 5  |-  ( A  =  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  ->  (
_i  x.  ( (
( T `  ( A  +h  ( _i  .h  B ) ) ) 
.ih  ( A  +h  ( _i  .h  B
) ) )  -  ( ( T `  ( A  -h  (
_i  .h  B )
) )  .ih  ( A  -h  ( _i  .h  B ) ) ) ) )  =  ( _i  x.  ( ( ( T `  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  +h  ( _i  .h  B
) ) )  .ih  ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  +h  (
_i  .h  B )
) )  -  (
( T `  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  -h  ( _i  .h  B
) ) )  .ih  ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  -h  (
_i  .h  B )
) ) ) ) )
189, 17oveq12d 6038 . . . 4  |-  ( A  =  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  ->  (
( ( ( T `
 ( A  +h  B ) )  .ih  ( A  +h  B
) )  -  (
( T `  ( A  -h  B ) ) 
.ih  ( A  -h  B ) ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( T `
 ( A  +h  ( _i  .h  B
) ) )  .ih  ( A  +h  (
_i  .h  B )
) )  -  (
( T `  ( A  -h  ( _i  .h  B ) ) ) 
.ih  ( A  -h  ( _i  .h  B
) ) ) ) ) )  =  ( ( ( ( T `
 ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  +h  B ) )  .ih  ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  +h  B
) )  -  (
( T `  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  -h  B ) )  .ih  ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  -h  B
) ) )  +  ( _i  x.  (
( ( T `  ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  +h  (
_i  .h  B )
) )  .ih  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  +h  ( _i  .h  B
) ) )  -  ( ( T `  ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  -h  (
_i  .h  B )
) )  .ih  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  -h  ( _i  .h  B
) ) ) ) ) ) )
1918oveq1d 6035 . . 3  |-  ( A  =  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  ->  (
( ( ( ( T `  ( A  +h  B ) ) 
.ih  ( A  +h  B ) )  -  ( ( T `  ( A  -h  B
) )  .ih  ( A  -h  B ) ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( T `  ( A  +h  ( _i  .h  B ) ) ) 
.ih  ( A  +h  ( _i  .h  B
) ) )  -  ( ( T `  ( A  -h  (
_i  .h  B )
) )  .ih  ( A  -h  ( _i  .h  B ) ) ) ) ) )  / 
4 )  =  ( ( ( ( ( T `  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  +h  B ) )  .ih  ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  +h  B
) )  -  (
( T `  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  -h  B ) )  .ih  ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  -h  B
) ) )  +  ( _i  x.  (
( ( T `  ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  +h  (
_i  .h  B )
) )  .ih  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  +h  ( _i  .h  B
) ) )  -  ( ( T `  ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  -h  (
_i  .h  B )
) )  .ih  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  -h  ( _i  .h  B
) ) ) ) ) )  /  4
) )
202, 19eqeq12d 2401 . 2  |-  ( A  =  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  ->  (
( ( T `  A )  .ih  B
)  =  ( ( ( ( ( T `
 ( A  +h  B ) )  .ih  ( A  +h  B
) )  -  (
( T `  ( A  -h  B ) ) 
.ih  ( A  -h  B ) ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( T `
 ( A  +h  ( _i  .h  B
) ) )  .ih  ( A  +h  (
_i  .h  B )
) )  -  (
( T `  ( A  -h  ( _i  .h  B ) ) ) 
.ih  ( A  -h  ( _i  .h  B
) ) ) ) ) )  /  4
)  <->  ( ( T `
 if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h ) )  .ih  B )  =  ( ( ( ( ( T `
 ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  +h  B ) )  .ih  ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  +h  B
) )  -  (
( T `  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  -h  B ) )  .ih  ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  -h  B
) ) )  +  ( _i  x.  (
( ( T `  ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  +h  (
_i  .h  B )
) )  .ih  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  +h  ( _i  .h  B
) ) )  -  ( ( T `  ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  -h  (
_i  .h  B )
) )  .ih  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  -h  ( _i  .h  B
) ) ) ) ) )  /  4
) ) )
21 oveq2 6028 . . 3  |-  ( B  =  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )  ->  (
( T `  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )
)  .ih  B )  =  ( ( T `
 if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h ) )  .ih  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )
) )
22 oveq2 6028 . . . . . . . 8  |-  ( B  =  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )  ->  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  +h  B )  =  ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  +h  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )
) )
2322fveq2d 5672 . . . . . . 7  |-  ( B  =  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )  ->  ( T `  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  +h  B ) )  =  ( T `  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  +h  if ( B  e. 
~H ,  B ,  0h ) ) ) )
2423, 22oveq12d 6038 . . . . . 6  |-  ( B  =  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )  ->  (
( T `  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  +h  B ) )  .ih  ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  +h  B
) )  =  ( ( T `  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  +h  if ( B  e. 
~H ,  B ,  0h ) ) )  .ih  ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  +h  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )
) ) )
25 oveq2 6028 . . . . . . . 8  |-  ( B  =  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )  ->  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  -h  B )  =  ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  -h  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )
) )
2625fveq2d 5672 . . . . . . 7  |-  ( B  =  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )  ->  ( T `  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  -h  B ) )  =  ( T `  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  -h  if ( B  e. 
~H ,  B ,  0h ) ) ) )
2726, 25oveq12d 6038 . . . . . 6  |-  ( B  =  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )  ->  (
( T `  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  -h  B ) )  .ih  ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  -h  B
) )  =  ( ( T `  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  -h  if ( B  e. 
~H ,  B ,  0h ) ) )  .ih  ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  -h  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )
) ) )
2824, 27oveq12d 6038 . . . . 5  |-  ( B  =  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )  ->  (
( ( T `  ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  +h  B
) )  .ih  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  +h  B ) )  -  ( ( T `  ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  -h  B
) )  .ih  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  -h  B ) ) )  =  ( ( ( T `  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  +h  if ( B  e. 
~H ,  B ,  0h ) ) )  .ih  ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  +h  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )
) )  -  (
( T `  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  -h  if ( B  e. 
~H ,  B ,  0h ) ) )  .ih  ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  -h  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )
) ) ) )
29 oveq2 6028 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  =  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )  ->  (
_i  .h  B )  =  ( _i  .h  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )
) )
3029oveq2d 6036 . . . . . . . . 9  |-  ( B  =  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )  ->  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  +h  ( _i  .h  B
) )  =  ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  +h  (
_i  .h  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h ) ) ) )
3130fveq2d 5672 . . . . . . . 8  |-  ( B  =  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )  ->  ( T `  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  +h  ( _i  .h  B
) ) )  =  ( T `  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  +h  ( _i  .h  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )
) ) ) )
3231, 30oveq12d 6038 . . . . . . 7  |-  ( B  =  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )  ->  (
( T `  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  +h  ( _i  .h  B
) ) )  .ih  ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  +h  (
_i  .h  B )
) )  =  ( ( T `  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  +h  ( _i  .h  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )
) ) )  .ih  ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  +h  (
_i  .h  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h ) ) ) ) )
3329oveq2d 6036 . . . . . . . . 9  |-  ( B  =  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )  ->  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  -h  ( _i  .h  B
) )  =  ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  -h  (
_i  .h  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h ) ) ) )
3433fveq2d 5672 . . . . . . . 8  |-  ( B  =  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )  ->  ( T `  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  -h  ( _i  .h  B
) ) )  =  ( T `  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  -h  ( _i  .h  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )
) ) ) )
3534, 33oveq12d 6038 . . . . . . 7  |-  ( B  =  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )  ->  (
( T `  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  -h  ( _i  .h  B
) ) )  .ih  ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  -h  (
_i  .h  B )
) )  =  ( ( T `  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  -h  ( _i  .h  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )
) ) )  .ih  ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  -h  (
_i  .h  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h ) ) ) ) )
3632, 35oveq12d 6038 . . . . . 6  |-  ( B  =  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )  ->  (
( ( T `  ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  +h  (
_i  .h  B )
) )  .ih  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  +h  ( _i  .h  B
) ) )  -  ( ( T `  ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  -h  (
_i  .h  B )
) )  .ih  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  -h  ( _i  .h  B
) ) ) )  =  ( ( ( T `  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  +h  ( _i  .h  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )
) ) )  .ih  ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  +h  (
_i  .h  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h ) ) ) )  -  ( ( T `  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  -h  ( _i  .h  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )
) ) )  .ih  ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  -h  (
_i  .h  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h ) ) ) ) ) )
3736oveq2d 6036 . . . . 5  |-  ( B  =  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )  ->  (
_i  x.  ( (
( T `  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  +h  ( _i  .h  B
) ) )  .ih  ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  +h  (
_i  .h  B )
) )  -  (
( T `  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  -h  ( _i  .h  B
) ) )  .ih  ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  -h  (
_i  .h  B )
) ) ) )  =  ( _i  x.  ( ( ( T `
 ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  +h  ( _i  .h  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )
) ) )  .ih  ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  +h  (
_i  .h  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h ) ) ) )  -  ( ( T `  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  -h  ( _i  .h  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )
) ) )  .ih  ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  -h  (
_i  .h  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h ) ) ) ) ) ) )
3828, 37oveq12d 6038 . . . 4  |-  ( B  =  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )  ->  (
( ( ( T `
 ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  +h  B ) )  .ih  ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  +h  B
) )  -  (
( T `  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  -h  B ) )  .ih  ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  -h  B
) ) )  +  ( _i  x.  (
( ( T `  ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  +h  (
_i  .h  B )
) )  .ih  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  +h  ( _i  .h  B
) ) )  -  ( ( T `  ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  -h  (
_i  .h  B )
) )  .ih  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  -h  ( _i  .h  B
) ) ) ) ) )  =  ( ( ( ( T `
 ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  +h  if ( B  e. 
~H ,  B ,  0h ) ) )  .ih  ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  +h  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )
) )  -  (
( T `  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  -h  if ( B  e. 
~H ,  B ,  0h ) ) )  .ih  ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  -h  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )
) ) )  +  ( _i  x.  (
( ( T `  ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  +h  (
_i  .h  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h ) ) ) )  .ih  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  +h  ( _i  .h  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )
) ) )  -  ( ( T `  ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  -h  (
_i  .h  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h ) ) ) )  .ih  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  -h  ( _i  .h  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )
) ) ) ) ) ) )
3938oveq1d 6035 . . 3  |-  ( B  =  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )  ->  (
( ( ( ( T `  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  +h  B ) )  .ih  ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  +h  B
) )  -  (
( T `  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  -h  B ) )  .ih  ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  -h  B
) ) )  +  ( _i  x.  (
( ( T `  ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  +h  (
_i  .h  B )
) )  .ih  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  +h  ( _i  .h  B
) ) )  -  ( ( T `  ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  -h  (
_i  .h  B )
) )  .ih  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  -h  ( _i  .h  B
) ) ) ) ) )  /  4
)  =  ( ( ( ( ( T `
 ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  +h  if ( B  e. 
~H ,  B ,  0h ) ) )  .ih  ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  +h  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )
) )  -  (
( T `  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  -h  if ( B  e. 
~H ,  B ,  0h ) ) )  .ih  ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  -h  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )
) ) )  +  ( _i  x.  (
( ( T `  ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  +h  (
_i  .h  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h ) ) ) )  .ih  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  +h  ( _i  .h  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )
) ) )  -  ( ( T `  ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  -h  (
_i  .h  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h ) ) ) )  .ih  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  -h  ( _i  .h  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )
) ) ) ) ) )  /  4
) )
4021, 39eqeq12d 2401 . 2  |-  ( B  =  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )  ->  (
( ( T `  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )
)  .ih  B )  =  ( ( ( ( ( T `  ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  +h  B
) )  .ih  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  +h  B ) )  -  ( ( T `  ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  -h  B
) )  .ih  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  -h  B ) ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( T `
 ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  +h  ( _i  .h  B
) ) )  .ih  ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  +h  (
_i  .h  B )
) )  -  (
( T `  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  -h  ( _i  .h  B
) ) )  .ih  ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  -h  (
_i  .h  B )
) ) ) ) )  /  4 )  <-> 
( ( T `  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )
)  .ih  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h ) )  =  ( ( ( ( ( T `  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  +h  if ( B  e. 
~H ,  B ,  0h ) ) )  .ih  ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  +h  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )
) )  -  (
( T `  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  -h  if ( B  e. 
~H ,  B ,  0h ) ) )  .ih  ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  -h  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )
) ) )  +  ( _i  x.  (
( ( T `  ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  +h  (
_i  .h  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h ) ) ) )  .ih  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  +h  ( _i  .h  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )
) ) )  -  ( ( T `  ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  -h  (
_i  .h  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h ) ) ) )  .ih  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  -h  ( _i  .h  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )
) ) ) ) ) )  /  4
) ) )
41 lnopeq0.1 . . 3  |-  T  e. 
LinOp
42 ax-hv0cl 22354 . . . 4  |-  0h  e.  ~H
4342elimel 3734 . . 3  |-  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  e.  ~H
4442elimel 3734 . . 3  |-  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )  e.  ~H
4541, 43, 44lnopeq0lem1 23356 . 2  |-  ( ( T `  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )
)  .ih  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h ) )  =  ( ( ( ( ( T `  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  +h  if ( B  e. 
~H ,  B ,  0h ) ) )  .ih  ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  +h  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )
) )  -  (
( T `  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  -h  if ( B  e. 
~H ,  B ,  0h ) ) )  .ih  ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  -h  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )
) ) )  +  ( _i  x.  (
( ( T `  ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  +h  (
_i  .h  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h ) ) ) )  .ih  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  +h  ( _i  .h  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )
) ) )  -  ( ( T `  ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  -h  (
_i  .h  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h ) ) ) )  .ih  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  -h  ( _i  .h  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )
) ) ) ) ) )  /  4
)
4620, 40, 45dedth2h 3724 1  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  B  e.  ~H )  ->  ( ( T `  A )  .ih  B
)  =  ( ( ( ( ( T `
 ( A  +h  B ) )  .ih  ( A  +h  B
) )  -  (
( T `  ( A  -h  B ) ) 
.ih  ( A  -h  B ) ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( T `
 ( A  +h  ( _i  .h  B
) ) )  .ih  ( A  +h  (
_i  .h  B )
) )  -  (
( T `  ( A  -h  ( _i  .h  B ) ) ) 
.ih  ( A  -h  ( _i  .h  B
) ) ) ) ) )  /  4
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   ifcif 3682   ` cfv 5394  (class class class)co 6020   _ici 8925    + caddc 8926    x. cmul 8928    - cmin 9223    / cdiv 9609   4c4 9983   ~Hchil 22270    +h cva 22271    .h csm 22272    .ih csp 22273   0hc0v 22275    -h cmv 22276   LinOpclo 22298
This theorem is referenced by:  lnopeq0i  23358
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641  ax-resscn 8980  ax-1cn 8981  ax-icn 8982  ax-addcl 8983  ax-addrcl 8984  ax-mulcl 8985  ax-mulrcl 8986  ax-mulcom 8987  ax-addass 8988  ax-mulass 8989  ax-distr 8990  ax-i2m1 8991  ax-1ne0 8992  ax-1rid 8993  ax-rnegex 8994  ax-rrecex 8995  ax-cnre 8996  ax-pre-lttri 8997  ax-pre-lttrn 8998  ax-pre-ltadd 8999  ax-pre-mulgt0 9000  ax-hilex 22350  ax-hfvadd 22351  ax-hvass 22353  ax-hv0cl 22354  ax-hvaddid 22355  ax-hfvmul 22356  ax-hvmulid 22357  ax-hvdistr2 22360  ax-hvmul0 22361  ax-hfi 22429  ax-his1 22432  ax-his2 22433  ax-his3 22434
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-nel 2553  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rmo 2657  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-op 3766  df-uni 3958  df-iun 4037  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-riota 6485  df-er 6841  df-map 6956  df-en 7046  df-dom 7047  df-sdom 7048  df-pnf 9055  df-mnf 9056  df-xr 9057  df-ltxr 9058  df-le 9059  df-sub 9225  df-neg 9226  df-div 9610  df-2 9990  df-3 9991  df-4 9992  df-cj 11831  df-re 11832  df-im 11833  df-hvsub 22322  df-lnop 23192
  Copyright terms: Public domain W3C validator