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Theorem lnophm 23483
Description: A linear operator is Hermitian if  x  .ih  ( T `  x ) takes only real values. Remark in [ReedSimon] p. 195. (Contributed by NM, 24-Jan-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
lnophm  |-  ( ( T  e.  LinOp  /\  A. x  e.  ~H  (
x  .ih  ( T `  x ) )  e.  RR )  ->  T  e.  HrmOp )
Distinct variable group:    x, T

Proof of Theorem lnophm
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eleq1 2472 . 2  |-  ( T  =  if ( ( T  e.  LinOp  /\  A. x  e.  ~H  (
x  .ih  ( T `  x ) )  e.  RR ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H )
)  ->  ( T  e.  HrmOp 
<->  if ( ( T  e.  LinOp  /\  A. x  e.  ~H  ( x  .ih  ( T `  x ) )  e.  RR ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H )
)  e.  HrmOp ) )
2 eleq1 2472 . . . . . 6  |-  ( T  =  if ( ( T  e.  LinOp  /\  A. x  e.  ~H  (
x  .ih  ( T `  x ) )  e.  RR ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H )
)  ->  ( T  e.  LinOp 
<->  if ( ( T  e.  LinOp  /\  A. x  e.  ~H  ( x  .ih  ( T `  x ) )  e.  RR ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H )
)  e.  LinOp ) )
3 id 20 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  x  =  y )
4 fveq2 5695 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  ( T `  x )  =  ( T `  y ) )
53, 4oveq12d 6066 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  (
x  .ih  ( T `  x ) )  =  ( y  .ih  ( T `  y )
) )
65eleq1d 2478 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  (
( x  .ih  ( T `  x )
)  e.  RR  <->  ( y  .ih  ( T `  y
) )  e.  RR ) )
76cbvralv 2900 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  ~H  (
x  .ih  ( T `  x ) )  e.  RR  <->  A. y  e.  ~H  ( y  .ih  ( T `  y )
)  e.  RR )
8 fveq1 5694 . . . . . . . . . 10  |-  ( T  =  if ( ( T  e.  LinOp  /\  A. x  e.  ~H  (
x  .ih  ( T `  x ) )  e.  RR ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H )
)  ->  ( T `  y )  =  ( if ( ( T  e.  LinOp  /\  A. x  e.  ~H  ( x  .ih  ( T `  x ) )  e.  RR ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H )
) `  y )
)
98oveq2d 6064 . . . . . . . . 9  |-  ( T  =  if ( ( T  e.  LinOp  /\  A. x  e.  ~H  (
x  .ih  ( T `  x ) )  e.  RR ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H )
)  ->  ( y  .ih  ( T `  y
) )  =  ( y  .ih  ( if ( ( T  e. 
LinOp  /\  A. x  e. 
~H  ( x  .ih  ( T `  x ) )  e.  RR ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H )
) `  y )
) )
109eleq1d 2478 . . . . . . . 8  |-  ( T  =  if ( ( T  e.  LinOp  /\  A. x  e.  ~H  (
x  .ih  ( T `  x ) )  e.  RR ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H )
)  ->  ( (
y  .ih  ( T `  y ) )  e.  RR  <->  ( y  .ih  ( if ( ( T  e.  LinOp  /\  A. x  e.  ~H  ( x  .ih  ( T `  x ) )  e.  RR ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H )
) `  y )
)  e.  RR ) )
1110ralbidv 2694 . . . . . . 7  |-  ( T  =  if ( ( T  e.  LinOp  /\  A. x  e.  ~H  (
x  .ih  ( T `  x ) )  e.  RR ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H )
)  ->  ( A. y  e.  ~H  (
y  .ih  ( T `  y ) )  e.  RR  <->  A. y  e.  ~H  ( y  .ih  ( if ( ( T  e. 
LinOp  /\  A. x  e. 
~H  ( x  .ih  ( T `  x ) )  e.  RR ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H )
) `  y )
)  e.  RR ) )
127, 11syl5bb 249 . . . . . 6  |-  ( T  =  if ( ( T  e.  LinOp  /\  A. x  e.  ~H  (
x  .ih  ( T `  x ) )  e.  RR ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H )
)  ->  ( A. x  e.  ~H  (
x  .ih  ( T `  x ) )  e.  RR  <->  A. y  e.  ~H  ( y  .ih  ( if ( ( T  e. 
LinOp  /\  A. x  e. 
~H  ( x  .ih  ( T `  x ) )  e.  RR ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H )
) `  y )
)  e.  RR ) )
132, 12anbi12d 692 . . . . 5  |-  ( T  =  if ( ( T  e.  LinOp  /\  A. x  e.  ~H  (
x  .ih  ( T `  x ) )  e.  RR ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H )
)  ->  ( ( T  e.  LinOp  /\  A. x  e.  ~H  (
x  .ih  ( T `  x ) )  e.  RR )  <->  ( if ( ( T  e. 
LinOp  /\  A. x  e. 
~H  ( x  .ih  ( T `  x ) )  e.  RR ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H )
)  e.  LinOp  /\  A. y  e.  ~H  (
y  .ih  ( if ( ( T  e. 
LinOp  /\  A. x  e. 
~H  ( x  .ih  ( T `  x ) )  e.  RR ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H )
) `  y )
)  e.  RR ) ) )
14 eleq1 2472 . . . . . 6  |-  ( (  _I  |`  ~H )  =  if ( ( T  e.  LinOp  /\  A. x  e.  ~H  ( x  .ih  ( T `  x ) )  e.  RR ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H )
)  ->  ( (  _I  |`  ~H )  e. 
LinOp 
<->  if ( ( T  e.  LinOp  /\  A. x  e.  ~H  ( x  .ih  ( T `  x ) )  e.  RR ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H )
)  e.  LinOp ) )
15 fveq1 5694 . . . . . . . . 9  |-  ( (  _I  |`  ~H )  =  if ( ( T  e.  LinOp  /\  A. x  e.  ~H  ( x  .ih  ( T `  x ) )  e.  RR ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H )
)  ->  ( (  _I  |`  ~H ) `  y )  =  ( if ( ( T  e.  LinOp  /\  A. x  e.  ~H  ( x  .ih  ( T `  x ) )  e.  RR ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H )
) `  y )
)
1615oveq2d 6064 . . . . . . . 8  |-  ( (  _I  |`  ~H )  =  if ( ( T  e.  LinOp  /\  A. x  e.  ~H  ( x  .ih  ( T `  x ) )  e.  RR ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H )
)  ->  ( y  .ih  ( (  _I  |`  ~H ) `  y ) )  =  ( y  .ih  ( if ( ( T  e. 
LinOp  /\  A. x  e. 
~H  ( x  .ih  ( T `  x ) )  e.  RR ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H )
) `  y )
) )
1716eleq1d 2478 . . . . . . 7  |-  ( (  _I  |`  ~H )  =  if ( ( T  e.  LinOp  /\  A. x  e.  ~H  ( x  .ih  ( T `  x ) )  e.  RR ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H )
)  ->  ( (
y  .ih  ( (  _I  |`  ~H ) `  y ) )  e.  RR  <->  ( y  .ih  ( if ( ( T  e.  LinOp  /\  A. x  e.  ~H  ( x  .ih  ( T `  x ) )  e.  RR ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H )
) `  y )
)  e.  RR ) )
1817ralbidv 2694 . . . . . 6  |-  ( (  _I  |`  ~H )  =  if ( ( T  e.  LinOp  /\  A. x  e.  ~H  ( x  .ih  ( T `  x ) )  e.  RR ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H )
)  ->  ( A. y  e.  ~H  (
y  .ih  ( (  _I  |`  ~H ) `  y ) )  e.  RR  <->  A. y  e.  ~H  ( y  .ih  ( if ( ( T  e. 
LinOp  /\  A. x  e. 
~H  ( x  .ih  ( T `  x ) )  e.  RR ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H )
) `  y )
)  e.  RR ) )
1914, 18anbi12d 692 . . . . 5  |-  ( (  _I  |`  ~H )  =  if ( ( T  e.  LinOp  /\  A. x  e.  ~H  ( x  .ih  ( T `  x ) )  e.  RR ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H )
)  ->  ( (
(  _I  |`  ~H )  e.  LinOp  /\  A. y  e.  ~H  ( y  .ih  ( (  _I  |`  ~H ) `  y ) )  e.  RR )  <->  ( if ( ( T  e. 
LinOp  /\  A. x  e. 
~H  ( x  .ih  ( T `  x ) )  e.  RR ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H )
)  e.  LinOp  /\  A. y  e.  ~H  (
y  .ih  ( if ( ( T  e. 
LinOp  /\  A. x  e. 
~H  ( x  .ih  ( T `  x ) )  e.  RR ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H )
) `  y )
)  e.  RR ) ) )
20 idlnop 23456 . . . . . 6  |-  (  _I  |`  ~H )  e.  LinOp
21 fvresi 5891 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ~H  ->  (
(  _I  |`  ~H ) `  y )  =  y )
2221oveq2d 6064 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ~H  ->  (
y  .ih  ( (  _I  |`  ~H ) `  y ) )  =  ( y  .ih  y
) )
23 hiidrcl 22558 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ~H  ->  (
y  .ih  y )  e.  RR )
2422, 23eqeltrd 2486 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ~H  ->  (
y  .ih  ( (  _I  |`  ~H ) `  y ) )  e.  RR )
2524rgen 2739 . . . . . 6  |-  A. y  e.  ~H  ( y  .ih  ( (  _I  |`  ~H ) `  y ) )  e.  RR
2620, 25pm3.2i 442 . . . . 5  |-  ( (  _I  |`  ~H )  e.  LinOp  /\  A. y  e.  ~H  ( y  .ih  ( (  _I  |`  ~H ) `  y ) )  e.  RR )
2713, 19, 26elimhyp 3755 . . . 4  |-  ( if ( ( T  e. 
LinOp  /\  A. x  e. 
~H  ( x  .ih  ( T `  x ) )  e.  RR ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H )
)  e.  LinOp  /\  A. y  e.  ~H  (
y  .ih  ( if ( ( T  e. 
LinOp  /\  A. x  e. 
~H  ( x  .ih  ( T `  x ) )  e.  RR ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H )
) `  y )
)  e.  RR )
2827simpli 445 . . 3  |-  if ( ( T  e.  LinOp  /\ 
A. x  e.  ~H  ( x  .ih  ( T `
 x ) )  e.  RR ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H ) )  e. 
LinOp
2927simpri 449 . . 3  |-  A. y  e.  ~H  ( y  .ih  ( if ( ( T  e.  LinOp  /\  A. x  e.  ~H  ( x  .ih  ( T `  x ) )  e.  RR ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H )
) `  y )
)  e.  RR
3028, 29lnophmi 23482 . 2  |-  if ( ( T  e.  LinOp  /\ 
A. x  e.  ~H  ( x  .ih  ( T `
 x ) )  e.  RR ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H ) )  e. 
HrmOp
311, 30dedth 3748 1  |-  ( ( T  e.  LinOp  /\  A. x  e.  ~H  (
x  .ih  ( T `  x ) )  e.  RR )  ->  T  e.  HrmOp )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2674   ifcif 3707    _I cid 4461    |` cres 4847   ` cfv 5421  (class class class)co 6048   RRcr 8953   ~Hchil 22383    .ih csp 22386   LinOpclo 22411   HrmOpcho 22414
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-rep 4288  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668  ax-resscn 9011  ax-1cn 9012  ax-icn 9013  ax-addcl 9014  ax-addrcl 9015  ax-mulcl 9016  ax-mulrcl 9017  ax-mulcom 9018  ax-addass 9019  ax-mulass 9020  ax-distr 9021  ax-i2m1 9022  ax-1ne0 9023  ax-1rid 9024  ax-rnegex 9025  ax-rrecex 9026  ax-cnre 9027  ax-pre-lttri 9028  ax-pre-lttrn 9029  ax-pre-ltadd 9030  ax-pre-mulgt0 9031  ax-hilex 22463  ax-hfvadd 22464  ax-hvcom 22465  ax-hvass 22466  ax-hv0cl 22467  ax-hvaddid 22468  ax-hfvmul 22469  ax-hvmulid 22470  ax-hvmulass 22471  ax-hvdistr1 22472  ax-hvdistr2 22473  ax-hvmul0 22474  ax-hfi 22542  ax-his1 22545  ax-his2 22546  ax-his3 22547  ax-his4 22548
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-nel 2578  df-ral 2679  df-rex 2680  df-reu 2681  df-rmo 2682  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-op 3791  df-uni 3984  df-iun 4063  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-id 4466  df-po 4471  df-so 4472  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-ov 6051  df-oprab 6052  df-mpt2 6053  df-riota 6516  df-er 6872  df-map 6987  df-en 7077  df-dom 7078  df-sdom 7079  df-pnf 9086  df-mnf 9087  df-xr 9088  df-ltxr 9089  df-le 9090  df-sub 9257  df-neg 9258  df-div 9642  df-2 10022  df-3 10023  df-4 10024  df-cj 11867  df-re 11868  df-im 11869  df-hvsub 22435  df-lnop 23305  df-unop 23307  df-hmop 23308
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