HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  lnophmi Unicode version

Theorem lnophmi 22598
Description: A linear operator is Hermitian if  x  .ih  ( T `  x ) takes only real values. Remark in [ReedSimon] p. 195. (Contributed by NM, 24-Jan-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
lnophm.1  |-  T  e. 
LinOp
lnophm.2  |-  A. x  e.  ~H  ( x  .ih  ( T `  x ) )  e.  RR
Assertion
Ref Expression
lnophmi  |-  T  e. 
HrmOp
Distinct variable group:    x, T

Proof of Theorem lnophmi
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lnophm.1 . . 3  |-  T  e. 
LinOp
21lnopfi 22549 . 2  |-  T : ~H
--> ~H
3 oveq1 5865 . . . . 5  |-  ( y  =  if ( y  e.  ~H ,  y ,  0h )  -> 
( y  .ih  ( T `  z )
)  =  ( if ( y  e.  ~H ,  y ,  0h )  .ih  ( T `  z ) ) )
4 fveq2 5525 . . . . . 6  |-  ( y  =  if ( y  e.  ~H ,  y ,  0h )  -> 
( T `  y
)  =  ( T `
 if ( y  e.  ~H ,  y ,  0h ) ) )
54oveq1d 5873 . . . . 5  |-  ( y  =  if ( y  e.  ~H ,  y ,  0h )  -> 
( ( T `  y )  .ih  z
)  =  ( ( T `  if ( y  e.  ~H , 
y ,  0h )
)  .ih  z )
)
63, 5eqeq12d 2297 . . . 4  |-  ( y  =  if ( y  e.  ~H ,  y ,  0h )  -> 
( ( y  .ih  ( T `  z ) )  =  ( ( T `  y ) 
.ih  z )  <->  ( if ( y  e.  ~H ,  y ,  0h )  .ih  ( T `  z ) )  =  ( ( T `  if ( y  e.  ~H ,  y ,  0h ) )  .ih  z
) ) )
7 fveq2 5525 . . . . . 6  |-  ( z  =  if ( z  e.  ~H ,  z ,  0h )  -> 
( T `  z
)  =  ( T `
 if ( z  e.  ~H ,  z ,  0h ) ) )
87oveq2d 5874 . . . . 5  |-  ( z  =  if ( z  e.  ~H ,  z ,  0h )  -> 
( if ( y  e.  ~H ,  y ,  0h )  .ih  ( T `  z ) )  =  ( if ( y  e.  ~H ,  y ,  0h )  .ih  ( T `  if ( z  e.  ~H ,  z ,  0h ) ) ) )
9 oveq2 5866 . . . . 5  |-  ( z  =  if ( z  e.  ~H ,  z ,  0h )  -> 
( ( T `  if ( y  e.  ~H ,  y ,  0h ) )  .ih  z
)  =  ( ( T `  if ( y  e.  ~H , 
y ,  0h )
)  .ih  if (
z  e.  ~H , 
z ,  0h )
) )
108, 9eqeq12d 2297 . . . 4  |-  ( z  =  if ( z  e.  ~H ,  z ,  0h )  -> 
( ( if ( y  e.  ~H , 
y ,  0h )  .ih  ( T `  z
) )  =  ( ( T `  if ( y  e.  ~H ,  y ,  0h ) )  .ih  z
)  <->  ( if ( y  e.  ~H , 
y ,  0h )  .ih  ( T `  if ( z  e.  ~H ,  z ,  0h ) ) )  =  ( ( T `  if ( y  e.  ~H ,  y ,  0h ) )  .ih  if ( z  e.  ~H ,  z ,  0h ) ) ) )
11 ax-hv0cl 21583 . . . . . 6  |-  0h  e.  ~H
1211elimel 3617 . . . . 5  |-  if ( y  e.  ~H , 
y ,  0h )  e.  ~H
1311elimel 3617 . . . . 5  |-  if ( z  e.  ~H , 
z ,  0h )  e.  ~H
14 lnophm.2 . . . . 5  |-  A. x  e.  ~H  ( x  .ih  ( T `  x ) )  e.  RR
1512, 13, 1, 14lnophmlem2 22597 . . . 4  |-  ( if ( y  e.  ~H ,  y ,  0h )  .ih  ( T `  if ( z  e.  ~H ,  z ,  0h ) ) )  =  ( ( T `  if ( y  e.  ~H ,  y ,  0h ) )  .ih  if ( z  e.  ~H ,  z ,  0h ) )
166, 10, 15dedth2h 3607 . . 3  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  ->  ( y  .ih  ( T `  z )
)  =  ( ( T `  y ) 
.ih  z ) )
1716rgen2a 2609 . 2  |-  A. y  e.  ~H  A. z  e. 
~H  ( y  .ih  ( T `  z ) )  =  ( ( T `  y ) 
.ih  z )
18 elhmop 22453 . 2  |-  ( T  e.  HrmOp 
<->  ( T : ~H --> ~H  /\  A. y  e. 
~H  A. z  e.  ~H  ( y  .ih  ( T `  z )
)  =  ( ( T `  y ) 
.ih  z ) ) )
192, 17, 18mpbir2an 886 1  |-  T  e. 
HrmOp
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   ifcif 3565   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   RRcr 8736   ~Hchil 21499    .ih csp 21502   0hc0v 21504   LinOpclo 21527   HrmOpcho 21530
This theorem is referenced by:  lnophm  22599
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-hilex 21579  ax-hfvadd 21580  ax-hvcom 21581  ax-hvass 21582  ax-hv0cl 21583  ax-hvaddid 21584  ax-hfvmul 21585  ax-hvmulid 21586  ax-hvmulass 21587  ax-hvdistr1 21588  ax-hvdistr2 21589  ax-hvmul0 21590  ax-hfi 21658  ax-his1 21661  ax-his2 21662  ax-his3 21663
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-riota 6304  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-hvsub 21551  df-lnop 22421  df-hmop 22424
  Copyright terms: Public domain W3C validator