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Theorem lnophsi 23494
Description: The sum of two linear operators is linear. (Contributed by NM, 10-Mar-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
lnopco.1  |-  S  e. 
LinOp
lnopco.2  |-  T  e. 
LinOp
Assertion
Ref Expression
lnophsi  |-  ( S 
+op  T )  e. 
LinOp

Proof of Theorem lnophsi
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lnopco.1 . . . 4  |-  S  e. 
LinOp
21lnopfi 23462 . . 3  |-  S : ~H
--> ~H
3 lnopco.2 . . . 4  |-  T  e. 
LinOp
43lnopfi 23462 . . 3  |-  T : ~H
--> ~H
52, 4hoaddcli 23261 . 2  |-  ( S 
+op  T ) : ~H --> ~H
6 hvmulcl 22506 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )  ->  ( x  .h  y
)  e.  ~H )
71lnopaddi 23464 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  .h  y
)  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  ->  ( S `  (
( x  .h  y
)  +h  z ) )  =  ( ( S `  ( x  .h  y ) )  +h  ( S `  z ) ) )
83lnopaddi 23464 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  .h  y
)  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  ->  ( T `  (
( x  .h  y
)  +h  z ) )  =  ( ( T `  ( x  .h  y ) )  +h  ( T `  z ) ) )
97, 8oveq12d 6091 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  .h  y
)  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  ->  ( ( S `  ( ( x  .h  y )  +h  z
) )  +h  ( T `  ( (
x  .h  y )  +h  z ) ) )  =  ( ( ( S `  (
x  .h  y ) )  +h  ( S `
 z ) )  +h  ( ( T `
 ( x  .h  y ) )  +h  ( T `  z
) ) ) )
106, 9sylan 458 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )  /\  z  e.  ~H )  ->  ( ( S `
 ( ( x  .h  y )  +h  z ) )  +h  ( T `  (
( x  .h  y
)  +h  z ) ) )  =  ( ( ( S `  ( x  .h  y
) )  +h  ( S `  z )
)  +h  ( ( T `  ( x  .h  y ) )  +h  ( T `  z ) ) ) )
112ffvelrni 5861 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  .h  y )  e.  ~H  ->  ( S `  ( x  .h  y ) )  e. 
~H )
126, 11syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )  ->  ( S `  (
x  .h  y ) )  e.  ~H )
132ffvelrni 5861 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  ~H  ->  ( S `  z )  e.  ~H )
1412, 13anim12i 550 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )  /\  z  e.  ~H )  ->  ( ( S `
 ( x  .h  y ) )  e. 
~H  /\  ( S `  z )  e.  ~H ) )
154ffvelrni 5861 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  .h  y )  e.  ~H  ->  ( T `  ( x  .h  y ) )  e. 
~H )
166, 15syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )  ->  ( T `  (
x  .h  y ) )  e.  ~H )
174ffvelrni 5861 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  ~H  ->  ( T `  z )  e.  ~H )
1816, 17anim12i 550 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )  /\  z  e.  ~H )  ->  ( ( T `
 ( x  .h  y ) )  e. 
~H  /\  ( T `  z )  e.  ~H ) )
19 hvadd4 22528 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( S `  ( x  .h  y
) )  e.  ~H  /\  ( S `  z
)  e.  ~H )  /\  ( ( T `  ( x  .h  y
) )  e.  ~H  /\  ( T `  z
)  e.  ~H )
)  ->  ( (
( S `  (
x  .h  y ) )  +h  ( S `
 z ) )  +h  ( ( T `
 ( x  .h  y ) )  +h  ( T `  z
) ) )  =  ( ( ( S `
 ( x  .h  y ) )  +h  ( T `  (
x  .h  y ) ) )  +h  (
( S `  z
)  +h  ( T `
 z ) ) ) )
2014, 18, 19syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )  /\  z  e.  ~H )  ->  ( ( ( S `  ( x  .h  y ) )  +h  ( S `  z ) )  +h  ( ( T `  ( x  .h  y
) )  +h  ( T `  z )
) )  =  ( ( ( S `  ( x  .h  y
) )  +h  ( T `  ( x  .h  y ) ) )  +h  ( ( S `
 z )  +h  ( T `  z
) ) ) )
2110, 20eqtrd 2467 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )  /\  z  e.  ~H )  ->  ( ( S `
 ( ( x  .h  y )  +h  z ) )  +h  ( T `  (
( x  .h  y
)  +h  z ) ) )  =  ( ( ( S `  ( x  .h  y
) )  +h  ( T `  ( x  .h  y ) ) )  +h  ( ( S `
 z )  +h  ( T `  z
) ) ) )
22 hvaddcl 22505 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  .h  y
)  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  ->  ( ( x  .h  y )  +h  z
)  e.  ~H )
236, 22sylan 458 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )  /\  z  e.  ~H )  ->  ( ( x  .h  y )  +h  z )  e.  ~H )
24 hosval 23233 . . . . . . 7  |-  ( ( S : ~H --> ~H  /\  T : ~H --> ~H  /\  ( ( x  .h  y )  +h  z
)  e.  ~H )  ->  ( ( S  +op  T ) `  ( ( x  .h  y )  +h  z ) )  =  ( ( S `
 ( ( x  .h  y )  +h  z ) )  +h  ( T `  (
( x  .h  y
)  +h  z ) ) ) )
252, 4, 24mp3an12 1269 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  .h  y
)  +h  z )  e.  ~H  ->  (
( S  +op  T
) `  ( (
x  .h  y )  +h  z ) )  =  ( ( S `
 ( ( x  .h  y )  +h  z ) )  +h  ( T `  (
( x  .h  y
)  +h  z ) ) ) )
2623, 25syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )  /\  z  e.  ~H )  ->  ( ( S 
+op  T ) `  ( ( x  .h  y )  +h  z
) )  =  ( ( S `  (
( x  .h  y
)  +h  z ) )  +h  ( T `
 ( ( x  .h  y )  +h  z ) ) ) )
272ffvelrni 5861 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ~H  ->  ( S `  y )  e.  ~H )
284ffvelrni 5861 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ~H  ->  ( T `  y )  e.  ~H )
2927, 28jca 519 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ~H  ->  (
( S `  y
)  e.  ~H  /\  ( T `  y )  e.  ~H ) )
30 ax-hvdistr1 22501 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( S `  y )  e.  ~H  /\  ( T `  y )  e.  ~H )  ->  (
x  .h  ( ( S `  y )  +h  ( T `  y ) ) )  =  ( ( x  .h  ( S `  y ) )  +h  ( x  .h  ( T `  y )
) ) )
31303expb 1154 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( ( S `  y )  e.  ~H  /\  ( T `  y
)  e.  ~H )
)  ->  ( x  .h  ( ( S `  y )  +h  ( T `  y )
) )  =  ( ( x  .h  ( S `  y )
)  +h  ( x  .h  ( T `  y ) ) ) )
3229, 31sylan2 461 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )  ->  ( x  .h  (
( S `  y
)  +h  ( T `
 y ) ) )  =  ( ( x  .h  ( S `
 y ) )  +h  ( x  .h  ( T `  y
) ) ) )
33 hosval 23233 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S : ~H --> ~H  /\  T : ~H --> ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( ( S  +op  T ) `  y )  =  ( ( S `
 y )  +h  ( T `  y
) ) )
342, 4, 33mp3an12 1269 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ~H  ->  (
( S  +op  T
) `  y )  =  ( ( S `
 y )  +h  ( T `  y
) ) )
3534oveq2d 6089 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ~H  ->  (
x  .h  ( ( S  +op  T ) `
 y ) )  =  ( x  .h  ( ( S `  y )  +h  ( T `  y )
) ) )
3635adantl 453 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )  ->  ( x  .h  (
( S  +op  T
) `  y )
)  =  ( x  .h  ( ( S `
 y )  +h  ( T `  y
) ) ) )
371lnopmuli 23465 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )  ->  ( S `  (
x  .h  y ) )  =  ( x  .h  ( S `  y ) ) )
383lnopmuli 23465 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )  ->  ( T `  (
x  .h  y ) )  =  ( x  .h  ( T `  y ) ) )
3937, 38oveq12d 6091 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )  ->  ( ( S `  ( x  .h  y
) )  +h  ( T `  ( x  .h  y ) ) )  =  ( ( x  .h  ( S `  y ) )  +h  ( x  .h  ( T `  y )
) ) )
4032, 36, 393eqtr4d 2477 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )  ->  ( x  .h  (
( S  +op  T
) `  y )
)  =  ( ( S `  ( x  .h  y ) )  +h  ( T `  ( x  .h  y
) ) ) )
41 hosval 23233 . . . . . . 7  |-  ( ( S : ~H --> ~H  /\  T : ~H --> ~H  /\  z  e.  ~H )  ->  ( ( S  +op  T ) `  z )  =  ( ( S `
 z )  +h  ( T `  z
) ) )
422, 4, 41mp3an12 1269 . . . . . 6  |-  ( z  e.  ~H  ->  (
( S  +op  T
) `  z )  =  ( ( S `
 z )  +h  ( T `  z
) ) )
4340, 42oveqan12d 6092 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )  /\  z  e.  ~H )  ->  ( ( x  .h  ( ( S 
+op  T ) `  y ) )  +h  ( ( S  +op  T ) `  z ) )  =  ( ( ( S `  (
x  .h  y ) )  +h  ( T `
 ( x  .h  y ) ) )  +h  ( ( S `
 z )  +h  ( T `  z
) ) ) )
4421, 26, 433eqtr4d 2477 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )  /\  z  e.  ~H )  ->  ( ( S 
+op  T ) `  ( ( x  .h  y )  +h  z
) )  =  ( ( x  .h  (
( S  +op  T
) `  y )
)  +h  ( ( S  +op  T ) `
 z ) ) )
4544ralrimiva 2781 . . 3  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )  ->  A. z  e.  ~H  ( ( S  +op  T ) `  ( ( x  .h  y )  +h  z ) )  =  ( ( x  .h  ( ( S 
+op  T ) `  y ) )  +h  ( ( S  +op  T ) `  z ) ) )
4645rgen2 2794 . 2  |-  A. x  e.  CC  A. y  e. 
~H  A. z  e.  ~H  ( ( S  +op  T ) `  ( ( x  .h  y )  +h  z ) )  =  ( ( x  .h  ( ( S 
+op  T ) `  y ) )  +h  ( ( S  +op  T ) `  z ) )
47 ellnop 23351 . 2  |-  ( ( S  +op  T )  e.  LinOp 
<->  ( ( S  +op  T ) : ~H --> ~H  /\  A. x  e.  CC  A. y  e.  ~H  A. z  e.  ~H  ( ( S 
+op  T ) `  ( ( x  .h  y )  +h  z
) )  =  ( ( x  .h  (
( S  +op  T
) `  y )
)  +h  ( ( S  +op  T ) `
 z ) ) ) )
485, 46, 47mpbir2an 887 1  |-  ( S 
+op  T )  e. 
LinOp
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2697   -->wf 5442   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   CCcc 8978   ~Hchil 22412    +h cva 22413    .h csm 22414    +op chos 22431   LinOpclo 22440
This theorem is referenced by:  lnophdi  23495  bdophsi  23589
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-resscn 9037  ax-1cn 9038  ax-icn 9039  ax-addcl 9040  ax-addrcl 9041  ax-mulcl 9042  ax-mulrcl 9043  ax-mulcom 9044  ax-addass 9045  ax-mulass 9046  ax-distr 9047  ax-i2m1 9048  ax-1ne0 9049  ax-1rid 9050  ax-rnegex 9051  ax-rrecex 9052  ax-cnre 9053  ax-pre-lttri 9054  ax-pre-lttrn 9055  ax-pre-ltadd 9056  ax-hilex 22492  ax-hfvadd 22493  ax-hvcom 22494  ax-hvass 22495  ax-hv0cl 22496  ax-hvaddid 22497  ax-hfvmul 22498  ax-hvmulid 22499  ax-hvdistr1 22501  ax-hvdistr2 22502  ax-hvmul0 22503
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-riota 6541  df-er 6897  df-map 7012  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-pnf 9112  df-mnf 9113  df-ltxr 9115  df-sub 9283  df-neg 9284  df-hvsub 22464  df-hosum 23223  df-lnop 23334
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