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Theorem lnophsi 22581
Description: The sum of two linear operators is linear. (Contributed by NM, 10-Mar-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
lnopco.1  |-  S  e. 
LinOp
lnopco.2  |-  T  e. 
LinOp
Assertion
Ref Expression
lnophsi  |-  ( S 
+op  T )  e. 
LinOp

Proof of Theorem lnophsi
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lnopco.1 . . . 4  |-  S  e. 
LinOp
21lnopfi 22549 . . 3  |-  S : ~H
--> ~H
3 lnopco.2 . . . 4  |-  T  e. 
LinOp
43lnopfi 22549 . . 3  |-  T : ~H
--> ~H
52, 4hoaddcli 22348 . 2  |-  ( S 
+op  T ) : ~H --> ~H
6 hvmulcl 21593 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )  ->  ( x  .h  y
)  e.  ~H )
71lnopaddi 22551 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  .h  y
)  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  ->  ( S `  (
( x  .h  y
)  +h  z ) )  =  ( ( S `  ( x  .h  y ) )  +h  ( S `  z ) ) )
83lnopaddi 22551 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  .h  y
)  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  ->  ( T `  (
( x  .h  y
)  +h  z ) )  =  ( ( T `  ( x  .h  y ) )  +h  ( T `  z ) ) )
97, 8oveq12d 5876 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  .h  y
)  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  ->  ( ( S `  ( ( x  .h  y )  +h  z
) )  +h  ( T `  ( (
x  .h  y )  +h  z ) ) )  =  ( ( ( S `  (
x  .h  y ) )  +h  ( S `
 z ) )  +h  ( ( T `
 ( x  .h  y ) )  +h  ( T `  z
) ) ) )
106, 9sylan 457 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )  /\  z  e.  ~H )  ->  ( ( S `
 ( ( x  .h  y )  +h  z ) )  +h  ( T `  (
( x  .h  y
)  +h  z ) ) )  =  ( ( ( S `  ( x  .h  y
) )  +h  ( S `  z )
)  +h  ( ( T `  ( x  .h  y ) )  +h  ( T `  z ) ) ) )
112ffvelrni 5664 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  .h  y )  e.  ~H  ->  ( S `  ( x  .h  y ) )  e. 
~H )
126, 11syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )  ->  ( S `  (
x  .h  y ) )  e.  ~H )
132ffvelrni 5664 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  ~H  ->  ( S `  z )  e.  ~H )
1412, 13anim12i 549 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )  /\  z  e.  ~H )  ->  ( ( S `
 ( x  .h  y ) )  e. 
~H  /\  ( S `  z )  e.  ~H ) )
154ffvelrni 5664 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  .h  y )  e.  ~H  ->  ( T `  ( x  .h  y ) )  e. 
~H )
166, 15syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )  ->  ( T `  (
x  .h  y ) )  e.  ~H )
174ffvelrni 5664 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  ~H  ->  ( T `  z )  e.  ~H )
1816, 17anim12i 549 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )  /\  z  e.  ~H )  ->  ( ( T `
 ( x  .h  y ) )  e. 
~H  /\  ( T `  z )  e.  ~H ) )
19 hvadd4 21615 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( S `  ( x  .h  y
) )  e.  ~H  /\  ( S `  z
)  e.  ~H )  /\  ( ( T `  ( x  .h  y
) )  e.  ~H  /\  ( T `  z
)  e.  ~H )
)  ->  ( (
( S `  (
x  .h  y ) )  +h  ( S `
 z ) )  +h  ( ( T `
 ( x  .h  y ) )  +h  ( T `  z
) ) )  =  ( ( ( S `
 ( x  .h  y ) )  +h  ( T `  (
x  .h  y ) ) )  +h  (
( S `  z
)  +h  ( T `
 z ) ) ) )
2014, 18, 19syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )  /\  z  e.  ~H )  ->  ( ( ( S `  ( x  .h  y ) )  +h  ( S `  z ) )  +h  ( ( T `  ( x  .h  y
) )  +h  ( T `  z )
) )  =  ( ( ( S `  ( x  .h  y
) )  +h  ( T `  ( x  .h  y ) ) )  +h  ( ( S `
 z )  +h  ( T `  z
) ) ) )
2110, 20eqtrd 2315 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )  /\  z  e.  ~H )  ->  ( ( S `
 ( ( x  .h  y )  +h  z ) )  +h  ( T `  (
( x  .h  y
)  +h  z ) ) )  =  ( ( ( S `  ( x  .h  y
) )  +h  ( T `  ( x  .h  y ) ) )  +h  ( ( S `
 z )  +h  ( T `  z
) ) ) )
22 hvaddcl 21592 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  .h  y
)  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  ->  ( ( x  .h  y )  +h  z
)  e.  ~H )
236, 22sylan 457 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )  /\  z  e.  ~H )  ->  ( ( x  .h  y )  +h  z )  e.  ~H )
24 hosval 22320 . . . . . . 7  |-  ( ( S : ~H --> ~H  /\  T : ~H --> ~H  /\  ( ( x  .h  y )  +h  z
)  e.  ~H )  ->  ( ( S  +op  T ) `  ( ( x  .h  y )  +h  z ) )  =  ( ( S `
 ( ( x  .h  y )  +h  z ) )  +h  ( T `  (
( x  .h  y
)  +h  z ) ) ) )
252, 4, 24mp3an12 1267 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  .h  y
)  +h  z )  e.  ~H  ->  (
( S  +op  T
) `  ( (
x  .h  y )  +h  z ) )  =  ( ( S `
 ( ( x  .h  y )  +h  z ) )  +h  ( T `  (
( x  .h  y
)  +h  z ) ) ) )
2623, 25syl 15 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )  /\  z  e.  ~H )  ->  ( ( S 
+op  T ) `  ( ( x  .h  y )  +h  z
) )  =  ( ( S `  (
( x  .h  y
)  +h  z ) )  +h  ( T `
 ( ( x  .h  y )  +h  z ) ) ) )
272ffvelrni 5664 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ~H  ->  ( S `  y )  e.  ~H )
284ffvelrni 5664 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ~H  ->  ( T `  y )  e.  ~H )
2927, 28jca 518 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ~H  ->  (
( S `  y
)  e.  ~H  /\  ( T `  y )  e.  ~H ) )
30 ax-hvdistr1 21588 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( S `  y )  e.  ~H  /\  ( T `  y )  e.  ~H )  ->  (
x  .h  ( ( S `  y )  +h  ( T `  y ) ) )  =  ( ( x  .h  ( S `  y ) )  +h  ( x  .h  ( T `  y )
) ) )
31303expb 1152 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( ( S `  y )  e.  ~H  /\  ( T `  y
)  e.  ~H )
)  ->  ( x  .h  ( ( S `  y )  +h  ( T `  y )
) )  =  ( ( x  .h  ( S `  y )
)  +h  ( x  .h  ( T `  y ) ) ) )
3229, 31sylan2 460 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )  ->  ( x  .h  (
( S `  y
)  +h  ( T `
 y ) ) )  =  ( ( x  .h  ( S `
 y ) )  +h  ( x  .h  ( T `  y
) ) ) )
33 hosval 22320 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S : ~H --> ~H  /\  T : ~H --> ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( ( S  +op  T ) `  y )  =  ( ( S `
 y )  +h  ( T `  y
) ) )
342, 4, 33mp3an12 1267 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ~H  ->  (
( S  +op  T
) `  y )  =  ( ( S `
 y )  +h  ( T `  y
) ) )
3534oveq2d 5874 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ~H  ->  (
x  .h  ( ( S  +op  T ) `
 y ) )  =  ( x  .h  ( ( S `  y )  +h  ( T `  y )
) ) )
3635adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )  ->  ( x  .h  (
( S  +op  T
) `  y )
)  =  ( x  .h  ( ( S `
 y )  +h  ( T `  y
) ) ) )
371lnopmuli 22552 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )  ->  ( S `  (
x  .h  y ) )  =  ( x  .h  ( S `  y ) ) )
383lnopmuli 22552 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )  ->  ( T `  (
x  .h  y ) )  =  ( x  .h  ( T `  y ) ) )
3937, 38oveq12d 5876 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )  ->  ( ( S `  ( x  .h  y
) )  +h  ( T `  ( x  .h  y ) ) )  =  ( ( x  .h  ( S `  y ) )  +h  ( x  .h  ( T `  y )
) ) )
4032, 36, 393eqtr4d 2325 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )  ->  ( x  .h  (
( S  +op  T
) `  y )
)  =  ( ( S `  ( x  .h  y ) )  +h  ( T `  ( x  .h  y
) ) ) )
41 hosval 22320 . . . . . . 7  |-  ( ( S : ~H --> ~H  /\  T : ~H --> ~H  /\  z  e.  ~H )  ->  ( ( S  +op  T ) `  z )  =  ( ( S `
 z )  +h  ( T `  z
) ) )
422, 4, 41mp3an12 1267 . . . . . 6  |-  ( z  e.  ~H  ->  (
( S  +op  T
) `  z )  =  ( ( S `
 z )  +h  ( T `  z
) ) )
4340, 42oveqan12d 5877 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )  /\  z  e.  ~H )  ->  ( ( x  .h  ( ( S 
+op  T ) `  y ) )  +h  ( ( S  +op  T ) `  z ) )  =  ( ( ( S `  (
x  .h  y ) )  +h  ( T `
 ( x  .h  y ) ) )  +h  ( ( S `
 z )  +h  ( T `  z
) ) ) )
4421, 26, 433eqtr4d 2325 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )  /\  z  e.  ~H )  ->  ( ( S 
+op  T ) `  ( ( x  .h  y )  +h  z
) )  =  ( ( x  .h  (
( S  +op  T
) `  y )
)  +h  ( ( S  +op  T ) `
 z ) ) )
4544ralrimiva 2626 . . 3  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )  ->  A. z  e.  ~H  ( ( S  +op  T ) `  ( ( x  .h  y )  +h  z ) )  =  ( ( x  .h  ( ( S 
+op  T ) `  y ) )  +h  ( ( S  +op  T ) `  z ) ) )
4645rgen2 2639 . 2  |-  A. x  e.  CC  A. y  e. 
~H  A. z  e.  ~H  ( ( S  +op  T ) `  ( ( x  .h  y )  +h  z ) )  =  ( ( x  .h  ( ( S 
+op  T ) `  y ) )  +h  ( ( S  +op  T ) `  z ) )
47 ellnop 22438 . 2  |-  ( ( S  +op  T )  e.  LinOp 
<->  ( ( S  +op  T ) : ~H --> ~H  /\  A. x  e.  CC  A. y  e.  ~H  A. z  e.  ~H  ( ( S 
+op  T ) `  ( ( x  .h  y )  +h  z
) )  =  ( ( x  .h  (
( S  +op  T
) `  y )
)  +h  ( ( S  +op  T ) `
 z ) ) ) )
485, 46, 47mpbir2an 886 1  |-  ( S 
+op  T )  e. 
LinOp
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   CCcc 8735   ~Hchil 21499    +h cva 21500    .h csm 21501    +op chos 21518   LinOpclo 21527
This theorem is referenced by:  lnophdi  22582  bdophsi  22676
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-hilex 21579  ax-hfvadd 21580  ax-hvcom 21581  ax-hvass 21582  ax-hv0cl 21583  ax-hvaddid 21584  ax-hfvmul 21585  ax-hvmulid 21586  ax-hvdistr1 21588  ax-hvdistr2 21589  ax-hvmul0 21590
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-riota 6304  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-ltxr 8872  df-sub 9039  df-neg 9040  df-hvsub 21551  df-hosum 22310  df-lnop 22421
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