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Theorem lnophsi 23354
Description: The sum of two linear operators is linear. (Contributed by NM, 10-Mar-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
lnopco.1  |-  S  e. 
LinOp
lnopco.2  |-  T  e. 
LinOp
Assertion
Ref Expression
lnophsi  |-  ( S 
+op  T )  e. 
LinOp

Proof of Theorem lnophsi
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lnopco.1 . . . 4  |-  S  e. 
LinOp
21lnopfi 23322 . . 3  |-  S : ~H
--> ~H
3 lnopco.2 . . . 4  |-  T  e. 
LinOp
43lnopfi 23322 . . 3  |-  T : ~H
--> ~H
52, 4hoaddcli 23121 . 2  |-  ( S 
+op  T ) : ~H --> ~H
6 hvmulcl 22366 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )  ->  ( x  .h  y
)  e.  ~H )
71lnopaddi 23324 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  .h  y
)  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  ->  ( S `  (
( x  .h  y
)  +h  z ) )  =  ( ( S `  ( x  .h  y ) )  +h  ( S `  z ) ) )
83lnopaddi 23324 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  .h  y
)  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  ->  ( T `  (
( x  .h  y
)  +h  z ) )  =  ( ( T `  ( x  .h  y ) )  +h  ( T `  z ) ) )
97, 8oveq12d 6040 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  .h  y
)  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  ->  ( ( S `  ( ( x  .h  y )  +h  z
) )  +h  ( T `  ( (
x  .h  y )  +h  z ) ) )  =  ( ( ( S `  (
x  .h  y ) )  +h  ( S `
 z ) )  +h  ( ( T `
 ( x  .h  y ) )  +h  ( T `  z
) ) ) )
106, 9sylan 458 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )  /\  z  e.  ~H )  ->  ( ( S `
 ( ( x  .h  y )  +h  z ) )  +h  ( T `  (
( x  .h  y
)  +h  z ) ) )  =  ( ( ( S `  ( x  .h  y
) )  +h  ( S `  z )
)  +h  ( ( T `  ( x  .h  y ) )  +h  ( T `  z ) ) ) )
112ffvelrni 5810 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  .h  y )  e.  ~H  ->  ( S `  ( x  .h  y ) )  e. 
~H )
126, 11syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )  ->  ( S `  (
x  .h  y ) )  e.  ~H )
132ffvelrni 5810 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  ~H  ->  ( S `  z )  e.  ~H )
1412, 13anim12i 550 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )  /\  z  e.  ~H )  ->  ( ( S `
 ( x  .h  y ) )  e. 
~H  /\  ( S `  z )  e.  ~H ) )
154ffvelrni 5810 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  .h  y )  e.  ~H  ->  ( T `  ( x  .h  y ) )  e. 
~H )
166, 15syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )  ->  ( T `  (
x  .h  y ) )  e.  ~H )
174ffvelrni 5810 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  ~H  ->  ( T `  z )  e.  ~H )
1816, 17anim12i 550 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )  /\  z  e.  ~H )  ->  ( ( T `
 ( x  .h  y ) )  e. 
~H  /\  ( T `  z )  e.  ~H ) )
19 hvadd4 22388 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( S `  ( x  .h  y
) )  e.  ~H  /\  ( S `  z
)  e.  ~H )  /\  ( ( T `  ( x  .h  y
) )  e.  ~H  /\  ( T `  z
)  e.  ~H )
)  ->  ( (
( S `  (
x  .h  y ) )  +h  ( S `
 z ) )  +h  ( ( T `
 ( x  .h  y ) )  +h  ( T `  z
) ) )  =  ( ( ( S `
 ( x  .h  y ) )  +h  ( T `  (
x  .h  y ) ) )  +h  (
( S `  z
)  +h  ( T `
 z ) ) ) )
2014, 18, 19syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )  /\  z  e.  ~H )  ->  ( ( ( S `  ( x  .h  y ) )  +h  ( S `  z ) )  +h  ( ( T `  ( x  .h  y
) )  +h  ( T `  z )
) )  =  ( ( ( S `  ( x  .h  y
) )  +h  ( T `  ( x  .h  y ) ) )  +h  ( ( S `
 z )  +h  ( T `  z
) ) ) )
2110, 20eqtrd 2421 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )  /\  z  e.  ~H )  ->  ( ( S `
 ( ( x  .h  y )  +h  z ) )  +h  ( T `  (
( x  .h  y
)  +h  z ) ) )  =  ( ( ( S `  ( x  .h  y
) )  +h  ( T `  ( x  .h  y ) ) )  +h  ( ( S `
 z )  +h  ( T `  z
) ) ) )
22 hvaddcl 22365 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  .h  y
)  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  ->  ( ( x  .h  y )  +h  z
)  e.  ~H )
236, 22sylan 458 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )  /\  z  e.  ~H )  ->  ( ( x  .h  y )  +h  z )  e.  ~H )
24 hosval 23093 . . . . . . 7  |-  ( ( S : ~H --> ~H  /\  T : ~H --> ~H  /\  ( ( x  .h  y )  +h  z
)  e.  ~H )  ->  ( ( S  +op  T ) `  ( ( x  .h  y )  +h  z ) )  =  ( ( S `
 ( ( x  .h  y )  +h  z ) )  +h  ( T `  (
( x  .h  y
)  +h  z ) ) ) )
252, 4, 24mp3an12 1269 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  .h  y
)  +h  z )  e.  ~H  ->  (
( S  +op  T
) `  ( (
x  .h  y )  +h  z ) )  =  ( ( S `
 ( ( x  .h  y )  +h  z ) )  +h  ( T `  (
( x  .h  y
)  +h  z ) ) ) )
2623, 25syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )  /\  z  e.  ~H )  ->  ( ( S 
+op  T ) `  ( ( x  .h  y )  +h  z
) )  =  ( ( S `  (
( x  .h  y
)  +h  z ) )  +h  ( T `
 ( ( x  .h  y )  +h  z ) ) ) )
272ffvelrni 5810 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ~H  ->  ( S `  y )  e.  ~H )
284ffvelrni 5810 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ~H  ->  ( T `  y )  e.  ~H )
2927, 28jca 519 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ~H  ->  (
( S `  y
)  e.  ~H  /\  ( T `  y )  e.  ~H ) )
30 ax-hvdistr1 22361 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( S `  y )  e.  ~H  /\  ( T `  y )  e.  ~H )  ->  (
x  .h  ( ( S `  y )  +h  ( T `  y ) ) )  =  ( ( x  .h  ( S `  y ) )  +h  ( x  .h  ( T `  y )
) ) )
31303expb 1154 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( ( S `  y )  e.  ~H  /\  ( T `  y
)  e.  ~H )
)  ->  ( x  .h  ( ( S `  y )  +h  ( T `  y )
) )  =  ( ( x  .h  ( S `  y )
)  +h  ( x  .h  ( T `  y ) ) ) )
3229, 31sylan2 461 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )  ->  ( x  .h  (
( S `  y
)  +h  ( T `
 y ) ) )  =  ( ( x  .h  ( S `
 y ) )  +h  ( x  .h  ( T `  y
) ) ) )
33 hosval 23093 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S : ~H --> ~H  /\  T : ~H --> ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( ( S  +op  T ) `  y )  =  ( ( S `
 y )  +h  ( T `  y
) ) )
342, 4, 33mp3an12 1269 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ~H  ->  (
( S  +op  T
) `  y )  =  ( ( S `
 y )  +h  ( T `  y
) ) )
3534oveq2d 6038 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ~H  ->  (
x  .h  ( ( S  +op  T ) `
 y ) )  =  ( x  .h  ( ( S `  y )  +h  ( T `  y )
) ) )
3635adantl 453 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )  ->  ( x  .h  (
( S  +op  T
) `  y )
)  =  ( x  .h  ( ( S `
 y )  +h  ( T `  y
) ) ) )
371lnopmuli 23325 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )  ->  ( S `  (
x  .h  y ) )  =  ( x  .h  ( S `  y ) ) )
383lnopmuli 23325 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )  ->  ( T `  (
x  .h  y ) )  =  ( x  .h  ( T `  y ) ) )
3937, 38oveq12d 6040 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )  ->  ( ( S `  ( x  .h  y
) )  +h  ( T `  ( x  .h  y ) ) )  =  ( ( x  .h  ( S `  y ) )  +h  ( x  .h  ( T `  y )
) ) )
4032, 36, 393eqtr4d 2431 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )  ->  ( x  .h  (
( S  +op  T
) `  y )
)  =  ( ( S `  ( x  .h  y ) )  +h  ( T `  ( x  .h  y
) ) ) )
41 hosval 23093 . . . . . . 7  |-  ( ( S : ~H --> ~H  /\  T : ~H --> ~H  /\  z  e.  ~H )  ->  ( ( S  +op  T ) `  z )  =  ( ( S `
 z )  +h  ( T `  z
) ) )
422, 4, 41mp3an12 1269 . . . . . 6  |-  ( z  e.  ~H  ->  (
( S  +op  T
) `  z )  =  ( ( S `
 z )  +h  ( T `  z
) ) )
4340, 42oveqan12d 6041 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )  /\  z  e.  ~H )  ->  ( ( x  .h  ( ( S 
+op  T ) `  y ) )  +h  ( ( S  +op  T ) `  z ) )  =  ( ( ( S `  (
x  .h  y ) )  +h  ( T `
 ( x  .h  y ) ) )  +h  ( ( S `
 z )  +h  ( T `  z
) ) ) )
4421, 26, 433eqtr4d 2431 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )  /\  z  e.  ~H )  ->  ( ( S 
+op  T ) `  ( ( x  .h  y )  +h  z
) )  =  ( ( x  .h  (
( S  +op  T
) `  y )
)  +h  ( ( S  +op  T ) `
 z ) ) )
4544ralrimiva 2734 . . 3  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )  ->  A. z  e.  ~H  ( ( S  +op  T ) `  ( ( x  .h  y )  +h  z ) )  =  ( ( x  .h  ( ( S 
+op  T ) `  y ) )  +h  ( ( S  +op  T ) `  z ) ) )
4645rgen2 2747 . 2  |-  A. x  e.  CC  A. y  e. 
~H  A. z  e.  ~H  ( ( S  +op  T ) `  ( ( x  .h  y )  +h  z ) )  =  ( ( x  .h  ( ( S 
+op  T ) `  y ) )  +h  ( ( S  +op  T ) `  z ) )
47 ellnop 23211 . 2  |-  ( ( S  +op  T )  e.  LinOp 
<->  ( ( S  +op  T ) : ~H --> ~H  /\  A. x  e.  CC  A. y  e.  ~H  A. z  e.  ~H  ( ( S 
+op  T ) `  ( ( x  .h  y )  +h  z
) )  =  ( ( x  .h  (
( S  +op  T
) `  y )
)  +h  ( ( S  +op  T ) `
 z ) ) ) )
485, 46, 47mpbir2an 887 1  |-  ( S 
+op  T )  e. 
LinOp
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   A.wral 2651   -->wf 5392   ` cfv 5396  (class class class)co 6022   CCcc 8923   ~Hchil 22272    +h cva 22273    .h csm 22274    +op chos 22291   LinOpclo 22300
This theorem is referenced by:  lnophdi  23355  bdophsi  23449
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2370  ax-rep 4263  ax-sep 4273  ax-nul 4281  ax-pow 4320  ax-pr 4346  ax-un 4643  ax-resscn 8982  ax-1cn 8983  ax-icn 8984  ax-addcl 8985  ax-addrcl 8986  ax-mulcl 8987  ax-mulrcl 8988  ax-mulcom 8989  ax-addass 8990  ax-mulass 8991  ax-distr 8992  ax-i2m1 8993  ax-1ne0 8994  ax-1rid 8995  ax-rnegex 8996  ax-rrecex 8997  ax-cnre 8998  ax-pre-lttri 8999  ax-pre-lttrn 9000  ax-pre-ltadd 9001  ax-hilex 22352  ax-hfvadd 22353  ax-hvcom 22354  ax-hvass 22355  ax-hv0cl 22356  ax-hvaddid 22357  ax-hfvmul 22358  ax-hvmulid 22359  ax-hvdistr1 22361  ax-hvdistr2 22362  ax-hvmul0 22363
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2376  df-cleq 2382  df-clel 2385  df-nfc 2514  df-ne 2554  df-nel 2555  df-ral 2656  df-rex 2657  df-reu 2658  df-rab 2660  df-v 2903  df-sbc 3107  df-csb 3197  df-dif 3268  df-un 3270  df-in 3272  df-ss 3279  df-nul 3574  df-if 3685  df-pw 3746  df-sn 3765  df-pr 3766  df-op 3768  df-uni 3960  df-iun 4039  df-br 4156  df-opab 4210  df-mpt 4211  df-id 4441  df-po 4446  df-so 4447  df-xp 4826  df-rel 4827  df-cnv 4828  df-co 4829  df-dm 4830  df-rn 4831  df-res 4832  df-ima 4833  df-iota 5360  df-fun 5398  df-fn 5399  df-f 5400  df-f1 5401  df-fo 5402  df-f1o 5403  df-fv 5404  df-ov 6025  df-oprab 6026  df-mpt2 6027  df-riota 6487  df-er 6843  df-map 6958  df-en 7048  df-dom 7049  df-sdom 7050  df-pnf 9057  df-mnf 9058  df-ltxr 9060  df-sub 9227  df-neg 9228  df-hvsub 22324  df-hosum 23083  df-lnop 23194
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