Hilbert Space Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  lnophsi Unicode version

Theorem lnophsi 22581
 Description: The sum of two linear operators is linear. (Contributed by NM, 10-Mar-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
lnopco.1
lnopco.2
Assertion
Ref Expression
lnophsi

Proof of Theorem lnophsi
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lnopco.1 . . . 4
21lnopfi 22549 . . 3
3 lnopco.2 . . . 4
43lnopfi 22549 . . 3
6 hvmulcl 21593 . . . . . . 7
71lnopaddi 22551 . . . . . . . 8
83lnopaddi 22551 . . . . . . . 8
97, 8oveq12d 5876 . . . . . . 7
106, 9sylan 457 . . . . . 6
112ffvelrni 5664 . . . . . . . . 9
126, 11syl 15 . . . . . . . 8
132ffvelrni 5664 . . . . . . . 8
1412, 13anim12i 549 . . . . . . 7
154ffvelrni 5664 . . . . . . . . 9
166, 15syl 15 . . . . . . . 8
174ffvelrni 5664 . . . . . . . 8
1816, 17anim12i 549 . . . . . . 7
19 hvadd4 21615 . . . . . . 7
2014, 18, 19syl2anc 642 . . . . . 6
2110, 20eqtrd 2315 . . . . 5
22 hvaddcl 21592 . . . . . . 7
236, 22sylan 457 . . . . . 6
24 hosval 22320 . . . . . . 7
252, 4, 24mp3an12 1267 . . . . . 6
2623, 25syl 15 . . . . 5
272ffvelrni 5664 . . . . . . . . 9
284ffvelrni 5664 . . . . . . . . 9
2927, 28jca 518 . . . . . . . 8
30 ax-hvdistr1 21588 . . . . . . . . 9
31303expb 1152 . . . . . . . 8
3229, 31sylan2 460 . . . . . . 7
33 hosval 22320 . . . . . . . . . 10
342, 4, 33mp3an12 1267 . . . . . . . . 9
3534oveq2d 5874 . . . . . . . 8
3635adantl 452 . . . . . . 7
371lnopmuli 22552 . . . . . . . 8
383lnopmuli 22552 . . . . . . . 8
3937, 38oveq12d 5876 . . . . . . 7
4032, 36, 393eqtr4d 2325 . . . . . 6
41 hosval 22320 . . . . . . 7
422, 4, 41mp3an12 1267 . . . . . 6
4340, 42oveqan12d 5877 . . . . 5
4421, 26, 433eqtr4d 2325 . . . 4
4544ralrimiva 2626 . . 3
4645rgen2 2639 . 2
47 ellnop 22438 . 2
485, 46, 47mpbir2an 886 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wa 358   wceq 1623   wcel 1684  wral 2543  wf 5251  cfv 5255  (class class class)co 5858  cc 8735  chil 21499   cva 21500   csm 21501   chos 21518  clo 21527 This theorem is referenced by:  lnophdi  22582  bdophsi  22676 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-hilex 21579  ax-hfvadd 21580  ax-hvcom 21581  ax-hvass 21582  ax-hv0cl 21583  ax-hvaddid 21584  ax-hfvmul 21585  ax-hvmulid 21586  ax-hvdistr1 21588  ax-hvdistr2 21589  ax-hvmul0 21590 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-riota 6304  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-ltxr 8872  df-sub 9039  df-neg 9040  df-hvsub 21551  df-hosum 22310  df-lnop 22421
 Copyright terms: Public domain W3C validator