Hilbert Space Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  lnopmi Structured version   Unicode version

Theorem lnopmi 23503
 Description: The scalar product of a linear operator is a linear operator. (Contributed by NM, 10-Mar-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
lnopm.1
Assertion
Ref Expression
lnopmi

Proof of Theorem lnopmi
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lnopm.1 . . . 4
21lnopfi 23472 . . 3
3 homulcl 23262 . . 3
42, 3mpan2 653 . 2
5 hvmulcl 22516 . . . . . . . 8
6 hvaddcl 22515 . . . . . . . 8
75, 6sylan 458 . . . . . . 7
8 homval 23244 . . . . . . . 8
92, 8mp3an2 1267 . . . . . . 7
107, 9sylan2 461 . . . . . 6
11 id 20 . . . . . . . . 9
122ffvelrni 5869 . . . . . . . . . 10
13 hvmulcl 22516 . . . . . . . . . 10
1412, 13sylan2 461 . . . . . . . . 9
152ffvelrni 5869 . . . . . . . . 9
16 ax-hvdistr1 22511 . . . . . . . . 9
1711, 14, 15, 16syl3an 1226 . . . . . . . 8
18173expb 1154 . . . . . . 7
191lnopli 23471 . . . . . . . . . 10
20193expa 1153 . . . . . . . . 9
2120oveq2d 6097 . . . . . . . 8
2221adantl 453 . . . . . . 7
23 homval 23244 . . . . . . . . . . . . 13
242, 23mp3an2 1267 . . . . . . . . . . . 12
2524adantrl 697 . . . . . . . . . . 11
2625oveq2d 6097 . . . . . . . . . 10
27 hvmulcom 22545 . . . . . . . . . . . 12
2812, 27syl3an3 1219 . . . . . . . . . . 11
29283expb 1154 . . . . . . . . . 10
3026, 29eqtr4d 2471 . . . . . . . . 9
31 homval 23244 . . . . . . . . . 10
322, 31mp3an2 1267 . . . . . . . . 9
3330, 32oveqan12d 6100 . . . . . . . 8
3433anandis 804 . . . . . . 7
3518, 22, 343eqtr4rd 2479 . . . . . 6
3610, 35eqtr4d 2471 . . . . 5
3736exp32 589 . . . 4
3837ralrimdv 2795 . . 3
3938ralrimivv 2797 . 2
40 ellnop 23361 . 2
414, 39, 40sylanbrc 646 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 359   wceq 1652   wcel 1725  wral 2705  wf 5450  cfv 5454  (class class class)co 6081  cc 8988  chil 22422   cva 22423   csm 22424   chot 22442  clo 22450 This theorem is referenced by:  lnophdi  23505  bdophmi  23535 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-mulcom 9054  ax-hilex 22502  ax-hfvadd 22503  ax-hfvmul 22508  ax-hvmulass 22510  ax-hvdistr1 22511 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-map 7020  df-homul 23234  df-lnop 23344
 Copyright terms: Public domain W3C validator