HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  lnopmi Unicode version

Theorem lnopmi 22580
Description: The scalar product of a linear operator is a linear operator. (Contributed by NM, 10-Mar-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
lnopm.1  |-  T  e. 
LinOp
Assertion
Ref Expression
lnopmi  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  .op  T )  e. 
LinOp )

Proof of Theorem lnopmi
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lnopm.1 . . . 4  |-  T  e. 
LinOp
21lnopfi 22549 . . 3  |-  T : ~H
--> ~H
3 homulcl 22339 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  T : ~H --> ~H )  ->  ( A  .op  T
) : ~H --> ~H )
42, 3mpan2 652 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  .op  T ) : ~H --> ~H )
5 hvmulcl 21593 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )  ->  ( x  .h  y
)  e.  ~H )
6 hvaddcl 21592 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  .h  y
)  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  ->  ( ( x  .h  y )  +h  z
)  e.  ~H )
75, 6sylan 457 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )  /\  z  e.  ~H )  ->  ( ( x  .h  y )  +h  z )  e.  ~H )
8 homval 22321 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  T : ~H --> ~H  /\  ( ( x  .h  y )  +h  z
)  e.  ~H )  ->  ( ( A  .op  T ) `  ( ( x  .h  y )  +h  z ) )  =  ( A  .h  ( T `  ( ( x  .h  y )  +h  z ) ) ) )
92, 8mp3an2 1265 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( x  .h  y )  +h  z
)  e.  ~H )  ->  ( ( A  .op  T ) `  ( ( x  .h  y )  +h  z ) )  =  ( A  .h  ( T `  ( ( x  .h  y )  +h  z ) ) ) )
107, 9sylan2 460 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H )  /\  z  e.  ~H ) )  -> 
( ( A  .op  T ) `  ( ( x  .h  y )  +h  z ) )  =  ( A  .h  ( T `  ( ( x  .h  y )  +h  z ) ) ) )
11 id 19 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  CC  ->  A  e.  CC )
122ffvelrni 5664 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ~H  ->  ( T `  y )  e.  ~H )
13 hvmulcl 21593 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( T `  y )  e.  ~H )  -> 
( x  .h  ( T `  y )
)  e.  ~H )
1412, 13sylan2 460 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )  ->  ( x  .h  ( T `  y )
)  e.  ~H )
152ffvelrni 5664 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  ~H  ->  ( T `  z )  e.  ~H )
16 ax-hvdistr1 21588 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( x  .h  ( T `  y )
)  e.  ~H  /\  ( T `  z )  e.  ~H )  -> 
( A  .h  (
( x  .h  ( T `  y )
)  +h  ( T `
 z ) ) )  =  ( ( A  .h  ( x  .h  ( T `  y ) ) )  +h  ( A  .h  ( T `  z ) ) ) )
1711, 14, 15, 16syl3an 1224 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )  /\  z  e.  ~H )  ->  ( A  .h  ( ( x  .h  ( T `  y
) )  +h  ( T `  z )
) )  =  ( ( A  .h  (
x  .h  ( T `
 y ) ) )  +h  ( A  .h  ( T `  z ) ) ) )
18173expb 1152 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H )  /\  z  e.  ~H ) )  -> 
( A  .h  (
( x  .h  ( T `  y )
)  +h  ( T `
 z ) ) )  =  ( ( A  .h  ( x  .h  ( T `  y ) ) )  +h  ( A  .h  ( T `  z ) ) ) )
191lnopli 22548 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  ->  ( T `  ( (
x  .h  y )  +h  z ) )  =  ( ( x  .h  ( T `  y ) )  +h  ( T `  z
) ) )
20193expa 1151 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )  /\  z  e.  ~H )  ->  ( T `  ( ( x  .h  y )  +h  z
) )  =  ( ( x  .h  ( T `  y )
)  +h  ( T `
 z ) ) )
2120oveq2d 5874 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )  /\  z  e.  ~H )  ->  ( A  .h  ( T `  ( ( x  .h  y )  +h  z ) ) )  =  ( A  .h  ( ( x  .h  ( T `  y ) )  +h  ( T `  z
) ) ) )
2221adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H )  /\  z  e.  ~H ) )  -> 
( A  .h  ( T `  ( (
x  .h  y )  +h  z ) ) )  =  ( A  .h  ( ( x  .h  ( T `  y ) )  +h  ( T `  z
) ) ) )
23 homval 22321 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  T : ~H --> ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( ( A  .op  T ) `  y )  =  ( A  .h  ( T `  y ) ) )
242, 23mp3an2 1265 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ~H )  ->  ( ( A  .op  T ) `  y )  =  ( A  .h  ( T `  y ) ) )
2524adantrl 696 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )
)  ->  ( ( A  .op  T ) `  y )  =  ( A  .h  ( T `
 y ) ) )
2625oveq2d 5874 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )
)  ->  ( x  .h  ( ( A  .op  T ) `  y ) )  =  ( x  .h  ( A  .h  ( T `  y ) ) ) )
27 hvmulcom 21622 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  x  e.  CC  /\  ( T `  y )  e.  ~H )  ->  ( A  .h  ( x  .h  ( T `  y
) ) )  =  ( x  .h  ( A  .h  ( T `  y ) ) ) )
2812, 27syl3an3 1217 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )  ->  ( A  .h  ( x  .h  ( T `  y
) ) )  =  ( x  .h  ( A  .h  ( T `  y ) ) ) )
29283expb 1152 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )
)  ->  ( A  .h  ( x  .h  ( T `  y )
) )  =  ( x  .h  ( A  .h  ( T `  y ) ) ) )
3026, 29eqtr4d 2318 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )
)  ->  ( x  .h  ( ( A  .op  T ) `  y ) )  =  ( A  .h  ( x  .h  ( T `  y
) ) ) )
31 homval 22321 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  T : ~H --> ~H  /\  z  e.  ~H )  ->  ( ( A  .op  T ) `  z )  =  ( A  .h  ( T `  z ) ) )
322, 31mp3an2 1265 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  z  e.  ~H )  ->  ( ( A  .op  T ) `  z )  =  ( A  .h  ( T `  z ) ) )
3330, 32oveqan12d 5877 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )
)  /\  ( A  e.  CC  /\  z  e. 
~H ) )  -> 
( ( x  .h  ( ( A  .op  T ) `  y ) )  +h  ( ( A  .op  T ) `
 z ) )  =  ( ( A  .h  ( x  .h  ( T `  y
) ) )  +h  ( A  .h  ( T `  z )
) ) )
3433anandis 803 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H )  /\  z  e.  ~H ) )  -> 
( ( x  .h  ( ( A  .op  T ) `  y ) )  +h  ( ( A  .op  T ) `
 z ) )  =  ( ( A  .h  ( x  .h  ( T `  y
) ) )  +h  ( A  .h  ( T `  z )
) ) )
3518, 22, 343eqtr4rd 2326 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H )  /\  z  e.  ~H ) )  -> 
( ( x  .h  ( ( A  .op  T ) `  y ) )  +h  ( ( A  .op  T ) `
 z ) )  =  ( A  .h  ( T `  ( ( x  .h  y )  +h  z ) ) ) )
3610, 35eqtr4d 2318 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H )  /\  z  e.  ~H ) )  -> 
( ( A  .op  T ) `  ( ( x  .h  y )  +h  z ) )  =  ( ( x  .h  ( ( A 
.op  T ) `  y ) )  +h  ( ( A  .op  T ) `  z ) ) )
3736exp32 588 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )  ->  ( z  e.  ~H  ->  ( ( A  .op  T ) `  ( ( x  .h  y )  +h  z ) )  =  ( ( x  .h  ( ( A 
.op  T ) `  y ) )  +h  ( ( A  .op  T ) `  z ) ) ) ) )
3837ralrimdv 2632 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )  ->  A. z  e.  ~H  ( ( A  .op  T ) `  ( ( x  .h  y )  +h  z ) )  =  ( ( x  .h  ( ( A 
.op  T ) `  y ) )  +h  ( ( A  .op  T ) `  z ) ) ) )
3938ralrimivv 2634 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  A. x  e.  CC  A. y  e. 
~H  A. z  e.  ~H  ( ( A  .op  T ) `  ( ( x  .h  y )  +h  z ) )  =  ( ( x  .h  ( ( A 
.op  T ) `  y ) )  +h  ( ( A  .op  T ) `  z ) ) )
40 ellnop 22438 . 2  |-  ( ( A  .op  T )  e.  LinOp 
<->  ( ( A  .op  T ) : ~H --> ~H  /\  A. x  e.  CC  A. y  e.  ~H  A. z  e.  ~H  ( ( A 
.op  T ) `  ( ( x  .h  y )  +h  z
) )  =  ( ( x  .h  (
( A  .op  T
) `  y )
)  +h  ( ( A  .op  T ) `
 z ) ) ) )
414, 39, 40sylanbrc 645 1  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  .op  T )  e. 
LinOp )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   CCcc 8735   ~Hchil 21499    +h cva 21500    .h csm 21501    .op chot 21519   LinOpclo 21527
This theorem is referenced by:  lnophdi  22582  bdophmi  22612
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-mulcom 8801  ax-hilex 21579  ax-hfvadd 21580  ax-hfvmul 21585  ax-hvmulass 21587  ax-hvdistr1 21588
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-map 6774  df-homul 22311  df-lnop 22421
  Copyright terms: Public domain W3C validator