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Theorem lnopmi 23503
Description: The scalar product of a linear operator is a linear operator. (Contributed by NM, 10-Mar-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
lnopm.1  |-  T  e. 
LinOp
Assertion
Ref Expression
lnopmi  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  .op  T )  e. 
LinOp )

Proof of Theorem lnopmi
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lnopm.1 . . . 4  |-  T  e. 
LinOp
21lnopfi 23472 . . 3  |-  T : ~H
--> ~H
3 homulcl 23262 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  T : ~H --> ~H )  ->  ( A  .op  T
) : ~H --> ~H )
42, 3mpan2 653 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  .op  T ) : ~H --> ~H )
5 hvmulcl 22516 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )  ->  ( x  .h  y
)  e.  ~H )
6 hvaddcl 22515 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  .h  y
)  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  ->  ( ( x  .h  y )  +h  z
)  e.  ~H )
75, 6sylan 458 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )  /\  z  e.  ~H )  ->  ( ( x  .h  y )  +h  z )  e.  ~H )
8 homval 23244 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  T : ~H --> ~H  /\  ( ( x  .h  y )  +h  z
)  e.  ~H )  ->  ( ( A  .op  T ) `  ( ( x  .h  y )  +h  z ) )  =  ( A  .h  ( T `  ( ( x  .h  y )  +h  z ) ) ) )
92, 8mp3an2 1267 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( x  .h  y )  +h  z
)  e.  ~H )  ->  ( ( A  .op  T ) `  ( ( x  .h  y )  +h  z ) )  =  ( A  .h  ( T `  ( ( x  .h  y )  +h  z ) ) ) )
107, 9sylan2 461 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H )  /\  z  e.  ~H ) )  -> 
( ( A  .op  T ) `  ( ( x  .h  y )  +h  z ) )  =  ( A  .h  ( T `  ( ( x  .h  y )  +h  z ) ) ) )
11 id 20 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  CC  ->  A  e.  CC )
122ffvelrni 5869 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ~H  ->  ( T `  y )  e.  ~H )
13 hvmulcl 22516 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( T `  y )  e.  ~H )  -> 
( x  .h  ( T `  y )
)  e.  ~H )
1412, 13sylan2 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )  ->  ( x  .h  ( T `  y )
)  e.  ~H )
152ffvelrni 5869 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  ~H  ->  ( T `  z )  e.  ~H )
16 ax-hvdistr1 22511 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( x  .h  ( T `  y )
)  e.  ~H  /\  ( T `  z )  e.  ~H )  -> 
( A  .h  (
( x  .h  ( T `  y )
)  +h  ( T `
 z ) ) )  =  ( ( A  .h  ( x  .h  ( T `  y ) ) )  +h  ( A  .h  ( T `  z ) ) ) )
1711, 14, 15, 16syl3an 1226 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )  /\  z  e.  ~H )  ->  ( A  .h  ( ( x  .h  ( T `  y
) )  +h  ( T `  z )
) )  =  ( ( A  .h  (
x  .h  ( T `
 y ) ) )  +h  ( A  .h  ( T `  z ) ) ) )
18173expb 1154 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H )  /\  z  e.  ~H ) )  -> 
( A  .h  (
( x  .h  ( T `  y )
)  +h  ( T `
 z ) ) )  =  ( ( A  .h  ( x  .h  ( T `  y ) ) )  +h  ( A  .h  ( T `  z ) ) ) )
191lnopli 23471 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  ->  ( T `  ( (
x  .h  y )  +h  z ) )  =  ( ( x  .h  ( T `  y ) )  +h  ( T `  z
) ) )
20193expa 1153 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )  /\  z  e.  ~H )  ->  ( T `  ( ( x  .h  y )  +h  z
) )  =  ( ( x  .h  ( T `  y )
)  +h  ( T `
 z ) ) )
2120oveq2d 6097 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )  /\  z  e.  ~H )  ->  ( A  .h  ( T `  ( ( x  .h  y )  +h  z ) ) )  =  ( A  .h  ( ( x  .h  ( T `  y ) )  +h  ( T `  z
) ) ) )
2221adantl 453 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H )  /\  z  e.  ~H ) )  -> 
( A  .h  ( T `  ( (
x  .h  y )  +h  z ) ) )  =  ( A  .h  ( ( x  .h  ( T `  y ) )  +h  ( T `  z
) ) ) )
23 homval 23244 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  T : ~H --> ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( ( A  .op  T ) `  y )  =  ( A  .h  ( T `  y ) ) )
242, 23mp3an2 1267 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ~H )  ->  ( ( A  .op  T ) `  y )  =  ( A  .h  ( T `  y ) ) )
2524adantrl 697 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )
)  ->  ( ( A  .op  T ) `  y )  =  ( A  .h  ( T `
 y ) ) )
2625oveq2d 6097 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )
)  ->  ( x  .h  ( ( A  .op  T ) `  y ) )  =  ( x  .h  ( A  .h  ( T `  y ) ) ) )
27 hvmulcom 22545 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  x  e.  CC  /\  ( T `  y )  e.  ~H )  ->  ( A  .h  ( x  .h  ( T `  y
) ) )  =  ( x  .h  ( A  .h  ( T `  y ) ) ) )
2812, 27syl3an3 1219 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )  ->  ( A  .h  ( x  .h  ( T `  y
) ) )  =  ( x  .h  ( A  .h  ( T `  y ) ) ) )
29283expb 1154 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )
)  ->  ( A  .h  ( x  .h  ( T `  y )
) )  =  ( x  .h  ( A  .h  ( T `  y ) ) ) )
3026, 29eqtr4d 2471 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )
)  ->  ( x  .h  ( ( A  .op  T ) `  y ) )  =  ( A  .h  ( x  .h  ( T `  y
) ) ) )
31 homval 23244 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  T : ~H --> ~H  /\  z  e.  ~H )  ->  ( ( A  .op  T ) `  z )  =  ( A  .h  ( T `  z ) ) )
322, 31mp3an2 1267 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  z  e.  ~H )  ->  ( ( A  .op  T ) `  z )  =  ( A  .h  ( T `  z ) ) )
3330, 32oveqan12d 6100 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )
)  /\  ( A  e.  CC  /\  z  e. 
~H ) )  -> 
( ( x  .h  ( ( A  .op  T ) `  y ) )  +h  ( ( A  .op  T ) `
 z ) )  =  ( ( A  .h  ( x  .h  ( T `  y
) ) )  +h  ( A  .h  ( T `  z )
) ) )
3433anandis 804 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H )  /\  z  e.  ~H ) )  -> 
( ( x  .h  ( ( A  .op  T ) `  y ) )  +h  ( ( A  .op  T ) `
 z ) )  =  ( ( A  .h  ( x  .h  ( T `  y
) ) )  +h  ( A  .h  ( T `  z )
) ) )
3518, 22, 343eqtr4rd 2479 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H )  /\  z  e.  ~H ) )  -> 
( ( x  .h  ( ( A  .op  T ) `  y ) )  +h  ( ( A  .op  T ) `
 z ) )  =  ( A  .h  ( T `  ( ( x  .h  y )  +h  z ) ) ) )
3610, 35eqtr4d 2471 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H )  /\  z  e.  ~H ) )  -> 
( ( A  .op  T ) `  ( ( x  .h  y )  +h  z ) )  =  ( ( x  .h  ( ( A 
.op  T ) `  y ) )  +h  ( ( A  .op  T ) `  z ) ) )
3736exp32 589 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )  ->  ( z  e.  ~H  ->  ( ( A  .op  T ) `  ( ( x  .h  y )  +h  z ) )  =  ( ( x  .h  ( ( A 
.op  T ) `  y ) )  +h  ( ( A  .op  T ) `  z ) ) ) ) )
3837ralrimdv 2795 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )  ->  A. z  e.  ~H  ( ( A  .op  T ) `  ( ( x  .h  y )  +h  z ) )  =  ( ( x  .h  ( ( A 
.op  T ) `  y ) )  +h  ( ( A  .op  T ) `  z ) ) ) )
3938ralrimivv 2797 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  A. x  e.  CC  A. y  e. 
~H  A. z  e.  ~H  ( ( A  .op  T ) `  ( ( x  .h  y )  +h  z ) )  =  ( ( x  .h  ( ( A 
.op  T ) `  y ) )  +h  ( ( A  .op  T ) `  z ) ) )
40 ellnop 23361 . 2  |-  ( ( A  .op  T )  e.  LinOp 
<->  ( ( A  .op  T ) : ~H --> ~H  /\  A. x  e.  CC  A. y  e.  ~H  A. z  e.  ~H  ( ( A 
.op  T ) `  ( ( x  .h  y )  +h  z
) )  =  ( ( x  .h  (
( A  .op  T
) `  y )
)  +h  ( ( A  .op  T ) `
 z ) ) ) )
414, 39, 40sylanbrc 646 1  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  .op  T )  e. 
LinOp )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2705   -->wf 5450   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   CCcc 8988   ~Hchil 22422    +h cva 22423    .h csm 22424    .op chot 22442   LinOpclo 22450
This theorem is referenced by:  lnophdi  23505  bdophmi  23535
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-mulcom 9054  ax-hilex 22502  ax-hfvadd 22503  ax-hfvmul 22508  ax-hvmulass 22510  ax-hvdistr1 22511
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-map 7020  df-homul 23234  df-lnop 23344
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