HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  lnopsubi Unicode version

Theorem lnopsubi 22554
Description: Subtraction property for a linear Hilbert space operator. (Contributed by NM, 1-Jul-2005.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
lnopl.1  |-  T  e. 
LinOp
Assertion
Ref Expression
lnopsubi  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  B  e.  ~H )  ->  ( T `  ( A  -h  B ) )  =  ( ( T `
 A )  -h  ( T `  B
) ) )

Proof of Theorem lnopsubi
StepHypRef Expression
1 neg1cn 9813 . . 3  |-  -u 1  e.  CC
2 lnopl.1 . . . 4  |-  T  e. 
LinOp
32lnopaddmuli 22553 . . 3  |-  ( (
-u 1  e.  CC  /\  A  e.  ~H  /\  B  e.  ~H )  ->  ( T `  ( A  +h  ( -u 1  .h  B ) ) )  =  ( ( T `
 A )  +h  ( -u 1  .h  ( T `  B
) ) ) )
41, 3mp3an1 1264 . 2  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  B  e.  ~H )  ->  ( T `  ( A  +h  ( -u 1  .h  B ) ) )  =  ( ( T `
 A )  +h  ( -u 1  .h  ( T `  B
) ) ) )
5 hvsubval 21596 . . 3  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  B  e.  ~H )  ->  ( A  -h  B
)  =  ( A  +h  ( -u 1  .h  B ) ) )
65fveq2d 5529 . 2  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  B  e.  ~H )  ->  ( T `  ( A  -h  B ) )  =  ( T `  ( A  +h  ( -u 1  .h  B ) ) ) )
72lnopfi 22549 . . . 4  |-  T : ~H
--> ~H
87ffvelrni 5664 . . 3  |-  ( A  e.  ~H  ->  ( T `  A )  e.  ~H )
97ffvelrni 5664 . . 3  |-  ( B  e.  ~H  ->  ( T `  B )  e.  ~H )
10 hvsubval 21596 . . 3  |-  ( ( ( T `  A
)  e.  ~H  /\  ( T `  B )  e.  ~H )  -> 
( ( T `  A )  -h  ( T `  B )
)  =  ( ( T `  A )  +h  ( -u 1  .h  ( T `  B
) ) ) )
118, 9, 10syl2an 463 . 2  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  B  e.  ~H )  ->  ( ( T `  A )  -h  ( T `  B )
)  =  ( ( T `  A )  +h  ( -u 1  .h  ( T `  B
) ) ) )
124, 6, 113eqtr4d 2325 1  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  B  e.  ~H )  ->  ( T `  ( A  -h  B ) )  =  ( ( T `
 A )  -h  ( T `  B
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   CCcc 8735   1c1 8738   -ucneg 9038   ~Hchil 21499    +h cva 21500    .h csm 21501    -h cmv 21505   LinOpclo 21527
This theorem is referenced by:  lnopsubmuli  22555  lnopmulsubi  22556  hoddii  22569  lnopeq0lem1  22585  lnophmlem2  22597  lnopconi  22614
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-hilex 21579  ax-hfvadd 21580  ax-hvass 21582  ax-hv0cl 21583  ax-hvaddid 21584  ax-hfvmul 21585  ax-hvmulid 21586  ax-hvdistr2 21589  ax-hvmul0 21590
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-riota 6304  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-ltxr 8872  df-sub 9039  df-neg 9040  df-hvsub 21551  df-lnop 22421
  Copyright terms: Public domain W3C validator