Theorem lnopuni 9937

Description: If a linear operator (whose range is H~) is idempotent in the norm, the operator is unitary. Similar to theorem in [AkhiezerGlazman] p. 73.

Hypotheses

Ref	Expression
lnopuni.1	|- T e. LinOp
lnopuni.2	|- T:H~-onto->H~
lnopuni.3	|- A.x e. H~ (normh` (T` x)) = (normh` x)

Assertion

Ref	Expression
lnopuni	|- T e. UniOp

Distinct variable group:   x,T

Proof of Theorem lnopuni

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elunopt 9799	. 2 |- (T e. UniOp <-> (T:H~-onto->H~ /\ A.x e. H~ A.y e. H~ ((T` x) .ih (T` y)) = (x .ih y)))
2		lnopuni.2	. 2 |- T:H~-onto->H~
3		fveq2 3724	. . . . . 6 |- (x = if(x e. H~, x, 0h) -> (T` x) = (T` if(x e. H~, x, 0h)))
4	3	opreq1d 3975	. . . . 5 |- (x = if(x e. H~, x, 0h) -> ((T` x) .ih (T` y)) = ((T` if(x e. H~, x, 0h)) .ih (T` y)))
5		opreq1 3968	. . . . 5 |- (x = if(x e. H~, x, 0h) -> (x .ih y) = (if(x e. H~, x, 0h) .ih y))
6	4, 5	eqeq12d 1489	. . . 4 |- (x = if(x e. H~, x, 0h) -> (((T` x) .ih (T` y)) = (x .ih y) <-> ((T` if(x e. H~, x, 0h)) .ih (T` y)) = (if(x e. H~, x, 0h) .ih y)))
7		fveq2 3724	. . . . . 6 |- (y = if(y e. H~, y, 0h) -> (T` y) = (T` if(y e. H~, y, 0h)))
8	7	opreq2d 3976	. . . . 5 |- (y = if(y e. H~, y, 0h) -> ((T` if(x e. H~, x, 0h)) .ih (T` y)) = ((T` if(x e. H~, x, 0h)) .ih (T` if(y e. H~, y, 0h))))
9		opreq2 3969	. . . . 5 |- (y = if(y e. H~, y, 0h) -> (if(x e. H~, x, 0h) .ih y) = (if(x e. H~, x, 0h) .ih if(y e. H~, y, 0h)))
10	8, 9	eqeq12d 1489	. . . 4 |- (y = if(y e. H~, y, 0h) -> (((T` if(x e. H~, x, 0h)) .ih (T` y)) = (if(x e. H~, x, 0h) .ih y) <-> ((T` if(x e. H~, x, 0h)) .ih (T` if(y e. H~, y, 0h))) = (if(x e. H~, x, 0h) .ih if(y e. H~, y, 0h))))
11		lnopuni.1	. . . . 5 |- T e. LinOp
12		lnopuni.3	. . . . 5 |- A.x e. H~ (normh` (T` x)) = (normh` x)
13		ax-hv0cl 8873	. . . . . 6 |- 0h e. H~
14	13	elimel 2394	. . . . 5 |- if(x e. H~, x, 0h) e. H~
15	13	elimel 2394	. . . . 5 |- if(y e. H~, y, 0h) e. H~
16	11, 12, 14, 15	lnopunilem2 9936	. . . 4 |- ((T` if(x e. H~, x, 0h)) .ih (T` if(y e. H~, y, 0h))) = (if(x e. H~, x, 0h) .ih if(y e. H~, y, 0h))
17	6, 10, 16	dedth2h 2387	. . 3 |- ((x e. H~ /\ y e. H~) -> ((T` x) .ih (T` y)) = (x .ih y))
18	17	rgen2a 1699	. 2 |- A.x e. H~ A.y e. H~ ((T` x) .ih (T` y)) = (x .ih y)
19	1, 2, 18	mpbir2an 730	1 |- T e. UniOp

Syntax hints:   = wceq 956   e. wcel 958  A.wral 1645  ifcif 2361  -onto->wfo 3180  ` cfv 3182  (class class class)co 3963  H~chil 8788  0hc0v 8791   .ih csp 8793  normhcno 8794  LinOpclo 8816  UniOpcuo 8818

This theorem is referenced by:  elunop2t 9938

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625  ax-hilex 8869  ax-hfvadd 8870  ax-hv0cl 8873  ax-hfvmul 8875  ax-hvmul0 8880  ax-hfi 8946  ax-his1 8949  ax-his2 8950  ax-his3 8951  ax-his4 8952

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-nel 1588  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-en 4368  df-dom 4369  df-sdom 4370  df-sup 4574  df-ni 5000  df-pli 5001  df-mi 5002  df-lti 5003  df-plpq 5035  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-plq 5039  df-mq 5040  df-rq 5041  df-ltq 5042  df-1q 5043  df-np 5086  df-1p 5087  df-plp 5088  df-mp 5089  df-ltp 5090  df-plpr 5164  df-mpr 5165  df-enr 5166  df-nr 5167  df-plr 5168  df-mr 5169  df-ltr 5170  df-0r 5171  df-1r 5172  df-m1r 5173  df-c 5240  df-0 5241  df-1 5242  df-i 5243  df-r 5244  df-plus 5245  df-mul 5246  df-lt 5247  df-sub 5356  df-neg 5358  df-pnf 5487  df-mnf 5488  df-xr 5489  df-ltxr 5490  df-le 5491  df-div 5703  df-n 5925  df-2 5970  df-n0 6100  df-z 6136  df-seq1 6308  df-exp 6569  df-sqr 6670  df-re 6751  df-im 6752  df-cj 6753  df-hnorm 8837  df-lnop 9767  df-unop 9769

Copyright terms: Public domain