HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  lnopunii Structured version   Unicode version

Theorem lnopunii 23505
Description: If a linear operator (whose range is  ~H) is idempotent in the norm, the operator is unitary. Similar to theorem in [AkhiezerGlazman] p. 73. (Contributed by NM, 23-Jan-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
lnopuni.1  |-  T  e. 
LinOp
lnopuni.2  |-  T : ~H -onto-> ~H
lnopuni.3  |-  A. x  e.  ~H  ( normh `  ( T `  x )
)  =  ( normh `  x )
Assertion
Ref Expression
lnopunii  |-  T  e. 
UniOp
Distinct variable group:    x, T

Proof of Theorem lnopunii
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lnopuni.2 . 2  |-  T : ~H -onto-> ~H
2 fveq2 5720 . . . . . 6  |-  ( x  =  if ( x  e.  ~H ,  x ,  0h )  ->  ( T `  x )  =  ( T `  if ( x  e.  ~H ,  x ,  0h )
) )
32oveq1d 6088 . . . . 5  |-  ( x  =  if ( x  e.  ~H ,  x ,  0h )  ->  (
( T `  x
)  .ih  ( T `  y ) )  =  ( ( T `  if ( x  e.  ~H ,  x ,  0h )
)  .ih  ( T `  y ) ) )
4 oveq1 6080 . . . . 5  |-  ( x  =  if ( x  e.  ~H ,  x ,  0h )  ->  (
x  .ih  y )  =  ( if ( x  e.  ~H ,  x ,  0h )  .ih  y ) )
53, 4eqeq12d 2449 . . . 4  |-  ( x  =  if ( x  e.  ~H ,  x ,  0h )  ->  (
( ( T `  x )  .ih  ( T `  y )
)  =  ( x 
.ih  y )  <->  ( ( T `  if (
x  e.  ~H ,  x ,  0h )
)  .ih  ( T `  y ) )  =  ( if ( x  e.  ~H ,  x ,  0h )  .ih  y
) ) )
6 fveq2 5720 . . . . . 6  |-  ( y  =  if ( y  e.  ~H ,  y ,  0h )  -> 
( T `  y
)  =  ( T `
 if ( y  e.  ~H ,  y ,  0h ) ) )
76oveq2d 6089 . . . . 5  |-  ( y  =  if ( y  e.  ~H ,  y ,  0h )  -> 
( ( T `  if ( x  e.  ~H ,  x ,  0h )
)  .ih  ( T `  y ) )  =  ( ( T `  if ( x  e.  ~H ,  x ,  0h )
)  .ih  ( T `  if ( y  e. 
~H ,  y ,  0h ) ) ) )
8 oveq2 6081 . . . . 5  |-  ( y  =  if ( y  e.  ~H ,  y ,  0h )  -> 
( if ( x  e.  ~H ,  x ,  0h )  .ih  y
)  =  ( if ( x  e.  ~H ,  x ,  0h )  .ih  if ( y  e. 
~H ,  y ,  0h ) ) )
97, 8eqeq12d 2449 . . . 4  |-  ( y  =  if ( y  e.  ~H ,  y ,  0h )  -> 
( ( ( T `
 if ( x  e.  ~H ,  x ,  0h ) )  .ih  ( T `  y ) )  =  ( if ( x  e.  ~H ,  x ,  0h )  .ih  y )  <->  ( ( T `  if (
x  e.  ~H ,  x ,  0h )
)  .ih  ( T `  if ( y  e. 
~H ,  y ,  0h ) ) )  =  ( if ( x  e.  ~H ,  x ,  0h )  .ih  if ( y  e. 
~H ,  y ,  0h ) ) ) )
10 lnopuni.1 . . . . 5  |-  T  e. 
LinOp
11 lnopuni.3 . . . . 5  |-  A. x  e.  ~H  ( normh `  ( T `  x )
)  =  ( normh `  x )
12 ax-hv0cl 22496 . . . . . 6  |-  0h  e.  ~H
1312elimel 3783 . . . . 5  |-  if ( x  e.  ~H ,  x ,  0h )  e.  ~H
1412elimel 3783 . . . . 5  |-  if ( y  e.  ~H , 
y ,  0h )  e.  ~H
1510, 11, 13, 14lnopunilem2 23504 . . . 4  |-  ( ( T `  if ( x  e.  ~H ,  x ,  0h )
)  .ih  ( T `  if ( y  e. 
~H ,  y ,  0h ) ) )  =  ( if ( x  e.  ~H ,  x ,  0h )  .ih  if ( y  e. 
~H ,  y ,  0h ) )
165, 9, 15dedth2h 3773 . . 3  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( ( T `  x )  .ih  ( T `  y )
)  =  ( x 
.ih  y ) )
1716rgen2a 2764 . 2  |-  A. x  e.  ~H  A. y  e. 
~H  ( ( T `
 x )  .ih  ( T `  y ) )  =  ( x 
.ih  y )
18 elunop 23365 . 2  |-  ( T  e.  UniOp 
<->  ( T : ~H -onto-> ~H  /\  A. x  e. 
~H  A. y  e.  ~H  ( ( T `  x )  .ih  ( T `  y )
)  =  ( x 
.ih  y ) ) )
191, 17, 18mpbir2an 887 1  |-  T  e. 
UniOp
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2697   ifcif 3731   -onto->wfo 5444   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   ~Hchil 22412    .ih csp 22415   normhcno 22416   0hc0v 22417   LinOpclo 22440   UniOpcuo 22442
This theorem is referenced by:  elunop2  23506
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9036  ax-resscn 9037  ax-1cn 9038  ax-icn 9039  ax-addcl 9040  ax-addrcl 9041  ax-mulcl 9042  ax-mulrcl 9043  ax-mulcom 9044  ax-addass 9045  ax-mulass 9046  ax-distr 9047  ax-i2m1 9048  ax-1ne0 9049  ax-1rid 9050  ax-rnegex 9051  ax-rrecex 9052  ax-cnre 9053  ax-pre-lttri 9054  ax-pre-lttrn 9055  ax-pre-ltadd 9056  ax-pre-mulgt0 9057  ax-pre-sup 9058  ax-hilex 22492  ax-hfvadd 22493  ax-hv0cl 22496  ax-hfvmul 22498  ax-hvmul0 22503  ax-hfi 22571  ax-his1 22574  ax-his2 22575  ax-his3 22576  ax-his4 22577
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-er 6897  df-map 7012  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-sup 7438  df-pnf 9112  df-mnf 9113  df-xr 9114  df-ltxr 9115  df-le 9116  df-sub 9283  df-neg 9284  df-div 9668  df-nn 9991  df-2 10048  df-3 10049  df-n0 10212  df-z 10273  df-uz 10479  df-rp 10603  df-seq 11314  df-exp 11373  df-cj 11894  df-re 11895  df-im 11896  df-sqr 12030  df-hnorm 22461  df-lnop 23334  df-unop 23336
  Copyright terms: Public domain W3C validator