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Theorem lnopunilem1 23363
Description: Lemma for lnopunii 23365. (Contributed by NM, 14-May-2005.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
lnopunilem.1  |-  T  e. 
LinOp
lnopunilem.2  |-  A. x  e.  ~H  ( normh `  ( T `  x )
)  =  ( normh `  x )
lnopunilem.3  |-  A  e. 
~H
lnopunilem.4  |-  B  e. 
~H
lnopunilem1.5  |-  C  e.  CC
Assertion
Ref Expression
lnopunilem1  |-  ( Re
`  ( C  x.  ( ( T `  A )  .ih  ( T `  B )
) ) )  =  ( Re `  ( C  x.  ( A  .ih  B ) ) )
Distinct variable group:    x, T
Allowed substitution hints:    A( x)    B( x)    C( x)

Proof of Theorem lnopunilem1
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lnopunilem1.5 . . . 4  |-  C  e.  CC
2 lnopunilem.3 . . . . . 6  |-  A  e. 
~H
3 lnopunilem.1 . . . . . . . 8  |-  T  e. 
LinOp
43lnopfi 23322 . . . . . . 7  |-  T : ~H
--> ~H
54ffvelrni 5810 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ~H  ->  ( T `  A )  e.  ~H )
62, 5ax-mp 8 . . . . 5  |-  ( T `
 A )  e. 
~H
7 lnopunilem.4 . . . . . 6  |-  B  e. 
~H
84ffvelrni 5810 . . . . . 6  |-  ( B  e.  ~H  ->  ( T `  B )  e.  ~H )
97, 8ax-mp 8 . . . . 5  |-  ( T `
 B )  e. 
~H
106, 9hicli 22433 . . . 4  |-  ( ( T `  A ) 
.ih  ( T `  B ) )  e.  CC
111, 10mulcli 9030 . . 3  |-  ( C  x.  ( ( T `
 A )  .ih  ( T `  B ) ) )  e.  CC
12 reval 11840 . . 3  |-  ( ( C  x.  ( ( T `  A ) 
.ih  ( T `  B ) ) )  e.  CC  ->  (
Re `  ( C  x.  ( ( T `  A )  .ih  ( T `  B )
) ) )  =  ( ( ( C  x.  ( ( T `
 A )  .ih  ( T `  B ) ) )  +  ( * `  ( C  x.  ( ( T `
 A )  .ih  ( T `  B ) ) ) ) )  /  2 ) )
1311, 12ax-mp 8 . 2  |-  ( Re
`  ( C  x.  ( ( T `  A )  .ih  ( T `  B )
) ) )  =  ( ( ( C  x.  ( ( T `
 A )  .ih  ( T `  B ) ) )  +  ( * `  ( C  x.  ( ( T `
 A )  .ih  ( T `  B ) ) ) ) )  /  2 )
142, 7hicli 22433 . . . . 5  |-  ( A 
.ih  B )  e.  CC
151, 14mulcli 9030 . . . 4  |-  ( C  x.  ( A  .ih  B ) )  e.  CC
16 reval 11840 . . . 4  |-  ( ( C  x.  ( A 
.ih  B ) )  e.  CC  ->  (
Re `  ( C  x.  ( A  .ih  B
) ) )  =  ( ( ( C  x.  ( A  .ih  B ) )  +  ( * `  ( C  x.  ( A  .ih  B ) ) ) )  /  2 ) )
1715, 16ax-mp 8 . . 3  |-  ( Re
`  ( C  x.  ( A  .ih  B ) ) )  =  ( ( ( C  x.  ( A  .ih  B ) )  +  ( * `
 ( C  x.  ( A  .ih  B ) ) ) )  / 
2 )
18 lnopunilem.2 . . . . . . . . . . . . 13  |-  A. x  e.  ~H  ( normh `  ( T `  x )
)  =  ( normh `  x )
19 fveq2 5670 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  y  ->  ( T `  x )  =  ( T `  y ) )
2019fveq2d 5674 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  y  ->  ( normh `  ( T `  x ) )  =  ( normh `  ( T `  y ) ) )
21 fveq2 5670 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  y  ->  ( normh `  x )  =  ( normh `  y )
)
2220, 21eqeq12d 2403 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  y  ->  (
( normh `  ( T `  x ) )  =  ( normh `  x )  <->  (
normh `  ( T `  y ) )  =  ( normh `  y )
) )
2322cbvralv 2877 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. x  e.  ~H  ( normh `  ( T `  x ) )  =  ( normh `  x )  <->  A. y  e.  ~H  ( normh `  ( T `  y ) )  =  ( normh `  y )
)
2418, 23mpbi 200 . . . . . . . . . . . 12  |-  A. y  e.  ~H  ( normh `  ( T `  y )
)  =  ( normh `  y )
25 oveq1 6029 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
normh `  ( T `  y ) )  =  ( normh `  y )  ->  ( ( normh `  ( T `  y )
) ^ 2 )  =  ( ( normh `  y ) ^ 2 ) )
264ffvelrni 5810 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  e.  ~H  ->  ( T `  y )  e.  ~H )
27 normsq 22486 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( T `  y )  e.  ~H  ->  (
( normh `  ( T `  y ) ) ^
2 )  =  ( ( T `  y
)  .ih  ( T `  y ) ) )
2826, 27syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  ~H  ->  (
( normh `  ( T `  y ) ) ^
2 )  =  ( ( T `  y
)  .ih  ( T `  y ) ) )
29 normsq 22486 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  ~H  ->  (
( normh `  y ) ^ 2 )  =  ( y  .ih  y
) )
3028, 29eqeq12d 2403 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  ~H  ->  (
( ( normh `  ( T `  y )
) ^ 2 )  =  ( ( normh `  y ) ^ 2 )  <->  ( ( T `
 y )  .ih  ( T `  y ) )  =  ( y 
.ih  y ) ) )
3125, 30syl5ib 211 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  ~H  ->  (
( normh `  ( T `  y ) )  =  ( normh `  y )  ->  ( ( T `  y )  .ih  ( T `  y )
)  =  ( y 
.ih  y ) ) )
3231ralimia 2724 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. y  e.  ~H  ( normh `  ( T `  y ) )  =  ( normh `  y )  ->  A. y  e.  ~H  ( ( T `  y )  .ih  ( T `  y )
)  =  ( y 
.ih  y ) )
3324, 32ax-mp 8 . . . . . . . . . . 11  |-  A. y  e.  ~H  ( ( T `
 y )  .ih  ( T `  y ) )  =  ( y 
.ih  y )
34 fveq2 5670 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  A  ->  ( T `  y )  =  ( T `  A ) )
3534, 34oveq12d 6040 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  A  ->  (
( T `  y
)  .ih  ( T `  y ) )  =  ( ( T `  A )  .ih  ( T `  A )
) )
36 id 20 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  A  ->  y  =  A )
3736, 36oveq12d 6040 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  A  ->  (
y  .ih  y )  =  ( A  .ih  A ) )
3835, 37eqeq12d 2403 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  A  ->  (
( ( T `  y )  .ih  ( T `  y )
)  =  ( y 
.ih  y )  <->  ( ( T `  A )  .ih  ( T `  A
) )  =  ( A  .ih  A ) ) )
3938rspcv 2993 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  ~H  ->  ( A. y  e.  ~H  ( ( T `  y )  .ih  ( T `  y )
)  =  ( y 
.ih  y )  -> 
( ( T `  A )  .ih  ( T `  A )
)  =  ( A 
.ih  A ) ) )
402, 33, 39mp2 9 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T `  A ) 
.ih  ( T `  A ) )  =  ( A  .ih  A
)
4140oveq2i 6033 . . . . . . . . 9  |-  ( ( * `  C )  x.  ( ( T `
 A )  .ih  ( T `  A ) ) )  =  ( ( * `  C
)  x.  ( A 
.ih  A ) )
4241oveq2i 6033 . . . . . . . 8  |-  ( C  x.  ( ( * `
 C )  x.  ( ( T `  A )  .ih  ( T `  A )
) ) )  =  ( C  x.  (
( * `  C
)  x.  ( A 
.ih  A ) ) )
43 fveq2 5670 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  B  ->  ( T `  y )  =  ( T `  B ) )
4443, 43oveq12d 6040 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  B  ->  (
( T `  y
)  .ih  ( T `  y ) )  =  ( ( T `  B )  .ih  ( T `  B )
) )
45 id 20 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  B  ->  y  =  B )
4645, 45oveq12d 6040 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  B  ->  (
y  .ih  y )  =  ( B  .ih  B ) )
4744, 46eqeq12d 2403 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  B  ->  (
( ( T `  y )  .ih  ( T `  y )
)  =  ( y 
.ih  y )  <->  ( ( T `  B )  .ih  ( T `  B
) )  =  ( B  .ih  B ) ) )
4847rspcv 2993 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  ~H  ->  ( A. y  e.  ~H  ( ( T `  y )  .ih  ( T `  y )
)  =  ( y 
.ih  y )  -> 
( ( T `  B )  .ih  ( T `  B )
)  =  ( B 
.ih  B ) ) )
497, 33, 48mp2 9 . . . . . . . 8  |-  ( ( T `  B ) 
.ih  ( T `  B ) )  =  ( B  .ih  B
)
5042, 49oveq12i 6034 . . . . . . 7  |-  ( ( C  x.  ( ( * `  C )  x.  ( ( T `
 A )  .ih  ( T `  A ) ) ) )  +  ( ( T `  B )  .ih  ( T `  B )
) )  =  ( ( C  x.  (
( * `  C
)  x.  ( A 
.ih  A ) ) )  +  ( B 
.ih  B ) )
5150oveq1i 6032 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  x.  (
( * `  C
)  x.  ( ( T `  A ) 
.ih  ( T `  A ) ) ) )  +  ( ( T `  B ) 
.ih  ( T `  B ) ) )  +  ( ( C  x.  ( ( T `
 A )  .ih  ( T `  B ) ) )  +  ( * `  ( C  x.  ( ( T `
 A )  .ih  ( T `  B ) ) ) ) ) )  =  ( ( ( C  x.  (
( * `  C
)  x.  ( A 
.ih  A ) ) )  +  ( B 
.ih  B ) )  +  ( ( C  x.  ( ( T `
 A )  .ih  ( T `  B ) ) )  +  ( * `  ( C  x.  ( ( T `
 A )  .ih  ( T `  B ) ) ) ) ) )
521cjcli 11903 . . . . . . . . . 10  |-  ( * `
 C )  e.  CC
536, 6hicli 22433 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T `  A ) 
.ih  ( T `  A ) )  e.  CC
5452, 53mulcli 9030 . . . . . . . . 9  |-  ( ( * `  C )  x.  ( ( T `
 A )  .ih  ( T `  A ) ) )  e.  CC
551, 54mulcli 9030 . . . . . . . 8  |-  ( C  x.  ( ( * `
 C )  x.  ( ( T `  A )  .ih  ( T `  A )
) ) )  e.  CC
569, 9hicli 22433 . . . . . . . 8  |-  ( ( T `  B ) 
.ih  ( T `  B ) )  e.  CC
5711cjcli 11903 . . . . . . . 8  |-  ( * `
 ( C  x.  ( ( T `  A )  .ih  ( T `  B )
) ) )  e.  CC
5855, 56, 11, 57add42i 9220 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C  x.  (
( * `  C
)  x.  ( ( T `  A ) 
.ih  ( T `  A ) ) ) )  +  ( ( T `  B ) 
.ih  ( T `  B ) ) )  +  ( ( C  x.  ( ( T `
 A )  .ih  ( T `  B ) ) )  +  ( * `  ( C  x.  ( ( T `
 A )  .ih  ( T `  B ) ) ) ) ) )  =  ( ( ( C  x.  (
( * `  C
)  x.  ( ( T `  A ) 
.ih  ( T `  A ) ) ) )  +  ( C  x.  ( ( T `
 A )  .ih  ( T `  B ) ) ) )  +  ( ( * `  ( C  x.  (
( T `  A
)  .ih  ( T `  B ) ) ) )  +  ( ( T `  B ) 
.ih  ( T `  B ) ) ) )
592, 2hicli 22433 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A 
.ih  A )  e.  CC
6052, 59mulcli 9030 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( * `  C )  x.  ( A  .ih  A ) )  e.  CC
611, 60mulcli 9030 . . . . . . . . 9  |-  ( C  x.  ( ( * `
 C )  x.  ( A  .ih  A
) ) )  e.  CC
627, 7hicli 22433 . . . . . . . . 9  |-  ( B 
.ih  B )  e.  CC
6315cjcli 11903 . . . . . . . . 9  |-  ( * `
 ( C  x.  ( A  .ih  B ) ) )  e.  CC
6461, 62, 15, 63add42i 9220 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( C  x.  (
( * `  C
)  x.  ( A 
.ih  A ) ) )  +  ( B 
.ih  B ) )  +  ( ( C  x.  ( A  .ih  B ) )  +  ( * `  ( C  x.  ( A  .ih  B ) ) ) ) )  =  ( ( ( C  x.  (
( * `  C
)  x.  ( A 
.ih  A ) ) )  +  ( C  x.  ( A  .ih  B ) ) )  +  ( ( * `  ( C  x.  ( A  .ih  B ) ) )  +  ( B 
.ih  B ) ) )
651, 2hvmulcli 22367 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( C  .h  A )  e. 
~H
6665, 7hvaddcli 22371 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( C  .h  A )  +h  B )  e. 
~H
67 fveq2 5670 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  ( ( C  .h  A )  +h  B )  ->  ( T `  y )  =  ( T `  ( ( C  .h  A )  +h  B
) ) )
6867, 67oveq12d 6040 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  ( ( C  .h  A )  +h  B )  ->  (
( T `  y
)  .ih  ( T `  y ) )  =  ( ( T `  ( ( C  .h  A )  +h  B
) )  .ih  ( T `  ( ( C  .h  A )  +h  B ) ) ) )
69 id 20 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  ( ( C  .h  A )  +h  B )  ->  y  =  ( ( C  .h  A )  +h  B ) )
7069, 69oveq12d 6040 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  ( ( C  .h  A )  +h  B )  ->  (
y  .ih  y )  =  ( ( ( C  .h  A )  +h  B )  .ih  ( ( C  .h  A )  +h  B
) ) )
7168, 70eqeq12d 2403 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  ( ( C  .h  A )  +h  B )  ->  (
( ( T `  y )  .ih  ( T `  y )
)  =  ( y 
.ih  y )  <->  ( ( T `  ( ( C  .h  A )  +h  B ) )  .ih  ( T `  ( ( C  .h  A )  +h  B ) ) )  =  ( ( ( C  .h  A
)  +h  B ) 
.ih  ( ( C  .h  A )  +h  B ) ) ) )
7271rspcv 2993 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( C  .h  A
)  +h  B )  e.  ~H  ->  ( A. y  e.  ~H  ( ( T `  y )  .ih  ( T `  y )
)  =  ( y 
.ih  y )  -> 
( ( T `  ( ( C  .h  A )  +h  B
) )  .ih  ( T `  ( ( C  .h  A )  +h  B ) ) )  =  ( ( ( C  .h  A )  +h  B )  .ih  ( ( C  .h  A )  +h  B
) ) ) )
7366, 33, 72mp2 9 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T `  ( ( C  .h  A )  +h  B ) ) 
.ih  ( T `  ( ( C  .h  A )  +h  B
) ) )  =  ( ( ( C  .h  A )  +h  B )  .ih  (
( C  .h  A
)  +h  B ) )
74 ax-his2 22435 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( C  .h  A
)  e.  ~H  /\  B  e.  ~H  /\  (
( C  .h  A
)  +h  B )  e.  ~H )  -> 
( ( ( C  .h  A )  +h  B )  .ih  (
( C  .h  A
)  +h  B ) )  =  ( ( ( C  .h  A
)  .ih  ( ( C  .h  A )  +h  B ) )  +  ( B  .ih  (
( C  .h  A
)  +h  B ) ) ) )
7565, 7, 66, 74mp3an 1279 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( C  .h  A
)  +h  B ) 
.ih  ( ( C  .h  A )  +h  B ) )  =  ( ( ( C  .h  A )  .ih  ( ( C  .h  A )  +h  B
) )  +  ( B  .ih  ( ( C  .h  A )  +h  B ) ) )
76 ax-his3 22436 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( C  e.  CC  /\  A  e.  ~H  /\  (
( C  .h  A
)  +h  B )  e.  ~H )  -> 
( ( C  .h  A )  .ih  (
( C  .h  A
)  +h  B ) )  =  ( C  x.  ( A  .ih  ( ( C  .h  A )  +h  B
) ) ) )
771, 2, 66, 76mp3an 1279 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( C  .h  A ) 
.ih  ( ( C  .h  A )  +h  B ) )  =  ( C  x.  ( A  .ih  ( ( C  .h  A )  +h  B ) ) )
78 his7 22442 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  ( C  .h  A
)  e.  ~H  /\  B  e.  ~H )  ->  ( A  .ih  (
( C  .h  A
)  +h  B ) )  =  ( ( A  .ih  ( C  .h  A ) )  +  ( A  .ih  B ) ) )
792, 65, 7, 78mp3an 1279 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A 
.ih  ( ( C  .h  A )  +h  B ) )  =  ( ( A  .ih  ( C  .h  A
) )  +  ( A  .ih  B ) )
80 his5 22438 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( C  e.  CC  /\  A  e.  ~H  /\  A  e.  ~H )  ->  ( A  .ih  ( C  .h  A ) )  =  ( ( * `  C )  x.  ( A  .ih  A ) ) )
811, 2, 2, 80mp3an 1279 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A 
.ih  ( C  .h  A ) )  =  ( ( * `  C )  x.  ( A  .ih  A ) )
8281oveq1i 6032 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  .ih  ( C  .h  A ) )  +  ( A  .ih  B ) )  =  ( ( ( * `  C )  x.  ( A  .ih  A ) )  +  ( A  .ih  B ) )
8379, 82eqtri 2409 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A 
.ih  ( ( C  .h  A )  +h  B ) )  =  ( ( ( * `
 C )  x.  ( A  .ih  A
) )  +  ( A  .ih  B ) )
8483oveq2i 6033 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( C  x.  ( A  .ih  ( ( C  .h  A )  +h  B
) ) )  =  ( C  x.  (
( ( * `  C )  x.  ( A  .ih  A ) )  +  ( A  .ih  B ) ) )
851, 60, 14adddii 9035 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( C  x.  ( ( ( * `  C )  x.  ( A  .ih  A ) )  +  ( A  .ih  B ) ) )  =  ( ( C  x.  (
( * `  C
)  x.  ( A 
.ih  A ) ) )  +  ( C  x.  ( A  .ih  B ) ) )
8677, 84, 853eqtri 2413 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( C  .h  A ) 
.ih  ( ( C  .h  A )  +h  B ) )  =  ( ( C  x.  ( ( * `  C )  x.  ( A  .ih  A ) ) )  +  ( C  x.  ( A  .ih  B ) ) )
87 his7 22442 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( B  e.  ~H  /\  ( C  .h  A
)  e.  ~H  /\  B  e.  ~H )  ->  ( B  .ih  (
( C  .h  A
)  +h  B ) )  =  ( ( B  .ih  ( C  .h  A ) )  +  ( B  .ih  B ) ) )
887, 65, 7, 87mp3an 1279 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B 
.ih  ( ( C  .h  A )  +h  B ) )  =  ( ( B  .ih  ( C  .h  A
) )  +  ( B  .ih  B ) )
89 his5 22438 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( C  e.  CC  /\  B  e.  ~H  /\  A  e.  ~H )  ->  ( B  .ih  ( C  .h  A ) )  =  ( ( * `  C )  x.  ( B  .ih  A ) ) )
901, 7, 2, 89mp3an 1279 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( B 
.ih  ( C  .h  A ) )  =  ( ( * `  C )  x.  ( B  .ih  A ) )
911, 14cjmuli 11923 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( * `
 ( C  x.  ( A  .ih  B ) ) )  =  ( ( * `  C
)  x.  ( * `
 ( A  .ih  B ) ) )
927, 2his1i 22452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( B 
.ih  A )  =  ( * `  ( A  .ih  B ) )
9392oveq2i 6033 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( * `  C )  x.  ( B  .ih  A ) )  =  ( ( * `  C
)  x.  ( * `
 ( A  .ih  B ) ) )
9491, 93eqtr4i 2412 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( * `
 ( C  x.  ( A  .ih  B ) ) )  =  ( ( * `  C
)  x.  ( B 
.ih  A ) )
9590, 94eqtr4i 2412 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( B 
.ih  ( C  .h  A ) )  =  ( * `  ( C  x.  ( A  .ih  B ) ) )
9695oveq1i 6032 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B  .ih  ( C  .h  A ) )  +  ( B  .ih  B ) )  =  ( ( * `  ( C  x.  ( A  .ih  B ) ) )  +  ( B  .ih  B ) )
9788, 96eqtri 2409 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B 
.ih  ( ( C  .h  A )  +h  B ) )  =  ( ( * `  ( C  x.  ( A  .ih  B ) ) )  +  ( B 
.ih  B ) )
9886, 97oveq12i 6034 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( C  .h  A
)  .ih  ( ( C  .h  A )  +h  B ) )  +  ( B  .ih  (
( C  .h  A
)  +h  B ) ) )  =  ( ( ( C  x.  ( ( * `  C )  x.  ( A  .ih  A ) ) )  +  ( C  x.  ( A  .ih  B ) ) )  +  ( ( * `  ( C  x.  ( A  .ih  B ) ) )  +  ( B 
.ih  B ) ) )
9973, 75, 983eqtrri 2414 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( C  x.  (
( * `  C
)  x.  ( A 
.ih  A ) ) )  +  ( C  x.  ( A  .ih  B ) ) )  +  ( ( * `  ( C  x.  ( A  .ih  B ) ) )  +  ( B 
.ih  B ) ) )  =  ( ( T `  ( ( C  .h  A )  +h  B ) ) 
.ih  ( T `  ( ( C  .h  A )  +h  B
) ) )
1003lnopli 23321 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( C  e.  CC  /\  A  e.  ~H  /\  B  e.  ~H )  ->  ( T `  ( ( C  .h  A )  +h  B ) )  =  ( ( C  .h  ( T `  A ) )  +h  ( T `
 B ) ) )
1011, 2, 7, 100mp3an 1279 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T `
 ( ( C  .h  A )  +h  B ) )  =  ( ( C  .h  ( T `  A ) )  +h  ( T `
 B ) )
102101, 101oveq12i 6034 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T `  ( ( C  .h  A )  +h  B ) ) 
.ih  ( T `  ( ( C  .h  A )  +h  B
) ) )  =  ( ( ( C  .h  ( T `  A ) )  +h  ( T `  B
) )  .ih  (
( C  .h  ( T `  A )
)  +h  ( T `
 B ) ) )
1031, 6hvmulcli 22367 . . . . . . . . . . 11  |-  ( C  .h  ( T `  A ) )  e. 
~H
104103, 9hvaddcli 22371 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( C  .h  ( T `
 A ) )  +h  ( T `  B ) )  e. 
~H
105 ax-his2 22435 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( C  .h  ( T `  A )
)  e.  ~H  /\  ( T `  B )  e.  ~H  /\  (
( C  .h  ( T `  A )
)  +h  ( T `
 B ) )  e.  ~H )  -> 
( ( ( C  .h  ( T `  A ) )  +h  ( T `  B
) )  .ih  (
( C  .h  ( T `  A )
)  +h  ( T `
 B ) ) )  =  ( ( ( C  .h  ( T `  A )
)  .ih  ( ( C  .h  ( T `  A ) )  +h  ( T `  B
) ) )  +  ( ( T `  B )  .ih  (
( C  .h  ( T `  A )
)  +h  ( T `
 B ) ) ) ) )
106103, 9, 104, 105mp3an 1279 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( C  .h  ( T `  A )
)  +h  ( T `
 B ) ) 
.ih  ( ( C  .h  ( T `  A ) )  +h  ( T `  B
) ) )  =  ( ( ( C  .h  ( T `  A ) )  .ih  ( ( C  .h  ( T `  A ) )  +h  ( T `
 B ) ) )  +  ( ( T `  B ) 
.ih  ( ( C  .h  ( T `  A ) )  +h  ( T `  B
) ) ) )
107102, 106eqtri 2409 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T `  ( ( C  .h  A )  +h  B ) ) 
.ih  ( T `  ( ( C  .h  A )  +h  B
) ) )  =  ( ( ( C  .h  ( T `  A ) )  .ih  ( ( C  .h  ( T `  A ) )  +h  ( T `
 B ) ) )  +  ( ( T `  B ) 
.ih  ( ( C  .h  ( T `  A ) )  +h  ( T `  B
) ) ) )
108 ax-his3 22436 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( C  e.  CC  /\  ( T `  A )  e.  ~H  /\  (
( C  .h  ( T `  A )
)  +h  ( T `
 B ) )  e.  ~H )  -> 
( ( C  .h  ( T `  A ) )  .ih  ( ( C  .h  ( T `
 A ) )  +h  ( T `  B ) ) )  =  ( C  x.  ( ( T `  A )  .ih  (
( C  .h  ( T `  A )
)  +h  ( T `
 B ) ) ) ) )
1091, 6, 104, 108mp3an 1279 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( C  .h  ( T `
 A ) ) 
.ih  ( ( C  .h  ( T `  A ) )  +h  ( T `  B
) ) )  =  ( C  x.  (
( T `  A
)  .ih  ( ( C  .h  ( T `  A ) )  +h  ( T `  B
) ) ) )
110 his7 22442 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( T `  A
)  e.  ~H  /\  ( C  .h  ( T `  A )
)  e.  ~H  /\  ( T `  B )  e.  ~H )  -> 
( ( T `  A )  .ih  (
( C  .h  ( T `  A )
)  +h  ( T `
 B ) ) )  =  ( ( ( T `  A
)  .ih  ( C  .h  ( T `  A
) ) )  +  ( ( T `  A )  .ih  ( T `  B )
) ) )
1116, 103, 9, 110mp3an 1279 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T `  A ) 
.ih  ( ( C  .h  ( T `  A ) )  +h  ( T `  B
) ) )  =  ( ( ( T `
 A )  .ih  ( C  .h  ( T `  A )
) )  +  ( ( T `  A
)  .ih  ( T `  B ) ) )
112 his5 22438 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( C  e.  CC  /\  ( T `  A )  e.  ~H  /\  ( T `  A )  e.  ~H )  ->  (
( T `  A
)  .ih  ( C  .h  ( T `  A
) ) )  =  ( ( * `  C )  x.  (
( T `  A
)  .ih  ( T `  A ) ) ) )
1131, 6, 6, 112mp3an 1279 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( T `  A ) 
.ih  ( C  .h  ( T `  A ) ) )  =  ( ( * `  C
)  x.  ( ( T `  A ) 
.ih  ( T `  A ) ) )
114113oveq1i 6032 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( T `  A
)  .ih  ( C  .h  ( T `  A
) ) )  +  ( ( T `  A )  .ih  ( T `  B )
) )  =  ( ( ( * `  C )  x.  (
( T `  A
)  .ih  ( T `  A ) ) )  +  ( ( T `
 A )  .ih  ( T `  B ) ) )
115111, 114eqtri 2409 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T `  A ) 
.ih  ( ( C  .h  ( T `  A ) )  +h  ( T `  B
) ) )  =  ( ( ( * `
 C )  x.  ( ( T `  A )  .ih  ( T `  A )
) )  +  ( ( T `  A
)  .ih  ( T `  B ) ) )
116115oveq2i 6033 . . . . . . . . . . 11  |-  ( C  x.  ( ( T `
 A )  .ih  ( ( C  .h  ( T `  A ) )  +h  ( T `
 B ) ) ) )  =  ( C  x.  ( ( ( * `  C
)  x.  ( ( T `  A ) 
.ih  ( T `  A ) ) )  +  ( ( T `
 A )  .ih  ( T `  B ) ) ) )
1171, 54, 10adddii 9035 . . . . . . . . . . 11  |-  ( C  x.  ( ( ( * `  C )  x.  ( ( T `
 A )  .ih  ( T `  A ) ) )  +  ( ( T `  A
)  .ih  ( T `  B ) ) ) )  =  ( ( C  x.  ( ( * `  C )  x.  ( ( T `
 A )  .ih  ( T `  A ) ) ) )  +  ( C  x.  (
( T `  A
)  .ih  ( T `  B ) ) ) )
118109, 116, 1173eqtri 2413 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( C  .h  ( T `
 A ) ) 
.ih  ( ( C  .h  ( T `  A ) )  +h  ( T `  B
) ) )  =  ( ( C  x.  ( ( * `  C )  x.  (
( T `  A
)  .ih  ( T `  A ) ) ) )  +  ( C  x.  ( ( T `
 A )  .ih  ( T `  B ) ) ) )
119 his7 22442 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( T `  B
)  e.  ~H  /\  ( C  .h  ( T `  A )
)  e.  ~H  /\  ( T `  B )  e.  ~H )  -> 
( ( T `  B )  .ih  (
( C  .h  ( T `  A )
)  +h  ( T `
 B ) ) )  =  ( ( ( T `  B
)  .ih  ( C  .h  ( T `  A
) ) )  +  ( ( T `  B )  .ih  ( T `  B )
) ) )
1209, 103, 9, 119mp3an 1279 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T `  B ) 
.ih  ( ( C  .h  ( T `  A ) )  +h  ( T `  B
) ) )  =  ( ( ( T `
 B )  .ih  ( C  .h  ( T `  A )
) )  +  ( ( T `  B
)  .ih  ( T `  B ) ) )
121 his5 22438 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( C  e.  CC  /\  ( T `  B )  e.  ~H  /\  ( T `  A )  e.  ~H )  ->  (
( T `  B
)  .ih  ( C  .h  ( T `  A
) ) )  =  ( ( * `  C )  x.  (
( T `  B
)  .ih  ( T `  A ) ) ) )
1221, 9, 6, 121mp3an 1279 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T `  B ) 
.ih  ( C  .h  ( T `  A ) ) )  =  ( ( * `  C
)  x.  ( ( T `  B ) 
.ih  ( T `  A ) ) )
1231, 10cjmuli 11923 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( * `
 ( C  x.  ( ( T `  A )  .ih  ( T `  B )
) ) )  =  ( ( * `  C )  x.  (
* `  ( ( T `  A )  .ih  ( T `  B
) ) ) )
1249, 6his1i 22452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( T `  B ) 
.ih  ( T `  A ) )  =  ( * `  (
( T `  A
)  .ih  ( T `  B ) ) )
125124oveq2i 6033 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( * `  C )  x.  ( ( T `
 B )  .ih  ( T `  A ) ) )  =  ( ( * `  C
)  x.  ( * `
 ( ( T `
 A )  .ih  ( T `  B ) ) ) )
126123, 125eqtr4i 2412 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( * `
 ( C  x.  ( ( T `  A )  .ih  ( T `  B )
) ) )  =  ( ( * `  C )  x.  (
( T `  B
)  .ih  ( T `  A ) ) )
127122, 126eqtr4i 2412 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T `  B ) 
.ih  ( C  .h  ( T `  A ) ) )  =  ( * `  ( C  x.  ( ( T `
 A )  .ih  ( T `  B ) ) ) )
128127oveq1i 6032 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( T `  B
)  .ih  ( C  .h  ( T `  A
) ) )  +  ( ( T `  B )  .ih  ( T `  B )
) )  =  ( ( * `  ( C  x.  ( ( T `  A )  .ih  ( T `  B
) ) ) )  +  ( ( T `
 B )  .ih  ( T `  B ) ) )
129120, 128eqtri 2409 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T `  B ) 
.ih  ( ( C  .h  ( T `  A ) )  +h  ( T `  B
) ) )  =  ( ( * `  ( C  x.  (
( T `  A
)  .ih  ( T `  B ) ) ) )  +  ( ( T `  B ) 
.ih  ( T `  B ) ) )
130118, 129oveq12i 6034 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( C  .h  ( T `  A )
)  .ih  ( ( C  .h  ( T `  A ) )  +h  ( T `  B
) ) )  +  ( ( T `  B )  .ih  (
( C  .h  ( T `  A )
)  +h  ( T `
 B ) ) ) )  =  ( ( ( C  x.  ( ( * `  C )  x.  (
( T `  A
)  .ih  ( T `  A ) ) ) )  +  ( C  x.  ( ( T `
 A )  .ih  ( T `  B ) ) ) )  +  ( ( * `  ( C  x.  (
( T `  A
)  .ih  ( T `  B ) ) ) )  +  ( ( T `  B ) 
.ih  ( T `  B ) ) ) )
13199, 107, 1303eqtrri 2414 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( C  x.  (
( * `  C
)  x.  ( ( T `  A ) 
.ih  ( T `  A ) ) ) )  +  ( C  x.  ( ( T `
 A )  .ih  ( T `  B ) ) ) )  +  ( ( * `  ( C  x.  (
( T `  A
)  .ih  ( T `  B ) ) ) )  +  ( ( T `  B ) 
.ih  ( T `  B ) ) ) )  =  ( ( ( C  x.  (
( * `  C
)  x.  ( A 
.ih  A ) ) )  +  ( C  x.  ( A  .ih  B ) ) )  +  ( ( * `  ( C  x.  ( A  .ih  B ) ) )  +  ( B 
.ih  B ) ) )
13264, 131eqtr4i 2412 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C  x.  (
( * `  C
)  x.  ( A 
.ih  A ) ) )  +  ( B 
.ih  B ) )  +  ( ( C  x.  ( A  .ih  B ) )  +  ( * `  ( C  x.  ( A  .ih  B ) ) ) ) )  =  ( ( ( C  x.  (
( * `  C
)  x.  ( ( T `  A ) 
.ih  ( T `  A ) ) ) )  +  ( C  x.  ( ( T `
 A )  .ih  ( T `  B ) ) ) )  +  ( ( * `  ( C  x.  (
( T `  A
)  .ih  ( T `  B ) ) ) )  +  ( ( T `  B ) 
.ih  ( T `  B ) ) ) )
13358, 132eqtr4i 2412 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  x.  (
( * `  C
)  x.  ( ( T `  A ) 
.ih  ( T `  A ) ) ) )  +  ( ( T `  B ) 
.ih  ( T `  B ) ) )  +  ( ( C  x.  ( ( T `
 A )  .ih  ( T `  B ) ) )  +  ( * `  ( C  x.  ( ( T `
 A )  .ih  ( T `  B ) ) ) ) ) )  =  ( ( ( C  x.  (
( * `  C
)  x.  ( A 
.ih  A ) ) )  +  ( B 
.ih  B ) )  +  ( ( C  x.  ( A  .ih  B ) )  +  ( * `  ( C  x.  ( A  .ih  B ) ) ) ) )
13451, 133eqtr3i 2411 . . . . 5  |-  ( ( ( C  x.  (
( * `  C
)  x.  ( A 
.ih  A ) ) )  +  ( B 
.ih  B ) )  +  ( ( C  x.  ( ( T `
 A )  .ih  ( T `  B ) ) )  +  ( * `  ( C  x.  ( ( T `
 A )  .ih  ( T `  B ) ) ) ) ) )  =  ( ( ( C  x.  (
( * `  C
)  x.  ( A 
.ih  A ) ) )  +  ( B 
.ih  B ) )  +  ( ( C  x.  ( A  .ih  B ) )  +  ( * `  ( C  x.  ( A  .ih  B ) ) ) ) )
13561, 62addcli 9029 . . . . . 6  |-  ( ( C  x.  ( ( * `  C )  x.  ( A  .ih  A ) ) )  +  ( B  .ih  B
) )  e.  CC
13611, 57addcli 9029 . . . . . 6  |-  ( ( C  x.  ( ( T `  A ) 
.ih  ( T `  B ) ) )  +  ( * `  ( C  x.  (
( T `  A
)  .ih  ( T `  B ) ) ) ) )  e.  CC
13715, 63addcli 9029 . . . . . 6  |-  ( ( C  x.  ( A 
.ih  B ) )  +  ( * `  ( C  x.  ( A  .ih  B ) ) ) )  e.  CC
138135, 136, 137addcani 9193 . . . . 5  |-  ( ( ( ( C  x.  ( ( * `  C )  x.  ( A  .ih  A ) ) )  +  ( B 
.ih  B ) )  +  ( ( C  x.  ( ( T `
 A )  .ih  ( T `  B ) ) )  +  ( * `  ( C  x.  ( ( T `
 A )  .ih  ( T `  B ) ) ) ) ) )  =  ( ( ( C  x.  (
( * `  C
)  x.  ( A 
.ih  A ) ) )  +  ( B 
.ih  B ) )  +  ( ( C  x.  ( A  .ih  B ) )  +  ( * `  ( C  x.  ( A  .ih  B ) ) ) ) )  <->  ( ( C  x.  ( ( T `
 A )  .ih  ( T `  B ) ) )  +  ( * `  ( C  x.  ( ( T `
 A )  .ih  ( T `  B ) ) ) ) )  =  ( ( C  x.  ( A  .ih  B ) )  +  ( * `  ( C  x.  ( A  .ih  B ) ) ) ) )
139134, 138mpbi 200 . . . 4  |-  ( ( C  x.  ( ( T `  A ) 
.ih  ( T `  B ) ) )  +  ( * `  ( C  x.  (
( T `  A
)  .ih  ( T `  B ) ) ) ) )  =  ( ( C  x.  ( A  .ih  B ) )  +  ( * `  ( C  x.  ( A  .ih  B ) ) ) )
140139oveq1i 6032 . . 3  |-  ( ( ( C  x.  (
( T `  A
)  .ih  ( T `  B ) ) )  +  ( * `  ( C  x.  (
( T `  A
)  .ih  ( T `  B ) ) ) ) )  /  2
)  =  ( ( ( C  x.  ( A  .ih  B ) )  +  ( * `  ( C  x.  ( A  .ih  B ) ) ) )  /  2
)
14117, 140eqtr4i 2412 . 2  |-  ( Re
`  ( C  x.  ( A  .ih  B ) ) )  =  ( ( ( C  x.  ( ( T `  A )  .ih  ( T `  B )
) )  +  ( * `  ( C  x.  ( ( T `
 A )  .ih  ( T `  B ) ) ) ) )  /  2 )
14213, 141eqtr4i 2412 1  |-  ( Re
`  ( C  x.  ( ( T `  A )  .ih  ( T `  B )
) ) )  =  ( Re `  ( C  x.  ( A  .ih  B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1649    e. wcel 1717   A.wral 2651   ` cfv 5396  (class class class)co 6022   CCcc 8923    + caddc 8928    x. cmul 8930    / cdiv 9611   2c2 9983   ^cexp 11311   *ccj 11830   Recre 11831   ~Hchil 22272    +h cva 22273    .h csm 22274    .ih csp 22275   normhcno 22276   LinOpclo 22300
This theorem is referenced by:  lnopunilem2  23364
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2370  ax-sep 4273  ax-nul 4281  ax-pow 4320  ax-pr 4346  ax-un 4643  ax-cnex 8981  ax-resscn 8982  ax-1cn 8983  ax-icn 8984  ax-addcl 8985  ax-addrcl 8986  ax-mulcl 8987  ax-mulrcl 8988  ax-mulcom 8989  ax-addass 8990  ax-mulass 8991  ax-distr 8992  ax-i2m1 8993  ax-1ne0 8994  ax-1rid 8995  ax-rnegex 8996  ax-rrecex 8997  ax-cnre 8998  ax-pre-lttri 8999  ax-pre-lttrn 9000  ax-pre-ltadd 9001  ax-pre-mulgt0 9002  ax-pre-sup 9003  ax-hilex 22352  ax-hfvadd 22353  ax-hv0cl 22356  ax-hfvmul 22358  ax-hvmul0 22363  ax-hfi 22431  ax-his1 22434  ax-his2 22435  ax-his3 22436  ax-his4 22437
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2376  df-cleq 2382  df-clel 2385  df-nfc 2514  df-ne 2554  df-nel 2555  df-ral 2656  df-rex 2657  df-reu 2658  df-rmo 2659  df-rab 2660  df-v 2903  df-sbc 3107  df-csb 3197  df-dif 3268  df-un 3270  df-in 3272  df-ss 3279  df-pss 3281  df-nul 3574  df-if 3685  df-pw 3746  df-sn 3765  df-pr 3766  df-tp 3767  df-op 3768  df-uni 3960  df-iun 4039  df-br 4156  df-opab 4210  df-mpt 4211  df-tr 4246  df-eprel 4437  df-id 4441  df-po 4446  df-so 4447  df-fr 4484  df-we 4486  df-ord 4527  df-on 4528  df-lim 4529  df-suc 4530  df-om 4788  df-xp 4826  df-rel 4827  df-cnv 4828  df-co 4829  df-dm 4830  df-rn 4831  df-res 4832  df-ima 4833  df-iota 5360  df-fun 5398  df-fn 5399  df-f 5400  df-f1 5401  df-fo 5402  df-f1o 5403  df-fv 5404  df-ov 6025  df-oprab 6026  df-mpt2 6027  df-2nd 6291  df-riota 6487  df-recs 6571  df-rdg 6606  df-er 6843  df-map 6958  df-en 7048  df-dom 7049  df-sdom 7050  df-sup 7383  df-pnf 9057  df-mnf 9058  df-xr 9059  df-ltxr 9060  df-le 9061  df-sub 9227  df-neg 9228  df-div 9612  df-nn 9935  df-2 9992  df-3 9993  df-n0 10156  df-z 10217  df-uz 10423  df-rp 10547  df-seq 11253  df-exp 11312  df-cj 11833  df-re 11834  df-im 11835  df-sqr 11969  df-hnorm 22321  df-lnop 23194
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