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Theorem lnopunilem1 22606
Description: Lemma for lnopunii 22608. (Contributed by NM, 14-May-2005.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
lnopunilem.1  |-  T  e. 
LinOp
lnopunilem.2  |-  A. x  e.  ~H  ( normh `  ( T `  x )
)  =  ( normh `  x )
lnopunilem.3  |-  A  e. 
~H
lnopunilem.4  |-  B  e. 
~H
lnopunilem1.5  |-  C  e.  CC
Assertion
Ref Expression
lnopunilem1  |-  ( Re
`  ( C  x.  ( ( T `  A )  .ih  ( T `  B )
) ) )  =  ( Re `  ( C  x.  ( A  .ih  B ) ) )
Distinct variable group:    x, T
Allowed substitution hints:    A( x)    B( x)    C( x)

Proof of Theorem lnopunilem1
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lnopunilem1.5 . . . 4  |-  C  e.  CC
2 lnopunilem.3 . . . . . 6  |-  A  e. 
~H
3 lnopunilem.1 . . . . . . . 8  |-  T  e. 
LinOp
43lnopfi 22565 . . . . . . 7  |-  T : ~H
--> ~H
54ffvelrni 5680 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ~H  ->  ( T `  A )  e.  ~H )
62, 5ax-mp 8 . . . . 5  |-  ( T `
 A )  e. 
~H
7 lnopunilem.4 . . . . . 6  |-  B  e. 
~H
84ffvelrni 5680 . . . . . 6  |-  ( B  e.  ~H  ->  ( T `  B )  e.  ~H )
97, 8ax-mp 8 . . . . 5  |-  ( T `
 B )  e. 
~H
106, 9hicli 21676 . . . 4  |-  ( ( T `  A ) 
.ih  ( T `  B ) )  e.  CC
111, 10mulcli 8858 . . 3  |-  ( C  x.  ( ( T `
 A )  .ih  ( T `  B ) ) )  e.  CC
12 reval 11607 . . 3  |-  ( ( C  x.  ( ( T `  A ) 
.ih  ( T `  B ) ) )  e.  CC  ->  (
Re `  ( C  x.  ( ( T `  A )  .ih  ( T `  B )
) ) )  =  ( ( ( C  x.  ( ( T `
 A )  .ih  ( T `  B ) ) )  +  ( * `  ( C  x.  ( ( T `
 A )  .ih  ( T `  B ) ) ) ) )  /  2 ) )
1311, 12ax-mp 8 . 2  |-  ( Re
`  ( C  x.  ( ( T `  A )  .ih  ( T `  B )
) ) )  =  ( ( ( C  x.  ( ( T `
 A )  .ih  ( T `  B ) ) )  +  ( * `  ( C  x.  ( ( T `
 A )  .ih  ( T `  B ) ) ) ) )  /  2 )
142, 7hicli 21676 . . . . 5  |-  ( A 
.ih  B )  e.  CC
151, 14mulcli 8858 . . . 4  |-  ( C  x.  ( A  .ih  B ) )  e.  CC
16 reval 11607 . . . 4  |-  ( ( C  x.  ( A 
.ih  B ) )  e.  CC  ->  (
Re `  ( C  x.  ( A  .ih  B
) ) )  =  ( ( ( C  x.  ( A  .ih  B ) )  +  ( * `  ( C  x.  ( A  .ih  B ) ) ) )  /  2 ) )
1715, 16ax-mp 8 . . 3  |-  ( Re
`  ( C  x.  ( A  .ih  B ) ) )  =  ( ( ( C  x.  ( A  .ih  B ) )  +  ( * `
 ( C  x.  ( A  .ih  B ) ) ) )  / 
2 )
18 lnopunilem.2 . . . . . . . . . . . . 13  |-  A. x  e.  ~H  ( normh `  ( T `  x )
)  =  ( normh `  x )
19 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  y  ->  ( T `  x )  =  ( T `  y ) )
2019fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  y  ->  ( normh `  ( T `  x ) )  =  ( normh `  ( T `  y ) ) )
21 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  y  ->  ( normh `  x )  =  ( normh `  y )
)
2220, 21eqeq12d 2310 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  y  ->  (
( normh `  ( T `  x ) )  =  ( normh `  x )  <->  (
normh `  ( T `  y ) )  =  ( normh `  y )
) )
2322cbvralv 2777 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. x  e.  ~H  ( normh `  ( T `  x ) )  =  ( normh `  x )  <->  A. y  e.  ~H  ( normh `  ( T `  y ) )  =  ( normh `  y )
)
2418, 23mpbi 199 . . . . . . . . . . . 12  |-  A. y  e.  ~H  ( normh `  ( T `  y )
)  =  ( normh `  y )
25 oveq1 5881 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
normh `  ( T `  y ) )  =  ( normh `  y )  ->  ( ( normh `  ( T `  y )
) ^ 2 )  =  ( ( normh `  y ) ^ 2 ) )
264ffvelrni 5680 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  e.  ~H  ->  ( T `  y )  e.  ~H )
27 normsq 21729 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( T `  y )  e.  ~H  ->  (
( normh `  ( T `  y ) ) ^
2 )  =  ( ( T `  y
)  .ih  ( T `  y ) ) )
2826, 27syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  ~H  ->  (
( normh `  ( T `  y ) ) ^
2 )  =  ( ( T `  y
)  .ih  ( T `  y ) ) )
29 normsq 21729 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  ~H  ->  (
( normh `  y ) ^ 2 )  =  ( y  .ih  y
) )
3028, 29eqeq12d 2310 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  ~H  ->  (
( ( normh `  ( T `  y )
) ^ 2 )  =  ( ( normh `  y ) ^ 2 )  <->  ( ( T `
 y )  .ih  ( T `  y ) )  =  ( y 
.ih  y ) ) )
3125, 30syl5ib 210 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  ~H  ->  (
( normh `  ( T `  y ) )  =  ( normh `  y )  ->  ( ( T `  y )  .ih  ( T `  y )
)  =  ( y 
.ih  y ) ) )
3231ralimia 2629 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. y  e.  ~H  ( normh `  ( T `  y ) )  =  ( normh `  y )  ->  A. y  e.  ~H  ( ( T `  y )  .ih  ( T `  y )
)  =  ( y 
.ih  y ) )
3324, 32ax-mp 8 . . . . . . . . . . 11  |-  A. y  e.  ~H  ( ( T `
 y )  .ih  ( T `  y ) )  =  ( y 
.ih  y )
34 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  A  ->  ( T `  y )  =  ( T `  A ) )
3534, 34oveq12d 5892 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  A  ->  (
( T `  y
)  .ih  ( T `  y ) )  =  ( ( T `  A )  .ih  ( T `  A )
) )
36 id 19 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  A  ->  y  =  A )
3736, 36oveq12d 5892 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  A  ->  (
y  .ih  y )  =  ( A  .ih  A ) )
3835, 37eqeq12d 2310 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  A  ->  (
( ( T `  y )  .ih  ( T `  y )
)  =  ( y 
.ih  y )  <->  ( ( T `  A )  .ih  ( T `  A
) )  =  ( A  .ih  A ) ) )
3938rspcv 2893 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  ~H  ->  ( A. y  e.  ~H  ( ( T `  y )  .ih  ( T `  y )
)  =  ( y 
.ih  y )  -> 
( ( T `  A )  .ih  ( T `  A )
)  =  ( A 
.ih  A ) ) )
402, 33, 39mp2 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T `  A ) 
.ih  ( T `  A ) )  =  ( A  .ih  A
)
4140oveq2i 5885 . . . . . . . . 9  |-  ( ( * `  C )  x.  ( ( T `
 A )  .ih  ( T `  A ) ) )  =  ( ( * `  C
)  x.  ( A 
.ih  A ) )
4241oveq2i 5885 . . . . . . . 8  |-  ( C  x.  ( ( * `
 C )  x.  ( ( T `  A )  .ih  ( T `  A )
) ) )  =  ( C  x.  (
( * `  C
)  x.  ( A 
.ih  A ) ) )
43 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  B  ->  ( T `  y )  =  ( T `  B ) )
4443, 43oveq12d 5892 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  B  ->  (
( T `  y
)  .ih  ( T `  y ) )  =  ( ( T `  B )  .ih  ( T `  B )
) )
45 id 19 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  B  ->  y  =  B )
4645, 45oveq12d 5892 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  B  ->  (
y  .ih  y )  =  ( B  .ih  B ) )
4744, 46eqeq12d 2310 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  B  ->  (
( ( T `  y )  .ih  ( T `  y )
)  =  ( y 
.ih  y )  <->  ( ( T `  B )  .ih  ( T `  B
) )  =  ( B  .ih  B ) ) )
4847rspcv 2893 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  ~H  ->  ( A. y  e.  ~H  ( ( T `  y )  .ih  ( T `  y )
)  =  ( y 
.ih  y )  -> 
( ( T `  B )  .ih  ( T `  B )
)  =  ( B 
.ih  B ) ) )
497, 33, 48mp2 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( T `  B ) 
.ih  ( T `  B ) )  =  ( B  .ih  B
)
5042, 49oveq12i 5886 . . . . . . 7  |-  ( ( C  x.  ( ( * `  C )  x.  ( ( T `
 A )  .ih  ( T `  A ) ) ) )  +  ( ( T `  B )  .ih  ( T `  B )
) )  =  ( ( C  x.  (
( * `  C
)  x.  ( A 
.ih  A ) ) )  +  ( B 
.ih  B ) )
5150oveq1i 5884 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  x.  (
( * `  C
)  x.  ( ( T `  A ) 
.ih  ( T `  A ) ) ) )  +  ( ( T `  B ) 
.ih  ( T `  B ) ) )  +  ( ( C  x.  ( ( T `
 A )  .ih  ( T `  B ) ) )  +  ( * `  ( C  x.  ( ( T `
 A )  .ih  ( T `  B ) ) ) ) ) )  =  ( ( ( C  x.  (
( * `  C
)  x.  ( A 
.ih  A ) ) )  +  ( B 
.ih  B ) )  +  ( ( C  x.  ( ( T `
 A )  .ih  ( T `  B ) ) )  +  ( * `  ( C  x.  ( ( T `
 A )  .ih  ( T `  B ) ) ) ) ) )
521cjcli 11670 . . . . . . . . . 10  |-  ( * `
 C )  e.  CC
536, 6hicli 21676 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T `  A ) 
.ih  ( T `  A ) )  e.  CC
5452, 53mulcli 8858 . . . . . . . . 9  |-  ( ( * `  C )  x.  ( ( T `
 A )  .ih  ( T `  A ) ) )  e.  CC
551, 54mulcli 8858 . . . . . . . 8  |-  ( C  x.  ( ( * `
 C )  x.  ( ( T `  A )  .ih  ( T `  A )
) ) )  e.  CC
569, 9hicli 21676 . . . . . . . 8  |-  ( ( T `  B ) 
.ih  ( T `  B ) )  e.  CC
5711cjcli 11670 . . . . . . . 8  |-  ( * `
 ( C  x.  ( ( T `  A )  .ih  ( T `  B )
) ) )  e.  CC
5855, 56, 11, 57add42i 9048 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C  x.  (
( * `  C
)  x.  ( ( T `  A ) 
.ih  ( T `  A ) ) ) )  +  ( ( T `  B ) 
.ih  ( T `  B ) ) )  +  ( ( C  x.  ( ( T `
 A )  .ih  ( T `  B ) ) )  +  ( * `  ( C  x.  ( ( T `
 A )  .ih  ( T `  B ) ) ) ) ) )  =  ( ( ( C  x.  (
( * `  C
)  x.  ( ( T `  A ) 
.ih  ( T `  A ) ) ) )  +  ( C  x.  ( ( T `
 A )  .ih  ( T `  B ) ) ) )  +  ( ( * `  ( C  x.  (
( T `  A
)  .ih  ( T `  B ) ) ) )  +  ( ( T `  B ) 
.ih  ( T `  B ) ) ) )
592, 2hicli 21676 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A 
.ih  A )  e.  CC
6052, 59mulcli 8858 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( * `  C )  x.  ( A  .ih  A ) )  e.  CC
611, 60mulcli 8858 . . . . . . . . 9  |-  ( C  x.  ( ( * `
 C )  x.  ( A  .ih  A
) ) )  e.  CC
627, 7hicli 21676 . . . . . . . . 9  |-  ( B 
.ih  B )  e.  CC
6315cjcli 11670 . . . . . . . . 9  |-  ( * `
 ( C  x.  ( A  .ih  B ) ) )  e.  CC
6461, 62, 15, 63add42i 9048 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( C  x.  (
( * `  C
)  x.  ( A 
.ih  A ) ) )  +  ( B 
.ih  B ) )  +  ( ( C  x.  ( A  .ih  B ) )  +  ( * `  ( C  x.  ( A  .ih  B ) ) ) ) )  =  ( ( ( C  x.  (
( * `  C
)  x.  ( A 
.ih  A ) ) )  +  ( C  x.  ( A  .ih  B ) ) )  +  ( ( * `  ( C  x.  ( A  .ih  B ) ) )  +  ( B 
.ih  B ) ) )
651, 2hvmulcli 21610 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( C  .h  A )  e. 
~H
6665, 7hvaddcli 21614 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( C  .h  A )  +h  B )  e. 
~H
67 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  ( ( C  .h  A )  +h  B )  ->  ( T `  y )  =  ( T `  ( ( C  .h  A )  +h  B
) ) )
6867, 67oveq12d 5892 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  ( ( C  .h  A )  +h  B )  ->  (
( T `  y
)  .ih  ( T `  y ) )  =  ( ( T `  ( ( C  .h  A )  +h  B
) )  .ih  ( T `  ( ( C  .h  A )  +h  B ) ) ) )
69 id 19 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  ( ( C  .h  A )  +h  B )  ->  y  =  ( ( C  .h  A )  +h  B ) )
7069, 69oveq12d 5892 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  ( ( C  .h  A )  +h  B )  ->  (
y  .ih  y )  =  ( ( ( C  .h  A )  +h  B )  .ih  ( ( C  .h  A )  +h  B
) ) )
7168, 70eqeq12d 2310 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  ( ( C  .h  A )  +h  B )  ->  (
( ( T `  y )  .ih  ( T `  y )
)  =  ( y 
.ih  y )  <->  ( ( T `  ( ( C  .h  A )  +h  B ) )  .ih  ( T `  ( ( C  .h  A )  +h  B ) ) )  =  ( ( ( C  .h  A
)  +h  B ) 
.ih  ( ( C  .h  A )  +h  B ) ) ) )
7271rspcv 2893 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( C  .h  A
)  +h  B )  e.  ~H  ->  ( A. y  e.  ~H  ( ( T `  y )  .ih  ( T `  y )
)  =  ( y 
.ih  y )  -> 
( ( T `  ( ( C  .h  A )  +h  B
) )  .ih  ( T `  ( ( C  .h  A )  +h  B ) ) )  =  ( ( ( C  .h  A )  +h  B )  .ih  ( ( C  .h  A )  +h  B
) ) ) )
7366, 33, 72mp2 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T `  ( ( C  .h  A )  +h  B ) ) 
.ih  ( T `  ( ( C  .h  A )  +h  B
) ) )  =  ( ( ( C  .h  A )  +h  B )  .ih  (
( C  .h  A
)  +h  B ) )
74 ax-his2 21678 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( C  .h  A
)  e.  ~H  /\  B  e.  ~H  /\  (
( C  .h  A
)  +h  B )  e.  ~H )  -> 
( ( ( C  .h  A )  +h  B )  .ih  (
( C  .h  A
)  +h  B ) )  =  ( ( ( C  .h  A
)  .ih  ( ( C  .h  A )  +h  B ) )  +  ( B  .ih  (
( C  .h  A
)  +h  B ) ) ) )
7565, 7, 66, 74mp3an 1277 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( C  .h  A
)  +h  B ) 
.ih  ( ( C  .h  A )  +h  B ) )  =  ( ( ( C  .h  A )  .ih  ( ( C  .h  A )  +h  B
) )  +  ( B  .ih  ( ( C  .h  A )  +h  B ) ) )
76 ax-his3 21679 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( C  e.  CC  /\  A  e.  ~H  /\  (
( C  .h  A
)  +h  B )  e.  ~H )  -> 
( ( C  .h  A )  .ih  (
( C  .h  A
)  +h  B ) )  =  ( C  x.  ( A  .ih  ( ( C  .h  A )  +h  B
) ) ) )
771, 2, 66, 76mp3an 1277 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( C  .h  A ) 
.ih  ( ( C  .h  A )  +h  B ) )  =  ( C  x.  ( A  .ih  ( ( C  .h  A )  +h  B ) ) )
78 his7 21685 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  ( C  .h  A
)  e.  ~H  /\  B  e.  ~H )  ->  ( A  .ih  (
( C  .h  A
)  +h  B ) )  =  ( ( A  .ih  ( C  .h  A ) )  +  ( A  .ih  B ) ) )
792, 65, 7, 78mp3an 1277 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A 
.ih  ( ( C  .h  A )  +h  B ) )  =  ( ( A  .ih  ( C  .h  A
) )  +  ( A  .ih  B ) )
80 his5 21681 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( C  e.  CC  /\  A  e.  ~H  /\  A  e.  ~H )  ->  ( A  .ih  ( C  .h  A ) )  =  ( ( * `  C )  x.  ( A  .ih  A ) ) )
811, 2, 2, 80mp3an 1277 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A 
.ih  ( C  .h  A ) )  =  ( ( * `  C )  x.  ( A  .ih  A ) )
8281oveq1i 5884 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  .ih  ( C  .h  A ) )  +  ( A  .ih  B ) )  =  ( ( ( * `  C )  x.  ( A  .ih  A ) )  +  ( A  .ih  B ) )
8379, 82eqtri 2316 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A 
.ih  ( ( C  .h  A )  +h  B ) )  =  ( ( ( * `
 C )  x.  ( A  .ih  A
) )  +  ( A  .ih  B ) )
8483oveq2i 5885 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( C  x.  ( A  .ih  ( ( C  .h  A )  +h  B
) ) )  =  ( C  x.  (
( ( * `  C )  x.  ( A  .ih  A ) )  +  ( A  .ih  B ) ) )
851, 60, 14adddii 8863 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( C  x.  ( ( ( * `  C )  x.  ( A  .ih  A ) )  +  ( A  .ih  B ) ) )  =  ( ( C  x.  (
( * `  C
)  x.  ( A 
.ih  A ) ) )  +  ( C  x.  ( A  .ih  B ) ) )
8677, 84, 853eqtri 2320 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( C  .h  A ) 
.ih  ( ( C  .h  A )  +h  B ) )  =  ( ( C  x.  ( ( * `  C )  x.  ( A  .ih  A ) ) )  +  ( C  x.  ( A  .ih  B ) ) )
87 his7 21685 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( B  e.  ~H  /\  ( C  .h  A
)  e.  ~H  /\  B  e.  ~H )  ->  ( B  .ih  (
( C  .h  A
)  +h  B ) )  =  ( ( B  .ih  ( C  .h  A ) )  +  ( B  .ih  B ) ) )
887, 65, 7, 87mp3an 1277 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B 
.ih  ( ( C  .h  A )  +h  B ) )  =  ( ( B  .ih  ( C  .h  A
) )  +  ( B  .ih  B ) )
89 his5 21681 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( C  e.  CC  /\  B  e.  ~H  /\  A  e.  ~H )  ->  ( B  .ih  ( C  .h  A ) )  =  ( ( * `  C )  x.  ( B  .ih  A ) ) )
901, 7, 2, 89mp3an 1277 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( B 
.ih  ( C  .h  A ) )  =  ( ( * `  C )  x.  ( B  .ih  A ) )
911, 14cjmuli 11690 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( * `
 ( C  x.  ( A  .ih  B ) ) )  =  ( ( * `  C
)  x.  ( * `
 ( A  .ih  B ) ) )
927, 2his1i 21695 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( B 
.ih  A )  =  ( * `  ( A  .ih  B ) )
9392oveq2i 5885 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( * `  C )  x.  ( B  .ih  A ) )  =  ( ( * `  C
)  x.  ( * `
 ( A  .ih  B ) ) )
9491, 93eqtr4i 2319 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( * `
 ( C  x.  ( A  .ih  B ) ) )  =  ( ( * `  C
)  x.  ( B 
.ih  A ) )
9590, 94eqtr4i 2319 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( B 
.ih  ( C  .h  A ) )  =  ( * `  ( C  x.  ( A  .ih  B ) ) )
9695oveq1i 5884 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B  .ih  ( C  .h  A ) )  +  ( B  .ih  B ) )  =  ( ( * `  ( C  x.  ( A  .ih  B ) ) )  +  ( B  .ih  B ) )
9788, 96eqtri 2316 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B 
.ih  ( ( C  .h  A )  +h  B ) )  =  ( ( * `  ( C  x.  ( A  .ih  B ) ) )  +  ( B 
.ih  B ) )
9886, 97oveq12i 5886 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( C  .h  A
)  .ih  ( ( C  .h  A )  +h  B ) )  +  ( B  .ih  (
( C  .h  A
)  +h  B ) ) )  =  ( ( ( C  x.  ( ( * `  C )  x.  ( A  .ih  A ) ) )  +  ( C  x.  ( A  .ih  B ) ) )  +  ( ( * `  ( C  x.  ( A  .ih  B ) ) )  +  ( B 
.ih  B ) ) )
9973, 75, 983eqtrri 2321 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( C  x.  (
( * `  C
)  x.  ( A 
.ih  A ) ) )  +  ( C  x.  ( A  .ih  B ) ) )  +  ( ( * `  ( C  x.  ( A  .ih  B ) ) )  +  ( B 
.ih  B ) ) )  =  ( ( T `  ( ( C  .h  A )  +h  B ) ) 
.ih  ( T `  ( ( C  .h  A )  +h  B
) ) )
1003lnopli 22564 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( C  e.  CC  /\  A  e.  ~H  /\  B  e.  ~H )  ->  ( T `  ( ( C  .h  A )  +h  B ) )  =  ( ( C  .h  ( T `  A ) )  +h  ( T `
 B ) ) )
1011, 2, 7, 100mp3an 1277 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T `
 ( ( C  .h  A )  +h  B ) )  =  ( ( C  .h  ( T `  A ) )  +h  ( T `
 B ) )
102101, 101oveq12i 5886 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T `  ( ( C  .h  A )  +h  B ) ) 
.ih  ( T `  ( ( C  .h  A )  +h  B
) ) )  =  ( ( ( C  .h  ( T `  A ) )  +h  ( T `  B
) )  .ih  (
( C  .h  ( T `  A )
)  +h  ( T `
 B ) ) )
1031, 6hvmulcli 21610 . . . . . . . . . . 11  |-  ( C  .h  ( T `  A ) )  e. 
~H
104103, 9hvaddcli 21614 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( C  .h  ( T `
 A ) )  +h  ( T `  B ) )  e. 
~H
105 ax-his2 21678 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( C  .h  ( T `  A )
)  e.  ~H  /\  ( T `  B )  e.  ~H  /\  (
( C  .h  ( T `  A )
)  +h  ( T `
 B ) )  e.  ~H )  -> 
( ( ( C  .h  ( T `  A ) )  +h  ( T `  B
) )  .ih  (
( C  .h  ( T `  A )
)  +h  ( T `
 B ) ) )  =  ( ( ( C  .h  ( T `  A )
)  .ih  ( ( C  .h  ( T `  A ) )  +h  ( T `  B
) ) )  +  ( ( T `  B )  .ih  (
( C  .h  ( T `  A )
)  +h  ( T `
 B ) ) ) ) )
106103, 9, 104, 105mp3an 1277 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( C  .h  ( T `  A )
)  +h  ( T `
 B ) ) 
.ih  ( ( C  .h  ( T `  A ) )  +h  ( T `  B
) ) )  =  ( ( ( C  .h  ( T `  A ) )  .ih  ( ( C  .h  ( T `  A ) )  +h  ( T `
 B ) ) )  +  ( ( T `  B ) 
.ih  ( ( C  .h  ( T `  A ) )  +h  ( T `  B
) ) ) )
107102, 106eqtri 2316 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T `  ( ( C  .h  A )  +h  B ) ) 
.ih  ( T `  ( ( C  .h  A )  +h  B
) ) )  =  ( ( ( C  .h  ( T `  A ) )  .ih  ( ( C  .h  ( T `  A ) )  +h  ( T `
 B ) ) )  +  ( ( T `  B ) 
.ih  ( ( C  .h  ( T `  A ) )  +h  ( T `  B
) ) ) )
108 ax-his3 21679 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( C  e.  CC  /\  ( T `  A )  e.  ~H  /\  (
( C  .h  ( T `  A )
)  +h  ( T `
 B ) )  e.  ~H )  -> 
( ( C  .h  ( T `  A ) )  .ih  ( ( C  .h  ( T `
 A ) )  +h  ( T `  B ) ) )  =  ( C  x.  ( ( T `  A )  .ih  (
( C  .h  ( T `  A )
)  +h  ( T `
 B ) ) ) ) )
1091, 6, 104, 108mp3an 1277 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( C  .h  ( T `
 A ) ) 
.ih  ( ( C  .h  ( T `  A ) )  +h  ( T `  B
) ) )  =  ( C  x.  (
( T `  A
)  .ih  ( ( C  .h  ( T `  A ) )  +h  ( T `  B
) ) ) )
110 his7 21685 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( T `  A
)  e.  ~H  /\  ( C  .h  ( T `  A )
)  e.  ~H  /\  ( T `  B )  e.  ~H )  -> 
( ( T `  A )  .ih  (
( C  .h  ( T `  A )
)  +h  ( T `
 B ) ) )  =  ( ( ( T `  A
)  .ih  ( C  .h  ( T `  A
) ) )  +  ( ( T `  A )  .ih  ( T `  B )
) ) )
1116, 103, 9, 110mp3an 1277 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T `  A ) 
.ih  ( ( C  .h  ( T `  A ) )  +h  ( T `  B
) ) )  =  ( ( ( T `
 A )  .ih  ( C  .h  ( T `  A )
) )  +  ( ( T `  A
)  .ih  ( T `  B ) ) )
112 his5 21681 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( C  e.  CC  /\  ( T `  A )  e.  ~H  /\  ( T `  A )  e.  ~H )  ->  (
( T `  A
)  .ih  ( C  .h  ( T `  A
) ) )  =  ( ( * `  C )  x.  (
( T `  A
)  .ih  ( T `  A ) ) ) )
1131, 6, 6, 112mp3an 1277 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( T `  A ) 
.ih  ( C  .h  ( T `  A ) ) )  =  ( ( * `  C
)  x.  ( ( T `  A ) 
.ih  ( T `  A ) ) )
114113oveq1i 5884 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( T `  A
)  .ih  ( C  .h  ( T `  A
) ) )  +  ( ( T `  A )  .ih  ( T `  B )
) )  =  ( ( ( * `  C )  x.  (
( T `  A
)  .ih  ( T `  A ) ) )  +  ( ( T `
 A )  .ih  ( T `  B ) ) )
115111, 114eqtri 2316 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T `  A ) 
.ih  ( ( C  .h  ( T `  A ) )  +h  ( T `  B
) ) )  =  ( ( ( * `
 C )  x.  ( ( T `  A )  .ih  ( T `  A )
) )  +  ( ( T `  A
)  .ih  ( T `  B ) ) )
116115oveq2i 5885 . . . . . . . . . . 11  |-  ( C  x.  ( ( T `
 A )  .ih  ( ( C  .h  ( T `  A ) )  +h  ( T `
 B ) ) ) )  =  ( C  x.  ( ( ( * `  C
)  x.  ( ( T `  A ) 
.ih  ( T `  A ) ) )  +  ( ( T `
 A )  .ih  ( T `  B ) ) ) )
1171, 54, 10adddii 8863 . . . . . . . . . . 11  |-  ( C  x.  ( ( ( * `  C )  x.  ( ( T `
 A )  .ih  ( T `  A ) ) )  +  ( ( T `  A
)  .ih  ( T `  B ) ) ) )  =  ( ( C  x.  ( ( * `  C )  x.  ( ( T `
 A )  .ih  ( T `  A ) ) ) )  +  ( C  x.  (
( T `  A
)  .ih  ( T `  B ) ) ) )
118109, 116, 1173eqtri 2320 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( C  .h  ( T `
 A ) ) 
.ih  ( ( C  .h  ( T `  A ) )  +h  ( T `  B
) ) )  =  ( ( C  x.  ( ( * `  C )  x.  (
( T `  A
)  .ih  ( T `  A ) ) ) )  +  ( C  x.  ( ( T `
 A )  .ih  ( T `  B ) ) ) )
119 his7 21685 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( T `  B
)  e.  ~H  /\  ( C  .h  ( T `  A )
)  e.  ~H  /\  ( T `  B )  e.  ~H )  -> 
( ( T `  B )  .ih  (
( C  .h  ( T `  A )
)  +h  ( T `
 B ) ) )  =  ( ( ( T `  B
)  .ih  ( C  .h  ( T `  A
) ) )  +  ( ( T `  B )  .ih  ( T `  B )
) ) )
1209, 103, 9, 119mp3an 1277 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T `  B ) 
.ih  ( ( C  .h  ( T `  A ) )  +h  ( T `  B
) ) )  =  ( ( ( T `
 B )  .ih  ( C  .h  ( T `  A )
) )  +  ( ( T `  B
)  .ih  ( T `  B ) ) )
121 his5 21681 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( C  e.  CC  /\  ( T `  B )  e.  ~H  /\  ( T `  A )  e.  ~H )  ->  (
( T `  B
)  .ih  ( C  .h  ( T `  A
) ) )  =  ( ( * `  C )  x.  (
( T `  B
)  .ih  ( T `  A ) ) ) )
1221, 9, 6, 121mp3an 1277 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T `  B ) 
.ih  ( C  .h  ( T `  A ) ) )  =  ( ( * `  C
)  x.  ( ( T `  B ) 
.ih  ( T `  A ) ) )
1231, 10cjmuli 11690 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( * `
 ( C  x.  ( ( T `  A )  .ih  ( T `  B )
) ) )  =  ( ( * `  C )  x.  (
* `  ( ( T `  A )  .ih  ( T `  B
) ) ) )
1249, 6his1i 21695 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( T `  B ) 
.ih  ( T `  A ) )  =  ( * `  (
( T `  A
)  .ih  ( T `  B ) ) )
125124oveq2i 5885 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( * `  C )  x.  ( ( T `
 B )  .ih  ( T `  A ) ) )  =  ( ( * `  C
)  x.  ( * `
 ( ( T `
 A )  .ih  ( T `  B ) ) ) )
126123, 125eqtr4i 2319 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( * `
 ( C  x.  ( ( T `  A )  .ih  ( T `  B )
) ) )  =  ( ( * `  C )  x.  (
( T `  B
)  .ih  ( T `  A ) ) )
127122, 126eqtr4i 2319 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T `  B ) 
.ih  ( C  .h  ( T `  A ) ) )  =  ( * `  ( C  x.  ( ( T `
 A )  .ih  ( T `  B ) ) ) )
128127oveq1i 5884 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( T `  B
)  .ih  ( C  .h  ( T `  A
) ) )  +  ( ( T `  B )  .ih  ( T `  B )
) )  =  ( ( * `  ( C  x.  ( ( T `  A )  .ih  ( T `  B
) ) ) )  +  ( ( T `
 B )  .ih  ( T `  B ) ) )
129120, 128eqtri 2316 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T `  B ) 
.ih  ( ( C  .h  ( T `  A ) )  +h  ( T `  B
) ) )  =  ( ( * `  ( C  x.  (
( T `  A
)  .ih  ( T `  B ) ) ) )  +  ( ( T `  B ) 
.ih  ( T `  B ) ) )
130118, 129oveq12i 5886 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( C  .h  ( T `  A )
)  .ih  ( ( C  .h  ( T `  A ) )  +h  ( T `  B
) ) )  +  ( ( T `  B )  .ih  (
( C  .h  ( T `  A )
)  +h  ( T `
 B ) ) ) )  =  ( ( ( C  x.  ( ( * `  C )  x.  (
( T `  A
)  .ih  ( T `  A ) ) ) )  +  ( C  x.  ( ( T `
 A )  .ih  ( T `  B ) ) ) )  +  ( ( * `  ( C  x.  (
( T `  A
)  .ih  ( T `  B ) ) ) )  +  ( ( T `  B ) 
.ih  ( T `  B ) ) ) )
13199, 107, 1303eqtrri 2321 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( C  x.  (
( * `  C
)  x.  ( ( T `  A ) 
.ih  ( T `  A ) ) ) )  +  ( C  x.  ( ( T `
 A )  .ih  ( T `  B ) ) ) )  +  ( ( * `  ( C  x.  (
( T `  A
)  .ih  ( T `  B ) ) ) )  +  ( ( T `  B ) 
.ih  ( T `  B ) ) ) )  =  ( ( ( C  x.  (
( * `  C
)  x.  ( A 
.ih  A ) ) )  +  ( C  x.  ( A  .ih  B ) ) )  +  ( ( * `  ( C  x.  ( A  .ih  B ) ) )  +  ( B 
.ih  B ) ) )
13264, 131eqtr4i 2319 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C  x.  (
( * `  C
)  x.  ( A 
.ih  A ) ) )  +  ( B 
.ih  B ) )  +  ( ( C  x.  ( A  .ih  B ) )  +  ( * `  ( C  x.  ( A  .ih  B ) ) ) ) )  =  ( ( ( C  x.  (
( * `  C
)  x.  ( ( T `  A ) 
.ih  ( T `  A ) ) ) )  +  ( C  x.  ( ( T `
 A )  .ih  ( T `  B ) ) ) )  +  ( ( * `  ( C  x.  (
( T `  A
)  .ih  ( T `  B ) ) ) )  +  ( ( T `  B ) 
.ih  ( T `  B ) ) ) )
13358, 132eqtr4i 2319 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  x.  (
( * `  C
)  x.  ( ( T `  A ) 
.ih  ( T `  A ) ) ) )  +  ( ( T `  B ) 
.ih  ( T `  B ) ) )  +  ( ( C  x.  ( ( T `
 A )  .ih  ( T `  B ) ) )  +  ( * `  ( C  x.  ( ( T `
 A )  .ih  ( T `  B ) ) ) ) ) )  =  ( ( ( C  x.  (
( * `  C
)  x.  ( A 
.ih  A ) ) )  +  ( B 
.ih  B ) )  +  ( ( C  x.  ( A  .ih  B ) )  +  ( * `  ( C  x.  ( A  .ih  B ) ) ) ) )
13451, 133eqtr3i 2318 . . . . 5  |-  ( ( ( C  x.  (
( * `  C
)  x.  ( A 
.ih  A ) ) )  +  ( B 
.ih  B ) )  +  ( ( C  x.  ( ( T `
 A )  .ih  ( T `  B ) ) )  +  ( * `  ( C  x.  ( ( T `
 A )  .ih  ( T `  B ) ) ) ) ) )  =  ( ( ( C  x.  (
( * `  C
)  x.  ( A 
.ih  A ) ) )  +  ( B 
.ih  B ) )  +  ( ( C  x.  ( A  .ih  B ) )  +  ( * `  ( C  x.  ( A  .ih  B ) ) ) ) )
13561, 62addcli 8857 . . . . . 6  |-  ( ( C  x.  ( ( * `  C )  x.  ( A  .ih  A ) ) )  +  ( B  .ih  B
) )  e.  CC
13611, 57addcli 8857 . . . . . 6  |-  ( ( C  x.  ( ( T `  A ) 
.ih  ( T `  B ) ) )  +  ( * `  ( C  x.  (
( T `  A
)  .ih  ( T `  B ) ) ) ) )  e.  CC
13715, 63addcli 8857 . . . . . 6  |-  ( ( C  x.  ( A 
.ih  B ) )  +  ( * `  ( C  x.  ( A  .ih  B ) ) ) )  e.  CC
138135, 136, 137addcani 9021 . . . . 5  |-  ( ( ( ( C  x.  ( ( * `  C )  x.  ( A  .ih  A ) ) )  +  ( B 
.ih  B ) )  +  ( ( C  x.  ( ( T `
 A )  .ih  ( T `  B ) ) )  +  ( * `  ( C  x.  ( ( T `
 A )  .ih  ( T `  B ) ) ) ) ) )  =  ( ( ( C  x.  (
( * `  C
)  x.  ( A 
.ih  A ) ) )  +  ( B 
.ih  B ) )  +  ( ( C  x.  ( A  .ih  B ) )  +  ( * `  ( C  x.  ( A  .ih  B ) ) ) ) )  <->  ( ( C  x.  ( ( T `
 A )  .ih  ( T `  B ) ) )  +  ( * `  ( C  x.  ( ( T `
 A )  .ih  ( T `  B ) ) ) ) )  =  ( ( C  x.  ( A  .ih  B ) )  +  ( * `  ( C  x.  ( A  .ih  B ) ) ) ) )
139134, 138mpbi 199 . . . 4  |-  ( ( C  x.  ( ( T `  A ) 
.ih  ( T `  B ) ) )  +  ( * `  ( C  x.  (
( T `  A
)  .ih  ( T `  B ) ) ) ) )  =  ( ( C  x.  ( A  .ih  B ) )  +  ( * `  ( C  x.  ( A  .ih  B ) ) ) )
140139oveq1i 5884 . . 3  |-  ( ( ( C  x.  (
( T `  A
)  .ih  ( T `  B ) ) )  +  ( * `  ( C  x.  (
( T `  A
)  .ih  ( T `  B ) ) ) ) )  /  2
)  =  ( ( ( C  x.  ( A  .ih  B ) )  +  ( * `  ( C  x.  ( A  .ih  B ) ) ) )  /  2
)
14117, 140eqtr4i 2319 . 2  |-  ( Re
`  ( C  x.  ( A  .ih  B ) ) )  =  ( ( ( C  x.  ( ( T `  A )  .ih  ( T `  B )
) )  +  ( * `  ( C  x.  ( ( T `
 A )  .ih  ( T `  B ) ) ) ) )  /  2 )
14213, 141eqtr4i 2319 1  |-  ( Re
`  ( C  x.  ( ( T `  A )  .ih  ( T `  B )
) ) )  =  ( Re `  ( C  x.  ( A  .ih  B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   CCcc 8751    + caddc 8756    x. cmul 8758    / cdiv 9439   2c2 9811   ^cexp 11120   *ccj 11597   Recre 11598   ~Hchil 21515    +h cva 21516    .h csm 21517    .ih csp 21518   normhcno 21519   LinOpclo 21543
This theorem is referenced by:  lnopunilem2  22607
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831  ax-hilex 21595  ax-hfvadd 21596  ax-hv0cl 21599  ax-hfvmul 21601  ax-hvmul0 21606  ax-hfi 21674  ax-his1 21677  ax-his2 21678  ax-his3 21679  ax-his4 21680
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-sup 7210  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-rp 10371  df-seq 11063  df-exp 11121  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-hnorm 21564  df-lnop 22437
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