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Theorem lnoval 21330
Description: The set of linear operators between two normed complex vector spaces. (Contributed by NM, 6-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
lnoval.1  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
lnoval.2  |-  Y  =  ( BaseSet `  W )
lnoval.3  |-  G  =  ( +v `  U
)
lnoval.4  |-  H  =  ( +v `  W
)
lnoval.5  |-  R  =  ( .s OLD `  U
)
lnoval.6  |-  S  =  ( .s OLD `  W
)
lnoval.7  |-  L  =  ( U  LnOp  W
)
Assertion
Ref Expression
lnoval  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec )  ->  L  =  { t  e.  ( Y  ^m  X )  |  A. x  e.  CC  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( t `  ( ( x R y ) G z ) )  =  ( ( x S ( t `  y ) ) H ( t `
 z ) ) } )
Distinct variable groups:    x, t,
y, z, U    t, W, x, y, z    t, X, y, z    t, Y   
t, G    t, R    t, H    t, S
Allowed substitution hints:    R( x, y, z)    S( x, y, z)    G( x, y, z)    H( x, y, z)    L( x, y, z, t)    X( x)    Y( x, y, z)

Proof of Theorem lnoval
Dummy variables  u  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lnoval.7 . 2  |-  L  =  ( U  LnOp  W
)
2 fveq2 5525 . . . . . 6  |-  ( u  =  U  ->  ( BaseSet
`  u )  =  ( BaseSet `  U )
)
3 lnoval.1 . . . . . 6  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
42, 3syl6eqr 2333 . . . . 5  |-  ( u  =  U  ->  ( BaseSet
`  u )  =  X )
54oveq2d 5874 . . . 4  |-  ( u  =  U  ->  (
( BaseSet `  w )  ^m  ( BaseSet `  u )
)  =  ( (
BaseSet `  w )  ^m  X ) )
6 fveq2 5525 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  =  U  ->  ( +v `  u )  =  ( +v `  U
) )
7 lnoval.3 . . . . . . . . . . 11  |-  G  =  ( +v `  U
)
86, 7syl6eqr 2333 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  =  U  ->  ( +v `  u )  =  G )
9 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  =  U  ->  ( .s OLD `  u )  =  ( .s OLD `  U ) )
10 lnoval.5 . . . . . . . . . . . 12  |-  R  =  ( .s OLD `  U
)
119, 10syl6eqr 2333 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  =  U  ->  ( .s OLD `  u )  =  R )
1211oveqd 5875 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  =  U  ->  (
x ( .s OLD `  u ) y )  =  ( x R y ) )
13 eqidd 2284 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  =  U  ->  z  =  z )
148, 12, 13oveq123d 5879 . . . . . . . . 9  |-  ( u  =  U  ->  (
( x ( .s
OLD `  u )
y ) ( +v
`  u ) z )  =  ( ( x R y ) G z ) )
1514fveq2d 5529 . . . . . . . 8  |-  ( u  =  U  ->  (
t `  ( (
x ( .s OLD `  u ) y ) ( +v `  u
) z ) )  =  ( t `  ( ( x R y ) G z ) ) )
1615eqeq1d 2291 . . . . . . 7  |-  ( u  =  U  ->  (
( t `  (
( x ( .s
OLD `  u )
y ) ( +v
`  u ) z ) )  =  ( ( x ( .s
OLD `  w )
( t `  y
) ) ( +v
`  w ) ( t `  z ) )  <->  ( t `  ( ( x R y ) G z ) )  =  ( ( x ( .s
OLD `  w )
( t `  y
) ) ( +v
`  w ) ( t `  z ) ) ) )
174, 16raleqbidv 2748 . . . . . 6  |-  ( u  =  U  ->  ( A. z  e.  ( BaseSet
`  u ) ( t `  ( ( x ( .s OLD `  u ) y ) ( +v `  u
) z ) )  =  ( ( x ( .s OLD `  w
) ( t `  y ) ) ( +v `  w ) ( t `  z
) )  <->  A. z  e.  X  ( t `  ( ( x R y ) G z ) )  =  ( ( x ( .s
OLD `  w )
( t `  y
) ) ( +v
`  w ) ( t `  z ) ) ) )
184, 17raleqbidv 2748 . . . . 5  |-  ( u  =  U  ->  ( A. y  e.  ( BaseSet
`  u ) A. z  e.  ( BaseSet `  u ) ( t `
 ( ( x ( .s OLD `  u
) y ) ( +v `  u ) z ) )  =  ( ( x ( .s OLD `  w
) ( t `  y ) ) ( +v `  w ) ( t `  z
) )  <->  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( t `  ( ( x R y ) G z ) )  =  ( ( x ( .s
OLD `  w )
( t `  y
) ) ( +v
`  w ) ( t `  z ) ) ) )
1918ralbidv 2563 . . . 4  |-  ( u  =  U  ->  ( A. x  e.  CC  A. y  e.  ( BaseSet `  u ) A. z  e.  ( BaseSet `  u )
( t `  (
( x ( .s
OLD `  u )
y ) ( +v
`  u ) z ) )  =  ( ( x ( .s
OLD `  w )
( t `  y
) ) ( +v
`  w ) ( t `  z ) )  <->  A. x  e.  CC  A. y  e.  X  A. z  e.  X  (
t `  ( (
x R y ) G z ) )  =  ( ( x ( .s OLD `  w
) ( t `  y ) ) ( +v `  w ) ( t `  z
) ) ) )
205, 19rabeqbidv 2783 . . 3  |-  ( u  =  U  ->  { t  e.  ( ( BaseSet `  w )  ^m  ( BaseSet
`  u ) )  |  A. x  e.  CC  A. y  e.  ( BaseSet `  u ) A. z  e.  ( BaseSet
`  u ) ( t `  ( ( x ( .s OLD `  u ) y ) ( +v `  u
) z ) )  =  ( ( x ( .s OLD `  w
) ( t `  y ) ) ( +v `  w ) ( t `  z
) ) }  =  { t  e.  ( ( BaseSet `  w )  ^m  X )  |  A. x  e.  CC  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( t `  ( ( x R y ) G z ) )  =  ( ( x ( .s
OLD `  w )
( t `  y
) ) ( +v
`  w ) ( t `  z ) ) } )
21 fveq2 5525 . . . . . 6  |-  ( w  =  W  ->  ( BaseSet
`  w )  =  ( BaseSet `  W )
)
22 lnoval.2 . . . . . 6  |-  Y  =  ( BaseSet `  W )
2321, 22syl6eqr 2333 . . . . 5  |-  ( w  =  W  ->  ( BaseSet
`  w )  =  Y )
2423oveq1d 5873 . . . 4  |-  ( w  =  W  ->  (
( BaseSet `  w )  ^m  X )  =  ( Y  ^m  X ) )
25 fveq2 5525 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  W  ->  ( +v `  w )  =  ( +v `  W
) )
26 lnoval.4 . . . . . . . . 9  |-  H  =  ( +v `  W
)
2725, 26syl6eqr 2333 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  W  ->  ( +v `  w )  =  H )
28 fveq2 5525 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  W  ->  ( .s OLD `  w )  =  ( .s OLD `  W ) )
29 lnoval.6 . . . . . . . . . 10  |-  S  =  ( .s OLD `  W
)
3028, 29syl6eqr 2333 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  W  ->  ( .s OLD `  w )  =  S )
3130oveqd 5875 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  W  ->  (
x ( .s OLD `  w ) ( t `
 y ) )  =  ( x S ( t `  y
) ) )
32 eqidd 2284 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  W  ->  (
t `  z )  =  ( t `  z ) )
3327, 31, 32oveq123d 5879 . . . . . . 7  |-  ( w  =  W  ->  (
( x ( .s
OLD `  w )
( t `  y
) ) ( +v
`  w ) ( t `  z ) )  =  ( ( x S ( t `
 y ) ) H ( t `  z ) ) )
3433eqeq2d 2294 . . . . . 6  |-  ( w  =  W  ->  (
( t `  (
( x R y ) G z ) )  =  ( ( x ( .s OLD `  w ) ( t `
 y ) ) ( +v `  w
) ( t `  z ) )  <->  ( t `  ( ( x R y ) G z ) )  =  ( ( x S ( t `  y ) ) H ( t `
 z ) ) ) )
35342ralbidv 2585 . . . . 5  |-  ( w  =  W  ->  ( A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( t `  (
( x R y ) G z ) )  =  ( ( x ( .s OLD `  w ) ( t `
 y ) ) ( +v `  w
) ( t `  z ) )  <->  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( t `  ( ( x R y ) G z ) )  =  ( ( x S ( t `  y ) ) H ( t `
 z ) ) ) )
3635ralbidv 2563 . . . 4  |-  ( w  =  W  ->  ( A. x  e.  CC  A. y  e.  X  A. z  e.  X  (
t `  ( (
x R y ) G z ) )  =  ( ( x ( .s OLD `  w
) ( t `  y ) ) ( +v `  w ) ( t `  z
) )  <->  A. x  e.  CC  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( t `  ( ( x R y ) G z ) )  =  ( ( x S ( t `  y ) ) H ( t `
 z ) ) ) )
3724, 36rabeqbidv 2783 . . 3  |-  ( w  =  W  ->  { t  e.  ( ( BaseSet `  w )  ^m  X
)  |  A. x  e.  CC  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( t `  ( ( x R y ) G z ) )  =  ( ( x ( .s
OLD `  w )
( t `  y
) ) ( +v
`  w ) ( t `  z ) ) }  =  {
t  e.  ( Y  ^m  X )  | 
A. x  e.  CC  A. y  e.  X  A. z  e.  X  (
t `  ( (
x R y ) G z ) )  =  ( ( x S ( t `  y ) ) H ( t `  z
) ) } )
38 df-lno 21322 . . 3  |-  LnOp  =  ( u  e.  NrmCVec ,  w  e.  NrmCVec  |->  { t  e.  ( ( BaseSet `  w
)  ^m  ( BaseSet `  u ) )  | 
A. x  e.  CC  A. y  e.  ( BaseSet `  u ) A. z  e.  ( BaseSet `  u )
( t `  (
( x ( .s
OLD `  u )
y ) ( +v
`  u ) z ) )  =  ( ( x ( .s
OLD `  w )
( t `  y
) ) ( +v
`  w ) ( t `  z ) ) } )
39 ovex 5883 . . . 4  |-  ( Y  ^m  X )  e. 
_V
4039rabex 4165 . . 3  |-  { t  e.  ( Y  ^m  X )  |  A. x  e.  CC  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( t `  ( ( x R y ) G z ) )  =  ( ( x S ( t `  y ) ) H ( t `
 z ) ) }  e.  _V
4120, 37, 38, 40ovmpt2 5983 . 2  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec )  ->  ( U  LnOp  W )  =  { t  e.  ( Y  ^m  X )  |  A. x  e.  CC  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( t `  ( ( x R y ) G z ) )  =  ( ( x S ( t `  y ) ) H ( t `
 z ) ) } )
421, 41syl5eq 2327 1  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec )  ->  L  =  { t  e.  ( Y  ^m  X )  |  A. x  e.  CC  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( t `  ( ( x R y ) G z ) )  =  ( ( x S ( t `  y ) ) H ( t `
 z ) ) } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   {crab 2547   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    ^m cmap 6772   CCcc 8735   NrmCVeccnv 21140   +vcpv 21141   BaseSetcba 21142   .s
OLDcns 21143    LnOp clno 21318
This theorem is referenced by:  islno  21331  hhlnoi  22480
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pr 4214
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-lno 21322
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