Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lnoval Structured version   Unicode version

Theorem lnoval 22245
 Description: The set of linear operators between two normed complex vector spaces. (Contributed by NM, 6-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
lnoval.1
lnoval.2
lnoval.3
lnoval.4
lnoval.5
lnoval.6
lnoval.7
Assertion
Ref Expression
lnoval
Distinct variable groups:   ,,,,   ,,,,   ,,,   ,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   (,,)   (,,)   (,,)   (,,)   (,,,)   ()   (,,)

Proof of Theorem lnoval
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lnoval.7 . 2
2 fveq2 5720 . . . . . 6
3 lnoval.1 . . . . . 6
42, 3syl6eqr 2485 . . . . 5
54oveq2d 6089 . . . 4
6 fveq2 5720 . . . . . . . . . . 11
7 lnoval.3 . . . . . . . . . . 11
86, 7syl6eqr 2485 . . . . . . . . . 10
9 fveq2 5720 . . . . . . . . . . . 12
10 lnoval.5 . . . . . . . . . . . 12
119, 10syl6eqr 2485 . . . . . . . . . . 11
1211oveqd 6090 . . . . . . . . . 10
13 eqidd 2436 . . . . . . . . . 10
148, 12, 13oveq123d 6094 . . . . . . . . 9
1514fveq2d 5724 . . . . . . . 8
1615eqeq1d 2443 . . . . . . 7
174, 16raleqbidv 2908 . . . . . 6
184, 17raleqbidv 2908 . . . . 5
1918ralbidv 2717 . . . 4
205, 19rabeqbidv 2943 . . 3
21 fveq2 5720 . . . . . 6
22 lnoval.2 . . . . . 6
2321, 22syl6eqr 2485 . . . . 5
2423oveq1d 6088 . . . 4
25 fveq2 5720 . . . . . . . . 9
26 lnoval.4 . . . . . . . . 9
2725, 26syl6eqr 2485 . . . . . . . 8
28 fveq2 5720 . . . . . . . . . 10
29 lnoval.6 . . . . . . . . . 10
3028, 29syl6eqr 2485 . . . . . . . . 9
3130oveqd 6090 . . . . . . . 8
32 eqidd 2436 . . . . . . . 8
3327, 31, 32oveq123d 6094 . . . . . . 7
3433eqeq2d 2446 . . . . . 6
35342ralbidv 2739 . . . . 5
3635ralbidv 2717 . . . 4
3724, 36rabeqbidv 2943 . . 3
38 df-lno 22237 . . 3
39 ovex 6098 . . . 4
4039rabex 4346 . . 3
4120, 37, 38, 40ovmpt2 6201 . 2
421, 41syl5eq 2479 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 359   wceq 1652   wcel 1725  wral 2697  crab 2701  cfv 5446  (class class class)co 6073   cmap 7010  cc 8980  cnv 22055  cpv 22056  cba 22057  cns 22058   clno 22233 This theorem is referenced by:  islno  22246  hhlnoi  23395 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pr 4395 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-br 4205  df-opab 4259  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-lno 22237
 Copyright terms: Public domain W3C validator