Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lo1add Structured version   Unicode version

 Description: The sum of two eventually upper bounded functions is eventually upper bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 26-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
Assertion
Ref Expression
Distinct variable groups:   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()   ()

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
3 reeanv 2881 . . . 4
4 o1add2.1 . . . . . . . . . . 11
54ralrimiva 2795 . . . . . . . . . 10
6 dmmptg 5396 . . . . . . . . . 10
75, 6syl 16 . . . . . . . . 9
8 lo1dm 12344 . . . . . . . . . 10
91, 8syl 16 . . . . . . . . 9
107, 9eqsstr3d 3369 . . . . . . . 8
1110adantr 453 . . . . . . 7
12 rexanre 12181 . . . . . . 7
1311, 12syl 16 . . . . . 6
14 readdcl 9104 . . . . . . . . 9
1514adantl 454 . . . . . . . 8
164, 1lo1mptrcl 12446 . . . . . . . . . . . 12
1716adantlr 697 . . . . . . . . . . 11
18 o1add2.2 . . . . . . . . . . . . 13
1918, 2lo1mptrcl 12446 . . . . . . . . . . . 12
2019adantlr 697 . . . . . . . . . . 11
21 simplrl 738 . . . . . . . . . . 11
22 simplrr 739 . . . . . . . . . . 11
23 le2add 9541 . . . . . . . . . . 11
2417, 20, 21, 22, 23syl22anc 1186 . . . . . . . . . 10
2524imim2d 51 . . . . . . . . 9
2625ralimdva 2790 . . . . . . . 8
27 breq2 4241 . . . . . . . . . . 11
2827imbi2d 309 . . . . . . . . . 10
2928ralbidv 2731 . . . . . . . . 9
3029rspcev 3058 . . . . . . . 8
3115, 26, 30ee12an 1373 . . . . . . 7
3231reximdv 2823 . . . . . 6
3313, 32sylbird 228 . . . . 5
3433rexlimdvva 2843 . . . 4
353, 34syl5bir 211 . . 3
3610, 16ello1mpt 12346 . . . . 5
37 rexcom 2875 . . . . 5
3836, 37syl6bb 254 . . . 4
3910, 19ello1mpt 12346 . . . . 5
40 rexcom 2875 . . . . 5
4139, 40syl6bb 254 . . . 4
4238, 41anbi12d 693 . . 3
4316, 19readdcld 9146 . . . 4
4410, 43ello1mpt 12346 . . 3
4535, 42, 443imtr4d 261 . 2
461, 2, 45mp2and 662 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 178   wa 360   wceq 1653   wcel 1727  wral 2711  wrex 2712   wss 3306   class class class wbr 4237   cmpt 4291   cdm 4907  (class class class)co 6110  cr 9020   caddc 9024   cle 9152  clo1 12312 This theorem is referenced by:  lo1sub  12455  pntrlog2bndlem4  21305  pntrlog2bndlem5  21306  pntrlog2bndlem6  21308 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1668  ax-8 1689  ax-13 1729  ax-14 1731  ax-6 1746  ax-7 1751  ax-11 1763  ax-12 1953  ax-ext 2423  ax-sep 4355  ax-nul 4363  ax-pow 4406  ax-pr 4432  ax-un 4730  ax-cnex 9077  ax-resscn 9078  ax-1cn 9079  ax-icn 9080  ax-addcl 9081  ax-addrcl 9082  ax-mulcl 9083  ax-mulrcl 9084  ax-mulcom 9085  ax-addass 9086  ax-mulass 9087  ax-distr 9088  ax-i2m1 9089  ax-1ne0 9090  ax-1rid 9091  ax-rnegex 9092  ax-rrecex 9093  ax-cnre 9094  ax-pre-lttri 9095  ax-pre-lttrn 9096  ax-pre-ltadd 9097 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2291  df-mo 2292  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2716  df-rex 2717  df-rab 2720  df-v 2964  df-sbc 3168  df-csb 3268  df-dif 3309  df-un 3311  df-in 3313  df-ss 3320  df-nul 3614  df-if 3764  df-pw 3825  df-sn 3844  df-pr 3845  df-op 3847  df-uni 4040  df-br 4238  df-opab 4292  df-mpt 4293  df-id 4527  df-po 4532  df-so 4533  df-xp 4913  df-rel 4914  df-cnv 4915  df-co 4916  df-dm 4917  df-rn 4918  df-res 4919  df-ima 4920  df-iota 5447  df-fun 5485  df-fn 5486  df-f 5487  df-f1 5488  df-fo 5489  df-f1o 5490  df-fv 5491  df-ov 6113  df-oprab 6114  df-mpt2 6115  df-er 6934  df-pm 7050  df-en 7139  df-dom 7140  df-sdom 7141  df-pnf 9153  df-mnf 9154  df-xr 9155  df-ltxr 9156  df-le 9157  df-ico 10953  df-lo1 12316
 Copyright terms: Public domain W3C validator