MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lo1add Unicode version

Theorem lo1add 12307
Description: The sum of two eventually upper bounded functions is eventually upper bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 26-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
o1add2.1  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  V )
o1add2.2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  V )
lo1add.3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  <_ O ( 1 ) )
lo1add.4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C )  e.  <_ O ( 1 ) )
Assertion
Ref Expression
lo1add  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( B  +  C
) )  e.  <_ O ( 1 ) )
Distinct variable groups:    x, A    ph, x
Allowed substitution hints:    B( x)    C( x)    V( x)

Proof of Theorem lo1add
Dummy variables  m  c  n  p are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lo1add.3 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  <_ O ( 1 ) )
2 lo1add.4 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C )  e.  <_ O ( 1 ) )
3 reeanv 2792 . . . 4  |-  ( E. m  e.  RR  E. n  e.  RR  ( E. c  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  B  <_  m )  /\  E. c  e.  RR  A. x  e.  A  (
c  <_  x  ->  C  <_  n ) )  <-> 
( E. m  e.  RR  E. c  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  B  <_  m
)  /\  E. n  e.  RR  E. c  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  C  <_  n
) ) )
4 o1add2.1 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  V )
54ralrimiva 2711 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  B  e.  V )
6 dmmptg 5273 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  V  ->  dom  (
x  e.  A  |->  B )  =  A )
75, 6syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  dom  ( x  e.  A  |->  B )  =  A )
8 lo1dm 12200 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  <_ O
( 1 )  ->  dom  ( x  e.  A  |->  B )  C_  RR )
91, 8syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  dom  ( x  e.  A  |->  B )  C_  RR )
107, 9eqsstr3d 3299 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
1110adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  RR  /\  n  e.  RR ) )  ->  A  C_  RR )
12 rexanre 12037 . . . . . . 7  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( E. c  e.  RR  A. x  e.  A  (
c  <_  x  ->  ( B  <_  m  /\  C  <_  n ) )  <-> 
( E. c  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  B  <_  m
)  /\  E. c  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  C  <_  n
) ) ) )
1311, 12syl 15 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  RR  /\  n  e.  RR ) )  -> 
( E. c  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  ( B  <_  m  /\  C  <_  n
) )  <->  ( E. c  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  B  <_  m )  /\  E. c  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  C  <_  n
) ) ) )
14 readdcl 8967 . . . . . . . . 9  |-  ( ( m  e.  RR  /\  n  e.  RR )  ->  ( m  +  n
)  e.  RR )
1514adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  RR  /\  n  e.  RR ) )  -> 
( m  +  n
)  e.  RR )
164, 1lo1mptrcl 12302 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  RR )
1716adantlr 695 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  RR  /\  n  e.  RR )
)  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  RR )
18 o1add2.2 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  V )
1918, 2lo1mptrcl 12302 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  RR )
2019adantlr 695 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  RR  /\  n  e.  RR )
)  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  RR )
21 simplrl 736 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  RR  /\  n  e.  RR )
)  /\  x  e.  A )  ->  m  e.  RR )
22 simplrr 737 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  RR  /\  n  e.  RR )
)  /\  x  e.  A )  ->  n  e.  RR )
23 le2add 9403 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  /\  ( m  e.  RR  /\  n  e.  RR ) )  -> 
( ( B  <_  m  /\  C  <_  n
)  ->  ( B  +  C )  <_  (
m  +  n ) ) )
2417, 20, 21, 22, 23syl22anc 1184 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  RR  /\  n  e.  RR )
)  /\  x  e.  A )  ->  (
( B  <_  m  /\  C  <_  n )  ->  ( B  +  C )  <_  (
m  +  n ) ) )
2524imim2d 48 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  RR  /\  n  e.  RR )
)  /\  x  e.  A )  ->  (
( c  <_  x  ->  ( B  <_  m  /\  C  <_  n ) )  ->  ( c  <_  x  ->  ( B  +  C )  <_  (
m  +  n ) ) ) )
2625ralimdva 2706 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  RR  /\  n  e.  RR ) )  -> 
( A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  ( B  <_  m  /\  C  <_  n
) )  ->  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  ( B  +  C )  <_  (
m  +  n ) ) ) )
27 breq2 4129 . . . . . . . . . . 11  |-  ( p  =  ( m  +  n )  ->  (
( B  +  C
)  <_  p  <->  ( B  +  C )  <_  (
m  +  n ) ) )
2827imbi2d 307 . . . . . . . . . 10  |-  ( p  =  ( m  +  n )  ->  (
( c  <_  x  ->  ( B  +  C
)  <_  p )  <->  ( c  <_  x  ->  ( B  +  C )  <_  ( m  +  n ) ) ) )
2928ralbidv 2648 . . . . . . . . 9  |-  ( p  =  ( m  +  n )  ->  ( A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  ( B  +  C
)  <_  p )  <->  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  ( B  +  C )  <_  ( m  +  n ) ) ) )
3029rspcev 2969 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( m  +  n
)  e.  RR  /\  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  ( B  +  C )  <_  ( m  +  n ) ) )  ->  E. p  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  ( B  +  C )  <_  p ) )
3115, 26, 30ee12an 1368 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  RR  /\  n  e.  RR ) )  -> 
( A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  ( B  <_  m  /\  C  <_  n
) )  ->  E. p  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  ( B  +  C )  <_  p
) ) )
3231reximdv 2739 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  RR  /\  n  e.  RR ) )  -> 
( E. c  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  ( B  <_  m  /\  C  <_  n
) )  ->  E. c  e.  RR  E. p  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  ( B  +  C )  <_  p
) ) )
3313, 32sylbird 226 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  RR  /\  n  e.  RR ) )  -> 
( ( E. c  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  B  <_  m
)  /\  E. c  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  C  <_  n
) )  ->  E. c  e.  RR  E. p  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  ( B  +  C )  <_  p
) ) )
3433rexlimdvva 2759 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E. m  e.  RR  E. n  e.  RR  ( E. c  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  B  <_  m
)  /\  E. c  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  C  <_  n
) )  ->  E. c  e.  RR  E. p  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  ( B  +  C )  <_  p
) ) )
353, 34syl5bir 209 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( E. m  e.  RR  E. c  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  B  <_  m
)  /\  E. n  e.  RR  E. c  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  C  <_  n
) )  ->  E. c  e.  RR  E. p  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  ( B  +  C )  <_  p
) ) )
3610, 16ello1mpt 12202 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e. 
<_ O ( 1 )  <->  E. c  e.  RR  E. m  e.  RR  A. x  e.  A  (
c  <_  x  ->  B  <_  m ) ) )
37 rexcom 2786 . . . . 5  |-  ( E. c  e.  RR  E. m  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  B  <_  m )  <->  E. m  e.  RR  E. c  e.  RR  A. x  e.  A  (
c  <_  x  ->  B  <_  m ) )
3836, 37syl6bb 252 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e. 
<_ O ( 1 )  <->  E. m  e.  RR  E. c  e.  RR  A. x  e.  A  (
c  <_  x  ->  B  <_  m ) ) )
3910, 19ello1mpt 12202 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  C )  e. 
<_ O ( 1 )  <->  E. c  e.  RR  E. n  e.  RR  A. x  e.  A  (
c  <_  x  ->  C  <_  n ) ) )
40 rexcom 2786 . . . . 5  |-  ( E. c  e.  RR  E. n  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  C  <_  n )  <->  E. n  e.  RR  E. c  e.  RR  A. x  e.  A  (
c  <_  x  ->  C  <_  n ) )
4139, 40syl6bb 252 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  C )  e. 
<_ O ( 1 )  <->  E. n  e.  RR  E. c  e.  RR  A. x  e.  A  (
c  <_  x  ->  C  <_  n ) ) )
4238, 41anbi12d 691 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  <_ O ( 1 )  /\  ( x  e.  A  |->  C )  e.  <_ O ( 1 ) )  <->  ( E. m  e.  RR  E. c  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  B  <_  m
)  /\  E. n  e.  RR  E. c  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  C  <_  n
) ) ) )
4316, 19readdcld 9009 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( B  +  C )  e.  RR )
4410, 43ello1mpt 12202 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( B  +  C ) )  e. 
<_ O ( 1 )  <->  E. c  e.  RR  E. p  e.  RR  A. x  e.  A  (
c  <_  x  ->  ( B  +  C )  <_  p ) ) )
4535, 42, 443imtr4d 259 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  <_ O ( 1 )  /\  ( x  e.  A  |->  C )  e.  <_ O ( 1 ) )  ->  (
x  e.  A  |->  ( B  +  C ) )  e.  <_ O
( 1 ) ) )
461, 2, 45mp2and 660 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( B  +  C
) )  e.  <_ O ( 1 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1647    e. wcel 1715   A.wral 2628   E.wrex 2629    C_ wss 3238   class class class wbr 4125    e. cmpt 4179   dom cdm 4792  (class class class)co 5981   RRcr 8883    + caddc 8887    <_ cle 9015   <_ O ( 1 )clo1 12168
This theorem is referenced by:  lo1sub  12311  pntrlog2bndlem4  20952  pntrlog2bndlem5  20953  pntrlog2bndlem6  20955
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1551  ax-5 1562  ax-17 1621  ax-9 1659  ax-8 1680  ax-13 1717  ax-14 1719  ax-6 1734  ax-7 1739  ax-11 1751  ax-12 1937  ax-ext 2347  ax-sep 4243  ax-nul 4251  ax-pow 4290  ax-pr 4316  ax-un 4615  ax-cnex 8940  ax-resscn 8941  ax-1cn 8942  ax-icn 8943  ax-addcl 8944  ax-addrcl 8945  ax-mulcl 8946  ax-mulrcl 8947  ax-mulcom 8948  ax-addass 8949  ax-mulass 8950  ax-distr 8951  ax-i2m1 8952  ax-1ne0 8953  ax-1rid 8954  ax-rnegex 8955  ax-rrecex 8956  ax-cnre 8957  ax-pre-lttri 8958  ax-pre-lttrn 8959  ax-pre-ltadd 8960
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 936  df-3an 937  df-tru 1324  df-ex 1547  df-nf 1550  df-sb 1654  df-eu 2221  df-mo 2222  df-clab 2353  df-cleq 2359  df-clel 2362  df-nfc 2491  df-ne 2531  df-nel 2532  df-ral 2633  df-rex 2634  df-rab 2637  df-v 2875  df-sbc 3078  df-csb 3168  df-dif 3241  df-un 3243  df-in 3245  df-ss 3252  df-nul 3544  df-if 3655  df-pw 3716  df-sn 3735  df-pr 3736  df-op 3738  df-uni 3930  df-br 4126  df-opab 4180  df-mpt 4181  df-id 4412  df-po 4417  df-so 4418  df-xp 4798  df-rel 4799  df-cnv 4800  df-co 4801  df-dm 4802  df-rn 4803  df-res 4804  df-ima 4805  df-iota 5322  df-fun 5360  df-fn 5361  df-f 5362  df-f1 5363  df-fo 5364  df-f1o 5365  df-fv 5366  df-ov 5984  df-oprab 5985  df-mpt2 5986  df-er 6802  df-pm 6918  df-en 7007  df-dom 7008  df-sdom 7009  df-pnf 9016  df-mnf 9017  df-xr 9018  df-ltxr 9019  df-le 9020  df-ico 10815  df-lo1 12172
  Copyright terms: Public domain W3C validator