MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lo1bdd Unicode version

Theorem lo1bdd 12010
Description: The defining property of an eventually upper bounded function. (Contributed by Mario Carneiro, 26-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
lo1bdd  |-  ( ( F  e.  <_ O
( 1 )  /\  F : A --> RR )  ->  E. x  e.  RR  E. m  e.  RR  A. y  e.  A  (
x  <_  y  ->  ( F `  y )  <_  m ) )
Distinct variable groups:    x, m, y, A    m, F, x, y

Proof of Theorem lo1bdd
StepHypRef Expression
1 simpl 443 . 2  |-  ( ( F  e.  <_ O
( 1 )  /\  F : A --> RR )  ->  F  e.  <_ O ( 1 ) )
2 simpr 447 . . 3  |-  ( ( F  e.  <_ O
( 1 )  /\  F : A --> RR )  ->  F : A --> RR )
3 fdm 5409 . . . . 5  |-  ( F : A --> RR  ->  dom 
F  =  A )
43adantl 452 . . . 4  |-  ( ( F  e.  <_ O
( 1 )  /\  F : A --> RR )  ->  dom  F  =  A )
5 lo1dm 12009 . . . . 5  |-  ( F  e.  <_ O ( 1 )  ->  dom  F  C_  RR )
65adantr 451 . . . 4  |-  ( ( F  e.  <_ O
( 1 )  /\  F : A --> RR )  ->  dom  F  C_  RR )
74, 6eqsstr3d 3226 . . 3  |-  ( ( F  e.  <_ O
( 1 )  /\  F : A --> RR )  ->  A  C_  RR )
8 ello12 12006 . . 3  |-  ( ( F : A --> RR  /\  A  C_  RR )  -> 
( F  e.  <_ O ( 1 )  <->  E. x  e.  RR  E. m  e.  RR  A. y  e.  A  ( x  <_ 
y  ->  ( F `  y )  <_  m
) ) )
92, 7, 8syl2anc 642 . 2  |-  ( ( F  e.  <_ O
( 1 )  /\  F : A --> RR )  ->  ( F  e. 
<_ O ( 1 )  <->  E. x  e.  RR  E. m  e.  RR  A. y  e.  A  (
x  <_  y  ->  ( F `  y )  <_  m ) ) )
101, 9mpbid 201 1  |-  ( ( F  e.  <_ O
( 1 )  /\  F : A --> RR )  ->  E. x  e.  RR  E. m  e.  RR  A. y  e.  A  (
x  <_  y  ->  ( F `  y )  <_  m ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   E.wrex 2557    C_ wss 3165   class class class wbr 4039   dom cdm 4705   -->wf 5267   ` cfv 5271   RRcr 8752    <_ cle 8884   <_ O ( 1 )clo1 11977
This theorem is referenced by:  lo1res  12049
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-er 6676  df-pm 6791  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-ico 10678  df-lo1 11981
  Copyright terms: Public domain W3C validator