MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lo1bdd Unicode version

Theorem lo1bdd 12243
Description: The defining property of an eventually upper bounded function. (Contributed by Mario Carneiro, 26-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
lo1bdd  |-  ( ( F  e.  <_ O
( 1 )  /\  F : A --> RR )  ->  E. x  e.  RR  E. m  e.  RR  A. y  e.  A  (
x  <_  y  ->  ( F `  y )  <_  m ) )
Distinct variable groups:    x, m, y, A    m, F, x, y

Proof of Theorem lo1bdd
StepHypRef Expression
1 simpl 444 . 2  |-  ( ( F  e.  <_ O
( 1 )  /\  F : A --> RR )  ->  F  e.  <_ O ( 1 ) )
2 simpr 448 . . 3  |-  ( ( F  e.  <_ O
( 1 )  /\  F : A --> RR )  ->  F : A --> RR )
3 fdm 5537 . . . . 5  |-  ( F : A --> RR  ->  dom 
F  =  A )
43adantl 453 . . . 4  |-  ( ( F  e.  <_ O
( 1 )  /\  F : A --> RR )  ->  dom  F  =  A )
5 lo1dm 12242 . . . . 5  |-  ( F  e.  <_ O ( 1 )  ->  dom  F  C_  RR )
65adantr 452 . . . 4  |-  ( ( F  e.  <_ O
( 1 )  /\  F : A --> RR )  ->  dom  F  C_  RR )
74, 6eqsstr3d 3328 . . 3  |-  ( ( F  e.  <_ O
( 1 )  /\  F : A --> RR )  ->  A  C_  RR )
8 ello12 12239 . . 3  |-  ( ( F : A --> RR  /\  A  C_  RR )  -> 
( F  e.  <_ O ( 1 )  <->  E. x  e.  RR  E. m  e.  RR  A. y  e.  A  ( x  <_ 
y  ->  ( F `  y )  <_  m
) ) )
92, 7, 8syl2anc 643 . 2  |-  ( ( F  e.  <_ O
( 1 )  /\  F : A --> RR )  ->  ( F  e. 
<_ O ( 1 )  <->  E. x  e.  RR  E. m  e.  RR  A. y  e.  A  (
x  <_  y  ->  ( F `  y )  <_  m ) ) )
101, 9mpbid 202 1  |-  ( ( F  e.  <_ O
( 1 )  /\  F : A --> RR )  ->  E. x  e.  RR  E. m  e.  RR  A. y  e.  A  (
x  <_  y  ->  ( F `  y )  <_  m ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   A.wral 2651   E.wrex 2652    C_ wss 3265   class class class wbr 4155   dom cdm 4820   -->wf 5392   ` cfv 5396   RRcr 8924    <_ cle 9056   <_ O ( 1 )clo1 12210
This theorem is referenced by:  lo1res  12282
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2370  ax-sep 4273  ax-nul 4281  ax-pow 4320  ax-pr 4346  ax-un 4643  ax-cnex 8981  ax-resscn 8982  ax-pre-lttri 8999  ax-pre-lttrn 9000
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2376  df-cleq 2382  df-clel 2385  df-nfc 2514  df-ne 2554  df-nel 2555  df-ral 2656  df-rex 2657  df-rab 2660  df-v 2903  df-sbc 3107  df-csb 3197  df-dif 3268  df-un 3270  df-in 3272  df-ss 3279  df-nul 3574  df-if 3685  df-pw 3746  df-sn 3765  df-pr 3766  df-op 3768  df-uni 3960  df-br 4156  df-opab 4210  df-mpt 4211  df-id 4441  df-po 4446  df-so 4447  df-xp 4826  df-rel 4827  df-cnv 4828  df-co 4829  df-dm 4830  df-rn 4831  df-res 4832  df-ima 4833  df-iota 5360  df-fun 5398  df-fn 5399  df-f 5400  df-f1 5401  df-fo 5402  df-f1o 5403  df-fv 5404  df-ov 6025  df-oprab 6026  df-mpt2 6027  df-er 6843  df-pm 6959  df-en 7048  df-dom 7049  df-sdom 7050  df-pnf 9057  df-mnf 9058  df-xr 9059  df-ltxr 9060  df-le 9061  df-ico 10856  df-lo1 12214
  Copyright terms: Public domain W3C validator