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Theorem lo1bdd2 12318
Description: If an eventually bounded function is bounded on every interval  A  i^i  (  -oo ,  y ) by a function  M ( y ), then the function is bounded on the whole domain. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
lo1bdd2.1  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
lo1bdd2.2  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
lo1bdd2.3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  RR )
lo1bdd2.4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  <_ O ( 1 ) )
lo1bdd2.5  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR  /\  C  <_ 
y ) )  ->  M  e.  RR )
lo1bdd2.6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  (
( y  e.  RR  /\  C  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  B  <_  M )
Assertion
Ref Expression
lo1bdd2  |-  ( ph  ->  E. m  e.  RR  A. x  e.  A  B  <_  m )
Distinct variable groups:    x, m, y, A    B, m, y   
x, C, y    ph, x, y    m, M, x
Allowed substitution hints:    ph( m)    B( x)    C( m)    M( y)

Proof of Theorem lo1bdd2
Dummy variable  n is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lo1bdd2.4 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  <_ O ( 1 ) )
2 lo1bdd2.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
3 lo1bdd2.3 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  RR )
4 lo1bdd2.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
52, 3, 4ello1mpt2 12316 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e. 
<_ O ( 1 )  <->  E. y  e.  ( C [,)  +oo ) E. n  e.  RR  A. x  e.  A  ( y  <_  x  ->  B  <_  n
) ) )
61, 5mpbid 202 . 2  |-  ( ph  ->  E. y  e.  ( C [,)  +oo ) E. n  e.  RR  A. x  e.  A  ( y  <_  x  ->  B  <_  n ) )
7 elicopnf 11000 . . . . . . . . . . 11  |-  ( C  e.  RR  ->  (
y  e.  ( C [,)  +oo )  <->  ( y  e.  RR  /\  C  <_ 
y ) ) )
84, 7syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( C [,)  +oo )  <->  ( y  e.  RR  /\  C  <_  y ) ) )
98biimpa 471 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( C [,)  +oo )
)  ->  ( y  e.  RR  /\  C  <_ 
y ) )
10 lo1bdd2.5 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR  /\  C  <_ 
y ) )  ->  M  e.  RR )
119, 10syldan 457 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( C [,)  +oo )
)  ->  M  e.  RR )
1211ad2antrr 707 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ( C [,)  +oo ) )  /\  ( n  e.  RR  /\ 
A. x  e.  A  ( y  <_  x  ->  B  <_  n )
) )  /\  n  <_  M )  ->  M  e.  RR )
13 simplrl 737 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ( C [,)  +oo ) )  /\  ( n  e.  RR  /\ 
A. x  e.  A  ( y  <_  x  ->  B  <_  n )
) )  /\  -.  n  <_  M )  ->  n  e.  RR )
1412, 13ifclda 3766 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( C [,)  +oo ) )  /\  (
n  e.  RR  /\  A. x  e.  A  ( y  <_  x  ->  B  <_  n ) ) )  ->  if (
n  <_  M ,  M ,  n )  e.  RR )
152ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( C [,)  +oo ) )  /\  n  e.  RR )  ->  A  C_  RR )
1615sselda 3348 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ( C [,)  +oo ) )  /\  n  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  ->  x  e.  RR )
179simpld 446 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( C [,)  +oo )
)  ->  y  e.  RR )
1817ad2antrr 707 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ( C [,)  +oo ) )  /\  n  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  ->  y  e.  RR )
1916, 18ltnled 9220 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ( C [,)  +oo ) )  /\  n  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  ->  ( x  <  y  <->  -.  y  <_  x ) )
20 lo1bdd2.6 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  (
( y  e.  RR  /\  C  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  B  <_  M )
2120expr 599 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  (
y  e.  RR  /\  C  <_  y ) )  ->  ( x  < 
y  ->  B  <_  M ) )
2221an32s 780 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  RR  /\  C  <_  y ) )  /\  x  e.  A
)  ->  ( x  <  y  ->  B  <_  M ) )
2322ex 424 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR  /\  C  <_ 
y ) )  -> 
( x  e.  A  ->  ( x  <  y  ->  B  <_  M )
) )
249, 23syldan 457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( C [,)  +oo )
)  ->  ( x  e.  A  ->  ( x  <  y  ->  B  <_  M ) ) )
2524imp 419 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( C [,)  +oo ) )  /\  x  e.  A )  ->  (
x  <  y  ->  B  <_  M ) )
2625adantlr 696 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ( C [,)  +oo ) )  /\  n  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  ->  ( x  <  y  ->  B  <_  M ) )
27 simplr 732 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ( C [,)  +oo ) )  /\  n  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  ->  n  e.  RR )
2811ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ( C [,)  +oo ) )  /\  n  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  ->  M  e.  RR )
29 max2 10775 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( n  e.  RR  /\  M  e.  RR )  ->  M  <_  if (
n  <_  M ,  M ,  n )
)
3027, 28, 29syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ( C [,)  +oo ) )  /\  n  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  ->  M  <_  if ( n  <_  M ,  M ,  n ) )
31 simpll 731 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( C [,)  +oo ) )  /\  n  e.  RR )  ->  ph )
3231, 3sylan 458 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ( C [,)  +oo ) )  /\  n  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  ->  B  e.  RR )
3311ad3antrrr 711 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ( C [,)  +oo ) )  /\  n  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  /\  n  <_  M )  ->  M  e.  RR )
34 simpllr 736 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ( C [,)  +oo ) )  /\  n  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  /\  -.  n  <_  M )  ->  n  e.  RR )
3533, 34ifclda 3766 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ( C [,)  +oo ) )  /\  n  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  ->  if (
n  <_  M ,  M ,  n )  e.  RR )
36 letr 9167 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( B  e.  RR  /\  M  e.  RR  /\  if ( n  <_  M ,  M ,  n )  e.  RR )  ->  (
( B  <_  M  /\  M  <_  if ( n  <_  M ,  M ,  n )
)  ->  B  <_  if ( n  <_  M ,  M ,  n ) ) )
3732, 28, 35, 36syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ( C [,)  +oo ) )  /\  n  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  ->  ( ( B  <_  M  /\  M  <_  if ( n  <_  M ,  M ,  n ) )  ->  B  <_  if ( n  <_  M ,  M ,  n ) ) )
3830, 37mpan2d 656 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ( C [,)  +oo ) )  /\  n  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  ->  ( B  <_  M  ->  B  <_  if ( n  <_  M ,  M ,  n ) ) )
3926, 38syld 42 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ( C [,)  +oo ) )  /\  n  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  ->  ( x  <  y  ->  B  <_  if ( n  <_  M ,  M ,  n ) ) )
4019, 39sylbird 227 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ( C [,)  +oo ) )  /\  n  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  ->  ( -.  y  <_  x  ->  B  <_  if ( n  <_  M ,  M ,  n ) ) )
41 max1 10773 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  RR  /\  M  e.  RR )  ->  n  <_  if (
n  <_  M ,  M ,  n )
)
4227, 28, 41syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ( C [,)  +oo ) )  /\  n  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  ->  n  <_  if ( n  <_  M ,  M ,  n ) )
43 letr 9167 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  e.  RR  /\  n  e.  RR  /\  if ( n  <_  M ,  M ,  n )  e.  RR )  ->  (
( B  <_  n  /\  n  <_  if ( n  <_  M ,  M ,  n )
)  ->  B  <_  if ( n  <_  M ,  M ,  n ) ) )
4432, 27, 35, 43syl3anc 1184 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ( C [,)  +oo ) )  /\  n  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  ->  ( ( B  <_  n  /\  n  <_  if ( n  <_  M ,  M ,  n ) )  ->  B  <_  if ( n  <_  M ,  M ,  n ) ) )
4542, 44mpan2d 656 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ( C [,)  +oo ) )  /\  n  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  ->  ( B  <_  n  ->  B  <_  if ( n  <_  M ,  M ,  n ) ) )
4640, 45jad 156 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ( C [,)  +oo ) )  /\  n  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  ->  ( (
y  <_  x  ->  B  <_  n )  ->  B  <_  if ( n  <_  M ,  M ,  n ) ) )
4746ralimdva 2784 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( C [,)  +oo ) )  /\  n  e.  RR )  ->  ( A. x  e.  A  ( y  <_  x  ->  B  <_  n )  ->  A. x  e.  A  B  <_  if ( n  <_  M ,  M ,  n ) ) )
4847impr 603 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( C [,)  +oo ) )  /\  (
n  e.  RR  /\  A. x  e.  A  ( y  <_  x  ->  B  <_  n ) ) )  ->  A. x  e.  A  B  <_  if ( n  <_  M ,  M ,  n ) )
49 breq2 4216 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  if ( n  <_  M ,  M ,  n )  ->  ( B  <_  m  <->  B  <_  if ( n  <_  M ,  M ,  n ) ) )
5049ralbidv 2725 . . . . . . 7  |-  ( m  =  if ( n  <_  M ,  M ,  n )  ->  ( A. x  e.  A  B  <_  m  <->  A. x  e.  A  B  <_  if ( n  <_  M ,  M ,  n ) ) )
5150rspcev 3052 . . . . . 6  |-  ( ( if ( n  <_  M ,  M ,  n )  e.  RR  /\ 
A. x  e.  A  B  <_  if ( n  <_  M ,  M ,  n ) )  ->  E. m  e.  RR  A. x  e.  A  B  <_  m )
5214, 48, 51syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( C [,)  +oo ) )  /\  (
n  e.  RR  /\  A. x  e.  A  ( y  <_  x  ->  B  <_  n ) ) )  ->  E. m  e.  RR  A. x  e.  A  B  <_  m
)
5352expr 599 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( C [,)  +oo ) )  /\  n  e.  RR )  ->  ( A. x  e.  A  ( y  <_  x  ->  B  <_  n )  ->  E. m  e.  RR  A. x  e.  A  B  <_  m ) )
5453rexlimdva 2830 . . 3  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( C [,)  +oo )
)  ->  ( E. n  e.  RR  A. x  e.  A  ( y  <_  x  ->  B  <_  n )  ->  E. m  e.  RR  A. x  e.  A  B  <_  m
) )
5554rexlimdva 2830 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. y  e.  ( C [,)  +oo ) E. n  e.  RR  A. x  e.  A  ( y  <_  x  ->  B  <_  n )  ->  E. m  e.  RR  A. x  e.  A  B  <_  m ) )
566, 55mpd 15 1  |-  ( ph  ->  E. m  e.  RR  A. x  e.  A  B  <_  m )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2705   E.wrex 2706    C_ wss 3320   ifcif 3739   class class class wbr 4212    e. cmpt 4266  (class class class)co 6081   RRcr 8989    +oocpnf 9117    < clt 9120    <_ cle 9121   [,)cico 10918   <_
O ( 1 )clo1 12281
This theorem is referenced by:  lo1bddrp  12319  o1bdd2  12335
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-er 6905  df-pm 7021  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-ico 10922  df-lo1 12285
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