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Theorem lo1bdd2 12014
Description: If an eventually bounded function is bounded on every interval  A  i^i  (  -oo ,  y ) by a function  M ( y ), then the function is bounded on the whole domain. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
lo1bdd2.1  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
lo1bdd2.2  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
lo1bdd2.3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  RR )
lo1bdd2.4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  <_ O ( 1 ) )
lo1bdd2.5  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR  /\  C  <_ 
y ) )  ->  M  e.  RR )
lo1bdd2.6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  (
( y  e.  RR  /\  C  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  B  <_  M )
Assertion
Ref Expression
lo1bdd2  |-  ( ph  ->  E. m  e.  RR  A. x  e.  A  B  <_  m )
Distinct variable groups:    x, m, y, A    B, m, y   
x, C, y    ph, x, y    m, M, x
Allowed substitution hints:    ph( m)    B( x)    C( m)    M( y)

Proof of Theorem lo1bdd2
Dummy variable  n is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lo1bdd2.4 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  <_ O ( 1 ) )
2 lo1bdd2.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
3 lo1bdd2.3 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  RR )
4 lo1bdd2.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
52, 3, 4ello1mpt2 12012 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e. 
<_ O ( 1 )  <->  E. y  e.  ( C [,)  +oo ) E. n  e.  RR  A. x  e.  A  ( y  <_  x  ->  B  <_  n
) ) )
61, 5mpbid 201 . 2  |-  ( ph  ->  E. y  e.  ( C [,)  +oo ) E. n  e.  RR  A. x  e.  A  ( y  <_  x  ->  B  <_  n ) )
7 elicopnf 10755 . . . . . . . . . . 11  |-  ( C  e.  RR  ->  (
y  e.  ( C [,)  +oo )  <->  ( y  e.  RR  /\  C  <_ 
y ) ) )
84, 7syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( C [,)  +oo )  <->  ( y  e.  RR  /\  C  <_  y ) ) )
98biimpa 470 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( C [,)  +oo )
)  ->  ( y  e.  RR  /\  C  <_ 
y ) )
10 lo1bdd2.5 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR  /\  C  <_ 
y ) )  ->  M  e.  RR )
119, 10syldan 456 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( C [,)  +oo )
)  ->  M  e.  RR )
1211ad2antrr 706 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ( C [,)  +oo ) )  /\  ( n  e.  RR  /\ 
A. x  e.  A  ( y  <_  x  ->  B  <_  n )
) )  /\  n  <_  M )  ->  M  e.  RR )
13 simplrl 736 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ( C [,)  +oo ) )  /\  ( n  e.  RR  /\ 
A. x  e.  A  ( y  <_  x  ->  B  <_  n )
) )  /\  -.  n  <_  M )  ->  n  e.  RR )
1412, 13ifclda 3605 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( C [,)  +oo ) )  /\  (
n  e.  RR  /\  A. x  e.  A  ( y  <_  x  ->  B  <_  n ) ) )  ->  if (
n  <_  M ,  M ,  n )  e.  RR )
152ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( C [,)  +oo ) )  /\  n  e.  RR )  ->  A  C_  RR )
1615sselda 3193 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ( C [,)  +oo ) )  /\  n  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  ->  x  e.  RR )
179simpld 445 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( C [,)  +oo )
)  ->  y  e.  RR )
1817ad2antrr 706 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ( C [,)  +oo ) )  /\  n  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  ->  y  e.  RR )
1916, 18ltnled 8982 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ( C [,)  +oo ) )  /\  n  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  ->  ( x  <  y  <->  -.  y  <_  x ) )
20 lo1bdd2.6 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  (
( y  e.  RR  /\  C  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  B  <_  M )
2120expr 598 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  (
y  e.  RR  /\  C  <_  y ) )  ->  ( x  < 
y  ->  B  <_  M ) )
2221an32s 779 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  RR  /\  C  <_  y ) )  /\  x  e.  A
)  ->  ( x  <  y  ->  B  <_  M ) )
2322ex 423 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR  /\  C  <_ 
y ) )  -> 
( x  e.  A  ->  ( x  <  y  ->  B  <_  M )
) )
249, 23syldan 456 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( C [,)  +oo )
)  ->  ( x  e.  A  ->  ( x  <  y  ->  B  <_  M ) ) )
2524imp 418 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( C [,)  +oo ) )  /\  x  e.  A )  ->  (
x  <  y  ->  B  <_  M ) )
2625adantlr 695 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ( C [,)  +oo ) )  /\  n  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  ->  ( x  <  y  ->  B  <_  M ) )
27 simplr 731 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ( C [,)  +oo ) )  /\  n  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  ->  n  e.  RR )
2811ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ( C [,)  +oo ) )  /\  n  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  ->  M  e.  RR )
29 max2 10532 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( n  e.  RR  /\  M  e.  RR )  ->  M  <_  if (
n  <_  M ,  M ,  n )
)
3027, 28, 29syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ( C [,)  +oo ) )  /\  n  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  ->  M  <_  if ( n  <_  M ,  M ,  n ) )
31 simpll 730 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( C [,)  +oo ) )  /\  n  e.  RR )  ->  ph )
3231, 3sylan 457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ( C [,)  +oo ) )  /\  n  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  ->  B  e.  RR )
3311ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ( C [,)  +oo ) )  /\  n  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  /\  n  <_  M )  ->  M  e.  RR )
34 simpllr 735 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ( C [,)  +oo ) )  /\  n  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  /\  -.  n  <_  M )  ->  n  e.  RR )
3533, 34ifclda 3605 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ( C [,)  +oo ) )  /\  n  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  ->  if (
n  <_  M ,  M ,  n )  e.  RR )
36 letr 8930 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( B  e.  RR  /\  M  e.  RR  /\  if ( n  <_  M ,  M ,  n )  e.  RR )  ->  (
( B  <_  M  /\  M  <_  if ( n  <_  M ,  M ,  n )
)  ->  B  <_  if ( n  <_  M ,  M ,  n ) ) )
3732, 28, 35, 36syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ( C [,)  +oo ) )  /\  n  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  ->  ( ( B  <_  M  /\  M  <_  if ( n  <_  M ,  M ,  n ) )  ->  B  <_  if ( n  <_  M ,  M ,  n ) ) )
3830, 37mpan2d 655 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ( C [,)  +oo ) )  /\  n  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  ->  ( B  <_  M  ->  B  <_  if ( n  <_  M ,  M ,  n ) ) )
3926, 38syld 40 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ( C [,)  +oo ) )  /\  n  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  ->  ( x  <  y  ->  B  <_  if ( n  <_  M ,  M ,  n ) ) )
4019, 39sylbird 226 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ( C [,)  +oo ) )  /\  n  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  ->  ( -.  y  <_  x  ->  B  <_  if ( n  <_  M ,  M ,  n ) ) )
41 max1 10530 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  RR  /\  M  e.  RR )  ->  n  <_  if (
n  <_  M ,  M ,  n )
)
4227, 28, 41syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ( C [,)  +oo ) )  /\  n  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  ->  n  <_  if ( n  <_  M ,  M ,  n ) )
43 letr 8930 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  e.  RR  /\  n  e.  RR  /\  if ( n  <_  M ,  M ,  n )  e.  RR )  ->  (
( B  <_  n  /\  n  <_  if ( n  <_  M ,  M ,  n )
)  ->  B  <_  if ( n  <_  M ,  M ,  n ) ) )
4432, 27, 35, 43syl3anc 1182 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ( C [,)  +oo ) )  /\  n  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  ->  ( ( B  <_  n  /\  n  <_  if ( n  <_  M ,  M ,  n ) )  ->  B  <_  if ( n  <_  M ,  M ,  n ) ) )
4542, 44mpan2d 655 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ( C [,)  +oo ) )  /\  n  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  ->  ( B  <_  n  ->  B  <_  if ( n  <_  M ,  M ,  n ) ) )
4640, 45jad 154 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ( C [,)  +oo ) )  /\  n  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  ->  ( (
y  <_  x  ->  B  <_  n )  ->  B  <_  if ( n  <_  M ,  M ,  n ) ) )
4746ralimdva 2634 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( C [,)  +oo ) )  /\  n  e.  RR )  ->  ( A. x  e.  A  ( y  <_  x  ->  B  <_  n )  ->  A. x  e.  A  B  <_  if ( n  <_  M ,  M ,  n ) ) )
4847impr 602 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( C [,)  +oo ) )  /\  (
n  e.  RR  /\  A. x  e.  A  ( y  <_  x  ->  B  <_  n ) ) )  ->  A. x  e.  A  B  <_  if ( n  <_  M ,  M ,  n ) )
49 breq2 4043 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  if ( n  <_  M ,  M ,  n )  ->  ( B  <_  m  <->  B  <_  if ( n  <_  M ,  M ,  n ) ) )
5049ralbidv 2576 . . . . . . 7  |-  ( m  =  if ( n  <_  M ,  M ,  n )  ->  ( A. x  e.  A  B  <_  m  <->  A. x  e.  A  B  <_  if ( n  <_  M ,  M ,  n ) ) )
5150rspcev 2897 . . . . . 6  |-  ( ( if ( n  <_  M ,  M ,  n )  e.  RR  /\ 
A. x  e.  A  B  <_  if ( n  <_  M ,  M ,  n ) )  ->  E. m  e.  RR  A. x  e.  A  B  <_  m )
5214, 48, 51syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( C [,)  +oo ) )  /\  (
n  e.  RR  /\  A. x  e.  A  ( y  <_  x  ->  B  <_  n ) ) )  ->  E. m  e.  RR  A. x  e.  A  B  <_  m
)
5352expr 598 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( C [,)  +oo ) )  /\  n  e.  RR )  ->  ( A. x  e.  A  ( y  <_  x  ->  B  <_  n )  ->  E. m  e.  RR  A. x  e.  A  B  <_  m ) )
5453rexlimdva 2680 . . 3  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( C [,)  +oo )
)  ->  ( E. n  e.  RR  A. x  e.  A  ( y  <_  x  ->  B  <_  n )  ->  E. m  e.  RR  A. x  e.  A  B  <_  m
) )
5554rexlimdva 2680 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. y  e.  ( C [,)  +oo ) E. n  e.  RR  A. x  e.  A  ( y  <_  x  ->  B  <_  n )  ->  E. m  e.  RR  A. x  e.  A  B  <_  m ) )
566, 55mpd 14 1  |-  ( ph  ->  E. m  e.  RR  A. x  e.  A  B  <_  m )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   E.wrex 2557    C_ wss 3165   ifcif 3578   class class class wbr 4039    e. cmpt 4093  (class class class)co 5874   RRcr 8752    +oocpnf 8880    < clt 8883    <_ cle 8884   [,)cico 10674   <_
O ( 1 )clo1 11977
This theorem is referenced by:  lo1bddrp  12015  o1bdd2  12031
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-er 6676  df-pm 6791  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-ico 10678  df-lo1 11981
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