MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lo1bddrp Structured version   Unicode version

Theorem lo1bddrp 12324
Description: Refine o1bdd2 12340 to give a strictly positive upper bound. (Contributed by Mario Carneiro, 25-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
lo1bdd2.1  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
lo1bdd2.2  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
lo1bdd2.3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  RR )
lo1bdd2.4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  <_ O ( 1 ) )
lo1bdd2.5  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR  /\  C  <_ 
y ) )  ->  M  e.  RR )
lo1bdd2.6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  (
( y  e.  RR  /\  C  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  B  <_  M )
Assertion
Ref Expression
lo1bddrp  |-  ( ph  ->  E. m  e.  RR+  A. x  e.  A  B  <_  m )
Distinct variable groups:    x, m, y, A    B, m, y   
x, C, y    ph, x, y    m, M, x
Allowed substitution hints:    ph( m)    B( x)    C( m)    M( y)

Proof of Theorem lo1bddrp
Dummy variable  n is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lo1bdd2.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
2 lo1bdd2.2 . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
3 lo1bdd2.3 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  RR )
4 lo1bdd2.4 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  <_ O ( 1 ) )
5 lo1bdd2.5 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR  /\  C  <_ 
y ) )  ->  M  e.  RR )
6 lo1bdd2.6 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  (
( y  e.  RR  /\  C  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  B  <_  M )
71, 2, 3, 4, 5, 6lo1bdd2 12323 . 2  |-  ( ph  ->  E. n  e.  RR  A. x  e.  A  B  <_  n )
8 simpr 449 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  RR )  ->  n  e.  RR )
98recnd 9119 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  RR )  ->  n  e.  CC )
109abscld 12243 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  RR )  ->  ( abs `  n )  e.  RR )
119absge0d 12251 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  RR )  ->  0  <_ 
( abs `  n
) )
1210, 11ge0p1rpd 10679 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  RR )  ->  ( ( abs `  n )  +  1 )  e.  RR+ )
13 simplr 733 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  n  e.  RR )
1410adantr 453 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  ( abs `  n )  e.  RR )
15 peano2re 9244 . . . . . . . 8  |-  ( ( abs `  n )  e.  RR  ->  (
( abs `  n
)  +  1 )  e.  RR )
1614, 15syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  (
( abs `  n
)  +  1 )  e.  RR )
1713leabsd 12222 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  n  <_  ( abs `  n
) )
1814lep1d 9947 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  ( abs `  n )  <_ 
( ( abs `  n
)  +  1 ) )
1913, 14, 16, 17, 18letrd 9232 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  n  <_  ( ( abs `  n
)  +  1 ) )
203adantlr 697 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  RR )
21 letr 9172 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  RR  /\  n  e.  RR  /\  (
( abs `  n
)  +  1 )  e.  RR )  -> 
( ( B  <_  n  /\  n  <_  (
( abs `  n
)  +  1 ) )  ->  B  <_  ( ( abs `  n
)  +  1 ) ) )
2220, 13, 16, 21syl3anc 1185 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  (
( B  <_  n  /\  n  <_  ( ( abs `  n )  +  1 ) )  ->  B  <_  (
( abs `  n
)  +  1 ) ) )
2319, 22mpan2d 657 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  ( B  <_  n  ->  B  <_  ( ( abs `  n
)  +  1 ) ) )
2423ralimdva 2786 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  RR )  ->  ( A. x  e.  A  B  <_  n  ->  A. x  e.  A  B  <_  ( ( abs `  n
)  +  1 ) ) )
25 breq2 4219 . . . . . 6  |-  ( m  =  ( ( abs `  n )  +  1 )  ->  ( B  <_  m  <->  B  <_  ( ( abs `  n )  +  1 ) ) )
2625ralbidv 2727 . . . . 5  |-  ( m  =  ( ( abs `  n )  +  1 )  ->  ( A. x  e.  A  B  <_  m  <->  A. x  e.  A  B  <_  ( ( abs `  n )  +  1 ) ) )
2726rspcev 3054 . . . 4  |-  ( ( ( ( abs `  n
)  +  1 )  e.  RR+  /\  A. x  e.  A  B  <_  ( ( abs `  n
)  +  1 ) )  ->  E. m  e.  RR+  A. x  e.  A  B  <_  m
)
2812, 24, 27ee12an 1373 . . 3  |-  ( (
ph  /\  n  e.  RR )  ->  ( A. x  e.  A  B  <_  n  ->  E. m  e.  RR+  A. x  e.  A  B  <_  m
) )
2928rexlimdva 2832 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. n  e.  RR  A. x  e.  A  B  <_  n  ->  E. m  e.  RR+  A. x  e.  A  B  <_  m ) )
307, 29mpd 15 1  |-  ( ph  ->  E. m  e.  RR+  A. x  e.  A  B  <_  m )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   A.wral 2707   E.wrex 2708    C_ wss 3322   class class class wbr 4215    e. cmpt 4269   ` cfv 5457  (class class class)co 6084   RRcr 8994   1c1 8996    + caddc 8998    < clt 9125    <_ cle 9126   RR+crp 10617   abscabs 12044   <_ O ( 1 )clo1 12286
This theorem is referenced by:  o1bddrp  12341  chpo1ubb  21180  pntrlog2bnd  21283
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072  ax-pre-sup 9073
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-er 6908  df-pm 7024  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-sup 7449  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-div 9683  df-nn 10006  df-2 10063  df-3 10064  df-n0 10227  df-z 10288  df-uz 10494  df-rp 10618  df-ico 10927  df-seq 11329  df-exp 11388  df-cj 11909  df-re 11910  df-im 11911  df-sqr 12045  df-abs 12046  df-lo1 12290
  Copyright terms: Public domain W3C validator