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Theorem lo1eq 12363
Description: Two functions that are eventually equal to one another are eventually bounded if one of them is. (Contributed by Mario Carneiro, 26-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
lo1eq.1  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  RR )
lo1eq.2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  RR )
lo1eq.3  |-  ( ph  ->  D  e.  RR )
lo1eq.4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  D  <_  x ) )  ->  B  =  C )
Assertion
Ref Expression
lo1eq  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e. 
<_ O ( 1 )  <-> 
( x  e.  A  |->  C )  e.  <_ O ( 1 ) ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, D    ph, x
Allowed substitution hints:    B( x)    C( x)

Proof of Theorem lo1eq
StepHypRef Expression
1 lo1dm 12314 . . 3  |-  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  <_ O
( 1 )  ->  dom  ( x  e.  A  |->  B )  C_  RR )
2 lo1eq.1 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  RR )
3 eqid 2437 . . . . . 6  |-  ( x  e.  A  |->  B )  =  ( x  e.  A  |->  B )
42, 3fmptd 5894 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B ) : A --> RR )
5 fdm 5596 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  A  |->  B ) : A --> RR  ->  dom  ( x  e.  A  |->  B )  =  A )
64, 5syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  dom  ( x  e.  A  |->  B )  =  A )
76sseq1d 3376 . . 3  |-  ( ph  ->  ( dom  ( x  e.  A  |->  B ) 
C_  RR  <->  A  C_  RR ) )
81, 7syl5ib 212 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e. 
<_ O ( 1 )  ->  A  C_  RR ) )
9 lo1dm 12314 . . 3  |-  ( ( x  e.  A  |->  C )  e.  <_ O
( 1 )  ->  dom  ( x  e.  A  |->  C )  C_  RR )
10 lo1eq.2 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  RR )
11 eqid 2437 . . . . . 6  |-  ( x  e.  A  |->  C )  =  ( x  e.  A  |->  C )
1210, 11fmptd 5894 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C ) : A --> RR )
13 fdm 5596 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  A  |->  C ) : A --> RR  ->  dom  ( x  e.  A  |->  C )  =  A )
1412, 13syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  dom  ( x  e.  A  |->  C )  =  A )
1514sseq1d 3376 . . 3  |-  ( ph  ->  ( dom  ( x  e.  A  |->  C ) 
C_  RR  <->  A  C_  RR ) )
169, 15syl5ib 212 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  C )  e. 
<_ O ( 1 )  ->  A  C_  RR ) )
17 simpr 449 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A  i^i  ( D [,)  +oo ) ) )  ->  x  e.  ( A  i^i  ( D [,)  +oo ) ) )
18 elin 3531 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( A  i^i  ( D [,)  +oo )
)  <->  ( x  e.  A  /\  x  e.  ( D [,)  +oo ) ) )
1917, 18sylib 190 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A  i^i  ( D [,)  +oo ) ) )  ->  ( x  e.  A  /\  x  e.  ( D [,)  +oo ) ) )
2019simpld 447 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A  i^i  ( D [,)  +oo ) ) )  ->  x  e.  A
)
2119simprd 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A  i^i  ( D [,)  +oo ) ) )  ->  x  e.  ( D [,)  +oo )
)
22 lo1eq.3 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  D  e.  RR )
23 elicopnf 11001 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( D  e.  RR  ->  (
x  e.  ( D [,)  +oo )  <->  ( x  e.  RR  /\  D  <_  x ) ) )
2422, 23syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( D [,)  +oo )  <->  ( x  e.  RR  /\  D  <_  x ) ) )
2524biimpa 472 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( D [,)  +oo )
)  ->  ( x  e.  RR  /\  D  <_  x ) )
2621, 25syldan 458 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A  i^i  ( D [,)  +oo ) ) )  ->  ( x  e.  RR  /\  D  <_  x ) )
2726simprd 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A  i^i  ( D [,)  +oo ) ) )  ->  D  <_  x
)
2820, 27jca 520 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A  i^i  ( D [,)  +oo ) ) )  ->  ( x  e.  A  /\  D  <_  x ) )
29 lo1eq.4 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  D  <_  x ) )  ->  B  =  C )
3028, 29syldan 458 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A  i^i  ( D [,)  +oo ) ) )  ->  B  =  C )
3130mpteq2dva 4296 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( A  i^i  ( D [,)  +oo ) )  |->  B )  =  ( x  e.  ( A  i^i  ( D [,)  +oo )
)  |->  C ) )
32 inss1 3562 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  i^i  ( D [,)  +oo ) )  C_  A
33 resmpt 5192 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  i^i  ( D [,)  +oo ) )  C_  A  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  |`  ( A  i^i  ( D [,)  +oo ) ) )  =  ( x  e.  ( A  i^i  ( D [,)  +oo ) )  |->  B ) )
3432, 33ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  A  |->  B )  |`  ( A  i^i  ( D [,)  +oo ) ) )  =  ( x  e.  ( A  i^i  ( D [,)  +oo ) )  |->  B )
35 resmpt 5192 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  i^i  ( D [,)  +oo ) )  C_  A  ->  ( ( x  e.  A  |->  C )  |`  ( A  i^i  ( D [,)  +oo ) ) )  =  ( x  e.  ( A  i^i  ( D [,)  +oo ) )  |->  C ) )
3632, 35ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  A  |->  C )  |`  ( A  i^i  ( D [,)  +oo ) ) )  =  ( x  e.  ( A  i^i  ( D [,)  +oo ) )  |->  C )
3731, 34, 363eqtr4g 2494 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  |`  ( A  i^i  ( D [,)  +oo ) ) )  =  ( ( x  e.  A  |->  C )  |`  ( A  i^i  ( D [,)  +oo ) ) ) )
38 resres 5160 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  A  |->  B )  |`  A )  |`  ( D [,)  +oo ) )  =  ( ( x  e.  A  |->  B )  |`  ( A  i^i  ( D [,)  +oo ) ) )
39 resres 5160 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  A  |->  C )  |`  A )  |`  ( D [,)  +oo ) )  =  ( ( x  e.  A  |->  C )  |`  ( A  i^i  ( D [,)  +oo ) ) )
4037, 38, 393eqtr4g 2494 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( x  e.  A  |->  B )  |`  A )  |`  ( D [,)  +oo ) )  =  ( ( ( x  e.  A  |->  C )  |`  A )  |`  ( D [,)  +oo ) ) )
41 ssid 3368 . . . . . . . 8  |-  A  C_  A
42 resmpt 5192 . . . . . . . 8  |-  ( A 
C_  A  ->  (
( x  e.  A  |->  B )  |`  A )  =  ( x  e.  A  |->  B ) )
43 reseq1 5141 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  A  |->  B )  |`  A )  =  ( x  e.  A  |->  B )  -> 
( ( ( x  e.  A  |->  B )  |`  A )  |`  ( D [,)  +oo ) )  =  ( ( x  e.  A  |->  B )  |`  ( D [,)  +oo )
) )
4441, 42, 43mp2b 10 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  A  |->  B )  |`  A )  |`  ( D [,)  +oo ) )  =  ( ( x  e.  A  |->  B )  |`  ( D [,)  +oo ) )
45 resmpt 5192 . . . . . . . 8  |-  ( A 
C_  A  ->  (
( x  e.  A  |->  C )  |`  A )  =  ( x  e.  A  |->  C ) )
46 reseq1 5141 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  A  |->  C )  |`  A )  =  ( x  e.  A  |->  C )  -> 
( ( ( x  e.  A  |->  C )  |`  A )  |`  ( D [,)  +oo ) )  =  ( ( x  e.  A  |->  C )  |`  ( D [,)  +oo )
) )
4741, 45, 46mp2b 10 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  A  |->  C )  |`  A )  |`  ( D [,)  +oo ) )  =  ( ( x  e.  A  |->  C )  |`  ( D [,)  +oo ) )
4840, 44, 473eqtr3g 2492 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  |`  ( D [,)  +oo )
)  =  ( ( x  e.  A  |->  C )  |`  ( D [,)  +oo ) ) )
4948eleq1d 2503 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( x  e.  A  |->  B )  |`  ( D [,)  +oo ) )  e.  <_ O ( 1 )  <->  ( (
x  e.  A  |->  C )  |`  ( D [,)  +oo ) )  e. 
<_ O ( 1 ) ) )
5049adantr 453 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A  C_  RR )  ->  ( ( ( x  e.  A  |->  B )  |`  ( D [,)  +oo ) )  e. 
<_ O ( 1 )  <-> 
( ( x  e.  A  |->  C )  |`  ( D [,)  +oo )
)  e.  <_ O
( 1 ) ) )
514adantr 453 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A  C_  RR )  ->  ( x  e.  A  |->  B ) : A --> RR )
52 simpr 449 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A  C_  RR )  ->  A  C_  RR )
5322adantr 453 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A  C_  RR )  ->  D  e.  RR )
5451, 52, 53lo1resb 12359 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A  C_  RR )  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  <_ O ( 1 )  <->  ( ( x  e.  A  |->  B )  |`  ( D [,)  +oo ) )  e.  <_ O ( 1 ) ) )
5512adantr 453 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A  C_  RR )  ->  ( x  e.  A  |->  C ) : A --> RR )
5655, 52, 53lo1resb 12359 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A  C_  RR )  ->  ( ( x  e.  A  |->  C )  e.  <_ O ( 1 )  <->  ( ( x  e.  A  |->  C )  |`  ( D [,)  +oo ) )  e.  <_ O ( 1 ) ) )
5750, 54, 563bitr4d 278 . . 3  |-  ( (
ph  /\  A  C_  RR )  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  <_ O ( 1 )  <->  ( x  e.  A  |->  C )  e. 
<_ O ( 1 ) ) )
5857ex 425 . 2  |-  ( ph  ->  ( A  C_  RR  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e. 
<_ O ( 1 )  <-> 
( x  e.  A  |->  C )  e.  <_ O ( 1 ) ) ) )
598, 16, 58pm5.21ndd 345 1  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e. 
<_ O ( 1 )  <-> 
( x  e.  A  |->  C )  e.  <_ O ( 1 ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726    i^i cin 3320    C_ wss 3321   class class class wbr 4213    e. cmpt 4267   dom cdm 4879    |` cres 4881   -->wf 5451  (class class class)co 6082   RRcr 8990    +oocpnf 9118    <_ cle 9122   [,)cico 10919   <_ O ( 1 )clo1 12282
This theorem is referenced by:  o1eq  12365
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2418  ax-sep 4331  ax-nul 4339  ax-pow 4378  ax-pr 4404  ax-un 4702  ax-cnex 9047  ax-resscn 9048  ax-pre-lttri 9065  ax-pre-lttrn 9066
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2711  df-rex 2712  df-rab 2715  df-v 2959  df-sbc 3163  df-csb 3253  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-nul 3630  df-if 3741  df-pw 3802  df-sn 3821  df-pr 3822  df-op 3824  df-uni 4017  df-br 4214  df-opab 4268  df-mpt 4269  df-id 4499  df-po 4504  df-so 4505  df-xp 4885  df-rel 4886  df-cnv 4887  df-co 4888  df-dm 4889  df-rn 4890  df-res 4891  df-ima 4892  df-iota 5419  df-fun 5457  df-fn 5458  df-f 5459  df-f1 5460  df-fo 5461  df-f1o 5462  df-fv 5463  df-ov 6085  df-oprab 6086  df-mpt2 6087  df-er 6906  df-pm 7022  df-en 7111  df-dom 7112  df-sdom 7113  df-pnf 9123  df-mnf 9124  df-xr 9125  df-ltxr 9126  df-le 9127  df-ico 10923  df-lo1 12286
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