MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lo1le Unicode version

Theorem lo1le 12141
Description: Transfer eventual upper boundedness from a larger function to a smaller function. (Contributed by Mario Carneiro, 26-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
lo1le.1  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
lo1le.2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  <_ O ( 1 ) )
lo1le.3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  V )
lo1le.4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  RR )
lo1le.5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  M  <_  x ) )  ->  C  <_  B )
Assertion
Ref Expression
lo1le  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C )  e.  <_ O ( 1 ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, M    ph, x
Allowed substitution hints:    B( x)    C( x)    V( x)

Proof of Theorem lo1le
Dummy variables  m  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lo1le.2 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  <_ O ( 1 ) )
2 simpr 447 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  y  e.  RR )
3 lo1le.1 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
43adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  M  e.  RR )
5 ifcl 3614 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  RR  /\  M  e.  RR )  ->  if ( M  <_ 
y ,  y ,  M )  e.  RR )
62, 4, 5syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  if ( M  <_  y , 
y ,  M )  e.  RR )
73ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  (
m  e.  RR  /\  x  e.  A )
)  ->  M  e.  RR )
8 simplr 731 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  (
m  e.  RR  /\  x  e.  A )
)  ->  y  e.  RR )
9 lo1le.3 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  V )
109ralrimiva 2639 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  B  e.  V )
11 dmmptg 5186 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  V  ->  dom  (
x  e.  A  |->  B )  =  A )
1210, 11syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  dom  ( x  e.  A  |->  B )  =  A )
13 lo1dm 12009 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  <_ O
( 1 )  ->  dom  ( x  e.  A  |->  B )  C_  RR )
141, 13syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  dom  ( x  e.  A  |->  B )  C_  RR )
1512, 14eqsstr3d 3226 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
1615ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  (
m  e.  RR  /\  x  e.  A )
)  ->  A  C_  RR )
17 simprr 733 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  (
m  e.  RR  /\  x  e.  A )
)  ->  x  e.  A )
1816, 17sseldd 3194 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  (
m  e.  RR  /\  x  e.  A )
)  ->  x  e.  RR )
19 maxle 10535 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  RR  /\  y  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( if ( M  <_  y ,  y ,  M
)  <_  x  <->  ( M  <_  x  /\  y  <_  x ) ) )
207, 8, 18, 19syl3anc 1182 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  (
m  e.  RR  /\  x  e.  A )
)  ->  ( if ( M  <_  y ,  y ,  M )  <_  x  <->  ( M  <_  x  /\  y  <_  x ) ) )
21 simpr 447 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  <_  x  /\  y  <_  x )  -> 
y  <_  x )
2220, 21syl6bi 219 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  (
m  e.  RR  /\  x  e.  A )
)  ->  ( if ( M  <_  y ,  y ,  M )  <_  x  ->  y  <_  x ) )
2322imim1d 69 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  (
m  e.  RR  /\  x  e.  A )
)  ->  ( (
y  <_  x  ->  B  <_  m )  -> 
( if ( M  <_  y ,  y ,  M )  <_  x  ->  B  <_  m
) ) )
24 lo1le.5 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  M  <_  x ) )  ->  C  <_  B )
2524adantlr 695 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  (
x  e.  A  /\  M  <_  x ) )  ->  C  <_  B
)
2625adantrll 702 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  (
( m  e.  RR  /\  x  e.  A )  /\  M  <_  x
) )  ->  C  <_  B )
27 simpl 443 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ph )
28 simplr 731 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( m  e.  RR  /\  x  e.  A )  /\  M  <_  x
)  ->  x  e.  A )
29 lo1le.4 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  RR )
3027, 28, 29syl2an 463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  (
( m  e.  RR  /\  x  e.  A )  /\  M  <_  x
) )  ->  C  e.  RR )
319, 1lo1mptrcl 12111 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  RR )
3227, 28, 31syl2an 463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  (
( m  e.  RR  /\  x  e.  A )  /\  M  <_  x
) )  ->  B  e.  RR )
33 simprll 738 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  (
( m  e.  RR  /\  x  e.  A )  /\  M  <_  x
) )  ->  m  e.  RR )
34 letr 8930 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( C  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  m  e.  RR )  ->  (
( C  <_  B  /\  B  <_  m )  ->  C  <_  m
) )
3530, 32, 33, 34syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  (
( m  e.  RR  /\  x  e.  A )  /\  M  <_  x
) )  ->  (
( C  <_  B  /\  B  <_  m )  ->  C  <_  m
) )
3626, 35mpand 656 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  (
( m  e.  RR  /\  x  e.  A )  /\  M  <_  x
) )  ->  ( B  <_  m  ->  C  <_  m ) )
3736expr 598 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  (
m  e.  RR  /\  x  e.  A )
)  ->  ( M  <_  x  ->  ( B  <_  m  ->  C  <_  m ) ) )
3837adantrd 454 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  (
m  e.  RR  /\  x  e.  A )
)  ->  ( ( M  <_  x  /\  y  <_  x )  ->  ( B  <_  m  ->  C  <_  m ) ) )
3920, 38sylbid 206 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  (
m  e.  RR  /\  x  e.  A )
)  ->  ( if ( M  <_  y ,  y ,  M )  <_  x  ->  ( B  <_  m  ->  C  <_  m ) ) )
4039a2d 23 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  (
m  e.  RR  /\  x  e.  A )
)  ->  ( ( if ( M  <_  y ,  y ,  M
)  <_  x  ->  B  <_  m )  -> 
( if ( M  <_  y ,  y ,  M )  <_  x  ->  C  <_  m
) ) )
4123, 40syld 40 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  (
m  e.  RR  /\  x  e.  A )
)  ->  ( (
y  <_  x  ->  B  <_  m )  -> 
( if ( M  <_  y ,  y ,  M )  <_  x  ->  C  <_  m
) ) )
4241anassrs 629 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  m  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  ->  ( (
y  <_  x  ->  B  <_  m )  -> 
( if ( M  <_  y ,  y ,  M )  <_  x  ->  C  <_  m
) ) )
4342ralimdva 2634 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  m  e.  RR )  ->  ( A. x  e.  A  ( y  <_  x  ->  B  <_  m )  ->  A. x  e.  A  ( if ( M  <_ 
y ,  y ,  M )  <_  x  ->  C  <_  m )
) )
4443reximdva 2668 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( E. m  e.  RR  A. x  e.  A  (
y  <_  x  ->  B  <_  m )  ->  E. m  e.  RR  A. x  e.  A  ( if ( M  <_ 
y ,  y ,  M )  <_  x  ->  C  <_  m )
) )
45 breq1 4042 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  if ( M  <_  y ,  y ,  M )  -> 
( z  <_  x  <->  if ( M  <_  y ,  y ,  M
)  <_  x )
)
4645imbi1d 308 . . . . . . 7  |-  ( z  =  if ( M  <_  y ,  y ,  M )  -> 
( ( z  <_  x  ->  C  <_  m
)  <->  ( if ( M  <_  y , 
y ,  M )  <_  x  ->  C  <_  m ) ) )
4746rexralbidv 2600 . . . . . 6  |-  ( z  =  if ( M  <_  y ,  y ,  M )  -> 
( E. m  e.  RR  A. x  e.  A  ( z  <_  x  ->  C  <_  m
)  <->  E. m  e.  RR  A. x  e.  A  ( if ( M  <_ 
y ,  y ,  M )  <_  x  ->  C  <_  m )
) )
4847rspcev 2897 . . . . 5  |-  ( ( if ( M  <_ 
y ,  y ,  M )  e.  RR  /\ 
E. m  e.  RR  A. x  e.  A  ( if ( M  <_ 
y ,  y ,  M )  <_  x  ->  C  <_  m )
)  ->  E. z  e.  RR  E. m  e.  RR  A. x  e.  A  ( z  <_  x  ->  C  <_  m
) )
496, 44, 48ee12an 1353 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( E. m  e.  RR  A. x  e.  A  (
y  <_  x  ->  B  <_  m )  ->  E. z  e.  RR  E. m  e.  RR  A. x  e.  A  (
z  <_  x  ->  C  <_  m ) ) )
5049rexlimdva 2680 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. y  e.  RR  E. m  e.  RR  A. x  e.  A  ( y  <_  x  ->  B  <_  m
)  ->  E. z  e.  RR  E. m  e.  RR  A. x  e.  A  ( z  <_  x  ->  C  <_  m
) ) )
5115, 31ello1mpt 12011 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e. 
<_ O ( 1 )  <->  E. y  e.  RR  E. m  e.  RR  A. x  e.  A  (
y  <_  x  ->  B  <_  m ) ) )
5215, 29ello1mpt 12011 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  C )  e. 
<_ O ( 1 )  <->  E. z  e.  RR  E. m  e.  RR  A. x  e.  A  (
z  <_  x  ->  C  <_  m ) ) )
5350, 51, 523imtr4d 259 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e. 
<_ O ( 1 )  ->  ( x  e.  A  |->  C )  e. 
<_ O ( 1 ) ) )
541, 53mpd 14 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C )  e.  <_ O ( 1 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   E.wrex 2557    C_ wss 3165   ifcif 3578   class class class wbr 4039    e. cmpt 4093   dom cdm 4705   RRcr 8752    <_ cle 8884   <_ O ( 1 )clo1 11977
This theorem is referenced by:  o1le  12142  vmalogdivsum2  20703  pntrlog2bndlem1  20742  pntrlog2bndlem5  20746
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-er 6676  df-pm 6791  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-ico 10678  df-lo1 11981
  Copyright terms: Public domain W3C validator