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Theorem lo1mul 12101
Description: The product of an eventually upper bounded function and a positive eventually upper bounded function is eventually upper bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 26-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
o1add2.1  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  V )
o1add2.2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  V )
lo1add.3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  <_ O ( 1 ) )
lo1add.4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C )  e.  <_ O ( 1 ) )
lo1mul.5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  0  <_  B )
Assertion
Ref Expression
lo1mul  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( B  x.  C
) )  e.  <_ O ( 1 ) )
Distinct variable groups:    x, A    ph, x
Allowed substitution hints:    B( x)    C( x)    V( x)

Proof of Theorem lo1mul
Dummy variables  m  c  n  p are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lo1add.3 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  <_ O ( 1 ) )
2 lo1add.4 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C )  e.  <_ O ( 1 ) )
3 reeanv 2707 . . . 4  |-  ( E. m  e.  RR  E. n  e.  RR  ( E. c  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  B  <_  m )  /\  E. c  e.  RR  A. x  e.  A  (
c  <_  x  ->  C  <_  n ) )  <-> 
( E. m  e.  RR  E. c  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  B  <_  m
)  /\  E. n  e.  RR  E. c  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  C  <_  n
) ) )
4 o1add2.1 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  V )
54ralrimiva 2626 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  B  e.  V )
6 dmmptg 5170 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  V  ->  dom  (
x  e.  A  |->  B )  =  A )
75, 6syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  dom  ( x  e.  A  |->  B )  =  A )
8 lo1dm 11993 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  <_ O
( 1 )  ->  dom  ( x  e.  A  |->  B )  C_  RR )
91, 8syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  dom  ( x  e.  A  |->  B )  C_  RR )
107, 9eqsstr3d 3213 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
1110adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  RR  /\  n  e.  RR ) )  ->  A  C_  RR )
12 rexanre 11830 . . . . . . 7  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( E. c  e.  RR  A. x  e.  A  (
c  <_  x  ->  ( B  <_  m  /\  C  <_  n ) )  <-> 
( E. c  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  B  <_  m
)  /\  E. c  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  C  <_  n
) ) ) )
1311, 12syl 15 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  RR  /\  n  e.  RR ) )  -> 
( E. c  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  ( B  <_  m  /\  C  <_  n
) )  <->  ( E. c  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  B  <_  m )  /\  E. c  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  C  <_  n
) ) ) )
14 simprl 732 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  RR  /\  n  e.  RR ) )  ->  m  e.  RR )
15 simprr 733 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  RR  /\  n  e.  RR ) )  ->  n  e.  RR )
16 0re 8838 . . . . . . . . . 10  |-  0  e.  RR
17 ifcl 3601 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  if ( 0  <_  n ,  n , 
0 )  e.  RR )
1815, 16, 17sylancl 643 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  RR  /\  n  e.  RR ) )  ->  if ( 0  <_  n ,  n ,  0 )  e.  RR )
1914, 18remulcld 8863 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  RR  /\  n  e.  RR ) )  -> 
( m  x.  if ( 0  <_  n ,  n ,  0 ) )  e.  RR )
20 simplrr 737 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  RR  /\  n  e.  RR )
)  /\  x  e.  A )  ->  n  e.  RR )
21 max2 10516 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  n  e.  RR )  ->  n  <_  if (
0  <_  n ,  n ,  0 ) )
2216, 20, 21sylancr 644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  RR  /\  n  e.  RR )
)  /\  x  e.  A )  ->  n  <_  if ( 0  <_  n ,  n , 
0 ) )
23 o1add2.2 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  V )
2423, 2lo1mptrcl 12095 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  RR )
2524adantlr 695 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  RR  /\  n  e.  RR )
)  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  RR )
2620, 16, 17sylancl 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  RR  /\  n  e.  RR )
)  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  n ,  n ,  0 )  e.  RR )
27 letr 8914 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( C  e.  RR  /\  n  e.  RR  /\  if ( 0  <_  n ,  n ,  0 )  e.  RR )  -> 
( ( C  <_  n  /\  n  <_  if ( 0  <_  n ,  n ,  0 ) )  ->  C  <_  if ( 0  <_  n ,  n ,  0 ) ) )
2825, 20, 26, 27syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  RR  /\  n  e.  RR )
)  /\  x  e.  A )  ->  (
( C  <_  n  /\  n  <_  if ( 0  <_  n ,  n ,  0 ) )  ->  C  <_  if ( 0  <_  n ,  n ,  0 ) ) )
2922, 28mpan2d 655 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  RR  /\  n  e.  RR )
)  /\  x  e.  A )  ->  ( C  <_  n  ->  C  <_  if ( 0  <_  n ,  n , 
0 ) ) )
304, 1lo1mptrcl 12095 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  RR )
3130adantlr 695 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  RR  /\  n  e.  RR )
)  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  RR )
32 lo1mul.5 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  0  <_  B )
3332adantlr 695 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  RR  /\  n  e.  RR )
)  /\  x  e.  A )  ->  0  <_  B )
3431, 33jca 518 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  RR  /\  n  e.  RR )
)  /\  x  e.  A )  ->  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B ) )
35 simplrl 736 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  RR  /\  n  e.  RR )
)  /\  x  e.  A )  ->  m  e.  RR )
36 max1 10514 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  n  e.  RR )  ->  0  <_  if (
0  <_  n ,  n ,  0 ) )
3716, 20, 36sylancr 644 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  RR  /\  n  e.  RR )
)  /\  x  e.  A )  ->  0  <_  if ( 0  <_  n ,  n , 
0 ) )
3826, 37jca 518 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  RR  /\  n  e.  RR )
)  /\  x  e.  A )  ->  ( if ( 0  <_  n ,  n ,  0 )  e.  RR  /\  0  <_  if ( 0  <_  n ,  n , 
0 ) ) )
39 lemul12b 9613 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  m  e.  RR )  /\  ( C  e.  RR  /\  ( if ( 0  <_  n ,  n ,  0 )  e.  RR  /\  0  <_  if ( 0  <_  n ,  n , 
0 ) ) ) )  ->  ( ( B  <_  m  /\  C  <_  if ( 0  <_  n ,  n , 
0 ) )  -> 
( B  x.  C
)  <_  ( m  x.  if ( 0  <_  n ,  n , 
0 ) ) ) )
4034, 35, 25, 38, 39syl22anc 1183 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  RR  /\  n  e.  RR )
)  /\  x  e.  A )  ->  (
( B  <_  m  /\  C  <_  if ( 0  <_  n ,  n ,  0 ) )  ->  ( B  x.  C )  <_  (
m  x.  if ( 0  <_  n ,  n ,  0 ) ) ) )
4129, 40sylan2d 468 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  RR  /\  n  e.  RR )
)  /\  x  e.  A )  ->  (
( B  <_  m  /\  C  <_  n )  ->  ( B  x.  C )  <_  (
m  x.  if ( 0  <_  n ,  n ,  0 ) ) ) )
4241imim2d 48 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  RR  /\  n  e.  RR )
)  /\  x  e.  A )  ->  (
( c  <_  x  ->  ( B  <_  m  /\  C  <_  n ) )  ->  ( c  <_  x  ->  ( B  x.  C )  <_  (
m  x.  if ( 0  <_  n ,  n ,  0 ) ) ) ) )
4342ralimdva 2621 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  RR  /\  n  e.  RR ) )  -> 
( A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  ( B  <_  m  /\  C  <_  n
) )  ->  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  ( B  x.  C )  <_  (
m  x.  if ( 0  <_  n ,  n ,  0 ) ) ) ) )
44 breq2 4027 . . . . . . . . . . 11  |-  ( p  =  ( m  x.  if ( 0  <_  n ,  n , 
0 ) )  -> 
( ( B  x.  C )  <_  p  <->  ( B  x.  C )  <_  ( m  x.  if ( 0  <_  n ,  n , 
0 ) ) ) )
4544imbi2d 307 . . . . . . . . . 10  |-  ( p  =  ( m  x.  if ( 0  <_  n ,  n , 
0 ) )  -> 
( ( c  <_  x  ->  ( B  x.  C )  <_  p
)  <->  ( c  <_  x  ->  ( B  x.  C )  <_  (
m  x.  if ( 0  <_  n ,  n ,  0 ) ) ) ) )
4645ralbidv 2563 . . . . . . . . 9  |-  ( p  =  ( m  x.  if ( 0  <_  n ,  n , 
0 ) )  -> 
( A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  ( B  x.  C )  <_  p
)  <->  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  ( B  x.  C
)  <_  ( m  x.  if ( 0  <_  n ,  n , 
0 ) ) ) ) )
4746rspcev 2884 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( m  x.  if ( 0  <_  n ,  n ,  0 ) )  e.  RR  /\  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  ( B  x.  C )  <_  ( m  x.  if ( 0  <_  n ,  n , 
0 ) ) ) )  ->  E. p  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  ( B  x.  C )  <_  p
) )
4819, 43, 47ee12an 1353 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  RR  /\  n  e.  RR ) )  -> 
( A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  ( B  <_  m  /\  C  <_  n
) )  ->  E. p  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  ( B  x.  C )  <_  p
) ) )
4948reximdv 2654 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  RR  /\  n  e.  RR ) )  -> 
( E. c  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  ( B  <_  m  /\  C  <_  n
) )  ->  E. c  e.  RR  E. p  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  ( B  x.  C )  <_  p
) ) )
5013, 49sylbird 226 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  RR  /\  n  e.  RR ) )  -> 
( ( E. c  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  B  <_  m
)  /\  E. c  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  C  <_  n
) )  ->  E. c  e.  RR  E. p  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  ( B  x.  C )  <_  p
) ) )
5150rexlimdvva 2674 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E. m  e.  RR  E. n  e.  RR  ( E. c  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  B  <_  m
)  /\  E. c  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  C  <_  n
) )  ->  E. c  e.  RR  E. p  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  ( B  x.  C )  <_  p
) ) )
523, 51syl5bir 209 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( E. m  e.  RR  E. c  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  B  <_  m
)  /\  E. n  e.  RR  E. c  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  C  <_  n
) )  ->  E. c  e.  RR  E. p  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  ( B  x.  C )  <_  p
) ) )
5310, 30ello1mpt 11995 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e. 
<_ O ( 1 )  <->  E. c  e.  RR  E. m  e.  RR  A. x  e.  A  (
c  <_  x  ->  B  <_  m ) ) )
54 rexcom 2701 . . . . 5  |-  ( E. c  e.  RR  E. m  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  B  <_  m )  <->  E. m  e.  RR  E. c  e.  RR  A. x  e.  A  (
c  <_  x  ->  B  <_  m ) )
5553, 54syl6bb 252 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e. 
<_ O ( 1 )  <->  E. m  e.  RR  E. c  e.  RR  A. x  e.  A  (
c  <_  x  ->  B  <_  m ) ) )
5610, 24ello1mpt 11995 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  C )  e. 
<_ O ( 1 )  <->  E. c  e.  RR  E. n  e.  RR  A. x  e.  A  (
c  <_  x  ->  C  <_  n ) ) )
57 rexcom 2701 . . . . 5  |-  ( E. c  e.  RR  E. n  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  C  <_  n )  <->  E. n  e.  RR  E. c  e.  RR  A. x  e.  A  (
c  <_  x  ->  C  <_  n ) )
5856, 57syl6bb 252 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  C )  e. 
<_ O ( 1 )  <->  E. n  e.  RR  E. c  e.  RR  A. x  e.  A  (
c  <_  x  ->  C  <_  n ) ) )
5955, 58anbi12d 691 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  <_ O ( 1 )  /\  ( x  e.  A  |->  C )  e.  <_ O ( 1 ) )  <->  ( E. m  e.  RR  E. c  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  B  <_  m
)  /\  E. n  e.  RR  E. c  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  C  <_  n
) ) ) )
6030, 24remulcld 8863 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( B  x.  C )  e.  RR )
6110, 60ello1mpt 11995 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( B  x.  C ) )  e. 
<_ O ( 1 )  <->  E. c  e.  RR  E. p  e.  RR  A. x  e.  A  (
c  <_  x  ->  ( B  x.  C )  <_  p ) ) )
6252, 59, 613imtr4d 259 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  <_ O ( 1 )  /\  ( x  e.  A  |->  C )  e.  <_ O ( 1 ) )  ->  (
x  e.  A  |->  ( B  x.  C ) )  e.  <_ O
( 1 ) ) )
631, 2, 62mp2and 660 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( B  x.  C
) )  e.  <_ O ( 1 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   E.wrex 2544    C_ wss 3152   ifcif 3565   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077   dom cdm 4689  (class class class)co 5858   RRcr 8736   0cc0 8737    x. cmul 8742    <_ cle 8868   <_ O ( 1 )clo1 11961
This theorem is referenced by:  lo1mul2  12102  pntrlog2bndlem4  20729  pntrlog2bndlem5  20730
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-riota 6304  df-er 6660  df-pm 6775  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-ico 10662  df-lo1 11965
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