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Theorem lo1mul 12384
Description: The product of an eventually upper bounded function and a positive eventually upper bounded function is eventually upper bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 26-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
o1add2.1  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  V )
o1add2.2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  V )
lo1add.3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  <_ O ( 1 ) )
lo1add.4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C )  e.  <_ O ( 1 ) )
lo1mul.5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  0  <_  B )
Assertion
Ref Expression
lo1mul  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( B  x.  C
) )  e.  <_ O ( 1 ) )
Distinct variable groups:    x, A    ph, x
Allowed substitution hints:    B( x)    C( x)    V( x)

Proof of Theorem lo1mul
Dummy variables  m  c  n  p are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lo1add.3 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  <_ O ( 1 ) )
2 lo1add.4 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C )  e.  <_ O ( 1 ) )
3 reeanv 2843 . . . 4  |-  ( E. m  e.  RR  E. n  e.  RR  ( E. c  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  B  <_  m )  /\  E. c  e.  RR  A. x  e.  A  (
c  <_  x  ->  C  <_  n ) )  <-> 
( E. m  e.  RR  E. c  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  B  <_  m
)  /\  E. n  e.  RR  E. c  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  C  <_  n
) ) )
4 o1add2.1 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  V )
54ralrimiva 2757 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  B  e.  V )
6 dmmptg 5334 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  V  ->  dom  (
x  e.  A  |->  B )  =  A )
75, 6syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  dom  ( x  e.  A  |->  B )  =  A )
8 lo1dm 12276 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  <_ O
( 1 )  ->  dom  ( x  e.  A  |->  B )  C_  RR )
91, 8syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  dom  ( x  e.  A  |->  B )  C_  RR )
107, 9eqsstr3d 3351 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
1110adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  RR  /\  n  e.  RR ) )  ->  A  C_  RR )
12 rexanre 12113 . . . . . . 7  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( E. c  e.  RR  A. x  e.  A  (
c  <_  x  ->  ( B  <_  m  /\  C  <_  n ) )  <-> 
( E. c  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  B  <_  m
)  /\  E. c  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  C  <_  n
) ) ) )
1311, 12syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  RR  /\  n  e.  RR ) )  -> 
( E. c  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  ( B  <_  m  /\  C  <_  n
) )  <->  ( E. c  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  B  <_  m )  /\  E. c  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  C  <_  n
) ) ) )
14 simprl 733 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  RR  /\  n  e.  RR ) )  ->  m  e.  RR )
15 simprr 734 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  RR  /\  n  e.  RR ) )  ->  n  e.  RR )
16 0re 9055 . . . . . . . . . 10  |-  0  e.  RR
17 ifcl 3743 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  if ( 0  <_  n ,  n , 
0 )  e.  RR )
1815, 16, 17sylancl 644 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  RR  /\  n  e.  RR ) )  ->  if ( 0  <_  n ,  n ,  0 )  e.  RR )
1914, 18remulcld 9080 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  RR  /\  n  e.  RR ) )  -> 
( m  x.  if ( 0  <_  n ,  n ,  0 ) )  e.  RR )
20 simplrr 738 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  RR  /\  n  e.  RR )
)  /\  x  e.  A )  ->  n  e.  RR )
21 max2 10739 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  n  e.  RR )  ->  n  <_  if (
0  <_  n ,  n ,  0 ) )
2216, 20, 21sylancr 645 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  RR  /\  n  e.  RR )
)  /\  x  e.  A )  ->  n  <_  if ( 0  <_  n ,  n , 
0 ) )
23 o1add2.2 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  V )
2423, 2lo1mptrcl 12378 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  RR )
2524adantlr 696 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  RR  /\  n  e.  RR )
)  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  RR )
2620, 16, 17sylancl 644 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  RR  /\  n  e.  RR )
)  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  n ,  n ,  0 )  e.  RR )
27 letr 9131 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( C  e.  RR  /\  n  e.  RR  /\  if ( 0  <_  n ,  n ,  0 )  e.  RR )  -> 
( ( C  <_  n  /\  n  <_  if ( 0  <_  n ,  n ,  0 ) )  ->  C  <_  if ( 0  <_  n ,  n ,  0 ) ) )
2825, 20, 26, 27syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  RR  /\  n  e.  RR )
)  /\  x  e.  A )  ->  (
( C  <_  n  /\  n  <_  if ( 0  <_  n ,  n ,  0 ) )  ->  C  <_  if ( 0  <_  n ,  n ,  0 ) ) )
2922, 28mpan2d 656 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  RR  /\  n  e.  RR )
)  /\  x  e.  A )  ->  ( C  <_  n  ->  C  <_  if ( 0  <_  n ,  n , 
0 ) ) )
304, 1lo1mptrcl 12378 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  RR )
3130adantlr 696 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  RR  /\  n  e.  RR )
)  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  RR )
32 lo1mul.5 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  0  <_  B )
3332adantlr 696 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  RR  /\  n  e.  RR )
)  /\  x  e.  A )  ->  0  <_  B )
3431, 33jca 519 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  RR  /\  n  e.  RR )
)  /\  x  e.  A )  ->  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B ) )
35 simplrl 737 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  RR  /\  n  e.  RR )
)  /\  x  e.  A )  ->  m  e.  RR )
36 max1 10737 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  n  e.  RR )  ->  0  <_  if (
0  <_  n ,  n ,  0 ) )
3716, 20, 36sylancr 645 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  RR  /\  n  e.  RR )
)  /\  x  e.  A )  ->  0  <_  if ( 0  <_  n ,  n , 
0 ) )
3826, 37jca 519 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  RR  /\  n  e.  RR )
)  /\  x  e.  A )  ->  ( if ( 0  <_  n ,  n ,  0 )  e.  RR  /\  0  <_  if ( 0  <_  n ,  n , 
0 ) ) )
39 lemul12b 9831 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  m  e.  RR )  /\  ( C  e.  RR  /\  ( if ( 0  <_  n ,  n ,  0 )  e.  RR  /\  0  <_  if ( 0  <_  n ,  n , 
0 ) ) ) )  ->  ( ( B  <_  m  /\  C  <_  if ( 0  <_  n ,  n , 
0 ) )  -> 
( B  x.  C
)  <_  ( m  x.  if ( 0  <_  n ,  n , 
0 ) ) ) )
4034, 35, 25, 38, 39syl22anc 1185 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  RR  /\  n  e.  RR )
)  /\  x  e.  A )  ->  (
( B  <_  m  /\  C  <_  if ( 0  <_  n ,  n ,  0 ) )  ->  ( B  x.  C )  <_  (
m  x.  if ( 0  <_  n ,  n ,  0 ) ) ) )
4129, 40sylan2d 469 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  RR  /\  n  e.  RR )
)  /\  x  e.  A )  ->  (
( B  <_  m  /\  C  <_  n )  ->  ( B  x.  C )  <_  (
m  x.  if ( 0  <_  n ,  n ,  0 ) ) ) )
4241imim2d 50 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  RR  /\  n  e.  RR )
)  /\  x  e.  A )  ->  (
( c  <_  x  ->  ( B  <_  m  /\  C  <_  n ) )  ->  ( c  <_  x  ->  ( B  x.  C )  <_  (
m  x.  if ( 0  <_  n ,  n ,  0 ) ) ) ) )
4342ralimdva 2752 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  RR  /\  n  e.  RR ) )  -> 
( A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  ( B  <_  m  /\  C  <_  n
) )  ->  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  ( B  x.  C )  <_  (
m  x.  if ( 0  <_  n ,  n ,  0 ) ) ) ) )
44 breq2 4184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( p  =  ( m  x.  if ( 0  <_  n ,  n , 
0 ) )  -> 
( ( B  x.  C )  <_  p  <->  ( B  x.  C )  <_  ( m  x.  if ( 0  <_  n ,  n , 
0 ) ) ) )
4544imbi2d 308 . . . . . . . . . 10  |-  ( p  =  ( m  x.  if ( 0  <_  n ,  n , 
0 ) )  -> 
( ( c  <_  x  ->  ( B  x.  C )  <_  p
)  <->  ( c  <_  x  ->  ( B  x.  C )  <_  (
m  x.  if ( 0  <_  n ,  n ,  0 ) ) ) ) )
4645ralbidv 2694 . . . . . . . . 9  |-  ( p  =  ( m  x.  if ( 0  <_  n ,  n , 
0 ) )  -> 
( A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  ( B  x.  C )  <_  p
)  <->  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  ( B  x.  C
)  <_  ( m  x.  if ( 0  <_  n ,  n , 
0 ) ) ) ) )
4746rspcev 3020 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( m  x.  if ( 0  <_  n ,  n ,  0 ) )  e.  RR  /\  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  ( B  x.  C )  <_  ( m  x.  if ( 0  <_  n ,  n , 
0 ) ) ) )  ->  E. p  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  ( B  x.  C )  <_  p
) )
4819, 43, 47ee12an 1369 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  RR  /\  n  e.  RR ) )  -> 
( A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  ( B  <_  m  /\  C  <_  n
) )  ->  E. p  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  ( B  x.  C )  <_  p
) ) )
4948reximdv 2785 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  RR  /\  n  e.  RR ) )  -> 
( E. c  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  ( B  <_  m  /\  C  <_  n
) )  ->  E. c  e.  RR  E. p  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  ( B  x.  C )  <_  p
) ) )
5013, 49sylbird 227 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  RR  /\  n  e.  RR ) )  -> 
( ( E. c  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  B  <_  m
)  /\  E. c  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  C  <_  n
) )  ->  E. c  e.  RR  E. p  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  ( B  x.  C )  <_  p
) ) )
5150rexlimdvva 2805 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E. m  e.  RR  E. n  e.  RR  ( E. c  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  B  <_  m
)  /\  E. c  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  C  <_  n
) )  ->  E. c  e.  RR  E. p  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  ( B  x.  C )  <_  p
) ) )
523, 51syl5bir 210 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( E. m  e.  RR  E. c  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  B  <_  m
)  /\  E. n  e.  RR  E. c  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  C  <_  n
) )  ->  E. c  e.  RR  E. p  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  ( B  x.  C )  <_  p
) ) )
5310, 30ello1mpt 12278 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e. 
<_ O ( 1 )  <->  E. c  e.  RR  E. m  e.  RR  A. x  e.  A  (
c  <_  x  ->  B  <_  m ) ) )
54 rexcom 2837 . . . . 5  |-  ( E. c  e.  RR  E. m  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  B  <_  m )  <->  E. m  e.  RR  E. c  e.  RR  A. x  e.  A  (
c  <_  x  ->  B  <_  m ) )
5553, 54syl6bb 253 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e. 
<_ O ( 1 )  <->  E. m  e.  RR  E. c  e.  RR  A. x  e.  A  (
c  <_  x  ->  B  <_  m ) ) )
5610, 24ello1mpt 12278 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  C )  e. 
<_ O ( 1 )  <->  E. c  e.  RR  E. n  e.  RR  A. x  e.  A  (
c  <_  x  ->  C  <_  n ) ) )
57 rexcom 2837 . . . . 5  |-  ( E. c  e.  RR  E. n  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  C  <_  n )  <->  E. n  e.  RR  E. c  e.  RR  A. x  e.  A  (
c  <_  x  ->  C  <_  n ) )
5856, 57syl6bb 253 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  C )  e. 
<_ O ( 1 )  <->  E. n  e.  RR  E. c  e.  RR  A. x  e.  A  (
c  <_  x  ->  C  <_  n ) ) )
5955, 58anbi12d 692 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  <_ O ( 1 )  /\  ( x  e.  A  |->  C )  e.  <_ O ( 1 ) )  <->  ( E. m  e.  RR  E. c  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  B  <_  m
)  /\  E. n  e.  RR  E. c  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  C  <_  n
) ) ) )
6030, 24remulcld 9080 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( B  x.  C )  e.  RR )
6110, 60ello1mpt 12278 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( B  x.  C ) )  e. 
<_ O ( 1 )  <->  E. c  e.  RR  E. p  e.  RR  A. x  e.  A  (
c  <_  x  ->  ( B  x.  C )  <_  p ) ) )
6252, 59, 613imtr4d 260 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  <_ O ( 1 )  /\  ( x  e.  A  |->  C )  e.  <_ O ( 1 ) )  ->  (
x  e.  A  |->  ( B  x.  C ) )  e.  <_ O
( 1 ) ) )
631, 2, 62mp2and 661 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( B  x.  C
) )  e.  <_ O ( 1 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2674   E.wrex 2675    C_ wss 3288   ifcif 3707   class class class wbr 4180    e. cmpt 4234   dom cdm 4845  (class class class)co 6048   RRcr 8953   0cc0 8954    x. cmul 8959    <_ cle 9085   <_ O ( 1 )clo1 12244
This theorem is referenced by:  lo1mul2  12385  pntrlog2bndlem4  21235  pntrlog2bndlem5  21236
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668  ax-cnex 9010  ax-resscn 9011  ax-1cn 9012  ax-icn 9013  ax-addcl 9014  ax-addrcl 9015  ax-mulcl 9016  ax-mulrcl 9017  ax-mulcom 9018  ax-addass 9019  ax-mulass 9020  ax-distr 9021  ax-i2m1 9022  ax-1ne0 9023  ax-1rid 9024  ax-rnegex 9025  ax-rrecex 9026  ax-cnre 9027  ax-pre-lttri 9028  ax-pre-lttrn 9029  ax-pre-ltadd 9030  ax-pre-mulgt0 9031
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-nel 2578  df-ral 2679  df-rex 2680  df-reu 2681  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-op 3791  df-uni 3984  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-id 4466  df-po 4471  df-so 4472  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-ov 6051  df-oprab 6052  df-mpt2 6053  df-riota 6516  df-er 6872  df-pm 6988  df-en 7077  df-dom 7078  df-sdom 7079  df-pnf 9086  df-mnf 9087  df-xr 9088  df-ltxr 9089  df-le 9090  df-sub 9257  df-neg 9258  df-ico 10886  df-lo1 12248
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