MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lo1mul2 Unicode version

Theorem lo1mul2 12118
Description: The product of an eventually upper bounded function and a positive eventually upper bounded function is eventually upper bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 26-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
o1add2.1  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  V )
o1add2.2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  V )
lo1add.3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  <_ O ( 1 ) )
lo1add.4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C )  e.  <_ O ( 1 ) )
lo1mul.5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  0  <_  B )
Assertion
Ref Expression
lo1mul2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( C  x.  B
) )  e.  <_ O ( 1 ) )
Distinct variable groups:    x, A    ph, x
Allowed substitution hints:    B( x)    C( x)    V( x)

Proof of Theorem lo1mul2
StepHypRef Expression
1 o1add2.2 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  V )
2 lo1add.4 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C )  e.  <_ O ( 1 ) )
31, 2lo1mptrcl 12111 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  RR )
43recnd 8877 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  CC )
5 o1add2.1 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  V )
6 lo1add.3 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  <_ O ( 1 ) )
75, 6lo1mptrcl 12111 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  RR )
87recnd 8877 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  CC )
94, 8mulcomd 8872 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( C  x.  B )  =  ( B  x.  C ) )
109mpteq2dva 4122 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( C  x.  B
) )  =  ( x  e.  A  |->  ( B  x.  C ) ) )
11 lo1mul.5 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  0  <_  B )
125, 1, 6, 2, 11lo1mul 12117 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( B  x.  C
) )  e.  <_ O ( 1 ) )
1310, 12eqeltrd 2370 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( C  x.  B
) )  e.  <_ O ( 1 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    e. wcel 1696   class class class wbr 4039    e. cmpt 4093  (class class class)co 5874   0cc0 8753    x. cmul 8758    <_ cle 8884   <_ O ( 1 )clo1 11977
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-riota 6320  df-er 6676  df-pm 6791  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-ico 10678  df-lo1 11981
  Copyright terms: Public domain W3C validator