MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lo1o1 Unicode version

Theorem lo1o1 12022
Description: A function is eventually bounded iff its absolute value is eventually upper bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 26-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
lo1o1  |-  ( F : A --> CC  ->  ( F  e.  O ( 1 )  <->  ( abs  o.  F )  e.  <_ O ( 1 ) ) )

Proof of Theorem lo1o1
Dummy variables  x  m  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 o1dm 12020 . . 3  |-  ( F  e.  O ( 1 )  ->  dom  F  C_  RR )
2 fdm 5409 . . . 4  |-  ( F : A --> CC  ->  dom 
F  =  A )
32sseq1d 3218 . . 3  |-  ( F : A --> CC  ->  ( dom  F  C_  RR  <->  A 
C_  RR ) )
41, 3syl5ib 210 . 2  |-  ( F : A --> CC  ->  ( F  e.  O ( 1 )  ->  A  C_  RR ) )
5 lo1dm 12009 . . 3  |-  ( ( abs  o.  F )  e.  <_ O ( 1 )  ->  dom  ( abs 
o.  F )  C_  RR )
6 absf 11837 . . . . . 6  |-  abs : CC
--> RR
7 fco 5414 . . . . . 6  |-  ( ( abs : CC --> RR  /\  F : A --> CC )  ->  ( abs  o.  F ) : A --> RR )
86, 7mpan 651 . . . . 5  |-  ( F : A --> CC  ->  ( abs  o.  F ) : A --> RR )
9 fdm 5409 . . . . 5  |-  ( ( abs  o.  F ) : A --> RR  ->  dom  ( abs  o.  F
)  =  A )
108, 9syl 15 . . . 4  |-  ( F : A --> CC  ->  dom  ( abs  o.  F
)  =  A )
1110sseq1d 3218 . . 3  |-  ( F : A --> CC  ->  ( dom  ( abs  o.  F )  C_  RR  <->  A 
C_  RR ) )
125, 11syl5ib 210 . 2  |-  ( F : A --> CC  ->  ( ( abs  o.  F
)  e.  <_ O
( 1 )  ->  A  C_  RR ) )
13 fvco3 5612 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : A --> CC  /\  y  e.  A )  ->  ( ( abs  o.  F ) `  y
)  =  ( abs `  ( F `  y
) ) )
1413adantlr 695 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F : A --> CC  /\  A  C_  RR )  /\  y  e.  A
)  ->  ( ( abs  o.  F ) `  y )  =  ( abs `  ( F `
 y ) ) )
1514breq1d 4049 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F : A --> CC  /\  A  C_  RR )  /\  y  e.  A
)  ->  ( (
( abs  o.  F
) `  y )  <_  m  <->  ( abs `  ( F `  y )
)  <_  m )
)
1615imbi2d 307 . . . . . 6  |-  ( ( ( F : A --> CC  /\  A  C_  RR )  /\  y  e.  A
)  ->  ( (
x  <_  y  ->  ( ( abs  o.  F
) `  y )  <_  m )  <->  ( x  <_  y  ->  ( abs `  ( F `  y
) )  <_  m
) ) )
1716ralbidva 2572 . . . . 5  |-  ( ( F : A --> CC  /\  A  C_  RR )  -> 
( A. y  e.  A  ( x  <_ 
y  ->  ( ( abs  o.  F ) `  y )  <_  m
)  <->  A. y  e.  A  ( x  <_  y  -> 
( abs `  ( F `  y )
)  <_  m )
) )
18172rexbidv 2599 . . . 4  |-  ( ( F : A --> CC  /\  A  C_  RR )  -> 
( E. x  e.  RR  E. m  e.  RR  A. y  e.  A  ( x  <_ 
y  ->  ( ( abs  o.  F ) `  y )  <_  m
)  <->  E. x  e.  RR  E. m  e.  RR  A. y  e.  A  (
x  <_  y  ->  ( abs `  ( F `
 y ) )  <_  m ) ) )
19 ello12 12006 . . . . 5  |-  ( ( ( abs  o.  F
) : A --> RR  /\  A  C_  RR )  -> 
( ( abs  o.  F )  e.  <_ O ( 1 )  <->  E. x  e.  RR  E. m  e.  RR  A. y  e.  A  ( x  <_ 
y  ->  ( ( abs  o.  F ) `  y )  <_  m
) ) )
208, 19sylan 457 . . . 4  |-  ( ( F : A --> CC  /\  A  C_  RR )  -> 
( ( abs  o.  F )  e.  <_ O ( 1 )  <->  E. x  e.  RR  E. m  e.  RR  A. y  e.  A  ( x  <_ 
y  ->  ( ( abs  o.  F ) `  y )  <_  m
) ) )
21 elo12 12017 . . . 4  |-  ( ( F : A --> CC  /\  A  C_  RR )  -> 
( F  e.  O
( 1 )  <->  E. x  e.  RR  E. m  e.  RR  A. y  e.  A  ( x  <_ 
y  ->  ( abs `  ( F `  y
) )  <_  m
) ) )
2218, 20, 213bitr4rd 277 . . 3  |-  ( ( F : A --> CC  /\  A  C_  RR )  -> 
( F  e.  O
( 1 )  <->  ( abs  o.  F )  e.  <_ O ( 1 ) ) )
2322ex 423 . 2  |-  ( F : A --> CC  ->  ( A  C_  RR  ->  ( F  e.  O ( 1 )  <->  ( abs  o.  F )  e.  <_ O ( 1 ) ) ) )
244, 12, 23pm5.21ndd 343 1  |-  ( F : A --> CC  ->  ( F  e.  O ( 1 )  <->  ( abs  o.  F )  e.  <_ O ( 1 ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   E.wrex 2557    C_ wss 3165   class class class wbr 4039   dom cdm 4705    o. ccom 4709   -->wf 5267   ` cfv 5271   CCcc 8751   RRcr 8752    <_ cle 8884   abscabs 11735   O ( 1 )co1 11976   <_ O ( 1 )clo1 11977
This theorem is referenced by:  lo1o12  12023  o1res  12050
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-pm 6791  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-sup 7210  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-rp 10371  df-ico 10678  df-seq 11063  df-exp 11121  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-o1 11980  df-lo1 11981
  Copyright terms: Public domain W3C validator