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Theorem lo1res 12353
Description: The restriction of an eventually upper bounded function is eventually upper bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
lo1res  |-  ( F  e.  <_ O ( 1 )  ->  ( F  |`  A )  e.  <_ O ( 1 ) )

Proof of Theorem lo1res
Dummy variables  x  m  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lo1f 12312 . . . 4  |-  ( F  e.  <_ O ( 1 )  ->  F : dom  F --> RR )
2 lo1bdd 12314 . . . 4  |-  ( ( F  e.  <_ O
( 1 )  /\  F : dom  F --> RR )  ->  E. x  e.  RR  E. m  e.  RR  A. y  e.  dom  F ( x  <_  y  ->  ( F `  y )  <_  m ) )
31, 2mpdan 650 . . 3  |-  ( F  e.  <_ O ( 1 )  ->  E. x  e.  RR  E. m  e.  RR  A. y  e. 
dom  F ( x  <_  y  ->  ( F `  y )  <_  m ) )
4 inss1 3561 . . . . . . 7  |-  ( dom 
F  i^i  A )  C_ 
dom  F
5 ssralv 3407 . . . . . . 7  |-  ( ( dom  F  i^i  A
)  C_  dom  F  -> 
( A. y  e. 
dom  F ( x  <_  y  ->  ( F `  y )  <_  m )  ->  A. y  e.  ( dom  F  i^i  A ) ( x  <_ 
y  ->  ( F `  y )  <_  m
) ) )
64, 5ax-mp 8 . . . . . 6  |-  ( A. y  e.  dom  F ( x  <_  y  ->  ( F `  y )  <_  m )  ->  A. y  e.  ( dom  F  i^i  A ) ( x  <_  y  ->  ( F `  y
)  <_  m )
)
7 inss2 3562 . . . . . . . . . . 11  |-  ( dom 
F  i^i  A )  C_  A
87sseli 3344 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ( dom  F  i^i  A )  ->  y  e.  A )
9 fvres 5745 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  A  ->  (
( F  |`  A ) `
 y )  =  ( F `  y
) )
108, 9syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ( dom  F  i^i  A )  ->  (
( F  |`  A ) `
 y )  =  ( F `  y
) )
1110breq1d 4222 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( dom  F  i^i  A )  ->  (
( ( F  |`  A ) `  y
)  <_  m  <->  ( F `  y )  <_  m
) )
1211imbi2d 308 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( dom  F  i^i  A )  ->  (
( x  <_  y  ->  ( ( F  |`  A ) `  y
)  <_  m )  <->  ( x  <_  y  ->  ( F `  y )  <_  m ) ) )
1312ralbiia 2737 . . . . . 6  |-  ( A. y  e.  ( dom  F  i^i  A ) ( x  <_  y  ->  ( ( F  |`  A ) `
 y )  <_  m )  <->  A. y  e.  ( dom  F  i^i  A ) ( x  <_ 
y  ->  ( F `  y )  <_  m
) )
146, 13sylibr 204 . . . . 5  |-  ( A. y  e.  dom  F ( x  <_  y  ->  ( F `  y )  <_  m )  ->  A. y  e.  ( dom  F  i^i  A ) ( x  <_  y  ->  ( ( F  |`  A ) `  y
)  <_  m )
)
1514reximi 2813 . . . 4  |-  ( E. m  e.  RR  A. y  e.  dom  F ( x  <_  y  ->  ( F `  y )  <_  m )  ->  E. m  e.  RR  A. y  e.  ( dom 
F  i^i  A )
( x  <_  y  ->  ( ( F  |`  A ) `  y
)  <_  m )
)
1615reximi 2813 . . 3  |-  ( E. x  e.  RR  E. m  e.  RR  A. y  e.  dom  F ( x  <_  y  ->  ( F `  y )  <_  m )  ->  E. x  e.  RR  E. m  e.  RR  A. y  e.  ( dom  F  i^i  A ) ( x  <_ 
y  ->  ( ( F  |`  A ) `  y )  <_  m
) )
173, 16syl 16 . 2  |-  ( F  e.  <_ O ( 1 )  ->  E. x  e.  RR  E. m  e.  RR  A. y  e.  ( dom  F  i^i  A ) ( x  <_ 
y  ->  ( ( F  |`  A ) `  y )  <_  m
) )
18 fssres 5610 . . . . 5  |-  ( ( F : dom  F --> RR  /\  ( dom  F  i^i  A )  C_  dom  F )  ->  ( F  |`  ( dom  F  i^i  A ) ) : ( dom  F  i^i  A
) --> RR )
191, 4, 18sylancl 644 . . . 4  |-  ( F  e.  <_ O ( 1 )  ->  ( F  |`  ( dom  F  i^i  A ) ) : ( dom  F  i^i  A
) --> RR )
20 resres 5159 . . . . . 6  |-  ( ( F  |`  dom  F )  |`  A )  =  ( F  |`  ( dom  F  i^i  A ) )
21 ffn 5591 . . . . . . . 8  |-  ( F : dom  F --> RR  ->  F  Fn  dom  F )
22 fnresdm 5554 . . . . . . . 8  |-  ( F  Fn  dom  F  -> 
( F  |`  dom  F
)  =  F )
231, 21, 223syl 19 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  <_ O ( 1 )  ->  ( F  |` 
dom  F )  =  F )
2423reseq1d 5145 . . . . . 6  |-  ( F  e.  <_ O ( 1 )  ->  ( ( F  |`  dom  F )  |`  A )  =  ( F  |`  A )
)
2520, 24syl5eqr 2482 . . . . 5  |-  ( F  e.  <_ O ( 1 )  ->  ( F  |`  ( dom  F  i^i  A ) )  =  ( F  |`  A )
)
2625feq1d 5580 . . . 4  |-  ( F  e.  <_ O ( 1 )  ->  ( ( F  |`  ( dom  F  i^i  A ) ) : ( dom  F  i^i  A ) --> RR  <->  ( F  |`  A ) : ( dom  F  i^i  A
) --> RR ) )
2719, 26mpbid 202 . . 3  |-  ( F  e.  <_ O ( 1 )  ->  ( F  |`  A ) : ( dom  F  i^i  A
) --> RR )
28 lo1dm 12313 . . . 4  |-  ( F  e.  <_ O ( 1 )  ->  dom  F  C_  RR )
294, 28syl5ss 3359 . . 3  |-  ( F  e.  <_ O ( 1 )  ->  ( dom  F  i^i  A )  C_  RR )
30 ello12 12310 . . 3  |-  ( ( ( F  |`  A ) : ( dom  F  i^i  A ) --> RR  /\  ( dom  F  i^i  A
)  C_  RR )  ->  ( ( F  |`  A )  e.  <_ O ( 1 )  <->  E. x  e.  RR  E. m  e.  RR  A. y  e.  ( dom  F  i^i  A ) ( x  <_ 
y  ->  ( ( F  |`  A ) `  y )  <_  m
) ) )
3127, 29, 30syl2anc 643 . 2  |-  ( F  e.  <_ O ( 1 )  ->  ( ( F  |`  A )  e. 
<_ O ( 1 )  <->  E. x  e.  RR  E. m  e.  RR  A. y  e.  ( dom  F  i^i  A ) ( x  <_  y  ->  ( ( F  |`  A ) `
 y )  <_  m ) ) )
3217, 31mpbird 224 1  |-  ( F  e.  <_ O ( 1 )  ->  ( F  |`  A )  e.  <_ O ( 1 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2705   E.wrex 2706    i^i cin 3319    C_ wss 3320   class class class wbr 4212   dom cdm 4878    |` cres 4880    Fn wfn 5449   -->wf 5450   ` cfv 5454   RRcr 8989    <_ cle 9121   <_ O ( 1 )clo1 12281
This theorem is referenced by:  o1res  12354  lo1res2  12356  lo1resb  12358
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-er 6905  df-pm 7021  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-ico 10922  df-lo1 12285
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