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Theorem lo1res 12049
Description: The restriction of an eventually upper bounded function is eventually upper bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
lo1res  |-  ( F  e.  <_ O ( 1 )  ->  ( F  |`  A )  e.  <_ O ( 1 ) )

Proof of Theorem lo1res
Dummy variables  x  m  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lo1f 12008 . . . 4  |-  ( F  e.  <_ O ( 1 )  ->  F : dom  F --> RR )
2 lo1bdd 12010 . . . 4  |-  ( ( F  e.  <_ O
( 1 )  /\  F : dom  F --> RR )  ->  E. x  e.  RR  E. m  e.  RR  A. y  e.  dom  F ( x  <_  y  ->  ( F `  y )  <_  m ) )
31, 2mpdan 649 . . 3  |-  ( F  e.  <_ O ( 1 )  ->  E. x  e.  RR  E. m  e.  RR  A. y  e. 
dom  F ( x  <_  y  ->  ( F `  y )  <_  m ) )
4 inss1 3402 . . . . . . 7  |-  ( dom 
F  i^i  A )  C_ 
dom  F
5 ssralv 3250 . . . . . . 7  |-  ( ( dom  F  i^i  A
)  C_  dom  F  -> 
( A. y  e. 
dom  F ( x  <_  y  ->  ( F `  y )  <_  m )  ->  A. y  e.  ( dom  F  i^i  A ) ( x  <_ 
y  ->  ( F `  y )  <_  m
) ) )
64, 5ax-mp 8 . . . . . 6  |-  ( A. y  e.  dom  F ( x  <_  y  ->  ( F `  y )  <_  m )  ->  A. y  e.  ( dom  F  i^i  A ) ( x  <_  y  ->  ( F `  y
)  <_  m )
)
7 inss2 3403 . . . . . . . . . . 11  |-  ( dom 
F  i^i  A )  C_  A
87sseli 3189 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ( dom  F  i^i  A )  ->  y  e.  A )
9 fvres 5558 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  A  ->  (
( F  |`  A ) `
 y )  =  ( F `  y
) )
108, 9syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ( dom  F  i^i  A )  ->  (
( F  |`  A ) `
 y )  =  ( F `  y
) )
1110breq1d 4049 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( dom  F  i^i  A )  ->  (
( ( F  |`  A ) `  y
)  <_  m  <->  ( F `  y )  <_  m
) )
1211imbi2d 307 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( dom  F  i^i  A )  ->  (
( x  <_  y  ->  ( ( F  |`  A ) `  y
)  <_  m )  <->  ( x  <_  y  ->  ( F `  y )  <_  m ) ) )
1312ralbiia 2588 . . . . . 6  |-  ( A. y  e.  ( dom  F  i^i  A ) ( x  <_  y  ->  ( ( F  |`  A ) `
 y )  <_  m )  <->  A. y  e.  ( dom  F  i^i  A ) ( x  <_ 
y  ->  ( F `  y )  <_  m
) )
146, 13sylibr 203 . . . . 5  |-  ( A. y  e.  dom  F ( x  <_  y  ->  ( F `  y )  <_  m )  ->  A. y  e.  ( dom  F  i^i  A ) ( x  <_  y  ->  ( ( F  |`  A ) `  y
)  <_  m )
)
1514reximi 2663 . . . 4  |-  ( E. m  e.  RR  A. y  e.  dom  F ( x  <_  y  ->  ( F `  y )  <_  m )  ->  E. m  e.  RR  A. y  e.  ( dom 
F  i^i  A )
( x  <_  y  ->  ( ( F  |`  A ) `  y
)  <_  m )
)
1615reximi 2663 . . 3  |-  ( E. x  e.  RR  E. m  e.  RR  A. y  e.  dom  F ( x  <_  y  ->  ( F `  y )  <_  m )  ->  E. x  e.  RR  E. m  e.  RR  A. y  e.  ( dom  F  i^i  A ) ( x  <_ 
y  ->  ( ( F  |`  A ) `  y )  <_  m
) )
173, 16syl 15 . 2  |-  ( F  e.  <_ O ( 1 )  ->  E. x  e.  RR  E. m  e.  RR  A. y  e.  ( dom  F  i^i  A ) ( x  <_ 
y  ->  ( ( F  |`  A ) `  y )  <_  m
) )
18 fssres 5424 . . . . 5  |-  ( ( F : dom  F --> RR  /\  ( dom  F  i^i  A )  C_  dom  F )  ->  ( F  |`  ( dom  F  i^i  A ) ) : ( dom  F  i^i  A
) --> RR )
191, 4, 18sylancl 643 . . . 4  |-  ( F  e.  <_ O ( 1 )  ->  ( F  |`  ( dom  F  i^i  A ) ) : ( dom  F  i^i  A
) --> RR )
20 resres 4984 . . . . . 6  |-  ( ( F  |`  dom  F )  |`  A )  =  ( F  |`  ( dom  F  i^i  A ) )
21 ffn 5405 . . . . . . . 8  |-  ( F : dom  F --> RR  ->  F  Fn  dom  F )
22 fnresdm 5369 . . . . . . . 8  |-  ( F  Fn  dom  F  -> 
( F  |`  dom  F
)  =  F )
231, 21, 223syl 18 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  <_ O ( 1 )  ->  ( F  |` 
dom  F )  =  F )
2423reseq1d 4970 . . . . . 6  |-  ( F  e.  <_ O ( 1 )  ->  ( ( F  |`  dom  F )  |`  A )  =  ( F  |`  A )
)
2520, 24syl5eqr 2342 . . . . 5  |-  ( F  e.  <_ O ( 1 )  ->  ( F  |`  ( dom  F  i^i  A ) )  =  ( F  |`  A )
)
2625feq1d 5395 . . . 4  |-  ( F  e.  <_ O ( 1 )  ->  ( ( F  |`  ( dom  F  i^i  A ) ) : ( dom  F  i^i  A ) --> RR  <->  ( F  |`  A ) : ( dom  F  i^i  A
) --> RR ) )
2719, 26mpbid 201 . . 3  |-  ( F  e.  <_ O ( 1 )  ->  ( F  |`  A ) : ( dom  F  i^i  A
) --> RR )
28 lo1dm 12009 . . . 4  |-  ( F  e.  <_ O ( 1 )  ->  dom  F  C_  RR )
294, 28syl5ss 3203 . . 3  |-  ( F  e.  <_ O ( 1 )  ->  ( dom  F  i^i  A )  C_  RR )
30 ello12 12006 . . 3  |-  ( ( ( F  |`  A ) : ( dom  F  i^i  A ) --> RR  /\  ( dom  F  i^i  A
)  C_  RR )  ->  ( ( F  |`  A )  e.  <_ O ( 1 )  <->  E. x  e.  RR  E. m  e.  RR  A. y  e.  ( dom  F  i^i  A ) ( x  <_ 
y  ->  ( ( F  |`  A ) `  y )  <_  m
) ) )
3127, 29, 30syl2anc 642 . 2  |-  ( F  e.  <_ O ( 1 )  ->  ( ( F  |`  A )  e. 
<_ O ( 1 )  <->  E. x  e.  RR  E. m  e.  RR  A. y  e.  ( dom  F  i^i  A ) ( x  <_  y  ->  ( ( F  |`  A ) `
 y )  <_  m ) ) )
3217, 31mpbird 223 1  |-  ( F  e.  <_ O ( 1 )  ->  ( F  |`  A )  e.  <_ O ( 1 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   E.wrex 2557    i^i cin 3164    C_ wss 3165   class class class wbr 4039   dom cdm 4705    |` cres 4707    Fn wfn 5266   -->wf 5267   ` cfv 5271   RRcr 8752    <_ cle 8884   <_ O ( 1 )clo1 11977
This theorem is referenced by:  o1res  12050  lo1res2  12052  lo1resb  12054
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-er 6676  df-pm 6791  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-ico 10678  df-lo1 11981
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