Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lo1res Structured version   Unicode version

Theorem lo1res 12353
 Description: The restriction of an eventually upper bounded function is eventually upper bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
lo1res

Proof of Theorem lo1res
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lo1f 12312 . . . 4
2 lo1bdd 12314 . . . 4
31, 2mpdan 650 . . 3
4 inss1 3561 . . . . . . 7
5 ssralv 3407 . . . . . . 7
64, 5ax-mp 8 . . . . . 6
7 inss2 3562 . . . . . . . . . . 11
87sseli 3344 . . . . . . . . . 10
9 fvres 5745 . . . . . . . . . 10
108, 9syl 16 . . . . . . . . 9
1110breq1d 4222 . . . . . . . 8
1211imbi2d 308 . . . . . . 7
1312ralbiia 2737 . . . . . 6
146, 13sylibr 204 . . . . 5
1514reximi 2813 . . . 4
1615reximi 2813 . . 3
173, 16syl 16 . 2
18 fssres 5610 . . . . 5
191, 4, 18sylancl 644 . . . 4
20 resres 5159 . . . . . 6
21 ffn 5591 . . . . . . . 8
22 fnresdm 5554 . . . . . . . 8
231, 21, 223syl 19 . . . . . . 7
2423reseq1d 5145 . . . . . 6
2520, 24syl5eqr 2482 . . . . 5
2625feq1d 5580 . . . 4
2719, 26mpbid 202 . . 3
28 lo1dm 12313 . . . 4
294, 28syl5ss 3359 . . 3
30 ello12 12310 . . 3
3127, 29, 30syl2anc 643 . 2
3217, 31mpbird 224 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wceq 1652   wcel 1725  wral 2705  wrex 2706   cin 3319   wss 3320   class class class wbr 4212   cdm 4878   cres 4880   wfn 5449  wf 5450  cfv 5454  cr 8989   cle 9121  clo1 12281 This theorem is referenced by:  o1res  12354  lo1res2  12356  lo1resb  12358 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-er 6905  df-pm 7021  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-ico 10922  df-lo1 12285
 Copyright terms: Public domain W3C validator