MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lo1res2 Unicode version

Theorem lo1res2 12243
Description: The restriction of a function is eventually bounded if the original is. (Contributed by Mario Carneiro, 26-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rlimres2.1  |-  ( ph  ->  A  C_  B )
lo1res2.2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  B  |->  C )  e.  <_ O ( 1 ) )
Assertion
Ref Expression
lo1res2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C )  e.  <_ O ( 1 ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B
Allowed substitution hints:    ph( x)    C( x)

Proof of Theorem lo1res2
StepHypRef Expression
1 rlimres2.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A  C_  B )
2 resmpt 5103 . . 3  |-  ( A 
C_  B  ->  (
( x  e.  B  |->  C )  |`  A )  =  ( x  e.  A  |->  C ) )
31, 2syl 15 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  B  |->  C )  |`  A )  =  ( x  e.  A  |->  C ) )
4 lo1res2.2 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  B  |->  C )  e.  <_ O ( 1 ) )
5 lo1res 12240 . . 3  |-  ( ( x  e.  B  |->  C )  e.  <_ O
( 1 )  -> 
( ( x  e.  B  |->  C )  |`  A )  e.  <_ O ( 1 ) )
64, 5syl 15 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  B  |->  C )  |`  A )  e.  <_ O ( 1 ) )
73, 6eqeltrrd 2441 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C )  e.  <_ O ( 1 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1647    e. wcel 1715    C_ wss 3238    e. cmpt 4179    |` cres 4794   <_ O ( 1 )clo1 12168
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1551  ax-5 1562  ax-17 1621  ax-9 1659  ax-8 1680  ax-13 1717  ax-14 1719  ax-6 1734  ax-7 1739  ax-11 1751  ax-12 1937  ax-ext 2347  ax-sep 4243  ax-nul 4251  ax-pow 4290  ax-pr 4316  ax-un 4615  ax-cnex 8940  ax-resscn 8941  ax-pre-lttri 8958  ax-pre-lttrn 8959
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 936  df-3an 937  df-tru 1324  df-ex 1547  df-nf 1550  df-sb 1654  df-eu 2221  df-mo 2222  df-clab 2353  df-cleq 2359  df-clel 2362  df-nfc 2491  df-ne 2531  df-nel 2532  df-ral 2633  df-rex 2634  df-rab 2637  df-v 2875  df-sbc 3078  df-csb 3168  df-dif 3241  df-un 3243  df-in 3245  df-ss 3252  df-nul 3544  df-if 3655  df-pw 3716  df-sn 3735  df-pr 3736  df-op 3738  df-uni 3930  df-br 4126  df-opab 4180  df-mpt 4181  df-id 4412  df-po 4417  df-so 4418  df-xp 4798  df-rel 4799  df-cnv 4800  df-co 4801  df-dm 4802  df-rn 4803  df-res 4804  df-ima 4805  df-iota 5322  df-fun 5360  df-fn 5361  df-f 5362  df-f1 5363  df-fo 5364  df-f1o 5365  df-fv 5366  df-ov 5984  df-oprab 5985  df-mpt2 5986  df-er 6802  df-pm 6918  df-en 7007  df-dom 7008  df-sdom 7009  df-pnf 9016  df-mnf 9017  df-xr 9018  df-ltxr 9019  df-le 9020  df-ico 10815  df-lo1 12172
  Copyright terms: Public domain W3C validator