Mathbox for Jeff Hankins < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  locfindis Structured version   Unicode version

Theorem locfindis 26387
 Description: The locally finite covers of a discrete space are precisely the point-finite covers. (Contributed by Jeff Hankins, 22-Jan-2010.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 11-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
locfindis.1
Assertion
Ref Expression
locfindis

Proof of Theorem locfindis
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lfinpfin 26385 . . 3
2 unipw 4416 . . . . 5
32eqcomi 2442 . . . 4
4 locfindis.1 . . . 4
53, 4locfinbas 26383 . . 3
61, 5jca 520 . 2
7 simpr 449 . . . . 5
8 uniexg 4708 . . . . . . 7
94, 8syl5eqel 2522 . . . . . 6
109adantr 453 . . . . 5
117, 10eqeltrd 2512 . . . 4
12 distop 17062 . . . 4
1311, 12syl 16 . . 3
14 snelpwi 4411 . . . . . 6
1514adantl 454 . . . . 5
16 snidg 3841 . . . . . 6
1716adantl 454 . . . . 5
18 simpll 732 . . . . . 6
197eleq2d 2505 . . . . . . 7
2019biimpa 472 . . . . . 6
214ptfinfin 26380 . . . . . 6
2218, 20, 21syl2anc 644 . . . . 5
23 eleq2 2499 . . . . . . 7
24 ineq2 3538 . . . . . . . . . . 11
2524neeq1d 2616 . . . . . . . . . 10
26 disjsn 3870 . . . . . . . . . . 11
2726necon2abii 2661 . . . . . . . . . 10
2825, 27syl6bbr 256 . . . . . . . . 9
2928rabbidv 2950 . . . . . . . 8
3029eleq1d 2504 . . . . . . 7
3123, 30anbi12d 693 . . . . . 6
3231rspcev 3054 . . . . 5
3315, 17, 22, 32syl12anc 1183 . . . 4
3433ralrimiva 2791 . . 3
353, 4islocfin 26378 . . 3
3613, 7, 34, 35syl3anbrc 1139 . 2
376, 36impbii 182 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wb 178   wa 360   wceq 1653   wcel 1726   wne 2601  wral 2707  wrex 2708  crab 2711  cvv 2958   cin 3321  c0 3630  cpw 3801  csn 3816  cuni 4017  cfv 5456  cfn 7111  ctop 16960  cptfin 26343  clocfin 26344 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-er 6907  df-en 7112  df-fin 7115  df-top 16965  df-ptfin 26347  df-locfin 26348
 Copyright terms: Public domain W3C validator