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Theorem log2cnv 20815
Description: Using the Taylor series for arctan ( _i  / 
3 ), produce a rapidly convergent series for  log 2. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Apr-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
log2cnv.1  |-  F  =  ( n  e.  NN0  |->  ( 2  /  (
( 3  x.  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ n ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
log2cnv  |-  seq  0
(  +  ,  F
)  ~~>  ( log `  2
)

Proof of Theorem log2cnv
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0uz 10551 . . . 4  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
2 0z 10324 . . . . 5  |-  0  e.  ZZ
32a1i 11 . . . 4  |-  (  T. 
->  0  e.  ZZ )
4 2cn 10101 . . . . . 6  |-  2  e.  CC
5 ax-icn 9080 . . . . . 6  |-  _i  e.  CC
6 ine0 9500 . . . . . 6  |-  _i  =/=  0
74, 5, 6divcli 9787 . . . . 5  |-  ( 2  /  _i )  e.  CC
87a1i 11 . . . 4  |-  (  T. 
->  ( 2  /  _i )  e.  CC )
9 3cn 10103 . . . . . . 7  |-  3  e.  CC
10 3ne0 10116 . . . . . . 7  |-  3  =/=  0
115, 9, 10divcli 9787 . . . . . 6  |-  ( _i 
/  3 )  e.  CC
12 absdiv 12131 . . . . . . . . 9  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  3  e.  CC  /\  3  =/=  0 )  ->  ( abs `  ( _i  / 
3 ) )  =  ( ( abs `  _i )  /  ( abs `  3
) ) )
135, 9, 10, 12mp3an 1280 . . . . . . . 8  |-  ( abs `  ( _i  /  3
) )  =  ( ( abs `  _i )  /  ( abs `  3
) )
14 absi 12122 . . . . . . . . 9  |-  ( abs `  _i )  =  1
15 3re 10102 . . . . . . . . . 10  |-  3  e.  RR
16 0re 9122 . . . . . . . . . . 11  |-  0  e.  RR
17 3pos 10115 . . . . . . . . . . 11  |-  0  <  3
1816, 15, 17ltleii 9227 . . . . . . . . . 10  |-  0  <_  3
19 absid 12132 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 3  e.  RR  /\  0  <_  3 )  -> 
( abs `  3
)  =  3 )
2015, 18, 19mp2an 655 . . . . . . . . 9  |-  ( abs `  3 )  =  3
2114, 20oveq12i 6122 . . . . . . . 8  |-  ( ( abs `  _i )  /  ( abs `  3
) )  =  ( 1  /  3 )
2213, 21eqtri 2462 . . . . . . 7  |-  ( abs `  ( _i  /  3
) )  =  ( 1  /  3 )
23 1lt3 10175 . . . . . . . 8  |-  1  <  3
24 recgt1 9937 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 3  e.  RR  /\  0  <  3 )  -> 
( 1  <  3  <->  ( 1  /  3 )  <  1 ) )
2515, 17, 24mp2an 655 . . . . . . . 8  |-  ( 1  <  3  <->  ( 1  /  3 )  <  1 )
2623, 25mpbi 201 . . . . . . 7  |-  ( 1  /  3 )  <  1
2722, 26eqbrtri 4256 . . . . . 6  |-  ( abs `  ( _i  /  3
) )  <  1
28 eqid 2442 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN0  |->  ( (
-u 1 ^ n
)  x.  ( ( ( _i  /  3
) ^ ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) )  =  ( n  e.  NN0  |->  ( (
-u 1 ^ n
)  x.  ( ( ( _i  /  3
) ^ ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) )
2928atantayl3 20810 . . . . . 6  |-  ( ( ( _i  /  3
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( _i 
/  3 ) )  <  1 )  ->  seq  0 (  +  , 
( n  e.  NN0  |->  ( ( -u 1 ^ n )  x.  ( ( ( _i 
/  3 ) ^
( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  /  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) ) ) ) )  ~~>  (arctan `  ( _i  /  3 ) ) )
3011, 27, 29mp2an 655 . . . . 5  |-  seq  0
(  +  ,  ( n  e.  NN0  |->  ( (
-u 1 ^ n
)  x.  ( ( ( _i  /  3
) ^ ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) ) )  ~~>  (arctan `  ( _i  /  3
) )
3130a1i 11 . . . 4  |-  (  T. 
->  seq  0 (  +  ,  ( n  e. 
NN0  |->  ( ( -u
1 ^ n )  x.  ( ( ( _i  /  3 ) ^ ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  / 
( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) ) )  ~~>  (arctan `  ( _i  /  3 ) ) )
32 oveq2 6118 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  k  ->  ( -u 1 ^ n )  =  ( -u 1 ^ k ) )
33 oveq2 6118 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  k  ->  (
2  x.  n )  =  ( 2  x.  k ) )
3433oveq1d 6125 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  k  ->  (
( 2  x.  n
)  +  1 )  =  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )
3534oveq2d 6126 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  k  ->  (
( _i  /  3
) ^ ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  =  ( ( _i 
/  3 ) ^
( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )
3635, 34oveq12d 6128 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  k  ->  (
( ( _i  / 
3 ) ^ (
( 2  x.  n
)  +  1 ) )  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  =  ( ( ( _i  /  3 ) ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  / 
( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )
3732, 36oveq12d 6128 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  k  ->  (
( -u 1 ^ n
)  x.  ( ( ( _i  /  3
) ^ ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) )  =  ( ( -u
1 ^ k )  x.  ( ( ( _i  /  3 ) ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  / 
( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) ) )
38 ovex 6135 . . . . . . . 8  |-  ( (
-u 1 ^ k
)  x.  ( ( ( _i  /  3
) ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )  e.  _V
3937, 28, 38fvmpt 5835 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( n  e.  NN0  |->  ( (
-u 1 ^ n
)  x.  ( ( ( _i  /  3
) ^ ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) ) `  k )  =  ( ( -u
1 ^ k )  x.  ( ( ( _i  /  3 ) ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  / 
( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) ) )
405a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN0  ->  _i  e.  CC )
419a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN0  ->  3  e.  CC )
4210a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN0  ->  3  =/=  0 )
43 2nn0 10269 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2  e.  NN0
44 nn0mulcl 10287 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 2  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( 2  x.  k
)  e.  NN0 )
4543, 44mpan 653 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( 2  x.  k )  e. 
NN0 )
46 peano2nn0 10291 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2  x.  k )  e.  NN0  ->  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  e. 
NN0 )
4745, 46syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  e. 
NN0 )
4840, 41, 42, 47expdivd 11568 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( _i  /  3 ) ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  =  ( ( _i ^
( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  /  (
3 ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) ) )
4948oveq2d 6126 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( (
-u 1 ^ k
)  x.  ( ( _i  /  3 ) ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )  =  ( ( -u
1 ^ k )  x.  ( ( _i
^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  / 
( 3 ^ (
( 2  x.  k
)  +  1 ) ) ) ) )
50 neg1cn 10098 . . . . . . . . . . . 12  |-  -u 1  e.  CC
51 expcl 11430 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
-u 1  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( -u 1 ^ k )  e.  CC )
5250, 51mpan 653 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( -u
1 ^ k )  e.  CC )
53 expcl 11430 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  e.  NN0 )  ->  ( _i ^ (
( 2  x.  k
)  +  1 ) )  e.  CC )
545, 47, 53sylancr 646 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( _i
^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  e.  CC )
55 3nn 10165 . . . . . . . . . . . . 13  |-  3  e.  NN
56 nnexpcl 11425 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 3  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  e.  NN0 )  ->  ( 3 ^ (
( 2  x.  k
)  +  1 ) )  e.  NN )
5755, 47, 56sylancr 646 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( 3 ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  e.  NN )
5857nncnd 10047 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( 3 ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  e.  CC )
5957nnne0d 10075 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( 3 ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  =/=  0 )
6052, 54, 58, 59divassd 9856 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( ( -u 1 ^ k )  x.  (
_i ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )  /  ( 3 ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )  =  ( ( -u
1 ^ k )  x.  ( ( _i
^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  / 
( 3 ^ (
( 2  x.  k
)  +  1 ) ) ) ) )
61 expp1 11419 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( 2  x.  k
)  e.  NN0 )  ->  ( _i ^ (
( 2  x.  k
)  +  1 ) )  =  ( ( _i ^ ( 2  x.  k ) )  x.  _i ) )
625, 45, 61sylancr 646 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( _i
^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  =  ( ( _i ^
( 2  x.  k
) )  x.  _i ) )
63 expmul 11456 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  2  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  ->  (
_i ^ ( 2  x.  k ) )  =  ( ( _i
^ 2 ) ^
k ) )
645, 43, 63mp3an12 1270 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( _i
^ ( 2  x.  k ) )  =  ( ( _i ^
2 ) ^ k
) )
65 i2 11512 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( _i
^ 2 )  = 
-u 1
6665oveq1i 6120 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( _i ^ 2 ) ^ k )  =  ( -u 1 ^ k )
6764, 66syl6eq 2490 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( _i
^ ( 2  x.  k ) )  =  ( -u 1 ^ k ) )
6867oveq1d 6125 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( _i ^ ( 2  x.  k ) )  x.  _i )  =  ( ( -u 1 ^ k )  x.  _i ) )
6962, 68eqtrd 2474 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( _i
^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  =  ( ( -u 1 ^ k )  x.  _i ) )
7069oveq2d 6126 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( (
-u 1 ^ k
)  x.  ( _i
^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )  =  ( ( -u
1 ^ k )  x.  ( ( -u
1 ^ k )  x.  _i ) ) )
7152, 52, 40mulassd 9142 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( ( -u 1 ^ k )  x.  ( -u 1 ^ k ) )  x.  _i )  =  ( ( -u
1 ^ k )  x.  ( ( -u
1 ^ k )  x.  _i ) ) )
7250a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  NN0  ->  -u 1  e.  CC )
73 id 21 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  NN0  ->  k  e. 
NN0 )
7472, 73, 73expaddd 11556 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( -u
1 ^ ( k  +  k ) )  =  ( ( -u
1 ^ k )  x.  ( -u 1 ^ k ) ) )
75 expmul 11456 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
-u 1  e.  CC  /\  2  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( -u 1 ^ (
2  x.  k ) )  =  ( (
-u 1 ^ 2 ) ^ k ) )
7650, 43, 75mp3an12 1270 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( -u
1 ^ ( 2  x.  k ) )  =  ( ( -u
1 ^ 2 ) ^ k ) )
77 ax-1cn 9079 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  1  e.  CC
78 sqneg 11473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( 1  e.  CC  ->  ( -u 1 ^ 2 )  =  ( 1 ^ 2 ) )
7977, 78ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( -u
1 ^ 2 )  =  ( 1 ^ 2 )
80 sq1 11507 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 1 ^ 2 )  =  1
8179, 80eqtri 2462 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( -u
1 ^ 2 )  =  1
8281oveq1i 6120 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
-u 1 ^ 2 ) ^ k )  =  ( 1 ^ k )
8376, 82syl6eq 2490 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( -u
1 ^ ( 2  x.  k ) )  =  ( 1 ^ k ) )
84 nn0cn 10262 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  e.  NN0  ->  k  e.  CC )
85842timesd 10241 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( 2  x.  k )  =  ( k  +  k ) )
8685oveq2d 6126 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( -u
1 ^ ( 2  x.  k ) )  =  ( -u 1 ^ ( k  +  k ) ) )
87 nn0z 10335 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  NN0  ->  k  e.  ZZ )
88 1exp 11440 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
1 ^ k )  =  1 )
8987, 88syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( 1 ^ k )  =  1 )
9083, 86, 893eqtr3d 2482 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( -u
1 ^ ( k  +  k ) )  =  1 )
9174, 90eqtr3d 2476 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( (
-u 1 ^ k
)  x.  ( -u
1 ^ k ) )  =  1 )
9291oveq1d 6125 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( ( -u 1 ^ k )  x.  ( -u 1 ^ k ) )  x.  _i )  =  ( 1  x.  _i ) )
935mulid2i 9124 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1  x.  _i )  =  _i
9492, 93syl6eq 2490 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( ( -u 1 ^ k )  x.  ( -u 1 ^ k ) )  x.  _i )  =  _i )
9570, 71, 943eqtr2d 2480 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( (
-u 1 ^ k
)  x.  ( _i
^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )  =  _i )
9695oveq1d 6125 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( ( -u 1 ^ k )  x.  (
_i ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )  /  ( 3 ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )  =  ( _i  / 
( 3 ^ (
( 2  x.  k
)  +  1 ) ) ) )
9749, 60, 963eqtr2d 2480 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( (
-u 1 ^ k
)  x.  ( ( _i  /  3 ) ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )  =  ( _i  / 
( 3 ^ (
( 2  x.  k
)  +  1 ) ) ) )
9897oveq1d 6125 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( ( -u 1 ^ k )  x.  (
( _i  /  3
) ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  =  ( ( _i 
/  ( 3 ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )  / 
( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )
99 expcl 11430 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( _i  /  3
)  e.  CC  /\  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  e.  NN0 )  ->  ( ( _i  / 
3 ) ^ (
( 2  x.  k
)  +  1 ) )  e.  CC )
10011, 47, 99sylancr 646 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( _i  /  3 ) ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  e.  CC )
101 nn0p1nn 10290 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  x.  k )  e.  NN0  ->  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  e.  NN )
10245, 101syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  e.  NN )
103102nncnd 10047 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  e.  CC )
104102nnne0d 10075 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  =/=  0 )
10552, 100, 103, 104divassd 9856 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( ( -u 1 ^ k )  x.  (
( _i  /  3
) ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  =  ( ( -u
1 ^ k )  x.  ( ( ( _i  /  3 ) ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  / 
( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) ) )
10640, 58, 103, 59, 104divdiv1d 9852 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( _i  /  ( 3 ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  =  ( _i  /  (
( 3 ^ (
( 2  x.  k
)  +  1 ) )  x.  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) ) )
10798, 105, 1063eqtr3d 2482 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( (
-u 1 ^ k
)  x.  ( ( ( _i  /  3
) ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )  =  ( _i  / 
( ( 3 ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  x.  (
( 2  x.  k
)  +  1 ) ) ) )
10858, 103mulcomd 9140 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( 3 ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  x.  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  =  ( ( ( 2  x.  k )  +  1 )  x.  (
3 ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) ) )
109108oveq2d 6126 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( _i 
/  ( ( 3 ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  x.  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )  =  ( _i  /  (
( ( 2  x.  k )  +  1 )  x.  ( 3 ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) ) ) )
11039, 107, 1093eqtrd 2478 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( n  e.  NN0  |->  ( (
-u 1 ^ n
)  x.  ( ( ( _i  /  3
) ^ ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) ) `  k )  =  ( _i  / 
( ( ( 2  x.  k )  +  1 )  x.  (
3 ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) ) ) )
111102, 57nnmulcld 10078 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( ( 2  x.  k
)  +  1 )  x.  ( 3 ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )  e.  NN )
112111nncnd 10047 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( ( 2  x.  k
)  +  1 )  x.  ( 3 ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )  e.  CC )
113111nnne0d 10075 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( ( 2  x.  k
)  +  1 )  x.  ( 3 ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )  =/=  0 )
11440, 112, 113divcld 9821 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( _i 
/  ( ( ( 2  x.  k )  +  1 )  x.  ( 3 ^ (
( 2  x.  k
)  +  1 ) ) ) )  e.  CC )
115110, 114eqeltrd 2516 . . . . 5  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( n  e.  NN0  |->  ( (
-u 1 ^ n
)  x.  ( ( ( _i  /  3
) ^ ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) ) `  k )  e.  CC )
116115adantl 454 . . . 4  |-  ( (  T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  (
( n  e.  NN0  |->  ( ( -u 1 ^ n )  x.  ( ( ( _i 
/  3 ) ^
( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  /  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) ) ) ) `  k )  e.  CC )
11734oveq2d 6126 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  k  ->  (
3  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  =  ( 3  x.  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )
118 oveq2 6118 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  k  ->  (
9 ^ n )  =  ( 9 ^ k ) )
119117, 118oveq12d 6128 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  k  ->  (
( 3  x.  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ n ) )  =  ( ( 3  x.  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ k
) ) )
120119oveq2d 6126 . . . . . . 7  |-  ( n  =  k  ->  (
2  /  ( ( 3  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ n ) ) )  =  ( 2  / 
( ( 3  x.  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  x.  (
9 ^ k ) ) ) )
121 log2cnv.1 . . . . . . 7  |-  F  =  ( n  e.  NN0  |->  ( 2  /  (
( 3  x.  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ n ) ) ) )
122 ovex 6135 . . . . . . 7  |-  ( 2  /  ( ( 3  x.  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ k
) ) )  e. 
_V
123120, 121, 122fvmpt 5835 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( F `
 k )  =  ( 2  /  (
( 3  x.  (
( 2  x.  k
)  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ k ) ) ) )
124 expp1 11419 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 3  e.  CC  /\  ( 2  x.  k
)  e.  NN0 )  ->  ( 3 ^ (
( 2  x.  k
)  +  1 ) )  =  ( ( 3 ^ ( 2  x.  k ) )  x.  3 ) )
1259, 45, 124sylancr 646 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( 3 ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  =  ( ( 3 ^ ( 2  x.  k
) )  x.  3 ) )
126 expmul 11456 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 3  e.  CC  /\  2  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  ->  (
3 ^ ( 2  x.  k ) )  =  ( ( 3 ^ 2 ) ^
k ) )
1279, 43, 126mp3an12 1270 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( 3 ^ ( 2  x.  k ) )  =  ( ( 3 ^ 2 ) ^ k
) )
128 sq3 11509 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 3 ^ 2 )  =  9
129128oveq1i 6120 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 3 ^ 2 ) ^ k )  =  ( 9 ^ k
)
130127, 129syl6eq 2490 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( 3 ^ ( 2  x.  k ) )  =  ( 9 ^ k
) )
131130oveq1d 6125 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( 3 ^ ( 2  x.  k ) )  x.  3 )  =  ( ( 9 ^ k )  x.  3 ) )
132 9nn 10171 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  9  e.  NN
133 nnexpcl 11425 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 9  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( 9 ^ k
)  e.  NN )
134132, 133mpan 653 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( 9 ^ k )  e.  NN )
135134nncnd 10047 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( 9 ^ k )  e.  CC )
136 mulcom 9107 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( 9 ^ k
)  e.  CC  /\  3  e.  CC )  ->  ( ( 9 ^ k )  x.  3 )  =  ( 3  x.  ( 9 ^ k ) ) )
137135, 9, 136sylancl 645 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( 9 ^ k )  x.  3 )  =  ( 3  x.  (
9 ^ k ) ) )
138125, 131, 1373eqtrd 2478 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( 3 ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  =  ( 3  x.  (
9 ^ k ) ) )
13995, 138oveq12d 6128 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( ( -u 1 ^ k )  x.  (
_i ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )  /  ( 3 ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )  =  ( _i  / 
( 3  x.  (
9 ^ k ) ) ) )
14049, 60, 1393eqtr2d 2480 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( (
-u 1 ^ k
)  x.  ( ( _i  /  3 ) ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )  =  ( _i  / 
( 3  x.  (
9 ^ k ) ) ) )
141140oveq1d 6125 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( ( -u 1 ^ k )  x.  (
( _i  /  3
) ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  =  ( ( _i 
/  ( 3  x.  ( 9 ^ k
) ) )  / 
( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )
142 nnmulcl 10054 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 3  e.  NN  /\  ( 9 ^ k
)  e.  NN )  ->  ( 3  x.  ( 9 ^ k
) )  e.  NN )
14355, 134, 142sylancr 646 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( 3  x.  ( 9 ^ k ) )  e.  NN )
144143nncnd 10047 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( 3  x.  ( 9 ^ k ) )  e.  CC )
145143nnne0d 10075 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( 3  x.  ( 9 ^ k ) )  =/=  0 )
14640, 144, 103, 145, 104divdiv1d 9852 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( _i  /  ( 3  x.  ( 9 ^ k ) ) )  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  =  ( _i  /  (
( 3  x.  (
9 ^ k ) )  x.  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) ) )
147141, 105, 1463eqtr3d 2482 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( (
-u 1 ^ k
)  x.  ( ( ( _i  /  3
) ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )  =  ( _i  / 
( ( 3  x.  ( 9 ^ k
) )  x.  (
( 2  x.  k
)  +  1 ) ) ) )
14841, 135, 103mul32d 9307 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( 3  x.  ( 9 ^ k ) )  x.  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  =  ( ( 3  x.  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  x.  (
9 ^ k ) ) )
149148oveq2d 6126 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( _i 
/  ( ( 3  x.  ( 9 ^ k ) )  x.  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )  =  ( _i  /  (
( 3  x.  (
( 2  x.  k
)  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ k ) ) ) )
15039, 147, 1493eqtrd 2478 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( n  e.  NN0  |->  ( (
-u 1 ^ n
)  x.  ( ( ( _i  /  3
) ^ ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) ) `  k )  =  ( _i  / 
( ( 3  x.  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  x.  (
9 ^ k ) ) ) )
151150oveq2d 6126 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( 2  /  _i )  x.  ( ( n  e.  NN0  |->  ( (
-u 1 ^ n
)  x.  ( ( ( _i  /  3
) ^ ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) ) `  k ) )  =  ( ( 2  /  _i )  x.  ( _i  / 
( ( 3  x.  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  x.  (
9 ^ k ) ) ) ) )
152 nnmulcl 10054 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 3  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  e.  NN )  ->  ( 3  x.  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  e.  NN )
15355, 102, 152sylancr 646 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( 3  x.  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  e.  NN )
154153, 134nnmulcld 10078 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( 3  x.  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ k ) )  e.  NN )
155154nncnd 10047 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( 3  x.  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ k ) )  e.  CC )
156154nnne0d 10075 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( 3  x.  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ k ) )  =/=  0 )
15740, 155, 156divcld 9821 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( _i 
/  ( ( 3  x.  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ k
) ) )  e.  CC )
158 mulcom 9107 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( _i  /  (
( 3  x.  (
( 2  x.  k
)  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ k ) ) )  e.  CC  /\  ( 2  /  _i )  e.  CC )  ->  ( ( _i  / 
( ( 3  x.  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  x.  (
9 ^ k ) ) )  x.  (
2  /  _i ) )  =  ( ( 2  /  _i )  x.  ( _i  / 
( ( 3  x.  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  x.  (
9 ^ k ) ) ) ) )
159157, 7, 158sylancl 645 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( _i  /  ( ( 3  x.  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ k ) ) )  x.  ( 2  /  _i ) )  =  ( ( 2  /  _i )  x.  ( _i  /  ( ( 3  x.  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  x.  (
9 ^ k ) ) ) ) )
1604a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN0  ->  2  e.  CC )
1616a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN0  ->  _i  =/=  0 )
162160, 40, 155, 161, 156dmdcand 9850 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( _i  /  ( ( 3  x.  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ k ) ) )  x.  ( 2  /  _i ) )  =  ( 2  /  ( ( 3  x.  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ k ) ) ) )
163151, 159, 1623eqtr2d 2480 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( 2  /  _i )  x.  ( ( n  e.  NN0  |->  ( (
-u 1 ^ n
)  x.  ( ( ( _i  /  3
) ^ ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) ) `  k ) )  =  ( 2  /  ( ( 3  x.  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ k
) ) ) )
164123, 163eqtr4d 2477 . . . . 5  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( F `
 k )  =  ( ( 2  /  _i )  x.  (
( n  e.  NN0  |->  ( ( -u 1 ^ n )  x.  ( ( ( _i 
/  3 ) ^
( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  /  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) ) ) ) `  k ) ) )
165164adantl 454 . . . 4  |-  ( (  T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  ( F `  k )  =  ( ( 2  /  _i )  x.  ( ( n  e. 
NN0  |->  ( ( -u
1 ^ n )  x.  ( ( ( _i  /  3 ) ^ ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  / 
( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) ) `
 k ) ) )
1661, 3, 8, 31, 116, 165isermulc2 12482 . . 3  |-  (  T. 
->  seq  0 (  +  ,  F )  ~~>  ( ( 2  /  _i )  x.  (arctan `  (
_i  /  3 ) ) ) )
167166trud 1333 . 2  |-  seq  0
(  +  ,  F
)  ~~>  ( ( 2  /  _i )  x.  (arctan `  ( _i  /  3 ) ) )
168 bndatandm 20800 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( _i  /  3
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( _i 
/  3 ) )  <  1 )  -> 
( _i  /  3
)  e.  dom arctan )
16911, 27, 168mp2an 655 . . . . . . 7  |-  ( _i 
/  3 )  e. 
dom arctan
170 atanval 20755 . . . . . . 7  |-  ( ( _i  /  3 )  e.  dom arctan  ->  (arctan `  ( _i  /  3
) )  =  ( ( _i  /  2
)  x.  ( ( log `  ( 1  -  ( _i  x.  ( _i  /  3
) ) ) )  -  ( log `  (
1  +  ( _i  x.  ( _i  / 
3 ) ) ) ) ) ) )
171169, 170ax-mp 5 . . . . . 6  |-  (arctan `  ( _i  /  3
) )  =  ( ( _i  /  2
)  x.  ( ( log `  ( 1  -  ( _i  x.  ( _i  /  3
) ) ) )  -  ( log `  (
1  +  ( _i  x.  ( _i  / 
3 ) ) ) ) ) )
172 df-4 10091 . . . . . . . . . . . . 13  |-  4  =  ( 3  +  1 )
173172oveq1i 6120 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 4  /  3 )  =  ( ( 3  +  1 )  /  3
)
1749, 77, 9, 10divdiri 9802 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 3  +  1 )  /  3 )  =  ( ( 3  / 
3 )  +  ( 1  /  3 ) )
1759, 10dividi 9778 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 3  /  3 )  =  1
176175oveq1i 6120 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 3  /  3 )  +  ( 1  / 
3 ) )  =  ( 1  +  ( 1  /  3 ) )
177173, 174, 1763eqtri 2466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 4  /  3 )  =  ( 1  +  ( 1  /  3 ) )
17877, 9, 10divcli 9787 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1  /  3 )  e.  CC
17977, 178subnegi 9410 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  -  -u ( 1  / 
3 ) )  =  ( 1  +  ( 1  /  3 ) )
180 divneg 9740 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  3  e.  CC  /\  3  =/=  0 )  ->  -u (
1  /  3 )  =  ( -u 1  /  3 ) )
18177, 9, 10, 180mp3an 1280 . . . . . . . . . . . . 13  |-  -u (
1  /  3 )  =  ( -u 1  /  3 )
182 ixi 9682 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( _i  x.  _i )  = 
-u 1
183182oveq1i 6120 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( _i  x.  _i )  /  3 )  =  ( -u 1  / 
3 )
1845, 5, 9, 10divassi 9801 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( _i  x.  _i )  /  3 )  =  ( _i  x.  (
_i  /  3 ) )
185181, 183, 1843eqtr2i 2468 . . . . . . . . . . . 12  |-  -u (
1  /  3 )  =  ( _i  x.  ( _i  /  3
) )
186185oveq2i 6121 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  -  -u ( 1  / 
3 ) )  =  ( 1  -  (
_i  x.  ( _i  /  3 ) ) )
187177, 179, 1863eqtr2ri 2469 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  -  ( _i  x.  ( _i  /  3
) ) )  =  ( 4  /  3
)
188187fveq2i 5760 . . . . . . . . 9  |-  ( log `  ( 1  -  (
_i  x.  ( _i  /  3 ) ) ) )  =  ( log `  ( 4  /  3
) )
1899, 10pm3.2i 443 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 3  e.  CC  /\  3  =/=  0 )
190 divsubdir 9741 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 3  e.  CC  /\  1  e.  CC  /\  (
3  e.  CC  /\  3  =/=  0 ) )  ->  ( ( 3  -  1 )  / 
3 )  =  ( ( 3  /  3
)  -  ( 1  /  3 ) ) )
1919, 77, 189, 190mp3an 1280 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 3  -  1 )  /  3 )  =  ( ( 3  / 
3 )  -  (
1  /  3 ) )
192 3m1e2 10127 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 3  -  1 )  =  2
193192oveq1i 6120 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 3  -  1 )  /  3 )  =  ( 2  /  3
)
194175oveq1i 6120 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 3  /  3 )  -  ( 1  / 
3 ) )  =  ( 1  -  (
1  /  3 ) )
195191, 193, 1943eqtr3i 2470 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 2  /  3 )  =  ( 1  -  (
1  /  3 ) )
19677, 178negsubi 9409 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  +  -u ( 1  / 
3 ) )  =  ( 1  -  (
1  /  3 ) )
197185oveq2i 6121 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  +  -u ( 1  / 
3 ) )  =  ( 1  +  ( _i  x.  ( _i 
/  3 ) ) )
198195, 196, 1973eqtr2ri 2469 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  +  ( _i  x.  ( _i  /  3
) ) )  =  ( 2  /  3
)
199198fveq2i 5760 . . . . . . . . 9  |-  ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  ( _i 
/  3 ) ) ) )  =  ( log `  ( 2  /  3 ) )
200188, 199oveq12i 6122 . . . . . . . 8  |-  ( ( log `  ( 1  -  ( _i  x.  ( _i  /  3
) ) ) )  -  ( log `  (
1  +  ( _i  x.  ( _i  / 
3 ) ) ) ) )  =  ( ( log `  (
4  /  3 ) )  -  ( log `  ( 2  /  3
) ) )
201 4re 10104 . . . . . . . . . . 11  |-  4  e.  RR
202 4pos 10117 . . . . . . . . . . 11  |-  0  <  4
203201, 202elrpii 10646 . . . . . . . . . 10  |-  4  e.  RR+
20415, 17elrpii 10646 . . . . . . . . . 10  |-  3  e.  RR+
205 rpdivcl 10665 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 4  e.  RR+  /\  3  e.  RR+ )  ->  (
4  /  3 )  e.  RR+ )
206203, 204, 205mp2an 655 . . . . . . . . 9  |-  ( 4  /  3 )  e.  RR+
207 2rp 10648 . . . . . . . . . 10  |-  2  e.  RR+
208 rpdivcl 10665 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2  e.  RR+  /\  3  e.  RR+ )  ->  (
2  /  3 )  e.  RR+ )
209207, 204, 208mp2an 655 . . . . . . . . 9  |-  ( 2  /  3 )  e.  RR+
210 relogdiv 20518 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 4  /  3
)  e.  RR+  /\  (
2  /  3 )  e.  RR+ )  ->  ( log `  ( ( 4  /  3 )  / 
( 2  /  3
) ) )  =  ( ( log `  (
4  /  3 ) )  -  ( log `  ( 2  /  3
) ) ) )
211206, 209, 210mp2an 655 . . . . . . . 8  |-  ( log `  ( ( 4  / 
3 )  /  (
2  /  3 ) ) )  =  ( ( log `  (
4  /  3 ) )  -  ( log `  ( 2  /  3
) ) )
212 4cn 10105 . . . . . . . . . . 11  |-  4  e.  CC
213 2ne0 10114 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  =/=  0
2144, 213pm3.2i 443 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )
215 divcan7 9754 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 4  e.  CC  /\  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )  /\  ( 3  e.  CC  /\  3  =/=  0 ) )  -> 
( ( 4  / 
3 )  /  (
2  /  3 ) )  =  ( 4  /  2 ) )
216212, 214, 189, 215mp3an 1280 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 4  /  3 )  /  ( 2  / 
3 ) )  =  ( 4  /  2
)
217 4d2e2 10163 . . . . . . . . . 10  |-  ( 4  /  2 )  =  2
218216, 217eqtri 2462 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 4  /  3 )  /  ( 2  / 
3 ) )  =  2
219218fveq2i 5760 . . . . . . . 8  |-  ( log `  ( ( 4  / 
3 )  /  (
2  /  3 ) ) )  =  ( log `  2 )
220200, 211, 2193eqtr2i 2468 . . . . . . 7  |-  ( ( log `  ( 1  -  ( _i  x.  ( _i  /  3
) ) ) )  -  ( log `  (
1  +  ( _i  x.  ( _i  / 
3 ) ) ) ) )  =  ( log `  2 )
221220oveq2i 6121 . . . . . 6  |-  ( ( _i  /  2 )  x.  ( ( log `  ( 1  -  (
_i  x.  ( _i  /  3 ) ) ) )  -  ( log `  ( 1  +  ( _i  x.  ( _i 
/  3 ) ) ) ) ) )  =  ( ( _i 
/  2 )  x.  ( log `  2
) )
222171, 221eqtri 2462 . . . . 5  |-  (arctan `  ( _i  /  3
) )  =  ( ( _i  /  2
)  x.  ( log `  2 ) )
223222oveq2i 6121 . . . 4  |-  ( ( 2  /  _i )  x.  (arctan `  (
_i  /  3 ) ) )  =  ( ( 2  /  _i )  x.  ( (
_i  /  2 )  x.  ( log `  2
) ) )
2245, 4, 213divcli 9787 . . . . 5  |-  ( _i 
/  2 )  e.  CC
225 logcl 20497 . . . . . 6  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )  -> 
( log `  2
)  e.  CC )
2264, 213, 225mp2an 655 . . . . 5  |-  ( log `  2 )  e.  CC
2277, 224, 226mulassi 9130 . . . 4  |-  ( ( ( 2  /  _i )  x.  ( _i  /  2 ) )  x.  ( log `  2
) )  =  ( ( 2  /  _i )  x.  ( (
_i  /  2 )  x.  ( log `  2
) ) )
228223, 227eqtr4i 2465 . . 3  |-  ( ( 2  /  _i )  x.  (arctan `  (
_i  /  3 ) ) )  =  ( ( ( 2  /  _i )  x.  (
_i  /  2 ) )  x.  ( log `  2 ) )
229 divcan6 9752 . . . . 5  |-  ( ( ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )  /\  ( _i  e.  CC  /\  _i  =/=  0
) )  ->  (
( 2  /  _i )  x.  ( _i  /  2 ) )  =  1 )
2304, 213, 5, 6, 229mp4an 656 . . . 4  |-  ( ( 2  /  _i )  x.  ( _i  / 
2 ) )  =  1
231230oveq1i 6120 . . 3  |-  ( ( ( 2  /  _i )  x.  ( _i  /  2 ) )  x.  ( log `  2
) )  =  ( 1  x.  ( log `  2 ) )
232226mulid2i 9124 . . 3  |-  ( 1  x.  ( log `  2
) )  =  ( log `  2 )
233228, 231, 2323eqtri 2466 . 2  |-  ( ( 2  /  _i )  x.  (arctan `  (
_i  /  3 ) ) )  =  ( log `  2 )
234167, 233breqtri 4260 1  |-  seq  0
(  +  ,  F
)  ~~>  ( log `  2
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 178    /\ wa 360    T. wtru 1326    = wceq 1653    e. wcel 1727    =/= wne 2605   class class class wbr 4237    e. cmpt 4291   dom cdm 4907   ` cfv 5483  (class class class)co 6110   CCcc 9019   RRcr 9020   0cc0 9021   1c1 9022   _ici 9023    + caddc 9024    x. cmul 9026    < clt 9151    <_ cle 9152    - cmin 9322   -ucneg 9323    / cdiv 9708   NNcn 10031   2c2 10080   3c3 10081   4c4 10082   9c9 10087   NN0cn0 10252   ZZcz 10313   RR+crp 10643    seq cseq 11354   ^cexp 11413   abscabs 12070    ~~> cli 12309   logclog 20483  arctancatan 20735
This theorem is referenced by:  log2tlbnd  20816
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1668  ax-8 1689  ax-13 1729  ax-14 1731  ax-6 1746  ax-7 1751  ax-11 1763  ax-12 1953  ax-ext 2423  ax-rep 4345  ax-sep 4355  ax-nul 4363  ax-pow 4406  ax-pr 4432  ax-un 4730  ax-inf2 7625  ax-cnex 9077  ax-resscn 9078  ax-1cn 9079  ax-icn 9080  ax-addcl 9081  ax-addrcl 9082  ax-mulcl 9083  ax-mulrcl 9084  ax-mulcom 9085  ax-addass 9086  ax-mulass 9087  ax-distr 9088  ax-i2m1 9089  ax-1ne0 9090  ax-1rid 9091  ax-rnegex 9092  ax-rrecex 9093  ax-cnre 9094  ax-pre-lttri 9095  ax-pre-lttrn 9096  ax-pre-ltadd 9097  ax-pre-mulgt0 9098  ax-pre-sup 9099  ax-addf 9100  ax-mulf 9101
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2291  df-mo 2292  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2716  df-rex 2717  df-reu 2718  df-rmo 2719  df-rab 2720  df-v 2964  df-sbc 3168  df-csb 3268  df-dif 3309  df-un 3311  df-in 3313  df-ss 3320  df-pss 3322  df-nul 3614  df-if 3764  df-pw 3825  df-sn 3844  df-pr 3845  df-tp 3846  df-op 3847  df-uni 4040  df-int 4075  df-iun 4119  df-iin 4120  df-br 4238  df-opab 4292  df-mpt 4293  df-tr 4328  df-eprel 4523  df-id 4527  df-po 4532  df-so 4533  df-fr 4570  df-se 4571  df-we 4572  df-ord 4613  df-on 4614  df-lim 4615  df-suc 4616  df-om 4875  df-xp 4913  df-rel 4914  df-cnv 4915  df-co 4916  df-dm 4917  df-rn 4918  df-res 4919  df-ima 4920  df-iota 5447  df-fun 5485  df-fn 5486  df-f 5487  df-f1 5488  df-fo 5489  df-f1o 5490  df-fv 5491  df-isom 5492  df-ov 6113  df-oprab 6114  df-mpt2 6115  df-of 6334  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-riota 6578  df-recs 6662  df-rdg 6697  df-1o 6753  df-2o 6754  df-oadd 6757  df-er 6934  df-map 7049  df-pm 7050  df-ixp 7093  df-en 7139  df-dom 7140  df-sdom 7141  df-fin 7142  df-fi 7445  df-sup 7475  df-oi 7508  df-card 7857  df-cda 8079  df-pnf 9153  df-mnf 9154  df-xr 9155  df-ltxr 9156  df-le 9157  df-sub 9324  df-neg 9325  df-div 9709  df-nn 10032  df-2 10089  df-3 10090  df-4 10091  df-5 10092  df-6 10093  df-7 10094  df-8 10095  df-9 10096  df-10 10097  df-n0 10253  df-z 10314  df-dec 10414  df-uz 10520  df-q 10606  df-rp 10644  df-xneg 10741  df-xadd 10742  df-xmul 10743  df-ioo 10951  df-ioc 10952  df-ico 10953  df-icc 10954  df-fz 11075  df-fzo 11167  df-fl 11233  df-mod 11282  df-seq 11355  df-exp 11414  df-fac 11598  df-bc 11625  df-hash 11650  df-shft 11913  df-cj 11935  df-re 11936  df-im 11937  df-sqr 12071  df-abs 12072  df-limsup 12296  df-clim 12313  df-rlim 12314  df-sum 12511  df-ef 12701  df-sin 12703  df-cos 12704  df-tan 12705  df-pi 12706  df-dvds 12884  df-struct 13502  df-ndx 13503  df-slot 13504  df-base 13505  df-sets 13506  df-ress 13507  df-plusg 13573  df-mulr 13574  df-starv 13575  df-sca 13576  df-vsca 13577  df-tset 13579  df-ple 13580  df-ds 13582  df-unif 13583  df-hom 13584  df-cco 13585  df-rest 13681  df-topn 13682  df-topgen 13698  df-pt 13699  df-prds 13702  df-xrs 13757  df-0g 13758  df-gsum 13759  df-qtop 13764  df-imas 13765  df-xps 13767  df-mre 13842  df-mrc 13843  df-acs 13845  df-mnd 14721  df-submnd 14770  df-mulg 14846  df-cntz 15147  df-cmn 15445  df-psmet 16725  df-xmet 16726  df-met 16727  df-bl 16728  df-mopn 16729  df-fbas 16730  df-fg 16731  df-cnfld 16735  df-top 16994  df-bases 16996  df-topon 16997  df-topsp 16998  df-cld 17114  df-ntr 17115  df-cls 17116  df-nei 17193  df-lp 17231  df-perf 17232  df-cn 17322  df-cnp 17323  df-haus 17410  df-cmp 17481  df-tx 17625  df-hmeo 17818  df-fil 17909  df-fm 18001  df-flim 18002  df-flf 18003  df-xms 18381  df-ms 18382  df-tms 18383  df-cncf 18939  df-limc 19784  df-dv 19785  df-ulm 20324  df-log 20485  df-atan 20738
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