MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  log2sumbnd Unicode version

Theorem log2sumbnd 20693
Description: Bound on the difference between  sum_ n  <_  A ,  log ^ 2 ( n ) and the equivalent integral. (Contributed by Mario Carneiro, 20-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
log2sumbnd  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  ->  ( abs `  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( ( log `  n
) ^ 2 )  -  ( A  x.  ( ( ( log `  A ) ^ 2 )  +  ( 2  -  ( 2  x.  ( log `  A
) ) ) ) ) ) )  <_ 
( ( ( log `  A ) ^ 2 )  +  2 ) )
Distinct variable group:    A, n

Proof of Theorem log2sumbnd
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzfid 11035 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  ->  (
1 ... ( |_ `  A ) )  e. 
Fin )
2 elfznn 10819 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A
) )  ->  n  e.  NN )
32adantl 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  /\  n  e.  (
1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  n  e.  NN )
43nnrpd 10389 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  /\  n  e.  (
1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  n  e.  RR+ )
54relogcld 19974 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  /\  n  e.  (
1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( log `  n
)  e.  RR )
65resqcld 11271 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  /\  n  e.  (
1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( ( log `  n ) ^ 2 )  e.  RR )
71, 6fsumrecl 12207 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( ( log `  n
) ^ 2 )  e.  RR )
8 rpre 10360 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  RR+  ->  A  e.  RR )
98adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  ->  A  e.  RR )
10 relogcl 19932 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( log `  A )  e.  RR )
1110adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  ->  ( log `  A )  e.  RR )
1211resqcld 11271 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  ->  (
( log `  A
) ^ 2 )  e.  RR )
13 2re 9815 . . . . . . . . . 10  |-  2  e.  RR
14 remulcl 8822 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( log `  A )  e.  RR )  -> 
( 2  x.  ( log `  A ) )  e.  RR )
1513, 11, 14sylancr 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  ->  (
2  x.  ( log `  A ) )  e.  RR )
16 resubcl 9111 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( 2  x.  ( log `  A ) )  e.  RR )  -> 
( 2  -  (
2  x.  ( log `  A ) ) )  e.  RR )
1713, 15, 16sylancr 644 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  ->  (
2  -  ( 2  x.  ( log `  A
) ) )  e.  RR )
1812, 17readdcld 8862 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  ->  (
( ( log `  A
) ^ 2 )  +  ( 2  -  ( 2  x.  ( log `  A ) ) ) )  e.  RR )
199, 18remulcld 8863 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  ->  ( A  x.  ( (
( log `  A
) ^ 2 )  +  ( 2  -  ( 2  x.  ( log `  A ) ) ) ) )  e.  RR )
207, 19resubcld 9211 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( ( log `  n
) ^ 2 )  -  ( A  x.  ( ( ( log `  A ) ^ 2 )  +  ( 2  -  ( 2  x.  ( log `  A
) ) ) ) ) )  e.  RR )
2120recnd 8861 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( ( log `  n
) ^ 2 )  -  ( A  x.  ( ( ( log `  A ) ^ 2 )  +  ( 2  -  ( 2  x.  ( log `  A
) ) ) ) ) )  e.  CC )
2221abscld 11918 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  ->  ( abs `  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( ( log `  n
) ^ 2 )  -  ( A  x.  ( ( ( log `  A ) ^ 2 )  +  ( 2  -  ( 2  x.  ( log `  A
) ) ) ) ) ) )  e.  RR )
23 resubcl 9111 . . . 4  |-  ( ( ( abs `  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( ( log `  n
) ^ 2 )  -  ( A  x.  ( ( ( log `  A ) ^ 2 )  +  ( 2  -  ( 2  x.  ( log `  A
) ) ) ) ) ) )  e.  RR  /\  2  e.  RR )  ->  (
( abs `  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( ( log `  n
) ^ 2 )  -  ( A  x.  ( ( ( log `  A ) ^ 2 )  +  ( 2  -  ( 2  x.  ( log `  A
) ) ) ) ) ) )  - 
2 )  e.  RR )
2422, 13, 23sylancl 643 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  ->  (
( abs `  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( ( log `  n
) ^ 2 )  -  ( A  x.  ( ( ( log `  A ) ^ 2 )  +  ( 2  -  ( 2  x.  ( log `  A
) ) ) ) ) ) )  - 
2 )  e.  RR )
25 2cn 9816 . . . . . 6  |-  2  e.  CC
2625negcli 9114 . . . . 5  |-  -u 2  e.  CC
27 subcl 9051 . . . . 5  |-  ( ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) ( ( log `  n
) ^ 2 )  -  ( A  x.  ( ( ( log `  A ) ^ 2 )  +  ( 2  -  ( 2  x.  ( log `  A
) ) ) ) ) )  e.  CC  /\  -u 2  e.  CC )  ->  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A
) ) ( ( log `  n ) ^ 2 )  -  ( A  x.  (
( ( log `  A
) ^ 2 )  +  ( 2  -  ( 2  x.  ( log `  A ) ) ) ) ) )  -  -u 2 )  e.  CC )
2821, 26, 27sylancl 643 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  ->  (
( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) ( ( log `  n
) ^ 2 )  -  ( A  x.  ( ( ( log `  A ) ^ 2 )  +  ( 2  -  ( 2  x.  ( log `  A
) ) ) ) ) )  -  -u 2
)  e.  CC )
2928abscld 11918 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  ->  ( abs `  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A
) ) ( ( log `  n ) ^ 2 )  -  ( A  x.  (
( ( log `  A
) ^ 2 )  +  ( 2  -  ( 2  x.  ( log `  A ) ) ) ) ) )  -  -u 2 ) )  e.  RR )
3025absnegi 11883 . . . . . 6  |-  ( abs `  -u 2 )  =  ( abs `  2
)
31 0re 8838 . . . . . . . 8  |-  0  e.  RR
32 2pos 9828 . . . . . . . 8  |-  0  <  2
3331, 13, 32ltleii 8941 . . . . . . 7  |-  0  <_  2
34 absid 11781 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  0  <_  2 )  -> 
( abs `  2
)  =  2 )
3513, 33, 34mp2an 653 . . . . . 6  |-  ( abs `  2 )  =  2
3630, 35eqtri 2303 . . . . 5  |-  ( abs `  -u 2 )  =  2
3736oveq2i 5869 . . . 4  |-  ( ( abs `  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A
) ) ( ( log `  n ) ^ 2 )  -  ( A  x.  (
( ( log `  A
) ^ 2 )  +  ( 2  -  ( 2  x.  ( log `  A ) ) ) ) ) ) )  -  ( abs `  -u 2 ) )  =  ( ( abs `  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) ( ( log `  n
) ^ 2 )  -  ( A  x.  ( ( ( log `  A ) ^ 2 )  +  ( 2  -  ( 2  x.  ( log `  A
) ) ) ) ) ) )  - 
2 )
38 abs2dif 11816 . . . . 5  |-  ( ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) ( ( log `  n
) ^ 2 )  -  ( A  x.  ( ( ( log `  A ) ^ 2 )  +  ( 2  -  ( 2  x.  ( log `  A
) ) ) ) ) )  e.  CC  /\  -u 2  e.  CC )  ->  ( ( abs `  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) ( ( log `  n
) ^ 2 )  -  ( A  x.  ( ( ( log `  A ) ^ 2 )  +  ( 2  -  ( 2  x.  ( log `  A
) ) ) ) ) ) )  -  ( abs `  -u 2
) )  <_  ( abs `  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A
) ) ( ( log `  n ) ^ 2 )  -  ( A  x.  (
( ( log `  A
) ^ 2 )  +  ( 2  -  ( 2  x.  ( log `  A ) ) ) ) ) )  -  -u 2 ) ) )
3921, 26, 38sylancl 643 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  ->  (
( abs `  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( ( log `  n
) ^ 2 )  -  ( A  x.  ( ( ( log `  A ) ^ 2 )  +  ( 2  -  ( 2  x.  ( log `  A
) ) ) ) ) ) )  -  ( abs `  -u 2
) )  <_  ( abs `  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A
) ) ( ( log `  n ) ^ 2 )  -  ( A  x.  (
( ( log `  A
) ^ 2 )  +  ( 2  -  ( 2  x.  ( log `  A ) ) ) ) ) )  -  -u 2 ) ) )
4037, 39syl5eqbrr 4057 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  ->  (
( abs `  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( ( log `  n
) ^ 2 )  -  ( A  x.  ( ( ( log `  A ) ^ 2 )  +  ( 2  -  ( 2  x.  ( log `  A
) ) ) ) ) ) )  - 
2 )  <_  ( abs `  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A
) ) ( ( log `  n ) ^ 2 )  -  ( A  x.  (
( ( log `  A
) ^ 2 )  +  ( 2  -  ( 2  x.  ( log `  A ) ) ) ) ) )  -  -u 2 ) ) )
41 fveq2 5525 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  A  ->  ( |_ `  x )  =  ( |_ `  A
) )
4241oveq2d 5874 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  A  ->  (
1 ... ( |_ `  x ) )  =  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )
4342sumeq1d 12174 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  A  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( log `  n
) ^ 2 )  =  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) ( ( log `  n
) ^ 2 ) )
44 id 19 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  A  ->  x  =  A )
45 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  A  ->  ( log `  x )  =  ( log `  A
) )
4645oveq1d 5873 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  A  ->  (
( log `  x
) ^ 2 )  =  ( ( log `  A ) ^ 2 ) )
4745oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  A  ->  (
2  x.  ( log `  x ) )  =  ( 2  x.  ( log `  A ) ) )
4847oveq2d 5874 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  A  ->  (
2  -  ( 2  x.  ( log `  x
) ) )  =  ( 2  -  (
2  x.  ( log `  A ) ) ) )
4946, 48oveq12d 5876 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  A  ->  (
( ( log `  x
) ^ 2 )  +  ( 2  -  ( 2  x.  ( log `  x ) ) ) )  =  ( ( ( log `  A
) ^ 2 )  +  ( 2  -  ( 2  x.  ( log `  A ) ) ) ) )
5044, 49oveq12d 5876 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  A  ->  (
x  x.  ( ( ( log `  x
) ^ 2 )  +  ( 2  -  ( 2  x.  ( log `  x ) ) ) ) )  =  ( A  x.  (
( ( log `  A
) ^ 2 )  +  ( 2  -  ( 2  x.  ( log `  A ) ) ) ) ) )
5143, 50oveq12d 5876 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  A  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( log `  n
) ^ 2 )  -  ( x  x.  ( ( ( log `  x ) ^ 2 )  +  ( 2  -  ( 2  x.  ( log `  x
) ) ) ) ) )  =  (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  A ) ) ( ( log `  n
) ^ 2 )  -  ( A  x.  ( ( ( log `  A ) ^ 2 )  +  ( 2  -  ( 2  x.  ( log `  A
) ) ) ) ) ) )
52 eqid 2283 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( log `  n ) ^ 2 )  -  ( x  x.  (
( ( log `  x
) ^ 2 )  +  ( 2  -  ( 2  x.  ( log `  x ) ) ) ) ) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( log `  n ) ^ 2 )  -  ( x  x.  (
( ( log `  x
) ^ 2 )  +  ( 2  -  ( 2  x.  ( log `  x ) ) ) ) ) ) )
53 ovex 5883 . . . . . . . 8  |-  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( log `  n ) ^ 2 )  -  ( x  x.  (
( ( log `  x
) ^ 2 )  +  ( 2  -  ( 2  x.  ( log `  x ) ) ) ) ) )  e.  _V
5451, 52, 53fvmpt3i 5605 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( log `  n ) ^ 2 )  -  ( x  x.  (
( ( log `  x
) ^ 2 )  +  ( 2  -  ( 2  x.  ( log `  x ) ) ) ) ) ) ) `  A )  =  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( ( log `  n
) ^ 2 )  -  ( A  x.  ( ( ( log `  A ) ^ 2 )  +  ( 2  -  ( 2  x.  ( log `  A
) ) ) ) ) ) )
5554adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  ->  (
( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( log `  n
) ^ 2 )  -  ( x  x.  ( ( ( log `  x ) ^ 2 )  +  ( 2  -  ( 2  x.  ( log `  x
) ) ) ) ) ) ) `  A )  =  (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  A ) ) ( ( log `  n
) ^ 2 )  -  ( A  x.  ( ( ( log `  A ) ^ 2 )  +  ( 2  -  ( 2  x.  ( log `  A
) ) ) ) ) ) )
56 1rp 10358 . . . . . . 7  |-  1  e.  RR+
57 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  1  ->  ( |_ `  x )  =  ( |_ `  1
) )
58 1z 10053 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  1  e.  ZZ
59 flid 10939 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  ( |_ `  1 )  =  1 )
6058, 59ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( |_
`  1 )  =  1
6157, 60syl6eq 2331 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  1  ->  ( |_ `  x )  =  1 )
6261oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  1  ->  (
1 ... ( |_ `  x ) )  =  ( 1 ... 1
) )
6362sumeq1d 12174 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  1  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( log `  n
) ^ 2 )  =  sum_ n  e.  ( 1 ... 1 ) ( ( log `  n
) ^ 2 ) )
64 0cn 8831 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  e.  CC
65 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  1  ->  ( log `  n )  =  ( log `  1
) )
66 log1 19939 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( log `  1 )  =  0
6765, 66syl6eq 2331 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  1  ->  ( log `  n )  =  0 )
6867oveq1d 5873 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  1  ->  (
( log `  n
) ^ 2 )  =  ( 0 ^ 2 ) )
69 sq0 11195 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 0 ^ 2 )  =  0
7068, 69syl6eq 2331 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  1  ->  (
( log `  n
) ^ 2 )  =  0 )
7170fsum1 12214 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 1  e.  ZZ  /\  0  e.  CC )  -> 
sum_ n  e.  (
1 ... 1 ) ( ( log `  n
) ^ 2 )  =  0 )
7258, 64, 71mp2an 653 . . . . . . . . . . 11  |-  sum_ n  e.  ( 1 ... 1
) ( ( log `  n ) ^ 2 )  =  0
7363, 72syl6eq 2331 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  1  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( log `  n
) ^ 2 )  =  0 )
74 id 19 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  1  ->  x  =  1 )
75 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  1  ->  ( log `  x )  =  ( log `  1
) )
7675, 66syl6eq 2331 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  1  ->  ( log `  x )  =  0 )
7776oveq1d 5873 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  1  ->  (
( log `  x
) ^ 2 )  =  ( 0 ^ 2 ) )
7877, 69syl6eq 2331 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  1  ->  (
( log `  x
) ^ 2 )  =  0 )
7976oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  1  ->  (
2  x.  ( log `  x ) )  =  ( 2  x.  0 ) )
8025mul01i 9002 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 2  x.  0 )  =  0
8179, 80syl6eq 2331 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  1  ->  (
2  x.  ( log `  x ) )  =  0 )
8281oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  1  ->  (
2  -  ( 2  x.  ( log `  x
) ) )  =  ( 2  -  0 ) )
8325subid1i 9118 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 2  -  0 )  =  2
8482, 83syl6eq 2331 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  1  ->  (
2  -  ( 2  x.  ( log `  x
) ) )  =  2 )
8578, 84oveq12d 5876 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  1  ->  (
( ( log `  x
) ^ 2 )  +  ( 2  -  ( 2  x.  ( log `  x ) ) ) )  =  ( 0  +  2 ) )
8625addid2i 9000 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0  +  2 )  =  2
8785, 86syl6eq 2331 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  1  ->  (
( ( log `  x
) ^ 2 )  +  ( 2  -  ( 2  x.  ( log `  x ) ) ) )  =  2 )
8874, 87oveq12d 5876 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  1  ->  (
x  x.  ( ( ( log `  x
) ^ 2 )  +  ( 2  -  ( 2  x.  ( log `  x ) ) ) ) )  =  ( 1  x.  2 ) )
8925mulid2i 8840 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  x.  2 )  =  2
9088, 89syl6eq 2331 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  1  ->  (
x  x.  ( ( ( log `  x
) ^ 2 )  +  ( 2  -  ( 2  x.  ( log `  x ) ) ) ) )  =  2 )
9173, 90oveq12d 5876 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  1  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( log `  n
) ^ 2 )  -  ( x  x.  ( ( ( log `  x ) ^ 2 )  +  ( 2  -  ( 2  x.  ( log `  x
) ) ) ) ) )  =  ( 0  -  2 ) )
92 df-neg 9040 . . . . . . . . 9  |-  -u 2  =  ( 0  -  2 )
9391, 92syl6eqr 2333 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  1  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( log `  n
) ^ 2 )  -  ( x  x.  ( ( ( log `  x ) ^ 2 )  +  ( 2  -  ( 2  x.  ( log `  x
) ) ) ) ) )  =  -u
2 )
9493, 52, 53fvmpt3i 5605 . . . . . . 7  |-  ( 1  e.  RR+  ->  ( ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( log `  n ) ^ 2 )  -  ( x  x.  (
( ( log `  x
) ^ 2 )  +  ( 2  -  ( 2  x.  ( log `  x ) ) ) ) ) ) ) `  1 )  =  -u 2 )
9556, 94mp1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  ->  (
( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( log `  n
) ^ 2 )  -  ( x  x.  ( ( ( log `  x ) ^ 2 )  +  ( 2  -  ( 2  x.  ( log `  x
) ) ) ) ) ) ) ` 
1 )  =  -u
2 )
9655, 95oveq12d 5876 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  ->  (
( ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( log `  n
) ^ 2 )  -  ( x  x.  ( ( ( log `  x ) ^ 2 )  +  ( 2  -  ( 2  x.  ( log `  x
) ) ) ) ) ) ) `  A )  -  (
( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( log `  n
) ^ 2 )  -  ( x  x.  ( ( ( log `  x ) ^ 2 )  +  ( 2  -  ( 2  x.  ( log `  x
) ) ) ) ) ) ) ` 
1 ) )  =  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( ( log `  n
) ^ 2 )  -  ( A  x.  ( ( ( log `  A ) ^ 2 )  +  ( 2  -  ( 2  x.  ( log `  A
) ) ) ) ) )  -  -u 2
) )
9796fveq2d 5529 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  ->  ( abs `  ( ( ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( log `  n ) ^ 2 )  -  ( x  x.  (
( ( log `  x
) ^ 2 )  +  ( 2  -  ( 2  x.  ( log `  x ) ) ) ) ) ) ) `  A )  -  ( ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( log `  n ) ^ 2 )  -  ( x  x.  (
( ( log `  x
) ^ 2 )  +  ( 2  -  ( 2  x.  ( log `  x ) ) ) ) ) ) ) `  1 ) ) )  =  ( abs `  ( (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  A ) ) ( ( log `  n
) ^ 2 )  -  ( A  x.  ( ( ( log `  A ) ^ 2 )  +  ( 2  -  ( 2  x.  ( log `  A
) ) ) ) ) )  -  -u 2
) ) )
98 ioorp 10727 . . . . . 6  |-  ( 0 (,)  +oo )  =  RR+
9998eqcomi 2287 . . . . 5  |-  RR+  =  ( 0 (,)  +oo )
100 nnuz 10263 . . . . 5  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
10158a1i 10 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  ->  1  e.  ZZ )
102 1re 8837 . . . . . 6  |-  1  e.  RR
103102a1i 10 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  ->  1  e.  RR )
104 pnfxr 10455 . . . . . 6  |-  +oo  e.  RR*
105104a1i 10 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  ->  +oo  e.  RR* )
106 1nn0 9981 . . . . . . 7  |-  1  e.  NN0
107102, 106nn0addge1i 10012 . . . . . 6  |-  1  <_  ( 1  +  1 )
108107a1i 10 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  ->  1  <_  ( 1  +  1 ) )
10931a1i 10 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  ->  0  e.  RR )
110 rpre 10360 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR+  ->  x  e.  RR )
111110adantl 452 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  RR+ )  ->  x  e.  RR )
112 simpr 447 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  RR+ )  ->  x  e.  RR+ )
113112relogcld 19974 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( log `  x
)  e.  RR )
114113resqcld 11271 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( log `  x
) ^ 2 )  e.  RR )
115 remulcl 8822 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( log `  x )  e.  RR )  -> 
( 2  x.  ( log `  x ) )  e.  RR )
11613, 113, 115sylancr 644 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( 2  x.  ( log `  x ) )  e.  RR )
117 resubcl 9111 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( 2  x.  ( log `  x ) )  e.  RR )  -> 
( 2  -  (
2  x.  ( log `  x ) ) )  e.  RR )
11813, 116, 117sylancr 644 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( 2  -  (
2  x.  ( log `  x ) ) )  e.  RR )
119114, 118readdcld 8862 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( ( log `  x ) ^ 2 )  +  ( 2  -  ( 2  x.  ( log `  x
) ) ) )  e.  RR )
120111, 119remulcld 8863 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( x  x.  (
( ( log `  x
) ^ 2 )  +  ( 2  -  ( 2  x.  ( log `  x ) ) ) ) )  e.  RR )
121 nnrp 10363 . . . . . 6  |-  ( x  e.  NN  ->  x  e.  RR+ )
122121, 114sylan2 460 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  NN )  ->  ( ( log `  x ) ^ 2 )  e.  RR )
123 reex 8828 . . . . . . . . 9  |-  RR  e.  _V
124123prid1 3734 . . . . . . . 8  |-  RR  e.  { RR ,  CC }
125124a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  ->  RR  e.  { RR ,  CC } )
126111recnd 8861 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  RR+ )  ->  x  e.  CC )
127102a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  RR+ )  ->  1  e.  RR )
128 recn 8827 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR  ->  x  e.  CC )
129128adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  RR )  ->  x  e.  CC )
130102a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  RR )  ->  1  e.  RR )
131125dvmptid 19306 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  ->  ( RR  _D  ( x  e.  RR  |->  x ) )  =  ( x  e.  RR  |->  1 ) )
132 rpssre 10364 . . . . . . . . 9  |-  RR+  C_  RR
133132a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  ->  RR+  C_  RR )
134 eqid 2283 . . . . . . . . 9  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
135134tgioo2 18309 . . . . . . . 8  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  RR )
136 iooretop 18275 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0 (,)  +oo )  e.  (
topGen `  ran  (,) )
13798, 136eqeltrri 2354 . . . . . . . . 9  |-  RR+  e.  ( topGen `  ran  (,) )
138137a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  ->  RR+  e.  ( topGen `  ran  (,) )
)
139125, 129, 130, 131, 133, 135, 134, 138dvmptres 19312 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  ->  ( RR  _D  ( x  e.  RR+  |->  x ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  1 ) )
140119recnd 8861 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( ( log `  x ) ^ 2 )  +  ( 2  -  ( 2  x.  ( log `  x
) ) ) )  e.  CC )
141 resubcl 9111 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 2  x.  ( log `  x ) )  e.  RR  /\  2  e.  RR )  ->  (
( 2  x.  ( log `  x ) )  -  2 )  e.  RR )
142116, 13, 141sylancl 643 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( 2  x.  ( log `  x
) )  -  2 )  e.  RR )
143142, 112rerpdivcld 10417 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( ( 2  x.  ( log `  x
) )  -  2 )  /  x )  e.  RR )
144114recnd 8861 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( log `  x
) ^ 2 )  e.  CC )
145116recnd 8861 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( 2  x.  ( log `  x ) )  e.  CC )
146112rpreccld 10400 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( 1  /  x
)  e.  RR+ )
147146rpcnd 10392 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( 1  /  x
)  e.  CC )
148145, 147mulcld 8855 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( 2  x.  ( log `  x
) )  x.  (
1  /  x ) )  e.  CC )
149 cnex 8818 . . . . . . . . . . . 12  |-  CC  e.  _V
150149prid2 3735 . . . . . . . . . . 11  |-  CC  e.  { RR ,  CC }
151150a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  ->  CC  e.  { RR ,  CC } )
152113recnd 8861 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( log `  x
)  e.  CC )
153 sqcl 11166 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  CC  ->  (
y ^ 2 )  e.  CC )
154153adantl 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  /\  y  e.  CC )  ->  ( y ^
2 )  e.  CC )
155 simpr 447 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  /\  y  e.  CC )  ->  y  e.  CC )
156 mulcl 8821 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( 2  x.  y
)  e.  CC )
15725, 155, 156sylancr 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  /\  y  e.  CC )  ->  ( 2  x.  y )  e.  CC )
158 dvrelog 19984 . . . . . . . . . . 11  |-  ( RR 
_D  ( log  |`  RR+ )
)  =  ( x  e.  RR+  |->  ( 1  /  x ) )
159 relogf1o 19924 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( log  |`  RR+ ) : RR+ -1-1-onto-> RR
160 f1of 5472 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( log  |`  RR+ ) :
RR+
-1-1-onto-> RR  ->  ( log  |`  RR+ ) : RR+ --> RR )
161159, 160mp1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  ->  ( log  |`  RR+ ) : RR+ --> RR )
162161feqmptd 5575 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  ->  ( log  |`  RR+ )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( ( log  |`  RR+ ) `  x ) ) )
163 fvres 5542 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( ( log  |`  RR+ ) `  x )  =  ( log `  x ) )
164163mpteq2ia 4102 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  RR+  |->  ( ( log  |`  RR+ ) `  x ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( log `  x ) )
165162, 164syl6eq 2331 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  ->  ( log  |`  RR+ )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( log `  x ) ) )
166165oveq2d 5874 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  ->  ( RR  _D  ( log  |`  RR+ )
)  =  ( RR 
_D  ( x  e.  RR+  |->  ( log `  x
) ) ) )
167158, 166syl5reqr 2330 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  ->  ( RR  _D  ( x  e.  RR+  |->  ( log `  x
) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( 1  /  x
) ) )
168 2nn 9877 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  e.  NN
169 dvexp 19302 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2  e.  NN  ->  ( CC  _D  ( y  e.  CC  |->  ( y ^
2 ) ) )  =  ( y  e.  CC  |->  ( 2  x.  ( y ^ (
2  -  1 ) ) ) ) )
170168, 169mp1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  ->  ( CC  _D  ( y  e.  CC  |->  ( y ^
2 ) ) )  =  ( y  e.  CC  |->  ( 2  x.  ( y ^ (
2  -  1 ) ) ) ) )
171 ax-1cn 8795 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  1  e.  CC
172 1p1e2 9840 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 1  +  1 )  =  2
17325, 171, 171, 172subaddrii 9135 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 2  -  1 )  =  1
174173oveq2i 5869 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y ^ ( 2  -  1 ) )  =  ( y ^ 1 )
175 exp1 11109 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  CC  ->  (
y ^ 1 )  =  y )
176174, 175syl5eq 2327 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  CC  ->  (
y ^ ( 2  -  1 ) )  =  y )
177176oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  CC  ->  (
2  x.  ( y ^ ( 2  -  1 ) ) )  =  ( 2  x.  y ) )
178177mpteq2ia 4102 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  CC  |->  ( 2  x.  ( y ^
( 2  -  1 ) ) ) )  =  ( y  e.  CC  |->  ( 2  x.  y ) )
179170, 178syl6eq 2331 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  ->  ( CC  _D  ( y  e.  CC  |->  ( y ^
2 ) ) )  =  ( y  e.  CC  |->  ( 2  x.  y ) ) )
180 oveq1 5865 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( log `  x
)  ->  ( y ^ 2 )  =  ( ( log `  x
) ^ 2 ) )
181 oveq2 5866 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( log `  x
)  ->  ( 2  x.  y )  =  ( 2  x.  ( log `  x ) ) )
182125, 151, 152, 146, 154, 157, 167, 179, 180, 181dvmptco 19321 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  ->  ( RR  _D  ( x  e.  RR+  |->  ( ( log `  x ) ^ 2 ) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( ( 2  x.  ( log `  x
) )  x.  (
1  /  x ) ) ) )
183118recnd 8861 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( 2  -  (
2  x.  ( log `  x ) ) )  e.  CC )
184 ovex 5883 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0  -  ( 2  x.  ( 1  /  x
) ) )  e. 
_V
185184a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( 0  -  (
2  x.  ( 1  /  x ) ) )  e.  _V )
18625a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  RR+ )  ->  2  e.  CC )
18731a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  RR+ )  ->  0  e.  RR )
18825a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  RR )  ->  2  e.  CC )
18931a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  RR )  ->  0  e.  RR )
19025a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  ->  2  e.  CC )
191125, 190dvmptc 19307 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  ->  ( RR  _D  ( x  e.  RR  |->  2 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  0 ) )
192125, 188, 189, 191, 133, 135, 134, 138dvmptres 19312 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  ->  ( RR  _D  ( x  e.  RR+  |->  2 ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  0 ) )
193 mulcl 8821 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  ( 1  /  x
)  e.  CC )  ->  ( 2  x.  ( 1  /  x
) )  e.  CC )
19425, 147, 193sylancr 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( 2  x.  (
1  /  x ) )  e.  CC )
195125, 152, 146, 167, 190dvmptcmul 19313 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  ->  ( RR  _D  ( x  e.  RR+  |->  ( 2  x.  ( log `  x
) ) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( 2  x.  ( 1  /  x
) ) ) )
196125, 186, 187, 192, 145, 194, 195dvmptsub 19316 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  ->  ( RR  _D  ( x  e.  RR+  |->  ( 2  -  ( 2  x.  ( log `  x ) ) ) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( 0  -  (
2  x.  ( 1  /  x ) ) ) ) )
197125, 144, 148, 182, 183, 185, 196dvmptadd 19309 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  ->  ( RR  _D  ( x  e.  RR+  |->  ( ( ( log `  x ) ^ 2 )  +  ( 2  -  (
2  x.  ( log `  x ) ) ) ) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( ( ( 2  x.  ( log `  x
) )  x.  (
1  /  x ) )  +  ( 0  -  ( 2  x.  ( 1  /  x
) ) ) ) ) )
198145, 186, 147subdird 9236 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( ( 2  x.  ( log `  x
) )  -  2 )  x.  ( 1  /  x ) )  =  ( ( ( 2  x.  ( log `  x ) )  x.  ( 1  /  x
) )  -  (
2  x.  ( 1  /  x ) ) ) )
199142recnd 8861 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( 2  x.  ( log `  x
) )  -  2 )  e.  CC )
200 rpne0 10369 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  RR+  ->  x  =/=  0 )
201200adantl 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  RR+ )  ->  x  =/=  0 )
202199, 126, 201divrecd 9539 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( ( 2  x.  ( log `  x
) )  -  2 )  /  x )  =  ( ( ( 2  x.  ( log `  x ) )  - 
2 )  x.  (
1  /  x ) ) )
203 df-neg 9040 . . . . . . . . . . . 12  |-  -u (
2  x.  ( 1  /  x ) )  =  ( 0  -  ( 2  x.  (
1  /  x ) ) )
204203oveq2i 5869 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 2  x.  ( log `  x ) )  x.  ( 1  /  x ) )  + 
-u ( 2  x.  ( 1  /  x
) ) )  =  ( ( ( 2  x.  ( log `  x
) )  x.  (
1  /  x ) )  +  ( 0  -  ( 2  x.  ( 1  /  x
) ) ) )
205148, 194negsubd 9163 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( ( 2  x.  ( log `  x
) )  x.  (
1  /  x ) )  +  -u (
2  x.  ( 1  /  x ) ) )  =  ( ( ( 2  x.  ( log `  x ) )  x.  ( 1  /  x ) )  -  ( 2  x.  (
1  /  x ) ) ) )
206204, 205syl5eqr 2329 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( ( 2  x.  ( log `  x
) )  x.  (
1  /  x ) )  +  ( 0  -  ( 2  x.  ( 1  /  x
) ) ) )  =  ( ( ( 2  x.  ( log `  x ) )  x.  ( 1  /  x
) )  -  (
2  x.  ( 1  /  x ) ) ) )
207198, 202, 2063eqtr4rd 2326 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( ( 2  x.  ( log `  x
) )  x.  (
1  /  x ) )  +  ( 0  -  ( 2  x.  ( 1  /  x
) ) ) )  =  ( ( ( 2  x.  ( log `  x ) )  - 
2 )  /  x
) )
208207mpteq2dva 4106 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  ->  (
x  e.  RR+  |->  ( ( ( 2  x.  ( log `  x ) )  x.  ( 1  /  x ) )  +  ( 0  -  (
2  x.  ( 1  /  x ) ) ) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( ( ( 2  x.  ( log `  x
) )  -  2 )  /  x ) ) )
209197, 208eqtrd 2315 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  ->  ( RR  _D  ( x  e.  RR+  |->  ( ( ( log `  x ) ^ 2 )  +  ( 2  -  (
2  x.  ( log `  x ) ) ) ) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( ( ( 2  x.  ( log `  x
) )  -  2 )  /  x ) ) )
210125, 126, 127, 139, 140, 143, 209dvmptmul 19310 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  ->  ( RR  _D  ( x  e.  RR+  |->  ( x  x.  ( ( ( log `  x ) ^ 2 )  +  ( 2  -  ( 2  x.  ( log `  x
) ) ) ) ) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( ( 1  x.  ( ( ( log `  x ) ^ 2 )  +  ( 2  -  ( 2  x.  ( log `  x
) ) ) ) )  +  ( ( ( ( 2  x.  ( log `  x
) )  -  2 )  /  x )  x.  x ) ) ) )
211140mulid2d 8853 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( 1  x.  (
( ( log `  x
) ^ 2 )  +  ( 2  -  ( 2  x.  ( log `  x ) ) ) ) )  =  ( ( ( log `  x ) ^ 2 )  +  ( 2  -  ( 2  x.  ( log `  x
) ) ) ) )
212144, 145, 186subsub2d 9186 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( ( log `  x ) ^ 2 )  -  ( ( 2  x.  ( log `  x ) )  - 
2 ) )  =  ( ( ( log `  x ) ^ 2 )  +  ( 2  -  ( 2  x.  ( log `  x
) ) ) ) )
213211, 212eqtr4d 2318 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( 1  x.  (
( ( log `  x
) ^ 2 )  +  ( 2  -  ( 2  x.  ( log `  x ) ) ) ) )  =  ( ( ( log `  x ) ^ 2 )  -  ( ( 2  x.  ( log `  x ) )  - 
2 ) ) )
214199, 126, 201divcan1d 9537 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( ( ( 2  x.  ( log `  x ) )  - 
2 )  /  x
)  x.  x )  =  ( ( 2  x.  ( log `  x
) )  -  2 ) )
215213, 214oveq12d 5876 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( 1  x.  ( ( ( log `  x ) ^ 2 )  +  ( 2  -  ( 2  x.  ( log `  x
) ) ) ) )  +  ( ( ( ( 2  x.  ( log `  x
) )  -  2 )  /  x )  x.  x ) )  =  ( ( ( ( log `  x
) ^ 2 )  -  ( ( 2  x.  ( log `  x
) )  -  2 ) )  +  ( ( 2  x.  ( log `  x ) )  -  2 ) ) )
216144, 199npcand 9161 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( ( ( log `  x ) ^ 2 )  -  ( ( 2  x.  ( log `  x
) )  -  2 ) )  +  ( ( 2  x.  ( log `  x ) )  -  2 ) )  =  ( ( log `  x ) ^ 2 ) )
217215, 216eqtrd 2315 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( 1  x.  ( ( ( log `  x ) ^ 2 )  +  ( 2  -  ( 2  x.  ( log `  x
) ) ) ) )  +  ( ( ( ( 2  x.  ( log `  x
) )  -  2 )  /  x )  x.  x ) )  =  ( ( log `  x ) ^ 2 ) )
218217mpteq2dva 4106 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  ->  (
x  e.  RR+  |->  ( ( 1  x.  ( ( ( log `  x
) ^ 2 )  +  ( 2  -  ( 2  x.  ( log `  x ) ) ) ) )  +  ( ( ( ( 2  x.  ( log `  x ) )  - 
2 )  /  x
)  x.  x ) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( ( log `  x ) ^ 2 ) ) )
219210, 218eqtrd 2315 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  ->  ( RR  _D  ( x  e.  RR+  |->  ( x  x.  ( ( ( log `  x ) ^ 2 )  +  ( 2  -  ( 2  x.  ( log `  x
) ) ) ) ) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( ( log `  x
) ^ 2 ) ) )
220 fveq2 5525 . . . . . 6  |-  ( x  =  n  ->  ( log `  x )  =  ( log `  n
) )
221220oveq1d 5873 . . . . 5  |-  ( x  =  n  ->  (
( log `  x
) ^ 2 )  =  ( ( log `  n ) ^ 2 ) )
222 simp32 992 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  /\  ( x  e.  RR+  /\  n  e.  RR+ )  /\  ( 1  <_  x  /\  x  <_  n  /\  n  <_  +oo ) )  ->  x  <_  n )
223 simp2l 981 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  /\  ( x  e.  RR+  /\  n  e.  RR+ )  /\  ( 1  <_  x  /\  x  <_  n  /\  n  <_  +oo ) )  ->  x  e.  RR+ )
224 simp2r 982 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  /\  ( x  e.  RR+  /\  n  e.  RR+ )  /\  ( 1  <_  x  /\  x  <_  n  /\  n  <_  +oo ) )  ->  n  e.  RR+ )
225223, 224logled 19978 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  /\  ( x  e.  RR+  /\  n  e.  RR+ )  /\  ( 1  <_  x  /\  x  <_  n  /\  n  <_  +oo ) )  -> 
( x  <_  n  <->  ( log `  x )  <_  ( log `  n
) ) )
226222, 225mpbid 201 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  /\  ( x  e.  RR+  /\  n  e.  RR+ )  /\  ( 1  <_  x  /\  x  <_  n  /\  n  <_  +oo ) )  -> 
( log `  x
)  <_  ( log `  n ) )
227223relogcld 19974 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  /\  ( x  e.  RR+  /\  n  e.  RR+ )  /\  ( 1  <_  x  /\  x  <_  n  /\  n  <_  +oo ) )  -> 
( log `  x
)  e.  RR )
228224relogcld 19974 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  /\  ( x  e.  RR+  /\  n  e.  RR+ )  /\  ( 1  <_  x  /\  x  <_  n  /\  n  <_  +oo ) )  -> 
( log `  n
)  e.  RR )
229 simp31 991 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  /\  ( x  e.  RR+  /\  n  e.  RR+ )  /\  ( 1  <_  x  /\  x  <_  n  /\  n  <_  +oo ) )  -> 
1  <_  x )
230 logleb 19957 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1  e.  RR+  /\  x  e.  RR+ )  ->  (
1  <_  x  <->  ( log `  1 )  <_  ( log `  x ) ) )
23156, 223, 230sylancr 644 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  /\  ( x  e.  RR+  /\  n  e.  RR+ )  /\  ( 1  <_  x  /\  x  <_  n  /\  n  <_  +oo ) )  -> 
( 1  <_  x  <->  ( log `  1 )  <_  ( log `  x
) ) )
232229, 231mpbid 201 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  /\  ( x  e.  RR+  /\  n  e.  RR+ )  /\  ( 1  <_  x  /\  x  <_  n  /\  n  <_  +oo ) )  -> 
( log `  1
)  <_  ( log `  x ) )
23366, 232syl5eqbrr 4057 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  /\  ( x  e.  RR+  /\  n  e.  RR+ )  /\  ( 1  <_  x  /\  x  <_  n  /\  n  <_  +oo ) )  -> 
0  <_  ( log `  x ) )
234224rpred 10390 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  /\  ( x  e.  RR+  /\  n  e.  RR+ )  /\  ( 1  <_  x  /\  x  <_  n  /\  n  <_  +oo ) )  ->  n  e.  RR )
235102a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  /\  ( x  e.  RR+  /\  n  e.  RR+ )  /\  ( 1  <_  x  /\  x  <_  n  /\  n  <_  +oo ) )  -> 
1  e.  RR )
236223rpred 10390 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  /\  ( x  e.  RR+  /\  n  e.  RR+ )  /\  ( 1  <_  x  /\  x  <_  n  /\  n  <_  +oo ) )  ->  x  e.  RR )
237235, 236, 234, 229, 222letrd 8973 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  /\  ( x  e.  RR+  /\  n  e.  RR+ )  /\  ( 1  <_  x  /\  x  <_  n  /\  n  <_  +oo ) )  -> 
1  <_  n )
238234, 237logge0d 19981 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  /\  ( x  e.  RR+  /\  n  e.  RR+ )  /\  ( 1  <_  x  /\  x  <_  n  /\  n  <_  +oo ) )  -> 
0  <_  ( log `  n ) )
239227, 228, 233, 238le2sqd 11280 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  /\  ( x  e.  RR+  /\  n  e.  RR+ )  /\  ( 1  <_  x  /\  x  <_  n  /\  n  <_  +oo ) )  -> 
( ( log `  x
)  <_  ( log `  n )  <->  ( ( log `  x ) ^
2 )  <_  (
( log `  n
) ^ 2 ) ) )
240226, 239mpbid 201 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  /\  ( x  e.  RR+  /\  n  e.  RR+ )  /\  ( 1  <_  x  /\  x  <_  n  /\  n  <_  +oo ) )  -> 
( ( log `  x
) ^ 2 )  <_  ( ( log `  n ) ^ 2 ) )
241 relogcl 19932 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( log `  x )  e.  RR )
242241ad2antrl 708 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )
)  ->  ( log `  x )  e.  RR )
243242sqge0d 11272 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )
)  ->  0  <_  ( ( log `  x
) ^ 2 ) )
24456a1i 10 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  ->  1  e.  RR+ )
245 simpl 443 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  ->  A  e.  RR+ )
246 1le1 9396 . . . . . 6  |-  1  <_  1
247246a1i 10 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  ->  1  <_  1 )
248 simpr 447 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  ->  1  <_  A )
2499rexrd 8881 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  ->  A  e.  RR* )
250 pnfge 10469 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR*  ->  A  <_  +oo )
251249, 250syl 15 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  ->  A  <_  +oo )
25299, 100, 101, 103, 105, 108, 109, 120, 114, 122, 219, 221, 240, 52, 243, 244, 245, 247, 248, 251, 46dvfsum2 19381 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  ->  ( abs `  ( ( ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( log `  n ) ^ 2 )  -  ( x  x.  (
( ( log `  x
) ^ 2 )  +  ( 2  -  ( 2  x.  ( log `  x ) ) ) ) ) ) ) `  A )  -  ( ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( log `  n ) ^ 2 )  -  ( x  x.  (
( ( log `  x
) ^ 2 )  +  ( 2  -  ( 2  x.  ( log `  x ) ) ) ) ) ) ) `  1 ) ) )  <_  (
( log `  A
) ^ 2 ) )
25397, 252eqbrtrrd 4045 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  ->  ( abs `  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A
) ) ( ( log `  n ) ^ 2 )  -  ( A  x.  (
( ( log `  A
) ^ 2 )  +  ( 2  -  ( 2  x.  ( log `  A ) ) ) ) ) )  -  -u 2 ) )  <_  ( ( log `  A ) ^ 2 ) )
25424, 29, 12, 40, 253letrd 8973 . 2  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  ->  (
( abs `  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( ( log `  n
) ^ 2 )  -  ( A  x.  ( ( ( log `  A ) ^ 2 )  +  ( 2  -  ( 2  x.  ( log `  A
) ) ) ) ) ) )  - 
2 )  <_  (
( log `  A
) ^ 2 ) )
25513a1i 10 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  ->  2  e.  RR )
25622, 255, 12lesubaddd 9369 . 2  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  ->  (
( ( abs `  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( ( log `  n
) ^ 2 )  -  ( A  x.  ( ( ( log `  A ) ^ 2 )  +  ( 2  -  ( 2  x.  ( log `  A
) ) ) ) ) ) )  - 
2 )  <_  (
( log `  A
) ^ 2 )  <-> 
( abs `  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( ( log `  n
) ^ 2 )  -  ( A  x.  ( ( ( log `  A ) ^ 2 )  +  ( 2  -  ( 2  x.  ( log `  A
) ) ) ) ) ) )  <_ 
( ( ( log `  A ) ^ 2 )  +  2 ) ) )
257254, 256mpbid 201 1  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  ->  ( abs `  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( ( log `  n
) ^ 2 )  -  ( A  x.  ( ( ( log `  A ) ^ 2 )  +  ( 2  -  ( 2  x.  ( log `  A
) ) ) ) ) ) )  <_ 
( ( ( log `  A ) ^ 2 )  +  2 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   _Vcvv 2788    C_ wss 3152   {cpr 3641   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077   ran crn 4690    |` cres 4691   -->wf 5251   -1-1-onto->wf1o 5254   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   CCcc 8735   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738    + caddc 8740    x. cmul 8742    +oocpnf 8864   RR*cxr 8866    <_ cle 8868    - cmin 9037   -ucneg 9038    / cdiv 9423   NNcn 9746   2c2 9795   ZZcz 10024   RR+crp 10354   (,)cioo 10656   ...cfz 10782   |_cfl 10924   ^cexp 11104   abscabs 11719   sum_csu 12158   TopOpenctopn 13326   topGenctg 13342  ℂfldccnfld 16377    _D cdv 19213   logclog 19912
This theorem is referenced by:  selberglem2  20695
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-addf 8816  ax-mulf 8817
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-fi 7165  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-ioo 10660  df-ioc 10661  df-ico 10662  df-icc 10663  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-mod 10974  df-seq 11047  df-exp 11105  df-fac 11289  df-bc 11316  df-hash 11338  df-shft 11562  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-limsup 11945  df-clim 11962  df-rlim 11963  df-sum 12159  df-ef 12349  df-sin 12351  df-cos 12352  df-pi 12354  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-starv 13223  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-hom 13232  df-cco 13233  df-rest 13327  df-topn 13328  df-topgen 13344  df-pt 13345  df-prds 13348  df-xrs 13403  df-0g 13404  df-gsum 13405  df-qtop 13410  df-imas 13411  df-xps 13413  df-mre 13488  df-mrc 13489  df-acs 13491  df-mnd 14367  df-submnd 14416  df-mulg 14492  df-cntz 14793  df-cmn 15091  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-cnfld 16378  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-topsp 16640  df-cld 16756  df-ntr 16757  df-cls 16758  df-nei 16835  df-lp 16868  df-perf 16869  df-cn 16957  df-cnp 16958  df-haus 17043  df-cmp 17114  df-tx 17257  df-hmeo 17446  df-fbas 17520  df-fg 17521  df-fil 17541  df-fm 17633  df-flim 17634  df-flf 17635  df-xms 17885  df-ms 17886  df-tms 17887  df-cncf 18382  df-limc 19216  df-dv 19217  df-log 19914
  Copyright terms: Public domain W3C validator