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Theorem log2sumbnd 21240
Description: Bound on the difference between  sum_ n  <_  A ,  log ^ 2 ( n ) and the equivalent integral. (Contributed by Mario Carneiro, 20-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
log2sumbnd  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  ->  ( abs `  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( ( log `  n
) ^ 2 )  -  ( A  x.  ( ( ( log `  A ) ^ 2 )  +  ( 2  -  ( 2  x.  ( log `  A
) ) ) ) ) ) )  <_ 
( ( ( log `  A ) ^ 2 )  +  2 ) )
Distinct variable group:    A, n

Proof of Theorem log2sumbnd
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzfid 11314 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  ->  (
1 ... ( |_ `  A ) )  e. 
Fin )
2 elfznn 11082 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A
) )  ->  n  e.  NN )
32adantl 454 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  /\  n  e.  (
1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  n  e.  NN )
43nnrpd 10649 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  /\  n  e.  (
1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  n  e.  RR+ )
54relogcld 20520 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  /\  n  e.  (
1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( log `  n
)  e.  RR )
65resqcld 11551 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  /\  n  e.  (
1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( ( log `  n ) ^ 2 )  e.  RR )
71, 6fsumrecl 12530 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( ( log `  n
) ^ 2 )  e.  RR )
8 rpre 10620 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  RR+  ->  A  e.  RR )
98adantr 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  ->  A  e.  RR )
10 relogcl 20475 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( log `  A )  e.  RR )
1110adantr 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  ->  ( log `  A )  e.  RR )
1211resqcld 11551 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  ->  (
( log `  A
) ^ 2 )  e.  RR )
13 2re 10071 . . . . . . . . . 10  |-  2  e.  RR
14 remulcl 9077 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( log `  A )  e.  RR )  -> 
( 2  x.  ( log `  A ) )  e.  RR )
1513, 11, 14sylancr 646 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  ->  (
2  x.  ( log `  A ) )  e.  RR )
16 resubcl 9367 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( 2  x.  ( log `  A ) )  e.  RR )  -> 
( 2  -  (
2  x.  ( log `  A ) ) )  e.  RR )
1713, 15, 16sylancr 646 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  ->  (
2  -  ( 2  x.  ( log `  A
) ) )  e.  RR )
1812, 17readdcld 9117 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  ->  (
( ( log `  A
) ^ 2 )  +  ( 2  -  ( 2  x.  ( log `  A ) ) ) )  e.  RR )
199, 18remulcld 9118 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  ->  ( A  x.  ( (
( log `  A
) ^ 2 )  +  ( 2  -  ( 2  x.  ( log `  A ) ) ) ) )  e.  RR )
207, 19resubcld 9467 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( ( log `  n
) ^ 2 )  -  ( A  x.  ( ( ( log `  A ) ^ 2 )  +  ( 2  -  ( 2  x.  ( log `  A
) ) ) ) ) )  e.  RR )
2120recnd 9116 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( ( log `  n
) ^ 2 )  -  ( A  x.  ( ( ( log `  A ) ^ 2 )  +  ( 2  -  ( 2  x.  ( log `  A
) ) ) ) ) )  e.  CC )
2221abscld 12240 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  ->  ( abs `  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( ( log `  n
) ^ 2 )  -  ( A  x.  ( ( ( log `  A ) ^ 2 )  +  ( 2  -  ( 2  x.  ( log `  A
) ) ) ) ) ) )  e.  RR )
23 resubcl 9367 . . . 4  |-  ( ( ( abs `  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( ( log `  n
) ^ 2 )  -  ( A  x.  ( ( ( log `  A ) ^ 2 )  +  ( 2  -  ( 2  x.  ( log `  A
) ) ) ) ) ) )  e.  RR  /\  2  e.  RR )  ->  (
( abs `  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( ( log `  n
) ^ 2 )  -  ( A  x.  ( ( ( log `  A ) ^ 2 )  +  ( 2  -  ( 2  x.  ( log `  A
) ) ) ) ) ) )  - 
2 )  e.  RR )
2422, 13, 23sylancl 645 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  ->  (
( abs `  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( ( log `  n
) ^ 2 )  -  ( A  x.  ( ( ( log `  A ) ^ 2 )  +  ( 2  -  ( 2  x.  ( log `  A
) ) ) ) ) ) )  - 
2 )  e.  RR )
25 2cn 10072 . . . . . 6  |-  2  e.  CC
2625negcli 9370 . . . . 5  |-  -u 2  e.  CC
27 subcl 9307 . . . . 5  |-  ( ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) ( ( log `  n
) ^ 2 )  -  ( A  x.  ( ( ( log `  A ) ^ 2 )  +  ( 2  -  ( 2  x.  ( log `  A
) ) ) ) ) )  e.  CC  /\  -u 2  e.  CC )  ->  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A
) ) ( ( log `  n ) ^ 2 )  -  ( A  x.  (
( ( log `  A
) ^ 2 )  +  ( 2  -  ( 2  x.  ( log `  A ) ) ) ) ) )  -  -u 2 )  e.  CC )
2821, 26, 27sylancl 645 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  ->  (
( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) ( ( log `  n
) ^ 2 )  -  ( A  x.  ( ( ( log `  A ) ^ 2 )  +  ( 2  -  ( 2  x.  ( log `  A
) ) ) ) ) )  -  -u 2
)  e.  CC )
2928abscld 12240 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  ->  ( abs `  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A
) ) ( ( log `  n ) ^ 2 )  -  ( A  x.  (
( ( log `  A
) ^ 2 )  +  ( 2  -  ( 2  x.  ( log `  A ) ) ) ) ) )  -  -u 2 ) )  e.  RR )
3025absnegi 12205 . . . . . 6  |-  ( abs `  -u 2 )  =  ( abs `  2
)
31 0re 9093 . . . . . . . 8  |-  0  e.  RR
32 2pos 10084 . . . . . . . 8  |-  0  <  2
3331, 13, 32ltleii 9198 . . . . . . 7  |-  0  <_  2
34 absid 12103 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  0  <_  2 )  -> 
( abs `  2
)  =  2 )
3513, 33, 34mp2an 655 . . . . . 6  |-  ( abs `  2 )  =  2
3630, 35eqtri 2458 . . . . 5  |-  ( abs `  -u 2 )  =  2
3736oveq2i 6094 . . . 4  |-  ( ( abs `  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A
) ) ( ( log `  n ) ^ 2 )  -  ( A  x.  (
( ( log `  A
) ^ 2 )  +  ( 2  -  ( 2  x.  ( log `  A ) ) ) ) ) ) )  -  ( abs `  -u 2 ) )  =  ( ( abs `  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) ( ( log `  n
) ^ 2 )  -  ( A  x.  ( ( ( log `  A ) ^ 2 )  +  ( 2  -  ( 2  x.  ( log `  A
) ) ) ) ) ) )  - 
2 )
38 abs2dif 12138 . . . . 5  |-  ( ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) ( ( log `  n
) ^ 2 )  -  ( A  x.  ( ( ( log `  A ) ^ 2 )  +  ( 2  -  ( 2  x.  ( log `  A
) ) ) ) ) )  e.  CC  /\  -u 2  e.  CC )  ->  ( ( abs `  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) ( ( log `  n
) ^ 2 )  -  ( A  x.  ( ( ( log `  A ) ^ 2 )  +  ( 2  -  ( 2  x.  ( log `  A
) ) ) ) ) ) )  -  ( abs `  -u 2
) )  <_  ( abs `  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A
) ) ( ( log `  n ) ^ 2 )  -  ( A  x.  (
( ( log `  A
) ^ 2 )  +  ( 2  -  ( 2  x.  ( log `  A ) ) ) ) ) )  -  -u 2 ) ) )
3921, 26, 38sylancl 645 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  ->  (
( abs `  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( ( log `  n
) ^ 2 )  -  ( A  x.  ( ( ( log `  A ) ^ 2 )  +  ( 2  -  ( 2  x.  ( log `  A
) ) ) ) ) ) )  -  ( abs `  -u 2
) )  <_  ( abs `  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A
) ) ( ( log `  n ) ^ 2 )  -  ( A  x.  (
( ( log `  A
) ^ 2 )  +  ( 2  -  ( 2  x.  ( log `  A ) ) ) ) ) )  -  -u 2 ) ) )
4037, 39syl5eqbrr 4248 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  ->  (
( abs `  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( ( log `  n
) ^ 2 )  -  ( A  x.  ( ( ( log `  A ) ^ 2 )  +  ( 2  -  ( 2  x.  ( log `  A
) ) ) ) ) ) )  - 
2 )  <_  ( abs `  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A
) ) ( ( log `  n ) ^ 2 )  -  ( A  x.  (
( ( log `  A
) ^ 2 )  +  ( 2  -  ( 2  x.  ( log `  A ) ) ) ) ) )  -  -u 2 ) ) )
41 fveq2 5730 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  A  ->  ( |_ `  x )  =  ( |_ `  A
) )
4241oveq2d 6099 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  A  ->  (
1 ... ( |_ `  x ) )  =  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )
4342sumeq1d 12497 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  A  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( log `  n
) ^ 2 )  =  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) ( ( log `  n
) ^ 2 ) )
44 id 21 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  A  ->  x  =  A )
45 fveq2 5730 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  A  ->  ( log `  x )  =  ( log `  A
) )
4645oveq1d 6098 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  A  ->  (
( log `  x
) ^ 2 )  =  ( ( log `  A ) ^ 2 ) )
4745oveq2d 6099 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  A  ->  (
2  x.  ( log `  x ) )  =  ( 2  x.  ( log `  A ) ) )
4847oveq2d 6099 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  A  ->  (
2  -  ( 2  x.  ( log `  x
) ) )  =  ( 2  -  (
2  x.  ( log `  A ) ) ) )
4946, 48oveq12d 6101 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  A  ->  (
( ( log `  x
) ^ 2 )  +  ( 2  -  ( 2  x.  ( log `  x ) ) ) )  =  ( ( ( log `  A
) ^ 2 )  +  ( 2  -  ( 2  x.  ( log `  A ) ) ) ) )
5044, 49oveq12d 6101 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  A  ->  (
x  x.  ( ( ( log `  x
) ^ 2 )  +  ( 2  -  ( 2  x.  ( log `  x ) ) ) ) )  =  ( A  x.  (
( ( log `  A
) ^ 2 )  +  ( 2  -  ( 2  x.  ( log `  A ) ) ) ) ) )
5143, 50oveq12d 6101 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  A  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( log `  n
) ^ 2 )  -  ( x  x.  ( ( ( log `  x ) ^ 2 )  +  ( 2  -  ( 2  x.  ( log `  x
) ) ) ) ) )  =  (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  A ) ) ( ( log `  n
) ^ 2 )  -  ( A  x.  ( ( ( log `  A ) ^ 2 )  +  ( 2  -  ( 2  x.  ( log `  A
) ) ) ) ) ) )
52 eqid 2438 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( log `  n ) ^ 2 )  -  ( x  x.  (
( ( log `  x
) ^ 2 )  +  ( 2  -  ( 2  x.  ( log `  x ) ) ) ) ) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( log `  n ) ^ 2 )  -  ( x  x.  (
( ( log `  x
) ^ 2 )  +  ( 2  -  ( 2  x.  ( log `  x ) ) ) ) ) ) )
53 ovex 6108 . . . . . . . 8  |-  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( log `  n ) ^ 2 )  -  ( x  x.  (
( ( log `  x
) ^ 2 )  +  ( 2  -  ( 2  x.  ( log `  x ) ) ) ) ) )  e.  _V
5451, 52, 53fvmpt3i 5811 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( log `  n ) ^ 2 )  -  ( x  x.  (
( ( log `  x
) ^ 2 )  +  ( 2  -  ( 2  x.  ( log `  x ) ) ) ) ) ) ) `  A )  =  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( ( log `  n
) ^ 2 )  -  ( A  x.  ( ( ( log `  A ) ^ 2 )  +  ( 2  -  ( 2  x.  ( log `  A
) ) ) ) ) ) )
5554adantr 453 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  ->  (
( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( log `  n
) ^ 2 )  -  ( x  x.  ( ( ( log `  x ) ^ 2 )  +  ( 2  -  ( 2  x.  ( log `  x
) ) ) ) ) ) ) `  A )  =  (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  A ) ) ( ( log `  n
) ^ 2 )  -  ( A  x.  ( ( ( log `  A ) ^ 2 )  +  ( 2  -  ( 2  x.  ( log `  A
) ) ) ) ) ) )
56 1rp 10618 . . . . . . 7  |-  1  e.  RR+
57 fveq2 5730 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  1  ->  ( |_ `  x )  =  ( |_ `  1
) )
58 1z 10313 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  1  e.  ZZ
59 flid 11218 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  ( |_ `  1 )  =  1 )
6058, 59ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( |_
`  1 )  =  1
6157, 60syl6eq 2486 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  1  ->  ( |_ `  x )  =  1 )
6261oveq2d 6099 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  1  ->  (
1 ... ( |_ `  x ) )  =  ( 1 ... 1
) )
6362sumeq1d 12497 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  1  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( log `  n
) ^ 2 )  =  sum_ n  e.  ( 1 ... 1 ) ( ( log `  n
) ^ 2 ) )
64 0cn 9086 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  e.  CC
65 fveq2 5730 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  1  ->  ( log `  n )  =  ( log `  1
) )
66 log1 20482 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( log `  1 )  =  0
6765, 66syl6eq 2486 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  1  ->  ( log `  n )  =  0 )
6867sq0id 11477 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  1  ->  (
( log `  n
) ^ 2 )  =  0 )
6968fsum1 12537 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 1  e.  ZZ  /\  0  e.  CC )  -> 
sum_ n  e.  (
1 ... 1 ) ( ( log `  n
) ^ 2 )  =  0 )
7058, 64, 69mp2an 655 . . . . . . . . . . 11  |-  sum_ n  e.  ( 1 ... 1
) ( ( log `  n ) ^ 2 )  =  0
7163, 70syl6eq 2486 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  1  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( log `  n
) ^ 2 )  =  0 )
72 id 21 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  1  ->  x  =  1 )
73 fveq2 5730 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  1  ->  ( log `  x )  =  ( log `  1
) )
7473, 66syl6eq 2486 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  1  ->  ( log `  x )  =  0 )
7574sq0id 11477 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  1  ->  (
( log `  x
) ^ 2 )  =  0 )
7674oveq2d 6099 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  1  ->  (
2  x.  ( log `  x ) )  =  ( 2  x.  0 ) )
7725mul01i 9258 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 2  x.  0 )  =  0
7876, 77syl6eq 2486 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  1  ->  (
2  x.  ( log `  x ) )  =  0 )
7978oveq2d 6099 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  1  ->  (
2  -  ( 2  x.  ( log `  x
) ) )  =  ( 2  -  0 ) )
8025subid1i 9374 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 2  -  0 )  =  2
8179, 80syl6eq 2486 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  1  ->  (
2  -  ( 2  x.  ( log `  x
) ) )  =  2 )
8275, 81oveq12d 6101 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  1  ->  (
( ( log `  x
) ^ 2 )  +  ( 2  -  ( 2  x.  ( log `  x ) ) ) )  =  ( 0  +  2 ) )
8325addid2i 9256 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0  +  2 )  =  2
8482, 83syl6eq 2486 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  1  ->  (
( ( log `  x
) ^ 2 )  +  ( 2  -  ( 2  x.  ( log `  x ) ) ) )  =  2 )
8572, 84oveq12d 6101 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  1  ->  (
x  x.  ( ( ( log `  x
) ^ 2 )  +  ( 2  -  ( 2  x.  ( log `  x ) ) ) ) )  =  ( 1  x.  2 ) )
8625mulid2i 9095 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  x.  2 )  =  2
8785, 86syl6eq 2486 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  1  ->  (
x  x.  ( ( ( log `  x
) ^ 2 )  +  ( 2  -  ( 2  x.  ( log `  x ) ) ) ) )  =  2 )
8871, 87oveq12d 6101 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  1  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( log `  n
) ^ 2 )  -  ( x  x.  ( ( ( log `  x ) ^ 2 )  +  ( 2  -  ( 2  x.  ( log `  x
) ) ) ) ) )  =  ( 0  -  2 ) )
89 df-neg 9296 . . . . . . . . 9  |-  -u 2  =  ( 0  -  2 )
9088, 89syl6eqr 2488 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  1  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( log `  n
) ^ 2 )  -  ( x  x.  ( ( ( log `  x ) ^ 2 )  +  ( 2  -  ( 2  x.  ( log `  x
) ) ) ) ) )  =  -u
2 )
9190, 52, 53fvmpt3i 5811 . . . . . . 7  |-  ( 1  e.  RR+  ->  ( ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( log `  n ) ^ 2 )  -  ( x  x.  (
( ( log `  x
) ^ 2 )  +  ( 2  -  ( 2  x.  ( log `  x ) ) ) ) ) ) ) `  1 )  =  -u 2 )
9256, 91mp1i 12 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  ->  (
( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( log `  n
) ^ 2 )  -  ( x  x.  ( ( ( log `  x ) ^ 2 )  +  ( 2  -  ( 2  x.  ( log `  x
) ) ) ) ) ) ) ` 
1 )  =  -u
2 )
9355, 92oveq12d 6101 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  ->  (
( ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( log `  n
) ^ 2 )  -  ( x  x.  ( ( ( log `  x ) ^ 2 )  +  ( 2  -  ( 2  x.  ( log `  x
) ) ) ) ) ) ) `  A )  -  (
( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( log `  n
) ^ 2 )  -  ( x  x.  ( ( ( log `  x ) ^ 2 )  +  ( 2  -  ( 2  x.  ( log `  x
) ) ) ) ) ) ) ` 
1 ) )  =  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( ( log `  n
) ^ 2 )  -  ( A  x.  ( ( ( log `  A ) ^ 2 )  +  ( 2  -  ( 2  x.  ( log `  A
) ) ) ) ) )  -  -u 2
) )
9493fveq2d 5734 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  ->  ( abs `  ( ( ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( log `  n ) ^ 2 )  -  ( x  x.  (
( ( log `  x
) ^ 2 )  +  ( 2  -  ( 2  x.  ( log `  x ) ) ) ) ) ) ) `  A )  -  ( ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( log `  n ) ^ 2 )  -  ( x  x.  (
( ( log `  x
) ^ 2 )  +  ( 2  -  ( 2  x.  ( log `  x ) ) ) ) ) ) ) `  1 ) ) )  =  ( abs `  ( (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  A ) ) ( ( log `  n
) ^ 2 )  -  ( A  x.  ( ( ( log `  A ) ^ 2 )  +  ( 2  -  ( 2  x.  ( log `  A
) ) ) ) ) )  -  -u 2
) ) )
95 ioorp 10990 . . . . . 6  |-  ( 0 (,)  +oo )  =  RR+
9695eqcomi 2442 . . . . 5  |-  RR+  =  ( 0 (,)  +oo )
97 nnuz 10523 . . . . 5  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
9858a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  ->  1  e.  ZZ )
99 1re 9092 . . . . . 6  |-  1  e.  RR
10099a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  ->  1  e.  RR )
101 pnfxr 10715 . . . . . 6  |-  +oo  e.  RR*
102101a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  ->  +oo  e.  RR* )
103 1nn0 10239 . . . . . . 7  |-  1  e.  NN0
10499, 103nn0addge1i 10270 . . . . . 6  |-  1  <_  ( 1  +  1 )
105104a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  ->  1  <_  ( 1  +  1 ) )
10631a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  ->  0  e.  RR )
107 rpre 10620 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR+  ->  x  e.  RR )
108107adantl 454 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  RR+ )  ->  x  e.  RR )
109 simpr 449 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  RR+ )  ->  x  e.  RR+ )
110109relogcld 20520 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( log `  x
)  e.  RR )
111110resqcld 11551 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( log `  x
) ^ 2 )  e.  RR )
112 remulcl 9077 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( log `  x )  e.  RR )  -> 
( 2  x.  ( log `  x ) )  e.  RR )
11313, 110, 112sylancr 646 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( 2  x.  ( log `  x ) )  e.  RR )
114 resubcl 9367 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( 2  x.  ( log `  x ) )  e.  RR )  -> 
( 2  -  (
2  x.  ( log `  x ) ) )  e.  RR )
11513, 113, 114sylancr 646 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( 2  -  (
2  x.  ( log `  x ) ) )  e.  RR )
116111, 115readdcld 9117 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( ( log `  x ) ^ 2 )  +  ( 2  -  ( 2  x.  ( log `  x
) ) ) )  e.  RR )
117108, 116remulcld 9118 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( x  x.  (
( ( log `  x
) ^ 2 )  +  ( 2  -  ( 2  x.  ( log `  x ) ) ) ) )  e.  RR )
118 nnrp 10623 . . . . . 6  |-  ( x  e.  NN  ->  x  e.  RR+ )
119118, 111sylan2 462 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  NN )  ->  ( ( log `  x ) ^ 2 )  e.  RR )
120 reex 9083 . . . . . . . . 9  |-  RR  e.  _V
121120prid1 3914 . . . . . . . 8  |-  RR  e.  { RR ,  CC }
122121a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  ->  RR  e.  { RR ,  CC } )
123108recnd 9116 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  RR+ )  ->  x  e.  CC )
12499a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  RR+ )  ->  1  e.  RR )
125 recn 9082 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR  ->  x  e.  CC )
126125adantl 454 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  RR )  ->  x  e.  CC )
12799a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  RR )  ->  1  e.  RR )
128122dvmptid 19845 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  ->  ( RR  _D  ( x  e.  RR  |->  x ) )  =  ( x  e.  RR  |->  1 ) )
129 rpssre 10624 . . . . . . . . 9  |-  RR+  C_  RR
130129a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  ->  RR+  C_  RR )
131 eqid 2438 . . . . . . . . 9  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
132131tgioo2 18836 . . . . . . . 8  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  RR )
133 iooretop 18802 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0 (,)  +oo )  e.  (
topGen `  ran  (,) )
13495, 133eqeltrri 2509 . . . . . . . . 9  |-  RR+  e.  ( topGen `  ran  (,) )
135134a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  ->  RR+  e.  ( topGen `  ran  (,) )
)
136122, 126, 127, 128, 130, 132, 131, 135dvmptres 19851 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  ->  ( RR  _D  ( x  e.  RR+  |->  x ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  1 ) )
137116recnd 9116 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( ( log `  x ) ^ 2 )  +  ( 2  -  ( 2  x.  ( log `  x
) ) ) )  e.  CC )
138 resubcl 9367 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 2  x.  ( log `  x ) )  e.  RR  /\  2  e.  RR )  ->  (
( 2  x.  ( log `  x ) )  -  2 )  e.  RR )
139113, 13, 138sylancl 645 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( 2  x.  ( log `  x
) )  -  2 )  e.  RR )
140139, 109rerpdivcld 10677 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( ( 2  x.  ( log `  x
) )  -  2 )  /  x )  e.  RR )
141111recnd 9116 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( log `  x
) ^ 2 )  e.  CC )
142113recnd 9116 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( 2  x.  ( log `  x ) )  e.  CC )
143109rpreccld 10660 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( 1  /  x
)  e.  RR+ )
144143rpcnd 10652 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( 1  /  x
)  e.  CC )
145142, 144mulcld 9110 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( 2  x.  ( log `  x
) )  x.  (
1  /  x ) )  e.  CC )
146 cnex 9073 . . . . . . . . . . . 12  |-  CC  e.  _V
147146prid2 3915 . . . . . . . . . . 11  |-  CC  e.  { RR ,  CC }
148147a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  ->  CC  e.  { RR ,  CC } )
149110recnd 9116 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( log `  x
)  e.  CC )
150 sqcl 11446 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  CC  ->  (
y ^ 2 )  e.  CC )
151150adantl 454 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  /\  y  e.  CC )  ->  ( y ^
2 )  e.  CC )
152 simpr 449 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  /\  y  e.  CC )  ->  y  e.  CC )
153 mulcl 9076 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( 2  x.  y
)  e.  CC )
15425, 152, 153sylancr 646 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  /\  y  e.  CC )  ->  ( 2  x.  y )  e.  CC )
155 dvrelog 20530 . . . . . . . . . . 11  |-  ( RR 
_D  ( log  |`  RR+ )
)  =  ( x  e.  RR+  |->  ( 1  /  x ) )
156 relogf1o 20466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( log  |`  RR+ ) : RR+ -1-1-onto-> RR
157 f1of 5676 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( log  |`  RR+ ) :
RR+
-1-1-onto-> RR  ->  ( log  |`  RR+ ) : RR+ --> RR )
158156, 157mp1i 12 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  ->  ( log  |`  RR+ ) : RR+ --> RR )
159158feqmptd 5781 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  ->  ( log  |`  RR+ )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( ( log  |`  RR+ ) `  x ) ) )
160 fvres 5747 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( ( log  |`  RR+ ) `  x )  =  ( log `  x ) )
161160mpteq2ia 4293 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  RR+  |->  ( ( log  |`  RR+ ) `  x ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( log `  x ) )
162159, 161syl6eq 2486 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  ->  ( log  |`  RR+ )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( log `  x ) ) )
163162oveq2d 6099 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  ->  ( RR  _D  ( log  |`  RR+ )
)  =  ( RR 
_D  ( x  e.  RR+  |->  ( log `  x
) ) ) )
164155, 163syl5reqr 2485 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  ->  ( RR  _D  ( x  e.  RR+  |->  ( log `  x
) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( 1  /  x
) ) )
165 2nn 10135 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  e.  NN
166 dvexp 19841 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2  e.  NN  ->  ( CC  _D  ( y  e.  CC  |->  ( y ^
2 ) ) )  =  ( y  e.  CC  |->  ( 2  x.  ( y ^ (
2  -  1 ) ) ) ) )
167165, 166mp1i 12 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  ->  ( CC  _D  ( y  e.  CC  |->  ( y ^
2 ) ) )  =  ( y  e.  CC  |->  ( 2  x.  ( y ^ (
2  -  1 ) ) ) ) )
168 2m1e1 10097 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 2  -  1 )  =  1
169168oveq2i 6094 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y ^ ( 2  -  1 ) )  =  ( y ^ 1 )
170 exp1 11389 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  CC  ->  (
y ^ 1 )  =  y )
171169, 170syl5eq 2482 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  CC  ->  (
y ^ ( 2  -  1 ) )  =  y )
172171oveq2d 6099 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  CC  ->  (
2  x.  ( y ^ ( 2  -  1 ) ) )  =  ( 2  x.  y ) )
173172mpteq2ia 4293 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  CC  |->  ( 2  x.  ( y ^
( 2  -  1 ) ) ) )  =  ( y  e.  CC  |->  ( 2  x.  y ) )
174167, 173syl6eq 2486 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  ->  ( CC  _D  ( y  e.  CC  |->  ( y ^
2 ) ) )  =  ( y  e.  CC  |->  ( 2  x.  y ) ) )
175 oveq1 6090 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( log `  x
)  ->  ( y ^ 2 )  =  ( ( log `  x
) ^ 2 ) )
176 oveq2 6091 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( log `  x
)  ->  ( 2  x.  y )  =  ( 2  x.  ( log `  x ) ) )
177122, 148, 149, 143, 151, 154, 164, 174, 175, 176dvmptco 19860 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  ->  ( RR  _D  ( x  e.  RR+  |->  ( ( log `  x ) ^ 2 ) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( ( 2  x.  ( log `  x
) )  x.  (
1  /  x ) ) ) )
178115recnd 9116 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( 2  -  (
2  x.  ( log `  x ) ) )  e.  CC )
179 ovex 6108 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0  -  ( 2  x.  ( 1  /  x
) ) )  e. 
_V
180179a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( 0  -  (
2  x.  ( 1  /  x ) ) )  e.  _V )
18125a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  RR+ )  ->  2  e.  CC )
18231a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  RR+ )  ->  0  e.  RR )
18325a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  RR )  ->  2  e.  CC )
18431a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  RR )  ->  0  e.  RR )
18525a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  ->  2  e.  CC )
186122, 185dvmptc 19846 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  ->  ( RR  _D  ( x  e.  RR  |->  2 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  0 ) )
187122, 183, 184, 186, 130, 132, 131, 135dvmptres 19851 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  ->  ( RR  _D  ( x  e.  RR+  |->  2 ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  0 ) )
188 mulcl 9076 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  ( 1  /  x
)  e.  CC )  ->  ( 2  x.  ( 1  /  x
) )  e.  CC )
18925, 144, 188sylancr 646 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( 2  x.  (
1  /  x ) )  e.  CC )
190122, 149, 143, 164, 185dvmptcmul 19852 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  ->  ( RR  _D  ( x  e.  RR+  |->  ( 2  x.  ( log `  x
) ) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( 2  x.  ( 1  /  x
) ) ) )
191122, 181, 182, 187, 142, 189, 190dvmptsub 19855 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  ->  ( RR  _D  ( x  e.  RR+  |->  ( 2  -  ( 2  x.  ( log `  x ) ) ) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( 0  -  (
2  x.  ( 1  /  x ) ) ) ) )
192122, 141, 145, 177, 178, 180, 191dvmptadd 19848 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  ->  ( RR  _D  ( x  e.  RR+  |->  ( ( ( log `  x ) ^ 2 )  +  ( 2  -  (
2  x.  ( log `  x ) ) ) ) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( ( ( 2  x.  ( log `  x
) )  x.  (
1  /  x ) )  +  ( 0  -  ( 2  x.  ( 1  /  x
) ) ) ) ) )
193142, 181, 144subdird 9492 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( ( 2  x.  ( log `  x
) )  -  2 )  x.  ( 1  /  x ) )  =  ( ( ( 2  x.  ( log `  x ) )  x.  ( 1  /  x
) )  -  (
2  x.  ( 1  /  x ) ) ) )
194139recnd 9116 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( 2  x.  ( log `  x
) )  -  2 )  e.  CC )
195 rpne0 10629 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  RR+  ->  x  =/=  0 )
196195adantl 454 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  RR+ )  ->  x  =/=  0 )
197194, 123, 196divrecd 9795 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( ( 2  x.  ( log `  x
) )  -  2 )  /  x )  =  ( ( ( 2  x.  ( log `  x ) )  - 
2 )  x.  (
1  /  x ) ) )
198 df-neg 9296 . . . . . . . . . . . 12  |-  -u (
2  x.  ( 1  /  x ) )  =  ( 0  -  ( 2  x.  (
1  /  x ) ) )
199198oveq2i 6094 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 2  x.  ( log `  x ) )  x.  ( 1  /  x ) )  + 
-u ( 2  x.  ( 1  /  x
) ) )  =  ( ( ( 2  x.  ( log `  x
) )  x.  (
1  /  x ) )  +  ( 0  -  ( 2  x.  ( 1  /  x
) ) ) )
200145, 189negsubd 9419 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( ( 2  x.  ( log `  x
) )  x.  (
1  /  x ) )  +  -u (
2  x.  ( 1  /  x ) ) )  =  ( ( ( 2  x.  ( log `  x ) )  x.  ( 1  /  x ) )  -  ( 2  x.  (
1  /  x ) ) ) )
201199, 200syl5eqr 2484 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( ( 2  x.  ( log `  x
) )  x.  (
1  /  x ) )  +  ( 0  -  ( 2  x.  ( 1  /  x
) ) ) )  =  ( ( ( 2  x.  ( log `  x ) )  x.  ( 1  /  x
) )  -  (
2  x.  ( 1  /  x ) ) ) )
202193, 197, 2013eqtr4rd 2481 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( ( 2  x.  ( log `  x
) )  x.  (
1  /  x ) )  +  ( 0  -  ( 2  x.  ( 1  /  x
) ) ) )  =  ( ( ( 2  x.  ( log `  x ) )  - 
2 )  /  x
) )
203202mpteq2dva 4297 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  ->  (
x  e.  RR+  |->  ( ( ( 2  x.  ( log `  x ) )  x.  ( 1  /  x ) )  +  ( 0  -  (
2  x.  ( 1  /  x ) ) ) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( ( ( 2  x.  ( log `  x
) )  -  2 )  /  x ) ) )
204192, 203eqtrd 2470 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  ->  ( RR  _D  ( x  e.  RR+  |->  ( ( ( log `  x ) ^ 2 )  +  ( 2  -  (
2  x.  ( log `  x ) ) ) ) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( ( ( 2  x.  ( log `  x
) )  -  2 )  /  x ) ) )
205122, 123, 124, 136, 137, 140, 204dvmptmul 19849 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  ->  ( RR  _D  ( x  e.  RR+  |->  ( x  x.  ( ( ( log `  x ) ^ 2 )  +  ( 2  -  ( 2  x.  ( log `  x
) ) ) ) ) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( ( 1  x.  ( ( ( log `  x ) ^ 2 )  +  ( 2  -  ( 2  x.  ( log `  x
) ) ) ) )  +  ( ( ( ( 2  x.  ( log `  x
) )  -  2 )  /  x )  x.  x ) ) ) )
206137mulid2d 9108 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( 1  x.  (
( ( log `  x
) ^ 2 )  +  ( 2  -  ( 2  x.  ( log `  x ) ) ) ) )  =  ( ( ( log `  x ) ^ 2 )  +  ( 2  -  ( 2  x.  ( log `  x
) ) ) ) )
207141, 142, 181subsub2d 9442 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( ( log `  x ) ^ 2 )  -  ( ( 2  x.  ( log `  x ) )  - 
2 ) )  =  ( ( ( log `  x ) ^ 2 )  +  ( 2  -  ( 2  x.  ( log `  x
) ) ) ) )
208206, 207eqtr4d 2473 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( 1  x.  (
( ( log `  x
) ^ 2 )  +  ( 2  -  ( 2  x.  ( log `  x ) ) ) ) )  =  ( ( ( log `  x ) ^ 2 )  -  ( ( 2  x.  ( log `  x ) )  - 
2 ) ) )
209194, 123, 196divcan1d 9793 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( ( ( 2  x.  ( log `  x ) )  - 
2 )  /  x
)  x.  x )  =  ( ( 2  x.  ( log `  x
) )  -  2 ) )
210208, 209oveq12d 6101 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( 1  x.  ( ( ( log `  x ) ^ 2 )  +  ( 2  -  ( 2  x.  ( log `  x
) ) ) ) )  +  ( ( ( ( 2  x.  ( log `  x
) )  -  2 )  /  x )  x.  x ) )  =  ( ( ( ( log `  x
) ^ 2 )  -  ( ( 2  x.  ( log `  x
) )  -  2 ) )  +  ( ( 2  x.  ( log `  x ) )  -  2 ) ) )
211141, 194npcand 9417 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( ( ( log `  x ) ^ 2 )  -  ( ( 2  x.  ( log `  x
) )  -  2 ) )  +  ( ( 2  x.  ( log `  x ) )  -  2 ) )  =  ( ( log `  x ) ^ 2 ) )
212210, 211eqtrd 2470 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( 1  x.  ( ( ( log `  x ) ^ 2 )  +  ( 2  -  ( 2  x.  ( log `  x
) ) ) ) )  +  ( ( ( ( 2  x.  ( log `  x
) )  -  2 )  /  x )  x.  x ) )  =  ( ( log `  x ) ^ 2 ) )
213212mpteq2dva 4297 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  ->  (
x  e.  RR+  |->  ( ( 1  x.  ( ( ( log `  x
) ^ 2 )  +  ( 2  -  ( 2  x.  ( log `  x ) ) ) ) )  +  ( ( ( ( 2  x.  ( log `  x ) )  - 
2 )  /  x
)  x.  x ) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( ( log `  x ) ^ 2 ) ) )
214205, 213eqtrd 2470 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  ->  ( RR  _D  ( x  e.  RR+  |->  ( x  x.  ( ( ( log `  x ) ^ 2 )  +  ( 2  -  ( 2  x.  ( log `  x
) ) ) ) ) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( ( log `  x
) ^ 2 ) ) )
215 fveq2 5730 . . . . . 6  |-  ( x  =  n  ->  ( log `  x )  =  ( log `  n
) )
216215oveq1d 6098 . . . . 5  |-  ( x  =  n  ->  (
( log `  x
) ^ 2 )  =  ( ( log `  n ) ^ 2 ) )
217 simp32 995 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  /\  ( x  e.  RR+  /\  n  e.  RR+ )  /\  ( 1  <_  x  /\  x  <_  n  /\  n  <_  +oo ) )  ->  x  <_  n )
218 simp2l 984 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  /\  ( x  e.  RR+  /\  n  e.  RR+ )  /\  ( 1  <_  x  /\  x  <_  n  /\  n  <_  +oo ) )  ->  x  e.  RR+ )
219 simp2r 985 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  /\  ( x  e.  RR+  /\  n  e.  RR+ )  /\  ( 1  <_  x  /\  x  <_  n  /\  n  <_  +oo ) )  ->  n  e.  RR+ )
220218, 219logled 20524 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  /\  ( x  e.  RR+  /\  n  e.  RR+ )  /\  ( 1  <_  x  /\  x  <_  n  /\  n  <_  +oo ) )  -> 
( x  <_  n  <->  ( log `  x )  <_  ( log `  n
) ) )
221217, 220mpbid 203 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  /\  ( x  e.  RR+  /\  n  e.  RR+ )  /\  ( 1  <_  x  /\  x  <_  n  /\  n  <_  +oo ) )  -> 
( log `  x
)  <_  ( log `  n ) )
222218relogcld 20520 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  /\  ( x  e.  RR+  /\  n  e.  RR+ )  /\  ( 1  <_  x  /\  x  <_  n  /\  n  <_  +oo ) )  -> 
( log `  x
)  e.  RR )
223219relogcld 20520 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  /\  ( x  e.  RR+  /\  n  e.  RR+ )  /\  ( 1  <_  x  /\  x  <_  n  /\  n  <_  +oo ) )  -> 
( log `  n
)  e.  RR )
224 simp31 994 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  /\  ( x  e.  RR+  /\  n  e.  RR+ )  /\  ( 1  <_  x  /\  x  <_  n  /\  n  <_  +oo ) )  -> 
1  <_  x )
225 logleb 20500 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1  e.  RR+  /\  x  e.  RR+ )  ->  (
1  <_  x  <->  ( log `  1 )  <_  ( log `  x ) ) )
22656, 218, 225sylancr 646 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  /\  ( x  e.  RR+  /\  n  e.  RR+ )  /\  ( 1  <_  x  /\  x  <_  n  /\  n  <_  +oo ) )  -> 
( 1  <_  x  <->  ( log `  1 )  <_  ( log `  x
) ) )
227224, 226mpbid 203 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  /\  ( x  e.  RR+  /\  n  e.  RR+ )  /\  ( 1  <_  x  /\  x  <_  n  /\  n  <_  +oo ) )  -> 
( log `  1
)  <_  ( log `  x ) )
22866, 227syl5eqbrr 4248 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  /\  ( x  e.  RR+  /\  n  e.  RR+ )  /\  ( 1  <_  x  /\  x  <_  n  /\  n  <_  +oo ) )  -> 
0  <_  ( log `  x ) )
229219rpred 10650 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  /\  ( x  e.  RR+  /\  n  e.  RR+ )  /\  ( 1  <_  x  /\  x  <_  n  /\  n  <_  +oo ) )  ->  n  e.  RR )
23099a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  /\  ( x  e.  RR+  /\  n  e.  RR+ )  /\  ( 1  <_  x  /\  x  <_  n  /\  n  <_  +oo ) )  -> 
1  e.  RR )
231218rpred 10650 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  /\  ( x  e.  RR+  /\  n  e.  RR+ )  /\  ( 1  <_  x  /\  x  <_  n  /\  n  <_  +oo ) )  ->  x  e.  RR )
232230, 231, 229, 224, 217letrd 9229 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  /\  ( x  e.  RR+  /\  n  e.  RR+ )  /\  ( 1  <_  x  /\  x  <_  n  /\  n  <_  +oo ) )  -> 
1  <_  n )
233229, 232logge0d 20527 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  /\  ( x  e.  RR+  /\  n  e.  RR+ )  /\  ( 1  <_  x  /\  x  <_  n  /\  n  <_  +oo ) )  -> 
0  <_  ( log `  n ) )
234222, 223, 228, 233le2sqd 11560 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  /\  ( x  e.  RR+  /\  n  e.  RR+ )  /\  ( 1  <_  x  /\  x  <_  n  /\  n  <_  +oo ) )  -> 
( ( log `  x
)  <_  ( log `  n )  <->  ( ( log `  x ) ^
2 )  <_  (
( log `  n
) ^ 2 ) ) )
235221, 234mpbid 203 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  /\  ( x  e.  RR+  /\  n  e.  RR+ )  /\  ( 1  <_  x  /\  x  <_  n  /\  n  <_  +oo ) )  -> 
( ( log `  x
) ^ 2 )  <_  ( ( log `  n ) ^ 2 ) )
236 relogcl 20475 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( log `  x )  e.  RR )
237236ad2antrl 710 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )
)  ->  ( log `  x )  e.  RR )
238237sqge0d 11552 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )
)  ->  0  <_  ( ( log `  x
) ^ 2 ) )
23956a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  ->  1  e.  RR+ )
240 simpl 445 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  ->  A  e.  RR+ )
241 1le1 9652 . . . . . 6  |-  1  <_  1
242241a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  ->  1  <_  1 )
243 simpr 449 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  ->  1  <_  A )
2449rexrd 9136 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  ->  A  e.  RR* )
245 pnfge 10729 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR*  ->  A  <_  +oo )
246244, 245syl 16 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  ->  A  <_  +oo )
24796, 97, 98, 100, 102, 105, 106, 117, 111, 119, 214, 216, 235, 52, 238, 239, 240, 242, 243, 246, 46dvfsum2 19920 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  ->  ( abs `  ( ( ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( log `  n ) ^ 2 )  -  ( x  x.  (
( ( log `  x
) ^ 2 )  +  ( 2  -  ( 2  x.  ( log `  x ) ) ) ) ) ) ) `  A )  -  ( ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( log `  n ) ^ 2 )  -  ( x  x.  (
( ( log `  x
) ^ 2 )  +  ( 2  -  ( 2  x.  ( log `  x ) ) ) ) ) ) ) `  1 ) ) )  <_  (
( log `  A
) ^ 2 ) )
24894, 247eqbrtrrd 4236 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  ->  ( abs `  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A
) ) ( ( log `  n ) ^ 2 )  -  ( A  x.  (
( ( log `  A
) ^ 2 )  +  ( 2  -  ( 2  x.  ( log `  A ) ) ) ) ) )  -  -u 2 ) )  <_  ( ( log `  A ) ^ 2 ) )
24924, 29, 12, 40, 248letrd 9229 . 2  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  ->  (
( abs `  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( ( log `  n
) ^ 2 )  -  ( A  x.  ( ( ( log `  A ) ^ 2 )  +  ( 2  -  ( 2  x.  ( log `  A
) ) ) ) ) ) )  - 
2 )  <_  (
( log `  A
) ^ 2 ) )
25013a1i 11 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  ->  2  e.  RR )
25122, 250, 12lesubaddd 9625 . 2  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  ->  (
( ( abs `  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( ( log `  n
) ^ 2 )  -  ( A  x.  ( ( ( log `  A ) ^ 2 )  +  ( 2  -  ( 2  x.  ( log `  A
) ) ) ) ) ) )  - 
2 )  <_  (
( log `  A
) ^ 2 )  <-> 
( abs `  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( ( log `  n
) ^ 2 )  -  ( A  x.  ( ( ( log `  A ) ^ 2 )  +  ( 2  -  ( 2  x.  ( log `  A
) ) ) ) ) ) )  <_ 
( ( ( log `  A ) ^ 2 )  +  2 ) ) )
252249, 251mpbid 203 1  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  ->  ( abs `  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( ( log `  n
) ^ 2 )  -  ( A  x.  ( ( ( log `  A ) ^ 2 )  +  ( 2  -  ( 2  x.  ( log `  A
) ) ) ) ) ) )  <_ 
( ( ( log `  A ) ^ 2 )  +  2 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726    =/= wne 2601   _Vcvv 2958    C_ wss 3322   {cpr 3817   class class class wbr 4214    e. cmpt 4268   ran crn 4881    |` cres 4882   -->wf 5452   -1-1-onto->wf1o 5455   ` cfv 5456  (class class class)co 6083   CCcc 8990   RRcr 8991   0cc0 8992   1c1 8993    + caddc 8995    x. cmul 8997    +oocpnf 9119   RR*cxr 9121    <_ cle 9123    - cmin 9293   -ucneg 9294    / cdiv 9679   NNcn 10002   2c2 10051   ZZcz 10284   RR+crp 10614   (,)cioo 10918   ...cfz 11045   |_cfl 11203   ^cexp 11384   abscabs 12041   sum_csu 12481   TopOpenctopn 13651   topGenctg 13667  ℂfldccnfld 16705    _D cdv 19752   logclog 20454
This theorem is referenced by:  selberglem2  21242
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-inf2 7598  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069  ax-pre-sup 9070  ax-addf 9071  ax-mulf 9072
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-iin 4098  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-se 4544  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-isom 5465  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-of 6307  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-2o 6727  df-oadd 6730  df-er 6907  df-map 7022  df-pm 7023  df-ixp 7066  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-fi 7418  df-sup 7448  df-oi 7481  df-card 7828  df-cda 8050  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-div 9680  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-4 10062  df-5 10063  df-6 10064  df-7 10065  df-8 10066  df-9 10067  df-10 10068  df-n0 10224  df-z 10285  df-dec 10385  df-uz 10491  df-q 10577  df-rp 10615  df-xneg 10712  df-xadd 10713  df-xmul 10714  df-ioo 10922  df-ioc 10923  df-ico 10924  df-icc 10925  df-fz 11046  df-fzo 11138  df-fl 11204  df-mod 11253  df-seq 11326  df-exp 11385  df-fac 11569  df-bc 11596  df-hash 11621  df-shft 11884  df-cj 11906  df-re 11907  df-im 11908  df-sqr 12042  df-abs 12043  df-limsup 12267  df-clim 12284  df-rlim 12285  df-sum 12482  df-ef 12672  df-sin 12674  df-cos 12675  df-pi 12677  df-struct 13473  df-ndx 13474  df-slot 13475  df-base 13476  df-sets 13477  df-ress 13478  df-plusg 13544  df-mulr 13545  df-starv 13546  df-sca 13547  df-vsca 13548  df-tset 13550  df-ple 13551  df-ds 13553  df-unif 13554  df-hom 13555  df-cco 13556  df-rest 13652  df-topn 13653  df-topgen 13669  df-pt 13670  df-prds 13673  df-xrs 13728  df-0g 13729  df-gsum 13730  df-qtop 13735  df-imas 13736  df-xps 13738  df-mre 13813  df-mrc 13814  df-acs 13816  df-mnd 14692  df-submnd 14741  df-mulg 14817  df-cntz 15118  df-cmn 15416  df-psmet 16696  df-xmet 16697  df-met 16698  df-bl 16699  df-mopn 16700  df-fbas 16701  df-fg 16702  df-cnfld 16706  df-top 16965  df-bases 16967  df-topon 16968  df-topsp 16969  df-cld 17085  df-ntr 17086  df-cls 17087  df-nei 17164  df-lp 17202  df-perf 17203  df-cn 17293  df-cnp 17294  df-haus 17381  df-cmp 17452  df-tx 17596  df-hmeo 17789  df-fil 17880  df-fm 17972  df-flim 17973  df-flf 17974  df-xms 18352  df-ms 18353  df-tms 18354  df-cncf 18910  df-limc 19755  df-dv 19756  df-log 20456
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