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Theorem log2tlbnd 20742
Description: Bound the error term in the series of log2cnv 20741. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
log2tlbnd  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( log `  2 )  -  sum_ n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( 2  /  (
( 3  x.  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ n ) ) ) )  e.  ( 0 [,] ( 3  /  ( ( 4  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ N
) ) ) ) )
Distinct variable group:    n, N

Proof of Theorem log2tlbnd
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0uz 10480 . . . . . 6  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
2 0z 10253 . . . . . . 7  |-  0  e.  ZZ
32a1i 11 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  0  e.  ZZ )
4 oveq2 6052 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  n  ->  (
2  x.  k )  =  ( 2  x.  n ) )
54oveq1d 6059 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  n  ->  (
( 2  x.  k
)  +  1 )  =  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )
65oveq2d 6060 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  n  ->  (
3  x.  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  =  ( 3  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) )
7 oveq2 6052 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  n  ->  (
9 ^ k )  =  ( 9 ^ n ) )
86, 7oveq12d 6062 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  n  ->  (
( 3  x.  (
( 2  x.  k
)  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ k ) )  =  ( ( 3  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ n
) ) )
98oveq2d 6060 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  n  ->  (
2  /  ( ( 3  x.  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ k ) ) )  =  ( 2  / 
( ( 3  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  x.  (
9 ^ n ) ) ) )
10 eqid 2408 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN0  |->  ( 2  /  ( ( 3  x.  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ k
) ) ) )  =  ( k  e. 
NN0  |->  ( 2  / 
( ( 3  x.  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  x.  (
9 ^ k ) ) ) )
11 ovex 6069 . . . . . . . 8  |-  ( 2  /  ( ( 3  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ n
) ) )  e. 
_V
129, 10, 11fvmpt 5769 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( ( k  e.  NN0  |->  ( 2  /  ( ( 3  x.  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ k
) ) ) ) `
 n )  =  ( 2  /  (
( 3  x.  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ n ) ) ) )
1312adantl 453 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( ( k  e. 
NN0  |->  ( 2  / 
( ( 3  x.  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  x.  (
9 ^ k ) ) ) ) `  n )  =  ( 2  /  ( ( 3  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ n ) ) ) )
14 2re 10029 . . . . . . . 8  |-  2  e.  RR
15 3nn 10094 . . . . . . . . . 10  |-  3  e.  NN
16 2nn0 10198 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  e.  NN0
17 simpr 448 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )  ->  n  e.  NN0 )
18 nn0mulcl 10216 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( 2  x.  n
)  e.  NN0 )
1916, 17, 18sylancr 645 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( 2  x.  n
)  e.  NN0 )
20 nn0p1nn 10219 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  x.  n )  e.  NN0  ->  ( ( 2  x.  n )  +  1 )  e.  NN )
2119, 20syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( ( 2  x.  n )  +  1 )  e.  NN )
22 nnmulcl 9983 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 3  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  n )  +  1 )  e.  NN )  ->  ( 3  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  e.  NN )
2315, 21, 22sylancr 645 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( 3  x.  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) )  e.  NN )
24 9nn 10100 . . . . . . . . . 10  |-  9  e.  NN
25 nnexpcl 11353 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 9  e.  NN  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( 9 ^ n
)  e.  NN )
2624, 17, 25sylancr 645 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( 9 ^ n
)  e.  NN )
2723, 26nnmulcld 10007 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( ( 3  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  x.  (
9 ^ n ) )  e.  NN )
28 nndivre 9995 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( ( 3  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  x.  (
9 ^ n ) )  e.  NN )  ->  ( 2  / 
( ( 3  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  x.  (
9 ^ n ) ) )  e.  RR )
2914, 27, 28sylancr 645 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( 2  /  (
( 3  x.  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ n ) ) )  e.  RR )
3029recnd 9074 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( 2  /  (
( 3  x.  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ n ) ) )  e.  CC )
3110log2cnv 20741 . . . . . . 7  |-  seq  0
(  +  ,  ( k  e.  NN0  |->  ( 2  /  ( ( 3  x.  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ k
) ) ) ) )  ~~>  ( log `  2
)
3231a1i 11 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  seq  0
(  +  ,  ( k  e.  NN0  |->  ( 2  /  ( ( 3  x.  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ k
) ) ) ) )  ~~>  ( log `  2
) )
331, 3, 13, 30, 32isumclim 12500 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  sum_ n  e.  NN0  ( 2  / 
( ( 3  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  x.  (
9 ^ n ) ) )  =  ( log `  2 ) )
34 eqid 2408 . . . . . 6  |-  ( ZZ>= `  N )  =  (
ZZ>= `  N )
35 id 20 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e. 
NN0 )
36 seqex 11284 . . . . . . . 8  |-  seq  0
(  +  ,  ( k  e.  NN0  |->  ( 2  /  ( ( 3  x.  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ k
) ) ) ) )  e.  _V
37 fvex 5705 . . . . . . . 8  |-  ( log `  2 )  e. 
_V
3836, 37breldm 5037 . . . . . . 7  |-  (  seq  0 (  +  , 
( k  e.  NN0  |->  ( 2  /  (
( 3  x.  (
( 2  x.  k
)  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ k ) ) ) ) )  ~~>  ( log `  2 )  ->  seq  0 (  +  , 
( k  e.  NN0  |->  ( 2  /  (
( 3  x.  (
( 2  x.  k
)  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ k ) ) ) ) )  e. 
dom 
~~>  )
3931, 38mp1i 12 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  seq  0
(  +  ,  ( k  e.  NN0  |->  ( 2  /  ( ( 3  x.  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ k
) ) ) ) )  e.  dom  ~~>  )
401, 34, 35, 13, 30, 39isumsplit 12579 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  sum_ n  e.  NN0  ( 2  / 
( ( 3  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  x.  (
9 ^ n ) ) )  =  (
sum_ n  e.  (
0 ... ( N  - 
1 ) ) ( 2  /  ( ( 3  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ n ) ) )  +  sum_ n  e.  (
ZZ>= `  N ) ( 2  /  ( ( 3  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ n ) ) ) ) )
4133, 40eqtr3d 2442 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( log `  2 )  =  ( sum_ n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( 2  /  (
( 3  x.  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ n ) ) )  +  sum_ n  e.  ( ZZ>= `  N )
( 2  /  (
( 3  x.  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ n ) ) ) ) )
4241oveq1d 6059 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( log `  2 )  -  sum_ n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( 2  /  (
( 3  x.  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ n ) ) ) )  =  ( ( sum_ n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( 2  /  (
( 3  x.  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ n ) ) )  +  sum_ n  e.  ( ZZ>= `  N )
( 2  /  (
( 3  x.  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ n ) ) ) )  -  sum_ n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( 2  /  ( ( 3  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ n
) ) ) ) )
43 fzfid 11271 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  e. 
Fin )
44 elfznn0 11043 . . . . . 6  |-  ( n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) )  ->  n  e.  NN0 )
4544, 30sylan2 461 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  ( 2  / 
( ( 3  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  x.  (
9 ^ n ) ) )  e.  CC )
4643, 45fsumcl 12486 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  sum_ n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( 2  / 
( ( 3  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  x.  (
9 ^ n ) ) )  e.  CC )
47 nn0z 10264 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  ZZ )
48 eluznn0 10506 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N ) )  ->  n  e.  NN0 )
4948, 12syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
( ( k  e. 
NN0  |->  ( 2  / 
( ( 3  x.  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  x.  (
9 ^ k ) ) ) ) `  n )  =  ( 2  /  ( ( 3  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ n ) ) ) )
5048, 29syldan 457 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
( 2  /  (
( 3  x.  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ n ) ) )  e.  RR )
5113, 30eqeltrd 2482 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( ( k  e. 
NN0  |->  ( 2  / 
( ( 3  x.  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  x.  (
9 ^ k ) ) ) ) `  n )  e.  CC )
521, 35, 51iserex 12409 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  ->  (  seq  0 (  +  , 
( k  e.  NN0  |->  ( 2  /  (
( 3  x.  (
( 2  x.  k
)  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ k ) ) ) ) )  e. 
dom 
~~> 
<->  seq  N (  +  ,  ( k  e. 
NN0  |->  ( 2  / 
( ( 3  x.  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  x.  (
9 ^ k ) ) ) ) )  e.  dom  ~~>  ) )
5339, 52mpbid 202 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  seq  N
(  +  ,  ( k  e.  NN0  |->  ( 2  /  ( ( 3  x.  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ k
) ) ) ) )  e.  dom  ~~>  )
5434, 47, 49, 50, 53isumrecl 12508 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  sum_ n  e.  ( ZZ>= `  N )
( 2  /  (
( 3  x.  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ n ) ) )  e.  RR )
5554recnd 9074 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  sum_ n  e.  ( ZZ>= `  N )
( 2  /  (
( 3  x.  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ n ) ) )  e.  CC )
5646, 55pncan2d 9373 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( (
sum_ n  e.  (
0 ... ( N  - 
1 ) ) ( 2  /  ( ( 3  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ n ) ) )  +  sum_ n  e.  (
ZZ>= `  N ) ( 2  /  ( ( 3  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ n ) ) ) )  -  sum_ n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( 2  / 
( ( 3  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  x.  (
9 ^ n ) ) ) )  = 
sum_ n  e.  ( ZZ>=
`  N ) ( 2  /  ( ( 3  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ n ) ) ) )
5742, 56eqtrd 2440 . 2  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( log `  2 )  -  sum_ n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( 2  /  (
( 3  x.  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ n ) ) ) )  =  sum_ n  e.  ( ZZ>= `  N
) ( 2  / 
( ( 3  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  x.  (
9 ^ n ) ) ) )
5814a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )  -> 
2  e.  RR )
5916nn0ge0i 10209 . . . . . . 7  |-  0  <_  2
6059a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )  -> 
0  <_  2 )
6127nnred 9975 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( ( 3  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  x.  (
9 ^ n ) )  e.  RR )
6227nngt0d 10003 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )  -> 
0  <  ( (
3  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ n ) ) )
63 divge0 9839 . . . . . 6  |-  ( ( ( 2  e.  RR  /\  0  <_  2 )  /\  ( ( ( 3  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ n ) )  e.  RR  /\  0  < 
( ( 3  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  x.  (
9 ^ n ) ) ) )  -> 
0  <_  ( 2  /  ( ( 3  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ n
) ) ) )
6458, 60, 61, 62, 63syl22anc 1185 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )  -> 
0  <_  ( 2  /  ( ( 3  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ n
) ) ) )
6548, 64syldan 457 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
0  <_  ( 2  /  ( ( 3  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ n
) ) ) )
6634, 47, 49, 50, 53, 65isumge0 12509 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  0  <_  sum_ n  e.  ( ZZ>= `  N ) ( 2  /  ( ( 3  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ n
) ) ) )
67 oveq2 6052 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  n  ->  (
( 1  /  9
) ^ k )  =  ( ( 1  /  9 ) ^
n ) )
6867oveq2d 6060 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  n  ->  (
( 2  /  (
3  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) )  x.  ( ( 1  /  9 ) ^ k ) )  =  ( ( 2  /  ( 3  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) )  x.  ( ( 1  / 
9 ) ^ n
) ) )
69 eqid 2408 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN0  |->  ( ( 2  /  ( 3  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) )  x.  ( ( 1  /  9 ) ^
k ) ) )  =  ( k  e. 
NN0  |->  ( ( 2  /  ( 3  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) )  x.  ( ( 1  / 
9 ) ^ k
) ) )
70 ovex 6069 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2  /  ( 3  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) )  x.  ( ( 1  /  9 ) ^
n ) )  e. 
_V
7168, 69, 70fvmpt 5769 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( ( k  e.  NN0  |->  ( ( 2  /  ( 3  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) )  x.  ( ( 1  /  9 ) ^
k ) ) ) `
 n )  =  ( ( 2  / 
( 3  x.  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) ) )  x.  (
( 1  /  9
) ^ n ) ) )
7271adantl 453 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( ( k  e. 
NN0  |->  ( ( 2  /  ( 3  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) )  x.  ( ( 1  / 
9 ) ^ k
) ) ) `  n )  =  ( ( 2  /  (
3  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) )  x.  ( ( 1  /  9 ) ^ n ) ) )
73 9re 10039 . . . . . . . . . . . 12  |-  9  e.  RR
7473recni 9062 . . . . . . . . . . 11  |-  9  e.  CC
7574a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )  -> 
9  e.  CC )
7624nnne0i 9994 . . . . . . . . . . 11  |-  9  =/=  0
7776a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )  -> 
9  =/=  0 )
78 nn0z 10264 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN0  ->  n  e.  ZZ )
7978adantl 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )  ->  n  e.  ZZ )
8075, 77, 79exprecd 11490 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( ( 1  / 
9 ) ^ n
)  =  ( 1  /  ( 9 ^ n ) ) )
8180oveq2d 6060 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( ( 2  / 
( 3  x.  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) ) )  x.  (
( 1  /  9
) ^ n ) )  =  ( ( 2  /  ( 3  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) )  x.  ( 1  / 
( 9 ^ n
) ) ) )
82 nn0mulcl 10216 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 2  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( 2  x.  N
)  e.  NN0 )
8316, 82mpan 652 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 2  x.  N )  e. 
NN0 )
84 nn0p1nn 10219 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 2  x.  N )  e.  NN0  ->  ( ( 2  x.  N )  +  1 )  e.  NN )
8583, 84syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( 2  x.  N )  +  1 )  e.  NN )
86 nnmulcl 9983 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 3  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  N )  +  1 )  e.  NN )  ->  ( 3  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  e.  NN )
8715, 85, 86sylancr 645 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 3  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  e.  NN )
88 nndivre 9995 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( 3  x.  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) )  e.  NN )  ->  ( 2  / 
( 3  x.  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) ) )  e.  RR )
8914, 87, 88sylancr 645 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 2  /  ( 3  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) )  e.  RR )
9089recnd 9074 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 2  /  ( 3  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) )  e.  CC )
9190adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( 2  /  (
3  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) )  e.  CC )
9226nncnd 9976 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( 9 ^ n
)  e.  CC )
9326nnne0d 10004 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( 9 ^ n
)  =/=  0 )
9491, 92, 93divrecd 9753 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( ( 2  / 
( 3  x.  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) ) )  /  (
9 ^ n ) )  =  ( ( 2  /  ( 3  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) )  x.  ( 1  / 
( 9 ^ n
) ) ) )
9558recnd 9074 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )  -> 
2  e.  CC )
9687adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( 3  x.  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) )  e.  NN )
9796nncnd 9976 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( 3  x.  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) )  e.  CC )
9896nnne0d 10004 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( 3  x.  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) )  =/=  0 )
9995, 97, 92, 98, 93divdiv1d 9781 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( ( 2  / 
( 3  x.  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) ) )  /  (
9 ^ n ) )  =  ( 2  /  ( ( 3  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ n
) ) ) )
10081, 94, 993eqtr2d 2446 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( ( 2  / 
( 3  x.  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) ) )  x.  (
( 1  /  9
) ^ n ) )  =  ( 2  /  ( ( 3  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ n
) ) ) )
10172, 100eqtrd 2440 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( ( k  e. 
NN0  |->  ( ( 2  /  ( 3  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) )  x.  ( ( 1  / 
9 ) ^ k
) ) ) `  n )  =  ( 2  /  ( ( 3  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ n ) ) ) )
10248, 101syldan 457 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
( ( k  e. 
NN0  |->  ( ( 2  /  ( 3  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) )  x.  ( ( 1  / 
9 ) ^ k
) ) ) `  n )  =  ( 2  /  ( ( 3  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ n ) ) ) )
10396, 26nnmulcld 10007 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( ( 3  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  x.  (
9 ^ n ) )  e.  NN )
104 nndivre 9995 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( ( 3  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  x.  (
9 ^ n ) )  e.  NN )  ->  ( 2  / 
( ( 3  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  x.  (
9 ^ n ) ) )  e.  RR )
10514, 103, 104sylancr 645 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( 2  /  (
( 3  x.  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ n ) ) )  e.  RR )
10648, 105syldan 457 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
( 2  /  (
( 3  x.  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ n ) ) )  e.  RR )
10783adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
( 2  x.  N
)  e.  NN0 )
108107nn0red 10235 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
( 2  x.  N
)  e.  RR )
10916, 48, 18sylancr 645 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
( 2  x.  n
)  e.  NN0 )
110109nn0red 10235 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
( 2  x.  n
)  e.  RR )
111 1re 9050 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  RR
112111a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
1  e.  RR )
113 eluzle 10458 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  N
)  ->  N  <_  n )
114113adantl 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N ) )  ->  N  <_  n )
115 nn0re 10190 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  RR )
116115adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N ) )  ->  N  e.  RR )
11748nn0red 10235 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N ) )  ->  n  e.  RR )
11814a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
2  e.  RR )
119 2pos 10042 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  <  2
120119a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
0  <  2 )
121 lemul2 9823 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  RR  /\  n  e.  RR  /\  (
2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( N  <_  n 
<->  ( 2  x.  N
)  <_  ( 2  x.  n ) ) )
122116, 117, 118, 120, 121syl112anc 1188 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
( N  <_  n  <->  ( 2  x.  N )  <_  ( 2  x.  n ) ) )
123114, 122mpbid 202 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
( 2  x.  N
)  <_  ( 2  x.  n ) )
124108, 110, 112, 123leadd1dd 9600 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
( ( 2  x.  N )  +  1 )  <_  ( (
2  x.  n )  +  1 ) )
12585adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
( ( 2  x.  N )  +  1 )  e.  NN )
126125nnred 9975 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
( ( 2  x.  N )  +  1 )  e.  RR )
12748, 21syldan 457 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
( ( 2  x.  n )  +  1 )  e.  NN )
128127nnred 9975 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
( ( 2  x.  n )  +  1 )  e.  RR )
129 3re 10031 . . . . . . . . . 10  |-  3  e.  RR
130129a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
3  e.  RR )
131 3pos 10044 . . . . . . . . . 10  |-  0  <  3
132131a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
0  <  3 )
133 lemul2 9823 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  e.  RR  /\  ( ( 2  x.  n )  +  1 )  e.  RR  /\  ( 3  e.  RR  /\  0  <  3 ) )  ->  ( (
( 2  x.  N
)  +  1 )  <_  ( ( 2  x.  n )  +  1 )  <->  ( 3  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  <_ 
( 3  x.  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) ) ) )
134126, 128, 130, 132, 133syl112anc 1188 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  <_  (
( 2  x.  n
)  +  1 )  <-> 
( 3  x.  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) )  <_  ( 3  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) )
135124, 134mpbid 202 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
( 3  x.  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) )  <_  ( 3  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) )
13687adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
( 3  x.  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) )  e.  NN )
137136nnred 9975 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
( 3  x.  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) )  e.  RR )
13848, 23syldan 457 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
( 3  x.  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) )  e.  NN )
139138nnred 9975 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
( 3  x.  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) )  e.  RR )
14024, 48, 25sylancr 645 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
( 9 ^ n
)  e.  NN )
141140nnred 9975 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
( 9 ^ n
)  e.  RR )
142140nngt0d 10003 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
0  <  ( 9 ^ n ) )
143 lemul1 9822 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 3  x.  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) )  e.  RR  /\  ( 3  x.  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) )  e.  RR  /\  ( ( 9 ^ n )  e.  RR  /\  0  <  ( 9 ^ n ) ) )  ->  ( (
3  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  <_  ( 3  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  <->  ( (
3  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ n ) )  <_ 
( ( 3  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  x.  (
9 ^ n ) ) ) )
144137, 139, 141, 142, 143syl112anc 1188 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
( ( 3  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  <_  (
3  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  <-> 
( ( 3  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  x.  (
9 ^ n ) )  <_  ( (
3  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ n ) ) ) )
145135, 144mpbid 202 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
( ( 3  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  x.  (
9 ^ n ) )  <_  ( (
3  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ n ) ) )
14648, 103syldan 457 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
( ( 3  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  x.  (
9 ^ n ) )  e.  NN )
147146nnred 9975 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
( ( 3  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  x.  (
9 ^ n ) )  e.  RR )
148146nngt0d 10003 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
0  <  ( (
3  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ n ) ) )
14948, 61syldan 457 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
( ( 3  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  x.  (
9 ^ n ) )  e.  RR )
15048, 62syldan 457 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
0  <  ( (
3  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ n ) ) )
151 lediv2 9860 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( 3  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ n
) )  e.  RR  /\  0  <  ( ( 3  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ n ) ) )  /\  ( ( ( 3  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ n ) )  e.  RR  /\  0  < 
( ( 3  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  x.  (
9 ^ n ) ) )  /\  (
2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( ( ( 3  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ n ) )  <_ 
( ( 3  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  x.  (
9 ^ n ) )  <->  ( 2  / 
( ( 3  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  x.  (
9 ^ n ) ) )  <_  (
2  /  ( ( 3  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ n ) ) ) ) )
152147, 148, 149, 150, 118, 120, 151syl222anc 1200 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
( ( ( 3  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ n
) )  <_  (
( 3  x.  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ n ) )  <-> 
( 2  /  (
( 3  x.  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ n ) ) )  <_  ( 2  /  ( ( 3  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ n
) ) ) ) )
153145, 152mpbid 202 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
( 2  /  (
( 3  x.  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ n ) ) )  <_  ( 2  /  ( ( 3  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ n
) ) ) )
15473, 76rereccli 9739 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  /  9 )  e.  RR
155154recni 9062 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  /  9 )  e.  CC
156155a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 1  /  9 )  e.  CC )
157 0re 9051 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  e.  RR
158 9pos 10051 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  <  9
15973, 158recgt0ii 9876 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  <  ( 1  /  9
)
160157, 154, 159ltleii 9156 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  <_  ( 1  /  9
)
161 absid 12060 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 1  /  9
)  e.  RR  /\  0  <_  ( 1  / 
9 ) )  -> 
( abs `  (
1  /  9 ) )  =  ( 1  /  9 ) )
162154, 160, 161mp2an 654 . . . . . . . . . . 11  |-  ( abs `  ( 1  /  9
) )  =  ( 1  /  9 )
163 1lt9 10137 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  <  9
164 recgt1i 9867 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 9  e.  RR  /\  1  <  9 )  -> 
( 0  <  (
1  /  9 )  /\  ( 1  / 
9 )  <  1
) )
16573, 163, 164mp2an 654 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0  <  ( 1  / 
9 )  /\  (
1  /  9 )  <  1 )
166165simpri 449 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  /  9 )  <  1
167162, 166eqbrtri 4195 . . . . . . . . . 10  |-  ( abs `  ( 1  /  9
) )  <  1
168167a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( abs `  ( 1  /  9
) )  <  1
)
169 eqid 2408 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN0  |->  ( ( 1  /  9 ) ^ k ) )  =  ( k  e. 
NN0  |->  ( ( 1  /  9 ) ^
k ) )
170 ovex 6069 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1  /  9 ) ^ n )  e. 
_V
17167, 169, 170fvmpt 5769 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( ( k  e.  NN0  |->  ( ( 1  /  9 ) ^ k ) ) `
 n )  =  ( ( 1  / 
9 ) ^ n
) )
17248, 171syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
( ( k  e. 
NN0  |->  ( ( 1  /  9 ) ^
k ) ) `  n )  =  ( ( 1  /  9
) ^ n ) )
173156, 168, 35, 172geolim2 12607 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN0  ->  seq  N
(  +  ,  ( k  e.  NN0  |->  ( ( 1  /  9 ) ^ k ) ) )  ~~>  ( ( ( 1  /  9 ) ^ N )  / 
( 1  -  (
1  /  9 ) ) ) )
17474a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN0  ->  9  e.  CC )
17576a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN0  ->  9  =/=  0 )
176174, 175, 47exprecd 11490 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( 1  /  9 ) ^ N )  =  ( 1  /  (
9 ^ N ) ) )
17774, 76dividi 9707 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 9  /  9 )  =  1
178177oveq1i 6054 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 9  /  9 )  -  ( 1  / 
9 ) )  =  ( 1  -  (
1  /  9 ) )
179 ax-1cn 9008 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  e.  CC
18074, 76pm3.2i 442 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 9  e.  CC  /\  9  =/=  0 )
181 divsubdir 9670 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 9  e.  CC  /\  1  e.  CC  /\  (
9  e.  CC  /\  9  =/=  0 ) )  ->  ( ( 9  -  1 )  / 
9 )  =  ( ( 9  /  9
)  -  ( 1  /  9 ) ) )
18274, 179, 180, 181mp3an 1279 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 9  -  1 )  /  9 )  =  ( ( 9  / 
9 )  -  (
1  /  9 ) )
183 df-9 10025 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  9  =  ( 8  +  1 )
184183oveq1i 6054 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 9  -  1 )  =  ( ( 8  +  1 )  -  1 )
185 8re 10038 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  8  e.  RR
186185recni 9062 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  8  e.  CC
187 pncan 9271 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 8  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( 8  +  1 )  -  1 )  =  8 )
188186, 179, 187mp2an 654 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 8  +  1 )  -  1 )  =  8
189184, 188eqtri 2428 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 9  -  1 )  =  8
190189oveq1i 6054 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 9  -  1 )  /  9 )  =  ( 8  /  9
)
191182, 190eqtr3i 2430 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 9  /  9 )  -  ( 1  / 
9 ) )  =  ( 8  /  9
)
192178, 191eqtr3i 2430 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  -  ( 1  / 
9 ) )  =  ( 8  /  9
)
193192a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 1  -  ( 1  / 
9 ) )  =  ( 8  /  9
) )
194176, 193oveq12d 6062 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( ( 1  /  9
) ^ N )  /  ( 1  -  ( 1  /  9
) ) )  =  ( ( 1  / 
( 9 ^ N
) )  /  (
8  /  9 ) ) )
195179a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN0  ->  1  e.  CC )
196 nnexpcl 11353 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 9  e.  NN  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( 9 ^ N
)  e.  NN )
19724, 196mpan 652 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 9 ^ N )  e.  NN )
198197nncnd 9976 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 9 ^ N )  e.  CC )
199186, 74, 76divcli 9716 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 8  /  9 )  e.  CC
200199a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 8  /  9 )  e.  CC )
201197nnne0d 10004 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 9 ^ N )  =/=  0 )
202 8nn 10099 . . . . . . . . . . . . 13  |-  8  e.  NN
203202nnne0i 9994 . . . . . . . . . . . 12  |-  8  =/=  0
204186, 74, 203, 76divne0i 9722 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 8  /  9 )  =/=  0
205204a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 8  /  9 )  =/=  0 )
206195, 198, 200, 201, 205divdiv32d 9775 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( 1  /  ( 9 ^ N ) )  /  ( 8  / 
9 ) )  =  ( ( 1  / 
( 8  /  9
) )  /  (
9 ^ N ) ) )
207 recdiv 9680 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 8  e.  CC  /\  8  =/=  0 )  /\  ( 9  e.  CC  /\  9  =/=  0 ) )  -> 
( 1  /  (
8  /  9 ) )  =  ( 9  /  8 ) )
208186, 203, 74, 76, 207mp4an 655 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  /  ( 8  / 
9 ) )  =  ( 9  /  8
)
209208oveq1i 6054 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1  /  ( 8  /  9 ) )  /  ( 9 ^ N ) )  =  ( ( 9  / 
8 )  /  (
9 ^ N ) )
210186a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN0  ->  8  e.  CC )
211203a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN0  ->  8  =/=  0 )
212174, 210, 198, 211, 201divdiv1d 9781 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( 9  /  8 )  /  ( 9 ^ N ) )  =  ( 9  /  (
8  x.  ( 9 ^ N ) ) ) )
213209, 212syl5eq 2452 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( 1  /  ( 8  /  9 ) )  /  ( 9 ^ N ) )  =  ( 9  /  (
8  x.  ( 9 ^ N ) ) ) )
214194, 206, 2133eqtrd 2444 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( ( 1  /  9
) ^ N )  /  ( 1  -  ( 1  /  9
) ) )  =  ( 9  /  (
8  x.  ( 9 ^ N ) ) ) )
215173, 214breqtrd 4200 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  ->  seq  N
(  +  ,  ( k  e.  NN0  |->  ( ( 1  /  9 ) ^ k ) ) )  ~~>  ( 9  / 
( 8  x.  (
9 ^ N ) ) ) )
216 expcl 11358 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 1  /  9
)  e.  CC  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( ( 1  / 
9 ) ^ n
)  e.  CC )
217155, 48, 216sylancr 645 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
( ( 1  / 
9 ) ^ n
)  e.  CC )
218172, 217eqeltrd 2482 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
( ( k  e. 
NN0  |->  ( ( 1  /  9 ) ^
k ) ) `  n )  e.  CC )
21948, 71syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
( ( k  e. 
NN0  |->  ( ( 2  /  ( 3  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) )  x.  ( ( 1  / 
9 ) ^ k
) ) ) `  n )  =  ( ( 2  /  (
3  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) )  x.  ( ( 1  /  9 ) ^ n ) ) )
220172oveq2d 6060 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
( ( 2  / 
( 3  x.  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) ) )  x.  (
( k  e.  NN0  |->  ( ( 1  / 
9 ) ^ k
) ) `  n
) )  =  ( ( 2  /  (
3  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) )  x.  ( ( 1  /  9 ) ^ n ) ) )
221219, 220eqtr4d 2443 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
( ( k  e. 
NN0  |->  ( ( 2  /  ( 3  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) )  x.  ( ( 1  / 
9 ) ^ k
) ) ) `  n )  =  ( ( 2  /  (
3  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) )  x.  ( ( k  e.  NN0  |->  ( ( 1  /  9 ) ^ k ) ) `
 n ) ) )
22234, 47, 90, 215, 218, 221isermulc2 12410 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  seq  N
(  +  ,  ( k  e.  NN0  |->  ( ( 2  /  ( 3  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) )  x.  ( ( 1  /  9 ) ^
k ) ) ) )  ~~>  ( ( 2  /  ( 3  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) )  x.  ( 9  /  (
8  x.  ( 9 ^ N ) ) ) ) )
223 seqex 11284 . . . . . . 7  |-  seq  N
(  +  ,  ( k  e.  NN0  |->  ( ( 2  /  ( 3  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) )  x.  ( ( 1  /  9 ) ^
k ) ) ) )  e.  _V
224 ovex 6069 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  /  ( 3  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) )  x.  ( 9  / 
( 8  x.  (
9 ^ N ) ) ) )  e. 
_V
225223, 224breldm 5037 . . . . . 6  |-  (  seq 
N (  +  , 
( k  e.  NN0  |->  ( ( 2  / 
( 3  x.  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) ) )  x.  (
( 1  /  9
) ^ k ) ) ) )  ~~>  ( ( 2  /  ( 3  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) )  x.  ( 9  / 
( 8  x.  (
9 ^ N ) ) ) )  ->  seq  N (  +  , 
( k  e.  NN0  |->  ( ( 2  / 
( 3  x.  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) ) )  x.  (
( 1  /  9
) ^ k ) ) ) )  e. 
dom 
~~>  )
226222, 225syl 16 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  seq  N
(  +  ,  ( k  e.  NN0  |->  ( ( 2  /  ( 3  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) )  x.  ( ( 1  /  9 ) ^
k ) ) ) )  e.  dom  ~~>  )
22734, 47, 49, 50, 102, 106, 153, 53, 226isumle 12583 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  sum_ n  e.  ( ZZ>= `  N )
( 2  /  (
( 3  x.  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ n ) ) )  <_  sum_ n  e.  ( ZZ>= `  N )
( 2  /  (
( 3  x.  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ n ) ) ) )
228106recnd 9074 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
( 2  /  (
( 3  x.  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ n ) ) )  e.  CC )
229 3cn 10032 . . . . . . . . . . . 12  |-  3  e.  CC
230 4cn 10034 . . . . . . . . . . . 12  |-  4  e.  CC
231 2cn 10030 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  e.  CC
232 4nn 10095 . . . . . . . . . . . . 13  |-  4  e.  NN
233232nnne0i 9994 . . . . . . . . . . . 12  |-  4  =/=  0
234 3ne0 10045 . . . . . . . . . . . 12  |-  3  =/=  0
235 2ne0 10043 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  =/=  0
236229, 230, 231, 229, 233, 234, 235divdivdivi 9737 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 3  /  4 )  /  ( 2  / 
3 ) )  =  ( ( 3  x.  3 )  /  (
4  x.  2 ) )
237 3t3e9 10089 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 3  x.  3 )  =  9
238 4t2e8 10090 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 4  x.  2 )  =  8
239237, 238oveq12i 6056 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 3  x.  3 )  /  ( 4  x.  2 ) )  =  ( 9  /  8
)
240236, 239eqtri 2428 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 3  /  4 )  /  ( 2  / 
3 ) )  =  ( 9  /  8
)
241240oveq2i 6055 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2  /  3 )  x.  ( ( 3  /  4 )  / 
( 2  /  3
) ) )  =  ( ( 2  / 
3 )  x.  (
9  /  8 ) )
242229, 230, 233divcli 9716 . . . . . . . . . 10  |-  ( 3  /  4 )  e.  CC
243231, 229, 234divcli 9716 . . . . . . . . . 10  |-  ( 2  /  3 )  e.  CC
244231, 229, 235, 234divne0i 9722 . . . . . . . . . 10  |-  ( 2  /  3 )  =/=  0
245242, 243, 244divcan2i 9717 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2  /  3 )  x.  ( ( 3  /  4 )  / 
( 2  /  3
) ) )  =  ( 3  /  4
)
246241, 245eqtr3i 2430 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2  /  3 )  x.  ( 9  / 
8 ) )  =  ( 3  /  4
)
247246oveq1i 6054 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 2  /  3
)  x.  ( 9  /  8 ) )  /  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  x.  ( 9 ^ N
) ) )  =  ( ( 3  / 
4 )  /  (
( ( 2  x.  N )  +  1 )  x.  ( 9 ^ N ) ) )
248231a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN0  ->  2  e.  CC )
249229a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN0  ->  3  e.  CC )
25085nncnd 9976 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( 2  x.  N )  +  1 )  e.  CC )
251234a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN0  ->  3  =/=  0 )
25285nnne0d 10004 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( 2  x.  N )  +  1 )  =/=  0 )
253248, 249, 250, 251, 252divdiv1d 9781 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( 2  /  3 )  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  =  ( 2  /  (
3  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ) )
254253, 212oveq12d 6062 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( ( 2  /  3
)  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  x.  ( ( 9  /  8 )  / 
( 9 ^ N
) ) )  =  ( ( 2  / 
( 3  x.  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) ) )  x.  (
9  /  ( 8  x.  ( 9 ^ N ) ) ) ) )
255243a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 2  /  3 )  e.  CC )
25674, 186, 203divcli 9716 . . . . . . . . . 10  |-  ( 9  /  8 )  e.  CC
257256a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 9  /  8 )  e.  CC )
258255, 250, 257, 198, 252, 201divmuldivd 9791 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( ( 2  /  3
)  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  x.  ( ( 9  /  8 )  / 
( 9 ^ N
) ) )  =  ( ( ( 2  /  3 )  x.  ( 9  /  8
) )  /  (
( ( 2  x.  N )  +  1 )  x.  ( 9 ^ N ) ) ) )
259254, 258eqtr3d 2442 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( 2  /  ( 3  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) )  x.  ( 9  / 
( 8  x.  (
9 ^ N ) ) ) )  =  ( ( ( 2  /  3 )  x.  ( 9  /  8
) )  /  (
( ( 2  x.  N )  +  1 )  x.  ( 9 ^ N ) ) ) )
260230a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN0  ->  4  e.  CC )
261260, 250, 198mulassd 9071 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( 4  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ N ) )  =  ( 4  x.  (
( ( 2  x.  N )  +  1 )  x.  ( 9 ^ N ) ) ) )
262261oveq2d 6060 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 3  /  ( ( 4  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ N
) ) )  =  ( 3  /  (
4  x.  ( ( ( 2  x.  N
)  +  1 )  x.  ( 9 ^ N ) ) ) ) )
26385, 197nnmulcld 10007 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( ( 2  x.  N
)  +  1 )  x.  ( 9 ^ N ) )  e.  NN )
264263nncnd 9976 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( ( 2  x.  N
)  +  1 )  x.  ( 9 ^ N ) )  e.  CC )
265233a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN0  ->  4  =/=  0 )
266263nnne0d 10004 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( ( 2  x.  N
)  +  1 )  x.  ( 9 ^ N ) )  =/=  0 )
267249, 260, 264, 265, 266divdiv1d 9781 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( 3  /  4 )  /  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  x.  ( 9 ^ N
) ) )  =  ( 3  /  (
4  x.  ( ( ( 2  x.  N
)  +  1 )  x.  ( 9 ^ N ) ) ) ) )
268262, 267eqtr4d 2443 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 3  /  ( ( 4  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ N
) ) )  =  ( ( 3  / 
4 )  /  (
( ( 2  x.  N )  +  1 )  x.  ( 9 ^ N ) ) ) )
269247, 259, 2683eqtr4a 2466 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( 2  /  ( 3  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) )  x.  ( 9  / 
( 8  x.  (
9 ^ N ) ) ) )  =  ( 3  /  (
( 4  x.  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ N ) ) ) )
270222, 269breqtrd 4200 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  seq  N
(  +  ,  ( k  e.  NN0  |->  ( ( 2  /  ( 3  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) )  x.  ( ( 1  /  9 ) ^
k ) ) ) )  ~~>  ( 3  / 
( ( 4  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  x.  (
9 ^ N ) ) ) )
27134, 47, 102, 228, 270isumclim 12500 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  sum_ n  e.  ( ZZ>= `  N )
( 2  /  (
( 3  x.  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ n ) ) )  =  ( 3  /  ( ( 4  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ N
) ) ) )
272227, 271breqtrd 4200 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  sum_ n  e.  ( ZZ>= `  N )
( 2  /  (
( 3  x.  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ n ) ) )  <_  ( 3  /  ( ( 4  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ N
) ) ) )
273 nnmulcl 9983 . . . . . . 7  |-  ( ( 4  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  N )  +  1 )  e.  NN )  ->  ( 4  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  e.  NN )
274232, 85, 273sylancr 645 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 4  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  e.  NN )
275274, 197nnmulcld 10007 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( 4  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ N ) )  e.  NN )
276 nndivre 9995 . . . . 5  |-  ( ( 3  e.  RR  /\  ( ( 4  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  x.  (
9 ^ N ) )  e.  NN )  ->  ( 3  / 
( ( 4  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  x.  (
9 ^ N ) ) )  e.  RR )
277129, 275, 276sylancr 645 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 3  /  ( ( 4  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ N
) ) )  e.  RR )
278 elicc2 10935 . . . 4  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( 3  /  (
( 4  x.  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ N ) ) )  e.  RR )  ->  ( sum_ n  e.  ( ZZ>= `  N )
( 2  /  (
( 3  x.  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ n ) ) )  e.  ( 0 [,] ( 3  / 
( ( 4  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  x.  (
9 ^ N ) ) ) )  <->  ( sum_ n  e.  ( ZZ>= `  N
) ( 2  / 
( ( 3  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  x.  (
9 ^ n ) ) )  e.  RR  /\  0  <_  sum_ n  e.  ( ZZ>= `  N )
( 2  /  (
( 3  x.  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ n ) ) )  /\  sum_ n  e.  ( ZZ>= `  N )
( 2  /  (
( 3  x.  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ n ) ) )  <_  ( 3  /  ( ( 4  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ N
) ) ) ) ) )
279157, 277, 278sylancr 645 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( sum_ n  e.  ( ZZ>= `  N
) ( 2  / 
( ( 3  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  x.  (
9 ^ n ) ) )  e.  ( 0 [,] ( 3  /  ( ( 4  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ N
) ) ) )  <-> 
( sum_ n  e.  (
ZZ>= `  N ) ( 2  /  ( ( 3  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ n ) ) )  e.  RR  /\  0  <_ 
sum_ n  e.  ( ZZ>=
`  N ) ( 2  /  ( ( 3  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ n ) ) )  /\  sum_ n  e.  (
ZZ>= `  N ) ( 2  /  ( ( 3  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ n ) ) )  <_  ( 3  / 
( ( 4  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  x.  (
9 ^ N ) ) ) ) ) )
28054, 66, 272, 279mpbir3and 1137 . 2  |-  ( N  e.  NN0  ->  sum_ n  e.  ( ZZ>= `  N )
( 2  /  (
( 3  x.  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ n ) ) )  e.  ( 0 [,] ( 3  / 
( ( 4  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  x.  (
9 ^ N ) ) ) ) )
28157, 280eqeltrd 2482 1  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( log `  2 )  -  sum_ n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( 2  /  (
( 3  x.  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ n ) ) ) )  e.  ( 0 [,] ( 3  /  ( ( 4  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ N
) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2571   class class class wbr 4176    e. cmpt 4230   dom cdm 4841   ` cfv 5417  (class class class)co 6044   CCcc 8948   RRcr 8949   0cc0 8950   1c1 8951    + caddc 8953    x. cmul 8955    < clt 9080    <_ cle 9081    - cmin 9251    / cdiv 9637   NNcn 9960   2c2 10009   3c3 10010   4c4 10011   8c8 10015   9c9 10016   NN0cn0 10181   ZZcz 10242   ZZ>=cuz 10448   [,]cicc 10879   ...cfz 11003    seq cseq 11282   ^cexp 11341   abscabs 11998    ~~> cli 12237   sum_csu 12438   logclog 20409
This theorem is referenced by:  log2ub  20746
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2389  ax-rep 4284  ax-sep 4294  ax-nul 4302  ax-pow 4341  ax-pr 4367  ax-un 4664  ax-inf2 7556  ax-cnex 9006  ax-resscn 9007  ax-1cn 9008  ax-icn 9009  ax-addcl 9010  ax-addrcl 9011  ax-mulcl 9012  ax-mulrcl 9013  ax-mulcom 9014  ax-addass 9015  ax-mulass 9016  ax-distr 9017  ax-i2m1 9018  ax-1ne0 9019  ax-1rid 9020  ax-rnegex 9021  ax-rrecex 9022  ax-cnre 9023  ax-pre-lttri 9024  ax-pre-lttrn 9025  ax-pre-ltadd 9026  ax-pre-mulgt0 9027  ax-pre-sup 9028  ax-addf 9029  ax-mulf 9030
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2262  df-mo 2263  df-clab 2395  df-cleq 2401  df-clel 2404  df-nfc 2533  df-ne 2573  df-nel 2574  df-ral 2675  df-rex 2676  df-reu 2677  df-rmo 2678  df-rab 2679  df-v 2922  df-sbc 3126  df-csb 3216  df-dif 3287  df-un 3289  df-in 3291  df-ss 3298  df-pss 3300  df-nul 3593  df-if 3704  df-pw 3765  df-sn 3784  df-pr 3785  df-tp 3786  df-op 3787  df-uni 3980  df-int 4015  df-iun 4059  df-iin 4060  df-br 4177  df-opab 4231  df-mpt 4232  df-tr 4267  df-eprel 4458  df-id 4462  df-po 4467  df-so 4468  df-fr 4505  df-se 4506  df-we 4507  df-ord 4548  df-on 4549  df-lim 4550  df-suc 4551  df-om 4809  df-xp 4847  df-rel 4848  df-cnv 4849  df-co 4850  df-dm 4851  df-rn 4852  df-res 4853  df-ima 4854  df-iota 5381  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-isom 5426  df-ov 6047  df-oprab 6048  df-mpt2 6049  df-of 6268  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-riota 6512  df-recs 6596  df-rdg 6631  df-1o 6687  df-2o 6688  df-oadd 6691  df-er 6868  df-map 6983  df-pm 6984  df-ixp 7027  df-en 7073  df-dom 7074  df-sdom 7075  df-fin 7076  df-fi 7378  df-sup 7408  df-oi 7439  df-card 7786  df-cda 8008  df-pnf 9082  df-mnf 9083  df-xr 9084  df-ltxr 9085  df-le 9086  df-sub 9253  df-neg 9254  df-div 9638  df-nn 9961  df-2 10018  df-3 10019  df-4 10020  df-5 10021  df-6 10022  df-7 10023  df-8 10024  df-9 10025  df-10 10026  df-n0 10182  df-z 10243  df-dec 10343  df-uz 10449  df-q 10535  df-rp 10573  df-xneg 10670  df-xadd 10671  df-xmul 10672  df-ioo 10880  df-ioc 10881  df-ico 10882  df-icc 10883  df-fz 11004  df-fzo 11095  df-fl 11161  df-mod 11210  df-seq 11283  df-exp 11342  df-fac 11526  df-bc 11553  df-hash 11578  df-shft 11841  df-cj 11863  df-re 11864  df-im 11865  df-sqr 11999  df-abs 12000  df-limsup 12224  df-clim 12241  df-rlim 12242  df-sum 12439  df-ef 12629  df-sin 12631  df-cos 12632  df-tan 12633  df-pi 12634  df-dvds 12812  df-struct 13430  df-ndx 13431  df-slot 13432  df-base 13433  df-sets 13434  df-ress 13435  df-plusg 13501  df-mulr 13502  df-starv 13503  df-sca 13504  df-vsca 13505  df-tset 13507  df-ple 13508  df-ds 13510  df-unif 13511  df-hom 13512  df-cco 13513  df-rest 13609  df-topn 13610  df-topgen 13626  df-pt 13627  df-prds 13630  df-xrs 13685  df-0g 13686  df-gsum 13687  df-qtop 13692  df-imas 13693  df-xps 13695  df-mre 13770  df-mrc 13771  df-acs 13773  df-mnd 14649  df-submnd 14698  df-mulg 14774  df-cntz 15075  df-cmn 15373  df-psmet 16653  df-xmet 16654  df-met 16655  df-bl 16656  df-mopn 16657  df-fbas 16658  df-fg 16659  df-cnfld 16663  df-top 16922  df-bases 16924  df-topon 16925  df-topsp 16926  df-cld 17042  df-ntr 17043  df-cls 17044  df-nei 17121  df-lp 17159  df-perf 17160  df-cn 17249  df-cnp 17250  df-haus 17337  df-cmp 17408  df-tx 17551  df-hmeo 17744  df-fil 17835  df-fm 17927  df-flim 17928  df-flf 17929  df-xms 18307  df-ms 18308  df-tms 18309  df-cncf 18865  df-limc 19710  df-dv 19711  df-ulm 20250  df-log 20411  df-atan 20664
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