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Theorem log2tlbnd 20241
Description: Bound the error term in the series of log2cnv 20240. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
log2tlbnd  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( log `  2 )  -  sum_ n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( 2  /  (
( 3  x.  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ n ) ) ) )  e.  ( 0 [,] ( 3  /  ( ( 4  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ N
) ) ) ) )
Distinct variable group:    n, N

Proof of Theorem log2tlbnd
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0uz 10262 . . . . . 6  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
2 0z 10035 . . . . . . 7  |-  0  e.  ZZ
32a1i 10 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  0  e.  ZZ )
4 oveq2 5866 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  n  ->  (
2  x.  k )  =  ( 2  x.  n ) )
54oveq1d 5873 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  n  ->  (
( 2  x.  k
)  +  1 )  =  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )
65oveq2d 5874 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  n  ->  (
3  x.  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  =  ( 3  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) )
7 oveq2 5866 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  n  ->  (
9 ^ k )  =  ( 9 ^ n ) )
86, 7oveq12d 5876 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  n  ->  (
( 3  x.  (
( 2  x.  k
)  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ k ) )  =  ( ( 3  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ n
) ) )
98oveq2d 5874 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  n  ->  (
2  /  ( ( 3  x.  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ k ) ) )  =  ( 2  / 
( ( 3  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  x.  (
9 ^ n ) ) ) )
10 eqid 2283 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN0  |->  ( 2  /  ( ( 3  x.  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ k
) ) ) )  =  ( k  e. 
NN0  |->  ( 2  / 
( ( 3  x.  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  x.  (
9 ^ k ) ) ) )
11 ovex 5883 . . . . . . . 8  |-  ( 2  /  ( ( 3  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ n
) ) )  e. 
_V
129, 10, 11fvmpt 5602 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( ( k  e.  NN0  |->  ( 2  /  ( ( 3  x.  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ k
) ) ) ) `
 n )  =  ( 2  /  (
( 3  x.  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ n ) ) ) )
1312adantl 452 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( ( k  e. 
NN0  |->  ( 2  / 
( ( 3  x.  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  x.  (
9 ^ k ) ) ) ) `  n )  =  ( 2  /  ( ( 3  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ n ) ) ) )
14 2re 9815 . . . . . . . 8  |-  2  e.  RR
15 3nn 9878 . . . . . . . . . 10  |-  3  e.  NN
16 2nn0 9982 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  e.  NN0
17 simpr 447 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )  ->  n  e.  NN0 )
18 nn0mulcl 10000 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( 2  x.  n
)  e.  NN0 )
1916, 17, 18sylancr 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( 2  x.  n
)  e.  NN0 )
20 nn0p1nn 10003 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  x.  n )  e.  NN0  ->  ( ( 2  x.  n )  +  1 )  e.  NN )
2119, 20syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( ( 2  x.  n )  +  1 )  e.  NN )
22 nnmulcl 9769 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 3  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  n )  +  1 )  e.  NN )  ->  ( 3  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  e.  NN )
2315, 21, 22sylancr 644 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( 3  x.  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) )  e.  NN )
24 9nn 9884 . . . . . . . . . 10  |-  9  e.  NN
25 nnexpcl 11116 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 9  e.  NN  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( 9 ^ n
)  e.  NN )
2624, 17, 25sylancr 644 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( 9 ^ n
)  e.  NN )
2723, 26nnmulcld 9793 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( ( 3  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  x.  (
9 ^ n ) )  e.  NN )
28 nndivre 9781 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( ( 3  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  x.  (
9 ^ n ) )  e.  NN )  ->  ( 2  / 
( ( 3  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  x.  (
9 ^ n ) ) )  e.  RR )
2914, 27, 28sylancr 644 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( 2  /  (
( 3  x.  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ n ) ) )  e.  RR )
3029recnd 8861 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( 2  /  (
( 3  x.  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ n ) ) )  e.  CC )
3110log2cnv 20240 . . . . . . 7  |-  seq  0
(  +  ,  ( k  e.  NN0  |->  ( 2  /  ( ( 3  x.  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ k
) ) ) ) )  ~~>  ( log `  2
)
3231a1i 10 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  seq  0
(  +  ,  ( k  e.  NN0  |->  ( 2  /  ( ( 3  x.  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ k
) ) ) ) )  ~~>  ( log `  2
) )
331, 3, 13, 30, 32isumclim 12220 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  sum_ n  e.  NN0  ( 2  / 
( ( 3  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  x.  (
9 ^ n ) ) )  =  ( log `  2 ) )
34 eqid 2283 . . . . . 6  |-  ( ZZ>= `  N )  =  (
ZZ>= `  N )
35 id 19 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e. 
NN0 )
36 seqex 11048 . . . . . . . 8  |-  seq  0
(  +  ,  ( k  e.  NN0  |->  ( 2  /  ( ( 3  x.  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ k
) ) ) ) )  e.  _V
37 fvex 5539 . . . . . . . 8  |-  ( log `  2 )  e. 
_V
3836, 37breldm 4883 . . . . . . 7  |-  (  seq  0 (  +  , 
( k  e.  NN0  |->  ( 2  /  (
( 3  x.  (
( 2  x.  k
)  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ k ) ) ) ) )  ~~>  ( log `  2 )  ->  seq  0 (  +  , 
( k  e.  NN0  |->  ( 2  /  (
( 3  x.  (
( 2  x.  k
)  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ k ) ) ) ) )  e. 
dom 
~~>  )
3931, 38mp1i 11 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  seq  0
(  +  ,  ( k  e.  NN0  |->  ( 2  /  ( ( 3  x.  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ k
) ) ) ) )  e.  dom  ~~>  )
401, 34, 35, 13, 30, 39isumsplit 12299 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  sum_ n  e.  NN0  ( 2  / 
( ( 3  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  x.  (
9 ^ n ) ) )  =  (
sum_ n  e.  (
0 ... ( N  - 
1 ) ) ( 2  /  ( ( 3  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ n ) ) )  +  sum_ n  e.  (
ZZ>= `  N ) ( 2  /  ( ( 3  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ n ) ) ) ) )
4133, 40eqtr3d 2317 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( log `  2 )  =  ( sum_ n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( 2  /  (
( 3  x.  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ n ) ) )  +  sum_ n  e.  ( ZZ>= `  N )
( 2  /  (
( 3  x.  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ n ) ) ) ) )
4241oveq1d 5873 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( log `  2 )  -  sum_ n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( 2  /  (
( 3  x.  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ n ) ) ) )  =  ( ( sum_ n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( 2  /  (
( 3  x.  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ n ) ) )  +  sum_ n  e.  ( ZZ>= `  N )
( 2  /  (
( 3  x.  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ n ) ) ) )  -  sum_ n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( 2  /  ( ( 3  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ n
) ) ) ) )
43 fzfid 11035 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  e. 
Fin )
44 elfznn0 10822 . . . . . 6  |-  ( n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) )  ->  n  e.  NN0 )
4544, 30sylan2 460 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  ( 2  / 
( ( 3  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  x.  (
9 ^ n ) ) )  e.  CC )
4643, 45fsumcl 12206 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  sum_ n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( 2  / 
( ( 3  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  x.  (
9 ^ n ) ) )  e.  CC )
47 nn0z 10046 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  ZZ )
48 eluznn0 10288 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N ) )  ->  n  e.  NN0 )
4948, 12syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
( ( k  e. 
NN0  |->  ( 2  / 
( ( 3  x.  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  x.  (
9 ^ k ) ) ) ) `  n )  =  ( 2  /  ( ( 3  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ n ) ) ) )
5048, 29syldan 456 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
( 2  /  (
( 3  x.  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ n ) ) )  e.  RR )
5113, 30eqeltrd 2357 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( ( k  e. 
NN0  |->  ( 2  / 
( ( 3  x.  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  x.  (
9 ^ k ) ) ) ) `  n )  e.  CC )
521, 35, 51iserex 12130 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  ->  (  seq  0 (  +  , 
( k  e.  NN0  |->  ( 2  /  (
( 3  x.  (
( 2  x.  k
)  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ k ) ) ) ) )  e. 
dom 
~~> 
<->  seq  N (  +  ,  ( k  e. 
NN0  |->  ( 2  / 
( ( 3  x.  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  x.  (
9 ^ k ) ) ) ) )  e.  dom  ~~>  ) )
5339, 52mpbid 201 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  seq  N
(  +  ,  ( k  e.  NN0  |->  ( 2  /  ( ( 3  x.  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ k
) ) ) ) )  e.  dom  ~~>  )
5434, 47, 49, 50, 53isumrecl 12228 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  sum_ n  e.  ( ZZ>= `  N )
( 2  /  (
( 3  x.  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ n ) ) )  e.  RR )
5554recnd 8861 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  sum_ n  e.  ( ZZ>= `  N )
( 2  /  (
( 3  x.  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ n ) ) )  e.  CC )
5646, 55pncan2d 9159 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( (
sum_ n  e.  (
0 ... ( N  - 
1 ) ) ( 2  /  ( ( 3  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ n ) ) )  +  sum_ n  e.  (
ZZ>= `  N ) ( 2  /  ( ( 3  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ n ) ) ) )  -  sum_ n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( 2  / 
( ( 3  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  x.  (
9 ^ n ) ) ) )  = 
sum_ n  e.  ( ZZ>=
`  N ) ( 2  /  ( ( 3  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ n ) ) ) )
5742, 56eqtrd 2315 . 2  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( log `  2 )  -  sum_ n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( 2  /  (
( 3  x.  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ n ) ) ) )  =  sum_ n  e.  ( ZZ>= `  N
) ( 2  / 
( ( 3  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  x.  (
9 ^ n ) ) ) )
5814a1i 10 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )  -> 
2  e.  RR )
5916nn0ge0i 9993 . . . . . . 7  |-  0  <_  2
6059a1i 10 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )  -> 
0  <_  2 )
6127nnred 9761 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( ( 3  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  x.  (
9 ^ n ) )  e.  RR )
6227nngt0d 9789 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )  -> 
0  <  ( (
3  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ n ) ) )
63 divge0 9625 . . . . . 6  |-  ( ( ( 2  e.  RR  /\  0  <_  2 )  /\  ( ( ( 3  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ n ) )  e.  RR  /\  0  < 
( ( 3  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  x.  (
9 ^ n ) ) ) )  -> 
0  <_  ( 2  /  ( ( 3  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ n
) ) ) )
6458, 60, 61, 62, 63syl22anc 1183 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )  -> 
0  <_  ( 2  /  ( ( 3  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ n
) ) ) )
6548, 64syldan 456 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
0  <_  ( 2  /  ( ( 3  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ n
) ) ) )
6634, 47, 49, 50, 53, 65isumge0 12229 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  0  <_  sum_ n  e.  ( ZZ>= `  N ) ( 2  /  ( ( 3  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ n
) ) ) )
67 oveq2 5866 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  n  ->  (
( 1  /  9
) ^ k )  =  ( ( 1  /  9 ) ^
n ) )
6867oveq2d 5874 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  n  ->  (
( 2  /  (
3  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) )  x.  ( ( 1  /  9 ) ^ k ) )  =  ( ( 2  /  ( 3  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) )  x.  ( ( 1  / 
9 ) ^ n
) ) )
69 eqid 2283 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN0  |->  ( ( 2  /  ( 3  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) )  x.  ( ( 1  /  9 ) ^
k ) ) )  =  ( k  e. 
NN0  |->  ( ( 2  /  ( 3  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) )  x.  ( ( 1  / 
9 ) ^ k
) ) )
70 ovex 5883 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2  /  ( 3  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) )  x.  ( ( 1  /  9 ) ^
n ) )  e. 
_V
7168, 69, 70fvmpt 5602 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( ( k  e.  NN0  |->  ( ( 2  /  ( 3  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) )  x.  ( ( 1  /  9 ) ^
k ) ) ) `
 n )  =  ( ( 2  / 
( 3  x.  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) ) )  x.  (
( 1  /  9
) ^ n ) ) )
7271adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( ( k  e. 
NN0  |->  ( ( 2  /  ( 3  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) )  x.  ( ( 1  / 
9 ) ^ k
) ) ) `  n )  =  ( ( 2  /  (
3  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) )  x.  ( ( 1  /  9 ) ^ n ) ) )
73 9re 9825 . . . . . . . . . . . 12  |-  9  e.  RR
7473recni 8849 . . . . . . . . . . 11  |-  9  e.  CC
7574a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )  -> 
9  e.  CC )
7624nnne0i 9780 . . . . . . . . . . 11  |-  9  =/=  0
7776a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )  -> 
9  =/=  0 )
78 nn0z 10046 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN0  ->  n  e.  ZZ )
7978adantl 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )  ->  n  e.  ZZ )
8075, 77, 79exprecd 11253 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( ( 1  / 
9 ) ^ n
)  =  ( 1  /  ( 9 ^ n ) ) )
8180oveq2d 5874 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( ( 2  / 
( 3  x.  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) ) )  x.  (
( 1  /  9
) ^ n ) )  =  ( ( 2  /  ( 3  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) )  x.  ( 1  / 
( 9 ^ n
) ) ) )
82 nn0mulcl 10000 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 2  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( 2  x.  N
)  e.  NN0 )
8316, 82mpan 651 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 2  x.  N )  e. 
NN0 )
84 nn0p1nn 10003 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 2  x.  N )  e.  NN0  ->  ( ( 2  x.  N )  +  1 )  e.  NN )
8583, 84syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( 2  x.  N )  +  1 )  e.  NN )
86 nnmulcl 9769 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 3  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  N )  +  1 )  e.  NN )  ->  ( 3  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  e.  NN )
8715, 85, 86sylancr 644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 3  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  e.  NN )
88 nndivre 9781 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( 3  x.  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) )  e.  NN )  ->  ( 2  / 
( 3  x.  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) ) )  e.  RR )
8914, 87, 88sylancr 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 2  /  ( 3  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) )  e.  RR )
9089recnd 8861 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 2  /  ( 3  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) )  e.  CC )
9190adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( 2  /  (
3  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) )  e.  CC )
9226nncnd 9762 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( 9 ^ n
)  e.  CC )
9326nnne0d 9790 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( 9 ^ n
)  =/=  0 )
9491, 92, 93divrecd 9539 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( ( 2  / 
( 3  x.  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) ) )  /  (
9 ^ n ) )  =  ( ( 2  /  ( 3  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) )  x.  ( 1  / 
( 9 ^ n
) ) ) )
9558recnd 8861 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )  -> 
2  e.  CC )
9687adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( 3  x.  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) )  e.  NN )
9796nncnd 9762 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( 3  x.  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) )  e.  CC )
9896nnne0d 9790 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( 3  x.  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) )  =/=  0 )
9995, 97, 92, 98, 93divdiv1d 9567 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( ( 2  / 
( 3  x.  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) ) )  /  (
9 ^ n ) )  =  ( 2  /  ( ( 3  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ n
) ) ) )
10081, 94, 993eqtr2d 2321 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( ( 2  / 
( 3  x.  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) ) )  x.  (
( 1  /  9
) ^ n ) )  =  ( 2  /  ( ( 3  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ n
) ) ) )
10172, 100eqtrd 2315 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( ( k  e. 
NN0  |->  ( ( 2  /  ( 3  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) )  x.  ( ( 1  / 
9 ) ^ k
) ) ) `  n )  =  ( 2  /  ( ( 3  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ n ) ) ) )
10248, 101syldan 456 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
( ( k  e. 
NN0  |->  ( ( 2  /  ( 3  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) )  x.  ( ( 1  / 
9 ) ^ k
) ) ) `  n )  =  ( 2  /  ( ( 3  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ n ) ) ) )
10396, 26nnmulcld 9793 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( ( 3  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  x.  (
9 ^ n ) )  e.  NN )
104 nndivre 9781 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( ( 3  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  x.  (
9 ^ n ) )  e.  NN )  ->  ( 2  / 
( ( 3  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  x.  (
9 ^ n ) ) )  e.  RR )
10514, 103, 104sylancr 644 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( 2  /  (
( 3  x.  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ n ) ) )  e.  RR )
10648, 105syldan 456 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
( 2  /  (
( 3  x.  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ n ) ) )  e.  RR )
10783adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
( 2  x.  N
)  e.  NN0 )
108107nn0red 10019 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
( 2  x.  N
)  e.  RR )
10916, 48, 18sylancr 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
( 2  x.  n
)  e.  NN0 )
110109nn0red 10019 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
( 2  x.  n
)  e.  RR )
111 1re 8837 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  RR
112111a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
1  e.  RR )
113 eluzle 10240 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  N
)  ->  N  <_  n )
114113adantl 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N ) )  ->  N  <_  n )
115 nn0re 9974 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  RR )
116115adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N ) )  ->  N  e.  RR )
11748nn0red 10019 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N ) )  ->  n  e.  RR )
11814a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
2  e.  RR )
119 2pos 9828 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  <  2
120119a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
0  <  2 )
121 lemul2 9609 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  RR  /\  n  e.  RR  /\  (
2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( N  <_  n 
<->  ( 2  x.  N
)  <_  ( 2  x.  n ) ) )
122116, 117, 118, 120, 121syl112anc 1186 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
( N  <_  n  <->  ( 2  x.  N )  <_  ( 2  x.  n ) ) )
123114, 122mpbid 201 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
( 2  x.  N
)  <_  ( 2  x.  n ) )
124108, 110, 112, 123leadd1dd 9386 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
( ( 2  x.  N )  +  1 )  <_  ( (
2  x.  n )  +  1 ) )
12585adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
( ( 2  x.  N )  +  1 )  e.  NN )
126125nnred 9761 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
( ( 2  x.  N )  +  1 )  e.  RR )
12748, 21syldan 456 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
( ( 2  x.  n )  +  1 )  e.  NN )
128127nnred 9761 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
( ( 2  x.  n )  +  1 )  e.  RR )
129 3re 9817 . . . . . . . . . 10  |-  3  e.  RR
130129a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
3  e.  RR )
131 3pos 9830 . . . . . . . . . 10  |-  0  <  3
132131a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
0  <  3 )
133 lemul2 9609 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  e.  RR  /\  ( ( 2  x.  n )  +  1 )  e.  RR  /\  ( 3  e.  RR  /\  0  <  3 ) )  ->  ( (
( 2  x.  N
)  +  1 )  <_  ( ( 2  x.  n )  +  1 )  <->  ( 3  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  <_ 
( 3  x.  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) ) ) )
134126, 128, 130, 132, 133syl112anc 1186 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  <_  (
( 2  x.  n
)  +  1 )  <-> 
( 3  x.  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) )  <_  ( 3  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) )
135124, 134mpbid 201 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
( 3  x.  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) )  <_  ( 3  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) )
13687adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
( 3  x.  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) )  e.  NN )
137136nnred 9761 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
( 3  x.  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) )  e.  RR )
13848, 23syldan 456 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
( 3  x.  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) )  e.  NN )
139138nnred 9761 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
( 3  x.  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) )  e.  RR )
14024, 48, 25sylancr 644 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
( 9 ^ n
)  e.  NN )
141140nnred 9761 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
( 9 ^ n
)  e.  RR )
142140nngt0d 9789 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
0  <  ( 9 ^ n ) )
143 lemul1 9608 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 3  x.  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) )  e.  RR  /\  ( 3  x.  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) )  e.  RR  /\  ( ( 9 ^ n )  e.  RR  /\  0  <  ( 9 ^ n ) ) )  ->  ( (
3  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  <_  ( 3  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  <->  ( (
3  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ n ) )  <_ 
( ( 3  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  x.  (
9 ^ n ) ) ) )
144137, 139, 141, 142, 143syl112anc 1186 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
( ( 3  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  <_  (
3  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  <-> 
( ( 3  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  x.  (
9 ^ n ) )  <_  ( (
3  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ n ) ) ) )
145135, 144mpbid 201 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
( ( 3  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  x.  (
9 ^ n ) )  <_  ( (
3  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ n ) ) )
14648, 103syldan 456 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
( ( 3  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  x.  (
9 ^ n ) )  e.  NN )
147146nnred 9761 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
( ( 3  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  x.  (
9 ^ n ) )  e.  RR )
148146nngt0d 9789 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
0  <  ( (
3  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ n ) ) )
14948, 61syldan 456 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
( ( 3  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  x.  (
9 ^ n ) )  e.  RR )
15048, 62syldan 456 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
0  <  ( (
3  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ n ) ) )
151 lediv2 9646 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( 3  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ n
) )  e.  RR  /\  0  <  ( ( 3  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ n ) ) )  /\  ( ( ( 3  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ n ) )  e.  RR  /\  0  < 
( ( 3  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  x.  (
9 ^ n ) ) )  /\  (
2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( ( ( 3  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ n ) )  <_ 
( ( 3  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  x.  (
9 ^ n ) )  <->  ( 2  / 
( ( 3  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  x.  (
9 ^ n ) ) )  <_  (
2  /  ( ( 3  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ n ) ) ) ) )
152147, 148, 149, 150, 118, 120, 151syl222anc 1198 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
( ( ( 3  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ n
) )  <_  (
( 3  x.  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ n ) )  <-> 
( 2  /  (
( 3  x.  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ n ) ) )  <_  ( 2  /  ( ( 3  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ n
) ) ) ) )
153145, 152mpbid 201 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
( 2  /  (
( 3  x.  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ n ) ) )  <_  ( 2  /  ( ( 3  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ n
) ) ) )
15473, 76rereccli 9525 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  /  9 )  e.  RR
155154recni 8849 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  /  9 )  e.  CC
156155a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 1  /  9 )  e.  CC )
157 0re 8838 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  e.  RR
158 9pos 9837 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  <  9
15973, 158recgt0ii 9662 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  <  ( 1  /  9
)
160157, 154, 159ltleii 8941 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  <_  ( 1  /  9
)
161 absid 11781 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 1  /  9
)  e.  RR  /\  0  <_  ( 1  / 
9 ) )  -> 
( abs `  (
1  /  9 ) )  =  ( 1  /  9 ) )
162154, 160, 161mp2an 653 . . . . . . . . . . 11  |-  ( abs `  ( 1  /  9
) )  =  ( 1  /  9 )
163 1lt9 9921 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  <  9
164 recgt1i 9653 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 9  e.  RR  /\  1  <  9 )  -> 
( 0  <  (
1  /  9 )  /\  ( 1  / 
9 )  <  1
) )
16573, 163, 164mp2an 653 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0  <  ( 1  / 
9 )  /\  (
1  /  9 )  <  1 )
166165simpri 448 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  /  9 )  <  1
167162, 166eqbrtri 4042 . . . . . . . . . 10  |-  ( abs `  ( 1  /  9
) )  <  1
168167a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( abs `  ( 1  /  9
) )  <  1
)
169 eqid 2283 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN0  |->  ( ( 1  /  9 ) ^ k ) )  =  ( k  e. 
NN0  |->  ( ( 1  /  9 ) ^
k ) )
170 ovex 5883 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1  /  9 ) ^ n )  e. 
_V
17167, 169, 170fvmpt 5602 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( ( k  e.  NN0  |->  ( ( 1  /  9 ) ^ k ) ) `
 n )  =  ( ( 1  / 
9 ) ^ n
) )
17248, 171syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
( ( k  e. 
NN0  |->  ( ( 1  /  9 ) ^
k ) ) `  n )  =  ( ( 1  /  9
) ^ n ) )
173156, 168, 35, 172geolim2 12327 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN0  ->  seq  N
(  +  ,  ( k  e.  NN0  |->  ( ( 1  /  9 ) ^ k ) ) )  ~~>  ( ( ( 1  /  9 ) ^ N )  / 
( 1  -  (
1  /  9 ) ) ) )
17474a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN0  ->  9  e.  CC )
17576a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN0  ->  9  =/=  0 )
176174, 175, 47exprecd 11253 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( 1  /  9 ) ^ N )  =  ( 1  /  (
9 ^ N ) ) )
17774, 76dividi 9493 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 9  /  9 )  =  1
178177oveq1i 5868 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 9  /  9 )  -  ( 1  / 
9 ) )  =  ( 1  -  (
1  /  9 ) )
179 ax-1cn 8795 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  e.  CC
18074, 76pm3.2i 441 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 9  e.  CC  /\  9  =/=  0 )
181 divsubdir 9456 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 9  e.  CC  /\  1  e.  CC  /\  (
9  e.  CC  /\  9  =/=  0 ) )  ->  ( ( 9  -  1 )  / 
9 )  =  ( ( 9  /  9
)  -  ( 1  /  9 ) ) )
18274, 179, 180, 181mp3an 1277 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 9  -  1 )  /  9 )  =  ( ( 9  / 
9 )  -  (
1  /  9 ) )
183 df-9 9811 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  9  =  ( 8  +  1 )
184183oveq1i 5868 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 9  -  1 )  =  ( ( 8  +  1 )  -  1 )
185 8re 9824 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  8  e.  RR
186185recni 8849 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  8  e.  CC
187 pncan 9057 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 8  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( 8  +  1 )  -  1 )  =  8 )
188186, 179, 187mp2an 653 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 8  +  1 )  -  1 )  =  8
189184, 188eqtri 2303 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 9  -  1 )  =  8
190189oveq1i 5868 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 9  -  1 )  /  9 )  =  ( 8  /  9
)
191182, 190eqtr3i 2305 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 9  /  9 )  -  ( 1  / 
9 ) )  =  ( 8  /  9
)
192178, 191eqtr3i 2305 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  -  ( 1  / 
9 ) )  =  ( 8  /  9
)
193192a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 1  -  ( 1  / 
9 ) )  =  ( 8  /  9
) )
194176, 193oveq12d 5876 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( ( 1  /  9
) ^ N )  /  ( 1  -  ( 1  /  9
) ) )  =  ( ( 1  / 
( 9 ^ N
) )  /  (
8  /  9 ) ) )
195179a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN0  ->  1  e.  CC )
196 nnexpcl 11116 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 9  e.  NN  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( 9 ^ N
)  e.  NN )
19724, 196mpan 651 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 9 ^ N )  e.  NN )
198197nncnd 9762 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 9 ^ N )  e.  CC )
199186, 74, 76divcli 9502 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 8  /  9 )  e.  CC
200199a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 8  /  9 )  e.  CC )
201197nnne0d 9790 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 9 ^ N )  =/=  0 )
202 8nn 9883 . . . . . . . . . . . . 13  |-  8  e.  NN
203202nnne0i 9780 . . . . . . . . . . . 12  |-  8  =/=  0
204186, 74, 203, 76divne0i 9508 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 8  /  9 )  =/=  0
205204a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 8  /  9 )  =/=  0 )
206195, 198, 200, 201, 205divdiv32d 9561 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( 1  /  ( 9 ^ N ) )  /  ( 8  / 
9 ) )  =  ( ( 1  / 
( 8  /  9
) )  /  (
9 ^ N ) ) )
207 recdiv 9466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 8  e.  CC  /\  8  =/=  0 )  /\  ( 9  e.  CC  /\  9  =/=  0 ) )  -> 
( 1  /  (
8  /  9 ) )  =  ( 9  /  8 ) )
208186, 203, 74, 76, 207mp4an 654 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  /  ( 8  / 
9 ) )  =  ( 9  /  8
)
209208oveq1i 5868 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1  /  ( 8  /  9 ) )  /  ( 9 ^ N ) )  =  ( ( 9  / 
8 )  /  (
9 ^ N ) )
210186a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN0  ->  8  e.  CC )
211203a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN0  ->  8  =/=  0 )
212174, 210, 198, 211, 201divdiv1d 9567 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( 9  /  8 )  /  ( 9 ^ N ) )  =  ( 9  /  (
8  x.  ( 9 ^ N ) ) ) )
213209, 212syl5eq 2327 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( 1  /  ( 8  /  9 ) )  /  ( 9 ^ N ) )  =  ( 9  /  (
8  x.  ( 9 ^ N ) ) ) )
214194, 206, 2133eqtrd 2319 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( ( 1  /  9
) ^ N )  /  ( 1  -  ( 1  /  9
) ) )  =  ( 9  /  (
8  x.  ( 9 ^ N ) ) ) )
215173, 214breqtrd 4047 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  ->  seq  N
(  +  ,  ( k  e.  NN0  |->  ( ( 1  /  9 ) ^ k ) ) )  ~~>  ( 9  / 
( 8  x.  (
9 ^ N ) ) ) )
216 expcl 11121 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 1  /  9
)  e.  CC  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( ( 1  / 
9 ) ^ n
)  e.  CC )
217155, 48, 216sylancr 644 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
( ( 1  / 
9 ) ^ n
)  e.  CC )
218172, 217eqeltrd 2357 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
( ( k  e. 
NN0  |->  ( ( 1  /  9 ) ^
k ) ) `  n )  e.  CC )
21948, 71syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
( ( k  e. 
NN0  |->  ( ( 2  /  ( 3  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) )  x.  ( ( 1  / 
9 ) ^ k
) ) ) `  n )  =  ( ( 2  /  (
3  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) )  x.  ( ( 1  /  9 ) ^ n ) ) )
220172oveq2d 5874 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
( ( 2  / 
( 3  x.  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) ) )  x.  (
( k  e.  NN0  |->  ( ( 1  / 
9 ) ^ k
) ) `  n
) )  =  ( ( 2  /  (
3  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) )  x.  ( ( 1  /  9 ) ^ n ) ) )
221219, 220eqtr4d 2318 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
( ( k  e. 
NN0  |->  ( ( 2  /  ( 3  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) )  x.  ( ( 1  / 
9 ) ^ k
) ) ) `  n )  =  ( ( 2  /  (
3  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) )  x.  ( ( k  e.  NN0  |->  ( ( 1  /  9 ) ^ k ) ) `
 n ) ) )
22234, 47, 90, 215, 218, 221isermulc2 12131 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  seq  N
(  +  ,  ( k  e.  NN0  |->  ( ( 2  /  ( 3  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) )  x.  ( ( 1  /  9 ) ^
k ) ) ) )  ~~>  ( ( 2  /  ( 3  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) )  x.  ( 9  /  (
8  x.  ( 9 ^ N ) ) ) ) )
223 seqex 11048 . . . . . . 7  |-  seq  N
(  +  ,  ( k  e.  NN0  |->  ( ( 2  /  ( 3  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) )  x.  ( ( 1  /  9 ) ^
k ) ) ) )  e.  _V
224 ovex 5883 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  /  ( 3  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) )  x.  ( 9  / 
( 8  x.  (
9 ^ N ) ) ) )  e. 
_V
225223, 224breldm 4883 . . . . . 6  |-  (  seq 
N (  +  , 
( k  e.  NN0  |->  ( ( 2  / 
( 3  x.  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) ) )  x.  (
( 1  /  9
) ^ k ) ) ) )  ~~>  ( ( 2  /  ( 3  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) )  x.  ( 9  / 
( 8  x.  (
9 ^ N ) ) ) )  ->  seq  N (  +  , 
( k  e.  NN0  |->  ( ( 2  / 
( 3  x.  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) ) )  x.  (
( 1  /  9
) ^ k ) ) ) )  e. 
dom 
~~>  )
226222, 225syl 15 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  seq  N
(  +  ,  ( k  e.  NN0  |->  ( ( 2  /  ( 3  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) )  x.  ( ( 1  /  9 ) ^
k ) ) ) )  e.  dom  ~~>  )
22734, 47, 49, 50, 102, 106, 153, 53, 226isumle 12303 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  sum_ n  e.  ( ZZ>= `  N )
( 2  /  (
( 3  x.  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ n ) ) )  <_  sum_ n  e.  ( ZZ>= `  N )
( 2  /  (
( 3  x.  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ n ) ) ) )
228106recnd 8861 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
( 2  /  (
( 3  x.  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ n ) ) )  e.  CC )
229 3cn 9818 . . . . . . . . . . . 12  |-  3  e.  CC
230 4cn 9820 . . . . . . . . . . . 12  |-  4  e.  CC
231 2cn 9816 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  e.  CC
232 4nn 9879 . . . . . . . . . . . . 13  |-  4  e.  NN
233232nnne0i 9780 . . . . . . . . . . . 12  |-  4  =/=  0
234 3ne0 9831 . . . . . . . . . . . 12  |-  3  =/=  0
235 2ne0 9829 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  =/=  0
236229, 230, 231, 229, 233, 234, 235divdivdivi 9523 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 3  /  4 )  /  ( 2  / 
3 ) )  =  ( ( 3  x.  3 )  /  (
4  x.  2 ) )
237 3t3e9 9873 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 3  x.  3 )  =  9
238 4t2e8 9874 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 4  x.  2 )  =  8
239237, 238oveq12i 5870 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 3  x.  3 )  /  ( 4  x.  2 ) )  =  ( 9  /  8
)
240236, 239eqtri 2303 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 3  /  4 )  /  ( 2  / 
3 ) )  =  ( 9  /  8
)
241240oveq2i 5869 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2  /  3 )  x.  ( ( 3  /  4 )  / 
( 2  /  3
) ) )  =  ( ( 2  / 
3 )  x.  (
9  /  8 ) )
242229, 230, 233divcli 9502 . . . . . . . . . 10  |-  ( 3  /  4 )  e.  CC
243231, 229, 234divcli 9502 . . . . . . . . . 10  |-  ( 2  /  3 )  e.  CC
244231, 229, 235, 234divne0i 9508 . . . . . . . . . 10  |-  ( 2  /  3 )  =/=  0
245242, 243, 244divcan2i 9503 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2  /  3 )  x.  ( ( 3  /  4 )  / 
( 2  /  3
) ) )  =  ( 3  /  4
)
246241, 245eqtr3i 2305 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2  /  3 )  x.  ( 9  / 
8 ) )  =  ( 3  /  4
)
247246oveq1i 5868 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 2  /  3
)  x.  ( 9  /  8 ) )  /  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  x.  ( 9 ^ N
) ) )  =  ( ( 3  / 
4 )  /  (
( ( 2  x.  N )  +  1 )  x.  ( 9 ^ N ) ) )
248231a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN0  ->  2  e.  CC )
249229a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN0  ->  3  e.  CC )
25085nncnd 9762 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( 2  x.  N )  +  1 )  e.  CC )
251234a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN0  ->  3  =/=  0 )
25285nnne0d 9790 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( 2  x.  N )  +  1 )  =/=  0 )
253248, 249, 250, 251, 252divdiv1d 9567 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( 2  /  3 )  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  =  ( 2  /  (
3  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ) )
254253, 212oveq12d 5876 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( ( 2  /  3
)  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  x.  ( ( 9  /  8 )  / 
( 9 ^ N
) ) )  =  ( ( 2  / 
( 3  x.  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) ) )  x.  (
9  /  ( 8  x.  ( 9 ^ N ) ) ) ) )
255243a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 2  /  3 )  e.  CC )
25674, 186, 203divcli 9502 . . . . . . . . . 10  |-  ( 9  /  8 )  e.  CC
257256a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 9  /  8 )  e.  CC )
258255, 250, 257, 198, 252, 201divmuldivd 9577 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( ( 2  /  3
)  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  x.  ( ( 9  /  8 )  / 
( 9 ^ N
) ) )  =  ( ( ( 2  /  3 )  x.  ( 9  /  8
) )  /  (
( ( 2  x.  N )  +  1 )  x.  ( 9 ^ N ) ) ) )
259254, 258eqtr3d 2317 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( 2  /  ( 3  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) )  x.  ( 9  / 
( 8  x.  (
9 ^ N ) ) ) )  =  ( ( ( 2  /  3 )  x.  ( 9  /  8
) )  /  (
( ( 2  x.  N )  +  1 )  x.  ( 9 ^ N ) ) ) )
260230a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN0  ->  4  e.  CC )
261260, 250, 198mulassd 8858 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( 4  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ N ) )  =  ( 4  x.  (
( ( 2  x.  N )  +  1 )  x.  ( 9 ^ N ) ) ) )
262261oveq2d 5874 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 3  /  ( ( 4  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ N
) ) )  =  ( 3  /  (
4  x.  ( ( ( 2  x.  N
)  +  1 )  x.  ( 9 ^ N ) ) ) ) )
26385, 197nnmulcld 9793 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( ( 2  x.  N
)  +  1 )  x.  ( 9 ^ N ) )  e.  NN )
264263nncnd 9762 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( ( 2  x.  N
)  +  1 )  x.  ( 9 ^ N ) )  e.  CC )
265233a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN0  ->  4  =/=  0 )
266263nnne0d 9790 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( ( 2  x.  N
)  +  1 )  x.  ( 9 ^ N ) )  =/=  0 )
267249, 260, 264, 265, 266divdiv1d 9567 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( 3  /  4 )  /  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  x.  ( 9 ^ N
) ) )  =  ( 3  /  (
4  x.  ( ( ( 2  x.  N
)  +  1 )  x.  ( 9 ^ N ) ) ) ) )
268262, 267eqtr4d 2318 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 3  /  ( ( 4  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ N
) ) )  =  ( ( 3  / 
4 )  /  (
( ( 2  x.  N )  +  1 )  x.  ( 9 ^ N ) ) ) )
269247, 259, 2683eqtr4a 2341 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( 2  /  ( 3  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) )  x.  ( 9  / 
( 8  x.  (
9 ^ N ) ) ) )  =  ( 3  /  (
( 4  x.  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ N ) ) ) )
270222, 269breqtrd 4047 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  seq  N
(  +  ,  ( k  e.  NN0  |->  ( ( 2  /  ( 3  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) )  x.  ( ( 1  /  9 ) ^
k ) ) ) )  ~~>  ( 3  / 
( ( 4  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  x.  (
9 ^ N ) ) ) )
27134, 47, 102, 228, 270isumclim 12220 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  sum_ n  e.  ( ZZ>= `  N )
( 2  /  (
( 3  x.  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ n ) ) )  =  ( 3  /  ( ( 4  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ N
) ) ) )
272227, 271breqtrd 4047 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  sum_ n  e.  ( ZZ>= `  N )
( 2  /  (
( 3  x.  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ n ) ) )  <_  ( 3  /  ( ( 4  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ N
) ) ) )
273 nnmulcl 9769 . . . . . . 7  |-  ( ( 4  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  N )  +  1 )  e.  NN )  ->  ( 4  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  e.  NN )
274232, 85, 273sylancr 644 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 4  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  e.  NN )
275274, 197nnmulcld 9793 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( 4  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ N ) )  e.  NN )
276 nndivre 9781 . . . . 5  |-  ( ( 3  e.  RR  /\  ( ( 4  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  x.  (
9 ^ N ) )  e.  NN )  ->  ( 3  / 
( ( 4  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  x.  (
9 ^ N ) ) )  e.  RR )
277129, 275, 276sylancr 644 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 3  /  ( ( 4  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ N
) ) )  e.  RR )
278 elicc2 10715 . . . 4  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( 3  /  (
( 4  x.  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ N ) ) )  e.  RR )  ->  ( sum_ n  e.  ( ZZ>= `  N )
( 2  /  (
( 3  x.  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ n ) ) )  e.  ( 0 [,] ( 3  / 
( ( 4  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  x.  (
9 ^ N ) ) ) )  <->  ( sum_ n  e.  ( ZZ>= `  N
) ( 2  / 
( ( 3  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  x.  (
9 ^ n ) ) )  e.  RR  /\  0  <_  sum_ n  e.  ( ZZ>= `  N )
( 2  /  (
( 3  x.  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ n ) ) )  /\  sum_ n  e.  ( ZZ>= `  N )
( 2  /  (
( 3  x.  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ n ) ) )  <_  ( 3  /  ( ( 4  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ N
) ) ) ) ) )
279157, 277, 278sylancr 644 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( sum_ n  e.  ( ZZ>= `  N
) ( 2  / 
( ( 3  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  x.  (
9 ^ n ) ) )  e.  ( 0 [,] ( 3  /  ( ( 4  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ N
) ) ) )  <-> 
( sum_ n  e.  (
ZZ>= `  N ) ( 2  /  ( ( 3  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ n ) ) )  e.  RR  /\  0  <_ 
sum_ n  e.  ( ZZ>=
`  N ) ( 2  /  ( ( 3  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ n ) ) )  /\  sum_ n  e.  (
ZZ>= `  N ) ( 2  /  ( ( 3  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ n ) ) )  <_  ( 3  / 
( ( 4  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  x.  (
9 ^ N ) ) ) ) ) )
28054, 66, 272, 279mpbir3and 1135 . 2  |-  ( N  e.  NN0  ->  sum_ n  e.  ( ZZ>= `  N )
( 2  /  (
( 3  x.  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ n ) ) )  e.  ( 0 [,] ( 3  / 
( ( 4  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  x.  (
9 ^ N ) ) ) ) )
28157, 280eqeltrd 2357 1  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( log `  2 )  -  sum_ n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( 2  /  (
( 3  x.  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ n ) ) ) )  e.  ( 0 [,] ( 3  /  ( ( 4  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ N
) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077   dom cdm 4689   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   CCcc 8735   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738    + caddc 8740    x. cmul 8742    < clt 8867    <_ cle 8868    - cmin 9037    / cdiv 9423   NNcn 9746   2c2 9795   3c3 9796   4c4 9797   8c8 9801   9c9 9802   NN0cn0 9965   ZZcz 10024   ZZ>=cuz 10230   [,]cicc 10659   ...cfz 10782    seq cseq 11046   ^cexp 11104   abscabs 11719    ~~> cli 11958   sum_csu 12158   logclog 19912
This theorem is referenced by:  log2ub  20245
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-addf 8816  ax-mulf 8817
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-fi 7165  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-ioo 10660  df-ioc 10661  df-ico 10662  df-icc 10663  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-mod 10974  df-seq 11047  df-exp 11105  df-fac 11289  df-bc 11316  df-hash 11338  df-shft 11562  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-limsup 11945  df-clim 11962  df-rlim 11963  df-sum 12159  df-ef 12349  df-sin 12351  df-cos 12352  df-tan 12353  df-pi 12354  df-dvds 12532  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-starv 13223  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-hom 13232  df-cco 13233  df-rest 13327  df-topn 13328  df-topgen 13344  df-pt 13345  df-prds 13348  df-xrs 13403  df-0g 13404  df-gsum 13405  df-qtop 13410  df-imas 13411  df-xps 13413  df-mre 13488  df-mrc 13489  df-acs 13491  df-mnd 14367  df-submnd 14416  df-mulg 14492  df-cntz 14793  df-cmn 15091  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-cnfld 16378  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-topsp 16640  df-cld 16756  df-ntr 16757  df-cls 16758  df-nei 16835  df-lp 16868  df-perf 16869  df-cn 16957  df-cnp 16958  df-haus 17043  df-cmp 17114  df-tx 17257  df-hmeo 17446  df-fbas 17520  df-fg 17521  df-fil 17541  df-fm 17633  df-flim 17634  df-flf 17635  df-xms 17885  df-ms 17886  df-tms 17887  df-cncf 18382  df-limc 19216  df-dv 19217  df-ulm 19756  df-log 19914  df-atan 20163
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