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Theorem log2tlbnd 20785
Description: Bound the error term in the series of log2cnv 20784. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
log2tlbnd  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( log `  2 )  -  sum_ n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( 2  /  (
( 3  x.  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ n ) ) ) )  e.  ( 0 [,] ( 3  /  ( ( 4  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ N
) ) ) ) )
Distinct variable group:    n, N

Proof of Theorem log2tlbnd
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0uz 10520 . . . . . 6  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
2 0z 10293 . . . . . . 7  |-  0  e.  ZZ
32a1i 11 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  0  e.  ZZ )
4 oveq2 6089 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  n  ->  (
2  x.  k )  =  ( 2  x.  n ) )
54oveq1d 6096 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  n  ->  (
( 2  x.  k
)  +  1 )  =  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )
65oveq2d 6097 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  n  ->  (
3  x.  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  =  ( 3  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) )
7 oveq2 6089 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  n  ->  (
9 ^ k )  =  ( 9 ^ n ) )
86, 7oveq12d 6099 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  n  ->  (
( 3  x.  (
( 2  x.  k
)  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ k ) )  =  ( ( 3  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ n
) ) )
98oveq2d 6097 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  n  ->  (
2  /  ( ( 3  x.  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ k ) ) )  =  ( 2  / 
( ( 3  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  x.  (
9 ^ n ) ) ) )
10 eqid 2436 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN0  |->  ( 2  /  ( ( 3  x.  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ k
) ) ) )  =  ( k  e. 
NN0  |->  ( 2  / 
( ( 3  x.  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  x.  (
9 ^ k ) ) ) )
11 ovex 6106 . . . . . . . 8  |-  ( 2  /  ( ( 3  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ n
) ) )  e. 
_V
129, 10, 11fvmpt 5806 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( ( k  e.  NN0  |->  ( 2  /  ( ( 3  x.  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ k
) ) ) ) `
 n )  =  ( 2  /  (
( 3  x.  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ n ) ) ) )
1312adantl 453 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( ( k  e. 
NN0  |->  ( 2  / 
( ( 3  x.  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  x.  (
9 ^ k ) ) ) ) `  n )  =  ( 2  /  ( ( 3  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ n ) ) ) )
14 2re 10069 . . . . . . . 8  |-  2  e.  RR
15 3nn 10134 . . . . . . . . . 10  |-  3  e.  NN
16 2nn0 10238 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  e.  NN0
17 simpr 448 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )  ->  n  e.  NN0 )
18 nn0mulcl 10256 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( 2  x.  n
)  e.  NN0 )
1916, 17, 18sylancr 645 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( 2  x.  n
)  e.  NN0 )
20 nn0p1nn 10259 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  x.  n )  e.  NN0  ->  ( ( 2  x.  n )  +  1 )  e.  NN )
2119, 20syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( ( 2  x.  n )  +  1 )  e.  NN )
22 nnmulcl 10023 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 3  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  n )  +  1 )  e.  NN )  ->  ( 3  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  e.  NN )
2315, 21, 22sylancr 645 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( 3  x.  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) )  e.  NN )
24 9nn 10140 . . . . . . . . . 10  |-  9  e.  NN
25 nnexpcl 11394 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 9  e.  NN  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( 9 ^ n
)  e.  NN )
2624, 17, 25sylancr 645 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( 9 ^ n
)  e.  NN )
2723, 26nnmulcld 10047 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( ( 3  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  x.  (
9 ^ n ) )  e.  NN )
28 nndivre 10035 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( ( 3  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  x.  (
9 ^ n ) )  e.  NN )  ->  ( 2  / 
( ( 3  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  x.  (
9 ^ n ) ) )  e.  RR )
2914, 27, 28sylancr 645 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( 2  /  (
( 3  x.  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ n ) ) )  e.  RR )
3029recnd 9114 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( 2  /  (
( 3  x.  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ n ) ) )  e.  CC )
3110log2cnv 20784 . . . . . . 7  |-  seq  0
(  +  ,  ( k  e.  NN0  |->  ( 2  /  ( ( 3  x.  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ k
) ) ) ) )  ~~>  ( log `  2
)
3231a1i 11 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  seq  0
(  +  ,  ( k  e.  NN0  |->  ( 2  /  ( ( 3  x.  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ k
) ) ) ) )  ~~>  ( log `  2
) )
331, 3, 13, 30, 32isumclim 12541 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  sum_ n  e.  NN0  ( 2  / 
( ( 3  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  x.  (
9 ^ n ) ) )  =  ( log `  2 ) )
34 eqid 2436 . . . . . 6  |-  ( ZZ>= `  N )  =  (
ZZ>= `  N )
35 id 20 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e. 
NN0 )
36 seqex 11325 . . . . . . . 8  |-  seq  0
(  +  ,  ( k  e.  NN0  |->  ( 2  /  ( ( 3  x.  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ k
) ) ) ) )  e.  _V
37 fvex 5742 . . . . . . . 8  |-  ( log `  2 )  e. 
_V
3836, 37breldm 5074 . . . . . . 7  |-  (  seq  0 (  +  , 
( k  e.  NN0  |->  ( 2  /  (
( 3  x.  (
( 2  x.  k
)  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ k ) ) ) ) )  ~~>  ( log `  2 )  ->  seq  0 (  +  , 
( k  e.  NN0  |->  ( 2  /  (
( 3  x.  (
( 2  x.  k
)  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ k ) ) ) ) )  e. 
dom 
~~>  )
3931, 38mp1i 12 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  seq  0
(  +  ,  ( k  e.  NN0  |->  ( 2  /  ( ( 3  x.  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ k
) ) ) ) )  e.  dom  ~~>  )
401, 34, 35, 13, 30, 39isumsplit 12620 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  sum_ n  e.  NN0  ( 2  / 
( ( 3  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  x.  (
9 ^ n ) ) )  =  (
sum_ n  e.  (
0 ... ( N  - 
1 ) ) ( 2  /  ( ( 3  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ n ) ) )  +  sum_ n  e.  (
ZZ>= `  N ) ( 2  /  ( ( 3  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ n ) ) ) ) )
4133, 40eqtr3d 2470 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( log `  2 )  =  ( sum_ n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( 2  /  (
( 3  x.  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ n ) ) )  +  sum_ n  e.  ( ZZ>= `  N )
( 2  /  (
( 3  x.  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ n ) ) ) ) )
4241oveq1d 6096 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( log `  2 )  -  sum_ n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( 2  /  (
( 3  x.  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ n ) ) ) )  =  ( ( sum_ n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( 2  /  (
( 3  x.  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ n ) ) )  +  sum_ n  e.  ( ZZ>= `  N )
( 2  /  (
( 3  x.  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ n ) ) ) )  -  sum_ n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( 2  /  ( ( 3  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ n
) ) ) ) )
43 fzfid 11312 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  e. 
Fin )
44 elfznn0 11083 . . . . . 6  |-  ( n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) )  ->  n  e.  NN0 )
4544, 30sylan2 461 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  ( 2  / 
( ( 3  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  x.  (
9 ^ n ) ) )  e.  CC )
4643, 45fsumcl 12527 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  sum_ n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( 2  / 
( ( 3  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  x.  (
9 ^ n ) ) )  e.  CC )
47 nn0z 10304 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  ZZ )
48 eluznn0 10546 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N ) )  ->  n  e.  NN0 )
4948, 12syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
( ( k  e. 
NN0  |->  ( 2  / 
( ( 3  x.  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  x.  (
9 ^ k ) ) ) ) `  n )  =  ( 2  /  ( ( 3  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ n ) ) ) )
5048, 29syldan 457 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
( 2  /  (
( 3  x.  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ n ) ) )  e.  RR )
5113, 30eqeltrd 2510 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( ( k  e. 
NN0  |->  ( 2  / 
( ( 3  x.  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  x.  (
9 ^ k ) ) ) ) `  n )  e.  CC )
521, 35, 51iserex 12450 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  ->  (  seq  0 (  +  , 
( k  e.  NN0  |->  ( 2  /  (
( 3  x.  (
( 2  x.  k
)  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ k ) ) ) ) )  e. 
dom 
~~> 
<->  seq  N (  +  ,  ( k  e. 
NN0  |->  ( 2  / 
( ( 3  x.  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  x.  (
9 ^ k ) ) ) ) )  e.  dom  ~~>  ) )
5339, 52mpbid 202 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  seq  N
(  +  ,  ( k  e.  NN0  |->  ( 2  /  ( ( 3  x.  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ k
) ) ) ) )  e.  dom  ~~>  )
5434, 47, 49, 50, 53isumrecl 12549 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  sum_ n  e.  ( ZZ>= `  N )
( 2  /  (
( 3  x.  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ n ) ) )  e.  RR )
5554recnd 9114 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  sum_ n  e.  ( ZZ>= `  N )
( 2  /  (
( 3  x.  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ n ) ) )  e.  CC )
5646, 55pncan2d 9413 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( (
sum_ n  e.  (
0 ... ( N  - 
1 ) ) ( 2  /  ( ( 3  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ n ) ) )  +  sum_ n  e.  (
ZZ>= `  N ) ( 2  /  ( ( 3  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ n ) ) ) )  -  sum_ n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( 2  / 
( ( 3  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  x.  (
9 ^ n ) ) ) )  = 
sum_ n  e.  ( ZZ>=
`  N ) ( 2  /  ( ( 3  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ n ) ) ) )
5742, 56eqtrd 2468 . 2  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( log `  2 )  -  sum_ n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( 2  /  (
( 3  x.  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ n ) ) ) )  =  sum_ n  e.  ( ZZ>= `  N
) ( 2  / 
( ( 3  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  x.  (
9 ^ n ) ) ) )
5814a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )  -> 
2  e.  RR )
5916nn0ge0i 10249 . . . . . . 7  |-  0  <_  2
6059a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )  -> 
0  <_  2 )
6127nnred 10015 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( ( 3  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  x.  (
9 ^ n ) )  e.  RR )
6227nngt0d 10043 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )  -> 
0  <  ( (
3  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ n ) ) )
63 divge0 9879 . . . . . 6  |-  ( ( ( 2  e.  RR  /\  0  <_  2 )  /\  ( ( ( 3  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ n ) )  e.  RR  /\  0  < 
( ( 3  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  x.  (
9 ^ n ) ) ) )  -> 
0  <_  ( 2  /  ( ( 3  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ n
) ) ) )
6458, 60, 61, 62, 63syl22anc 1185 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )  -> 
0  <_  ( 2  /  ( ( 3  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ n
) ) ) )
6548, 64syldan 457 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
0  <_  ( 2  /  ( ( 3  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ n
) ) ) )
6634, 47, 49, 50, 53, 65isumge0 12550 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  0  <_  sum_ n  e.  ( ZZ>= `  N ) ( 2  /  ( ( 3  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ n
) ) ) )
67 oveq2 6089 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  n  ->  (
( 1  /  9
) ^ k )  =  ( ( 1  /  9 ) ^
n ) )
6867oveq2d 6097 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  n  ->  (
( 2  /  (
3  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) )  x.  ( ( 1  /  9 ) ^ k ) )  =  ( ( 2  /  ( 3  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) )  x.  ( ( 1  / 
9 ) ^ n
) ) )
69 eqid 2436 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN0  |->  ( ( 2  /  ( 3  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) )  x.  ( ( 1  /  9 ) ^
k ) ) )  =  ( k  e. 
NN0  |->  ( ( 2  /  ( 3  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) )  x.  ( ( 1  / 
9 ) ^ k
) ) )
70 ovex 6106 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2  /  ( 3  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) )  x.  ( ( 1  /  9 ) ^
n ) )  e. 
_V
7168, 69, 70fvmpt 5806 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( ( k  e.  NN0  |->  ( ( 2  /  ( 3  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) )  x.  ( ( 1  /  9 ) ^
k ) ) ) `
 n )  =  ( ( 2  / 
( 3  x.  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) ) )  x.  (
( 1  /  9
) ^ n ) ) )
7271adantl 453 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( ( k  e. 
NN0  |->  ( ( 2  /  ( 3  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) )  x.  ( ( 1  / 
9 ) ^ k
) ) ) `  n )  =  ( ( 2  /  (
3  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) )  x.  ( ( 1  /  9 ) ^ n ) ) )
73 9re 10079 . . . . . . . . . . . 12  |-  9  e.  RR
7473recni 9102 . . . . . . . . . . 11  |-  9  e.  CC
7574a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )  -> 
9  e.  CC )
7624nnne0i 10034 . . . . . . . . . . 11  |-  9  =/=  0
7776a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )  -> 
9  =/=  0 )
78 nn0z 10304 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN0  ->  n  e.  ZZ )
7978adantl 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )  ->  n  e.  ZZ )
8075, 77, 79exprecd 11531 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( ( 1  / 
9 ) ^ n
)  =  ( 1  /  ( 9 ^ n ) ) )
8180oveq2d 6097 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( ( 2  / 
( 3  x.  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) ) )  x.  (
( 1  /  9
) ^ n ) )  =  ( ( 2  /  ( 3  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) )  x.  ( 1  / 
( 9 ^ n
) ) ) )
82 nn0mulcl 10256 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 2  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( 2  x.  N
)  e.  NN0 )
8316, 82mpan 652 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 2  x.  N )  e. 
NN0 )
84 nn0p1nn 10259 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 2  x.  N )  e.  NN0  ->  ( ( 2  x.  N )  +  1 )  e.  NN )
8583, 84syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( 2  x.  N )  +  1 )  e.  NN )
86 nnmulcl 10023 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 3  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  N )  +  1 )  e.  NN )  ->  ( 3  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  e.  NN )
8715, 85, 86sylancr 645 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 3  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  e.  NN )
88 nndivre 10035 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( 3  x.  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) )  e.  NN )  ->  ( 2  / 
( 3  x.  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) ) )  e.  RR )
8914, 87, 88sylancr 645 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 2  /  ( 3  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) )  e.  RR )
9089recnd 9114 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 2  /  ( 3  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) )  e.  CC )
9190adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( 2  /  (
3  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) )  e.  CC )
9226nncnd 10016 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( 9 ^ n
)  e.  CC )
9326nnne0d 10044 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( 9 ^ n
)  =/=  0 )
9491, 92, 93divrecd 9793 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( ( 2  / 
( 3  x.  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) ) )  /  (
9 ^ n ) )  =  ( ( 2  /  ( 3  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) )  x.  ( 1  / 
( 9 ^ n
) ) ) )
9558recnd 9114 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )  -> 
2  e.  CC )
9687adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( 3  x.  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) )  e.  NN )
9796nncnd 10016 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( 3  x.  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) )  e.  CC )
9896nnne0d 10044 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( 3  x.  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) )  =/=  0 )
9995, 97, 92, 98, 93divdiv1d 9821 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( ( 2  / 
( 3  x.  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) ) )  /  (
9 ^ n ) )  =  ( 2  /  ( ( 3  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ n
) ) ) )
10081, 94, 993eqtr2d 2474 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( ( 2  / 
( 3  x.  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) ) )  x.  (
( 1  /  9
) ^ n ) )  =  ( 2  /  ( ( 3  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ n
) ) ) )
10172, 100eqtrd 2468 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( ( k  e. 
NN0  |->  ( ( 2  /  ( 3  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) )  x.  ( ( 1  / 
9 ) ^ k
) ) ) `  n )  =  ( 2  /  ( ( 3  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ n ) ) ) )
10248, 101syldan 457 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
( ( k  e. 
NN0  |->  ( ( 2  /  ( 3  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) )  x.  ( ( 1  / 
9 ) ^ k
) ) ) `  n )  =  ( 2  /  ( ( 3  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ n ) ) ) )
10396, 26nnmulcld 10047 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( ( 3  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  x.  (
9 ^ n ) )  e.  NN )
104 nndivre 10035 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( ( 3  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  x.  (
9 ^ n ) )  e.  NN )  ->  ( 2  / 
( ( 3  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  x.  (
9 ^ n ) ) )  e.  RR )
10514, 103, 104sylancr 645 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( 2  /  (
( 3  x.  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ n ) ) )  e.  RR )
10648, 105syldan 457 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
( 2  /  (
( 3  x.  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ n ) ) )  e.  RR )
10783adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
( 2  x.  N
)  e.  NN0 )
108107nn0red 10275 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
( 2  x.  N
)  e.  RR )
10916, 48, 18sylancr 645 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
( 2  x.  n
)  e.  NN0 )
110109nn0red 10275 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
( 2  x.  n
)  e.  RR )
111 1re 9090 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  RR
112111a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
1  e.  RR )
113 eluzle 10498 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  N
)  ->  N  <_  n )
114113adantl 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N ) )  ->  N  <_  n )
115 nn0re 10230 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  RR )
116115adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N ) )  ->  N  e.  RR )
11748nn0red 10275 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N ) )  ->  n  e.  RR )
11814a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
2  e.  RR )
119 2pos 10082 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  <  2
120119a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
0  <  2 )
121 lemul2 9863 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  RR  /\  n  e.  RR  /\  (
2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( N  <_  n 
<->  ( 2  x.  N
)  <_  ( 2  x.  n ) ) )
122116, 117, 118, 120, 121syl112anc 1188 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
( N  <_  n  <->  ( 2  x.  N )  <_  ( 2  x.  n ) ) )
123114, 122mpbid 202 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
( 2  x.  N
)  <_  ( 2  x.  n ) )
124108, 110, 112, 123leadd1dd 9640 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
( ( 2  x.  N )  +  1 )  <_  ( (
2  x.  n )  +  1 ) )
12585adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
( ( 2  x.  N )  +  1 )  e.  NN )
126125nnred 10015 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
( ( 2  x.  N )  +  1 )  e.  RR )
12748, 21syldan 457 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
( ( 2  x.  n )  +  1 )  e.  NN )
128127nnred 10015 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
( ( 2  x.  n )  +  1 )  e.  RR )
129 3re 10071 . . . . . . . . . 10  |-  3  e.  RR
130129a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
3  e.  RR )
131 3pos 10084 . . . . . . . . . 10  |-  0  <  3
132131a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
0  <  3 )
133 lemul2 9863 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  e.  RR  /\  ( ( 2  x.  n )  +  1 )  e.  RR  /\  ( 3  e.  RR  /\  0  <  3 ) )  ->  ( (
( 2  x.  N
)  +  1 )  <_  ( ( 2  x.  n )  +  1 )  <->  ( 3  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  <_ 
( 3  x.  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) ) ) )
134126, 128, 130, 132, 133syl112anc 1188 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  <_  (
( 2  x.  n
)  +  1 )  <-> 
( 3  x.  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) )  <_  ( 3  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) )
135124, 134mpbid 202 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
( 3  x.  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) )  <_  ( 3  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) )
13687adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
( 3  x.  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) )  e.  NN )
137136nnred 10015 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
( 3  x.  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) )  e.  RR )
13848, 23syldan 457 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
( 3  x.  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) )  e.  NN )
139138nnred 10015 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
( 3  x.  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) )  e.  RR )
14024, 48, 25sylancr 645 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
( 9 ^ n
)  e.  NN )
141140nnred 10015 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
( 9 ^ n
)  e.  RR )
142140nngt0d 10043 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
0  <  ( 9 ^ n ) )
143 lemul1 9862 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 3  x.  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) )  e.  RR  /\  ( 3  x.  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) )  e.  RR  /\  ( ( 9 ^ n )  e.  RR  /\  0  <  ( 9 ^ n ) ) )  ->  ( (
3  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  <_  ( 3  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  <->  ( (
3  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ n ) )  <_ 
( ( 3  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  x.  (
9 ^ n ) ) ) )
144137, 139, 141, 142, 143syl112anc 1188 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
( ( 3  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  <_  (
3  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  <-> 
( ( 3  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  x.  (
9 ^ n ) )  <_  ( (
3  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ n ) ) ) )
145135, 144mpbid 202 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
( ( 3  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  x.  (
9 ^ n ) )  <_  ( (
3  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ n ) ) )
14648, 103syldan 457 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
( ( 3  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  x.  (
9 ^ n ) )  e.  NN )
147146nnred 10015 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
( ( 3  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  x.  (
9 ^ n ) )  e.  RR )
148146nngt0d 10043 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
0  <  ( (
3  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ n ) ) )
14948, 61syldan 457 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
( ( 3  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  x.  (
9 ^ n ) )  e.  RR )
15048, 62syldan 457 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
0  <  ( (
3  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ n ) ) )
151 lediv2 9900 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( 3  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ n
) )  e.  RR  /\  0  <  ( ( 3  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ n ) ) )  /\  ( ( ( 3  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ n ) )  e.  RR  /\  0  < 
( ( 3  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  x.  (
9 ^ n ) ) )  /\  (
2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( ( ( 3  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ n ) )  <_ 
( ( 3  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  x.  (
9 ^ n ) )  <->  ( 2  / 
( ( 3  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  x.  (
9 ^ n ) ) )  <_  (
2  /  ( ( 3  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ n ) ) ) ) )
152147, 148, 149, 150, 118, 120, 151syl222anc 1200 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
( ( ( 3  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ n
) )  <_  (
( 3  x.  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ n ) )  <-> 
( 2  /  (
( 3  x.  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ n ) ) )  <_  ( 2  /  ( ( 3  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ n
) ) ) ) )
153145, 152mpbid 202 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
( 2  /  (
( 3  x.  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ n ) ) )  <_  ( 2  /  ( ( 3  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ n
) ) ) )
15473, 76rereccli 9779 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  /  9 )  e.  RR
155154recni 9102 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  /  9 )  e.  CC
156155a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 1  /  9 )  e.  CC )
157 0re 9091 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  e.  RR
158 9pos 10091 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  <  9
15973, 158recgt0ii 9916 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  <  ( 1  /  9
)
160157, 154, 159ltleii 9196 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  <_  ( 1  /  9
)
161 absid 12101 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 1  /  9
)  e.  RR  /\  0  <_  ( 1  / 
9 ) )  -> 
( abs `  (
1  /  9 ) )  =  ( 1  /  9 ) )
162154, 160, 161mp2an 654 . . . . . . . . . . 11  |-  ( abs `  ( 1  /  9
) )  =  ( 1  /  9 )
163 1lt9 10177 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  <  9
164 recgt1i 9907 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 9  e.  RR  /\  1  <  9 )  -> 
( 0  <  (
1  /  9 )  /\  ( 1  / 
9 )  <  1
) )
16573, 163, 164mp2an 654 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0  <  ( 1  / 
9 )  /\  (
1  /  9 )  <  1 )
166165simpri 449 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  /  9 )  <  1
167162, 166eqbrtri 4231 . . . . . . . . . 10  |-  ( abs `  ( 1  /  9
) )  <  1
168167a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( abs `  ( 1  /  9
) )  <  1
)
169 eqid 2436 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN0  |->  ( ( 1  /  9 ) ^ k ) )  =  ( k  e. 
NN0  |->  ( ( 1  /  9 ) ^
k ) )
170 ovex 6106 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1  /  9 ) ^ n )  e. 
_V
17167, 169, 170fvmpt 5806 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( ( k  e.  NN0  |->  ( ( 1  /  9 ) ^ k ) ) `
 n )  =  ( ( 1  / 
9 ) ^ n
) )
17248, 171syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
( ( k  e. 
NN0  |->  ( ( 1  /  9 ) ^
k ) ) `  n )  =  ( ( 1  /  9
) ^ n ) )
173156, 168, 35, 172geolim2 12648 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN0  ->  seq  N
(  +  ,  ( k  e.  NN0  |->  ( ( 1  /  9 ) ^ k ) ) )  ~~>  ( ( ( 1  /  9 ) ^ N )  / 
( 1  -  (
1  /  9 ) ) ) )
17474a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN0  ->  9  e.  CC )
17576a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN0  ->  9  =/=  0 )
176174, 175, 47exprecd 11531 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( 1  /  9 ) ^ N )  =  ( 1  /  (
9 ^ N ) ) )
17774, 76dividi 9747 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 9  /  9 )  =  1
178177oveq1i 6091 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 9  /  9 )  -  ( 1  / 
9 ) )  =  ( 1  -  (
1  /  9 ) )
179 ax-1cn 9048 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  e.  CC
18074, 76pm3.2i 442 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 9  e.  CC  /\  9  =/=  0 )
181 divsubdir 9710 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 9  e.  CC  /\  1  e.  CC  /\  (
9  e.  CC  /\  9  =/=  0 ) )  ->  ( ( 9  -  1 )  / 
9 )  =  ( ( 9  /  9
)  -  ( 1  /  9 ) ) )
18274, 179, 180, 181mp3an 1279 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 9  -  1 )  /  9 )  =  ( ( 9  / 
9 )  -  (
1  /  9 ) )
183 df-9 10065 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  9  =  ( 8  +  1 )
184183oveq1i 6091 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 9  -  1 )  =  ( ( 8  +  1 )  -  1 )
185 8re 10078 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  8  e.  RR
186185recni 9102 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  8  e.  CC
187 pncan 9311 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 8  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( 8  +  1 )  -  1 )  =  8 )
188186, 179, 187mp2an 654 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 8  +  1 )  -  1 )  =  8
189184, 188eqtri 2456 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 9  -  1 )  =  8
190189oveq1i 6091 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 9  -  1 )  /  9 )  =  ( 8  /  9
)
191182, 190eqtr3i 2458 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 9  /  9 )  -  ( 1  / 
9 ) )  =  ( 8  /  9
)
192178, 191eqtr3i 2458 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  -  ( 1  / 
9 ) )  =  ( 8  /  9
)
193192a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 1  -  ( 1  / 
9 ) )  =  ( 8  /  9
) )
194176, 193oveq12d 6099 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( ( 1  /  9
) ^ N )  /  ( 1  -  ( 1  /  9
) ) )  =  ( ( 1  / 
( 9 ^ N
) )  /  (
8  /  9 ) ) )
195179a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN0  ->  1  e.  CC )
196 nnexpcl 11394 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 9  e.  NN  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( 9 ^ N
)  e.  NN )
19724, 196mpan 652 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 9 ^ N )  e.  NN )
198197nncnd 10016 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 9 ^ N )  e.  CC )
199186, 74, 76divcli 9756 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 8  /  9 )  e.  CC
200199a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 8  /  9 )  e.  CC )
201197nnne0d 10044 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 9 ^ N )  =/=  0 )
202 8nn 10139 . . . . . . . . . . . . 13  |-  8  e.  NN
203202nnne0i 10034 . . . . . . . . . . . 12  |-  8  =/=  0
204186, 74, 203, 76divne0i 9762 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 8  /  9 )  =/=  0
205204a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 8  /  9 )  =/=  0 )
206195, 198, 200, 201, 205divdiv32d 9815 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( 1  /  ( 9 ^ N ) )  /  ( 8  / 
9 ) )  =  ( ( 1  / 
( 8  /  9
) )  /  (
9 ^ N ) ) )
207 recdiv 9720 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 8  e.  CC  /\  8  =/=  0 )  /\  ( 9  e.  CC  /\  9  =/=  0 ) )  -> 
( 1  /  (
8  /  9 ) )  =  ( 9  /  8 ) )
208186, 203, 74, 76, 207mp4an 655 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  /  ( 8  / 
9 ) )  =  ( 9  /  8
)
209208oveq1i 6091 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1  /  ( 8  /  9 ) )  /  ( 9 ^ N ) )  =  ( ( 9  / 
8 )  /  (
9 ^ N ) )
210186a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN0  ->  8  e.  CC )
211203a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN0  ->  8  =/=  0 )
212174, 210, 198, 211, 201divdiv1d 9821 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( 9  /  8 )  /  ( 9 ^ N ) )  =  ( 9  /  (
8  x.  ( 9 ^ N ) ) ) )
213209, 212syl5eq 2480 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( 1  /  ( 8  /  9 ) )  /  ( 9 ^ N ) )  =  ( 9  /  (
8  x.  ( 9 ^ N ) ) ) )
214194, 206, 2133eqtrd 2472 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( ( 1  /  9
) ^ N )  /  ( 1  -  ( 1  /  9
) ) )  =  ( 9  /  (
8  x.  ( 9 ^ N ) ) ) )
215173, 214breqtrd 4236 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  ->  seq  N
(  +  ,  ( k  e.  NN0  |->  ( ( 1  /  9 ) ^ k ) ) )  ~~>  ( 9  / 
( 8  x.  (
9 ^ N ) ) ) )
216 expcl 11399 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 1  /  9
)  e.  CC  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( ( 1  / 
9 ) ^ n
)  e.  CC )
217155, 48, 216sylancr 645 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
( ( 1  / 
9 ) ^ n
)  e.  CC )
218172, 217eqeltrd 2510 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
( ( k  e. 
NN0  |->  ( ( 1  /  9 ) ^
k ) ) `  n )  e.  CC )
21948, 71syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
( ( k  e. 
NN0  |->  ( ( 2  /  ( 3  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) )  x.  ( ( 1  / 
9 ) ^ k
) ) ) `  n )  =  ( ( 2  /  (
3  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) )  x.  ( ( 1  /  9 ) ^ n ) ) )
220172oveq2d 6097 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
( ( 2  / 
( 3  x.  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) ) )  x.  (
( k  e.  NN0  |->  ( ( 1  / 
9 ) ^ k
) ) `  n
) )  =  ( ( 2  /  (
3  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) )  x.  ( ( 1  /  9 ) ^ n ) ) )
221219, 220eqtr4d 2471 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
( ( k  e. 
NN0  |->  ( ( 2  /  ( 3  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) )  x.  ( ( 1  / 
9 ) ^ k
) ) ) `  n )  =  ( ( 2  /  (
3  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) )  x.  ( ( k  e.  NN0  |->  ( ( 1  /  9 ) ^ k ) ) `
 n ) ) )
22234, 47, 90, 215, 218, 221isermulc2 12451 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  seq  N
(  +  ,  ( k  e.  NN0  |->  ( ( 2  /  ( 3  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) )  x.  ( ( 1  /  9 ) ^
k ) ) ) )  ~~>  ( ( 2  /  ( 3  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) )  x.  ( 9  /  (
8  x.  ( 9 ^ N ) ) ) ) )
223 seqex 11325 . . . . . . 7  |-  seq  N
(  +  ,  ( k  e.  NN0  |->  ( ( 2  /  ( 3  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) )  x.  ( ( 1  /  9 ) ^
k ) ) ) )  e.  _V
224 ovex 6106 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  /  ( 3  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) )  x.  ( 9  / 
( 8  x.  (
9 ^ N ) ) ) )  e. 
_V
225223, 224breldm 5074 . . . . . 6  |-  (  seq 
N (  +  , 
( k  e.  NN0  |->  ( ( 2  / 
( 3  x.  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) ) )  x.  (
( 1  /  9
) ^ k ) ) ) )  ~~>  ( ( 2  /  ( 3  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) )  x.  ( 9  / 
( 8  x.  (
9 ^ N ) ) ) )  ->  seq  N (  +  , 
( k  e.  NN0  |->  ( ( 2  / 
( 3  x.  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) ) )  x.  (
( 1  /  9
) ^ k ) ) ) )  e. 
dom 
~~>  )
226222, 225syl 16 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  seq  N
(  +  ,  ( k  e.  NN0  |->  ( ( 2  /  ( 3  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) )  x.  ( ( 1  /  9 ) ^
k ) ) ) )  e.  dom  ~~>  )
22734, 47, 49, 50, 102, 106, 153, 53, 226isumle 12624 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  sum_ n  e.  ( ZZ>= `  N )
( 2  /  (
( 3  x.  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ n ) ) )  <_  sum_ n  e.  ( ZZ>= `  N )
( 2  /  (
( 3  x.  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ n ) ) ) )
228106recnd 9114 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
( 2  /  (
( 3  x.  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ n ) ) )  e.  CC )
229 3cn 10072 . . . . . . . . . . . 12  |-  3  e.  CC
230 4cn 10074 . . . . . . . . . . . 12  |-  4  e.  CC
231 2cn 10070 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  e.  CC
232 4nn 10135 . . . . . . . . . . . . 13  |-  4  e.  NN
233232nnne0i 10034 . . . . . . . . . . . 12  |-  4  =/=  0
234 3ne0 10085 . . . . . . . . . . . 12  |-  3  =/=  0
235 2ne0 10083 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  =/=  0
236229, 230, 231, 229, 233, 234, 235divdivdivi 9777 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 3  /  4 )  /  ( 2  / 
3 ) )  =  ( ( 3  x.  3 )  /  (
4  x.  2 ) )
237 3t3e9 10129 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 3  x.  3 )  =  9
238 4t2e8 10130 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 4  x.  2 )  =  8
239237, 238oveq12i 6093 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 3  x.  3 )  /  ( 4  x.  2 ) )  =  ( 9  /  8
)
240236, 239eqtri 2456 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 3  /  4 )  /  ( 2  / 
3 ) )  =  ( 9  /  8
)
241240oveq2i 6092 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2  /  3 )  x.  ( ( 3  /  4 )  / 
( 2  /  3
) ) )  =  ( ( 2  / 
3 )  x.  (
9  /  8 ) )
242229, 230, 233divcli 9756 . . . . . . . . . 10  |-  ( 3  /  4 )  e.  CC
243231, 229, 234divcli 9756 . . . . . . . . . 10  |-  ( 2  /  3 )  e.  CC
244231, 229, 235, 234divne0i 9762 . . . . . . . . . 10  |-  ( 2  /  3 )  =/=  0
245242, 243, 244divcan2i 9757 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2  /  3 )  x.  ( ( 3  /  4 )  / 
( 2  /  3
) ) )  =  ( 3  /  4
)
246241, 245eqtr3i 2458 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2  /  3 )  x.  ( 9  / 
8 ) )  =  ( 3  /  4
)
247246oveq1i 6091 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 2  /  3
)  x.  ( 9  /  8 ) )  /  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  x.  ( 9 ^ N
) ) )  =  ( ( 3  / 
4 )  /  (
( ( 2  x.  N )  +  1 )  x.  ( 9 ^ N ) ) )
248231a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN0  ->  2  e.  CC )
249229a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN0  ->  3  e.  CC )
25085nncnd 10016 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( 2  x.  N )  +  1 )  e.  CC )
251234a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN0  ->  3  =/=  0 )
25285nnne0d 10044 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( 2  x.  N )  +  1 )  =/=  0 )
253248, 249, 250, 251, 252divdiv1d 9821 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( 2  /  3 )  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  =  ( 2  /  (
3  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ) )
254253, 212oveq12d 6099 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( ( 2  /  3
)  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  x.  ( ( 9  /  8 )  / 
( 9 ^ N
) ) )  =  ( ( 2  / 
( 3  x.  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) ) )  x.  (
9  /  ( 8  x.  ( 9 ^ N ) ) ) ) )
255243a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 2  /  3 )  e.  CC )
25674, 186, 203divcli 9756 . . . . . . . . . 10  |-  ( 9  /  8 )  e.  CC
257256a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 9  /  8 )  e.  CC )
258255, 250, 257, 198, 252, 201divmuldivd 9831 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( ( 2  /  3
)  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  x.  ( ( 9  /  8 )  / 
( 9 ^ N
) ) )  =  ( ( ( 2  /  3 )  x.  ( 9  /  8
) )  /  (
( ( 2  x.  N )  +  1 )  x.  ( 9 ^ N ) ) ) )
259254, 258eqtr3d 2470 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( 2  /  ( 3  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) )  x.  ( 9  / 
( 8  x.  (
9 ^ N ) ) ) )  =  ( ( ( 2  /  3 )  x.  ( 9  /  8
) )  /  (
( ( 2  x.  N )  +  1 )  x.  ( 9 ^ N ) ) ) )
260230a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN0  ->  4  e.  CC )
261260, 250, 198mulassd 9111 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( 4  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ N ) )  =  ( 4  x.  (
( ( 2  x.  N )  +  1 )  x.  ( 9 ^ N ) ) ) )
262261oveq2d 6097 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 3  /  ( ( 4  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ N
) ) )  =  ( 3  /  (
4  x.  ( ( ( 2  x.  N
)  +  1 )  x.  ( 9 ^ N ) ) ) ) )
26385, 197nnmulcld 10047 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( ( 2  x.  N
)  +  1 )  x.  ( 9 ^ N ) )  e.  NN )
264263nncnd 10016 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( ( 2  x.  N
)  +  1 )  x.  ( 9 ^ N ) )  e.  CC )
265233a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN0  ->  4  =/=  0 )
266263nnne0d 10044 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( ( 2  x.  N
)  +  1 )  x.  ( 9 ^ N ) )  =/=  0 )
267249, 260, 264, 265, 266divdiv1d 9821 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( 3  /  4 )  /  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  x.  ( 9 ^ N
) ) )  =  ( 3  /  (
4  x.  ( ( ( 2  x.  N
)  +  1 )  x.  ( 9 ^ N ) ) ) ) )
268262, 267eqtr4d 2471 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 3  /  ( ( 4  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ N
) ) )  =  ( ( 3  / 
4 )  /  (
( ( 2  x.  N )  +  1 )  x.  ( 9 ^ N ) ) ) )
269247, 259, 2683eqtr4a 2494 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( 2  /  ( 3  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) )  x.  ( 9  / 
( 8  x.  (
9 ^ N ) ) ) )  =  ( 3  /  (
( 4  x.  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ N ) ) ) )
270222, 269breqtrd 4236 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  seq  N
(  +  ,  ( k  e.  NN0  |->  ( ( 2  /  ( 3  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) )  x.  ( ( 1  /  9 ) ^
k ) ) ) )  ~~>  ( 3  / 
( ( 4  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  x.  (
9 ^ N ) ) ) )
27134, 47, 102, 228, 270isumclim 12541 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  sum_ n  e.  ( ZZ>= `  N )
( 2  /  (
( 3  x.  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ n ) ) )  =  ( 3  /  ( ( 4  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ N
) ) ) )
272227, 271breqtrd 4236 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  sum_ n  e.  ( ZZ>= `  N )
( 2  /  (
( 3  x.  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ n ) ) )  <_  ( 3  /  ( ( 4  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ N
) ) ) )
273 nnmulcl 10023 . . . . . . 7  |-  ( ( 4  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  N )  +  1 )  e.  NN )  ->  ( 4  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  e.  NN )
274232, 85, 273sylancr 645 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 4  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  e.  NN )
275274, 197nnmulcld 10047 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( 4  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ N ) )  e.  NN )
276 nndivre 10035 . . . . 5  |-  ( ( 3  e.  RR  /\  ( ( 4  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  x.  (
9 ^ N ) )  e.  NN )  ->  ( 3  / 
( ( 4  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  x.  (
9 ^ N ) ) )  e.  RR )
277129, 275, 276sylancr 645 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 3  /  ( ( 4  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ N
) ) )  e.  RR )
278 elicc2 10975 . . . 4  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( 3  /  (
( 4  x.  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ N ) ) )  e.  RR )  ->  ( sum_ n  e.  ( ZZ>= `  N )
( 2  /  (
( 3  x.  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ n ) ) )  e.  ( 0 [,] ( 3  / 
( ( 4  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  x.  (
9 ^ N ) ) ) )  <->  ( sum_ n  e.  ( ZZ>= `  N
) ( 2  / 
( ( 3  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  x.  (
9 ^ n ) ) )  e.  RR  /\  0  <_  sum_ n  e.  ( ZZ>= `  N )
( 2  /  (
( 3  x.  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ n ) ) )  /\  sum_ n  e.  ( ZZ>= `  N )
( 2  /  (
( 3  x.  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ n ) ) )  <_  ( 3  /  ( ( 4  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ N
) ) ) ) ) )
279157, 277, 278sylancr 645 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( sum_ n  e.  ( ZZ>= `  N
) ( 2  / 
( ( 3  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  x.  (
9 ^ n ) ) )  e.  ( 0 [,] ( 3  /  ( ( 4  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ N
) ) ) )  <-> 
( sum_ n  e.  (
ZZ>= `  N ) ( 2  /  ( ( 3  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ n ) ) )  e.  RR  /\  0  <_ 
sum_ n  e.  ( ZZ>=
`  N ) ( 2  /  ( ( 3  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ n ) ) )  /\  sum_ n  e.  (
ZZ>= `  N ) ( 2  /  ( ( 3  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ n ) ) )  <_  ( 3  / 
( ( 4  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  x.  (
9 ^ N ) ) ) ) ) )
28054, 66, 272, 279mpbir3and 1137 . 2  |-  ( N  e.  NN0  ->  sum_ n  e.  ( ZZ>= `  N )
( 2  /  (
( 3  x.  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ n ) ) )  e.  ( 0 [,] ( 3  / 
( ( 4  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  x.  (
9 ^ N ) ) ) ) )
28157, 280eqeltrd 2510 1  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( log `  2 )  -  sum_ n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( 2  /  (
( 3  x.  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ n ) ) ) )  e.  ( 0 [,] ( 3  /  ( ( 4  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ N
) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2599   class class class wbr 4212    e. cmpt 4266   dom cdm 4878   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   CCcc 8988   RRcr 8989   0cc0 8990   1c1 8991    + caddc 8993    x. cmul 8995    < clt 9120    <_ cle 9121    - cmin 9291    / cdiv 9677   NNcn 10000   2c2 10049   3c3 10050   4c4 10051   8c8 10055   9c9 10056   NN0cn0 10221   ZZcz 10282   ZZ>=cuz 10488   [,]cicc 10919   ...cfz 11043    seq cseq 11323   ^cexp 11382   abscabs 12039    ~~> cli 12278   sum_csu 12479   logclog 20452
This theorem is referenced by:  log2ub  20789
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-inf2 7596  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068  ax-addf 9069  ax-mulf 9070
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-iin 4096  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-se 4542  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-isom 5463  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-of 6305  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-2o 6725  df-oadd 6728  df-er 6905  df-map 7020  df-pm 7021  df-ixp 7064  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-fi 7416  df-sup 7446  df-oi 7479  df-card 7826  df-cda 8048  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-4 10060  df-5 10061  df-6 10062  df-7 10063  df-8 10064  df-9 10065  df-10 10066  df-n0 10222  df-z 10283  df-dec 10383  df-uz 10489  df-q 10575  df-rp 10613  df-xneg 10710  df-xadd 10711  df-xmul 10712  df-ioo 10920  df-ioc 10921  df-ico 10922  df-icc 10923  df-fz 11044  df-fzo 11136  df-fl 11202  df-mod 11251  df-seq 11324  df-exp 11383  df-fac 11567  df-bc 11594  df-hash 11619  df-shft 11882  df-cj 11904  df-re 11905  df-im 11906  df-sqr 12040  df-abs 12041  df-limsup 12265  df-clim 12282  df-rlim 12283  df-sum 12480  df-ef 12670  df-sin 12672  df-cos 12673  df-tan 12674  df-pi 12675  df-dvds 12853  df-struct 13471  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-sets 13475  df-ress 13476  df-plusg 13542  df-mulr 13543  df-starv 13544  df-sca 13545  df-vsca 13546  df-tset 13548  df-ple 13549  df-ds 13551  df-unif 13552  df-hom 13553  df-cco 13554  df-rest 13650  df-topn 13651  df-topgen 13667  df-pt 13668  df-prds 13671  df-xrs 13726  df-0g 13727  df-gsum 13728  df-qtop 13733  df-imas 13734  df-xps 13736  df-mre 13811  df-mrc 13812  df-acs 13814  df-mnd 14690  df-submnd 14739  df-mulg 14815  df-cntz 15116  df-cmn 15414  df-psmet 16694  df-xmet 16695  df-met 16696  df-bl 16697  df-mopn 16698  df-fbas 16699  df-fg 16700  df-cnfld 16704  df-top 16963  df-bases 16965  df-topon 16966  df-topsp 16967  df-cld 17083  df-ntr 17084  df-cls 17085  df-nei 17162  df-lp 17200  df-perf 17201  df-cn 17291  df-cnp 17292  df-haus 17379  df-cmp 17450  df-tx 17594  df-hmeo 17787  df-fil 17878  df-fm 17970  df-flim 17971  df-flf 17972  df-xms 18350  df-ms 18351  df-tms 18352  df-cncf 18908  df-limc 19753  df-dv 19754  df-ulm 20293  df-log 20454  df-atan 20707
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