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Theorem log2tlbnd 20463
Description: Bound the error term in the series of log2cnv 20462. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
log2tlbnd  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( log `  2 )  -  sum_ n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( 2  /  (
( 3  x.  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ n ) ) ) )  e.  ( 0 [,] ( 3  /  ( ( 4  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ N
) ) ) ) )
Distinct variable group:    n, N

Proof of Theorem log2tlbnd
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0uz 10413 . . . . . 6  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
2 0z 10186 . . . . . . 7  |-  0  e.  ZZ
32a1i 10 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  0  e.  ZZ )
4 oveq2 5989 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  n  ->  (
2  x.  k )  =  ( 2  x.  n ) )
54oveq1d 5996 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  n  ->  (
( 2  x.  k
)  +  1 )  =  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )
65oveq2d 5997 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  n  ->  (
3  x.  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  =  ( 3  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) )
7 oveq2 5989 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  n  ->  (
9 ^ k )  =  ( 9 ^ n ) )
86, 7oveq12d 5999 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  n  ->  (
( 3  x.  (
( 2  x.  k
)  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ k ) )  =  ( ( 3  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ n
) ) )
98oveq2d 5997 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  n  ->  (
2  /  ( ( 3  x.  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ k ) ) )  =  ( 2  / 
( ( 3  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  x.  (
9 ^ n ) ) ) )
10 eqid 2366 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN0  |->  ( 2  /  ( ( 3  x.  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ k
) ) ) )  =  ( k  e. 
NN0  |->  ( 2  / 
( ( 3  x.  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  x.  (
9 ^ k ) ) ) )
11 ovex 6006 . . . . . . . 8  |-  ( 2  /  ( ( 3  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ n
) ) )  e. 
_V
129, 10, 11fvmpt 5709 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( ( k  e.  NN0  |->  ( 2  /  ( ( 3  x.  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ k
) ) ) ) `
 n )  =  ( 2  /  (
( 3  x.  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ n ) ) ) )
1312adantl 452 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( ( k  e. 
NN0  |->  ( 2  / 
( ( 3  x.  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  x.  (
9 ^ k ) ) ) ) `  n )  =  ( 2  /  ( ( 3  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ n ) ) ) )
14 2re 9962 . . . . . . . 8  |-  2  e.  RR
15 3nn 10027 . . . . . . . . . 10  |-  3  e.  NN
16 2nn0 10131 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  e.  NN0
17 simpr 447 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )  ->  n  e.  NN0 )
18 nn0mulcl 10149 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( 2  x.  n
)  e.  NN0 )
1916, 17, 18sylancr 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( 2  x.  n
)  e.  NN0 )
20 nn0p1nn 10152 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  x.  n )  e.  NN0  ->  ( ( 2  x.  n )  +  1 )  e.  NN )
2119, 20syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( ( 2  x.  n )  +  1 )  e.  NN )
22 nnmulcl 9916 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 3  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  n )  +  1 )  e.  NN )  ->  ( 3  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  e.  NN )
2315, 21, 22sylancr 644 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( 3  x.  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) )  e.  NN )
24 9nn 10033 . . . . . . . . . 10  |-  9  e.  NN
25 nnexpcl 11281 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 9  e.  NN  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( 9 ^ n
)  e.  NN )
2624, 17, 25sylancr 644 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( 9 ^ n
)  e.  NN )
2723, 26nnmulcld 9940 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( ( 3  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  x.  (
9 ^ n ) )  e.  NN )
28 nndivre 9928 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( ( 3  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  x.  (
9 ^ n ) )  e.  NN )  ->  ( 2  / 
( ( 3  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  x.  (
9 ^ n ) ) )  e.  RR )
2914, 27, 28sylancr 644 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( 2  /  (
( 3  x.  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ n ) ) )  e.  RR )
3029recnd 9008 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( 2  /  (
( 3  x.  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ n ) ) )  e.  CC )
3110log2cnv 20462 . . . . . . 7  |-  seq  0
(  +  ,  ( k  e.  NN0  |->  ( 2  /  ( ( 3  x.  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ k
) ) ) ) )  ~~>  ( log `  2
)
3231a1i 10 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  seq  0
(  +  ,  ( k  e.  NN0  |->  ( 2  /  ( ( 3  x.  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ k
) ) ) ) )  ~~>  ( log `  2
) )
331, 3, 13, 30, 32isumclim 12428 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  sum_ n  e.  NN0  ( 2  / 
( ( 3  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  x.  (
9 ^ n ) ) )  =  ( log `  2 ) )
34 eqid 2366 . . . . . 6  |-  ( ZZ>= `  N )  =  (
ZZ>= `  N )
35 id 19 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e. 
NN0 )
36 seqex 11212 . . . . . . . 8  |-  seq  0
(  +  ,  ( k  e.  NN0  |->  ( 2  /  ( ( 3  x.  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ k
) ) ) ) )  e.  _V
37 fvex 5646 . . . . . . . 8  |-  ( log `  2 )  e. 
_V
3836, 37breldm 4986 . . . . . . 7  |-  (  seq  0 (  +  , 
( k  e.  NN0  |->  ( 2  /  (
( 3  x.  (
( 2  x.  k
)  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ k ) ) ) ) )  ~~>  ( log `  2 )  ->  seq  0 (  +  , 
( k  e.  NN0  |->  ( 2  /  (
( 3  x.  (
( 2  x.  k
)  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ k ) ) ) ) )  e. 
dom 
~~>  )
3931, 38mp1i 11 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  seq  0
(  +  ,  ( k  e.  NN0  |->  ( 2  /  ( ( 3  x.  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ k
) ) ) ) )  e.  dom  ~~>  )
401, 34, 35, 13, 30, 39isumsplit 12507 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  sum_ n  e.  NN0  ( 2  / 
( ( 3  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  x.  (
9 ^ n ) ) )  =  (
sum_ n  e.  (
0 ... ( N  - 
1 ) ) ( 2  /  ( ( 3  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ n ) ) )  +  sum_ n  e.  (
ZZ>= `  N ) ( 2  /  ( ( 3  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ n ) ) ) ) )
4133, 40eqtr3d 2400 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( log `  2 )  =  ( sum_ n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( 2  /  (
( 3  x.  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ n ) ) )  +  sum_ n  e.  ( ZZ>= `  N )
( 2  /  (
( 3  x.  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ n ) ) ) ) )
4241oveq1d 5996 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( log `  2 )  -  sum_ n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( 2  /  (
( 3  x.  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ n ) ) ) )  =  ( ( sum_ n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( 2  /  (
( 3  x.  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ n ) ) )  +  sum_ n  e.  ( ZZ>= `  N )
( 2  /  (
( 3  x.  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ n ) ) ) )  -  sum_ n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( 2  /  ( ( 3  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ n
) ) ) ) )
43 fzfid 11199 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  e. 
Fin )
44 elfznn0 10975 . . . . . 6  |-  ( n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) )  ->  n  e.  NN0 )
4544, 30sylan2 460 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  ( 2  / 
( ( 3  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  x.  (
9 ^ n ) ) )  e.  CC )
4643, 45fsumcl 12414 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  sum_ n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( 2  / 
( ( 3  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  x.  (
9 ^ n ) ) )  e.  CC )
47 nn0z 10197 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  ZZ )
48 eluznn0 10439 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N ) )  ->  n  e.  NN0 )
4948, 12syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
( ( k  e. 
NN0  |->  ( 2  / 
( ( 3  x.  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  x.  (
9 ^ k ) ) ) ) `  n )  =  ( 2  /  ( ( 3  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ n ) ) ) )
5048, 29syldan 456 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
( 2  /  (
( 3  x.  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ n ) ) )  e.  RR )
5113, 30eqeltrd 2440 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( ( k  e. 
NN0  |->  ( 2  / 
( ( 3  x.  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  x.  (
9 ^ k ) ) ) ) `  n )  e.  CC )
521, 35, 51iserex 12337 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  ->  (  seq  0 (  +  , 
( k  e.  NN0  |->  ( 2  /  (
( 3  x.  (
( 2  x.  k
)  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ k ) ) ) ) )  e. 
dom 
~~> 
<->  seq  N (  +  ,  ( k  e. 
NN0  |->  ( 2  / 
( ( 3  x.  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  x.  (
9 ^ k ) ) ) ) )  e.  dom  ~~>  ) )
5339, 52mpbid 201 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  seq  N
(  +  ,  ( k  e.  NN0  |->  ( 2  /  ( ( 3  x.  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ k
) ) ) ) )  e.  dom  ~~>  )
5434, 47, 49, 50, 53isumrecl 12436 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  sum_ n  e.  ( ZZ>= `  N )
( 2  /  (
( 3  x.  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ n ) ) )  e.  RR )
5554recnd 9008 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  sum_ n  e.  ( ZZ>= `  N )
( 2  /  (
( 3  x.  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ n ) ) )  e.  CC )
5646, 55pncan2d 9306 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( (
sum_ n  e.  (
0 ... ( N  - 
1 ) ) ( 2  /  ( ( 3  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ n ) ) )  +  sum_ n  e.  (
ZZ>= `  N ) ( 2  /  ( ( 3  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ n ) ) ) )  -  sum_ n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( 2  / 
( ( 3  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  x.  (
9 ^ n ) ) ) )  = 
sum_ n  e.  ( ZZ>=
`  N ) ( 2  /  ( ( 3  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ n ) ) ) )
5742, 56eqtrd 2398 . 2  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( log `  2 )  -  sum_ n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( 2  /  (
( 3  x.  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ n ) ) ) )  =  sum_ n  e.  ( ZZ>= `  N
) ( 2  / 
( ( 3  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  x.  (
9 ^ n ) ) ) )
5814a1i 10 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )  -> 
2  e.  RR )
5916nn0ge0i 10142 . . . . . . 7  |-  0  <_  2
6059a1i 10 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )  -> 
0  <_  2 )
6127nnred 9908 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( ( 3  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  x.  (
9 ^ n ) )  e.  RR )
6227nngt0d 9936 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )  -> 
0  <  ( (
3  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ n ) ) )
63 divge0 9772 . . . . . 6  |-  ( ( ( 2  e.  RR  /\  0  <_  2 )  /\  ( ( ( 3  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ n ) )  e.  RR  /\  0  < 
( ( 3  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  x.  (
9 ^ n ) ) ) )  -> 
0  <_  ( 2  /  ( ( 3  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ n
) ) ) )
6458, 60, 61, 62, 63syl22anc 1184 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )  -> 
0  <_  ( 2  /  ( ( 3  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ n
) ) ) )
6548, 64syldan 456 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
0  <_  ( 2  /  ( ( 3  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ n
) ) ) )
6634, 47, 49, 50, 53, 65isumge0 12437 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  0  <_  sum_ n  e.  ( ZZ>= `  N ) ( 2  /  ( ( 3  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ n
) ) ) )
67 oveq2 5989 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  n  ->  (
( 1  /  9
) ^ k )  =  ( ( 1  /  9 ) ^
n ) )
6867oveq2d 5997 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  n  ->  (
( 2  /  (
3  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) )  x.  ( ( 1  /  9 ) ^ k ) )  =  ( ( 2  /  ( 3  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) )  x.  ( ( 1  / 
9 ) ^ n
) ) )
69 eqid 2366 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN0  |->  ( ( 2  /  ( 3  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) )  x.  ( ( 1  /  9 ) ^
k ) ) )  =  ( k  e. 
NN0  |->  ( ( 2  /  ( 3  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) )  x.  ( ( 1  / 
9 ) ^ k
) ) )
70 ovex 6006 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2  /  ( 3  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) )  x.  ( ( 1  /  9 ) ^
n ) )  e. 
_V
7168, 69, 70fvmpt 5709 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( ( k  e.  NN0  |->  ( ( 2  /  ( 3  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) )  x.  ( ( 1  /  9 ) ^
k ) ) ) `
 n )  =  ( ( 2  / 
( 3  x.  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) ) )  x.  (
( 1  /  9
) ^ n ) ) )
7271adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( ( k  e. 
NN0  |->  ( ( 2  /  ( 3  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) )  x.  ( ( 1  / 
9 ) ^ k
) ) ) `  n )  =  ( ( 2  /  (
3  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) )  x.  ( ( 1  /  9 ) ^ n ) ) )
73 9re 9972 . . . . . . . . . . . 12  |-  9  e.  RR
7473recni 8996 . . . . . . . . . . 11  |-  9  e.  CC
7574a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )  -> 
9  e.  CC )
7624nnne0i 9927 . . . . . . . . . . 11  |-  9  =/=  0
7776a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )  -> 
9  =/=  0 )
78 nn0z 10197 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN0  ->  n  e.  ZZ )
7978adantl 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )  ->  n  e.  ZZ )
8075, 77, 79exprecd 11418 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( ( 1  / 
9 ) ^ n
)  =  ( 1  /  ( 9 ^ n ) ) )
8180oveq2d 5997 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( ( 2  / 
( 3  x.  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) ) )  x.  (
( 1  /  9
) ^ n ) )  =  ( ( 2  /  ( 3  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) )  x.  ( 1  / 
( 9 ^ n
) ) ) )
82 nn0mulcl 10149 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 2  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( 2  x.  N
)  e.  NN0 )
8316, 82mpan 651 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 2  x.  N )  e. 
NN0 )
84 nn0p1nn 10152 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 2  x.  N )  e.  NN0  ->  ( ( 2  x.  N )  +  1 )  e.  NN )
8583, 84syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( 2  x.  N )  +  1 )  e.  NN )
86 nnmulcl 9916 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 3  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  N )  +  1 )  e.  NN )  ->  ( 3  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  e.  NN )
8715, 85, 86sylancr 644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 3  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  e.  NN )
88 nndivre 9928 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( 3  x.  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) )  e.  NN )  ->  ( 2  / 
( 3  x.  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) ) )  e.  RR )
8914, 87, 88sylancr 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 2  /  ( 3  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) )  e.  RR )
9089recnd 9008 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 2  /  ( 3  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) )  e.  CC )
9190adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( 2  /  (
3  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) )  e.  CC )
9226nncnd 9909 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( 9 ^ n
)  e.  CC )
9326nnne0d 9937 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( 9 ^ n
)  =/=  0 )
9491, 92, 93divrecd 9686 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( ( 2  / 
( 3  x.  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) ) )  /  (
9 ^ n ) )  =  ( ( 2  /  ( 3  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) )  x.  ( 1  / 
( 9 ^ n
) ) ) )
9558recnd 9008 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )  -> 
2  e.  CC )
9687adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( 3  x.  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) )  e.  NN )
9796nncnd 9909 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( 3  x.  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) )  e.  CC )
9896nnne0d 9937 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( 3  x.  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) )  =/=  0 )
9995, 97, 92, 98, 93divdiv1d 9714 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( ( 2  / 
( 3  x.  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) ) )  /  (
9 ^ n ) )  =  ( 2  /  ( ( 3  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ n
) ) ) )
10081, 94, 993eqtr2d 2404 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( ( 2  / 
( 3  x.  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) ) )  x.  (
( 1  /  9
) ^ n ) )  =  ( 2  /  ( ( 3  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ n
) ) ) )
10172, 100eqtrd 2398 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( ( k  e. 
NN0  |->  ( ( 2  /  ( 3  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) )  x.  ( ( 1  / 
9 ) ^ k
) ) ) `  n )  =  ( 2  /  ( ( 3  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ n ) ) ) )
10248, 101syldan 456 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
( ( k  e. 
NN0  |->  ( ( 2  /  ( 3  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) )  x.  ( ( 1  / 
9 ) ^ k
) ) ) `  n )  =  ( 2  /  ( ( 3  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ n ) ) ) )
10396, 26nnmulcld 9940 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( ( 3  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  x.  (
9 ^ n ) )  e.  NN )
104 nndivre 9928 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( ( 3  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  x.  (
9 ^ n ) )  e.  NN )  ->  ( 2  / 
( ( 3  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  x.  (
9 ^ n ) ) )  e.  RR )
10514, 103, 104sylancr 644 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( 2  /  (
( 3  x.  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ n ) ) )  e.  RR )
10648, 105syldan 456 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
( 2  /  (
( 3  x.  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ n ) ) )  e.  RR )
10783adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
( 2  x.  N
)  e.  NN0 )
108107nn0red 10168 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
( 2  x.  N
)  e.  RR )
10916, 48, 18sylancr 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
( 2  x.  n
)  e.  NN0 )
110109nn0red 10168 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
( 2  x.  n
)  e.  RR )
111 1re 8984 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  RR
112111a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
1  e.  RR )
113 eluzle 10391 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  N
)  ->  N  <_  n )
114113adantl 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N ) )  ->  N  <_  n )
115 nn0re 10123 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  RR )
116115adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N ) )  ->  N  e.  RR )
11748nn0red 10168 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N ) )  ->  n  e.  RR )
11814a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
2  e.  RR )
119 2pos 9975 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  <  2
120119a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
0  <  2 )
121 lemul2 9756 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  RR  /\  n  e.  RR  /\  (
2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( N  <_  n 
<->  ( 2  x.  N
)  <_  ( 2  x.  n ) ) )
122116, 117, 118, 120, 121syl112anc 1187 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
( N  <_  n  <->  ( 2  x.  N )  <_  ( 2  x.  n ) ) )
123114, 122mpbid 201 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
( 2  x.  N
)  <_  ( 2  x.  n ) )
124108, 110, 112, 123leadd1dd 9533 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
( ( 2  x.  N )  +  1 )  <_  ( (
2  x.  n )  +  1 ) )
12585adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
( ( 2  x.  N )  +  1 )  e.  NN )
126125nnred 9908 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
( ( 2  x.  N )  +  1 )  e.  RR )
12748, 21syldan 456 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
( ( 2  x.  n )  +  1 )  e.  NN )
128127nnred 9908 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
( ( 2  x.  n )  +  1 )  e.  RR )
129 3re 9964 . . . . . . . . . 10  |-  3  e.  RR
130129a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
3  e.  RR )
131 3pos 9977 . . . . . . . . . 10  |-  0  <  3
132131a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
0  <  3 )
133 lemul2 9756 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  e.  RR  /\  ( ( 2  x.  n )  +  1 )  e.  RR  /\  ( 3  e.  RR  /\  0  <  3 ) )  ->  ( (
( 2  x.  N
)  +  1 )  <_  ( ( 2  x.  n )  +  1 )  <->  ( 3  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  <_ 
( 3  x.  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) ) ) )
134126, 128, 130, 132, 133syl112anc 1187 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  <_  (
( 2  x.  n
)  +  1 )  <-> 
( 3  x.  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) )  <_  ( 3  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) )
135124, 134mpbid 201 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
( 3  x.  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) )  <_  ( 3  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) )
13687adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
( 3  x.  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) )  e.  NN )
137136nnred 9908 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
( 3  x.  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) )  e.  RR )
13848, 23syldan 456 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
( 3  x.  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) )  e.  NN )
139138nnred 9908 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
( 3  x.  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) )  e.  RR )
14024, 48, 25sylancr 644 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
( 9 ^ n
)  e.  NN )
141140nnred 9908 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
( 9 ^ n
)  e.  RR )
142140nngt0d 9936 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
0  <  ( 9 ^ n ) )
143 lemul1 9755 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 3  x.  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) )  e.  RR  /\  ( 3  x.  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) )  e.  RR  /\  ( ( 9 ^ n )  e.  RR  /\  0  <  ( 9 ^ n ) ) )  ->  ( (
3  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  <_  ( 3  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  <->  ( (
3  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ n ) )  <_ 
( ( 3  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  x.  (
9 ^ n ) ) ) )
144137, 139, 141, 142, 143syl112anc 1187 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
( ( 3  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  <_  (
3  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  <-> 
( ( 3  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  x.  (
9 ^ n ) )  <_  ( (
3  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ n ) ) ) )
145135, 144mpbid 201 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
( ( 3  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  x.  (
9 ^ n ) )  <_  ( (
3  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ n ) ) )
14648, 103syldan 456 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
( ( 3  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  x.  (
9 ^ n ) )  e.  NN )
147146nnred 9908 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
( ( 3  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  x.  (
9 ^ n ) )  e.  RR )
148146nngt0d 9936 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
0  <  ( (
3  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ n ) ) )
14948, 61syldan 456 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
( ( 3  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  x.  (
9 ^ n ) )  e.  RR )
15048, 62syldan 456 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
0  <  ( (
3  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ n ) ) )
151 lediv2 9793 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( 3  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ n
) )  e.  RR  /\  0  <  ( ( 3  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ n ) ) )  /\  ( ( ( 3  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ n ) )  e.  RR  /\  0  < 
( ( 3  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  x.  (
9 ^ n ) ) )  /\  (
2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( ( ( 3  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ n ) )  <_ 
( ( 3  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  x.  (
9 ^ n ) )  <->  ( 2  / 
( ( 3  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  x.  (
9 ^ n ) ) )  <_  (
2  /  ( ( 3  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ n ) ) ) ) )
152147, 148, 149, 150, 118, 120, 151syl222anc 1199 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
( ( ( 3  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ n
) )  <_  (
( 3  x.  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ n ) )  <-> 
( 2  /  (
( 3  x.  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ n ) ) )  <_  ( 2  /  ( ( 3  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ n
) ) ) ) )
153145, 152mpbid 201 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
( 2  /  (
( 3  x.  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ n ) ) )  <_  ( 2  /  ( ( 3  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ n
) ) ) )
15473, 76rereccli 9672 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  /  9 )  e.  RR
155154recni 8996 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  /  9 )  e.  CC
156155a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 1  /  9 )  e.  CC )
157 0re 8985 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  e.  RR
158 9pos 9984 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  <  9
15973, 158recgt0ii 9809 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  <  ( 1  /  9
)
160157, 154, 159ltleii 9088 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  <_  ( 1  /  9
)
161 absid 11988 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 1  /  9
)  e.  RR  /\  0  <_  ( 1  / 
9 ) )  -> 
( abs `  (
1  /  9 ) )  =  ( 1  /  9 ) )
162154, 160, 161mp2an 653 . . . . . . . . . . 11  |-  ( abs `  ( 1  /  9
) )  =  ( 1  /  9 )
163 1lt9 10070 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  <  9
164 recgt1i 9800 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 9  e.  RR  /\  1  <  9 )  -> 
( 0  <  (
1  /  9 )  /\  ( 1  / 
9 )  <  1
) )
16573, 163, 164mp2an 653 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0  <  ( 1  / 
9 )  /\  (
1  /  9 )  <  1 )
166165simpri 448 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  /  9 )  <  1
167162, 166eqbrtri 4144 . . . . . . . . . 10  |-  ( abs `  ( 1  /  9
) )  <  1
168167a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( abs `  ( 1  /  9
) )  <  1
)
169 eqid 2366 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN0  |->  ( ( 1  /  9 ) ^ k ) )  =  ( k  e. 
NN0  |->  ( ( 1  /  9 ) ^
k ) )
170 ovex 6006 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1  /  9 ) ^ n )  e. 
_V
17167, 169, 170fvmpt 5709 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( ( k  e.  NN0  |->  ( ( 1  /  9 ) ^ k ) ) `
 n )  =  ( ( 1  / 
9 ) ^ n
) )
17248, 171syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
( ( k  e. 
NN0  |->  ( ( 1  /  9 ) ^
k ) ) `  n )  =  ( ( 1  /  9
) ^ n ) )
173156, 168, 35, 172geolim2 12535 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN0  ->  seq  N
(  +  ,  ( k  e.  NN0  |->  ( ( 1  /  9 ) ^ k ) ) )  ~~>  ( ( ( 1  /  9 ) ^ N )  / 
( 1  -  (
1  /  9 ) ) ) )
17474a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN0  ->  9  e.  CC )
17576a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN0  ->  9  =/=  0 )
176174, 175, 47exprecd 11418 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( 1  /  9 ) ^ N )  =  ( 1  /  (
9 ^ N ) ) )
17774, 76dividi 9640 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 9  /  9 )  =  1
178177oveq1i 5991 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 9  /  9 )  -  ( 1  / 
9 ) )  =  ( 1  -  (
1  /  9 ) )
179 ax-1cn 8942 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  e.  CC
18074, 76pm3.2i 441 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 9  e.  CC  /\  9  =/=  0 )
181 divsubdir 9603 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 9  e.  CC  /\  1  e.  CC  /\  (
9  e.  CC  /\  9  =/=  0 ) )  ->  ( ( 9  -  1 )  / 
9 )  =  ( ( 9  /  9
)  -  ( 1  /  9 ) ) )
18274, 179, 180, 181mp3an 1278 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 9  -  1 )  /  9 )  =  ( ( 9  / 
9 )  -  (
1  /  9 ) )
183 df-9 9958 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  9  =  ( 8  +  1 )
184183oveq1i 5991 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 9  -  1 )  =  ( ( 8  +  1 )  -  1 )
185 8re 9971 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  8  e.  RR
186185recni 8996 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  8  e.  CC
187 pncan 9204 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 8  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( 8  +  1 )  -  1 )  =  8 )
188186, 179, 187mp2an 653 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 8  +  1 )  -  1 )  =  8
189184, 188eqtri 2386 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 9  -  1 )  =  8
190189oveq1i 5991 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 9  -  1 )  /  9 )  =  ( 8  /  9
)
191182, 190eqtr3i 2388 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 9  /  9 )  -  ( 1  / 
9 ) )  =  ( 8  /  9
)
192178, 191eqtr3i 2388 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  -  ( 1  / 
9 ) )  =  ( 8  /  9
)
193192a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 1  -  ( 1  / 
9 ) )  =  ( 8  /  9
) )
194176, 193oveq12d 5999 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( ( 1  /  9
) ^ N )  /  ( 1  -  ( 1  /  9
) ) )  =  ( ( 1  / 
( 9 ^ N
) )  /  (
8  /  9 ) ) )
195179a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN0  ->  1  e.  CC )
196 nnexpcl 11281 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 9  e.  NN  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( 9 ^ N
)  e.  NN )
19724, 196mpan 651 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 9 ^ N )  e.  NN )
198197nncnd 9909 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 9 ^ N )  e.  CC )
199186, 74, 76divcli 9649 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 8  /  9 )  e.  CC
200199a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 8  /  9 )  e.  CC )
201197nnne0d 9937 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 9 ^ N )  =/=  0 )
202 8nn 10032 . . . . . . . . . . . . 13  |-  8  e.  NN
203202nnne0i 9927 . . . . . . . . . . . 12  |-  8  =/=  0
204186, 74, 203, 76divne0i 9655 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 8  /  9 )  =/=  0
205204a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 8  /  9 )  =/=  0 )
206195, 198, 200, 201, 205divdiv32d 9708 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( 1  /  ( 9 ^ N ) )  /  ( 8  / 
9 ) )  =  ( ( 1  / 
( 8  /  9
) )  /  (
9 ^ N ) ) )
207 recdiv 9613 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 8  e.  CC  /\  8  =/=  0 )  /\  ( 9  e.  CC  /\  9  =/=  0 ) )  -> 
( 1  /  (
8  /  9 ) )  =  ( 9  /  8 ) )
208186, 203, 74, 76, 207mp4an 654 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  /  ( 8  / 
9 ) )  =  ( 9  /  8
)
209208oveq1i 5991 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1  /  ( 8  /  9 ) )  /  ( 9 ^ N ) )  =  ( ( 9  / 
8 )  /  (
9 ^ N ) )
210186a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN0  ->  8  e.  CC )
211203a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN0  ->  8  =/=  0 )
212174, 210, 198, 211, 201divdiv1d 9714 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( 9  /  8 )  /  ( 9 ^ N ) )  =  ( 9  /  (
8  x.  ( 9 ^ N ) ) ) )
213209, 212syl5eq 2410 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( 1  /  ( 8  /  9 ) )  /  ( 9 ^ N ) )  =  ( 9  /  (
8  x.  ( 9 ^ N ) ) ) )
214194, 206, 2133eqtrd 2402 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( ( 1  /  9
) ^ N )  /  ( 1  -  ( 1  /  9
) ) )  =  ( 9  /  (
8  x.  ( 9 ^ N ) ) ) )
215173, 214breqtrd 4149 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  ->  seq  N
(  +  ,  ( k  e.  NN0  |->  ( ( 1  /  9 ) ^ k ) ) )  ~~>  ( 9  / 
( 8  x.  (
9 ^ N ) ) ) )
216 expcl 11286 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 1  /  9
)  e.  CC  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( ( 1  / 
9 ) ^ n
)  e.  CC )
217155, 48, 216sylancr 644 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
( ( 1  / 
9 ) ^ n
)  e.  CC )
218172, 217eqeltrd 2440 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
( ( k  e. 
NN0  |->  ( ( 1  /  9 ) ^
k ) ) `  n )  e.  CC )
21948, 71syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
( ( k  e. 
NN0  |->  ( ( 2  /  ( 3  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) )  x.  ( ( 1  / 
9 ) ^ k
) ) ) `  n )  =  ( ( 2  /  (
3  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) )  x.  ( ( 1  /  9 ) ^ n ) ) )
220172oveq2d 5997 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
( ( 2  / 
( 3  x.  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) ) )  x.  (
( k  e.  NN0  |->  ( ( 1  / 
9 ) ^ k
) ) `  n
) )  =  ( ( 2  /  (
3  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) )  x.  ( ( 1  /  9 ) ^ n ) ) )
221219, 220eqtr4d 2401 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
( ( k  e. 
NN0  |->  ( ( 2  /  ( 3  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) )  x.  ( ( 1  / 
9 ) ^ k
) ) ) `  n )  =  ( ( 2  /  (
3  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) )  x.  ( ( k  e.  NN0  |->  ( ( 1  /  9 ) ^ k ) ) `
 n ) ) )
22234, 47, 90, 215, 218, 221isermulc2 12338 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  seq  N
(  +  ,  ( k  e.  NN0  |->  ( ( 2  /  ( 3  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) )  x.  ( ( 1  /  9 ) ^
k ) ) ) )  ~~>  ( ( 2  /  ( 3  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) )  x.  ( 9  /  (
8  x.  ( 9 ^ N ) ) ) ) )
223 seqex 11212 . . . . . . 7  |-  seq  N
(  +  ,  ( k  e.  NN0  |->  ( ( 2  /  ( 3  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) )  x.  ( ( 1  /  9 ) ^
k ) ) ) )  e.  _V
224 ovex 6006 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  /  ( 3  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) )  x.  ( 9  / 
( 8  x.  (
9 ^ N ) ) ) )  e. 
_V
225223, 224breldm 4986 . . . . . 6  |-  (  seq 
N (  +  , 
( k  e.  NN0  |->  ( ( 2  / 
( 3  x.  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) ) )  x.  (
( 1  /  9
) ^ k ) ) ) )  ~~>  ( ( 2  /  ( 3  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) )  x.  ( 9  / 
( 8  x.  (
9 ^ N ) ) ) )  ->  seq  N (  +  , 
( k  e.  NN0  |->  ( ( 2  / 
( 3  x.  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) ) )  x.  (
( 1  /  9
) ^ k ) ) ) )  e. 
dom 
~~>  )
226222, 225syl 15 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  seq  N
(  +  ,  ( k  e.  NN0  |->  ( ( 2  /  ( 3  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) )  x.  ( ( 1  /  9 ) ^
k ) ) ) )  e.  dom  ~~>  )
22734, 47, 49, 50, 102, 106, 153, 53, 226isumle 12511 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  sum_ n  e.  ( ZZ>= `  N )
( 2  /  (
( 3  x.  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ n ) ) )  <_  sum_ n  e.  ( ZZ>= `  N )
( 2  /  (
( 3  x.  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ n ) ) ) )
228106recnd 9008 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
( 2  /  (
( 3  x.  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ n ) ) )  e.  CC )
229 3cn 9965 . . . . . . . . . . . 12  |-  3  e.  CC
230 4cn 9967 . . . . . . . . . . . 12  |-  4  e.  CC
231 2cn 9963 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  e.  CC
232 4nn 10028 . . . . . . . . . . . . 13  |-  4  e.  NN
233232nnne0i 9927 . . . . . . . . . . . 12  |-  4  =/=  0
234 3ne0 9978 . . . . . . . . . . . 12  |-  3  =/=  0
235 2ne0 9976 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  =/=  0
236229, 230, 231, 229, 233, 234, 235divdivdivi 9670 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 3  /  4 )  /  ( 2  / 
3 ) )  =  ( ( 3  x.  3 )  /  (
4  x.  2 ) )
237 3t3e9 10022 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 3  x.  3 )  =  9
238 4t2e8 10023 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 4  x.  2 )  =  8
239237, 238oveq12i 5993 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 3  x.  3 )  /  ( 4  x.  2 ) )  =  ( 9  /  8
)
240236, 239eqtri 2386 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 3  /  4 )  /  ( 2  / 
3 ) )  =  ( 9  /  8
)
241240oveq2i 5992 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2  /  3 )  x.  ( ( 3  /  4 )  / 
( 2  /  3
) ) )  =  ( ( 2  / 
3 )  x.  (
9  /  8 ) )
242229, 230, 233divcli 9649 . . . . . . . . . 10  |-  ( 3  /  4 )  e.  CC
243231, 229, 234divcli 9649 . . . . . . . . . 10  |-  ( 2  /  3 )  e.  CC
244231, 229, 235, 234divne0i 9655 . . . . . . . . . 10  |-  ( 2  /  3 )  =/=  0
245242, 243, 244divcan2i 9650 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2  /  3 )  x.  ( ( 3  /  4 )  / 
( 2  /  3
) ) )  =  ( 3  /  4
)
246241, 245eqtr3i 2388 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2  /  3 )  x.  ( 9  / 
8 ) )  =  ( 3  /  4
)
247246oveq1i 5991 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 2  /  3
)  x.  ( 9  /  8 ) )  /  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  x.  ( 9 ^ N
) ) )  =  ( ( 3  / 
4 )  /  (
( ( 2  x.  N )  +  1 )  x.  ( 9 ^ N ) ) )
248231a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN0  ->  2  e.  CC )
249229a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN0  ->  3  e.  CC )
25085nncnd 9909 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( 2  x.  N )  +  1 )  e.  CC )
251234a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN0  ->  3  =/=  0 )
25285nnne0d 9937 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( 2  x.  N )  +  1 )  =/=  0 )
253248, 249, 250, 251, 252divdiv1d 9714 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( 2  /  3 )  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  =  ( 2  /  (
3  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ) )
254253, 212oveq12d 5999 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( ( 2  /  3
)  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  x.  ( ( 9  /  8 )  / 
( 9 ^ N
) ) )  =  ( ( 2  / 
( 3  x.  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) ) )  x.  (
9  /  ( 8  x.  ( 9 ^ N ) ) ) ) )
255243a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 2  /  3 )  e.  CC )
25674, 186, 203divcli 9649 . . . . . . . . . 10  |-  ( 9  /  8 )  e.  CC
257256a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 9  /  8 )  e.  CC )
258255, 250, 257, 198, 252, 201divmuldivd 9724 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( ( 2  /  3
)  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  x.  ( ( 9  /  8 )  / 
( 9 ^ N
) ) )  =  ( ( ( 2  /  3 )  x.  ( 9  /  8
) )  /  (
( ( 2  x.  N )  +  1 )  x.  ( 9 ^ N ) ) ) )
259254, 258eqtr3d 2400 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( 2  /  ( 3  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) )  x.  ( 9  / 
( 8  x.  (
9 ^ N ) ) ) )  =  ( ( ( 2  /  3 )  x.  ( 9  /  8
) )  /  (
( ( 2  x.  N )  +  1 )  x.  ( 9 ^ N ) ) ) )
260230a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN0  ->  4  e.  CC )
261260, 250, 198mulassd 9005 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( 4  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ N ) )  =  ( 4  x.  (
( ( 2  x.  N )  +  1 )  x.  ( 9 ^ N ) ) ) )
262261oveq2d 5997 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 3  /  ( ( 4  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ N
) ) )  =  ( 3  /  (
4  x.  ( ( ( 2  x.  N
)  +  1 )  x.  ( 9 ^ N ) ) ) ) )
26385, 197nnmulcld 9940 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( ( 2  x.  N
)  +  1 )  x.  ( 9 ^ N ) )  e.  NN )
264263nncnd 9909 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( ( 2  x.  N
)  +  1 )  x.  ( 9 ^ N ) )  e.  CC )
265233a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN0  ->  4  =/=  0 )
266263nnne0d 9937 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( ( 2  x.  N
)  +  1 )  x.  ( 9 ^ N ) )  =/=  0 )
267249, 260, 264, 265, 266divdiv1d 9714 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( 3  /  4 )  /  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  x.  ( 9 ^ N
) ) )  =  ( 3  /  (
4  x.  ( ( ( 2  x.  N
)  +  1 )  x.  ( 9 ^ N ) ) ) ) )
268262, 267eqtr4d 2401 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 3  /  ( ( 4  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ N
) ) )  =  ( ( 3  / 
4 )  /  (
( ( 2  x.  N )  +  1 )  x.  ( 9 ^ N ) ) ) )
269247, 259, 2683eqtr4a 2424 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( 2  /  ( 3  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) )  x.  ( 9  / 
( 8  x.  (
9 ^ N ) ) ) )  =  ( 3  /  (
( 4  x.  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ N ) ) ) )
270222, 269breqtrd 4149 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  seq  N
(  +  ,  ( k  e.  NN0  |->  ( ( 2  /  ( 3  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) )  x.  ( ( 1  /  9 ) ^
k ) ) ) )  ~~>  ( 3  / 
( ( 4  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  x.  (
9 ^ N ) ) ) )
27134, 47, 102, 228, 270isumclim 12428 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  sum_ n  e.  ( ZZ>= `  N )
( 2  /  (
( 3  x.  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ n ) ) )  =  ( 3  /  ( ( 4  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ N
) ) ) )
272227, 271breqtrd 4149 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  sum_ n  e.  ( ZZ>= `  N )
( 2  /  (
( 3  x.  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ n ) ) )  <_  ( 3  /  ( ( 4  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ N
) ) ) )
273 nnmulcl 9916 . . . . . . 7  |-  ( ( 4  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  N )  +  1 )  e.  NN )  ->  ( 4  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  e.  NN )
274232, 85, 273sylancr 644 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 4  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  e.  NN )
275274, 197nnmulcld 9940 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( 4  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ N ) )  e.  NN )
276 nndivre 9928 . . . . 5  |-  ( ( 3  e.  RR  /\  ( ( 4  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  x.  (
9 ^ N ) )  e.  NN )  ->  ( 3  / 
( ( 4  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  x.  (
9 ^ N ) ) )  e.  RR )
277129, 275, 276sylancr 644 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 3  /  ( ( 4  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ N
) ) )  e.  RR )
278 elicc2 10868 . . . 4  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( 3  /  (
( 4  x.  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ N ) ) )  e.  RR )  ->  ( sum_ n  e.  ( ZZ>= `  N )
( 2  /  (
( 3  x.  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ n ) ) )  e.  ( 0 [,] ( 3  / 
( ( 4  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  x.  (
9 ^ N ) ) ) )  <->  ( sum_ n  e.  ( ZZ>= `  N
) ( 2  / 
( ( 3  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  x.  (
9 ^ n ) ) )  e.  RR  /\  0  <_  sum_ n  e.  ( ZZ>= `  N )
( 2  /  (
( 3  x.  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ n ) ) )  /\  sum_ n  e.  ( ZZ>= `  N )
( 2  /  (
( 3  x.  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ n ) ) )  <_  ( 3  /  ( ( 4  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ N
) ) ) ) ) )
279157, 277, 278sylancr 644 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( sum_ n  e.  ( ZZ>= `  N
) ( 2  / 
( ( 3  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  x.  (
9 ^ n ) ) )  e.  ( 0 [,] ( 3  /  ( ( 4  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ N
) ) ) )  <-> 
( sum_ n  e.  (
ZZ>= `  N ) ( 2  /  ( ( 3  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ n ) ) )  e.  RR  /\  0  <_ 
sum_ n  e.  ( ZZ>=
`  N ) ( 2  /  ( ( 3  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ n ) ) )  /\  sum_ n  e.  (
ZZ>= `  N ) ( 2  /  ( ( 3  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ n ) ) )  <_  ( 3  / 
( ( 4  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  x.  (
9 ^ N ) ) ) ) ) )
28054, 66, 272, 279mpbir3and 1136 . 2  |-  ( N  e.  NN0  ->  sum_ n  e.  ( ZZ>= `  N )
( 2  /  (
( 3  x.  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ n ) ) )  e.  ( 0 [,] ( 3  / 
( ( 4  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  x.  (
9 ^ N ) ) ) ) )
28157, 280eqeltrd 2440 1  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( log `  2 )  -  sum_ n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( 2  /  (
( 3  x.  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ n ) ) ) )  e.  ( 0 [,] ( 3  /  ( ( 4  x.  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  x.  ( 9 ^ N
) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 935    = wceq 1647    e. wcel 1715    =/= wne 2529   class class class wbr 4125    e. cmpt 4179   dom cdm 4792   ` cfv 5358  (class class class)co 5981   CCcc 8882   RRcr 8883   0cc0 8884   1c1 8885    + caddc 8887    x. cmul 8889    < clt 9014    <_ cle 9015    - cmin 9184    / cdiv 9570   NNcn 9893   2c2 9942   3c3 9943   4c4 9944   8c8 9948   9c9 9949   NN0cn0 10114   ZZcz 10175   ZZ>=cuz 10381   [,]cicc 10812   ...cfz 10935    seq cseq 11210   ^cexp 11269   abscabs 11926    ~~> cli 12165   sum_csu 12366   logclog 20130
This theorem is referenced by:  log2ub  20467
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1551  ax-5 1562  ax-17 1621  ax-9 1659  ax-8 1680  ax-13 1717  ax-14 1719  ax-6 1734  ax-7 1739  ax-11 1751  ax-12 1937  ax-ext 2347  ax-rep 4233  ax-sep 4243  ax-nul 4251  ax-pow 4290  ax-pr 4316  ax-un 4615  ax-inf2 7489  ax-cnex 8940  ax-resscn 8941  ax-1cn 8942  ax-icn 8943  ax-addcl 8944  ax-addrcl 8945  ax-mulcl 8946  ax-mulrcl 8947  ax-mulcom 8948  ax-addass 8949  ax-mulass 8950  ax-distr 8951  ax-i2m1 8952  ax-1ne0 8953  ax-1rid 8954  ax-rnegex 8955  ax-rrecex 8956  ax-cnre 8957  ax-pre-lttri 8958  ax-pre-lttrn 8959  ax-pre-ltadd 8960  ax-pre-mulgt0 8961  ax-pre-sup 8962  ax-addf 8963  ax-mulf 8964
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 936  df-3an 937  df-tru 1324  df-ex 1547  df-nf 1550  df-sb 1654  df-eu 2221  df-mo 2222  df-clab 2353  df-cleq 2359  df-clel 2362  df-nfc 2491  df-ne 2531  df-nel 2532  df-ral 2633  df-rex 2634  df-reu 2635  df-rmo 2636  df-rab 2637  df-v 2875  df-sbc 3078  df-csb 3168  df-dif 3241  df-un 3243  df-in 3245  df-ss 3252  df-pss 3254  df-nul 3544  df-if 3655  df-pw 3716  df-sn 3735  df-pr 3736  df-tp 3737  df-op 3738  df-uni 3930  df-int 3965  df-iun 4009  df-iin 4010  df-br 4126  df-opab 4180  df-mpt 4181  df-tr 4216  df-eprel 4408  df-id 4412  df-po 4417  df-so 4418  df-fr 4455  df-se 4456  df-we 4457  df-ord 4498  df-on 4499  df-lim 4500  df-suc 4501  df-om 4760  df-xp 4798  df-rel 4799  df-cnv 4800  df-co 4801  df-dm 4802  df-rn 4803  df-res 4804  df-ima 4805  df-iota 5322  df-fun 5360  df-fn 5361  df-f 5362  df-f1 5363  df-fo 5364  df-f1o 5365  df-fv 5366  df-isom 5367  df-ov 5984  df-oprab 5985  df-mpt2 5986  df-of 6205  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-riota 6446  df-recs 6530  df-rdg 6565  df-1o 6621  df-2o 6622  df-oadd 6625  df-er 6802  df-map 6917  df-pm 6918  df-ixp 6961  df-en 7007  df-dom 7008  df-sdom 7009  df-fin 7010  df-fi 7312  df-sup 7341  df-oi 7372  df-card 7719  df-cda 7941  df-pnf 9016  df-mnf 9017  df-xr 9018  df-ltxr 9019  df-le 9020  df-sub 9186  df-neg 9187  df-div 9571  df-nn 9894  df-2 9951  df-3 9952  df-4 9953  df-5 9954  df-6 9955  df-7 9956  df-8 9957  df-9 9958  df-10 9959  df-n0 10115  df-z 10176  df-dec 10276  df-uz 10382  df-q 10468  df-rp 10506  df-xneg 10603  df-xadd 10604  df-xmul 10605  df-ioo 10813  df-ioc 10814  df-ico 10815  df-icc 10816  df-fz 10936  df-fzo 11026  df-fl 11089  df-mod 11138  df-seq 11211  df-exp 11270  df-fac 11454  df-bc 11481  df-hash 11506  df-shft 11769  df-cj 11791  df-re 11792  df-im 11793  df-sqr 11927  df-abs 11928  df-limsup 12152  df-clim 12169  df-rlim 12170  df-sum 12367  df-ef 12557  df-sin 12559  df-cos 12560  df-tan 12561  df-pi 12562  df-dvds 12740  df-struct 13358  df-ndx 13359  df-slot 13360  df-base 13361  df-sets 13362  df-ress 13363  df-plusg 13429  df-mulr 13430  df-starv 13431  df-sca 13432  df-vsca 13433  df-tset 13435  df-ple 13436  df-ds 13438  df-unif 13439  df-hom 13440  df-cco 13441  df-rest 13537  df-topn 13538  df-topgen 13554  df-pt 13555  df-prds 13558  df-xrs 13613  df-0g 13614  df-gsum 13615  df-qtop 13620  df-imas 13621  df-xps 13623  df-mre 13698  df-mrc 13699  df-acs 13701  df-mnd 14577  df-submnd 14626  df-mulg 14702  df-cntz 15003  df-cmn 15301  df-xmet 16586  df-met 16587  df-bl 16588  df-mopn 16589  df-fbas 16590  df-fg 16591  df-cnfld 16594  df-top 16853  df-bases 16855  df-topon 16856  df-topsp 16857  df-cld 16973  df-ntr 16974  df-cls 16975  df-nei 17052  df-lp 17085  df-perf 17086  df-cn 17174  df-cnp 17175  df-haus 17260  df-cmp 17331  df-tx 17474  df-hmeo 17663  df-fil 17754  df-fm 17846  df-flim 17847  df-flf 17848  df-xms 18098  df-ms 18099  df-tms 18100  df-cncf 18596  df-limc 19431  df-dv 19432  df-ulm 19971  df-log 20132  df-atan 20385
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