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Theorem logcj 20369
Description: The natural logarithm distributes under conjugation away from the branch cut. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
logcj  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Im `  A )  =/=  0 )  -> 
( log `  (
* `  A )
)  =  ( * `
 ( log `  A
) ) )

Proof of Theorem logcj
StepHypRef Expression
1 fveq2 5669 . . . . . . 7  |-  ( A  =  0  ->  (
Im `  A )  =  ( Im ` 
0 ) )
2 im0 11886 . . . . . . 7  |-  ( Im
`  0 )  =  0
31, 2syl6eq 2436 . . . . . 6  |-  ( A  =  0  ->  (
Im `  A )  =  0 )
43necon3i 2590 . . . . 5  |-  ( ( Im `  A )  =/=  0  ->  A  =/=  0 )
5 logcl 20334 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( log `  A
)  e.  CC )
64, 5sylan2 461 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Im `  A )  =/=  0 )  -> 
( log `  A
)  e.  CC )
7 efcj 12622 . . . 4  |-  ( ( log `  A )  e.  CC  ->  ( exp `  ( * `  ( log `  A ) ) )  =  ( * `  ( exp `  ( log `  A
) ) ) )
86, 7syl 16 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Im `  A )  =/=  0 )  -> 
( exp `  (
* `  ( log `  A ) ) )  =  ( * `  ( exp `  ( log `  A ) ) ) )
9 eflog 20342 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( exp `  ( log `  A ) )  =  A )
104, 9sylan2 461 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Im `  A )  =/=  0 )  -> 
( exp `  ( log `  A ) )  =  A )
1110fveq2d 5673 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Im `  A )  =/=  0 )  -> 
( * `  ( exp `  ( log `  A
) ) )  =  ( * `  A
) )
128, 11eqtrd 2420 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Im `  A )  =/=  0 )  -> 
( exp `  (
* `  ( log `  A ) ) )  =  ( * `  A ) )
13 cjcl 11838 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
* `  A )  e.  CC )
1413adantr 452 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Im `  A )  =/=  0 )  -> 
( * `  A
)  e.  CC )
15 simpr 448 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Im `  A )  =/=  0 )  -> 
( Im `  A
)  =/=  0 )
1615, 4syl 16 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Im `  A )  =/=  0 )  ->  A  =/=  0 )
17 cjne0 11896 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  =/=  0  <->  ( * `  A )  =/=  0
) )
1817adantr 452 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Im `  A )  =/=  0 )  -> 
( A  =/=  0  <->  ( * `  A )  =/=  0 ) )
1916, 18mpbid 202 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Im `  A )  =/=  0 )  -> 
( * `  A
)  =/=  0 )
206cjcld 11929 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Im `  A )  =/=  0 )  -> 
( * `  ( log `  A ) )  e.  CC )
21 rpre 10551 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -u A  e.  RR+  ->  -u A  e.  RR )
2221renegcld 9397 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -u A  e.  RR+  ->  -u -u A  e.  RR )
23 negneg 9284 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  CC  ->  -u -u A  =  A )
2423adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Im `  A )  =/=  0 )  ->  -u -u A  =  A
)
2524eleq1d 2454 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Im `  A )  =/=  0 )  -> 
( -u -u A  e.  RR  <->  A  e.  RR ) )
2622, 25syl5ib 211 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Im `  A )  =/=  0 )  -> 
( -u A  e.  RR+  ->  A  e.  RR ) )
27 lognegb 20352 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( -u A  e.  RR+  <->  (
Im `  ( log `  A ) )  =  pi ) )
284, 27sylan2 461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Im `  A )  =/=  0 )  -> 
( -u A  e.  RR+  <->  (
Im `  ( log `  A ) )  =  pi ) )
29 reim0b 11852 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  e.  RR  <->  ( Im `  A )  =  0 ) )
3029adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Im `  A )  =/=  0 )  -> 
( A  e.  RR  <->  ( Im `  A )  =  0 ) )
3126, 28, 303imtr3d 259 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Im `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( Im `  ( log `  A ) )  =  pi  ->  ( Im `  A )  =  0 ) )
3231necon3d 2589 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Im `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( Im `  A )  =/=  0  ->  ( Im `  ( log `  A ) )  =/=  pi ) )
3315, 32mpd 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Im `  A )  =/=  0 )  -> 
( Im `  ( log `  A ) )  =/=  pi )
3433necomd 2634 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Im `  A )  =/=  0 )  ->  pi  =/=  ( Im `  ( log `  A ) ) )
356imcld 11928 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Im `  A )  =/=  0 )  -> 
( Im `  ( log `  A ) )  e.  RR )
36 pire 20240 . . . . . . . . 9  |-  pi  e.  RR
3736a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Im `  A )  =/=  0 )  ->  pi  e.  RR )
38 logimcl 20335 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( -u pi  <  (
Im `  ( log `  A ) )  /\  ( Im `  ( log `  A ) )  <_  pi ) )
394, 38sylan2 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Im `  A )  =/=  0 )  -> 
( -u pi  <  (
Im `  ( log `  A ) )  /\  ( Im `  ( log `  A ) )  <_  pi ) )
4039simprd 450 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Im `  A )  =/=  0 )  -> 
( Im `  ( log `  A ) )  <_  pi )
4135, 37, 40leltned 9157 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Im `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( Im `  ( log `  A ) )  <  pi  <->  pi  =/=  ( Im `  ( log `  A ) ) ) )
4234, 41mpbird 224 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Im `  A )  =/=  0 )  -> 
( Im `  ( log `  A ) )  <  pi )
43 ltneg 9461 . . . . . . 7  |-  ( ( ( Im `  ( log `  A ) )  e.  RR  /\  pi  e.  RR )  ->  (
( Im `  ( log `  A ) )  <  pi  <->  -u pi  <  -u ( Im `  ( log `  A ) ) ) )
4435, 36, 43sylancl 644 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Im `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( Im `  ( log `  A ) )  <  pi  <->  -u pi  <  -u ( Im `  ( log `  A ) ) ) )
4542, 44mpbid 202 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Im `  A )  =/=  0 )  ->  -u pi  <  -u (
Im `  ( log `  A ) ) )
466imcjd 11938 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Im `  A )  =/=  0 )  -> 
( Im `  (
* `  ( log `  A ) ) )  =  -u ( Im `  ( log `  A ) ) )
4745, 46breqtrrd 4180 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Im `  A )  =/=  0 )  ->  -u pi  <  ( Im
`  ( * `  ( log `  A ) ) ) )
4839simpld 446 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Im `  A )  =/=  0 )  ->  -u pi  <  ( Im
`  ( log `  A
) ) )
4936renegcli 9295 . . . . . . . 8  |-  -u pi  e.  RR
50 ltle 9097 . . . . . . . 8  |-  ( (
-u pi  e.  RR  /\  ( Im `  ( log `  A ) )  e.  RR )  -> 
( -u pi  <  (
Im `  ( log `  A ) )  ->  -u pi  <_  ( Im `  ( log `  A
) ) ) )
5149, 35, 50sylancr 645 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Im `  A )  =/=  0 )  -> 
( -u pi  <  (
Im `  ( log `  A ) )  ->  -u pi  <_  ( Im `  ( log `  A
) ) ) )
5248, 51mpd 15 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Im `  A )  =/=  0 )  ->  -u pi  <_  ( Im `  ( log `  A
) ) )
53 lenegcon1 9465 . . . . . . 7  |-  ( ( pi  e.  RR  /\  ( Im `  ( log `  A ) )  e.  RR )  ->  ( -u pi  <_  ( Im `  ( log `  A
) )  <->  -u ( Im
`  ( log `  A
) )  <_  pi ) )
5436, 35, 53sylancr 645 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Im `  A )  =/=  0 )  -> 
( -u pi  <_  (
Im `  ( log `  A ) )  <->  -u ( Im
`  ( log `  A
) )  <_  pi ) )
5552, 54mpbid 202 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Im `  A )  =/=  0 )  ->  -u ( Im `  ( log `  A ) )  <_  pi )
5646, 55eqbrtrd 4174 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Im `  A )  =/=  0 )  -> 
( Im `  (
* `  ( log `  A ) ) )  <_  pi )
57 ellogrn 20325 . . . 4  |-  ( ( * `  ( log `  A ) )  e. 
ran  log  <->  ( ( * `
 ( log `  A
) )  e.  CC  /\  -u pi  <  ( Im
`  ( * `  ( log `  A ) ) )  /\  (
Im `  ( * `  ( log `  A
) ) )  <_  pi ) )
5820, 47, 56, 57syl3anbrc 1138 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Im `  A )  =/=  0 )  -> 
( * `  ( log `  A ) )  e.  ran  log )
59 logeftb 20346 . . 3  |-  ( ( ( * `  A
)  e.  CC  /\  ( * `  A
)  =/=  0  /\  ( * `  ( log `  A ) )  e.  ran  log )  ->  ( ( log `  (
* `  A )
)  =  ( * `
 ( log `  A
) )  <->  ( exp `  ( * `  ( log `  A ) ) )  =  ( * `
 A ) ) )
6014, 19, 58, 59syl3anc 1184 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Im `  A )  =/=  0 )  -> 
( ( log `  (
* `  A )
)  =  ( * `
 ( log `  A
) )  <->  ( exp `  ( * `  ( log `  A ) ) )  =  ( * `
 A ) ) )
6112, 60mpbird 224 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Im `  A )  =/=  0 )  -> 
( log `  (
* `  A )
)  =  ( * `
 ( log `  A
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717    =/= wne 2551   class class class wbr 4154   ran crn 4820   ` cfv 5395   CCcc 8922   RRcr 8923   0cc0 8924    < clt 9054    <_ cle 9055   -ucneg 9225   RR+crp 10545   *ccj 11829   Imcim 11831   expce 12592   picpi 12597   logclog 20320
This theorem is referenced by:  argimlt0  20376  isosctrlem2  20531  atancj  20618
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-rep 4262  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345  ax-un 4642  ax-inf2 7530  ax-cnex 8980  ax-resscn 8981  ax-1cn 8982  ax-icn 8983  ax-addcl 8984  ax-addrcl 8985  ax-mulcl 8986  ax-mulrcl 8987  ax-mulcom 8988  ax-addass 8989  ax-mulass 8990  ax-distr 8991  ax-i2m1 8992  ax-1ne0 8993  ax-1rid 8994  ax-rnegex 8995  ax-rrecex 8996  ax-cnre 8997  ax-pre-lttri 8998  ax-pre-lttrn 8999  ax-pre-ltadd 9000  ax-pre-mulgt0 9001  ax-pre-sup 9002  ax-addf 9003  ax-mulf 9004
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-nel 2554  df-ral 2655  df-rex 2656  df-reu 2657  df-rmo 2658  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-csb 3196  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-pss 3280  df-nul 3573  df-if 3684  df-pw 3745  df-sn 3764  df-pr 3765  df-tp 3766  df-op 3767  df-uni 3959  df-int 3994  df-iun 4038  df-iin 4039  df-br 4155  df-opab 4209  df-mpt 4210  df-tr 4245  df-eprel 4436  df-id 4440  df-po 4445  df-so 4446  df-fr 4483  df-se 4484  df-we 4485  df-ord 4526  df-on 4527  df-lim 4528  df-suc 4529  df-om 4787  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-res 4831  df-ima 4832  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fn 5398  df-f 5399  df-f1 5400  df-fo 5401  df-f1o 5402  df-fv 5403  df-isom 5404  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpt2 6026  df-of 6245  df-1st 6289  df-2nd 6290  df-riota 6486  df-recs 6570  df-rdg 6605  df-1o 6661  df-2o 6662  df-oadd 6665  df-er 6842  df-map 6957  df-pm 6958  df-ixp 7001  df-en 7047  df-dom 7048  df-sdom 7049  df-fin 7050  df-fi 7352  df-sup 7382  df-oi 7413  df-card 7760  df-cda 7982  df-pnf 9056  df-mnf 9057  df-xr 9058  df-ltxr 9059  df-le 9060  df-sub 9226  df-neg 9227  df-div 9611  df-nn 9934  df-2 9991  df-3 9992  df-4 9993  df-5 9994  df-6 9995  df-7 9996  df-8 9997  df-9 9998  df-10 9999  df-n0 10155  df-z 10216  df-dec 10316  df-uz 10422  df-q 10508  df-rp 10546  df-xneg 10643  df-xadd 10644  df-xmul 10645  df-ioo 10853  df-ioc 10854  df-ico 10855  df-icc 10856  df-fz 10977  df-fzo 11067  df-fl 11130  df-mod 11179  df-seq 11252  df-exp 11311  df-fac 11495  df-bc 11522  df-hash 11547  df-shft 11810  df-cj 11832  df-re 11833  df-im 11834  df-sqr 11968  df-abs 11969  df-limsup 12193  df-clim 12210  df-rlim 12211  df-sum 12408  df-ef 12598  df-sin 12600  df-cos 12601  df-pi 12603  df-struct 13399  df-ndx 13400  df-slot 13401  df-base 13402  df-sets 13403  df-ress 13404  df-plusg 13470  df-mulr 13471  df-starv 13472  df-sca 13473  df-vsca 13474  df-tset 13476  df-ple 13477  df-ds 13479  df-unif 13480  df-hom 13481  df-cco 13482  df-rest 13578  df-topn 13579  df-topgen 13595  df-pt 13596  df-prds 13599  df-xrs 13654  df-0g 13655  df-gsum 13656  df-qtop 13661  df-imas 13662  df-xps 13664  df-mre 13739  df-mrc 13740  df-acs 13742  df-mnd 14618  df-submnd 14667  df-mulg 14743  df-cntz 15044  df-cmn 15342  df-xmet 16620  df-met 16621  df-bl 16622  df-mopn 16623  df-fbas 16624  df-fg 16625  df-cnfld 16628  df-top 16887  df-bases 16889  df-topon 16890  df-topsp 16891  df-cld 17007  df-ntr 17008  df-cls 17009  df-nei 17086  df-lp 17124  df-perf 17125  df-cn 17214  df-cnp 17215  df-haus 17302  df-tx 17516  df-hmeo 17709  df-fil 17800  df-fm 17892  df-flim 17893  df-flf 17894  df-xms 18260  df-ms 18261  df-tms 18262  df-cncf 18780  df-limc 19621  df-dv 19622  df-log 20322
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