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Theorem logcnlem3 20492
Description: Lemma for logcn 20495. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
logcn.d  |-  D  =  ( CC  \  (  -oo (,] 0 ) )
logcnlem.s  |-  S  =  if ( A  e.  RR+ ,  A ,  ( abs `  ( Im
`  A ) ) )
logcnlem.t  |-  T  =  ( ( abs `  A
)  x.  ( R  /  ( 1  +  R ) ) )
logcnlem.a  |-  ( ph  ->  A  e.  D )
logcnlem.r  |-  ( ph  ->  R  e.  RR+ )
logcnlem.b  |-  ( ph  ->  B  e.  D )
logcnlem.l  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( A  -  B )
)  <  if ( S  <_  T ,  S ,  T ) )
Assertion
Ref Expression
logcnlem3  |-  ( ph  ->  ( -u pi  <  ( ( Im `  ( log `  B ) )  -  ( Im `  ( log `  A ) ) )  /\  (
( Im `  ( log `  B ) )  -  ( Im `  ( log `  A ) ) )  <_  pi ) )

Proof of Theorem logcnlem3
StepHypRef Expression
1 logcnlem.a . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  e.  D )
2 logcn.d . . . . . . . 8  |-  D  =  ( CC  \  (  -oo (,] 0 ) )
32ellogdm 20487 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  D  <->  ( A  e.  CC  /\  ( A  e.  RR  ->  A  e.  RR+ ) ) )
43simplbi 447 . . . . . 6  |-  ( A  e.  D  ->  A  e.  CC )
51, 4syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
65imcld 11959 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Im `  A
)  e.  RR )
7 0re 9051 . . . 4  |-  0  e.  RR
8 lttri4 9119 . . . 4  |-  ( ( ( Im `  A
)  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  ( ( Im `  A )  <  0  \/  ( Im `  A
)  =  0  \/  0  <  ( Im
`  A ) ) )
96, 7, 8sylancl 644 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( Im `  A )  <  0  \/  ( Im `  A
)  =  0  \/  0  <  ( Im
`  A ) ) )
10 pire 20329 . . . . . . 7  |-  pi  e.  RR
1110renegcli 9322 . . . . . 6  |-  -u pi  e.  RR
1211a1i 11 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  -u pi  e.  RR )
13 logcnlem.b . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  B  e.  D )
142ellogdm 20487 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  D  <->  ( B  e.  CC  /\  ( B  e.  RR  ->  B  e.  RR+ ) ) )
1514simplbi 447 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  D  ->  B  e.  CC )
1613, 15syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
172logdmn0 20488 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  D  ->  B  =/=  0 )
1813, 17syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  B  =/=  0 )
1916, 18logcld 20425 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( log `  B
)  e.  CC )
2019imcld 11959 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( Im `  ( log `  B ) )  e.  RR )
2120adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  ( Im `  ( log `  B
) )  e.  RR )
222logdmn0 20488 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  D  ->  A  =/=  0 )
231, 22syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  =/=  0 )
245, 23logcld 20425 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( log `  A
)  e.  CC )
2524imcld 11959 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( Im `  ( log `  A ) )  e.  RR )
2620, 25resubcld 9425 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( Im `  ( log `  B ) )  -  ( Im
`  ( log `  A
) ) )  e.  RR )
2726adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  ( (
Im `  ( log `  B ) )  -  ( Im `  ( log `  A ) ) )  e.  RR )
2816, 18logimcld 20426 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( -u pi  <  ( Im `  ( log `  B ) )  /\  ( Im `  ( log `  B ) )  <_  pi ) )
2928simpld 446 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
-u pi  <  (
Im `  ( log `  B ) ) )
3029adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  -u pi  <  ( Im `  ( log `  B ) ) )
3120recnd 9074 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( Im `  ( log `  B ) )  e.  CC )
3231adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  ( Im `  ( log `  B
) )  e.  CC )
3332subid1d 9360 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  ( (
Im `  ( log `  B ) )  - 
0 )  =  ( Im `  ( log `  B ) ) )
3425adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  ( Im `  ( log `  A
) )  e.  RR )
357a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  0  e.  RR )
36 argimlt0 20465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Im `  A )  <  0 )  -> 
( Im `  ( log `  A ) )  e.  ( -u pi (,) 0 ) )
375, 36sylan 458 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  ( Im `  ( log `  A
) )  e.  (
-u pi (,) 0
) )
38 eliooord 10930 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Im `  ( log `  A ) )  e.  ( -u pi (,) 0 )  ->  ( -u pi  <  ( Im
`  ( log `  A
) )  /\  (
Im `  ( log `  A ) )  <  0 ) )
3937, 38syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  ( -u pi  <  ( Im `  ( log `  A ) )  /\  ( Im `  ( log `  A ) )  <  0 ) )
4039simprd 450 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  ( Im `  ( log `  A
) )  <  0
)
4134, 35, 21, 40ltsub2dd 9599 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  ( (
Im `  ( log `  B ) )  - 
0 )  <  (
( Im `  ( log `  B ) )  -  ( Im `  ( log `  A ) ) ) )
4233, 41eqbrtrrd 4198 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  ( Im `  ( log `  B
) )  <  (
( Im `  ( log `  B ) )  -  ( Im `  ( log `  A ) ) ) )
4312, 21, 27, 30, 42lttrd 9191 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  -u pi  <  ( ( Im `  ( log `  B ) )  -  ( Im `  ( log `  A ) ) ) )
4429adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  =  0 )  ->  -u pi  <  ( Im `  ( log `  B ) ) )
45 reim0b 11883 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  e.  RR  <->  ( Im `  A )  =  0 ) )
465, 45syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( A  e.  RR  <->  ( Im `  A )  =  0 ) )
473simprbi 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  D  ->  ( A  e.  RR  ->  A  e.  RR+ ) )
481, 47syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( A  e.  RR  ->  A  e.  RR+ )
)
4946, 48sylbird 227 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( Im `  A )  =  0  ->  A  e.  RR+ ) )
5049imp 419 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  =  0 )  ->  A  e.  RR+ )
5150relogcld 20475 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  =  0 )  ->  ( log `  A )  e.  RR )
5251reim0d 11989 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  =  0 )  ->  ( Im `  ( log `  A
) )  =  0 )
5352oveq2d 6060 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  =  0 )  ->  ( (
Im `  ( log `  B ) )  -  ( Im `  ( log `  A ) ) )  =  ( ( Im
`  ( log `  B
) )  -  0 ) )
5431subid1d 9360 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( Im `  ( log `  B ) )  -  0 )  =  ( Im `  ( log `  B ) ) )
5554adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  =  0 )  ->  ( (
Im `  ( log `  B ) )  - 
0 )  =  ( Im `  ( log `  B ) ) )
5653, 55eqtrd 2440 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  =  0 )  ->  ( (
Im `  ( log `  B ) )  -  ( Im `  ( log `  A ) ) )  =  ( Im `  ( log `  B ) ) )
5744, 56breqtrrd 4202 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  =  0 )  ->  -u pi  <  ( ( Im `  ( log `  B ) )  -  ( Im `  ( log `  A ) ) ) )
5811a1i 11 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  -u pi  e.  RR )
5925renegcld 9424 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
-u ( Im `  ( log `  A ) )  e.  RR )
6059adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  -u ( Im
`  ( log `  A
) )  e.  RR )
6126adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  ( (
Im `  ( log `  B ) )  -  ( Im `  ( log `  A ) ) )  e.  RR )
62 argimgt0 20464 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( Im `  ( log `  A ) )  e.  ( 0 (,) pi ) )
635, 62sylan 458 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  ( Im `  ( log `  A
) )  e.  ( 0 (,) pi ) )
64 eliooord 10930 . . . . . . . 8  |-  ( ( Im `  ( log `  A ) )  e.  ( 0 (,) pi )  ->  ( 0  < 
( Im `  ( log `  A ) )  /\  ( Im `  ( log `  A ) )  <  pi ) )
6563, 64syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  ( 0  <  ( Im `  ( log `  A ) )  /\  ( Im
`  ( log `  A
) )  <  pi ) )
6665simprd 450 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  ( Im `  ( log `  A
) )  <  pi )
67 ltneg 9488 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( Im `  ( log `  A ) )  e.  RR  /\  pi  e.  RR )  ->  (
( Im `  ( log `  A ) )  <  pi  <->  -u pi  <  -u ( Im `  ( log `  A ) ) ) )
6825, 10, 67sylancl 644 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( Im `  ( log `  A ) )  <  pi  <->  -u pi  <  -u ( Im `  ( log `  A ) ) ) )
6968adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  ( (
Im `  ( log `  A ) )  < 
pi 
<-> 
-u pi  <  -u (
Im `  ( log `  A ) ) ) )
7066, 69mpbid 202 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  -u pi  <  -u ( Im `  ( log `  A ) ) )
71 df-neg 9254 . . . . . 6  |-  -u (
Im `  ( log `  A ) )  =  ( 0  -  (
Im `  ( log `  A ) ) )
7216adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  B  e.  CC )
735, 16imsubd 11981 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( Im `  ( A  -  B )
)  =  ( ( Im `  A )  -  ( Im `  B ) ) )
7473adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  ( Im `  ( A  -  B
) )  =  ( ( Im `  A
)  -  ( Im
`  B ) ) )
755, 16subcld 9371 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( A  -  B
)  e.  CC )
7675imcld 11959 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( Im `  ( A  -  B )
)  e.  RR )
7776adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  ( Im `  ( A  -  B
) )  e.  RR )
7875abscld 12197 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( A  -  B )
)  e.  RR )
7978adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  ( abs `  ( A  -  B
) )  e.  RR )
805adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  A  e.  CC )
8180imcld 11959 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  ( Im `  A )  e.  RR )
82 absimle 12073 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  -  B )  e.  CC  ->  ( abs `  ( Im `  ( A  -  B
) ) )  <_ 
( abs `  ( A  -  B )
) )
8375, 82syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
Im `  ( A  -  B ) ) )  <_  ( abs `  ( A  -  B )
) )
8476, 78absled 12192 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  (
Im `  ( A  -  B ) ) )  <_  ( abs `  ( A  -  B )
)  <->  ( -u ( abs `  ( A  -  B ) )  <_ 
( Im `  ( A  -  B )
)  /\  ( Im `  ( A  -  B
) )  <_  ( abs `  ( A  -  B ) ) ) ) )
8583, 84mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( -u ( abs `  ( A  -  B
) )  <_  (
Im `  ( A  -  B ) )  /\  ( Im `  ( A  -  B ) )  <_  ( abs `  ( A  -  B )
) ) )
8685simprd 450 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( Im `  ( A  -  B )
)  <_  ( abs `  ( A  -  B
) ) )
8786adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  ( Im `  ( A  -  B
) )  <_  ( abs `  ( A  -  B ) ) )
88 logcnlem.s . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  S  =  if ( A  e.  RR+ ,  A ,  ( abs `  ( Im
`  A ) ) )
89 rpre 10578 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( A  e.  RR+  ->  A  e.  RR )
9089adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  A  e.  RR+ )  ->  A  e.  RR )
916recnd 9074 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  ( Im `  A
)  e.  CC )
9291abscld 12197 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
Im `  A )
)  e.  RR )
9392adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  -.  A  e.  RR+ )  ->  ( abs `  ( Im `  A ) )  e.  RR )
9490, 93ifclda 3730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  if ( A  e.  RR+ ,  A ,  ( abs `  ( Im
`  A ) ) )  e.  RR )
9588, 94syl5eqel 2492 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  S  e.  RR )
96 logcnlem.t . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  T  =  ( ( abs `  A
)  x.  ( R  /  ( 1  +  R ) ) )
975abscld 12197 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( abs `  A
)  e.  RR )
98 logcnlem.r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  R  e.  RR+ )
9998rpred 10608 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  R  e.  RR )
100 1rp 10576 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  1  e.  RR+
101 rpaddcl 10592 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( 1  e.  RR+  /\  R  e.  RR+ )  ->  (
1  +  R )  e.  RR+ )
102100, 98, 101sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( 1  +  R
)  e.  RR+ )
10399, 102rerpdivcld 10635 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( R  /  (
1  +  R ) )  e.  RR )
10497, 103remulcld 9076 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  A
)  x.  ( R  /  ( 1  +  R ) ) )  e.  RR )
10596, 104syl5eqel 2492 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  T  e.  RR )
106 ifcl 3739 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( S  e.  RR  /\  T  e.  RR )  ->  if ( S  <_  T ,  S ,  T )  e.  RR )
10795, 105, 106syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  if ( S  <_  T ,  S ,  T )  e.  RR )
108 logcnlem.l . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( A  -  B )
)  <  if ( S  <_  T ,  S ,  T ) )
109 min1 10736 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( S  e.  RR  /\  T  e.  RR )  ->  if ( S  <_  T ,  S ,  T )  <_  S
)
11095, 105, 109syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  if ( S  <_  T ,  S ,  T )  <_  S
)
11178, 107, 95, 108, 110ltletrd 9190 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( A  -  B )
)  <  S )
112111adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  ( abs `  ( A  -  B
) )  <  S
)
113 gt0ne0 9453 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( Im `  A
)  e.  RR  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( Im `  A
)  =/=  0 )
1146, 113sylan 458 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  ( Im `  A )  =/=  0
)
11589, 46syl5ib 211 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( A  e.  RR+  ->  ( Im `  A
)  =  0 ) )
116115necon3ad 2607 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( Im `  A )  =/=  0  ->  -.  A  e.  RR+ ) )
117116imp 419 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  =/=  0
)  ->  -.  A  e.  RR+ )
118 iffalse 3710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( -.  A  e.  RR+  ->  if ( A  e.  RR+ ,  A ,  ( abs `  ( Im `  A
) ) )  =  ( abs `  (
Im `  A )
) )
11988, 118syl5eq 2452 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( -.  A  e.  RR+  ->  S  =  ( abs `  (
Im `  A )
) )
120117, 119syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  =/=  0
)  ->  S  =  ( abs `  ( Im
`  A ) ) )
121114, 120syldan 457 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  S  =  ( abs `  ( Im
`  A ) ) )
122 ltle 9123 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( Im `  A )  e.  RR )  -> 
( 0  <  (
Im `  A )  ->  0  <_  ( Im `  A ) ) )
1237, 6, 122sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( 0  <  (
Im `  A )  ->  0  <_  ( Im `  A ) ) )
124123imp 419 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  0  <_  ( Im `  A ) )
12581, 124absidd 12184 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  ( abs `  ( Im `  A
) )  =  ( Im `  A ) )
126121, 125eqtrd 2440 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  S  =  ( Im `  A ) )
127112, 126breqtrd 4200 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  ( abs `  ( A  -  B
) )  <  (
Im `  A )
)
12877, 79, 81, 87, 127lelttrd 9188 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  ( Im `  ( A  -  B
) )  <  (
Im `  A )
)
12974, 128eqbrtrrd 4198 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  ( (
Im `  A )  -  ( Im `  B ) )  < 
( Im `  A
) )
13091adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  ( Im `  A )  e.  CC )
131130subid1d 9360 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  ( (
Im `  A )  -  0 )  =  ( Im `  A
) )
132129, 131breqtrrd 4202 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  ( (
Im `  A )  -  ( Im `  B ) )  < 
( ( Im `  A )  -  0 ) )
1337a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  0  e.  RR )
13416imcld 11959 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( Im `  B
)  e.  RR )
135133, 134, 6ltsub2d 9596 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( 0  <  (
Im `  B )  <->  ( ( Im `  A
)  -  ( Im
`  B ) )  <  ( ( Im
`  A )  - 
0 ) ) )
136135adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  ( 0  <  ( Im `  B )  <->  ( (
Im `  A )  -  ( Im `  B ) )  < 
( ( Im `  A )  -  0 ) ) )
137132, 136mpbird 224 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  0  <  ( Im `  B ) )
138 argimgt0 20464 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  B ) )  -> 
( Im `  ( log `  B ) )  e.  ( 0 (,) pi ) )
13972, 137, 138syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  ( Im `  ( log `  B
) )  e.  ( 0 (,) pi ) )
140 eliooord 10930 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Im `  ( log `  B ) )  e.  ( 0 (,) pi )  ->  ( 0  < 
( Im `  ( log `  B ) )  /\  ( Im `  ( log `  B ) )  <  pi ) )
141139, 140syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  ( 0  <  ( Im `  ( log `  B ) )  /\  ( Im
`  ( log `  B
) )  <  pi ) )
142141simpld 446 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  0  <  ( Im `  ( log `  B ) ) )
143133, 20, 25ltsub1d 9595 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 0  <  (
Im `  ( log `  B ) )  <->  ( 0  -  ( Im `  ( log `  A ) ) )  <  (
( Im `  ( log `  B ) )  -  ( Im `  ( log `  A ) ) ) ) )
144143adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  ( 0  <  ( Im `  ( log `  B ) )  <->  ( 0  -  ( Im `  ( log `  A ) ) )  <  ( ( Im `  ( log `  B ) )  -  ( Im `  ( log `  A ) ) ) ) )
145142, 144mpbid 202 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  ( 0  -  ( Im `  ( log `  A ) ) )  <  (
( Im `  ( log `  B ) )  -  ( Im `  ( log `  A ) ) ) )
14671, 145syl5eqbr 4209 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  -u ( Im
`  ( log `  A
) )  <  (
( Im `  ( log `  B ) )  -  ( Im `  ( log `  A ) ) ) )
14758, 60, 61, 70, 146lttrd 9191 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  -u pi  <  ( ( Im `  ( log `  B ) )  -  ( Im `  ( log `  A ) ) ) )
14843, 57, 1473jaodan 1250 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( (
Im `  A )  <  0  \/  ( Im
`  A )  =  0  \/  0  < 
( Im `  A
) ) )  ->  -u pi  <  ( ( Im `  ( log `  B ) )  -  ( Im `  ( log `  A ) ) ) )
1499, 148mpdan 650 . 2  |-  ( ph  -> 
-u pi  <  (
( Im `  ( log `  B ) )  -  ( Im `  ( log `  A ) ) ) )
15010a1i 11 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  pi  e.  RR )
15134renegcld 9424 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  -u ( Im
`  ( log `  A
) )  e.  RR )
15216adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  B  e.  CC )
15391adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  ( Im `  A )  e.  CC )
154153subid1d 9360 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  ( (
Im `  A )  -  0 )  =  ( Im `  A
) )
1556adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  ( Im `  A )  e.  RR )
15678renegcld 9424 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  -> 
-u ( abs `  ( A  -  B )
)  e.  RR )
157156adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  -u ( abs `  ( A  -  B
) )  e.  RR )
15876adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  ( Im `  ( A  -  B
) )  e.  RR )
15978adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  ( abs `  ( A  -  B
) )  e.  RR )
160111adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  ( abs `  ( A  -  B
) )  <  S
)
1617ltnri 9142 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  -.  0  <  0
162 breq1 4179 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( Im `  A )  =  0  ->  (
( Im `  A
)  <  0  <->  0  <  0 ) )
163161, 162mtbiri 295 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( Im `  A )  =  0  ->  -.  ( Im `  A )  <  0 )
164163necon2ai 2616 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( Im `  A )  <  0  ->  (
Im `  A )  =/=  0 )
165164, 120sylan2 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  S  =  ( abs `  ( Im
`  A ) ) )
166 ltle 9123 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( Im `  A
)  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  ( ( Im `  A )  <  0  ->  ( Im `  A
)  <_  0 ) )
1676, 7, 166sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( ( Im `  A )  <  0  ->  ( Im `  A
)  <_  0 ) )
168167imp 419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  ( Im `  A )  <_  0
)
169155, 168absnidd 12175 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  ( abs `  ( Im `  A
) )  =  -u ( Im `  A ) )
170165, 169eqtrd 2440 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  S  =  -u ( Im `  A
) )
171160, 170breqtrd 4200 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  ( abs `  ( A  -  B
) )  <  -u (
Im `  A )
)
172159, 155, 171ltnegcon2d 9567 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  ( Im `  A )  <  -u ( abs `  ( A  -  B ) ) )
17385simpld 446 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  -> 
-u ( abs `  ( A  -  B )
)  <_  ( Im `  ( A  -  B
) ) )
174173adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  -u ( abs `  ( A  -  B
) )  <_  (
Im `  ( A  -  B ) ) )
175155, 157, 158, 172, 174ltletrd 9190 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  ( Im `  A )  <  (
Im `  ( A  -  B ) ) )
17673adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  ( Im `  ( A  -  B
) )  =  ( ( Im `  A
)  -  ( Im
`  B ) ) )
177175, 176breqtrd 4200 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  ( Im `  A )  <  (
( Im `  A
)  -  ( Im
`  B ) ) )
178154, 177eqbrtrd 4196 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  ( (
Im `  A )  -  0 )  < 
( ( Im `  A )  -  (
Im `  B )
) )
179152imcld 11959 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  ( Im `  B )  e.  RR )
180179, 35, 155ltsub2d 9596 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  ( (
Im `  B )  <  0  <->  ( ( Im
`  A )  - 
0 )  <  (
( Im `  A
)  -  ( Im
`  B ) ) ) )
181178, 180mpbird 224 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  ( Im `  B )  <  0
)
182 argimlt0 20465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  e.  CC  /\  ( Im `  B )  <  0 )  -> 
( Im `  ( log `  B ) )  e.  ( -u pi (,) 0 ) )
183152, 181, 182syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  ( Im `  ( log `  B
) )  e.  (
-u pi (,) 0
) )
184 eliooord 10930 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Im `  ( log `  B ) )  e.  ( -u pi (,) 0 )  ->  ( -u pi  <  ( Im
`  ( log `  B
) )  /\  (
Im `  ( log `  B ) )  <  0 ) )
185183, 184syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  ( -u pi  <  ( Im `  ( log `  B ) )  /\  ( Im `  ( log `  B ) )  <  0 ) )
186185simprd 450 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  ( Im `  ( log `  B
) )  <  0
)
18721, 35, 34, 186ltsub1dd 9598 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  ( (
Im `  ( log `  B ) )  -  ( Im `  ( log `  A ) ) )  <  ( 0  -  ( Im `  ( log `  A ) ) ) )
188187, 71syl6breqr 4216 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  ( (
Im `  ( log `  B ) )  -  ( Im `  ( log `  A ) ) )  <  -u ( Im `  ( log `  A ) ) )
18939simpld 446 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  -u pi  <  ( Im `  ( log `  A ) ) )
190 ltnegcon1 9489 . . . . . . . 8  |-  ( ( pi  e.  RR  /\  ( Im `  ( log `  A ) )  e.  RR )  ->  ( -u pi  <  ( Im
`  ( log `  A
) )  <->  -u ( Im
`  ( log `  A
) )  <  pi ) )
19110, 34, 190sylancr 645 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  ( -u pi  <  ( Im `  ( log `  A ) )  <->  -u ( Im `  ( log `  A ) )  <  pi ) )
192189, 191mpbid 202 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  -u ( Im
`  ( log `  A
) )  <  pi )
19327, 151, 150, 188, 192lttrd 9191 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  ( (
Im `  ( log `  B ) )  -  ( Im `  ( log `  A ) ) )  <  pi )
19427, 150, 193ltled 9181 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  ( (
Im `  ( log `  B ) )  -  ( Im `  ( log `  A ) ) )  <_  pi )
19528simprd 450 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( Im `  ( log `  B ) )  <_  pi )
196195adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  =  0 )  ->  ( Im `  ( log `  B
) )  <_  pi )
19756, 196eqbrtrd 4196 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  =  0 )  ->  ( (
Im `  ( log `  B ) )  -  ( Im `  ( log `  A ) ) )  <_  pi )
19810a1i 11 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  pi  e.  RR )
19920adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  ( Im `  ( log `  B
) )  e.  RR )
2007a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  0  e.  RR )
20125adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  ( Im `  ( log `  A
) )  e.  RR )
20265simpld 446 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  0  <  ( Im `  ( log `  A ) ) )
203200, 201, 199, 202ltsub2dd 9599 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  ( (
Im `  ( log `  B ) )  -  ( Im `  ( log `  A ) ) )  <  ( ( Im
`  ( log `  B
) )  -  0 ) )
20431adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  ( Im `  ( log `  B
) )  e.  CC )
205204subid1d 9360 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  ( (
Im `  ( log `  B ) )  - 
0 )  =  ( Im `  ( log `  B ) ) )
206203, 205breqtrd 4200 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  ( (
Im `  ( log `  B ) )  -  ( Im `  ( log `  A ) ) )  <  ( Im `  ( log `  B ) ) )
207141simprd 450 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  ( Im `  ( log `  B
) )  <  pi )
20861, 199, 198, 206, 207lttrd 9191 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  ( (
Im `  ( log `  B ) )  -  ( Im `  ( log `  A ) ) )  <  pi )
20961, 198, 208ltled 9181 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  ( (
Im `  ( log `  B ) )  -  ( Im `  ( log `  A ) ) )  <_  pi )
210194, 197, 2093jaodan 1250 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( (
Im `  A )  <  0  \/  ( Im
`  A )  =  0  \/  0  < 
( Im `  A
) ) )  -> 
( ( Im `  ( log `  B ) )  -  ( Im
`  ( log `  A
) ) )  <_  pi )
2119, 210mpdan 650 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( Im `  ( log `  B ) )  -  ( Im
`  ( log `  A
) ) )  <_  pi )
212149, 211jca 519 1  |-  ( ph  ->  ( -u pi  <  ( ( Im `  ( log `  B ) )  -  ( Im `  ( log `  A ) ) )  /\  (
( Im `  ( log `  B ) )  -  ( Im `  ( log `  A ) ) )  <_  pi ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    \/ w3o 935    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2571    \ cdif 3281   ifcif 3703   class class class wbr 4176   ` cfv 5417  (class class class)co 6044   CCcc 8948   RRcr 8949   0cc0 8950   1c1 8951    + caddc 8953    x. cmul 8955    -oocmnf 9078    < clt 9080    <_ cle 9081    - cmin 9251   -ucneg 9252    / cdiv 9637   RR+crp 10572   (,)cioo 10876   (,]cioc 10877   Imcim 11862   abscabs 11998   picpi 12628   logclog 20409
This theorem is referenced by:  logcnlem4  20493
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2389  ax-rep 4284  ax-sep 4294  ax-nul 4302  ax-pow 4341  ax-pr 4367  ax-un 4664  ax-inf2 7556  ax-cnex 9006  ax-resscn 9007  ax-1cn 9008  ax-icn 9009  ax-addcl 9010  ax-addrcl 9011  ax-mulcl 9012  ax-mulrcl 9013  ax-mulcom 9014  ax-addass 9015  ax-mulass 9016  ax-distr 9017  ax-i2m1 9018  ax-1ne0 9019  ax-1rid 9020  ax-rnegex 9021  ax-rrecex 9022  ax-cnre 9023  ax-pre-lttri 9024  ax-pre-lttrn 9025  ax-pre-ltadd 9026  ax-pre-mulgt0 9027  ax-pre-sup 9028  ax-addf 9029  ax-mulf 9030
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2262  df-mo 2263  df-clab 2395  df-cleq 2401  df-clel 2404  df-nfc 2533  df-ne 2573  df-nel 2574  df-ral 2675  df-rex 2676  df-reu 2677  df-rmo 2678  df-rab 2679  df-v 2922  df-sbc 3126  df-csb 3216  df-dif 3287  df-un 3289  df-in 3291  df-ss 3298  df-pss 3300  df-nul 3593  df-if 3704  df-pw 3765  df-sn 3784  df-pr 3785  df-tp 3786  df-op 3787  df-uni 3980  df-int 4015  df-iun 4059  df-iin 4060  df-br 4177  df-opab 4231  df-mpt 4232  df-tr 4267  df-eprel 4458  df-id 4462  df-po 4467  df-so 4468  df-fr 4505  df-se 4506  df-we 4507  df-ord 4548  df-on 4549  df-lim 4550  df-suc 4551  df-om 4809  df-xp 4847  df-rel 4848  df-cnv 4849  df-co 4850  df-dm 4851  df-rn 4852  df-res 4853  df-ima 4854  df-iota 5381  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-isom 5426  df-ov 6047  df-oprab 6048  df-mpt2 6049  df-of 6268  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-riota 6512  df-recs 6596  df-rdg 6631  df-1o 6687  df-2o 6688  df-oadd 6691  df-er 6868  df-map 6983  df-pm 6984  df-ixp 7027  df-en 7073  df-dom 7074  df-sdom 7075  df-fin 7076  df-fi 7378  df-sup 7408  df-oi 7439  df-card 7786  df-cda 8008  df-pnf 9082  df-mnf 9083  df-xr 9084  df-ltxr 9085  df-le 9086  df-sub 9253  df-neg 9254  df-div 9638  df-nn 9961  df-2 10018  df-3 10019  df-4 10020  df-5 10021  df-6 10022  df-7 10023  df-8 10024  df-9 10025  df-10 10026  df-n0 10182  df-z 10243  df-dec 10343  df-uz 10449  df-q 10535  df-rp 10573  df-xneg 10670  df-xadd 10671  df-xmul 10672  df-ioo 10880  df-ioc 10881  df-ico 10882  df-icc 10883  df-fz 11004  df-fzo 11095  df-fl 11161  df-mod 11210  df-seq 11283  df-exp 11342  df-fac 11526  df-bc 11553  df-hash 11578  df-shft 11841  df-cj 11863  df-re 11864  df-im 11865  df-sqr 11999  df-abs 12000  df-limsup 12224  df-clim 12241  df-rlim 12242  df-sum 12439  df-ef 12629  df-sin 12631  df-cos 12632  df-pi 12634  df-struct 13430  df-ndx 13431  df-slot 13432  df-base 13433  df-sets 13434  df-ress 13435  df-plusg 13501  df-mulr 13502  df-starv 13503  df-sca 13504  df-vsca 13505  df-tset 13507  df-ple 13508  df-ds 13510  df-unif 13511  df-hom 13512  df-cco 13513  df-rest 13609  df-topn 13610  df-topgen 13626  df-pt 13627  df-prds 13630  df-xrs 13685  df-0g 13686  df-gsum 13687  df-qtop 13692  df-imas 13693  df-xps 13695  df-mre 13770  df-mrc 13771  df-acs 13773  df-mnd 14649  df-submnd 14698  df-mulg 14774  df-cntz 15075  df-cmn 15373  df-psmet 16653  df-xmet 16654  df-met 16655  df-bl 16656  df-mopn 16657  df-fbas 16658  df-fg 16659  df-cnfld 16663  df-top 16922  df-bases 16924  df-topon 16925  df-topsp 16926  df-cld 17042  df-ntr 17043  df-cls 17044  df-nei 17121  df-lp 17159  df-perf 17160  df-cn 17249  df-cnp 17250  df-haus 17337  df-tx 17551  df-hmeo 17744  df-fil 17835  df-fm 17927  df-flim 17928  df-flf 17929  df-xms 18307  df-ms 18308  df-tms 18309  df-cncf 18865  df-limc 19710  df-dv 19711  df-log 20411
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