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Theorem logcnlem3 20540
Description: Lemma for logcn 20543. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
logcn.d  |-  D  =  ( CC  \  (  -oo (,] 0 ) )
logcnlem.s  |-  S  =  if ( A  e.  RR+ ,  A ,  ( abs `  ( Im
`  A ) ) )
logcnlem.t  |-  T  =  ( ( abs `  A
)  x.  ( R  /  ( 1  +  R ) ) )
logcnlem.a  |-  ( ph  ->  A  e.  D )
logcnlem.r  |-  ( ph  ->  R  e.  RR+ )
logcnlem.b  |-  ( ph  ->  B  e.  D )
logcnlem.l  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( A  -  B )
)  <  if ( S  <_  T ,  S ,  T ) )
Assertion
Ref Expression
logcnlem3  |-  ( ph  ->  ( -u pi  <  ( ( Im `  ( log `  B ) )  -  ( Im `  ( log `  A ) ) )  /\  (
( Im `  ( log `  B ) )  -  ( Im `  ( log `  A ) ) )  <_  pi ) )

Proof of Theorem logcnlem3
StepHypRef Expression
1 logcnlem.a . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  e.  D )
2 logcn.d . . . . . . . 8  |-  D  =  ( CC  \  (  -oo (,] 0 ) )
32ellogdm 20535 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  D  <->  ( A  e.  CC  /\  ( A  e.  RR  ->  A  e.  RR+ ) ) )
43simplbi 448 . . . . . 6  |-  ( A  e.  D  ->  A  e.  CC )
51, 4syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
65imcld 12005 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Im `  A
)  e.  RR )
7 0re 9096 . . . 4  |-  0  e.  RR
8 lttri4 9164 . . . 4  |-  ( ( ( Im `  A
)  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  ( ( Im `  A )  <  0  \/  ( Im `  A
)  =  0  \/  0  <  ( Im
`  A ) ) )
96, 7, 8sylancl 645 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( Im `  A )  <  0  \/  ( Im `  A
)  =  0  \/  0  <  ( Im
`  A ) ) )
10 pire 20377 . . . . . . 7  |-  pi  e.  RR
1110renegcli 9367 . . . . . 6  |-  -u pi  e.  RR
1211a1i 11 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  -u pi  e.  RR )
13 logcnlem.b . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  B  e.  D )
142ellogdm 20535 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  D  <->  ( B  e.  CC  /\  ( B  e.  RR  ->  B  e.  RR+ ) ) )
1514simplbi 448 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  D  ->  B  e.  CC )
1613, 15syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
172logdmn0 20536 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  D  ->  B  =/=  0 )
1813, 17syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  B  =/=  0 )
1916, 18logcld 20473 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( log `  B
)  e.  CC )
2019imcld 12005 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( Im `  ( log `  B ) )  e.  RR )
2120adantr 453 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  ( Im `  ( log `  B
) )  e.  RR )
222logdmn0 20536 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  D  ->  A  =/=  0 )
231, 22syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  =/=  0 )
245, 23logcld 20473 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( log `  A
)  e.  CC )
2524imcld 12005 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( Im `  ( log `  A ) )  e.  RR )
2620, 25resubcld 9470 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( Im `  ( log `  B ) )  -  ( Im
`  ( log `  A
) ) )  e.  RR )
2726adantr 453 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  ( (
Im `  ( log `  B ) )  -  ( Im `  ( log `  A ) ) )  e.  RR )
2816, 18logimcld 20474 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( -u pi  <  ( Im `  ( log `  B ) )  /\  ( Im `  ( log `  B ) )  <_  pi ) )
2928simpld 447 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
-u pi  <  (
Im `  ( log `  B ) ) )
3029adantr 453 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  -u pi  <  ( Im `  ( log `  B ) ) )
3120recnd 9119 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( Im `  ( log `  B ) )  e.  CC )
3231adantr 453 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  ( Im `  ( log `  B
) )  e.  CC )
3332subid1d 9405 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  ( (
Im `  ( log `  B ) )  - 
0 )  =  ( Im `  ( log `  B ) ) )
3425adantr 453 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  ( Im `  ( log `  A
) )  e.  RR )
357a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  0  e.  RR )
36 argimlt0 20513 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Im `  A )  <  0 )  -> 
( Im `  ( log `  A ) )  e.  ( -u pi (,) 0 ) )
375, 36sylan 459 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  ( Im `  ( log `  A
) )  e.  (
-u pi (,) 0
) )
38 eliooord 10975 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Im `  ( log `  A ) )  e.  ( -u pi (,) 0 )  ->  ( -u pi  <  ( Im
`  ( log `  A
) )  /\  (
Im `  ( log `  A ) )  <  0 ) )
3937, 38syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  ( -u pi  <  ( Im `  ( log `  A ) )  /\  ( Im `  ( log `  A ) )  <  0 ) )
4039simprd 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  ( Im `  ( log `  A
) )  <  0
)
4134, 35, 21, 40ltsub2dd 9644 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  ( (
Im `  ( log `  B ) )  - 
0 )  <  (
( Im `  ( log `  B ) )  -  ( Im `  ( log `  A ) ) ) )
4233, 41eqbrtrrd 4237 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  ( Im `  ( log `  B
) )  <  (
( Im `  ( log `  B ) )  -  ( Im `  ( log `  A ) ) ) )
4312, 21, 27, 30, 42lttrd 9236 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  -u pi  <  ( ( Im `  ( log `  B ) )  -  ( Im `  ( log `  A ) ) ) )
4429adantr 453 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  =  0 )  ->  -u pi  <  ( Im `  ( log `  B ) ) )
45 reim0b 11929 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  e.  RR  <->  ( Im `  A )  =  0 ) )
465, 45syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( A  e.  RR  <->  ( Im `  A )  =  0 ) )
473simprbi 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  D  ->  ( A  e.  RR  ->  A  e.  RR+ ) )
481, 47syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( A  e.  RR  ->  A  e.  RR+ )
)
4946, 48sylbird 228 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( Im `  A )  =  0  ->  A  e.  RR+ ) )
5049imp 420 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  =  0 )  ->  A  e.  RR+ )
5150relogcld 20523 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  =  0 )  ->  ( log `  A )  e.  RR )
5251reim0d 12035 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  =  0 )  ->  ( Im `  ( log `  A
) )  =  0 )
5352oveq2d 6100 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  =  0 )  ->  ( (
Im `  ( log `  B ) )  -  ( Im `  ( log `  A ) ) )  =  ( ( Im
`  ( log `  B
) )  -  0 ) )
5431subid1d 9405 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( Im `  ( log `  B ) )  -  0 )  =  ( Im `  ( log `  B ) ) )
5554adantr 453 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  =  0 )  ->  ( (
Im `  ( log `  B ) )  - 
0 )  =  ( Im `  ( log `  B ) ) )
5653, 55eqtrd 2470 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  =  0 )  ->  ( (
Im `  ( log `  B ) )  -  ( Im `  ( log `  A ) ) )  =  ( Im `  ( log `  B ) ) )
5744, 56breqtrrd 4241 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  =  0 )  ->  -u pi  <  ( ( Im `  ( log `  B ) )  -  ( Im `  ( log `  A ) ) ) )
5811a1i 11 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  -u pi  e.  RR )
5925renegcld 9469 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
-u ( Im `  ( log `  A ) )  e.  RR )
6059adantr 453 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  -u ( Im
`  ( log `  A
) )  e.  RR )
6126adantr 453 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  ( (
Im `  ( log `  B ) )  -  ( Im `  ( log `  A ) ) )  e.  RR )
62 argimgt0 20512 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( Im `  ( log `  A ) )  e.  ( 0 (,) pi ) )
635, 62sylan 459 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  ( Im `  ( log `  A
) )  e.  ( 0 (,) pi ) )
64 eliooord 10975 . . . . . . . 8  |-  ( ( Im `  ( log `  A ) )  e.  ( 0 (,) pi )  ->  ( 0  < 
( Im `  ( log `  A ) )  /\  ( Im `  ( log `  A ) )  <  pi ) )
6563, 64syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  ( 0  <  ( Im `  ( log `  A ) )  /\  ( Im
`  ( log `  A
) )  <  pi ) )
6665simprd 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  ( Im `  ( log `  A
) )  <  pi )
67 ltneg 9533 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( Im `  ( log `  A ) )  e.  RR  /\  pi  e.  RR )  ->  (
( Im `  ( log `  A ) )  <  pi  <->  -u pi  <  -u ( Im `  ( log `  A ) ) ) )
6825, 10, 67sylancl 645 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( Im `  ( log `  A ) )  <  pi  <->  -u pi  <  -u ( Im `  ( log `  A ) ) ) )
6968adantr 453 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  ( (
Im `  ( log `  A ) )  < 
pi 
<-> 
-u pi  <  -u (
Im `  ( log `  A ) ) ) )
7066, 69mpbid 203 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  -u pi  <  -u ( Im `  ( log `  A ) ) )
71 df-neg 9299 . . . . . 6  |-  -u (
Im `  ( log `  A ) )  =  ( 0  -  (
Im `  ( log `  A ) ) )
7216adantr 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  B  e.  CC )
735, 16imsubd 12027 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( Im `  ( A  -  B )
)  =  ( ( Im `  A )  -  ( Im `  B ) ) )
7473adantr 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  ( Im `  ( A  -  B
) )  =  ( ( Im `  A
)  -  ( Im
`  B ) ) )
755, 16subcld 9416 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( A  -  B
)  e.  CC )
7675imcld 12005 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( Im `  ( A  -  B )
)  e.  RR )
7776adantr 453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  ( Im `  ( A  -  B
) )  e.  RR )
7875abscld 12243 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( A  -  B )
)  e.  RR )
7978adantr 453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  ( abs `  ( A  -  B
) )  e.  RR )
805adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  A  e.  CC )
8180imcld 12005 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  ( Im `  A )  e.  RR )
82 absimle 12119 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  -  B )  e.  CC  ->  ( abs `  ( Im `  ( A  -  B
) ) )  <_ 
( abs `  ( A  -  B )
) )
8375, 82syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
Im `  ( A  -  B ) ) )  <_  ( abs `  ( A  -  B )
) )
8476, 78absled 12238 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  (
Im `  ( A  -  B ) ) )  <_  ( abs `  ( A  -  B )
)  <->  ( -u ( abs `  ( A  -  B ) )  <_ 
( Im `  ( A  -  B )
)  /\  ( Im `  ( A  -  B
) )  <_  ( abs `  ( A  -  B ) ) ) ) )
8583, 84mpbid 203 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( -u ( abs `  ( A  -  B
) )  <_  (
Im `  ( A  -  B ) )  /\  ( Im `  ( A  -  B ) )  <_  ( abs `  ( A  -  B )
) ) )
8685simprd 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( Im `  ( A  -  B )
)  <_  ( abs `  ( A  -  B
) ) )
8786adantr 453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  ( Im `  ( A  -  B
) )  <_  ( abs `  ( A  -  B ) ) )
88 logcnlem.s . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  S  =  if ( A  e.  RR+ ,  A ,  ( abs `  ( Im
`  A ) ) )
89 rpre 10623 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( A  e.  RR+  ->  A  e.  RR )
9089adantl 454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  A  e.  RR+ )  ->  A  e.  RR )
916recnd 9119 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  ( Im `  A
)  e.  CC )
9291abscld 12243 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
Im `  A )
)  e.  RR )
9392adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  -.  A  e.  RR+ )  ->  ( abs `  ( Im `  A ) )  e.  RR )
9490, 93ifclda 3768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  if ( A  e.  RR+ ,  A ,  ( abs `  ( Im
`  A ) ) )  e.  RR )
9588, 94syl5eqel 2522 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  S  e.  RR )
96 logcnlem.t . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  T  =  ( ( abs `  A
)  x.  ( R  /  ( 1  +  R ) ) )
975abscld 12243 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( abs `  A
)  e.  RR )
98 logcnlem.r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  R  e.  RR+ )
9998rpred 10653 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  R  e.  RR )
100 1rp 10621 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  1  e.  RR+
101 rpaddcl 10637 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( 1  e.  RR+  /\  R  e.  RR+ )  ->  (
1  +  R )  e.  RR+ )
102100, 98, 101sylancr 646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( 1  +  R
)  e.  RR+ )
10399, 102rerpdivcld 10680 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( R  /  (
1  +  R ) )  e.  RR )
10497, 103remulcld 9121 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  A
)  x.  ( R  /  ( 1  +  R ) ) )  e.  RR )
10596, 104syl5eqel 2522 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  T  e.  RR )
106 ifcl 3777 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( S  e.  RR  /\  T  e.  RR )  ->  if ( S  <_  T ,  S ,  T )  e.  RR )
10795, 105, 106syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  if ( S  <_  T ,  S ,  T )  e.  RR )
108 logcnlem.l . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( A  -  B )
)  <  if ( S  <_  T ,  S ,  T ) )
109 min1 10781 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( S  e.  RR  /\  T  e.  RR )  ->  if ( S  <_  T ,  S ,  T )  <_  S
)
11095, 105, 109syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  if ( S  <_  T ,  S ,  T )  <_  S
)
11178, 107, 95, 108, 110ltletrd 9235 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( A  -  B )
)  <  S )
112111adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  ( abs `  ( A  -  B
) )  <  S
)
113 gt0ne0 9498 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( Im `  A
)  e.  RR  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( Im `  A
)  =/=  0 )
1146, 113sylan 459 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  ( Im `  A )  =/=  0
)
11589, 46syl5ib 212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( A  e.  RR+  ->  ( Im `  A
)  =  0 ) )
116115necon3ad 2639 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( Im `  A )  =/=  0  ->  -.  A  e.  RR+ ) )
117116imp 420 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  =/=  0
)  ->  -.  A  e.  RR+ )
118 iffalse 3748 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( -.  A  e.  RR+  ->  if ( A  e.  RR+ ,  A ,  ( abs `  ( Im `  A
) ) )  =  ( abs `  (
Im `  A )
) )
11988, 118syl5eq 2482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( -.  A  e.  RR+  ->  S  =  ( abs `  (
Im `  A )
) )
120117, 119syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  =/=  0
)  ->  S  =  ( abs `  ( Im
`  A ) ) )
121114, 120syldan 458 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  S  =  ( abs `  ( Im
`  A ) ) )
122 ltle 9168 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( Im `  A )  e.  RR )  -> 
( 0  <  (
Im `  A )  ->  0  <_  ( Im `  A ) ) )
1237, 6, 122sylancr 646 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( 0  <  (
Im `  A )  ->  0  <_  ( Im `  A ) ) )
124123imp 420 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  0  <_  ( Im `  A ) )
12581, 124absidd 12230 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  ( abs `  ( Im `  A
) )  =  ( Im `  A ) )
126121, 125eqtrd 2470 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  S  =  ( Im `  A ) )
127112, 126breqtrd 4239 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  ( abs `  ( A  -  B
) )  <  (
Im `  A )
)
12877, 79, 81, 87, 127lelttrd 9233 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  ( Im `  ( A  -  B
) )  <  (
Im `  A )
)
12974, 128eqbrtrrd 4237 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  ( (
Im `  A )  -  ( Im `  B ) )  < 
( Im `  A
) )
13091adantr 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  ( Im `  A )  e.  CC )
131130subid1d 9405 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  ( (
Im `  A )  -  0 )  =  ( Im `  A
) )
132129, 131breqtrrd 4241 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  ( (
Im `  A )  -  ( Im `  B ) )  < 
( ( Im `  A )  -  0 ) )
1337a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  0  e.  RR )
13416imcld 12005 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( Im `  B
)  e.  RR )
135133, 134, 6ltsub2d 9641 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( 0  <  (
Im `  B )  <->  ( ( Im `  A
)  -  ( Im
`  B ) )  <  ( ( Im
`  A )  - 
0 ) ) )
136135adantr 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  ( 0  <  ( Im `  B )  <->  ( (
Im `  A )  -  ( Im `  B ) )  < 
( ( Im `  A )  -  0 ) ) )
137132, 136mpbird 225 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  0  <  ( Im `  B ) )
138 argimgt0 20512 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  B ) )  -> 
( Im `  ( log `  B ) )  e.  ( 0 (,) pi ) )
13972, 137, 138syl2anc 644 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  ( Im `  ( log `  B
) )  e.  ( 0 (,) pi ) )
140 eliooord 10975 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Im `  ( log `  B ) )  e.  ( 0 (,) pi )  ->  ( 0  < 
( Im `  ( log `  B ) )  /\  ( Im `  ( log `  B ) )  <  pi ) )
141139, 140syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  ( 0  <  ( Im `  ( log `  B ) )  /\  ( Im
`  ( log `  B
) )  <  pi ) )
142141simpld 447 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  0  <  ( Im `  ( log `  B ) ) )
143133, 20, 25ltsub1d 9640 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 0  <  (
Im `  ( log `  B ) )  <->  ( 0  -  ( Im `  ( log `  A ) ) )  <  (
( Im `  ( log `  B ) )  -  ( Im `  ( log `  A ) ) ) ) )
144143adantr 453 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  ( 0  <  ( Im `  ( log `  B ) )  <->  ( 0  -  ( Im `  ( log `  A ) ) )  <  ( ( Im `  ( log `  B ) )  -  ( Im `  ( log `  A ) ) ) ) )
145142, 144mpbid 203 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  ( 0  -  ( Im `  ( log `  A ) ) )  <  (
( Im `  ( log `  B ) )  -  ( Im `  ( log `  A ) ) ) )
14671, 145syl5eqbr 4248 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  -u ( Im
`  ( log `  A
) )  <  (
( Im `  ( log `  B ) )  -  ( Im `  ( log `  A ) ) ) )
14758, 60, 61, 70, 146lttrd 9236 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  -u pi  <  ( ( Im `  ( log `  B ) )  -  ( Im `  ( log `  A ) ) ) )
14843, 57, 1473jaodan 1251 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( (
Im `  A )  <  0  \/  ( Im
`  A )  =  0  \/  0  < 
( Im `  A
) ) )  ->  -u pi  <  ( ( Im `  ( log `  B ) )  -  ( Im `  ( log `  A ) ) ) )
1499, 148mpdan 651 . 2  |-  ( ph  -> 
-u pi  <  (
( Im `  ( log `  B ) )  -  ( Im `  ( log `  A ) ) ) )
15010a1i 11 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  pi  e.  RR )
15134renegcld 9469 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  -u ( Im
`  ( log `  A
) )  e.  RR )
15216adantr 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  B  e.  CC )
15391adantr 453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  ( Im `  A )  e.  CC )
154153subid1d 9405 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  ( (
Im `  A )  -  0 )  =  ( Im `  A
) )
1556adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  ( Im `  A )  e.  RR )
15678renegcld 9469 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  -> 
-u ( abs `  ( A  -  B )
)  e.  RR )
157156adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  -u ( abs `  ( A  -  B
) )  e.  RR )
15876adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  ( Im `  ( A  -  B
) )  e.  RR )
15978adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  ( abs `  ( A  -  B
) )  e.  RR )
160111adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  ( abs `  ( A  -  B
) )  <  S
)
1617ltnri 9187 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  -.  0  <  0
162 breq1 4218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( Im `  A )  =  0  ->  (
( Im `  A
)  <  0  <->  0  <  0 ) )
163161, 162mtbiri 296 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( Im `  A )  =  0  ->  -.  ( Im `  A )  <  0 )
164163necon2ai 2651 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( Im `  A )  <  0  ->  (
Im `  A )  =/=  0 )
165164, 120sylan2 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  S  =  ( abs `  ( Im
`  A ) ) )
166 ltle 9168 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( Im `  A
)  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  ( ( Im `  A )  <  0  ->  ( Im `  A
)  <_  0 ) )
1676, 7, 166sylancl 645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( ( Im `  A )  <  0  ->  ( Im `  A
)  <_  0 ) )
168167imp 420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  ( Im `  A )  <_  0
)
169155, 168absnidd 12221 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  ( abs `  ( Im `  A
) )  =  -u ( Im `  A ) )
170165, 169eqtrd 2470 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  S  =  -u ( Im `  A
) )
171160, 170breqtrd 4239 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  ( abs `  ( A  -  B
) )  <  -u (
Im `  A )
)
172159, 155, 171ltnegcon2d 9612 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  ( Im `  A )  <  -u ( abs `  ( A  -  B ) ) )
17385simpld 447 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  -> 
-u ( abs `  ( A  -  B )
)  <_  ( Im `  ( A  -  B
) ) )
174173adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  -u ( abs `  ( A  -  B
) )  <_  (
Im `  ( A  -  B ) ) )
175155, 157, 158, 172, 174ltletrd 9235 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  ( Im `  A )  <  (
Im `  ( A  -  B ) ) )
17673adantr 453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  ( Im `  ( A  -  B
) )  =  ( ( Im `  A
)  -  ( Im
`  B ) ) )
177175, 176breqtrd 4239 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  ( Im `  A )  <  (
( Im `  A
)  -  ( Im
`  B ) ) )
178154, 177eqbrtrd 4235 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  ( (
Im `  A )  -  0 )  < 
( ( Im `  A )  -  (
Im `  B )
) )
179152imcld 12005 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  ( Im `  B )  e.  RR )
180179, 35, 155ltsub2d 9641 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  ( (
Im `  B )  <  0  <->  ( ( Im
`  A )  - 
0 )  <  (
( Im `  A
)  -  ( Im
`  B ) ) ) )
181178, 180mpbird 225 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  ( Im `  B )  <  0
)
182 argimlt0 20513 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  e.  CC  /\  ( Im `  B )  <  0 )  -> 
( Im `  ( log `  B ) )  e.  ( -u pi (,) 0 ) )
183152, 181, 182syl2anc 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  ( Im `  ( log `  B
) )  e.  (
-u pi (,) 0
) )
184 eliooord 10975 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Im `  ( log `  B ) )  e.  ( -u pi (,) 0 )  ->  ( -u pi  <  ( Im
`  ( log `  B
) )  /\  (
Im `  ( log `  B ) )  <  0 ) )
185183, 184syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  ( -u pi  <  ( Im `  ( log `  B ) )  /\  ( Im `  ( log `  B ) )  <  0 ) )
186185simprd 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  ( Im `  ( log `  B
) )  <  0
)
18721, 35, 34, 186ltsub1dd 9643 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  ( (
Im `  ( log `  B ) )  -  ( Im `  ( log `  A ) ) )  <  ( 0  -  ( Im `  ( log `  A ) ) ) )
188187, 71syl6breqr 4255 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  ( (
Im `  ( log `  B ) )  -  ( Im `  ( log `  A ) ) )  <  -u ( Im `  ( log `  A ) ) )
18939simpld 447 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  -u pi  <  ( Im `  ( log `  A ) ) )
190 ltnegcon1 9534 . . . . . . . 8  |-  ( ( pi  e.  RR  /\  ( Im `  ( log `  A ) )  e.  RR )  ->  ( -u pi  <  ( Im
`  ( log `  A
) )  <->  -u ( Im
`  ( log `  A
) )  <  pi ) )
19110, 34, 190sylancr 646 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  ( -u pi  <  ( Im `  ( log `  A ) )  <->  -u ( Im `  ( log `  A ) )  <  pi ) )
192189, 191mpbid 203 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  -u ( Im
`  ( log `  A
) )  <  pi )
19327, 151, 150, 188, 192lttrd 9236 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  ( (
Im `  ( log `  B ) )  -  ( Im `  ( log `  A ) ) )  <  pi )
19427, 150, 193ltled 9226 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  ( (
Im `  ( log `  B ) )  -  ( Im `  ( log `  A ) ) )  <_  pi )
19528simprd 451 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( Im `  ( log `  B ) )  <_  pi )
196195adantr 453 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  =  0 )  ->  ( Im `  ( log `  B
) )  <_  pi )
19756, 196eqbrtrd 4235 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  =  0 )  ->  ( (
Im `  ( log `  B ) )  -  ( Im `  ( log `  A ) ) )  <_  pi )
19810a1i 11 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  pi  e.  RR )
19920adantr 453 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  ( Im `  ( log `  B
) )  e.  RR )
2007a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  0  e.  RR )
20125adantr 453 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  ( Im `  ( log `  A
) )  e.  RR )
20265simpld 447 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  0  <  ( Im `  ( log `  A ) ) )
203200, 201, 199, 202ltsub2dd 9644 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  ( (
Im `  ( log `  B ) )  -  ( Im `  ( log `  A ) ) )  <  ( ( Im
`  ( log `  B
) )  -  0 ) )
20431adantr 453 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  ( Im `  ( log `  B
) )  e.  CC )
205204subid1d 9405 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  ( (
Im `  ( log `  B ) )  - 
0 )  =  ( Im `  ( log `  B ) ) )
206203, 205breqtrd 4239 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  ( (
Im `  ( log `  B ) )  -  ( Im `  ( log `  A ) ) )  <  ( Im `  ( log `  B ) ) )
207141simprd 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  ( Im `  ( log `  B
) )  <  pi )
20861, 199, 198, 206, 207lttrd 9236 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  ( (
Im `  ( log `  B ) )  -  ( Im `  ( log `  A ) ) )  <  pi )
20961, 198, 208ltled 9226 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  ( (
Im `  ( log `  B ) )  -  ( Im `  ( log `  A ) ) )  <_  pi )
210194, 197, 2093jaodan 1251 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( (
Im `  A )  <  0  \/  ( Im
`  A )  =  0  \/  0  < 
( Im `  A
) ) )  -> 
( ( Im `  ( log `  B ) )  -  ( Im
`  ( log `  A
) ) )  <_  pi )
2119, 210mpdan 651 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( Im `  ( log `  B ) )  -  ( Im
`  ( log `  A
) ) )  <_  pi )
212149, 211jca 520 1  |-  ( ph  ->  ( -u pi  <  ( ( Im `  ( log `  B ) )  -  ( Im `  ( log `  A ) ) )  /\  (
( Im `  ( log `  B ) )  -  ( Im `  ( log `  A ) ) )  <_  pi ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    \/ w3o 936    = wceq 1653    e. wcel 1726    =/= wne 2601    \ cdif 3319   ifcif 3741   class class class wbr 4215   ` cfv 5457  (class class class)co 6084   CCcc 8993   RRcr 8994   0cc0 8995   1c1 8996    + caddc 8998    x. cmul 9000    -oocmnf 9123    < clt 9125    <_ cle 9126    - cmin 9296   -ucneg 9297    / cdiv 9682   RR+crp 10617   (,)cioo 10921   (,]cioc 10922   Imcim 11908   abscabs 12044   picpi 12674   logclog 20457
This theorem is referenced by:  logcnlem4  20541
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-inf2 7599  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072  ax-pre-sup 9073  ax-addf 9074  ax-mulf 9075
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-iin 4098  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-se 4545  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-isom 5466  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-of 6308  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-1o 6727  df-2o 6728  df-oadd 6731  df-er 6908  df-map 7023  df-pm 7024  df-ixp 7067  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-fin 7116  df-fi 7419  df-sup 7449  df-oi 7482  df-card 7831  df-cda 8053  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-div 9683  df-nn 10006  df-2 10063  df-3 10064  df-4 10065  df-5 10066  df-6 10067  df-7 10068  df-8 10069  df-9 10070  df-10 10071  df-n0 10227  df-z 10288  df-dec 10388  df-uz 10494  df-q 10580  df-rp 10618  df-xneg 10715  df-xadd 10716  df-xmul 10717  df-ioo 10925  df-ioc 10926  df-ico 10927  df-icc 10928  df-fz 11049  df-fzo 11141  df-fl 11207  df-mod 11256  df-seq 11329  df-exp 11388  df-fac 11572  df-bc 11599  df-hash 11624  df-shft 11887  df-cj 11909  df-re 11910  df-im 11911  df-sqr 12045  df-abs 12046  df-limsup 12270  df-clim 12287  df-rlim 12288  df-sum 12485  df-ef 12675  df-sin 12677  df-cos 12678  df-pi 12680  df-struct 13476  df-ndx 13477  df-slot 13478  df-base 13479  df-sets 13480  df-ress 13481  df-plusg 13547  df-mulr 13548  df-starv 13549  df-sca 13550  df-vsca 13551  df-tset 13553  df-ple 13554  df-ds 13556  df-unif 13557  df-hom 13558  df-cco 13559  df-rest 13655  df-topn 13656  df-topgen 13672  df-pt 13673  df-prds 13676  df-xrs 13731  df-0g 13732  df-gsum 13733  df-qtop 13738  df-imas 13739  df-xps 13741  df-mre 13816  df-mrc 13817  df-acs 13819  df-mnd 14695  df-submnd 14744  df-mulg 14820  df-cntz 15121  df-cmn 15419  df-psmet 16699  df-xmet 16700  df-met 16701  df-bl 16702  df-mopn 16703  df-fbas 16704  df-fg 16705  df-cnfld 16709  df-top 16968  df-bases 16970  df-topon 16971  df-topsp 16972  df-cld 17088  df-ntr 17089  df-cls 17090  df-nei 17167  df-lp 17205  df-perf 17206  df-cn 17296  df-cnp 17297  df-haus 17384  df-tx 17599  df-hmeo 17792  df-fil 17883  df-fm 17975  df-flim 17976  df-flf 17977  df-xms 18355  df-ms 18356  df-tms 18357  df-cncf 18913  df-limc 19758  df-dv 19759  df-log 20459
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