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Theorem logcnlem3 19991
Description: Lemma for logcn 19994. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
logcn.d  |-  D  =  ( CC  \  (  -oo (,] 0 ) )
logcnlem.s  |-  S  =  if ( A  e.  RR+ ,  A ,  ( abs `  ( Im
`  A ) ) )
logcnlem.t  |-  T  =  ( ( abs `  A
)  x.  ( R  /  ( 1  +  R ) ) )
logcnlem.a  |-  ( ph  ->  A  e.  D )
logcnlem.r  |-  ( ph  ->  R  e.  RR+ )
logcnlem.b  |-  ( ph  ->  B  e.  D )
logcnlem.l  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( A  -  B )
)  <  if ( S  <_  T ,  S ,  T ) )
Assertion
Ref Expression
logcnlem3  |-  ( ph  ->  ( -u pi  <  ( ( Im `  ( log `  B ) )  -  ( Im `  ( log `  A ) ) )  /\  (
( Im `  ( log `  B ) )  -  ( Im `  ( log `  A ) ) )  <_  pi ) )

Proof of Theorem logcnlem3
StepHypRef Expression
1 logcnlem.a . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  e.  D )
2 logcn.d . . . . . . . 8  |-  D  =  ( CC  \  (  -oo (,] 0 ) )
32ellogdm 19986 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  D  <->  ( A  e.  CC  /\  ( A  e.  RR  ->  A  e.  RR+ ) ) )
43simplbi 446 . . . . . 6  |-  ( A  e.  D  ->  A  e.  CC )
51, 4syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
65imcld 11680 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Im `  A
)  e.  RR )
7 0re 8838 . . . 4  |-  0  e.  RR
8 lttri4 8906 . . . 4  |-  ( ( ( Im `  A
)  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  ( ( Im `  A )  <  0  \/  ( Im `  A
)  =  0  \/  0  <  ( Im
`  A ) ) )
96, 7, 8sylancl 643 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( Im `  A )  <  0  \/  ( Im `  A
)  =  0  \/  0  <  ( Im
`  A ) ) )
10 pire 19832 . . . . . . 7  |-  pi  e.  RR
1110renegcli 9108 . . . . . 6  |-  -u pi  e.  RR
1211a1i 10 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  -u pi  e.  RR )
13 logcnlem.b . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  B  e.  D )
142ellogdm 19986 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  D  <->  ( B  e.  CC  /\  ( B  e.  RR  ->  B  e.  RR+ ) ) )
1514simplbi 446 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  D  ->  B  e.  CC )
1613, 15syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
172logdmn0 19987 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  D  ->  B  =/=  0 )
1813, 17syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  B  =/=  0 )
19 logcl 19926 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  CC  /\  B  =/=  0 )  -> 
( log `  B
)  e.  CC )
2016, 18, 19syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( log `  B
)  e.  CC )
2120imcld 11680 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( Im `  ( log `  B ) )  e.  RR )
2221adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  ( Im `  ( log `  B
) )  e.  RR )
232logdmn0 19987 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  D  ->  A  =/=  0 )
241, 23syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  =/=  0 )
25 logcl 19926 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( log `  A
)  e.  CC )
265, 24, 25syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( log `  A
)  e.  CC )
2726imcld 11680 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( Im `  ( log `  A ) )  e.  RR )
2821, 27resubcld 9211 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( Im `  ( log `  B ) )  -  ( Im
`  ( log `  A
) ) )  e.  RR )
2928adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  ( (
Im `  ( log `  B ) )  -  ( Im `  ( log `  A ) ) )  e.  RR )
30 logimcl 19927 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  CC  /\  B  =/=  0 )  -> 
( -u pi  <  (
Im `  ( log `  B ) )  /\  ( Im `  ( log `  B ) )  <_  pi ) )
3116, 18, 30syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( -u pi  <  ( Im `  ( log `  B ) )  /\  ( Im `  ( log `  B ) )  <_  pi ) )
3231simpld 445 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
-u pi  <  (
Im `  ( log `  B ) ) )
3332adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  -u pi  <  ( Im `  ( log `  B ) ) )
3421recnd 8861 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( Im `  ( log `  B ) )  e.  CC )
3534adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  ( Im `  ( log `  B
) )  e.  CC )
3635subid1d 9146 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  ( (
Im `  ( log `  B ) )  - 
0 )  =  ( Im `  ( log `  B ) ) )
3727adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  ( Im `  ( log `  A
) )  e.  RR )
387a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  0  e.  RR )
39 argimlt0 19967 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Im `  A )  <  0 )  -> 
( Im `  ( log `  A ) )  e.  ( -u pi (,) 0 ) )
405, 39sylan 457 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  ( Im `  ( log `  A
) )  e.  (
-u pi (,) 0
) )
41 eliooord 10710 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Im `  ( log `  A ) )  e.  ( -u pi (,) 0 )  ->  ( -u pi  <  ( Im
`  ( log `  A
) )  /\  (
Im `  ( log `  A ) )  <  0 ) )
4240, 41syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  ( -u pi  <  ( Im `  ( log `  A ) )  /\  ( Im `  ( log `  A ) )  <  0 ) )
4342simprd 449 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  ( Im `  ( log `  A
) )  <  0
)
4437, 38, 22, 43ltsub2dd 9385 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  ( (
Im `  ( log `  B ) )  - 
0 )  <  (
( Im `  ( log `  B ) )  -  ( Im `  ( log `  A ) ) ) )
4536, 44eqbrtrrd 4045 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  ( Im `  ( log `  B
) )  <  (
( Im `  ( log `  B ) )  -  ( Im `  ( log `  A ) ) ) )
4612, 22, 29, 33, 45lttrd 8977 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  -u pi  <  ( ( Im `  ( log `  B ) )  -  ( Im `  ( log `  A ) ) ) )
4732adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  =  0 )  ->  -u pi  <  ( Im `  ( log `  B ) ) )
48 reim0b 11604 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  e.  RR  <->  ( Im `  A )  =  0 ) )
495, 48syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( A  e.  RR  <->  ( Im `  A )  =  0 ) )
503simprbi 450 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  D  ->  ( A  e.  RR  ->  A  e.  RR+ ) )
511, 50syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( A  e.  RR  ->  A  e.  RR+ )
)
5249, 51sylbird 226 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( Im `  A )  =  0  ->  A  e.  RR+ ) )
5352imp 418 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  =  0 )  ->  A  e.  RR+ )
5453relogcld 19974 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  =  0 )  ->  ( log `  A )  e.  RR )
5554reim0d 11710 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  =  0 )  ->  ( Im `  ( log `  A
) )  =  0 )
5655oveq2d 5874 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  =  0 )  ->  ( (
Im `  ( log `  B ) )  -  ( Im `  ( log `  A ) ) )  =  ( ( Im
`  ( log `  B
) )  -  0 ) )
5734subid1d 9146 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( Im `  ( log `  B ) )  -  0 )  =  ( Im `  ( log `  B ) ) )
5857adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  =  0 )  ->  ( (
Im `  ( log `  B ) )  - 
0 )  =  ( Im `  ( log `  B ) ) )
5956, 58eqtrd 2315 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  =  0 )  ->  ( (
Im `  ( log `  B ) )  -  ( Im `  ( log `  A ) ) )  =  ( Im `  ( log `  B ) ) )
6047, 59breqtrrd 4049 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  =  0 )  ->  -u pi  <  ( ( Im `  ( log `  B ) )  -  ( Im `  ( log `  A ) ) ) )
6111a1i 10 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  -u pi  e.  RR )
6227renegcld 9210 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
-u ( Im `  ( log `  A ) )  e.  RR )
6362adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  -u ( Im
`  ( log `  A
) )  e.  RR )
6428adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  ( (
Im `  ( log `  B ) )  -  ( Im `  ( log `  A ) ) )  e.  RR )
65 argimgt0 19966 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( Im `  ( log `  A ) )  e.  ( 0 (,) pi ) )
665, 65sylan 457 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  ( Im `  ( log `  A
) )  e.  ( 0 (,) pi ) )
67 eliooord 10710 . . . . . . . 8  |-  ( ( Im `  ( log `  A ) )  e.  ( 0 (,) pi )  ->  ( 0  < 
( Im `  ( log `  A ) )  /\  ( Im `  ( log `  A ) )  <  pi ) )
6866, 67syl 15 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  ( 0  <  ( Im `  ( log `  A ) )  /\  ( Im
`  ( log `  A
) )  <  pi ) )
6968simprd 449 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  ( Im `  ( log `  A
) )  <  pi )
70 ltneg 9274 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( Im `  ( log `  A ) )  e.  RR  /\  pi  e.  RR )  ->  (
( Im `  ( log `  A ) )  <  pi  <->  -u pi  <  -u ( Im `  ( log `  A ) ) ) )
7127, 10, 70sylancl 643 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( Im `  ( log `  A ) )  <  pi  <->  -u pi  <  -u ( Im `  ( log `  A ) ) ) )
7271adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  ( (
Im `  ( log `  A ) )  < 
pi 
<-> 
-u pi  <  -u (
Im `  ( log `  A ) ) ) )
7369, 72mpbid 201 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  -u pi  <  -u ( Im `  ( log `  A ) ) )
74 df-neg 9040 . . . . . 6  |-  -u (
Im `  ( log `  A ) )  =  ( 0  -  (
Im `  ( log `  A ) ) )
7516adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  B  e.  CC )
765, 16imsubd 11702 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( Im `  ( A  -  B )
)  =  ( ( Im `  A )  -  ( Im `  B ) ) )
7776adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  ( Im `  ( A  -  B
) )  =  ( ( Im `  A
)  -  ( Im
`  B ) ) )
785, 16subcld 9157 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( A  -  B
)  e.  CC )
7978imcld 11680 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( Im `  ( A  -  B )
)  e.  RR )
8079adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  ( Im `  ( A  -  B
) )  e.  RR )
8178abscld 11918 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( A  -  B )
)  e.  RR )
8281adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  ( abs `  ( A  -  B
) )  e.  RR )
835adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  A  e.  CC )
8483imcld 11680 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  ( Im `  A )  e.  RR )
85 absimle 11794 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  -  B )  e.  CC  ->  ( abs `  ( Im `  ( A  -  B
) ) )  <_ 
( abs `  ( A  -  B )
) )
8678, 85syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
Im `  ( A  -  B ) ) )  <_  ( abs `  ( A  -  B )
) )
8779, 81absled 11913 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  (
Im `  ( A  -  B ) ) )  <_  ( abs `  ( A  -  B )
)  <->  ( -u ( abs `  ( A  -  B ) )  <_ 
( Im `  ( A  -  B )
)  /\  ( Im `  ( A  -  B
) )  <_  ( abs `  ( A  -  B ) ) ) ) )
8886, 87mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( -u ( abs `  ( A  -  B
) )  <_  (
Im `  ( A  -  B ) )  /\  ( Im `  ( A  -  B ) )  <_  ( abs `  ( A  -  B )
) ) )
8988simprd 449 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( Im `  ( A  -  B )
)  <_  ( abs `  ( A  -  B
) ) )
9089adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  ( Im `  ( A  -  B
) )  <_  ( abs `  ( A  -  B ) ) )
91 logcnlem.s . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  S  =  if ( A  e.  RR+ ,  A ,  ( abs `  ( Im
`  A ) ) )
92 rpre 10360 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( A  e.  RR+  ->  A  e.  RR )
9392adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  A  e.  RR+ )  ->  A  e.  RR )
946recnd 8861 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  ( Im `  A
)  e.  CC )
9594abscld 11918 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
Im `  A )
)  e.  RR )
9695adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  -.  A  e.  RR+ )  ->  ( abs `  ( Im `  A ) )  e.  RR )
9793, 96ifclda 3592 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  if ( A  e.  RR+ ,  A ,  ( abs `  ( Im
`  A ) ) )  e.  RR )
9891, 97syl5eqel 2367 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  S  e.  RR )
99 logcnlem.t . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  T  =  ( ( abs `  A
)  x.  ( R  /  ( 1  +  R ) ) )
1005abscld 11918 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( abs `  A
)  e.  RR )
101 logcnlem.r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  R  e.  RR+ )
102101rpred 10390 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  R  e.  RR )
103 1rp 10358 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  1  e.  RR+
104 rpaddcl 10374 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( 1  e.  RR+  /\  R  e.  RR+ )  ->  (
1  +  R )  e.  RR+ )
105103, 101, 104sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( 1  +  R
)  e.  RR+ )
106102, 105rerpdivcld 10417 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( R  /  (
1  +  R ) )  e.  RR )
107100, 106remulcld 8863 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  A
)  x.  ( R  /  ( 1  +  R ) ) )  e.  RR )
10899, 107syl5eqel 2367 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  T  e.  RR )
109 ifcl 3601 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( S  e.  RR  /\  T  e.  RR )  ->  if ( S  <_  T ,  S ,  T )  e.  RR )
11098, 108, 109syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  if ( S  <_  T ,  S ,  T )  e.  RR )
111 logcnlem.l . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( A  -  B )
)  <  if ( S  <_  T ,  S ,  T ) )
112 min1 10517 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( S  e.  RR  /\  T  e.  RR )  ->  if ( S  <_  T ,  S ,  T )  <_  S
)
11398, 108, 112syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  if ( S  <_  T ,  S ,  T )  <_  S
)
11481, 110, 98, 111, 113ltletrd 8976 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( A  -  B )
)  <  S )
115114adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  ( abs `  ( A  -  B
) )  <  S
)
116 gt0ne0 9239 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( Im `  A
)  e.  RR  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( Im `  A
)  =/=  0 )
1176, 116sylan 457 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  ( Im `  A )  =/=  0
)
11892, 49syl5ib 210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( A  e.  RR+  ->  ( Im `  A
)  =  0 ) )
119118necon3ad 2482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( Im `  A )  =/=  0  ->  -.  A  e.  RR+ ) )
120119imp 418 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  =/=  0
)  ->  -.  A  e.  RR+ )
121 iffalse 3572 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( -.  A  e.  RR+  ->  if ( A  e.  RR+ ,  A ,  ( abs `  ( Im `  A
) ) )  =  ( abs `  (
Im `  A )
) )
12291, 121syl5eq 2327 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( -.  A  e.  RR+  ->  S  =  ( abs `  (
Im `  A )
) )
123120, 122syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  =/=  0
)  ->  S  =  ( abs `  ( Im
`  A ) ) )
124117, 123syldan 456 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  S  =  ( abs `  ( Im
`  A ) ) )
125 ltle 8910 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( Im `  A )  e.  RR )  -> 
( 0  <  (
Im `  A )  ->  0  <_  ( Im `  A ) ) )
1267, 6, 125sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( 0  <  (
Im `  A )  ->  0  <_  ( Im `  A ) ) )
127126imp 418 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  0  <_  ( Im `  A ) )
12884, 127absidd 11905 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  ( abs `  ( Im `  A
) )  =  ( Im `  A ) )
129124, 128eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  S  =  ( Im `  A ) )
130115, 129breqtrd 4047 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  ( abs `  ( A  -  B
) )  <  (
Im `  A )
)
13180, 82, 84, 90, 130lelttrd 8974 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  ( Im `  ( A  -  B
) )  <  (
Im `  A )
)
13277, 131eqbrtrrd 4045 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  ( (
Im `  A )  -  ( Im `  B ) )  < 
( Im `  A
) )
13394adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  ( Im `  A )  e.  CC )
134133subid1d 9146 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  ( (
Im `  A )  -  0 )  =  ( Im `  A
) )
135132, 134breqtrrd 4049 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  ( (
Im `  A )  -  ( Im `  B ) )  < 
( ( Im `  A )  -  0 ) )
1367a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  0  e.  RR )
13716imcld 11680 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( Im `  B
)  e.  RR )
138136, 137, 6ltsub2d 9382 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( 0  <  (
Im `  B )  <->  ( ( Im `  A
)  -  ( Im
`  B ) )  <  ( ( Im
`  A )  - 
0 ) ) )
139138adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  ( 0  <  ( Im `  B )  <->  ( (
Im `  A )  -  ( Im `  B ) )  < 
( ( Im `  A )  -  0 ) ) )
140135, 139mpbird 223 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  0  <  ( Im `  B ) )
141 argimgt0 19966 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  B ) )  -> 
( Im `  ( log `  B ) )  e.  ( 0 (,) pi ) )
14275, 140, 141syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  ( Im `  ( log `  B
) )  e.  ( 0 (,) pi ) )
143 eliooord 10710 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Im `  ( log `  B ) )  e.  ( 0 (,) pi )  ->  ( 0  < 
( Im `  ( log `  B ) )  /\  ( Im `  ( log `  B ) )  <  pi ) )
144142, 143syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  ( 0  <  ( Im `  ( log `  B ) )  /\  ( Im
`  ( log `  B
) )  <  pi ) )
145144simpld 445 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  0  <  ( Im `  ( log `  B ) ) )
146136, 21, 27ltsub1d 9381 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 0  <  (
Im `  ( log `  B ) )  <->  ( 0  -  ( Im `  ( log `  A ) ) )  <  (
( Im `  ( log `  B ) )  -  ( Im `  ( log `  A ) ) ) ) )
147146adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  ( 0  <  ( Im `  ( log `  B ) )  <->  ( 0  -  ( Im `  ( log `  A ) ) )  <  ( ( Im `  ( log `  B ) )  -  ( Im `  ( log `  A ) ) ) ) )
148145, 147mpbid 201 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  ( 0  -  ( Im `  ( log `  A ) ) )  <  (
( Im `  ( log `  B ) )  -  ( Im `  ( log `  A ) ) ) )
14974, 148syl5eqbr 4056 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  -u ( Im
`  ( log `  A
) )  <  (
( Im `  ( log `  B ) )  -  ( Im `  ( log `  A ) ) ) )
15061, 63, 64, 73, 149lttrd 8977 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  -u pi  <  ( ( Im `  ( log `  B ) )  -  ( Im `  ( log `  A ) ) ) )
15146, 60, 1503jaodan 1248 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( (
Im `  A )  <  0  \/  ( Im
`  A )  =  0  \/  0  < 
( Im `  A
) ) )  ->  -u pi  <  ( ( Im `  ( log `  B ) )  -  ( Im `  ( log `  A ) ) ) )
1529, 151mpdan 649 . 2  |-  ( ph  -> 
-u pi  <  (
( Im `  ( log `  B ) )  -  ( Im `  ( log `  A ) ) ) )
15310a1i 10 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  pi  e.  RR )
15437renegcld 9210 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  -u ( Im
`  ( log `  A
) )  e.  RR )
15516adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  B  e.  CC )
15694adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  ( Im `  A )  e.  CC )
157156subid1d 9146 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  ( (
Im `  A )  -  0 )  =  ( Im `  A
) )
1586adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  ( Im `  A )  e.  RR )
15981renegcld 9210 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  -> 
-u ( abs `  ( A  -  B )
)  e.  RR )
160159adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  -u ( abs `  ( A  -  B
) )  e.  RR )
16179adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  ( Im `  ( A  -  B
) )  e.  RR )
16281adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  ( abs `  ( A  -  B
) )  e.  RR )
163114adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  ( abs `  ( A  -  B
) )  <  S
)
1647ltnri 8929 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  -.  0  <  0
165 breq1 4026 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( Im `  A )  =  0  ->  (
( Im `  A
)  <  0  <->  0  <  0 ) )
166164, 165mtbiri 294 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( Im `  A )  =  0  ->  -.  ( Im `  A )  <  0 )
167166necon2ai 2491 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( Im `  A )  <  0  ->  (
Im `  A )  =/=  0 )
168167, 123sylan2 460 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  S  =  ( abs `  ( Im
`  A ) ) )
169 ltle 8910 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( Im `  A
)  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  ( ( Im `  A )  <  0  ->  ( Im `  A
)  <_  0 ) )
1706, 7, 169sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( ( Im `  A )  <  0  ->  ( Im `  A
)  <_  0 ) )
171170imp 418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  ( Im `  A )  <_  0
)
172158, 171absnidd 11896 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  ( abs `  ( Im `  A
) )  =  -u ( Im `  A ) )
173168, 172eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  S  =  -u ( Im `  A
) )
174163, 173breqtrd 4047 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  ( abs `  ( A  -  B
) )  <  -u (
Im `  A )
)
175162, 158, 174ltnegcon2d 9353 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  ( Im `  A )  <  -u ( abs `  ( A  -  B ) ) )
17688simpld 445 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  -> 
-u ( abs `  ( A  -  B )
)  <_  ( Im `  ( A  -  B
) ) )
177176adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  -u ( abs `  ( A  -  B
) )  <_  (
Im `  ( A  -  B ) ) )
178158, 160, 161, 175, 177ltletrd 8976 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  ( Im `  A )  <  (
Im `  ( A  -  B ) ) )
17976adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  ( Im `  ( A  -  B
) )  =  ( ( Im `  A
)  -  ( Im
`  B ) ) )
180178, 179breqtrd 4047 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  ( Im `  A )  <  (
( Im `  A
)  -  ( Im
`  B ) ) )
181157, 180eqbrtrd 4043 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  ( (
Im `  A )  -  0 )  < 
( ( Im `  A )  -  (
Im `  B )
) )
182155imcld 11680 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  ( Im `  B )  e.  RR )
183182, 38, 158ltsub2d 9382 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  ( (
Im `  B )  <  0  <->  ( ( Im
`  A )  - 
0 )  <  (
( Im `  A
)  -  ( Im
`  B ) ) ) )
184181, 183mpbird 223 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  ( Im `  B )  <  0
)
185 argimlt0 19967 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  e.  CC  /\  ( Im `  B )  <  0 )  -> 
( Im `  ( log `  B ) )  e.  ( -u pi (,) 0 ) )
186155, 184, 185syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  ( Im `  ( log `  B
) )  e.  (
-u pi (,) 0
) )
187 eliooord 10710 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Im `  ( log `  B ) )  e.  ( -u pi (,) 0 )  ->  ( -u pi  <  ( Im
`  ( log `  B
) )  /\  (
Im `  ( log `  B ) )  <  0 ) )
188186, 187syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  ( -u pi  <  ( Im `  ( log `  B ) )  /\  ( Im `  ( log `  B ) )  <  0 ) )
189188simprd 449 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  ( Im `  ( log `  B
) )  <  0
)
19022, 38, 37, 189ltsub1dd 9384 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  ( (
Im `  ( log `  B ) )  -  ( Im `  ( log `  A ) ) )  <  ( 0  -  ( Im `  ( log `  A ) ) ) )
191190, 74syl6breqr 4063 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  ( (
Im `  ( log `  B ) )  -  ( Im `  ( log `  A ) ) )  <  -u ( Im `  ( log `  A ) ) )
19242simpld 445 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  -u pi  <  ( Im `  ( log `  A ) ) )
193 ltnegcon1 9275 . . . . . . . 8  |-  ( ( pi  e.  RR  /\  ( Im `  ( log `  A ) )  e.  RR )  ->  ( -u pi  <  ( Im
`  ( log `  A
) )  <->  -u ( Im
`  ( log `  A
) )  <  pi ) )
19410, 37, 193sylancr 644 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  ( -u pi  <  ( Im `  ( log `  A ) )  <->  -u ( Im `  ( log `  A ) )  <  pi ) )
195192, 194mpbid 201 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  -u ( Im
`  ( log `  A
) )  <  pi )
19629, 154, 153, 191, 195lttrd 8977 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  ( (
Im `  ( log `  B ) )  -  ( Im `  ( log `  A ) ) )  <  pi )
19729, 153, 196ltled 8967 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  <  0
)  ->  ( (
Im `  ( log `  B ) )  -  ( Im `  ( log `  A ) ) )  <_  pi )
19831simprd 449 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( Im `  ( log `  B ) )  <_  pi )
199198adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  =  0 )  ->  ( Im `  ( log `  B
) )  <_  pi )
20059, 199eqbrtrd 4043 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( Im `  A )  =  0 )  ->  ( (
Im `  ( log `  B ) )  -  ( Im `  ( log `  A ) ) )  <_  pi )
20110a1i 10 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  pi  e.  RR )
20221adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  ( Im `  ( log `  B
) )  e.  RR )
2037a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  0  e.  RR )
20427adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  ( Im `  ( log `  A
) )  e.  RR )
20568simpld 445 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  0  <  ( Im `  ( log `  A ) ) )
206203, 204, 202, 205ltsub2dd 9385 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  ( (
Im `  ( log `  B ) )  -  ( Im `  ( log `  A ) ) )  <  ( ( Im
`  ( log `  B
) )  -  0 ) )
20734adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  ( Im `  ( log `  B
) )  e.  CC )
208207subid1d 9146 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  ( (
Im `  ( log `  B ) )  - 
0 )  =  ( Im `  ( log `  B ) ) )
209206, 208breqtrd 4047 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  ( (
Im `  ( log `  B ) )  -  ( Im `  ( log `  A ) ) )  <  ( Im `  ( log `  B ) ) )
210144simprd 449 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  ( Im `  ( log `  B
) )  <  pi )
21164, 202, 201, 209, 210lttrd 8977 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  ( (
Im `  ( log `  B ) )  -  ( Im `  ( log `  A ) ) )  <  pi )
21264, 201, 211ltled 8967 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  ( (
Im `  ( log `  B ) )  -  ( Im `  ( log `  A ) ) )  <_  pi )
213197, 200, 2123jaodan 1248 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( (
Im `  A )  <  0  \/  ( Im
`  A )  =  0  \/  0  < 
( Im `  A
) ) )  -> 
( ( Im `  ( log `  B ) )  -  ( Im
`  ( log `  A
) ) )  <_  pi )
2149, 213mpdan 649 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( Im `  ( log `  B ) )  -  ( Im
`  ( log `  A
) ) )  <_  pi )
215152, 214jca 518 1  |-  ( ph  ->  ( -u pi  <  ( ( Im `  ( log `  B ) )  -  ( Im `  ( log `  A ) ) )  /\  (
( Im `  ( log `  B ) )  -  ( Im `  ( log `  A ) ) )  <_  pi ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    \/ w3o 933    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446    \ cdif 3149   ifcif 3565   class class class wbr 4023   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   CCcc 8735   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738    + caddc 8740    x. cmul 8742    -oocmnf 8865    < clt 8867    <_ cle 8868    - cmin 9037   -ucneg 9038    / cdiv 9423   RR+crp 10354   (,)cioo 10656   (,]cioc 10657   Imcim 11583   abscabs 11719   picpi 12348   logclog 19912
This theorem is referenced by:  logcnlem4  19992
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-addf 8816  ax-mulf 8817
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-fi 7165  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-ioo 10660  df-ioc 10661  df-ico 10662  df-icc 10663  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-mod 10974  df-seq 11047  df-exp 11105  df-fac 11289  df-bc 11316  df-hash 11338  df-shft 11562  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-limsup 11945  df-clim 11962  df-rlim 11963  df-sum 12159  df-ef 12349  df-sin 12351  df-cos 12352  df-pi 12354  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-starv 13223  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-hom 13232  df-cco 13233  df-rest 13327  df-topn 13328  df-topgen 13344  df-pt 13345  df-prds 13348  df-xrs 13403  df-0g 13404  df-gsum 13405  df-qtop 13410  df-imas 13411  df-xps 13413  df-mre 13488  df-mrc 13489  df-acs 13491  df-mnd 14367  df-submnd 14416  df-mulg 14492  df-cntz 14793  df-cmn 15091  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-cnfld 16378  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-topsp 16640  df-cld 16756  df-ntr 16757  df-cls 16758  df-nei 16835  df-lp 16868  df-perf 16869  df-cn 16957  df-cnp 16958  df-haus 17043  df-tx 17257  df-hmeo 17446  df-fbas 17520  df-fg 17521  df-fil 17541  df-fm 17633  df-flim 17634  df-flf 17635  df-xms 17885  df-ms 17886  df-tms 17887  df-cncf 18382  df-limc 19216  df-dv 19217  df-log 19914
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