MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  logcnlem4 Unicode version

Theorem logcnlem4 19992
Description: Lemma for logcn 19994. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
logcn.d  |-  D  =  ( CC  \  (  -oo (,] 0 ) )
logcnlem.s  |-  S  =  if ( A  e.  RR+ ,  A ,  ( abs `  ( Im
`  A ) ) )
logcnlem.t  |-  T  =  ( ( abs `  A
)  x.  ( R  /  ( 1  +  R ) ) )
logcnlem.a  |-  ( ph  ->  A  e.  D )
logcnlem.r  |-  ( ph  ->  R  e.  RR+ )
logcnlem.b  |-  ( ph  ->  B  e.  D )
logcnlem.l  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( A  -  B )
)  <  if ( S  <_  T ,  S ,  T ) )
Assertion
Ref Expression
logcnlem4  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( Im `  ( log `  A ) )  -  ( Im `  ( log `  B ) ) ) )  < 
R )

Proof of Theorem logcnlem4
StepHypRef Expression
1 logcnlem.a . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  e.  D )
2 logcn.d . . . . . . . . . 10  |-  D  =  ( CC  \  (  -oo (,] 0 ) )
32ellogdm 19986 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  D  <->  ( A  e.  CC  /\  ( A  e.  RR  ->  A  e.  RR+ ) ) )
43simplbi 446 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  D  ->  A  e.  CC )
51, 4syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
62logdmn0 19987 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  D  ->  A  =/=  0 )
71, 6syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  =/=  0 )
8 logcl 19926 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( log `  A
)  e.  CC )
95, 7, 8syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( log `  A
)  e.  CC )
109imcld 11680 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Im `  ( log `  A ) )  e.  RR )
1110recnd 8861 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Im `  ( log `  A ) )  e.  CC )
12 logcnlem.b . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  B  e.  D )
132ellogdm 19986 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  D  <->  ( B  e.  CC  /\  ( B  e.  RR  ->  B  e.  RR+ ) ) )
1413simplbi 446 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  D  ->  B  e.  CC )
1512, 14syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
162logdmn0 19987 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  D  ->  B  =/=  0 )
1712, 16syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  =/=  0 )
18 logcl 19926 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  CC  /\  B  =/=  0 )  -> 
( log `  B
)  e.  CC )
1915, 17, 18syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( log `  B
)  e.  CC )
2019imcld 11680 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Im `  ( log `  B ) )  e.  RR )
2120recnd 8861 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Im `  ( log `  B ) )  e.  CC )
2211, 21abssubd 11935 . . 3  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( Im `  ( log `  A ) )  -  ( Im `  ( log `  B ) ) ) )  =  ( abs `  (
( Im `  ( log `  B ) )  -  ( Im `  ( log `  A ) ) ) ) )
2319, 9imsubd 11702 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Im `  (
( log `  B
)  -  ( log `  A ) ) )  =  ( ( Im
`  ( log `  B
) )  -  (
Im `  ( log `  A ) ) ) )
24 efsub 12380 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( log `  B
)  e.  CC  /\  ( log `  A )  e.  CC )  -> 
( exp `  (
( log `  B
)  -  ( log `  A ) ) )  =  ( ( exp `  ( log `  B
) )  /  ( exp `  ( log `  A
) ) ) )
2519, 9, 24syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( exp `  (
( log `  B
)  -  ( log `  A ) ) )  =  ( ( exp `  ( log `  B
) )  /  ( exp `  ( log `  A
) ) ) )
26 eflog 19933 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  e.  CC  /\  B  =/=  0 )  -> 
( exp `  ( log `  B ) )  =  B )
2715, 17, 26syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( exp `  ( log `  B ) )  =  B )
28 eflog 19933 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( exp `  ( log `  A ) )  =  A )
295, 7, 28syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( exp `  ( log `  A ) )  =  A )
3027, 29oveq12d 5876 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( exp `  ( log `  B ) )  /  ( exp `  ( log `  A ) ) )  =  ( B  /  A ) )
3125, 30eqtrd 2315 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( exp `  (
( log `  B
)  -  ( log `  A ) ) )  =  ( B  /  A ) )
3215, 5, 7divcld 9536 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( B  /  A
)  e.  CC )
3315, 5, 17, 7divne0d 9552 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( B  /  A
)  =/=  0 )
3419, 9subcld 9157 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( log `  B
)  -  ( log `  A ) )  e.  CC )
35 logcnlem.s . . . . . . . . . . . . 13  |-  S  =  if ( A  e.  RR+ ,  A ,  ( abs `  ( Im
`  A ) ) )
36 logcnlem.t . . . . . . . . . . . . 13  |-  T  =  ( ( abs `  A
)  x.  ( R  /  ( 1  +  R ) ) )
37 logcnlem.r . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  R  e.  RR+ )
38 logcnlem.l . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( A  -  B )
)  <  if ( S  <_  T ,  S ,  T ) )
392, 35, 36, 1, 37, 12, 38logcnlem3 19991 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( -u pi  <  ( ( Im `  ( log `  B ) )  -  ( Im `  ( log `  A ) ) )  /\  (
( Im `  ( log `  B ) )  -  ( Im `  ( log `  A ) ) )  <_  pi ) )
4039simpld 445 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  -> 
-u pi  <  (
( Im `  ( log `  B ) )  -  ( Im `  ( log `  A ) ) ) )
4140, 23breqtrrd 4049 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  -> 
-u pi  <  (
Im `  ( ( log `  B )  -  ( log `  A ) ) ) )
4239simprd 449 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( Im `  ( log `  B ) )  -  ( Im
`  ( log `  A
) ) )  <_  pi )
4323, 42eqbrtrd 4043 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( Im `  (
( log `  B
)  -  ( log `  A ) ) )  <_  pi )
44 ellogrn 19917 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( log `  B
)  -  ( log `  A ) )  e. 
ran  log  <->  ( ( ( log `  B )  -  ( log `  A
) )  e.  CC  /\  -u pi  <  ( Im
`  ( ( log `  B )  -  ( log `  A ) ) )  /\  ( Im
`  ( ( log `  B )  -  ( log `  A ) ) )  <_  pi )
)
4534, 41, 43, 44syl3anbrc 1136 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( log `  B
)  -  ( log `  A ) )  e. 
ran  log )
46 logeftb 19937 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( B  /  A
)  e.  CC  /\  ( B  /  A
)  =/=  0  /\  ( ( log `  B
)  -  ( log `  A ) )  e. 
ran  log )  ->  (
( log `  ( B  /  A ) )  =  ( ( log `  B )  -  ( log `  A ) )  <-> 
( exp `  (
( log `  B
)  -  ( log `  A ) ) )  =  ( B  /  A ) ) )
4732, 33, 45, 46syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( log `  ( B  /  A ) )  =  ( ( log `  B )  -  ( log `  A ) )  <-> 
( exp `  (
( log `  B
)  -  ( log `  A ) ) )  =  ( B  /  A ) ) )
4831, 47mpbird 223 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( log `  ( B  /  A ) )  =  ( ( log `  B )  -  ( log `  A ) ) )
4948eqcomd 2288 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( log `  B
)  -  ( log `  A ) )  =  ( log `  ( B  /  A ) ) )
5049fveq2d 5529 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Im `  (
( log `  B
)  -  ( log `  A ) ) )  =  ( Im `  ( log `  ( B  /  A ) ) ) )
5123, 50eqtr3d 2317 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( Im `  ( log `  B ) )  -  ( Im
`  ( log `  A
) ) )  =  ( Im `  ( log `  ( B  /  A ) ) ) )
5251fveq2d 5529 . . 3  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( Im `  ( log `  B ) )  -  ( Im `  ( log `  A ) ) ) )  =  ( abs `  (
Im `  ( log `  ( B  /  A
) ) ) ) )
5322, 52eqtrd 2315 . 2  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( Im `  ( log `  A ) )  -  ( Im `  ( log `  B ) ) ) )  =  ( abs `  (
Im `  ( log `  ( B  /  A
) ) ) ) )
54 logcl 19926 . . . . . . 7  |-  ( ( ( B  /  A
)  e.  CC  /\  ( B  /  A
)  =/=  0 )  ->  ( log `  ( B  /  A ) )  e.  CC )
5532, 33, 54syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( log `  ( B  /  A ) )  e.  CC )
5655imcld 11680 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Im `  ( log `  ( B  /  A ) ) )  e.  RR )
5756recnd 8861 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Im `  ( log `  ( B  /  A ) ) )  e.  CC )
5857abscld 11918 . . 3  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
Im `  ( log `  ( B  /  A
) ) ) )  e.  RR )
59 0re 8838 . . . . . . . . . . 11  |-  0  e.  RR
6059a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  0  e.  RR )
61 1re 8837 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  RR
625, 15subcld 9157 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( A  -  B
)  e.  CC )
6362abscld 11918 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( A  -  B )
)  e.  RR )
645, 7absrpcld 11930 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( abs `  A
)  e.  RR+ )
6563, 64rerpdivcld 10417 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( A  -  B )
)  /  ( abs `  A ) )  e.  RR )
66 resubcl 9111 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( ( abs `  ( A  -  B )
)  /  ( abs `  A ) )  e.  RR )  ->  (
1  -  ( ( abs `  ( A  -  B ) )  /  ( abs `  A
) ) )  e.  RR )
6761, 65, 66sylancr 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 1  -  (
( abs `  ( A  -  B )
)  /  ( abs `  A ) ) )  e.  RR )
6832recld 11679 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( Re `  ( B  /  A ) )  e.  RR )
695abscld 11918 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( abs `  A
)  e.  RR )
7037rpred 10390 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  R  e.  RR )
71 1rp 10358 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  1  e.  RR+
72 rpaddcl 10374 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 1  e.  RR+  /\  R  e.  RR+ )  ->  (
1  +  R )  e.  RR+ )
7371, 37, 72sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( 1  +  R
)  e.  RR+ )
7470, 73rerpdivcld 10417 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( R  /  (
1  +  R ) )  e.  RR )
7569, 74remulcld 8863 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  A
)  x.  ( R  /  ( 1  +  R ) ) )  e.  RR )
7636, 75syl5eqel 2367 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  T  e.  RR )
77 rpre 10360 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( A  e.  RR+  ->  A  e.  RR )
7877adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  A  e.  RR+ )  ->  A  e.  RR )
795imcld 11680 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  ( Im `  A
)  e.  RR )
8079recnd 8861 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( Im `  A
)  e.  CC )
8180abscld 11918 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
Im `  A )
)  e.  RR )
8281adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  -.  A  e.  RR+ )  ->  ( abs `  ( Im `  A ) )  e.  RR )
8378, 82ifclda 3592 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  if ( A  e.  RR+ ,  A ,  ( abs `  ( Im
`  A ) ) )  e.  RR )
8435, 83syl5eqel 2367 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  S  e.  RR )
85 ltmin 10522 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( abs `  ( A  -  B )
)  e.  RR  /\  S  e.  RR  /\  T  e.  RR )  ->  (
( abs `  ( A  -  B )
)  <  if ( S  <_  T ,  S ,  T )  <->  ( ( abs `  ( A  -  B ) )  < 
S  /\  ( abs `  ( A  -  B
) )  <  T
) ) )
8663, 84, 76, 85syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( A  -  B )
)  <  if ( S  <_  T ,  S ,  T )  <->  ( ( abs `  ( A  -  B ) )  < 
S  /\  ( abs `  ( A  -  B
) )  <  T
) ) )
8738, 86mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( A  -  B )
)  <  S  /\  ( abs `  ( A  -  B ) )  <  T ) )
8887simprd 449 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( A  -  B )
)  <  T )
8973rpred 10390 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( 1  +  R
)  e.  RR )
9070ltp1d 9687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  R  <  ( R  +  1 ) )
9170recnd 8861 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  R  e.  CC )
92 ax-1cn 8795 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  1  e.  CC
93 addcom 8998 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( R  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( R  +  1 )  =  ( 1  +  R ) )
9491, 92, 93sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( R  +  1 )  =  ( 1  +  R ) )
9590, 94breqtrd 4047 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  R  <  ( 1  +  R ) )
9670, 89, 95ltled 8967 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  R  <_  ( 1  +  R ) )
9789recnd 8861 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( 1  +  R
)  e.  CC )
9897mulid1d 8852 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( 1  +  R )  x.  1 )  =  ( 1  +  R ) )
9996, 98breqtrrd 4049 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  R  <_  ( (
1  +  R )  x.  1 ) )
10061a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
10170, 100, 73ledivmuld 10439 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( R  / 
( 1  +  R
) )  <_  1  <->  R  <_  ( ( 1  +  R )  x.  1 ) ) )
10299, 101mpbird 223 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( R  /  (
1  +  R ) )  <_  1 )
10374, 100, 64lemul2d 10430 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( R  / 
( 1  +  R
) )  <_  1  <->  ( ( abs `  A
)  x.  ( R  /  ( 1  +  R ) ) )  <_  ( ( abs `  A )  x.  1 ) ) )
104102, 103mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  A
)  x.  ( R  /  ( 1  +  R ) ) )  <_  ( ( abs `  A )  x.  1 ) )
10569recnd 8861 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( abs `  A
)  e.  CC )
106105mulid1d 8852 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  A
)  x.  1 )  =  ( abs `  A
) )
107104, 106breqtrd 4047 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  A
)  x.  ( R  /  ( 1  +  R ) ) )  <_  ( abs `  A
) )
10836, 107syl5eqbr 4056 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  T  <_  ( abs `  A ) )
10963, 76, 69, 88, 108ltletrd 8976 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( A  -  B )
)  <  ( abs `  A ) )
110109, 106breqtrrd 4049 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( A  -  B )
)  <  ( ( abs `  A )  x.  1 ) )
11163, 100, 64ltdivmuld 10437 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  ( A  -  B
) )  /  ( abs `  A ) )  <  1  <->  ( abs `  ( A  -  B
) )  <  (
( abs `  A
)  x.  1 ) ) )
112110, 111mpbird 223 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( A  -  B )
)  /  ( abs `  A ) )  <  1 )
113 posdif 9267 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( abs `  ( A  -  B )
)  /  ( abs `  A ) )  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  (
( ( abs `  ( A  -  B )
)  /  ( abs `  A ) )  <  1  <->  0  <  (
1  -  ( ( abs `  ( A  -  B ) )  /  ( abs `  A
) ) ) ) )
11465, 61, 113sylancl 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  ( A  -  B
) )  /  ( abs `  A ) )  <  1  <->  0  <  ( 1  -  ( ( abs `  ( A  -  B ) )  /  ( abs `  A
) ) ) ) )
115112, 114mpbid 201 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  0  <  ( 1  -  ( ( abs `  ( A  -  B
) )  /  ( abs `  A ) ) ) )
11662, 5, 7divcld 9536 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( A  -  B )  /  A
)  e.  CC )
117116releabsd 11933 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( Re `  (
( A  -  B
)  /  A ) )  <_  ( abs `  ( ( A  -  B )  /  A
) ) )
1185, 15, 5, 7divsubdird 9575 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( A  -  B )  /  A
)  =  ( ( A  /  A )  -  ( B  /  A ) ) )
1195, 7dividd 9534 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( A  /  A
)  =  1 )
120119oveq1d 5873 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( A  /  A )  -  ( B  /  A ) )  =  ( 1  -  ( B  /  A
) ) )
121118, 120eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( A  -  B )  /  A
)  =  ( 1  -  ( B  /  A ) ) )
122121fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( Re `  (
( A  -  B
)  /  A ) )  =  ( Re
`  ( 1  -  ( B  /  A
) ) ) )
123 resub 11612 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( B  /  A
)  e.  CC )  ->  ( Re `  ( 1  -  ( B  /  A ) ) )  =  ( ( Re `  1 )  -  ( Re `  ( B  /  A
) ) ) )
12492, 32, 123sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( Re `  (
1  -  ( B  /  A ) ) )  =  ( ( Re `  1 )  -  ( Re `  ( B  /  A
) ) ) )
125122, 124eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( Re `  (
( A  -  B
)  /  A ) )  =  ( ( Re `  1 )  -  ( Re `  ( B  /  A
) ) ) )
126 re1 11639 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Re
`  1 )  =  1
127126oveq1i 5868 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Re `  1 )  -  ( Re `  ( B  /  A
) ) )  =  ( 1  -  (
Re `  ( B  /  A ) ) )
128125, 127syl6eq 2331 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( Re `  (
( A  -  B
)  /  A ) )  =  ( 1  -  ( Re `  ( B  /  A
) ) ) )
12962, 5, 7absdivd 11937 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( A  -  B
)  /  A ) )  =  ( ( abs `  ( A  -  B ) )  /  ( abs `  A
) ) )
130117, 128, 1293brtr3d 4052 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 1  -  (
Re `  ( B  /  A ) ) )  <_  ( ( abs `  ( A  -  B
) )  /  ( abs `  A ) ) )
131100, 68, 65, 130subled 9375 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 1  -  (
( abs `  ( A  -  B )
)  /  ( abs `  A ) ) )  <_  ( Re `  ( B  /  A
) ) )
13260, 67, 68, 115, 131ltletrd 8976 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  0  <  ( Re
`  ( B  /  A ) ) )
133 argregt0 19964 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( B  /  A
)  e.  CC  /\  0  <  ( Re `  ( B  /  A
) ) )  -> 
( Im `  ( log `  ( B  /  A ) ) )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )
13432, 132, 133syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( Im `  ( log `  ( B  /  A ) ) )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )
135 cosq14gt0 19878 . . . . . . . 8  |-  ( ( Im `  ( log `  ( B  /  A
) ) )  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  ->  0  <  ( cos `  (
Im `  ( log `  ( B  /  A
) ) ) ) )
136134, 135syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  <  ( cos `  ( Im `  ( log `  ( B  /  A ) ) ) ) )
137136gt0ne0d 9337 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( cos `  (
Im `  ( log `  ( B  /  A
) ) ) )  =/=  0 )
13856, 137retancld 12425 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( tan `  (
Im `  ( log `  ( B  /  A
) ) ) )  e.  RR )
139138recnd 8861 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( tan `  (
Im `  ( log `  ( B  /  A
) ) ) )  e.  CC )
140139abscld 11918 . . 3  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( tan `  ( Im `  ( log `  ( B  /  A ) ) ) ) )  e.  RR )
141 tanabsge 19874 . . . 4  |-  ( ( Im `  ( log `  ( B  /  A
) ) )  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  ->  ( abs `  ( Im `  ( log `  ( B  /  A ) ) ) )  <_  ( abs `  ( tan `  (
Im `  ( log `  ( B  /  A
) ) ) ) ) )
142134, 141syl 15 . . 3  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
Im `  ( log `  ( B  /  A
) ) ) )  <_  ( abs `  ( tan `  ( Im `  ( log `  ( B  /  A ) ) ) ) ) )
143132gt0ne0d 9337 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( Re `  ( B  /  A ) )  =/=  0 )
144 tanarg 19970 . . . . . . 7  |-  ( ( ( B  /  A
)  e.  CC  /\  ( Re `  ( B  /  A ) )  =/=  0 )  -> 
( tan `  (
Im `  ( log `  ( B  /  A
) ) ) )  =  ( ( Im
`  ( B  /  A ) )  / 
( Re `  ( B  /  A ) ) ) )
14532, 143, 144syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( tan `  (
Im `  ( log `  ( B  /  A
) ) ) )  =  ( ( Im
`  ( B  /  A ) )  / 
( Re `  ( B  /  A ) ) ) )
146145fveq2d 5529 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( tan `  ( Im `  ( log `  ( B  /  A ) ) ) ) )  =  ( abs `  (
( Im `  ( B  /  A ) )  /  ( Re `  ( B  /  A
) ) ) ) )
14732imcld 11680 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( Im `  ( B  /  A ) )  e.  RR )
148147recnd 8861 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( Im `  ( B  /  A ) )  e.  CC )
14968recnd 8861 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( Re `  ( B  /  A ) )  e.  CC )
150148, 149, 143absdivd 11937 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( Im `  ( B  /  A ) )  /  ( Re `  ( B  /  A
) ) ) )  =  ( ( abs `  ( Im `  ( B  /  A ) ) )  /  ( abs `  ( Re `  ( B  /  A ) ) ) ) )
15160, 68, 132ltled 8967 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  <_  ( Re `  ( B  /  A
) ) )
15268, 151absidd 11905 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
Re `  ( B  /  A ) ) )  =  ( Re `  ( B  /  A
) ) )
153152oveq2d 5874 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  (
Im `  ( B  /  A ) ) )  /  ( abs `  (
Re `  ( B  /  A ) ) ) )  =  ( ( abs `  ( Im
`  ( B  /  A ) ) )  /  ( Re `  ( B  /  A
) ) ) )
154146, 150, 1533eqtrd 2319 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( tan `  ( Im `  ( log `  ( B  /  A ) ) ) ) )  =  ( ( abs `  (
Im `  ( B  /  A ) ) )  /  ( Re `  ( B  /  A
) ) ) )
155148abscld 11918 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
Im `  ( B  /  A ) ) )  e.  RR )
15668, 70remulcld 8863 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( Re `  ( B  /  A
) )  x.  R
)  e.  RR )
15715, 5subcld 9157 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( B  -  A
)  e.  CC )
158157, 5, 7divcld 9536 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( B  -  A )  /  A
)  e.  CC )
159 absimle 11794 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( B  -  A
)  /  A )  e.  CC  ->  ( abs `  ( Im `  ( ( B  -  A )  /  A
) ) )  <_ 
( abs `  (
( B  -  A
)  /  A ) ) )
160158, 159syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
Im `  ( ( B  -  A )  /  A ) ) )  <_  ( abs `  (
( B  -  A
)  /  A ) ) )
16115, 5, 5, 7divsubdird 9575 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( B  -  A )  /  A
)  =  ( ( B  /  A )  -  ( A  /  A ) ) )
162119oveq2d 5874 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( B  /  A )  -  ( A  /  A ) )  =  ( ( B  /  A )  - 
1 ) )
163161, 162eqtrd 2315 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( B  -  A )  /  A
)  =  ( ( B  /  A )  -  1 ) )
164163fveq2d 5529 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( Im `  (
( B  -  A
)  /  A ) )  =  ( Im
`  ( ( B  /  A )  - 
1 ) ) )
165 imsub 11620 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( B  /  A
)  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( Im `  (
( B  /  A
)  -  1 ) )  =  ( ( Im `  ( B  /  A ) )  -  ( Im ` 
1 ) ) )
16632, 92, 165sylancl 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( Im `  (
( B  /  A
)  -  1 ) )  =  ( ( Im `  ( B  /  A ) )  -  ( Im ` 
1 ) ) )
167 im1 11640 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Im
`  1 )  =  0
168167oveq2i 5869 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Im `  ( B  /  A ) )  -  ( Im ` 
1 ) )  =  ( ( Im `  ( B  /  A
) )  -  0 )
169166, 168syl6eq 2331 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( Im `  (
( B  /  A
)  -  1 ) )  =  ( ( Im `  ( B  /  A ) )  -  0 ) )
170148subid1d 9146 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( Im `  ( B  /  A
) )  -  0 )  =  ( Im
`  ( B  /  A ) ) )
171164, 169, 1703eqtrrd 2320 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( Im `  ( B  /  A ) )  =  ( Im `  ( ( B  -  A )  /  A
) ) )
172171fveq2d 5529 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
Im `  ( B  /  A ) ) )  =  ( abs `  (
Im `  ( ( B  -  A )  /  A ) ) ) )
1735, 15abssubd 11935 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( A  -  B )
)  =  ( abs `  ( B  -  A
) ) )
174173oveq1d 5873 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( A  -  B )
)  /  ( abs `  A ) )  =  ( ( abs `  ( B  -  A )
)  /  ( abs `  A ) ) )
175157, 5, 7absdivd 11937 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( B  -  A
)  /  A ) )  =  ( ( abs `  ( B  -  A ) )  /  ( abs `  A
) ) )
176174, 175eqtr4d 2318 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( A  -  B )
)  /  ( abs `  A ) )  =  ( abs `  (
( B  -  A
)  /  A ) ) )
177160, 172, 1763brtr4d 4053 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
Im `  ( B  /  A ) ) )  <_  ( ( abs `  ( A  -  B
) )  /  ( abs `  A ) ) )
17869, 63resubcld 9211 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  A
)  -  ( abs `  ( A  -  B
) ) )  e.  RR )
179178, 70remulcld 8863 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  A )  -  ( abs `  ( A  -  B ) ) )  x.  R )  e.  RR )
18069, 156remulcld 8863 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  A
)  x.  ( ( Re `  ( B  /  A ) )  x.  R ) )  e.  RR )
18163recnd 8861 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( A  -  B )
)  e.  CC )
18292a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
183181, 182, 91adddid 8859 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( A  -  B )
)  x.  ( 1  +  R ) )  =  ( ( ( abs `  ( A  -  B ) )  x.  1 )  +  ( ( abs `  ( A  -  B )
)  x.  R ) ) )
184181mulid1d 8852 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( A  -  B )
)  x.  1 )  =  ( abs `  ( A  -  B )
) )
185184oveq1d 5873 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  ( A  -  B
) )  x.  1 )  +  ( ( abs `  ( A  -  B ) )  x.  R ) )  =  ( ( abs `  ( A  -  B
) )  +  ( ( abs `  ( A  -  B )
)  x.  R ) ) )
186183, 185eqtrd 2315 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( A  -  B )
)  x.  ( 1  +  R ) )  =  ( ( abs `  ( A  -  B
) )  +  ( ( abs `  ( A  -  B )
)  x.  R ) ) )
18773rpne0d 10395 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( 1  +  R
)  =/=  0 )
188105, 91, 97, 187divassd 9571 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  A )  x.  R
)  /  ( 1  +  R ) )  =  ( ( abs `  A )  x.  ( R  /  ( 1  +  R ) ) ) )
189188, 36syl6eqr 2333 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  A )  x.  R
)  /  ( 1  +  R ) )  =  T )
19088, 189breqtrrd 4049 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( A  -  B )
)  <  ( (
( abs `  A
)  x.  R )  /  ( 1  +  R ) ) )
19169, 70remulcld 8863 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  A
)  x.  R )  e.  RR )
19263, 191, 73ltmuldivd 10433 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  ( A  -  B
) )  x.  (
1  +  R ) )  <  ( ( abs `  A )  x.  R )  <->  ( abs `  ( A  -  B
) )  <  (
( ( abs `  A
)  x.  R )  /  ( 1  +  R ) ) ) )
193190, 192mpbird 223 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( A  -  B )
)  x.  ( 1  +  R ) )  <  ( ( abs `  A )  x.  R
) )
194186, 193eqbrtrrd 4045 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( A  -  B )
)  +  ( ( abs `  ( A  -  B ) )  x.  R ) )  <  ( ( abs `  A )  x.  R
) )
19563, 70remulcld 8863 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( A  -  B )
)  x.  R )  e.  RR )
19663, 195, 191ltaddsubd 9372 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  ( A  -  B
) )  +  ( ( abs `  ( A  -  B )
)  x.  R ) )  <  ( ( abs `  A )  x.  R )  <->  ( abs `  ( A  -  B
) )  <  (
( ( abs `  A
)  x.  R )  -  ( ( abs `  ( A  -  B
) )  x.  R
) ) ) )
197194, 196mpbid 201 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( A  -  B )
)  <  ( (
( abs `  A
)  x.  R )  -  ( ( abs `  ( A  -  B
) )  x.  R
) ) )
198105, 181, 91subdird 9236 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  A )  -  ( abs `  ( A  -  B ) ) )  x.  R )  =  ( ( ( abs `  A )  x.  R
)  -  ( ( abs `  ( A  -  B ) )  x.  R ) ) )
199197, 198breqtrrd 4049 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( A  -  B )
)  <  ( (
( abs `  A
)  -  ( abs `  ( A  -  B
) ) )  x.  R ) )
20064rpne0d 10395 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( abs `  A
)  =/=  0 )
201105, 181, 105, 200divsubdird 9575 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  A )  -  ( abs `  ( A  -  B ) ) )  /  ( abs `  A
) )  =  ( ( ( abs `  A
)  /  ( abs `  A ) )  -  ( ( abs `  ( A  -  B )
)  /  ( abs `  A ) ) ) )
202105, 200dividd 9534 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  A
)  /  ( abs `  A ) )  =  1 )
203202oveq1d 5873 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  A )  /  ( abs `  A ) )  -  ( ( abs `  ( A  -  B
) )  /  ( abs `  A ) ) )  =  ( 1  -  ( ( abs `  ( A  -  B
) )  /  ( abs `  A ) ) ) )
204201, 203eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  A )  -  ( abs `  ( A  -  B ) ) )  /  ( abs `  A
) )  =  ( 1  -  ( ( abs `  ( A  -  B ) )  /  ( abs `  A
) ) ) )
205204, 131eqbrtrd 4043 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  A )  -  ( abs `  ( A  -  B ) ) )  /  ( abs `  A
) )  <_  (
Re `  ( B  /  A ) ) )
206178, 68, 64ledivmuld 10439 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( abs `  A )  -  ( abs `  ( A  -  B )
) )  /  ( abs `  A ) )  <_  ( Re `  ( B  /  A
) )  <->  ( ( abs `  A )  -  ( abs `  ( A  -  B ) ) )  <_  ( ( abs `  A )  x.  ( Re `  ( B  /  A ) ) ) ) )
207205, 206mpbid 201 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  A
)  -  ( abs `  ( A  -  B
) ) )  <_ 
( ( abs `  A
)  x.  ( Re
`  ( B  /  A ) ) ) )
20869, 68remulcld 8863 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  A
)  x.  ( Re
`  ( B  /  A ) ) )  e.  RR )
209178, 208, 37lemul1d 10429 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  A )  -  ( abs `  ( A  -  B ) ) )  <_  ( ( abs `  A )  x.  (
Re `  ( B  /  A ) ) )  <-> 
( ( ( abs `  A )  -  ( abs `  ( A  -  B ) ) )  x.  R )  <_ 
( ( ( abs `  A )  x.  (
Re `  ( B  /  A ) ) )  x.  R ) ) )
210207, 209mpbid 201 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  A )  -  ( abs `  ( A  -  B ) ) )  x.  R )  <_ 
( ( ( abs `  A )  x.  (
Re `  ( B  /  A ) ) )  x.  R ) )
211105, 149, 91mulassd 8858 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  A )  x.  (
Re `  ( B  /  A ) ) )  x.  R )  =  ( ( abs `  A
)  x.  ( ( Re `  ( B  /  A ) )  x.  R ) ) )
212210, 211breqtrd 4047 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  A )  -  ( abs `  ( A  -  B ) ) )  x.  R )  <_ 
( ( abs `  A
)  x.  ( ( Re `  ( B  /  A ) )  x.  R ) ) )
21363, 179, 180, 199, 212ltletrd 8976 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( A  -  B )
)  <  ( ( abs `  A )  x.  ( ( Re `  ( B  /  A
) )  x.  R
) ) )
21463, 156, 64ltdivmuld 10437 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  ( A  -  B
) )  /  ( abs `  A ) )  <  ( ( Re
`  ( B  /  A ) )  x.  R )  <->  ( abs `  ( A  -  B
) )  <  (
( abs `  A
)  x.  ( ( Re `  ( B  /  A ) )  x.  R ) ) ) )
215213, 214mpbird 223 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( A  -  B )
)  /  ( abs `  A ) )  < 
( ( Re `  ( B  /  A
) )  x.  R
) )
216155, 65, 156, 177, 215lelttrd 8974 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
Im `  ( B  /  A ) ) )  <  ( ( Re
`  ( B  /  A ) )  x.  R ) )
217 ltdivmul 9628 . . . . . 6  |-  ( ( ( abs `  (
Im `  ( B  /  A ) ) )  e.  RR  /\  R  e.  RR  /\  ( ( Re `  ( B  /  A ) )  e.  RR  /\  0  <  ( Re `  ( B  /  A ) ) ) )  ->  (
( ( abs `  (
Im `  ( B  /  A ) ) )  /  ( Re `  ( B  /  A
) ) )  < 
R  <->  ( abs `  (
Im `  ( B  /  A ) ) )  <  ( ( Re
`  ( B  /  A ) )  x.  R ) ) )
218155, 70, 68, 132, 217syl112anc 1186 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  ( Im `  ( B  /  A ) ) )  /  ( Re
`  ( B  /  A ) ) )  <  R  <->  ( abs `  ( Im `  ( B  /  A ) ) )  <  ( ( Re `  ( B  /  A ) )  x.  R ) ) )
219216, 218mpbird 223 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  (
Im `  ( B  /  A ) ) )  /  ( Re `  ( B  /  A
) ) )  < 
R )
220154, 219eqbrtrd 4043 . . 3  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( tan `  ( Im `  ( log `  ( B  /  A ) ) ) ) )  < 
R )
22158, 140, 70, 142, 220lelttrd 8974 . 2  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
Im `  ( log `  ( B  /  A
) ) ) )  <  R )
22253, 221eqbrtrd 4043 1  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( Im `  ( log `  A ) )  -  ( Im `  ( log `  B ) ) ) )  < 
R )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446    \ cdif 3149   ifcif 3565   class class class wbr 4023   ran crn 4690   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   CCcc 8735   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738    + caddc 8740    x. cmul 8742    -oocmnf 8865    < clt 8867    <_ cle 8868    - cmin 9037   -ucneg 9038    / cdiv 9423   2c2 9795   RR+crp 10354   (,)cioo 10656   (,]cioc 10657   Recre 11582   Imcim 11583   abscabs 11719   expce 12343   cosccos 12346   tanctan 12347   picpi 12348   logclog 19912
This theorem is referenced by:  logcnlem5  19993
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-addf 8816  ax-mulf 8817
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-fi 7165  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-ioo 10660  df-ioc 10661  df-ico 10662  df-icc 10663  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-mod 10974  df-seq 11047  df-exp 11105  df-fac 11289  df-bc 11316  df-hash 11338  df-shft 11562  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-limsup 11945  df-clim 11962  df-rlim 11963  df-sum 12159  df-ef 12349  df-sin 12351  df-cos 12352  df-tan 12353  df-pi 12354  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-starv 13223  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-hom 13232  df-cco 13233  df-rest 13327  df-topn 13328  df-topgen 13344  df-pt 13345  df-prds 13348  df-xrs 13403  df-0g 13404  df-gsum 13405  df-qtop 13410  df-imas 13411  df-xps 13413  df-mre 13488  df-mrc 13489  df-acs 13491  df-mnd 14367  df-submnd 14416  df-mulg 14492  df-cntz 14793  df-cmn 15091  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-cnfld 16378  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-topsp 16640  df-cld 16756  df-ntr 16757  df-cls 16758  df-nei 16835  df-lp 16868  df-perf 16869  df-cn 16957  df-cnp 16958  df-haus 17043  df-tx 17257  df-hmeo 17446  df-fbas 17520  df-fg 17521  df-fil 17541  df-fm 17633  df-flim 17634  df-flf 17635  df-xms 17885  df-ms 17886  df-tms 17887  df-cncf 18382  df-limc 19216  df-dv 19217  df-log 19914
  Copyright terms: Public domain W3C validator