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Theorem logcnlem4 20008
Description: Lemma for logcn 20010. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
logcn.d  |-  D  =  ( CC  \  (  -oo (,] 0 ) )
logcnlem.s  |-  S  =  if ( A  e.  RR+ ,  A ,  ( abs `  ( Im
`  A ) ) )
logcnlem.t  |-  T  =  ( ( abs `  A
)  x.  ( R  /  ( 1  +  R ) ) )
logcnlem.a  |-  ( ph  ->  A  e.  D )
logcnlem.r  |-  ( ph  ->  R  e.  RR+ )
logcnlem.b  |-  ( ph  ->  B  e.  D )
logcnlem.l  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( A  -  B )
)  <  if ( S  <_  T ,  S ,  T ) )
Assertion
Ref Expression
logcnlem4  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( Im `  ( log `  A ) )  -  ( Im `  ( log `  B ) ) ) )  < 
R )

Proof of Theorem logcnlem4
StepHypRef Expression
1 logcnlem.a . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  e.  D )
2 logcn.d . . . . . . . . . 10  |-  D  =  ( CC  \  (  -oo (,] 0 ) )
32ellogdm 20002 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  D  <->  ( A  e.  CC  /\  ( A  e.  RR  ->  A  e.  RR+ ) ) )
43simplbi 446 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  D  ->  A  e.  CC )
51, 4syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
62logdmn0 20003 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  D  ->  A  =/=  0 )
71, 6syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  =/=  0 )
8 logcl 19942 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( log `  A
)  e.  CC )
95, 7, 8syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( log `  A
)  e.  CC )
109imcld 11696 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Im `  ( log `  A ) )  e.  RR )
1110recnd 8877 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Im `  ( log `  A ) )  e.  CC )
12 logcnlem.b . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  B  e.  D )
132ellogdm 20002 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  D  <->  ( B  e.  CC  /\  ( B  e.  RR  ->  B  e.  RR+ ) ) )
1413simplbi 446 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  D  ->  B  e.  CC )
1512, 14syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
162logdmn0 20003 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  D  ->  B  =/=  0 )
1712, 16syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  =/=  0 )
18 logcl 19942 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  CC  /\  B  =/=  0 )  -> 
( log `  B
)  e.  CC )
1915, 17, 18syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( log `  B
)  e.  CC )
2019imcld 11696 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Im `  ( log `  B ) )  e.  RR )
2120recnd 8877 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Im `  ( log `  B ) )  e.  CC )
2211, 21abssubd 11951 . . 3  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( Im `  ( log `  A ) )  -  ( Im `  ( log `  B ) ) ) )  =  ( abs `  (
( Im `  ( log `  B ) )  -  ( Im `  ( log `  A ) ) ) ) )
2319, 9imsubd 11718 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Im `  (
( log `  B
)  -  ( log `  A ) ) )  =  ( ( Im
`  ( log `  B
) )  -  (
Im `  ( log `  A ) ) ) )
24 efsub 12396 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( log `  B
)  e.  CC  /\  ( log `  A )  e.  CC )  -> 
( exp `  (
( log `  B
)  -  ( log `  A ) ) )  =  ( ( exp `  ( log `  B
) )  /  ( exp `  ( log `  A
) ) ) )
2519, 9, 24syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( exp `  (
( log `  B
)  -  ( log `  A ) ) )  =  ( ( exp `  ( log `  B
) )  /  ( exp `  ( log `  A
) ) ) )
26 eflog 19949 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  e.  CC  /\  B  =/=  0 )  -> 
( exp `  ( log `  B ) )  =  B )
2715, 17, 26syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( exp `  ( log `  B ) )  =  B )
28 eflog 19949 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( exp `  ( log `  A ) )  =  A )
295, 7, 28syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( exp `  ( log `  A ) )  =  A )
3027, 29oveq12d 5892 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( exp `  ( log `  B ) )  /  ( exp `  ( log `  A ) ) )  =  ( B  /  A ) )
3125, 30eqtrd 2328 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( exp `  (
( log `  B
)  -  ( log `  A ) ) )  =  ( B  /  A ) )
3215, 5, 7divcld 9552 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( B  /  A
)  e.  CC )
3315, 5, 17, 7divne0d 9568 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( B  /  A
)  =/=  0 )
3419, 9subcld 9173 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( log `  B
)  -  ( log `  A ) )  e.  CC )
35 logcnlem.s . . . . . . . . . . . . 13  |-  S  =  if ( A  e.  RR+ ,  A ,  ( abs `  ( Im
`  A ) ) )
36 logcnlem.t . . . . . . . . . . . . 13  |-  T  =  ( ( abs `  A
)  x.  ( R  /  ( 1  +  R ) ) )
37 logcnlem.r . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  R  e.  RR+ )
38 logcnlem.l . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( A  -  B )
)  <  if ( S  <_  T ,  S ,  T ) )
392, 35, 36, 1, 37, 12, 38logcnlem3 20007 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( -u pi  <  ( ( Im `  ( log `  B ) )  -  ( Im `  ( log `  A ) ) )  /\  (
( Im `  ( log `  B ) )  -  ( Im `  ( log `  A ) ) )  <_  pi ) )
4039simpld 445 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  -> 
-u pi  <  (
( Im `  ( log `  B ) )  -  ( Im `  ( log `  A ) ) ) )
4140, 23breqtrrd 4065 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  -> 
-u pi  <  (
Im `  ( ( log `  B )  -  ( log `  A ) ) ) )
4239simprd 449 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( Im `  ( log `  B ) )  -  ( Im
`  ( log `  A
) ) )  <_  pi )
4323, 42eqbrtrd 4059 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( Im `  (
( log `  B
)  -  ( log `  A ) ) )  <_  pi )
44 ellogrn 19933 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( log `  B
)  -  ( log `  A ) )  e. 
ran  log  <->  ( ( ( log `  B )  -  ( log `  A
) )  e.  CC  /\  -u pi  <  ( Im
`  ( ( log `  B )  -  ( log `  A ) ) )  /\  ( Im
`  ( ( log `  B )  -  ( log `  A ) ) )  <_  pi )
)
4534, 41, 43, 44syl3anbrc 1136 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( log `  B
)  -  ( log `  A ) )  e. 
ran  log )
46 logeftb 19953 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( B  /  A
)  e.  CC  /\  ( B  /  A
)  =/=  0  /\  ( ( log `  B
)  -  ( log `  A ) )  e. 
ran  log )  ->  (
( log `  ( B  /  A ) )  =  ( ( log `  B )  -  ( log `  A ) )  <-> 
( exp `  (
( log `  B
)  -  ( log `  A ) ) )  =  ( B  /  A ) ) )
4732, 33, 45, 46syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( log `  ( B  /  A ) )  =  ( ( log `  B )  -  ( log `  A ) )  <-> 
( exp `  (
( log `  B
)  -  ( log `  A ) ) )  =  ( B  /  A ) ) )
4831, 47mpbird 223 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( log `  ( B  /  A ) )  =  ( ( log `  B )  -  ( log `  A ) ) )
4948eqcomd 2301 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( log `  B
)  -  ( log `  A ) )  =  ( log `  ( B  /  A ) ) )
5049fveq2d 5545 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Im `  (
( log `  B
)  -  ( log `  A ) ) )  =  ( Im `  ( log `  ( B  /  A ) ) ) )
5123, 50eqtr3d 2330 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( Im `  ( log `  B ) )  -  ( Im
`  ( log `  A
) ) )  =  ( Im `  ( log `  ( B  /  A ) ) ) )
5251fveq2d 5545 . . 3  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( Im `  ( log `  B ) )  -  ( Im `  ( log `  A ) ) ) )  =  ( abs `  (
Im `  ( log `  ( B  /  A
) ) ) ) )
5322, 52eqtrd 2328 . 2  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( Im `  ( log `  A ) )  -  ( Im `  ( log `  B ) ) ) )  =  ( abs `  (
Im `  ( log `  ( B  /  A
) ) ) ) )
54 logcl 19942 . . . . . . 7  |-  ( ( ( B  /  A
)  e.  CC  /\  ( B  /  A
)  =/=  0 )  ->  ( log `  ( B  /  A ) )  e.  CC )
5532, 33, 54syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( log `  ( B  /  A ) )  e.  CC )
5655imcld 11696 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Im `  ( log `  ( B  /  A ) ) )  e.  RR )
5756recnd 8877 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Im `  ( log `  ( B  /  A ) ) )  e.  CC )
5857abscld 11934 . . 3  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
Im `  ( log `  ( B  /  A
) ) ) )  e.  RR )
59 0re 8854 . . . . . . . . . . 11  |-  0  e.  RR
6059a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  0  e.  RR )
61 1re 8853 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  RR
625, 15subcld 9173 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( A  -  B
)  e.  CC )
6362abscld 11934 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( A  -  B )
)  e.  RR )
645, 7absrpcld 11946 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( abs `  A
)  e.  RR+ )
6563, 64rerpdivcld 10433 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( A  -  B )
)  /  ( abs `  A ) )  e.  RR )
66 resubcl 9127 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( ( abs `  ( A  -  B )
)  /  ( abs `  A ) )  e.  RR )  ->  (
1  -  ( ( abs `  ( A  -  B ) )  /  ( abs `  A
) ) )  e.  RR )
6761, 65, 66sylancr 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 1  -  (
( abs `  ( A  -  B )
)  /  ( abs `  A ) ) )  e.  RR )
6832recld 11695 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( Re `  ( B  /  A ) )  e.  RR )
695abscld 11934 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( abs `  A
)  e.  RR )
7037rpred 10406 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  R  e.  RR )
71 1rp 10374 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  1  e.  RR+
72 rpaddcl 10390 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 1  e.  RR+  /\  R  e.  RR+ )  ->  (
1  +  R )  e.  RR+ )
7371, 37, 72sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( 1  +  R
)  e.  RR+ )
7470, 73rerpdivcld 10433 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( R  /  (
1  +  R ) )  e.  RR )
7569, 74remulcld 8879 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  A
)  x.  ( R  /  ( 1  +  R ) ) )  e.  RR )
7636, 75syl5eqel 2380 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  T  e.  RR )
77 rpre 10376 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( A  e.  RR+  ->  A  e.  RR )
7877adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  A  e.  RR+ )  ->  A  e.  RR )
795imcld 11696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  ( Im `  A
)  e.  RR )
8079recnd 8877 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( Im `  A
)  e.  CC )
8180abscld 11934 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
Im `  A )
)  e.  RR )
8281adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  -.  A  e.  RR+ )  ->  ( abs `  ( Im `  A ) )  e.  RR )
8378, 82ifclda 3605 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  if ( A  e.  RR+ ,  A ,  ( abs `  ( Im
`  A ) ) )  e.  RR )
8435, 83syl5eqel 2380 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  S  e.  RR )
85 ltmin 10538 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( abs `  ( A  -  B )
)  e.  RR  /\  S  e.  RR  /\  T  e.  RR )  ->  (
( abs `  ( A  -  B )
)  <  if ( S  <_  T ,  S ,  T )  <->  ( ( abs `  ( A  -  B ) )  < 
S  /\  ( abs `  ( A  -  B
) )  <  T
) ) )
8663, 84, 76, 85syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( A  -  B )
)  <  if ( S  <_  T ,  S ,  T )  <->  ( ( abs `  ( A  -  B ) )  < 
S  /\  ( abs `  ( A  -  B
) )  <  T
) ) )
8738, 86mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( A  -  B )
)  <  S  /\  ( abs `  ( A  -  B ) )  <  T ) )
8887simprd 449 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( A  -  B )
)  <  T )
8973rpred 10406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( 1  +  R
)  e.  RR )
9070ltp1d 9703 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  R  <  ( R  +  1 ) )
9170recnd 8877 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  R  e.  CC )
92 ax-1cn 8811 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  1  e.  CC
93 addcom 9014 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( R  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( R  +  1 )  =  ( 1  +  R ) )
9491, 92, 93sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( R  +  1 )  =  ( 1  +  R ) )
9590, 94breqtrd 4063 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  R  <  ( 1  +  R ) )
9670, 89, 95ltled 8983 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  R  <_  ( 1  +  R ) )
9789recnd 8877 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( 1  +  R
)  e.  CC )
9897mulid1d 8868 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( 1  +  R )  x.  1 )  =  ( 1  +  R ) )
9996, 98breqtrrd 4065 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  R  <_  ( (
1  +  R )  x.  1 ) )
10061a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
10170, 100, 73ledivmuld 10455 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( R  / 
( 1  +  R
) )  <_  1  <->  R  <_  ( ( 1  +  R )  x.  1 ) ) )
10299, 101mpbird 223 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( R  /  (
1  +  R ) )  <_  1 )
10374, 100, 64lemul2d 10446 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( R  / 
( 1  +  R
) )  <_  1  <->  ( ( abs `  A
)  x.  ( R  /  ( 1  +  R ) ) )  <_  ( ( abs `  A )  x.  1 ) ) )
104102, 103mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  A
)  x.  ( R  /  ( 1  +  R ) ) )  <_  ( ( abs `  A )  x.  1 ) )
10569recnd 8877 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( abs `  A
)  e.  CC )
106105mulid1d 8868 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  A
)  x.  1 )  =  ( abs `  A
) )
107104, 106breqtrd 4063 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  A
)  x.  ( R  /  ( 1  +  R ) ) )  <_  ( abs `  A
) )
10836, 107syl5eqbr 4072 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  T  <_  ( abs `  A ) )
10963, 76, 69, 88, 108ltletrd 8992 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( A  -  B )
)  <  ( abs `  A ) )
110109, 106breqtrrd 4065 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( A  -  B )
)  <  ( ( abs `  A )  x.  1 ) )
11163, 100, 64ltdivmuld 10453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  ( A  -  B
) )  /  ( abs `  A ) )  <  1  <->  ( abs `  ( A  -  B
) )  <  (
( abs `  A
)  x.  1 ) ) )
112110, 111mpbird 223 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( A  -  B )
)  /  ( abs `  A ) )  <  1 )
113 posdif 9283 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( abs `  ( A  -  B )
)  /  ( abs `  A ) )  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  (
( ( abs `  ( A  -  B )
)  /  ( abs `  A ) )  <  1  <->  0  <  (
1  -  ( ( abs `  ( A  -  B ) )  /  ( abs `  A
) ) ) ) )
11465, 61, 113sylancl 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  ( A  -  B
) )  /  ( abs `  A ) )  <  1  <->  0  <  ( 1  -  ( ( abs `  ( A  -  B ) )  /  ( abs `  A
) ) ) ) )
115112, 114mpbid 201 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  0  <  ( 1  -  ( ( abs `  ( A  -  B
) )  /  ( abs `  A ) ) ) )
11662, 5, 7divcld 9552 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( A  -  B )  /  A
)  e.  CC )
117116releabsd 11949 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( Re `  (
( A  -  B
)  /  A ) )  <_  ( abs `  ( ( A  -  B )  /  A
) ) )
1185, 15, 5, 7divsubdird 9591 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( A  -  B )  /  A
)  =  ( ( A  /  A )  -  ( B  /  A ) ) )
1195, 7dividd 9550 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( A  /  A
)  =  1 )
120119oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( A  /  A )  -  ( B  /  A ) )  =  ( 1  -  ( B  /  A
) ) )
121118, 120eqtrd 2328 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( A  -  B )  /  A
)  =  ( 1  -  ( B  /  A ) ) )
122121fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( Re `  (
( A  -  B
)  /  A ) )  =  ( Re
`  ( 1  -  ( B  /  A
) ) ) )
123 resub 11628 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( B  /  A
)  e.  CC )  ->  ( Re `  ( 1  -  ( B  /  A ) ) )  =  ( ( Re `  1 )  -  ( Re `  ( B  /  A
) ) ) )
12492, 32, 123sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( Re `  (
1  -  ( B  /  A ) ) )  =  ( ( Re `  1 )  -  ( Re `  ( B  /  A
) ) ) )
125122, 124eqtrd 2328 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( Re `  (
( A  -  B
)  /  A ) )  =  ( ( Re `  1 )  -  ( Re `  ( B  /  A
) ) ) )
126 re1 11655 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Re
`  1 )  =  1
127126oveq1i 5884 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Re `  1 )  -  ( Re `  ( B  /  A
) ) )  =  ( 1  -  (
Re `  ( B  /  A ) ) )
128125, 127syl6eq 2344 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( Re `  (
( A  -  B
)  /  A ) )  =  ( 1  -  ( Re `  ( B  /  A
) ) ) )
12962, 5, 7absdivd 11953 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( A  -  B
)  /  A ) )  =  ( ( abs `  ( A  -  B ) )  /  ( abs `  A
) ) )
130117, 128, 1293brtr3d 4068 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 1  -  (
Re `  ( B  /  A ) ) )  <_  ( ( abs `  ( A  -  B
) )  /  ( abs `  A ) ) )
131100, 68, 65, 130subled 9391 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 1  -  (
( abs `  ( A  -  B )
)  /  ( abs `  A ) ) )  <_  ( Re `  ( B  /  A
) ) )
13260, 67, 68, 115, 131ltletrd 8992 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  0  <  ( Re
`  ( B  /  A ) ) )
133 argregt0 19980 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( B  /  A
)  e.  CC  /\  0  <  ( Re `  ( B  /  A
) ) )  -> 
( Im `  ( log `  ( B  /  A ) ) )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )
13432, 132, 133syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( Im `  ( log `  ( B  /  A ) ) )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )
135 cosq14gt0 19894 . . . . . . . 8  |-  ( ( Im `  ( log `  ( B  /  A
) ) )  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  ->  0  <  ( cos `  (
Im `  ( log `  ( B  /  A
) ) ) ) )
136134, 135syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  <  ( cos `  ( Im `  ( log `  ( B  /  A ) ) ) ) )
137136gt0ne0d 9353 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( cos `  (
Im `  ( log `  ( B  /  A
) ) ) )  =/=  0 )
13856, 137retancld 12441 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( tan `  (
Im `  ( log `  ( B  /  A
) ) ) )  e.  RR )
139138recnd 8877 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( tan `  (
Im `  ( log `  ( B  /  A
) ) ) )  e.  CC )
140139abscld 11934 . . 3  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( tan `  ( Im `  ( log `  ( B  /  A ) ) ) ) )  e.  RR )
141 tanabsge 19890 . . . 4  |-  ( ( Im `  ( log `  ( B  /  A
) ) )  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  ->  ( abs `  ( Im `  ( log `  ( B  /  A ) ) ) )  <_  ( abs `  ( tan `  (
Im `  ( log `  ( B  /  A
) ) ) ) ) )
142134, 141syl 15 . . 3  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
Im `  ( log `  ( B  /  A
) ) ) )  <_  ( abs `  ( tan `  ( Im `  ( log `  ( B  /  A ) ) ) ) ) )
143132gt0ne0d 9353 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( Re `  ( B  /  A ) )  =/=  0 )
144 tanarg 19986 . . . . . . 7  |-  ( ( ( B  /  A
)  e.  CC  /\  ( Re `  ( B  /  A ) )  =/=  0 )  -> 
( tan `  (
Im `  ( log `  ( B  /  A
) ) ) )  =  ( ( Im
`  ( B  /  A ) )  / 
( Re `  ( B  /  A ) ) ) )
14532, 143, 144syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( tan `  (
Im `  ( log `  ( B  /  A
) ) ) )  =  ( ( Im
`  ( B  /  A ) )  / 
( Re `  ( B  /  A ) ) ) )
146145fveq2d 5545 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( tan `  ( Im `  ( log `  ( B  /  A ) ) ) ) )  =  ( abs `  (
( Im `  ( B  /  A ) )  /  ( Re `  ( B  /  A
) ) ) ) )
14732imcld 11696 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( Im `  ( B  /  A ) )  e.  RR )
148147recnd 8877 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( Im `  ( B  /  A ) )  e.  CC )
14968recnd 8877 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( Re `  ( B  /  A ) )  e.  CC )
150148, 149, 143absdivd 11953 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( Im `  ( B  /  A ) )  /  ( Re `  ( B  /  A
) ) ) )  =  ( ( abs `  ( Im `  ( B  /  A ) ) )  /  ( abs `  ( Re `  ( B  /  A ) ) ) ) )
15160, 68, 132ltled 8983 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  <_  ( Re `  ( B  /  A
) ) )
15268, 151absidd 11921 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
Re `  ( B  /  A ) ) )  =  ( Re `  ( B  /  A
) ) )
153152oveq2d 5890 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  (
Im `  ( B  /  A ) ) )  /  ( abs `  (
Re `  ( B  /  A ) ) ) )  =  ( ( abs `  ( Im
`  ( B  /  A ) ) )  /  ( Re `  ( B  /  A
) ) ) )
154146, 150, 1533eqtrd 2332 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( tan `  ( Im `  ( log `  ( B  /  A ) ) ) ) )  =  ( ( abs `  (
Im `  ( B  /  A ) ) )  /  ( Re `  ( B  /  A
) ) ) )
155148abscld 11934 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
Im `  ( B  /  A ) ) )  e.  RR )
15668, 70remulcld 8879 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( Re `  ( B  /  A
) )  x.  R
)  e.  RR )
15715, 5subcld 9173 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( B  -  A
)  e.  CC )
158157, 5, 7divcld 9552 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( B  -  A )  /  A
)  e.  CC )
159 absimle 11810 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( B  -  A
)  /  A )  e.  CC  ->  ( abs `  ( Im `  ( ( B  -  A )  /  A
) ) )  <_ 
( abs `  (
( B  -  A
)  /  A ) ) )
160158, 159syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
Im `  ( ( B  -  A )  /  A ) ) )  <_  ( abs `  (
( B  -  A
)  /  A ) ) )
16115, 5, 5, 7divsubdird 9591 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( B  -  A )  /  A
)  =  ( ( B  /  A )  -  ( A  /  A ) ) )
162119oveq2d 5890 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( B  /  A )  -  ( A  /  A ) )  =  ( ( B  /  A )  - 
1 ) )
163161, 162eqtrd 2328 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( B  -  A )  /  A
)  =  ( ( B  /  A )  -  1 ) )
164163fveq2d 5545 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( Im `  (
( B  -  A
)  /  A ) )  =  ( Im
`  ( ( B  /  A )  - 
1 ) ) )
165 imsub 11636 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( B  /  A
)  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( Im `  (
( B  /  A
)  -  1 ) )  =  ( ( Im `  ( B  /  A ) )  -  ( Im ` 
1 ) ) )
16632, 92, 165sylancl 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( Im `  (
( B  /  A
)  -  1 ) )  =  ( ( Im `  ( B  /  A ) )  -  ( Im ` 
1 ) ) )
167 im1 11656 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Im
`  1 )  =  0
168167oveq2i 5885 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Im `  ( B  /  A ) )  -  ( Im ` 
1 ) )  =  ( ( Im `  ( B  /  A
) )  -  0 )
169166, 168syl6eq 2344 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( Im `  (
( B  /  A
)  -  1 ) )  =  ( ( Im `  ( B  /  A ) )  -  0 ) )
170148subid1d 9162 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( Im `  ( B  /  A
) )  -  0 )  =  ( Im
`  ( B  /  A ) ) )
171164, 169, 1703eqtrrd 2333 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( Im `  ( B  /  A ) )  =  ( Im `  ( ( B  -  A )  /  A
) ) )
172171fveq2d 5545 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
Im `  ( B  /  A ) ) )  =  ( abs `  (
Im `  ( ( B  -  A )  /  A ) ) ) )
1735, 15abssubd 11951 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( A  -  B )
)  =  ( abs `  ( B  -  A
) ) )
174173oveq1d 5889 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( A  -  B )
)  /  ( abs `  A ) )  =  ( ( abs `  ( B  -  A )
)  /  ( abs `  A ) ) )
175157, 5, 7absdivd 11953 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( B  -  A
)  /  A ) )  =  ( ( abs `  ( B  -  A ) )  /  ( abs `  A
) ) )
176174, 175eqtr4d 2331 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( A  -  B )
)  /  ( abs `  A ) )  =  ( abs `  (
( B  -  A
)  /  A ) ) )
177160, 172, 1763brtr4d 4069 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
Im `  ( B  /  A ) ) )  <_  ( ( abs `  ( A  -  B
) )  /  ( abs `  A ) ) )
17869, 63resubcld 9227 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  A
)  -  ( abs `  ( A  -  B
) ) )  e.  RR )
179178, 70remulcld 8879 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  A )  -  ( abs `  ( A  -  B ) ) )  x.  R )  e.  RR )
18069, 156remulcld 8879 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  A
)  x.  ( ( Re `  ( B  /  A ) )  x.  R ) )  e.  RR )
18163recnd 8877 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( A  -  B )
)  e.  CC )
18292a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
183181, 182, 91adddid 8875 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( A  -  B )
)  x.  ( 1  +  R ) )  =  ( ( ( abs `  ( A  -  B ) )  x.  1 )  +  ( ( abs `  ( A  -  B )
)  x.  R ) ) )
184181mulid1d 8868 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( A  -  B )
)  x.  1 )  =  ( abs `  ( A  -  B )
) )
185184oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  ( A  -  B
) )  x.  1 )  +  ( ( abs `  ( A  -  B ) )  x.  R ) )  =  ( ( abs `  ( A  -  B
) )  +  ( ( abs `  ( A  -  B )
)  x.  R ) ) )
186183, 185eqtrd 2328 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( A  -  B )
)  x.  ( 1  +  R ) )  =  ( ( abs `  ( A  -  B
) )  +  ( ( abs `  ( A  -  B )
)  x.  R ) ) )
18773rpne0d 10411 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( 1  +  R
)  =/=  0 )
188105, 91, 97, 187divassd 9587 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  A )  x.  R
)  /  ( 1  +  R ) )  =  ( ( abs `  A )  x.  ( R  /  ( 1  +  R ) ) ) )
189188, 36syl6eqr 2346 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  A )  x.  R
)  /  ( 1  +  R ) )  =  T )
19088, 189breqtrrd 4065 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( A  -  B )
)  <  ( (
( abs `  A
)  x.  R )  /  ( 1  +  R ) ) )
19169, 70remulcld 8879 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  A
)  x.  R )  e.  RR )
19263, 191, 73ltmuldivd 10449 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  ( A  -  B
) )  x.  (
1  +  R ) )  <  ( ( abs `  A )  x.  R )  <->  ( abs `  ( A  -  B
) )  <  (
( ( abs `  A
)  x.  R )  /  ( 1  +  R ) ) ) )
193190, 192mpbird 223 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( A  -  B )
)  x.  ( 1  +  R ) )  <  ( ( abs `  A )  x.  R
) )
194186, 193eqbrtrrd 4061 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( A  -  B )
)  +  ( ( abs `  ( A  -  B ) )  x.  R ) )  <  ( ( abs `  A )  x.  R
) )
19563, 70remulcld 8879 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( A  -  B )
)  x.  R )  e.  RR )
19663, 195, 191ltaddsubd 9388 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  ( A  -  B
) )  +  ( ( abs `  ( A  -  B )
)  x.  R ) )  <  ( ( abs `  A )  x.  R )  <->  ( abs `  ( A  -  B
) )  <  (
( ( abs `  A
)  x.  R )  -  ( ( abs `  ( A  -  B
) )  x.  R
) ) ) )
197194, 196mpbid 201 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( A  -  B )
)  <  ( (
( abs `  A
)  x.  R )  -  ( ( abs `  ( A  -  B
) )  x.  R
) ) )
198105, 181, 91subdird 9252 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  A )  -  ( abs `  ( A  -  B ) ) )  x.  R )  =  ( ( ( abs `  A )  x.  R
)  -  ( ( abs `  ( A  -  B ) )  x.  R ) ) )
199197, 198breqtrrd 4065 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( A  -  B )
)  <  ( (
( abs `  A
)  -  ( abs `  ( A  -  B
) ) )  x.  R ) )
20064rpne0d 10411 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( abs `  A
)  =/=  0 )
201105, 181, 105, 200divsubdird 9591 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  A )  -  ( abs `  ( A  -  B ) ) )  /  ( abs `  A
) )  =  ( ( ( abs `  A
)  /  ( abs `  A ) )  -  ( ( abs `  ( A  -  B )
)  /  ( abs `  A ) ) ) )
202105, 200dividd 9550 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  A
)  /  ( abs `  A ) )  =  1 )
203202oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  A )  /  ( abs `  A ) )  -  ( ( abs `  ( A  -  B
) )  /  ( abs `  A ) ) )  =  ( 1  -  ( ( abs `  ( A  -  B
) )  /  ( abs `  A ) ) ) )
204201, 203eqtrd 2328 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  A )  -  ( abs `  ( A  -  B ) ) )  /  ( abs `  A
) )  =  ( 1  -  ( ( abs `  ( A  -  B ) )  /  ( abs `  A
) ) ) )
205204, 131eqbrtrd 4059 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  A )  -  ( abs `  ( A  -  B ) ) )  /  ( abs `  A
) )  <_  (
Re `  ( B  /  A ) ) )
206178, 68, 64ledivmuld 10455 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( abs `  A )  -  ( abs `  ( A  -  B )
) )  /  ( abs `  A ) )  <_  ( Re `  ( B  /  A
) )  <->  ( ( abs `  A )  -  ( abs `  ( A  -  B ) ) )  <_  ( ( abs `  A )  x.  ( Re `  ( B  /  A ) ) ) ) )
207205, 206mpbid 201 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  A
)  -  ( abs `  ( A  -  B
) ) )  <_ 
( ( abs `  A
)  x.  ( Re
`  ( B  /  A ) ) ) )
20869, 68remulcld 8879 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  A
)  x.  ( Re
`  ( B  /  A ) ) )  e.  RR )
209178, 208, 37lemul1d 10445 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  A )  -  ( abs `  ( A  -  B ) ) )  <_  ( ( abs `  A )  x.  (
Re `  ( B  /  A ) ) )  <-> 
( ( ( abs `  A )  -  ( abs `  ( A  -  B ) ) )  x.  R )  <_ 
( ( ( abs `  A )  x.  (
Re `  ( B  /  A ) ) )  x.  R ) ) )
210207, 209mpbid 201 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  A )  -  ( abs `  ( A  -  B ) ) )  x.  R )  <_ 
( ( ( abs `  A )  x.  (
Re `  ( B  /  A ) ) )  x.  R ) )
211105, 149, 91mulassd 8874 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  A )  x.  (
Re `  ( B  /  A ) ) )  x.  R )  =  ( ( abs `  A
)  x.  ( ( Re `  ( B  /  A ) )  x.  R ) ) )
212210, 211breqtrd 4063 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  A )  -  ( abs `  ( A  -  B ) ) )  x.  R )  <_ 
( ( abs `  A
)  x.  ( ( Re `  ( B  /  A ) )  x.  R ) ) )
21363, 179, 180, 199, 212ltletrd 8992 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( A  -  B )
)  <  ( ( abs `  A )  x.  ( ( Re `  ( B  /  A
) )  x.  R
) ) )
21463, 156, 64ltdivmuld 10453 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  ( A  -  B
) )  /  ( abs `  A ) )  <  ( ( Re
`  ( B  /  A ) )  x.  R )  <->  ( abs `  ( A  -  B
) )  <  (
( abs `  A
)  x.  ( ( Re `  ( B  /  A ) )  x.  R ) ) ) )
215213, 214mpbird 223 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( A  -  B )
)  /  ( abs `  A ) )  < 
( ( Re `  ( B  /  A
) )  x.  R
) )
216155, 65, 156, 177, 215lelttrd 8990 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
Im `  ( B  /  A ) ) )  <  ( ( Re
`  ( B  /  A ) )  x.  R ) )
217 ltdivmul 9644 . . . . . 6  |-  ( ( ( abs `  (
Im `  ( B  /  A ) ) )  e.  RR  /\  R  e.  RR  /\  ( ( Re `  ( B  /  A ) )  e.  RR  /\  0  <  ( Re `  ( B  /  A ) ) ) )  ->  (
( ( abs `  (
Im `  ( B  /  A ) ) )  /  ( Re `  ( B  /  A
) ) )  < 
R  <->  ( abs `  (
Im `  ( B  /  A ) ) )  <  ( ( Re
`  ( B  /  A ) )  x.  R ) ) )
218155, 70, 68, 132, 217syl112anc 1186 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  ( Im `  ( B  /  A ) ) )  /  ( Re
`  ( B  /  A ) ) )  <  R  <->  ( abs `  ( Im `  ( B  /  A ) ) )  <  ( ( Re `  ( B  /  A ) )  x.  R ) ) )
219216, 218mpbird 223 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  (
Im `  ( B  /  A ) ) )  /  ( Re `  ( B  /  A
) ) )  < 
R )
220154, 219eqbrtrd 4059 . . 3  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( tan `  ( Im `  ( log `  ( B  /  A ) ) ) ) )  < 
R )
22158, 140, 70, 142, 220lelttrd 8990 . 2  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
Im `  ( log `  ( B  /  A
) ) ) )  <  R )
22253, 221eqbrtrd 4059 1  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( Im `  ( log `  A ) )  -  ( Im `  ( log `  B ) ) ) )  < 
R )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459    \ cdif 3162   ifcif 3578   class class class wbr 4039   ran crn 4706   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   CCcc 8751   RRcr 8752   0cc0 8753   1c1 8754    + caddc 8756    x. cmul 8758    -oocmnf 8881    < clt 8883    <_ cle 8884    - cmin 9053   -ucneg 9054    / cdiv 9439   2c2 9811   RR+crp 10370   (,)cioo 10672   (,]cioc 10673   Recre 11598   Imcim 11599   abscabs 11735   expce 12359   cosccos 12362   tanctan 12363   picpi 12364   logclog 19928
This theorem is referenced by:  logcnlem5  20009
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831  ax-addf 8832  ax-mulf 8833
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-pm 6791  df-ixp 6834  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-fi 7181  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-cda 7810  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-xneg 10468  df-xadd 10469  df-xmul 10470  df-ioo 10676  df-ioc 10677  df-ico 10678  df-icc 10679  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-fl 10941  df-mod 10990  df-seq 11063  df-exp 11121  df-fac 11305  df-bc 11332  df-hash 11354  df-shft 11578  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-limsup 11961  df-clim 11978  df-rlim 11979  df-sum 12175  df-ef 12365  df-sin 12367  df-cos 12368  df-tan 12369  df-pi 12370  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-starv 13239  df-sca 13240  df-vsca 13241  df-tset 13243  df-ple 13244  df-ds 13246  df-hom 13248  df-cco 13249  df-rest 13343  df-topn 13344  df-topgen 13360  df-pt 13361  df-prds 13364  df-xrs 13419  df-0g 13420  df-gsum 13421  df-qtop 13426  df-imas 13427  df-xps 13429  df-mre 13504  df-mrc 13505  df-acs 13507  df-mnd 14383  df-submnd 14432  df-mulg 14508  df-cntz 14809  df-cmn 15107  df-xmet 16389  df-met 16390  df-bl 16391  df-mopn 16392  df-cnfld 16394  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-topsp 16656  df-cld 16772  df-ntr 16773  df-cls 16774  df-nei 16851  df-lp 16884  df-perf 16885  df-cn 16973  df-cnp 16974  df-haus 17059  df-tx 17273  df-hmeo 17462  df-fbas 17536  df-fg 17537  df-fil 17557  df-fm 17649  df-flim 17650  df-flf 17651  df-xms 17901  df-ms 17902  df-tms 17903  df-cncf 18398  df-limc 19232  df-dv 19233  df-log 19930
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