MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  logcnlem4 Unicode version

Theorem logcnlem4 20396
Description: Lemma for logcn 20398. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
logcn.d  |-  D  =  ( CC  \  (  -oo (,] 0 ) )
logcnlem.s  |-  S  =  if ( A  e.  RR+ ,  A ,  ( abs `  ( Im
`  A ) ) )
logcnlem.t  |-  T  =  ( ( abs `  A
)  x.  ( R  /  ( 1  +  R ) ) )
logcnlem.a  |-  ( ph  ->  A  e.  D )
logcnlem.r  |-  ( ph  ->  R  e.  RR+ )
logcnlem.b  |-  ( ph  ->  B  e.  D )
logcnlem.l  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( A  -  B )
)  <  if ( S  <_  T ,  S ,  T ) )
Assertion
Ref Expression
logcnlem4  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( Im `  ( log `  A ) )  -  ( Im `  ( log `  B ) ) ) )  < 
R )

Proof of Theorem logcnlem4
StepHypRef Expression
1 logcnlem.a . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  e.  D )
2 logcn.d . . . . . . . . . 10  |-  D  =  ( CC  \  (  -oo (,] 0 ) )
32ellogdm 20390 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  D  <->  ( A  e.  CC  /\  ( A  e.  RR  ->  A  e.  RR+ ) ) )
43simplbi 447 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  D  ->  A  e.  CC )
51, 4syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
62logdmn0 20391 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  D  ->  A  =/=  0 )
71, 6syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  =/=  0 )
85, 7logcld 20328 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( log `  A
)  e.  CC )
98imcld 11920 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Im `  ( log `  A ) )  e.  RR )
109recnd 9040 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Im `  ( log `  A ) )  e.  CC )
11 logcnlem.b . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  B  e.  D )
122ellogdm 20390 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  D  <->  ( B  e.  CC  /\  ( B  e.  RR  ->  B  e.  RR+ ) ) )
1312simplbi 447 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  D  ->  B  e.  CC )
1411, 13syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
152logdmn0 20391 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  D  ->  B  =/=  0 )
1611, 15syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  =/=  0 )
1714, 16logcld 20328 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( log `  B
)  e.  CC )
1817imcld 11920 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Im `  ( log `  B ) )  e.  RR )
1918recnd 9040 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Im `  ( log `  B ) )  e.  CC )
2010, 19abssubd 12175 . . 3  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( Im `  ( log `  A ) )  -  ( Im `  ( log `  B ) ) ) )  =  ( abs `  (
( Im `  ( log `  B ) )  -  ( Im `  ( log `  A ) ) ) ) )
2117, 8imsubd 11942 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Im `  (
( log `  B
)  -  ( log `  A ) ) )  =  ( ( Im
`  ( log `  B
) )  -  (
Im `  ( log `  A ) ) ) )
22 efsub 12621 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( log `  B
)  e.  CC  /\  ( log `  A )  e.  CC )  -> 
( exp `  (
( log `  B
)  -  ( log `  A ) ) )  =  ( ( exp `  ( log `  B
) )  /  ( exp `  ( log `  A
) ) ) )
2317, 8, 22syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( exp `  (
( log `  B
)  -  ( log `  A ) ) )  =  ( ( exp `  ( log `  B
) )  /  ( exp `  ( log `  A
) ) ) )
24 eflog 20334 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  e.  CC  /\  B  =/=  0 )  -> 
( exp `  ( log `  B ) )  =  B )
2514, 16, 24syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( exp `  ( log `  B ) )  =  B )
26 eflog 20334 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( exp `  ( log `  A ) )  =  A )
275, 7, 26syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( exp `  ( log `  A ) )  =  A )
2825, 27oveq12d 6031 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( exp `  ( log `  B ) )  /  ( exp `  ( log `  A ) ) )  =  ( B  /  A ) )
2923, 28eqtrd 2412 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( exp `  (
( log `  B
)  -  ( log `  A ) ) )  =  ( B  /  A ) )
3014, 5, 7divcld 9715 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( B  /  A
)  e.  CC )
3114, 5, 16, 7divne0d 9731 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( B  /  A
)  =/=  0 )
3217, 8subcld 9336 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( log `  B
)  -  ( log `  A ) )  e.  CC )
33 logcnlem.s . . . . . . . . . . . . 13  |-  S  =  if ( A  e.  RR+ ,  A ,  ( abs `  ( Im
`  A ) ) )
34 logcnlem.t . . . . . . . . . . . . 13  |-  T  =  ( ( abs `  A
)  x.  ( R  /  ( 1  +  R ) ) )
35 logcnlem.r . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  R  e.  RR+ )
36 logcnlem.l . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( A  -  B )
)  <  if ( S  <_  T ,  S ,  T ) )
372, 33, 34, 1, 35, 11, 36logcnlem3 20395 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( -u pi  <  ( ( Im `  ( log `  B ) )  -  ( Im `  ( log `  A ) ) )  /\  (
( Im `  ( log `  B ) )  -  ( Im `  ( log `  A ) ) )  <_  pi ) )
3837simpld 446 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  -> 
-u pi  <  (
( Im `  ( log `  B ) )  -  ( Im `  ( log `  A ) ) ) )
3938, 21breqtrrd 4172 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  -> 
-u pi  <  (
Im `  ( ( log `  B )  -  ( log `  A ) ) ) )
4037simprd 450 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( Im `  ( log `  B ) )  -  ( Im
`  ( log `  A
) ) )  <_  pi )
4121, 40eqbrtrd 4166 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( Im `  (
( log `  B
)  -  ( log `  A ) ) )  <_  pi )
42 ellogrn 20317 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( log `  B
)  -  ( log `  A ) )  e. 
ran  log  <->  ( ( ( log `  B )  -  ( log `  A
) )  e.  CC  /\  -u pi  <  ( Im
`  ( ( log `  B )  -  ( log `  A ) ) )  /\  ( Im
`  ( ( log `  B )  -  ( log `  A ) ) )  <_  pi )
)
4332, 39, 41, 42syl3anbrc 1138 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( log `  B
)  -  ( log `  A ) )  e. 
ran  log )
44 logeftb 20338 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( B  /  A
)  e.  CC  /\  ( B  /  A
)  =/=  0  /\  ( ( log `  B
)  -  ( log `  A ) )  e. 
ran  log )  ->  (
( log `  ( B  /  A ) )  =  ( ( log `  B )  -  ( log `  A ) )  <-> 
( exp `  (
( log `  B
)  -  ( log `  A ) ) )  =  ( B  /  A ) ) )
4530, 31, 43, 44syl3anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( log `  ( B  /  A ) )  =  ( ( log `  B )  -  ( log `  A ) )  <-> 
( exp `  (
( log `  B
)  -  ( log `  A ) ) )  =  ( B  /  A ) ) )
4629, 45mpbird 224 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( log `  ( B  /  A ) )  =  ( ( log `  B )  -  ( log `  A ) ) )
4746eqcomd 2385 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( log `  B
)  -  ( log `  A ) )  =  ( log `  ( B  /  A ) ) )
4847fveq2d 5665 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Im `  (
( log `  B
)  -  ( log `  A ) ) )  =  ( Im `  ( log `  ( B  /  A ) ) ) )
4921, 48eqtr3d 2414 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( Im `  ( log `  B ) )  -  ( Im
`  ( log `  A
) ) )  =  ( Im `  ( log `  ( B  /  A ) ) ) )
5049fveq2d 5665 . . 3  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( Im `  ( log `  B ) )  -  ( Im `  ( log `  A ) ) ) )  =  ( abs `  (
Im `  ( log `  ( B  /  A
) ) ) ) )
5120, 50eqtrd 2412 . 2  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( Im `  ( log `  A ) )  -  ( Im `  ( log `  B ) ) ) )  =  ( abs `  (
Im `  ( log `  ( B  /  A
) ) ) ) )
5230, 31logcld 20328 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( log `  ( B  /  A ) )  e.  CC )
5352imcld 11920 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Im `  ( log `  ( B  /  A ) ) )  e.  RR )
5453recnd 9040 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Im `  ( log `  ( B  /  A ) ) )  e.  CC )
5554abscld 12158 . . 3  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
Im `  ( log `  ( B  /  A
) ) ) )  e.  RR )
56 0re 9017 . . . . . . . . . . 11  |-  0  e.  RR
5756a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  0  e.  RR )
58 1re 9016 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  RR
595, 14subcld 9336 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( A  -  B
)  e.  CC )
6059abscld 12158 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( A  -  B )
)  e.  RR )
615, 7absrpcld 12170 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( abs `  A
)  e.  RR+ )
6260, 61rerpdivcld 10600 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( A  -  B )
)  /  ( abs `  A ) )  e.  RR )
63 resubcl 9290 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( ( abs `  ( A  -  B )
)  /  ( abs `  A ) )  e.  RR )  ->  (
1  -  ( ( abs `  ( A  -  B ) )  /  ( abs `  A
) ) )  e.  RR )
6458, 62, 63sylancr 645 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 1  -  (
( abs `  ( A  -  B )
)  /  ( abs `  A ) ) )  e.  RR )
6530recld 11919 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( Re `  ( B  /  A ) )  e.  RR )
665abscld 12158 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( abs `  A
)  e.  RR )
6735rpred 10573 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  R  e.  RR )
68 1rp 10541 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  1  e.  RR+
69 rpaddcl 10557 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 1  e.  RR+  /\  R  e.  RR+ )  ->  (
1  +  R )  e.  RR+ )
7068, 35, 69sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( 1  +  R
)  e.  RR+ )
7167, 70rerpdivcld 10600 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( R  /  (
1  +  R ) )  e.  RR )
7266, 71remulcld 9042 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  A
)  x.  ( R  /  ( 1  +  R ) ) )  e.  RR )
7334, 72syl5eqel 2464 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  T  e.  RR )
74 rpre 10543 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( A  e.  RR+  ->  A  e.  RR )
7574adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  A  e.  RR+ )  ->  A  e.  RR )
765imcld 11920 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  ( Im `  A
)  e.  RR )
7776recnd 9040 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( Im `  A
)  e.  CC )
7877abscld 12158 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
Im `  A )
)  e.  RR )
7978adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  -.  A  e.  RR+ )  ->  ( abs `  ( Im `  A ) )  e.  RR )
8075, 79ifclda 3702 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  if ( A  e.  RR+ ,  A ,  ( abs `  ( Im
`  A ) ) )  e.  RR )
8133, 80syl5eqel 2464 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  S  e.  RR )
82 ltmin 10706 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( abs `  ( A  -  B )
)  e.  RR  /\  S  e.  RR  /\  T  e.  RR )  ->  (
( abs `  ( A  -  B )
)  <  if ( S  <_  T ,  S ,  T )  <->  ( ( abs `  ( A  -  B ) )  < 
S  /\  ( abs `  ( A  -  B
) )  <  T
) ) )
8360, 81, 73, 82syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( A  -  B )
)  <  if ( S  <_  T ,  S ,  T )  <->  ( ( abs `  ( A  -  B ) )  < 
S  /\  ( abs `  ( A  -  B
) )  <  T
) ) )
8436, 83mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( A  -  B )
)  <  S  /\  ( abs `  ( A  -  B ) )  <  T ) )
8584simprd 450 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( A  -  B )
)  <  T )
8670rpred 10573 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( 1  +  R
)  e.  RR )
8767ltp1d 9866 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  R  <  ( R  +  1 ) )
8867recnd 9040 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  R  e.  CC )
89 ax-1cn 8974 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  1  e.  CC
90 addcom 9177 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( R  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( R  +  1 )  =  ( 1  +  R ) )
9188, 89, 90sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( R  +  1 )  =  ( 1  +  R ) )
9287, 91breqtrd 4170 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  R  <  ( 1  +  R ) )
9367, 86, 92ltled 9146 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  R  <_  ( 1  +  R ) )
9486recnd 9040 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( 1  +  R
)  e.  CC )
9594mulid1d 9031 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( 1  +  R )  x.  1 )  =  ( 1  +  R ) )
9693, 95breqtrrd 4172 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  R  <_  ( (
1  +  R )  x.  1 ) )
9758a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
9867, 97, 70ledivmuld 10622 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( R  / 
( 1  +  R
) )  <_  1  <->  R  <_  ( ( 1  +  R )  x.  1 ) ) )
9996, 98mpbird 224 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( R  /  (
1  +  R ) )  <_  1 )
10071, 97, 61lemul2d 10613 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( R  / 
( 1  +  R
) )  <_  1  <->  ( ( abs `  A
)  x.  ( R  /  ( 1  +  R ) ) )  <_  ( ( abs `  A )  x.  1 ) ) )
10199, 100mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  A
)  x.  ( R  /  ( 1  +  R ) ) )  <_  ( ( abs `  A )  x.  1 ) )
10266recnd 9040 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( abs `  A
)  e.  CC )
103102mulid1d 9031 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  A
)  x.  1 )  =  ( abs `  A
) )
104101, 103breqtrd 4170 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  A
)  x.  ( R  /  ( 1  +  R ) ) )  <_  ( abs `  A
) )
10534, 104syl5eqbr 4179 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  T  <_  ( abs `  A ) )
10660, 73, 66, 85, 105ltletrd 9155 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( A  -  B )
)  <  ( abs `  A ) )
107106, 103breqtrrd 4172 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( A  -  B )
)  <  ( ( abs `  A )  x.  1 ) )
10860, 97, 61ltdivmuld 10620 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  ( A  -  B
) )  /  ( abs `  A ) )  <  1  <->  ( abs `  ( A  -  B
) )  <  (
( abs `  A
)  x.  1 ) ) )
109107, 108mpbird 224 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( A  -  B )
)  /  ( abs `  A ) )  <  1 )
110 posdif 9446 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( abs `  ( A  -  B )
)  /  ( abs `  A ) )  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  (
( ( abs `  ( A  -  B )
)  /  ( abs `  A ) )  <  1  <->  0  <  (
1  -  ( ( abs `  ( A  -  B ) )  /  ( abs `  A
) ) ) ) )
11162, 58, 110sylancl 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  ( A  -  B
) )  /  ( abs `  A ) )  <  1  <->  0  <  ( 1  -  ( ( abs `  ( A  -  B ) )  /  ( abs `  A
) ) ) ) )
112109, 111mpbid 202 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  0  <  ( 1  -  ( ( abs `  ( A  -  B
) )  /  ( abs `  A ) ) ) )
11359, 5, 7divcld 9715 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( A  -  B )  /  A
)  e.  CC )
114113releabsd 12173 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( Re `  (
( A  -  B
)  /  A ) )  <_  ( abs `  ( ( A  -  B )  /  A
) ) )
1155, 14, 5, 7divsubdird 9754 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( A  -  B )  /  A
)  =  ( ( A  /  A )  -  ( B  /  A ) ) )
1165, 7dividd 9713 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( A  /  A
)  =  1 )
117116oveq1d 6028 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( A  /  A )  -  ( B  /  A ) )  =  ( 1  -  ( B  /  A
) ) )
118115, 117eqtrd 2412 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( A  -  B )  /  A
)  =  ( 1  -  ( B  /  A ) ) )
119118fveq2d 5665 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( Re `  (
( A  -  B
)  /  A ) )  =  ( Re
`  ( 1  -  ( B  /  A
) ) ) )
120 resub 11852 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( B  /  A
)  e.  CC )  ->  ( Re `  ( 1  -  ( B  /  A ) ) )  =  ( ( Re `  1 )  -  ( Re `  ( B  /  A
) ) ) )
12189, 30, 120sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( Re `  (
1  -  ( B  /  A ) ) )  =  ( ( Re `  1 )  -  ( Re `  ( B  /  A
) ) ) )
122119, 121eqtrd 2412 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( Re `  (
( A  -  B
)  /  A ) )  =  ( ( Re `  1 )  -  ( Re `  ( B  /  A
) ) ) )
123 re1 11879 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Re
`  1 )  =  1
124123oveq1i 6023 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Re `  1 )  -  ( Re `  ( B  /  A
) ) )  =  ( 1  -  (
Re `  ( B  /  A ) ) )
125122, 124syl6eq 2428 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( Re `  (
( A  -  B
)  /  A ) )  =  ( 1  -  ( Re `  ( B  /  A
) ) ) )
12659, 5, 7absdivd 12177 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( A  -  B
)  /  A ) )  =  ( ( abs `  ( A  -  B ) )  /  ( abs `  A
) ) )
127114, 125, 1263brtr3d 4175 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 1  -  (
Re `  ( B  /  A ) ) )  <_  ( ( abs `  ( A  -  B
) )  /  ( abs `  A ) ) )
12897, 65, 62, 127subled 9554 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 1  -  (
( abs `  ( A  -  B )
)  /  ( abs `  A ) ) )  <_  ( Re `  ( B  /  A
) ) )
12957, 64, 65, 112, 128ltletrd 9155 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  0  <  ( Re
`  ( B  /  A ) ) )
130 argregt0 20365 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( B  /  A
)  e.  CC  /\  0  <  ( Re `  ( B  /  A
) ) )  -> 
( Im `  ( log `  ( B  /  A ) ) )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )
13130, 129, 130syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( Im `  ( log `  ( B  /  A ) ) )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )
132 cosq14gt0 20278 . . . . . . . 8  |-  ( ( Im `  ( log `  ( B  /  A
) ) )  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  ->  0  <  ( cos `  (
Im `  ( log `  ( B  /  A
) ) ) ) )
133131, 132syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  <  ( cos `  ( Im `  ( log `  ( B  /  A ) ) ) ) )
134133gt0ne0d 9516 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( cos `  (
Im `  ( log `  ( B  /  A
) ) ) )  =/=  0 )
13553, 134retancld 12666 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( tan `  (
Im `  ( log `  ( B  /  A
) ) ) )  e.  RR )
136135recnd 9040 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( tan `  (
Im `  ( log `  ( B  /  A
) ) ) )  e.  CC )
137136abscld 12158 . . 3  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( tan `  ( Im `  ( log `  ( B  /  A ) ) ) ) )  e.  RR )
138 tanabsge 20274 . . . 4  |-  ( ( Im `  ( log `  ( B  /  A
) ) )  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  ->  ( abs `  ( Im `  ( log `  ( B  /  A ) ) ) )  <_  ( abs `  ( tan `  (
Im `  ( log `  ( B  /  A
) ) ) ) ) )
139131, 138syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
Im `  ( log `  ( B  /  A
) ) ) )  <_  ( abs `  ( tan `  ( Im `  ( log `  ( B  /  A ) ) ) ) ) )
140129gt0ne0d 9516 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( Re `  ( B  /  A ) )  =/=  0 )
141 tanarg 20374 . . . . . . 7  |-  ( ( ( B  /  A
)  e.  CC  /\  ( Re `  ( B  /  A ) )  =/=  0 )  -> 
( tan `  (
Im `  ( log `  ( B  /  A
) ) ) )  =  ( ( Im
`  ( B  /  A ) )  / 
( Re `  ( B  /  A ) ) ) )
14230, 140, 141syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( tan `  (
Im `  ( log `  ( B  /  A
) ) ) )  =  ( ( Im
`  ( B  /  A ) )  / 
( Re `  ( B  /  A ) ) ) )
143142fveq2d 5665 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( tan `  ( Im `  ( log `  ( B  /  A ) ) ) ) )  =  ( abs `  (
( Im `  ( B  /  A ) )  /  ( Re `  ( B  /  A
) ) ) ) )
14430imcld 11920 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( Im `  ( B  /  A ) )  e.  RR )
145144recnd 9040 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( Im `  ( B  /  A ) )  e.  CC )
14665recnd 9040 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( Re `  ( B  /  A ) )  e.  CC )
147145, 146, 140absdivd 12177 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( Im `  ( B  /  A ) )  /  ( Re `  ( B  /  A
) ) ) )  =  ( ( abs `  ( Im `  ( B  /  A ) ) )  /  ( abs `  ( Re `  ( B  /  A ) ) ) ) )
14857, 65, 129ltled 9146 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  <_  ( Re `  ( B  /  A
) ) )
14965, 148absidd 12145 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
Re `  ( B  /  A ) ) )  =  ( Re `  ( B  /  A
) ) )
150149oveq2d 6029 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  (
Im `  ( B  /  A ) ) )  /  ( abs `  (
Re `  ( B  /  A ) ) ) )  =  ( ( abs `  ( Im
`  ( B  /  A ) ) )  /  ( Re `  ( B  /  A
) ) ) )
151143, 147, 1503eqtrd 2416 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( tan `  ( Im `  ( log `  ( B  /  A ) ) ) ) )  =  ( ( abs `  (
Im `  ( B  /  A ) ) )  /  ( Re `  ( B  /  A
) ) ) )
152145abscld 12158 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
Im `  ( B  /  A ) ) )  e.  RR )
15365, 67remulcld 9042 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( Re `  ( B  /  A
) )  x.  R
)  e.  RR )
15414, 5subcld 9336 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( B  -  A
)  e.  CC )
155154, 5, 7divcld 9715 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( B  -  A )  /  A
)  e.  CC )
156 absimle 12034 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( B  -  A
)  /  A )  e.  CC  ->  ( abs `  ( Im `  ( ( B  -  A )  /  A
) ) )  <_ 
( abs `  (
( B  -  A
)  /  A ) ) )
157155, 156syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
Im `  ( ( B  -  A )  /  A ) ) )  <_  ( abs `  (
( B  -  A
)  /  A ) ) )
15814, 5, 5, 7divsubdird 9754 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( B  -  A )  /  A
)  =  ( ( B  /  A )  -  ( A  /  A ) ) )
159116oveq2d 6029 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( B  /  A )  -  ( A  /  A ) )  =  ( ( B  /  A )  - 
1 ) )
160158, 159eqtrd 2412 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( B  -  A )  /  A
)  =  ( ( B  /  A )  -  1 ) )
161160fveq2d 5665 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( Im `  (
( B  -  A
)  /  A ) )  =  ( Im
`  ( ( B  /  A )  - 
1 ) ) )
162 imsub 11860 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( B  /  A
)  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( Im `  (
( B  /  A
)  -  1 ) )  =  ( ( Im `  ( B  /  A ) )  -  ( Im ` 
1 ) ) )
16330, 89, 162sylancl 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( Im `  (
( B  /  A
)  -  1 ) )  =  ( ( Im `  ( B  /  A ) )  -  ( Im ` 
1 ) ) )
164 im1 11880 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Im
`  1 )  =  0
165164oveq2i 6024 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Im `  ( B  /  A ) )  -  ( Im ` 
1 ) )  =  ( ( Im `  ( B  /  A
) )  -  0 )
166163, 165syl6eq 2428 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( Im `  (
( B  /  A
)  -  1 ) )  =  ( ( Im `  ( B  /  A ) )  -  0 ) )
167145subid1d 9325 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( Im `  ( B  /  A
) )  -  0 )  =  ( Im
`  ( B  /  A ) ) )
168161, 166, 1673eqtrrd 2417 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( Im `  ( B  /  A ) )  =  ( Im `  ( ( B  -  A )  /  A
) ) )
169168fveq2d 5665 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
Im `  ( B  /  A ) ) )  =  ( abs `  (
Im `  ( ( B  -  A )  /  A ) ) ) )
1705, 14abssubd 12175 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( A  -  B )
)  =  ( abs `  ( B  -  A
) ) )
171170oveq1d 6028 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( A  -  B )
)  /  ( abs `  A ) )  =  ( ( abs `  ( B  -  A )
)  /  ( abs `  A ) ) )
172154, 5, 7absdivd 12177 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( B  -  A
)  /  A ) )  =  ( ( abs `  ( B  -  A ) )  /  ( abs `  A
) ) )
173171, 172eqtr4d 2415 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( A  -  B )
)  /  ( abs `  A ) )  =  ( abs `  (
( B  -  A
)  /  A ) ) )
174157, 169, 1733brtr4d 4176 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
Im `  ( B  /  A ) ) )  <_  ( ( abs `  ( A  -  B
) )  /  ( abs `  A ) ) )
17566, 60resubcld 9390 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  A
)  -  ( abs `  ( A  -  B
) ) )  e.  RR )
176175, 67remulcld 9042 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  A )  -  ( abs `  ( A  -  B ) ) )  x.  R )  e.  RR )
17766, 153remulcld 9042 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  A
)  x.  ( ( Re `  ( B  /  A ) )  x.  R ) )  e.  RR )
17860recnd 9040 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( A  -  B )
)  e.  CC )
17989a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
180178, 179, 88adddid 9038 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( A  -  B )
)  x.  ( 1  +  R ) )  =  ( ( ( abs `  ( A  -  B ) )  x.  1 )  +  ( ( abs `  ( A  -  B )
)  x.  R ) ) )
181178mulid1d 9031 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( A  -  B )
)  x.  1 )  =  ( abs `  ( A  -  B )
) )
182181oveq1d 6028 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  ( A  -  B
) )  x.  1 )  +  ( ( abs `  ( A  -  B ) )  x.  R ) )  =  ( ( abs `  ( A  -  B
) )  +  ( ( abs `  ( A  -  B )
)  x.  R ) ) )
183180, 182eqtrd 2412 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( A  -  B )
)  x.  ( 1  +  R ) )  =  ( ( abs `  ( A  -  B
) )  +  ( ( abs `  ( A  -  B )
)  x.  R ) ) )
18470rpne0d 10578 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( 1  +  R
)  =/=  0 )
185102, 88, 94, 184divassd 9750 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  A )  x.  R
)  /  ( 1  +  R ) )  =  ( ( abs `  A )  x.  ( R  /  ( 1  +  R ) ) ) )
186185, 34syl6eqr 2430 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  A )  x.  R
)  /  ( 1  +  R ) )  =  T )
18785, 186breqtrrd 4172 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( A  -  B )
)  <  ( (
( abs `  A
)  x.  R )  /  ( 1  +  R ) ) )
18866, 67remulcld 9042 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  A
)  x.  R )  e.  RR )
18960, 188, 70ltmuldivd 10616 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  ( A  -  B
) )  x.  (
1  +  R ) )  <  ( ( abs `  A )  x.  R )  <->  ( abs `  ( A  -  B
) )  <  (
( ( abs `  A
)  x.  R )  /  ( 1  +  R ) ) ) )
190187, 189mpbird 224 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( A  -  B )
)  x.  ( 1  +  R ) )  <  ( ( abs `  A )  x.  R
) )
191183, 190eqbrtrrd 4168 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( A  -  B )
)  +  ( ( abs `  ( A  -  B ) )  x.  R ) )  <  ( ( abs `  A )  x.  R
) )
19260, 67remulcld 9042 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( A  -  B )
)  x.  R )  e.  RR )
19360, 192, 188ltaddsubd 9551 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  ( A  -  B
) )  +  ( ( abs `  ( A  -  B )
)  x.  R ) )  <  ( ( abs `  A )  x.  R )  <->  ( abs `  ( A  -  B
) )  <  (
( ( abs `  A
)  x.  R )  -  ( ( abs `  ( A  -  B
) )  x.  R
) ) ) )
194191, 193mpbid 202 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( A  -  B )
)  <  ( (
( abs `  A
)  x.  R )  -  ( ( abs `  ( A  -  B
) )  x.  R
) ) )
195102, 178, 88subdird 9415 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  A )  -  ( abs `  ( A  -  B ) ) )  x.  R )  =  ( ( ( abs `  A )  x.  R
)  -  ( ( abs `  ( A  -  B ) )  x.  R ) ) )
196194, 195breqtrrd 4172 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( A  -  B )
)  <  ( (
( abs `  A
)  -  ( abs `  ( A  -  B
) ) )  x.  R ) )
19761rpne0d 10578 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( abs `  A
)  =/=  0 )
198102, 178, 102, 197divsubdird 9754 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  A )  -  ( abs `  ( A  -  B ) ) )  /  ( abs `  A
) )  =  ( ( ( abs `  A
)  /  ( abs `  A ) )  -  ( ( abs `  ( A  -  B )
)  /  ( abs `  A ) ) ) )
199102, 197dividd 9713 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  A
)  /  ( abs `  A ) )  =  1 )
200199oveq1d 6028 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  A )  /  ( abs `  A ) )  -  ( ( abs `  ( A  -  B
) )  /  ( abs `  A ) ) )  =  ( 1  -  ( ( abs `  ( A  -  B
) )  /  ( abs `  A ) ) ) )
201198, 200eqtrd 2412 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  A )  -  ( abs `  ( A  -  B ) ) )  /  ( abs `  A
) )  =  ( 1  -  ( ( abs `  ( A  -  B ) )  /  ( abs `  A
) ) ) )
202201, 128eqbrtrd 4166 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  A )  -  ( abs `  ( A  -  B ) ) )  /  ( abs `  A
) )  <_  (
Re `  ( B  /  A ) ) )
203175, 65, 61ledivmuld 10622 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( abs `  A )  -  ( abs `  ( A  -  B )
) )  /  ( abs `  A ) )  <_  ( Re `  ( B  /  A
) )  <->  ( ( abs `  A )  -  ( abs `  ( A  -  B ) ) )  <_  ( ( abs `  A )  x.  ( Re `  ( B  /  A ) ) ) ) )
204202, 203mpbid 202 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  A
)  -  ( abs `  ( A  -  B
) ) )  <_ 
( ( abs `  A
)  x.  ( Re
`  ( B  /  A ) ) ) )
20566, 65remulcld 9042 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  A
)  x.  ( Re
`  ( B  /  A ) ) )  e.  RR )
206175, 205, 35lemul1d 10612 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  A )  -  ( abs `  ( A  -  B ) ) )  <_  ( ( abs `  A )  x.  (
Re `  ( B  /  A ) ) )  <-> 
( ( ( abs `  A )  -  ( abs `  ( A  -  B ) ) )  x.  R )  <_ 
( ( ( abs `  A )  x.  (
Re `  ( B  /  A ) ) )  x.  R ) ) )
207204, 206mpbid 202 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  A )  -  ( abs `  ( A  -  B ) ) )  x.  R )  <_ 
( ( ( abs `  A )  x.  (
Re `  ( B  /  A ) ) )  x.  R ) )
208102, 146, 88mulassd 9037 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  A )  x.  (
Re `  ( B  /  A ) ) )  x.  R )  =  ( ( abs `  A
)  x.  ( ( Re `  ( B  /  A ) )  x.  R ) ) )
209207, 208breqtrd 4170 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  A )  -  ( abs `  ( A  -  B ) ) )  x.  R )  <_ 
( ( abs `  A
)  x.  ( ( Re `  ( B  /  A ) )  x.  R ) ) )
21060, 176, 177, 196, 209ltletrd 9155 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( A  -  B )
)  <  ( ( abs `  A )  x.  ( ( Re `  ( B  /  A
) )  x.  R
) ) )
21160, 153, 61ltdivmuld 10620 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  ( A  -  B
) )  /  ( abs `  A ) )  <  ( ( Re
`  ( B  /  A ) )  x.  R )  <->  ( abs `  ( A  -  B
) )  <  (
( abs `  A
)  x.  ( ( Re `  ( B  /  A ) )  x.  R ) ) ) )
212210, 211mpbird 224 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( A  -  B )
)  /  ( abs `  A ) )  < 
( ( Re `  ( B  /  A
) )  x.  R
) )
213152, 62, 153, 174, 212lelttrd 9153 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
Im `  ( B  /  A ) ) )  <  ( ( Re
`  ( B  /  A ) )  x.  R ) )
214 ltdivmul 9807 . . . . . 6  |-  ( ( ( abs `  (
Im `  ( B  /  A ) ) )  e.  RR  /\  R  e.  RR  /\  ( ( Re `  ( B  /  A ) )  e.  RR  /\  0  <  ( Re `  ( B  /  A ) ) ) )  ->  (
( ( abs `  (
Im `  ( B  /  A ) ) )  /  ( Re `  ( B  /  A
) ) )  < 
R  <->  ( abs `  (
Im `  ( B  /  A ) ) )  <  ( ( Re
`  ( B  /  A ) )  x.  R ) ) )
215152, 67, 65, 129, 214syl112anc 1188 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  ( Im `  ( B  /  A ) ) )  /  ( Re
`  ( B  /  A ) ) )  <  R  <->  ( abs `  ( Im `  ( B  /  A ) ) )  <  ( ( Re `  ( B  /  A ) )  x.  R ) ) )
216213, 215mpbird 224 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  (
Im `  ( B  /  A ) ) )  /  ( Re `  ( B  /  A
) ) )  < 
R )
217151, 216eqbrtrd 4166 . . 3  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( tan `  ( Im `  ( log `  ( B  /  A ) ) ) ) )  < 
R )
21855, 137, 67, 139, 217lelttrd 9153 . 2  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
Im `  ( log `  ( B  /  A
) ) ) )  <  R )
21951, 218eqbrtrd 4166 1  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( Im `  ( log `  A ) )  -  ( Im `  ( log `  B ) ) ) )  < 
R )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717    =/= wne 2543    \ cdif 3253   ifcif 3675   class class class wbr 4146   ran crn 4812   ` cfv 5387  (class class class)co 6013   CCcc 8914   RRcr 8915   0cc0 8916   1c1 8917    + caddc 8919    x. cmul 8921    -oocmnf 9044    < clt 9046    <_ cle 9047    - cmin 9216   -ucneg 9217    / cdiv 9602   2c2 9974   RR+crp 10537   (,)cioo 10841   (,]cioc 10842   Recre 11822   Imcim 11823   abscabs 11959   expce 12584   cosccos 12587   tanctan 12588   picpi 12589   logclog 20312
This theorem is referenced by:  logcnlem5  20397
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2361  ax-rep 4254  ax-sep 4264  ax-nul 4272  ax-pow 4311  ax-pr 4337  ax-un 4634  ax-inf2 7522  ax-cnex 8972  ax-resscn 8973  ax-1cn 8974  ax-icn 8975  ax-addcl 8976  ax-addrcl 8977  ax-mulcl 8978  ax-mulrcl 8979  ax-mulcom 8980  ax-addass 8981  ax-mulass 8982  ax-distr 8983  ax-i2m1 8984  ax-1ne0 8985  ax-1rid 8986  ax-rnegex 8987  ax-rrecex 8988  ax-cnre 8989  ax-pre-lttri 8990  ax-pre-lttrn 8991  ax-pre-ltadd 8992  ax-pre-mulgt0 8993  ax-pre-sup 8994  ax-addf 8995  ax-mulf 8996
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2235  df-mo 2236  df-clab 2367  df-cleq 2373  df-clel 2376  df-nfc 2505  df-ne 2545  df-nel 2546  df-ral 2647  df-rex 2648  df-reu 2649  df-rmo 2650  df-rab 2651  df-v 2894  df-sbc 3098  df-csb 3188  df-dif 3259  df-un 3261  df-in 3263  df-ss 3270  df-pss 3272  df-nul 3565  df-if 3676  df-pw 3737  df-sn 3756  df-pr 3757  df-tp 3758  df-op 3759  df-uni 3951  df-int 3986  df-iun 4030  df-iin 4031  df-br 4147  df-opab 4201  df-mpt 4202  df-tr 4237  df-eprel 4428  df-id 4432  df-po 4437  df-so 4438  df-fr 4475  df-se 4476  df-we 4477  df-ord 4518  df-on 4519  df-lim 4520  df-suc 4521  df-om 4779  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5351  df-fun 5389  df-fn 5390  df-f 5391  df-f1 5392  df-fo 5393  df-f1o 5394  df-fv 5395  df-isom 5396  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpt2 6018  df-of 6237  df-1st 6281  df-2nd 6282  df-riota 6478  df-recs 6562  df-rdg 6597  df-1o 6653  df-2o 6654  df-oadd 6657  df-er 6834  df-map 6949  df-pm 6950  df-ixp 6993  df-en 7039  df-dom 7040  df-sdom 7041  df-fin 7042  df-fi 7344  df-sup 7374  df-oi 7405  df-card 7752  df-cda 7974  df-pnf 9048  df-mnf 9049  df-xr 9050  df-ltxr 9051  df-le 9052  df-sub 9218  df-neg 9219  df-div 9603  df-nn 9926  df-2 9983  df-3 9984  df-4 9985  df-5 9986  df-6 9987  df-7 9988  df-8 9989  df-9 9990  df-10 9991  df-n0 10147  df-z 10208  df-dec 10308  df-uz 10414  df-q 10500  df-rp 10538  df-xneg 10635  df-xadd 10636  df-xmul 10637  df-ioo 10845  df-ioc 10846  df-ico 10847  df-icc 10848  df-fz 10969  df-fzo 11059  df-fl 11122  df-mod 11171  df-seq 11244  df-exp 11303  df-fac 11487  df-bc 11514  df-hash 11539  df-shft 11802  df-cj 11824  df-re 11825  df-im 11826  df-sqr 11960  df-abs 11961  df-limsup 12185  df-clim 12202  df-rlim 12203  df-sum 12400  df-ef 12590  df-sin 12592  df-cos 12593  df-tan 12594  df-pi 12595  df-struct 13391  df-ndx 13392  df-slot 13393  df-base 13394  df-sets 13395  df-ress 13396  df-plusg 13462  df-mulr 13463  df-starv 13464  df-sca 13465  df-vsca 13466  df-tset 13468  df-ple 13469  df-ds 13471  df-unif 13472  df-hom 13473  df-cco 13474  df-rest 13570  df-topn 13571  df-topgen 13587  df-pt 13588  df-prds 13591  df-xrs 13646  df-0g 13647  df-gsum 13648  df-qtop 13653  df-imas 13654  df-xps 13656  df-mre 13731  df-mrc 13732  df-acs 13734  df-mnd 14610  df-submnd 14659  df-mulg 14735  df-cntz 15036  df-cmn 15334  df-xmet 16612  df-met 16613  df-bl 16614  df-mopn 16615  df-fbas 16616  df-fg 16617  df-cnfld 16620  df-top 16879  df-bases 16881  df-topon 16882  df-topsp 16883  df-cld 16999  df-ntr 17000  df-cls 17001  df-nei 17078  df-lp 17116  df-perf 17117  df-cn 17206  df-cnp 17207  df-haus 17294  df-tx 17508  df-hmeo 17701  df-fil 17792  df-fm 17884  df-flim 17885  df-flf 17886  df-xms 18252  df-ms 18253  df-tms 18254  df-cncf 18772  df-limc 19613  df-dv 19614  df-log 20314
  Copyright terms: Public domain W3C validator