MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  logcnlem5 Unicode version

Theorem logcnlem5 19993
Description: Lemma for logcn 19994. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
logcn.d  |-  D  =  ( CC  \  (  -oo (,] 0 ) )
Assertion
Ref Expression
logcnlem5  |-  ( x  e.  D  |->  ( Im
`  ( log `  x
) ) )  e.  ( D -cn-> RR )
Distinct variable group:    x, D

Proof of Theorem logcnlem5
Dummy variables  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 logcn.d . . 3  |-  D  =  ( CC  \  (  -oo (,] 0 ) )
2 difss 3303 . . 3  |-  ( CC 
\  (  -oo (,] 0 ) )  C_  CC
31, 2eqsstri 3208 . 2  |-  D  C_  CC
4 ax-resscn 8794 . 2  |-  RR  C_  CC
5 eqid 2283 . . . 4  |-  ( x  e.  D  |->  ( Im
`  ( log `  x
) ) )  =  ( x  e.  D  |->  ( Im `  ( log `  x ) ) )
61ellogdm 19986 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  D  <->  ( x  e.  CC  /\  ( x  e.  RR  ->  x  e.  RR+ ) ) )
76simplbi 446 . . . . . 6  |-  ( x  e.  D  ->  x  e.  CC )
81logdmn0 19987 . . . . . 6  |-  ( x  e.  D  ->  x  =/=  0 )
9 logcl 19926 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 )  -> 
( log `  x
)  e.  CC )
107, 8, 9syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( x  e.  D  ->  ( log `  x )  e.  CC )
1110imcld 11680 . . . 4  |-  ( x  e.  D  ->  (
Im `  ( log `  x ) )  e.  RR )
125, 11fmpti 5683 . . 3  |-  ( x  e.  D  |->  ( Im
`  ( log `  x
) ) ) : D --> RR
13 eqid 2283 . . . 4  |-  if ( y  e.  RR+ ,  y ,  ( abs `  (
Im `  y )
) )  =  if ( y  e.  RR+ ,  y ,  ( abs `  ( Im `  y
) ) )
14 eqid 2283 . . . 4  |-  ( ( abs `  y )  x.  ( z  / 
( 1  +  z ) ) )  =  ( ( abs `  y
)  x.  ( z  /  ( 1  +  z ) ) )
15 simpl 443 . . . 4  |-  ( ( y  e.  D  /\  z  e.  RR+ )  -> 
y  e.  D )
16 simpr 447 . . . 4  |-  ( ( y  e.  D  /\  z  e.  RR+ )  -> 
z  e.  RR+ )
171, 13, 14, 15, 16logcnlem2 19990 . . 3  |-  ( ( y  e.  D  /\  z  e.  RR+ )  ->  if ( if ( y  e.  RR+ ,  y ,  ( abs `  (
Im `  y )
) )  <_  (
( abs `  y
)  x.  ( z  /  ( 1  +  z ) ) ) ,  if ( y  e.  RR+ ,  y ,  ( abs `  (
Im `  y )
) ) ,  ( ( abs `  y
)  x.  ( z  /  ( 1  +  z ) ) ) )  e.  RR+ )
18 simpll 730 . . . . . 6  |-  ( ( ( y  e.  D  /\  w  e.  D
)  /\  ( z  e.  RR+  /\  ( abs `  ( y  -  w
) )  <  if ( if ( y  e.  RR+ ,  y ,  ( abs `  ( Im
`  y ) ) )  <_  ( ( abs `  y )  x.  ( z  /  (
1  +  z ) ) ) ,  if ( y  e.  RR+ ,  y ,  ( abs `  ( Im `  y
) ) ) ,  ( ( abs `  y
)  x.  ( z  /  ( 1  +  z ) ) ) ) ) )  -> 
y  e.  D )
19 simprl 732 . . . . . 6  |-  ( ( ( y  e.  D  /\  w  e.  D
)  /\  ( z  e.  RR+  /\  ( abs `  ( y  -  w
) )  <  if ( if ( y  e.  RR+ ,  y ,  ( abs `  ( Im
`  y ) ) )  <_  ( ( abs `  y )  x.  ( z  /  (
1  +  z ) ) ) ,  if ( y  e.  RR+ ,  y ,  ( abs `  ( Im `  y
) ) ) ,  ( ( abs `  y
)  x.  ( z  /  ( 1  +  z ) ) ) ) ) )  -> 
z  e.  RR+ )
20 simplr 731 . . . . . 6  |-  ( ( ( y  e.  D  /\  w  e.  D
)  /\  ( z  e.  RR+  /\  ( abs `  ( y  -  w
) )  <  if ( if ( y  e.  RR+ ,  y ,  ( abs `  ( Im
`  y ) ) )  <_  ( ( abs `  y )  x.  ( z  /  (
1  +  z ) ) ) ,  if ( y  e.  RR+ ,  y ,  ( abs `  ( Im `  y
) ) ) ,  ( ( abs `  y
)  x.  ( z  /  ( 1  +  z ) ) ) ) ) )  ->  w  e.  D )
21 simprr 733 . . . . . 6  |-  ( ( ( y  e.  D  /\  w  e.  D
)  /\  ( z  e.  RR+  /\  ( abs `  ( y  -  w
) )  <  if ( if ( y  e.  RR+ ,  y ,  ( abs `  ( Im
`  y ) ) )  <_  ( ( abs `  y )  x.  ( z  /  (
1  +  z ) ) ) ,  if ( y  e.  RR+ ,  y ,  ( abs `  ( Im `  y
) ) ) ,  ( ( abs `  y
)  x.  ( z  /  ( 1  +  z ) ) ) ) ) )  -> 
( abs `  (
y  -  w ) )  <  if ( if ( y  e.  RR+ ,  y ,  ( abs `  ( Im
`  y ) ) )  <_  ( ( abs `  y )  x.  ( z  /  (
1  +  z ) ) ) ,  if ( y  e.  RR+ ,  y ,  ( abs `  ( Im `  y
) ) ) ,  ( ( abs `  y
)  x.  ( z  /  ( 1  +  z ) ) ) ) )
221, 13, 14, 18, 19, 20, 21logcnlem4 19992 . . . . 5  |-  ( ( ( y  e.  D  /\  w  e.  D
)  /\  ( z  e.  RR+  /\  ( abs `  ( y  -  w
) )  <  if ( if ( y  e.  RR+ ,  y ,  ( abs `  ( Im
`  y ) ) )  <_  ( ( abs `  y )  x.  ( z  /  (
1  +  z ) ) ) ,  if ( y  e.  RR+ ,  y ,  ( abs `  ( Im `  y
) ) ) ,  ( ( abs `  y
)  x.  ( z  /  ( 1  +  z ) ) ) ) ) )  -> 
( abs `  (
( Im `  ( log `  y ) )  -  ( Im `  ( log `  w ) ) ) )  < 
z )
2322expr 598 . . . 4  |-  ( ( ( y  e.  D  /\  w  e.  D
)  /\  z  e.  RR+ )  ->  ( ( abs `  ( y  -  w ) )  < 
if ( if ( y  e.  RR+ ,  y ,  ( abs `  (
Im `  y )
) )  <_  (
( abs `  y
)  x.  ( z  /  ( 1  +  z ) ) ) ,  if ( y  e.  RR+ ,  y ,  ( abs `  (
Im `  y )
) ) ,  ( ( abs `  y
)  x.  ( z  /  ( 1  +  z ) ) ) )  ->  ( abs `  ( ( Im `  ( log `  y ) )  -  ( Im
`  ( log `  w
) ) ) )  <  z ) )
24 fveq2 5525 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  ( log `  x )  =  ( log `  y
) )
2524fveq2d 5529 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  (
Im `  ( log `  x ) )  =  ( Im `  ( log `  y ) ) )
26 fvex 5539 . . . . . . . . 9  |-  ( Im
`  ( log `  y
) )  e.  _V
2725, 5, 26fvmpt 5602 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  D  ->  (
( x  e.  D  |->  ( Im `  ( log `  x ) ) ) `  y )  =  ( Im `  ( log `  y ) ) )
2827ad2antrr 706 . . . . . . 7  |-  ( ( ( y  e.  D  /\  w  e.  D
)  /\  z  e.  RR+ )  ->  ( (
x  e.  D  |->  ( Im `  ( log `  x ) ) ) `
 y )  =  ( Im `  ( log `  y ) ) )
29 fveq2 5525 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  w  ->  ( log `  x )  =  ( log `  w
) )
3029fveq2d 5529 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  w  ->  (
Im `  ( log `  x ) )  =  ( Im `  ( log `  w ) ) )
31 fvex 5539 . . . . . . . . 9  |-  ( Im
`  ( log `  w
) )  e.  _V
3230, 5, 31fvmpt 5602 . . . . . . . 8  |-  ( w  e.  D  ->  (
( x  e.  D  |->  ( Im `  ( log `  x ) ) ) `  w )  =  ( Im `  ( log `  w ) ) )
3332ad2antlr 707 . . . . . . 7  |-  ( ( ( y  e.  D  /\  w  e.  D
)  /\  z  e.  RR+ )  ->  ( (
x  e.  D  |->  ( Im `  ( log `  x ) ) ) `
 w )  =  ( Im `  ( log `  w ) ) )
3428, 33oveq12d 5876 . . . . . 6  |-  ( ( ( y  e.  D  /\  w  e.  D
)  /\  z  e.  RR+ )  ->  ( (
( x  e.  D  |->  ( Im `  ( log `  x ) ) ) `  y )  -  ( ( x  e.  D  |->  ( Im
`  ( log `  x
) ) ) `  w ) )  =  ( ( Im `  ( log `  y ) )  -  ( Im
`  ( log `  w
) ) ) )
3534fveq2d 5529 . . . . 5  |-  ( ( ( y  e.  D  /\  w  e.  D
)  /\  z  e.  RR+ )  ->  ( abs `  ( ( ( x  e.  D  |->  ( Im
`  ( log `  x
) ) ) `  y )  -  (
( x  e.  D  |->  ( Im `  ( log `  x ) ) ) `  w ) ) )  =  ( abs `  ( ( Im `  ( log `  y ) )  -  ( Im `  ( log `  w ) ) ) ) )
3635breq1d 4033 . . . 4  |-  ( ( ( y  e.  D  /\  w  e.  D
)  /\  z  e.  RR+ )  ->  ( ( abs `  ( ( ( x  e.  D  |->  ( Im `  ( log `  x ) ) ) `
 y )  -  ( ( x  e.  D  |->  ( Im `  ( log `  x ) ) ) `  w
) ) )  < 
z  <->  ( abs `  (
( Im `  ( log `  y ) )  -  ( Im `  ( log `  w ) ) ) )  < 
z ) )
3723, 36sylibrd 225 . . 3  |-  ( ( ( y  e.  D  /\  w  e.  D
)  /\  z  e.  RR+ )  ->  ( ( abs `  ( y  -  w ) )  < 
if ( if ( y  e.  RR+ ,  y ,  ( abs `  (
Im `  y )
) )  <_  (
( abs `  y
)  x.  ( z  /  ( 1  +  z ) ) ) ,  if ( y  e.  RR+ ,  y ,  ( abs `  (
Im `  y )
) ) ,  ( ( abs `  y
)  x.  ( z  /  ( 1  +  z ) ) ) )  ->  ( abs `  ( ( ( x  e.  D  |->  ( Im
`  ( log `  x
) ) ) `  y )  -  (
( x  e.  D  |->  ( Im `  ( log `  x ) ) ) `  w ) ) )  <  z
) )
3812, 17, 37elcncf1ii 18400 . 2  |-  ( ( D  C_  CC  /\  RR  C_  CC )  ->  (
x  e.  D  |->  ( Im `  ( log `  x ) ) )  e.  ( D -cn-> RR ) )
393, 4, 38mp2an 653 1  |-  ( x  e.  D  |->  ( Im
`  ( log `  x
) ) )  e.  ( D -cn-> RR )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446    \ cdif 3149    C_ wss 3152   ifcif 3565   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   CCcc 8735   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738    + caddc 8740    x. cmul 8742    -oocmnf 8865    < clt 8867    <_ cle 8868    - cmin 9037    / cdiv 9423   RR+crp 10354   (,]cioc 10657   Imcim 11583   abscabs 11719   -cn->ccncf 18380   logclog 19912
This theorem is referenced by:  logcn  19994
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-addf 8816  ax-mulf 8817
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-fi 7165  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-ioo 10660  df-ioc 10661  df-ico 10662  df-icc 10663  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-mod 10974  df-seq 11047  df-exp 11105  df-fac 11289  df-bc 11316  df-hash 11338  df-shft 11562  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-limsup 11945  df-clim 11962  df-rlim 11963  df-sum 12159  df-ef 12349  df-sin 12351  df-cos 12352  df-tan 12353  df-pi 12354  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-starv 13223  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-hom 13232  df-cco 13233  df-rest 13327  df-topn 13328  df-topgen 13344  df-pt 13345  df-prds 13348  df-xrs 13403  df-0g 13404  df-gsum 13405  df-qtop 13410  df-imas 13411  df-xps 13413  df-mre 13488  df-mrc 13489  df-acs 13491  df-mnd 14367  df-submnd 14416  df-mulg 14492  df-cntz 14793  df-cmn 15091  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-cnfld 16378  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-topsp 16640  df-cld 16756  df-ntr 16757  df-cls 16758  df-nei 16835  df-lp 16868  df-perf 16869  df-cn 16957  df-cnp 16958  df-haus 17043  df-tx 17257  df-hmeo 17446  df-fbas 17520  df-fg 17521  df-fil 17541  df-fm 17633  df-flim 17634  df-flf 17635  df-xms 17885  df-ms 17886  df-tms 17887  df-cncf 18382  df-limc 19216  df-dv 19217  df-log 19914
  Copyright terms: Public domain W3C validator