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Theorem logdivbnd 20758
Description: A bound on a sum of logs, used in pntlemk 20808. This is not as precise as logdivsum 20735 in its asymptotic behavior, but it is valid for all  N and does not require a limit value. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Apr-2016.)
Assertion
Ref Expression
logdivbnd  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... N
) ( ( log `  n )  /  n
)  <_  ( (
( ( log `  N
)  +  1 ) ^ 2 )  / 
2 ) )
Distinct variable group:    n, N

Proof of Theorem logdivbnd
Dummy variables  i  m are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2re 9860 . . . 4  |-  2  e.  RR
2 fzfid 11082 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1 ... N )  e. 
Fin )
3 elfzuz 10841 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  ( 1 ... N )  ->  n  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
43adantl 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  ->  n  e.  (
ZZ>= `  1 ) )
5 nnuz 10310 . . . . . . . . 9  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
64, 5syl6eleqr 2407 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  ->  n  e.  NN )
76nnrpd 10436 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  ->  n  e.  RR+ )
87relogcld 20027 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( log `  n
)  e.  RR )
98, 6nndivred 9839 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( ( log `  n )  /  n
)  e.  RR )
102, 9fsumrecl 12254 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... N
) ( ( log `  n )  /  n
)  e.  RR )
11 remulcl 8867 . . . 4  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  sum_
n  e.  ( 1 ... N ) ( ( log `  n
)  /  n )  e.  RR )  -> 
( 2  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... N ) ( ( log `  n )  /  n ) )  e.  RR )
121, 10, 11sylancr 644 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  (
2  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... N
) ( ( log `  n )  /  n
) )  e.  RR )
13 elfznn 10866 . . . . . . 7  |-  ( i  e.  ( 1 ... N )  ->  i  e.  NN )
1413adantl 452 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  i  e.  ( 1 ... N ) )  ->  i  e.  NN )
1514nnrecred 9836 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  i  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( 1  / 
i )  e.  RR )
162, 15fsumrecl 12254 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ i  e.  ( 1 ... N
) ( 1  / 
i )  e.  RR )
1716resqcld 11318 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  ( sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( 1  /  i ) ^ 2 )  e.  RR )
18 nnrp 10410 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  RR+ )
1918relogcld 20027 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  ( log `  N )  e.  RR )
20 peano2re 9030 . . . . 5  |-  ( ( log `  N )  e.  RR  ->  (
( log `  N
)  +  1 )  e.  RR )
2119, 20syl 15 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( log `  N
)  +  1 )  e.  RR )
2221resqcld 11318 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( log `  N
)  +  1 ) ^ 2 )  e.  RR )
2310recnd 8906 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... N
) ( ( log `  n )  /  n
)  e.  CC )
24232timesd 10001 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  (
2  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... N
) ( ( log `  n )  /  n
) )  =  (
sum_ n  e.  (
1 ... N ) ( ( log `  n
)  /  n )  +  sum_ n  e.  ( 1 ... N ) ( ( log `  n
)  /  n ) ) )
25 fzfid 11082 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( 1 ... n )  e.  Fin )
26 elfznn 10866 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  e.  ( 1 ... n )  ->  i  e.  NN )
2726adantl 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  /\  i  e.  ( 1 ... n ) )  ->  i  e.  NN )
2827nnrecred 9836 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  /\  i  e.  ( 1 ... n ) )  ->  ( 1  /  i )  e.  RR )
2925, 28fsumrecl 12254 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  ->  sum_ i  e.  ( 1 ... n ) ( 1  /  i
)  e.  RR )
3029, 6nndivred 9839 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( sum_ i  e.  ( 1 ... n
) ( 1  / 
i )  /  n
)  e.  RR )
312, 30fsumrecl 12254 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... N
) ( sum_ i  e.  ( 1 ... n
) ( 1  / 
i )  /  n
)  e.  RR )
32 fzfid 11082 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( 1 ... ( n  -  1 ) )  e.  Fin )
33 elfznn 10866 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  e.  ( 1 ... ( n  -  1 ) )  ->  i  e.  NN )
3433adantl 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  /\  i  e.  ( 1 ... ( n  -  1 ) ) )  ->  i  e.  NN )
3534nnrecred 9836 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  /\  i  e.  ( 1 ... ( n  -  1 ) ) )  ->  ( 1  /  i )  e.  RR )
3632, 35fsumrecl 12254 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  ->  sum_ i  e.  ( 1 ... ( n  -  1 ) ) ( 1  /  i
)  e.  RR )
3736, 6nndivred 9839 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( sum_ i  e.  ( 1 ... (
n  -  1 ) ) ( 1  / 
i )  /  n
)  e.  RR )
382, 37fsumrecl 12254 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... N
) ( sum_ i  e.  ( 1 ... (
n  -  1 ) ) ( 1  / 
i )  /  n
)  e.  RR )
396nncnd 9807 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  ->  n  e.  CC )
40 ax-1cn 8840 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  1  e.  CC
41 npcan 9105 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( n  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( n  - 
1 )  +  1 )  =  n )
4239, 40, 41sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( ( n  -  1 )  +  1 )  =  n )
4342fveq2d 5567 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( log `  (
( n  -  1 )  +  1 ) )  =  ( log `  n ) )
4443oveq2d 5916 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( sum_ i  e.  ( 1 ... (
n  -  1 ) ) ( 1  / 
i )  -  ( log `  ( ( n  -  1 )  +  1 ) ) )  =  ( sum_ i  e.  ( 1 ... (
n  -  1 ) ) ( 1  / 
i )  -  ( log `  n ) ) )
45 nnm1nn0 10052 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  -  1 )  e.  NN0 )
46 harmonicbnd3 20354 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( n  -  1 )  e.  NN0  ->  ( sum_ i  e.  ( 1 ... ( n  - 
1 ) ) ( 1  /  i )  -  ( log `  (
( n  -  1 )  +  1 ) ) )  e.  ( 0 [,] gamma )
)
476, 45, 463syl 18 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( sum_ i  e.  ( 1 ... (
n  -  1 ) ) ( 1  / 
i )  -  ( log `  ( ( n  -  1 )  +  1 ) ) )  e.  ( 0 [,]
gamma ) )
4844, 47eqeltrrd 2391 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( sum_ i  e.  ( 1 ... (
n  -  1 ) ) ( 1  / 
i )  -  ( log `  n ) )  e.  ( 0 [,]
gamma ) )
49 0re 8883 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  e.  RR
50 emre 20352 . . . . . . . . . . . . 13  |-  gamma  e.  RR
5149, 50elicc2i 10763 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
sum_ i  e.  ( 1 ... ( n  -  1 ) ) ( 1  /  i
)  -  ( log `  n ) )  e.  ( 0 [,] gamma )  <-> 
( ( sum_ i  e.  ( 1 ... (
n  -  1 ) ) ( 1  / 
i )  -  ( log `  n ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( sum_ i  e.  ( 1 ... ( n  -  1 ) ) ( 1  /  i
)  -  ( log `  n ) )  /\  ( sum_ i  e.  ( 1 ... ( n  -  1 ) ) ( 1  /  i
)  -  ( log `  n ) )  <_  gamma ) )
5251simp2bi 971 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
sum_ i  e.  ( 1 ... ( n  -  1 ) ) ( 1  /  i
)  -  ( log `  n ) )  e.  ( 0 [,] gamma )  ->  0  <_  ( sum_ i  e.  ( 1 ... ( n  - 
1 ) ) ( 1  /  i )  -  ( log `  n
) ) )
5348, 52syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  ->  0  <_  ( sum_ i  e.  ( 1 ... ( n  - 
1 ) ) ( 1  /  i )  -  ( log `  n
) ) )
5436, 8subge0d 9407 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( 0  <_ 
( sum_ i  e.  ( 1 ... ( n  -  1 ) ) ( 1  /  i
)  -  ( log `  n ) )  <->  ( log `  n )  <_  sum_ i  e.  ( 1 ... (
n  -  1 ) ) ( 1  / 
i ) ) )
5553, 54mpbid 201 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( log `  n
)  <_  sum_ i  e.  ( 1 ... (
n  -  1 ) ) ( 1  / 
i ) )
568, 36, 7, 55lediv1dd 10491 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( ( log `  n )  /  n
)  <_  ( sum_ i  e.  ( 1 ... ( n  - 
1 ) ) ( 1  /  i )  /  n ) )
5727nnrpd 10436 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  /\  i  e.  ( 1 ... n ) )  ->  i  e.  RR+ )
5857rpreccld 10447 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  /\  i  e.  ( 1 ... n ) )  ->  ( 1  /  i )  e.  RR+ )
5958rpge0d 10441 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  /\  i  e.  ( 1 ... n ) )  ->  0  <_  ( 1  /  i ) )
60 elfzelz 10845 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  ( 1 ... N )  ->  n  e.  ZZ )
6160adantl 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  ->  n  e.  ZZ )
62 peano2zm 10109 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  ZZ  ->  (
n  -  1 )  e.  ZZ )
6361, 62syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( n  - 
1 )  e.  ZZ )
646nnred 9806 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  ->  n  e.  RR )
6564lem1d 9735 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( n  - 
1 )  <_  n
)
66 eluz2 10283 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  (
n  -  1 ) )  <->  ( ( n  -  1 )  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ  /\  ( n  -  1 )  <_  n ) )
6763, 61, 65, 66syl3anbrc 1136 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  ->  n  e.  (
ZZ>= `  ( n  - 
1 ) ) )
68 fzss2 10878 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  (
n  -  1 ) )  ->  ( 1 ... ( n  - 
1 ) )  C_  ( 1 ... n
) )
6967, 68syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( 1 ... ( n  -  1 ) )  C_  (
1 ... n ) )
7025, 28, 59, 69fsumless 12301 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  ->  sum_ i  e.  ( 1 ... ( n  -  1 ) ) ( 1  /  i
)  <_  sum_ i  e.  ( 1 ... n
) ( 1  / 
i ) )
716nngt0d 9834 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  ->  0  <  n
)
72 lediv1 9666 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
sum_ i  e.  ( 1 ... ( n  -  1 ) ) ( 1  /  i
)  e.  RR  /\  sum_ i  e.  ( 1 ... n ) ( 1  /  i )  e.  RR  /\  (
n  e.  RR  /\  0  <  n ) )  ->  ( sum_ i  e.  ( 1 ... (
n  -  1 ) ) ( 1  / 
i )  <_  sum_ i  e.  ( 1 ... n
) ( 1  / 
i )  <->  ( sum_ i  e.  ( 1 ... ( n  - 
1 ) ) ( 1  /  i )  /  n )  <_ 
( sum_ i  e.  ( 1 ... n ) ( 1  /  i
)  /  n ) ) )
7336, 29, 64, 71, 72syl112anc 1186 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( sum_ i  e.  ( 1 ... (
n  -  1 ) ) ( 1  / 
i )  <_  sum_ i  e.  ( 1 ... n
) ( 1  / 
i )  <->  ( sum_ i  e.  ( 1 ... ( n  - 
1 ) ) ( 1  /  i )  /  n )  <_ 
( sum_ i  e.  ( 1 ... n ) ( 1  /  i
)  /  n ) ) )
7470, 73mpbid 201 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( sum_ i  e.  ( 1 ... (
n  -  1 ) ) ( 1  / 
i )  /  n
)  <_  ( sum_ i  e.  ( 1 ... n ) ( 1  /  i )  /  n ) )
759, 37, 30, 56, 74letrd 9018 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( ( log `  n )  /  n
)  <_  ( sum_ i  e.  ( 1 ... n ) ( 1  /  i )  /  n ) )
762, 9, 30, 75fsumle 12304 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... N
) ( ( log `  n )  /  n
)  <_  sum_ n  e.  ( 1 ... N
) ( sum_ i  e.  ( 1 ... n
) ( 1  / 
i )  /  n
) )
772, 9, 37, 56fsumle 12304 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... N
) ( ( log `  n )  /  n
)  <_  sum_ n  e.  ( 1 ... N
) ( sum_ i  e.  ( 1 ... (
n  -  1 ) ) ( 1  / 
i )  /  n
) )
7810, 10, 31, 38, 76, 77le2addd 9435 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... N ) ( ( log `  n
)  /  n )  +  sum_ n  e.  ( 1 ... N ) ( ( log `  n
)  /  n ) )  <_  ( sum_ n  e.  ( 1 ... N ) ( sum_ i  e.  ( 1 ... n ) ( 1  /  i )  /  n )  + 
sum_ n  e.  (
1 ... N ) (
sum_ i  e.  ( 1 ... ( n  -  1 ) ) ( 1  /  i
)  /  n ) ) )
79 oveq1 5907 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  n  ->  (
m  -  1 )  =  ( n  - 
1 ) )
8079oveq2d 5916 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  n  ->  (
1 ... ( m  - 
1 ) )  =  ( 1 ... (
n  -  1 ) ) )
8180sumeq1d 12221 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  n  ->  sum_ i  e.  ( 1 ... (
m  -  1 ) ) ( 1  / 
i )  =  sum_ i  e.  ( 1 ... ( n  - 
1 ) ) ( 1  /  i ) )
8281, 81jca 518 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  n  ->  ( sum_ i  e.  ( 1 ... ( m  - 
1 ) ) ( 1  /  i )  =  sum_ i  e.  ( 1 ... ( n  -  1 ) ) ( 1  /  i
)  /\  sum_ i  e.  ( 1 ... (
m  -  1 ) ) ( 1  / 
i )  =  sum_ i  e.  ( 1 ... ( n  - 
1 ) ) ( 1  /  i ) ) )
83 oveq1 5907 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  (
m  -  1 )  =  ( ( n  +  1 )  - 
1 ) )
8483oveq2d 5916 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  (
1 ... ( m  - 
1 ) )  =  ( 1 ... (
( n  +  1 )  -  1 ) ) )
8584sumeq1d 12221 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  sum_ i  e.  ( 1 ... (
m  -  1 ) ) ( 1  / 
i )  =  sum_ i  e.  ( 1 ... ( ( n  +  1 )  - 
1 ) ) ( 1  /  i ) )
8685, 85jca 518 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  ( sum_ i  e.  ( 1 ... ( m  - 
1 ) ) ( 1  /  i )  =  sum_ i  e.  ( 1 ... ( ( n  +  1 )  -  1 ) ) ( 1  /  i
)  /\  sum_ i  e.  ( 1 ... (
m  -  1 ) ) ( 1  / 
i )  =  sum_ i  e.  ( 1 ... ( ( n  +  1 )  - 
1 ) ) ( 1  /  i ) ) )
87 oveq1 5907 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  =  1  ->  (
m  -  1 )  =  ( 1  -  1 ) )
88 1m1e0 9859 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1  -  1 )  =  0
8987, 88syl6eq 2364 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  =  1  ->  (
m  -  1 )  =  0 )
9089oveq2d 5916 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  1  ->  (
1 ... ( m  - 
1 ) )  =  ( 1 ... 0
) )
91 fz10 10861 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1 ... 0 )  =  (/)
9290, 91syl6eq 2364 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  1  ->  (
1 ... ( m  - 
1 ) )  =  (/) )
9392sumeq1d 12221 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  1  ->  sum_ i  e.  ( 1 ... (
m  -  1 ) ) ( 1  / 
i )  =  sum_ i  e.  (/)  ( 1  /  i ) )
94 sum0 12241 . . . . . . . . . 10  |-  sum_ i  e.  (/)  ( 1  / 
i )  =  0
9593, 94syl6eq 2364 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  1  ->  sum_ i  e.  ( 1 ... (
m  -  1 ) ) ( 1  / 
i )  =  0 )
9695, 95jca 518 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  1  ->  ( sum_ i  e.  ( 1 ... ( m  - 
1 ) ) ( 1  /  i )  =  0  /\  sum_ i  e.  ( 1 ... ( m  - 
1 ) ) ( 1  /  i )  =  0 ) )
97 oveq1 5907 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  ( N  + 
1 )  ->  (
m  -  1 )  =  ( ( N  +  1 )  - 
1 ) )
9897oveq2d 5916 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  ( N  + 
1 )  ->  (
1 ... ( m  - 
1 ) )  =  ( 1 ... (
( N  +  1 )  -  1 ) ) )
9998sumeq1d 12221 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  ( N  + 
1 )  ->  sum_ i  e.  ( 1 ... (
m  -  1 ) ) ( 1  / 
i )  =  sum_ i  e.  ( 1 ... ( ( N  +  1 )  - 
1 ) ) ( 1  /  i ) )
10099, 99jca 518 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  ( N  + 
1 )  ->  ( sum_ i  e.  ( 1 ... ( m  - 
1 ) ) ( 1  /  i )  =  sum_ i  e.  ( 1 ... ( ( N  +  1 )  -  1 ) ) ( 1  /  i
)  /\  sum_ i  e.  ( 1 ... (
m  -  1 ) ) ( 1  / 
i )  =  sum_ i  e.  ( 1 ... ( ( N  +  1 )  - 
1 ) ) ( 1  /  i ) ) )
101 peano2nn 9803 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  +  1 )  e.  NN )
102101, 5syl6eleq 2406 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  1
) )
103 fzfid 11082 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  m  e.  ( 1 ... ( N  + 
1 ) ) )  ->  ( 1 ... ( m  -  1 ) )  e.  Fin )
104 elfznn 10866 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  e.  ( 1 ... ( m  -  1 ) )  ->  i  e.  NN )
105104adantl 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  m  e.  ( 1 ... ( N  + 
1 ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... ( m  -  1 ) ) )  ->  i  e.  NN )
106105nnrecred 9836 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  m  e.  ( 1 ... ( N  + 
1 ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... ( m  -  1 ) ) )  ->  ( 1  /  i )  e.  RR )
107103, 106fsumrecl 12254 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  m  e.  ( 1 ... ( N  + 
1 ) ) )  ->  sum_ i  e.  ( 1 ... ( m  -  1 ) ) ( 1  /  i
)  e.  RR )
108107recnd 8906 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  m  e.  ( 1 ... ( N  + 
1 ) ) )  ->  sum_ i  e.  ( 1 ... ( m  -  1 ) ) ( 1  /  i
)  e.  CC )
10982, 86, 96, 100, 102, 108, 108fsumparts 12311 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ n  e.  ( 1..^ ( N  +  1 ) ) ( sum_ i  e.  ( 1 ... ( n  -  1 ) ) ( 1  /  i
)  x.  ( sum_ i  e.  ( 1 ... ( ( n  +  1 )  - 
1 ) ) ( 1  /  i )  -  sum_ i  e.  ( 1 ... ( n  -  1 ) ) ( 1  /  i
) ) )  =  ( ( ( sum_ i  e.  ( 1 ... ( ( N  +  1 )  - 
1 ) ) ( 1  /  i )  x.  sum_ i  e.  ( 1 ... ( ( N  +  1 )  -  1 ) ) ( 1  /  i
) )  -  (
0  x.  0 ) )  -  sum_ n  e.  ( 1..^ ( N  +  1 ) ) ( ( sum_ i  e.  ( 1 ... (
( n  +  1 )  -  1 ) ) ( 1  / 
i )  -  sum_ i  e.  ( 1 ... ( n  - 
1 ) ) ( 1  /  i ) )  x.  sum_ i  e.  ( 1 ... (
( n  +  1 )  -  1 ) ) ( 1  / 
i ) ) ) )
110 nnz 10092 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  ZZ )
111 fzval3 10958 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
1 ... N )  =  ( 1..^ ( N  +  1 ) ) )
112110, 111syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1 ... N )  =  ( 1..^ ( N  +  1 ) ) )
113112eqcomd 2321 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1..^ ( N  + 
1 ) )  =  ( 1 ... N
) )
114 pncan 9102 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( n  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( n  + 
1 )  -  1 )  =  n )
11539, 40, 114sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( ( n  +  1 )  - 
1 )  =  n )
116115oveq2d 5916 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( 1 ... ( ( n  + 
1 )  -  1 ) )  =  ( 1 ... n ) )
117116sumeq1d 12221 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  ->  sum_ i  e.  ( 1 ... ( ( n  +  1 )  -  1 ) ) ( 1  /  i
)  =  sum_ i  e.  ( 1 ... n
) ( 1  / 
i ) )
11828recnd 8906 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  /\  i  e.  ( 1 ... n ) )  ->  ( 1  /  i )  e.  CC )
119 oveq2 5908 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( i  =  n  ->  (
1  /  i )  =  ( 1  /  n ) )
1204, 118, 119fsumm1 12263 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  ->  sum_ i  e.  ( 1 ... n ) ( 1  /  i
)  =  ( sum_ i  e.  ( 1 ... ( n  - 
1 ) ) ( 1  /  i )  +  ( 1  /  n ) ) )
121117, 120eqtrd 2348 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  ->  sum_ i  e.  ( 1 ... ( ( n  +  1 )  -  1 ) ) ( 1  /  i
)  =  ( sum_ i  e.  ( 1 ... ( n  - 
1 ) ) ( 1  /  i )  +  ( 1  /  n ) ) )
122121oveq1d 5915 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( sum_ i  e.  ( 1 ... (
( n  +  1 )  -  1 ) ) ( 1  / 
i )  -  sum_ i  e.  ( 1 ... ( n  - 
1 ) ) ( 1  /  i ) )  =  ( (
sum_ i  e.  ( 1 ... ( n  -  1 ) ) ( 1  /  i
)  +  ( 1  /  n ) )  -  sum_ i  e.  ( 1 ... ( n  -  1 ) ) ( 1  /  i
) ) )
12336recnd 8906 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  ->  sum_ i  e.  ( 1 ... ( n  -  1 ) ) ( 1  /  i
)  e.  CC )
1246nnrecred 9836 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( 1  /  n )  e.  RR )
125124recnd 8906 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( 1  /  n )  e.  CC )
126123, 125pncan2d 9204 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( ( sum_ i  e.  ( 1 ... ( n  - 
1 ) ) ( 1  /  i )  +  ( 1  /  n ) )  -  sum_ i  e.  ( 1 ... ( n  - 
1 ) ) ( 1  /  i ) )  =  ( 1  /  n ) )
127122, 126eqtrd 2348 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( sum_ i  e.  ( 1 ... (
( n  +  1 )  -  1 ) ) ( 1  / 
i )  -  sum_ i  e.  ( 1 ... ( n  - 
1 ) ) ( 1  /  i ) )  =  ( 1  /  n ) )
128127oveq2d 5916 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( sum_ i  e.  ( 1 ... (
n  -  1 ) ) ( 1  / 
i )  x.  ( sum_ i  e.  ( 1 ... ( ( n  +  1 )  - 
1 ) ) ( 1  /  i )  -  sum_ i  e.  ( 1 ... ( n  -  1 ) ) ( 1  /  i
) ) )  =  ( sum_ i  e.  ( 1 ... ( n  -  1 ) ) ( 1  /  i
)  x.  ( 1  /  n ) ) )
1296nnne0d 9835 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  ->  n  =/=  0
)
130123, 39, 129divrecd 9584 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( sum_ i  e.  ( 1 ... (
n  -  1 ) ) ( 1  / 
i )  /  n
)  =  ( sum_ i  e.  ( 1 ... ( n  - 
1 ) ) ( 1  /  i )  x.  ( 1  /  n ) ) )
131128, 130eqtr4d 2351 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( sum_ i  e.  ( 1 ... (
n  -  1 ) ) ( 1  / 
i )  x.  ( sum_ i  e.  ( 1 ... ( ( n  +  1 )  - 
1 ) ) ( 1  /  i )  -  sum_ i  e.  ( 1 ... ( n  -  1 ) ) ( 1  /  i
) ) )  =  ( sum_ i  e.  ( 1 ... ( n  -  1 ) ) ( 1  /  i
)  /  n ) )
132113, 131sumeq12rdv 12227 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ n  e.  ( 1..^ ( N  +  1 ) ) ( sum_ i  e.  ( 1 ... ( n  -  1 ) ) ( 1  /  i
)  x.  ( sum_ i  e.  ( 1 ... ( ( n  +  1 )  - 
1 ) ) ( 1  /  i )  -  sum_ i  e.  ( 1 ... ( n  -  1 ) ) ( 1  /  i
) ) )  = 
sum_ n  e.  (
1 ... N ) (
sum_ i  e.  ( 1 ... ( n  -  1 ) ) ( 1  /  i
)  /  n ) )
133 nncn 9799 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  CC )
134 pncan 9102 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( N  + 
1 )  -  1 )  =  N )
135133, 40, 134sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  +  1 )  -  1 )  =  N )
136135oveq2d 5916 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1 ... ( ( N  +  1 )  - 
1 ) )  =  ( 1 ... N
) )
137136sumeq1d 12221 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ i  e.  ( 1 ... (
( N  +  1 )  -  1 ) ) ( 1  / 
i )  =  sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( 1  /  i ) )
138137, 137oveq12d 5918 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  ( sum_ i  e.  ( 1 ... ( ( N  +  1 )  - 
1 ) ) ( 1  /  i )  x.  sum_ i  e.  ( 1 ... ( ( N  +  1 )  -  1 ) ) ( 1  /  i
) )  =  (
sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( 1  /  i
)  x.  sum_ i  e.  ( 1 ... N
) ( 1  / 
i ) ) )
13916recnd 8906 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ i  e.  ( 1 ... N
) ( 1  / 
i )  e.  CC )
140139sqvald 11289 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  ( sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( 1  /  i ) ^ 2 )  =  ( sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( 1  /  i
)  x.  sum_ i  e.  ( 1 ... N
) ( 1  / 
i ) ) )
141138, 140eqtr4d 2351 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  ( sum_ i  e.  ( 1 ... ( ( N  +  1 )  - 
1 ) ) ( 1  /  i )  x.  sum_ i  e.  ( 1 ... ( ( N  +  1 )  -  1 ) ) ( 1  /  i
) )  =  (
sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( 1  /  i
) ^ 2 ) )
142 0cn 8876 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  e.  CC
143142mul01i 9047 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0  x.  0 )  =  0
144143a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  (
0  x.  0 )  =  0 )
145141, 144oveq12d 5918 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( sum_ i  e.  ( 1 ... ( ( N  +  1 )  -  1 ) ) ( 1  /  i
)  x.  sum_ i  e.  ( 1 ... (
( N  +  1 )  -  1 ) ) ( 1  / 
i ) )  -  ( 0  x.  0 ) )  =  ( ( sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( 1  /  i
) ^ 2 )  -  0 ) )
146139sqcld 11290 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  ( sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( 1  /  i ) ^ 2 )  e.  CC )
147146subid1d 9191 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( 1  /  i
) ^ 2 )  -  0 )  =  ( sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( 1  /  i
) ^ 2 ) )
148145, 147eqtrd 2348 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( sum_ i  e.  ( 1 ... ( ( N  +  1 )  -  1 ) ) ( 1  /  i
)  x.  sum_ i  e.  ( 1 ... (
( N  +  1 )  -  1 ) ) ( 1  / 
i ) )  -  ( 0  x.  0 ) )  =  (
sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( 1  /  i
) ^ 2 ) )
149127, 117oveq12d 5918 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( ( sum_ i  e.  ( 1 ... ( ( n  +  1 )  - 
1 ) ) ( 1  /  i )  -  sum_ i  e.  ( 1 ... ( n  -  1 ) ) ( 1  /  i
) )  x.  sum_ i  e.  ( 1 ... ( ( n  +  1 )  - 
1 ) ) ( 1  /  i ) )  =  ( ( 1  /  n )  x.  sum_ i  e.  ( 1 ... n ) ( 1  /  i
) ) )
15029recnd 8906 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  ->  sum_ i  e.  ( 1 ... n ) ( 1  /  i
)  e.  CC )
151150, 39, 129divrec2d 9585 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( sum_ i  e.  ( 1 ... n
) ( 1  / 
i )  /  n
)  =  ( ( 1  /  n )  x.  sum_ i  e.  ( 1 ... n ) ( 1  /  i
) ) )
152149, 151eqtr4d 2351 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( ( sum_ i  e.  ( 1 ... ( ( n  +  1 )  - 
1 ) ) ( 1  /  i )  -  sum_ i  e.  ( 1 ... ( n  -  1 ) ) ( 1  /  i
) )  x.  sum_ i  e.  ( 1 ... ( ( n  +  1 )  - 
1 ) ) ( 1  /  i ) )  =  ( sum_ i  e.  ( 1 ... n ) ( 1  /  i )  /  n ) )
153113, 152sumeq12rdv 12227 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ n  e.  ( 1..^ ( N  +  1 ) ) ( ( sum_ i  e.  ( 1 ... (
( n  +  1 )  -  1 ) ) ( 1  / 
i )  -  sum_ i  e.  ( 1 ... ( n  - 
1 ) ) ( 1  /  i ) )  x.  sum_ i  e.  ( 1 ... (
( n  +  1 )  -  1 ) ) ( 1  / 
i ) )  = 
sum_ n  e.  (
1 ... N ) (
sum_ i  e.  ( 1 ... n ) ( 1  /  i
)  /  n ) )
154148, 153oveq12d 5918 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( sum_ i  e.  ( 1 ... (
( N  +  1 )  -  1 ) ) ( 1  / 
i )  x.  sum_ i  e.  ( 1 ... ( ( N  +  1 )  - 
1 ) ) ( 1  /  i ) )  -  ( 0  x.  0 ) )  -  sum_ n  e.  ( 1..^ ( N  + 
1 ) ) ( ( sum_ i  e.  ( 1 ... ( ( n  +  1 )  -  1 ) ) ( 1  /  i
)  -  sum_ i  e.  ( 1 ... (
n  -  1 ) ) ( 1  / 
i ) )  x. 
sum_ i  e.  ( 1 ... ( ( n  +  1 )  -  1 ) ) ( 1  /  i
) ) )  =  ( ( sum_ i  e.  ( 1 ... N
) ( 1  / 
i ) ^ 2 )  -  sum_ n  e.  ( 1 ... N
) ( sum_ i  e.  ( 1 ... n
) ( 1  / 
i )  /  n
) ) )
155109, 132, 1543eqtr3rd 2357 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( 1  /  i
) ^ 2 )  -  sum_ n  e.  ( 1 ... N ) ( sum_ i  e.  ( 1 ... n ) ( 1  /  i
)  /  n ) )  =  sum_ n  e.  ( 1 ... N
) ( sum_ i  e.  ( 1 ... (
n  -  1 ) ) ( 1  / 
i )  /  n
) )
15631recnd 8906 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... N
) ( sum_ i  e.  ( 1 ... n
) ( 1  / 
i )  /  n
)  e.  CC )
15738recnd 8906 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... N
) ( sum_ i  e.  ( 1 ... (
n  -  1 ) ) ( 1  / 
i )  /  n
)  e.  CC )
158146, 156, 157subaddd 9220 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( sum_ i  e.  ( 1 ... N
) ( 1  / 
i ) ^ 2 )  -  sum_ n  e.  ( 1 ... N
) ( sum_ i  e.  ( 1 ... n
) ( 1  / 
i )  /  n
) )  =  sum_ n  e.  ( 1 ... N ) ( sum_ i  e.  ( 1 ... ( n  - 
1 ) ) ( 1  /  i )  /  n )  <->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... N ) ( sum_ i  e.  ( 1 ... n ) ( 1  /  i )  /  n )  + 
sum_ n  e.  (
1 ... N ) (
sum_ i  e.  ( 1 ... ( n  -  1 ) ) ( 1  /  i
)  /  n ) )  =  ( sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( 1  /  i ) ^ 2 ) ) )
159155, 158mpbid 201 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... N ) (
sum_ i  e.  ( 1 ... n ) ( 1  /  i
)  /  n )  +  sum_ n  e.  ( 1 ... N ) ( sum_ i  e.  ( 1 ... ( n  -  1 ) ) ( 1  /  i
)  /  n ) )  =  ( sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( 1  /  i ) ^ 2 ) )
16078, 159breqtrd 4084 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... N ) ( ( log `  n
)  /  n )  +  sum_ n  e.  ( 1 ... N ) ( ( log `  n
)  /  n ) )  <_  ( sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( 1  /  i ) ^ 2 ) )
16124, 160eqbrtrd 4080 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  (
2  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... N
) ( ( log `  n )  /  n
) )  <_  ( sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( 1  /  i ) ^ 2 ) )
162 flid 10986 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( |_ `  N )  =  N )
163110, 162syl 15 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  ( |_ `  N )  =  N )
164163oveq2d 5916 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1 ... ( |_ `  N ) )  =  ( 1 ... N
) )
165164sumeq1d 12221 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ i  e.  ( 1 ... ( |_ `  N ) ) ( 1  /  i
)  =  sum_ i  e.  ( 1 ... N
) ( 1  / 
i ) )
166 nnre 9798 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  RR )
167 nnge1 9817 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  1  <_  N )
168 harmonicubnd 20356 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  RR  /\  1  <_  N )  ->  sum_ i  e.  ( 1 ... ( |_ `  N ) ) ( 1  /  i )  <_  ( ( log `  N )  +  1 ) )
169166, 167, 168syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ i  e.  ( 1 ... ( |_ `  N ) ) ( 1  /  i
)  <_  ( ( log `  N )  +  1 ) )
170165, 169eqbrtrrd 4082 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ i  e.  ( 1 ... N
) ( 1  / 
i )  <_  (
( log `  N
)  +  1 ) )
17114nnrpd 10436 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  i  e.  ( 1 ... N ) )  ->  i  e.  RR+ )
172171rpreccld 10447 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  i  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( 1  / 
i )  e.  RR+ )
173172rpge0d 10441 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  i  e.  ( 1 ... N ) )  ->  0  <_  (
1  /  i ) )
1742, 15, 173fsumge0 12300 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <_ 
sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( 1  /  i
) )
17549a1i 10 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  0  e.  RR )
176 log1 19992 . . . . . . 7  |-  ( log `  1 )  =  0
177 1rp 10405 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  RR+
178 logleb 20010 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1  e.  RR+  /\  N  e.  RR+ )  ->  (
1  <_  N  <->  ( log `  1 )  <_  ( log `  N ) ) )
179177, 18, 178sylancr 644 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  <_  N  <->  ( log `  1 )  <_  ( log `  N ) ) )
180167, 179mpbid 201 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  ( log `  1 )  <_ 
( log `  N
) )
181176, 180syl5eqbrr 4094 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <_  ( log `  N
) )
18219lep1d 9733 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  ( log `  N )  <_ 
( ( log `  N
)  +  1 ) )
183175, 19, 21, 181, 182letrd 9018 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <_  ( ( log `  N
)  +  1 ) )
18416, 21, 174, 183le2sqd 11327 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  ( sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( 1  /  i )  <_  ( ( log `  N )  +  1 )  <->  ( sum_ i  e.  ( 1 ... N
) ( 1  / 
i ) ^ 2 )  <_  ( (
( log `  N
)  +  1 ) ^ 2 ) ) )
185170, 184mpbid 201 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  ( sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( 1  /  i ) ^ 2 )  <_ 
( ( ( log `  N )  +  1 ) ^ 2 ) )
18612, 17, 22, 161, 185letrd 9018 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  (
2  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... N
) ( ( log `  n )  /  n
) )  <_  (
( ( log `  N
)  +  1 ) ^ 2 ) )
1871a1i 10 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  2  e.  RR )
188 2pos 9873 . . . 4  |-  0  <  2
189188a1i 10 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <  2 )
190 lemuldiv2 9681 . . 3  |-  ( (
sum_ n  e.  (
1 ... N ) ( ( log `  n
)  /  n )  e.  RR  /\  (
( ( log `  N
)  +  1 ) ^ 2 )  e.  RR  /\  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  -> 
( ( 2  x. 
sum_ n  e.  (
1 ... N ) ( ( log `  n
)  /  n ) )  <_  ( (
( log `  N
)  +  1 ) ^ 2 )  <->  sum_ n  e.  ( 1 ... N
) ( ( log `  n )  /  n
)  <_  ( (
( ( log `  N
)  +  1 ) ^ 2 )  / 
2 ) ) )
19110, 22, 187, 189, 190syl112anc 1186 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 2  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... N ) ( ( log `  n )  /  n ) )  <_  ( ( ( log `  N )  +  1 ) ^
2 )  <->  sum_ n  e.  ( 1 ... N
) ( ( log `  n )  /  n
)  <_  ( (
( ( log `  N
)  +  1 ) ^ 2 )  / 
2 ) ) )
192186, 191mpbid 201 1  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... N
) ( ( log `  n )  /  n
)  <_  ( (
( ( log `  N
)  +  1 ) ^ 2 )  / 
2 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1633    e. wcel 1701    C_ wss 3186   (/)c0 3489   class class class wbr 4060   ` cfv 5292  (class class class)co 5900   CCcc 8780   RRcr 8781   0cc0 8782   1c1 8783    + caddc 8785    x. cmul 8787    < clt 8912    <_ cle 8913    - cmin 9082    / cdiv 9468   NNcn 9791   2c2 9840   NN0cn0 10012   ZZcz 10071   ZZ>=cuz 10277   RR+crp 10401   [,]cicc 10706   ...cfz 10829  ..^cfzo 10917   |_cfl 10971   ^cexp 11151   sum_csu 12205   logclog 19965   gammacem 20339
This theorem is referenced by:  pntlemk  20808
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1537  ax-5 1548  ax-17 1607  ax-9 1645  ax-8 1666  ax-13 1703  ax-14 1705  ax-6 1720  ax-7 1725  ax-11 1732  ax-12 1897  ax-ext 2297  ax-rep 4168  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4225  ax-pr 4251  ax-un 4549  ax-inf2 7387  ax-cnex 8838  ax-resscn 8839  ax-1cn 8840  ax-icn 8841  ax-addcl 8842  ax-addrcl 8843  ax-mulcl 8844  ax-mulrcl 8845  ax-mulcom 8846  ax-addass 8847  ax-mulass 8848  ax-distr 8849  ax-i2m1 8850  ax-1ne0 8851  ax-1rid 8852  ax-rnegex 8853  ax-rrecex 8854  ax-cnre 8855  ax-pre-lttri 8856  ax-pre-lttrn 8857  ax-pre-ltadd 8858  ax-pre-mulgt0 8859  ax-pre-sup 8860  ax-addf 8861  ax-mulf 8862
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1533  df-nf 1536  df-sb 1640  df-eu 2180  df-mo 2181  df-clab 2303  df-cleq 2309  df-clel 2312  df-nfc 2441  df-ne 2481  df-nel 2482  df-ral 2582  df-rex 2583  df-reu 2584  df-rmo 2585  df-rab 2586  df-v 2824  df-sbc 3026  df-csb 3116  df-dif 3189  df-un 3191  df-in 3193  df-ss 3200  df-pss 3202  df-nul 3490  df-if 3600  df-pw 3661  df-sn 3680  df-pr 3681  df-tp 3682  df-op 3683  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3944  df-iin 3945  df-br 4061  df-opab 4115  df-mpt 4116  df-tr 4151  df-eprel 4342  df-id 4346  df-po 4351  df-so 4352  df-fr 4389  df-se 4390  df-we 4391  df-ord 4432  df-on 4433  df-lim 4434  df-suc 4435  df-om 4694  df-xp 4732  df-rel 4733  df-cnv 4734  df-co 4735  df-dm 4736  df-rn 4737  df-res 4738  df-ima 4739  df-iota 5256  df-fun 5294  df-fn 5295  df-f 5296  df-f1 5297  df-fo 5298  df-f1o 5299  df-fv 5300  df-isom 5301  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpt2 5905  df-of 6120  df-1st 6164  df-2nd 6165  df-riota 6346  df-recs 6430  df-rdg 6465  df-1o 6521  df-2o 6522  df-oadd 6525  df-er 6702  df-map 6817  df-pm 6818  df-ixp 6861  df-en 6907  df-dom 6908  df-sdom 6909  df-fin 6910  df-fi 7210  df-sup 7239  df-oi 7270  df-card 7617  df-cda 7839  df-pnf 8914  df-mnf 8915  df-xr 8916  df-ltxr 8917  df-le 8918  df-sub 9084  df-neg 9085  df-div 9469  df-nn 9792  df-2 9849  df-3 9850  df-4 9851  df-5 9852  df-6 9853  df-7 9854  df-8 9855  df-9 9856  df-10 9857  df-n0 10013  df-z 10072  df-dec 10172  df-uz 10278  df-q 10364  df-rp 10402  df-xneg 10499  df-xadd 10500  df-xmul 10501  df-ioo 10707  df-ioc 10708  df-ico 10709  df-icc 10710  df-fz 10830  df-fzo 10918  df-fl 10972  df-mod 11021  df-seq 11094  df-exp 11152  df-fac 11336  df-bc 11363  df-hash 11385  df-shft 11609  df-cj 11631  df-re 11632  df-im 11633  df-sqr 11767  df-abs 11768  df-limsup 11992  df-clim 12009  df-rlim 12010  df-sum 12206  df-ef 12396  df-e 12397  df-sin 12398  df-cos 12399  df-pi 12401  df-struct 13197  df-ndx 13198  df-slot 13199  df-base 13200  df-sets 13201  df-ress 13202  df-plusg 13268  df-mulr 13269  df-starv 13270  df-sca 13271  df-vsca 13272  df-tset 13274  df-ple 13275  df-ds 13277  df-unif 13278  df-hom 13279  df-cco 13280  df-rest 13376  df-topn 13377  df-topgen 13393  df-pt 13394  df-prds 13397  df-xrs 13452  df-0g 13453  df-gsum 13454  df-qtop 13459  df-imas 13460  df-xps 13462  df-mre 13537  df-mrc 13538  df-acs 13540  df-mnd 14416  df-submnd 14465  df-mulg 14541  df-cntz 14842  df-cmn 15140  df-xmet 16425  df-met 16426  df-bl 16427  df-mopn 16428  df-fbas 16429  df-fg 16430  df-cnfld 16433  df-top 16692  df-bases 16694  df-topon 16695  df-topsp 16696  df-cld 16812  df-ntr 16813  df-cls 16814  df-nei 16891  df-lp 16924  df-perf 16925  df-cn 17013  df-cnp 17014  df-haus 17099  df-tx 17313  df-hmeo 17502  df-fil 17593  df-fm 17685  df-flim 17686  df-flf 17687  df-xms 17937  df-ms 17938  df-tms 17939  df-cncf 18434  df-limc 19269  df-dv 19270  df-log 19967  df-em 20340
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