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Theorem logdivbnd 21250
Description: A bound on a sum of logs, used in pntlemk 21300. This is not as precise as logdivsum 21227 in its asymptotic behavior, but it is valid for all  N and does not require a limit value. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Apr-2016.)
Assertion
Ref Expression
logdivbnd  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... N
) ( ( log `  n )  /  n
)  <_  ( (
( ( log `  N
)  +  1 ) ^ 2 )  / 
2 ) )
Distinct variable group:    n, N

Proof of Theorem logdivbnd
Dummy variables  i  m are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2re 10069 . . . 4  |-  2  e.  RR
2 fzfid 11312 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1 ... N )  e. 
Fin )
3 elfzuz 11055 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  ( 1 ... N )  ->  n  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
43adantl 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  ->  n  e.  (
ZZ>= `  1 ) )
5 nnuz 10521 . . . . . . . . 9  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
64, 5syl6eleqr 2527 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  ->  n  e.  NN )
76nnrpd 10647 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  ->  n  e.  RR+ )
87relogcld 20518 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( log `  n
)  e.  RR )
98, 6nndivred 10048 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( ( log `  n )  /  n
)  e.  RR )
102, 9fsumrecl 12528 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... N
) ( ( log `  n )  /  n
)  e.  RR )
11 remulcl 9075 . . . 4  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  sum_
n  e.  ( 1 ... N ) ( ( log `  n
)  /  n )  e.  RR )  -> 
( 2  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... N ) ( ( log `  n )  /  n ) )  e.  RR )
121, 10, 11sylancr 645 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  (
2  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... N
) ( ( log `  n )  /  n
) )  e.  RR )
13 elfznn 11080 . . . . . . 7  |-  ( i  e.  ( 1 ... N )  ->  i  e.  NN )
1413adantl 453 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  i  e.  ( 1 ... N ) )  ->  i  e.  NN )
1514nnrecred 10045 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  i  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( 1  / 
i )  e.  RR )
162, 15fsumrecl 12528 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ i  e.  ( 1 ... N
) ( 1  / 
i )  e.  RR )
1716resqcld 11549 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  ( sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( 1  /  i ) ^ 2 )  e.  RR )
18 nnrp 10621 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  RR+ )
1918relogcld 20518 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  ( log `  N )  e.  RR )
20 peano2re 9239 . . . . 5  |-  ( ( log `  N )  e.  RR  ->  (
( log `  N
)  +  1 )  e.  RR )
2119, 20syl 16 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( log `  N
)  +  1 )  e.  RR )
2221resqcld 11549 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( log `  N
)  +  1 ) ^ 2 )  e.  RR )
2310recnd 9114 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... N
) ( ( log `  n )  /  n
)  e.  CC )
24232timesd 10210 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  (
2  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... N
) ( ( log `  n )  /  n
) )  =  (
sum_ n  e.  (
1 ... N ) ( ( log `  n
)  /  n )  +  sum_ n  e.  ( 1 ... N ) ( ( log `  n
)  /  n ) ) )
25 fzfid 11312 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( 1 ... n )  e.  Fin )
26 elfznn 11080 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  e.  ( 1 ... n )  ->  i  e.  NN )
2726adantl 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  /\  i  e.  ( 1 ... n ) )  ->  i  e.  NN )
2827nnrecred 10045 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  /\  i  e.  ( 1 ... n ) )  ->  ( 1  /  i )  e.  RR )
2925, 28fsumrecl 12528 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  ->  sum_ i  e.  ( 1 ... n ) ( 1  /  i
)  e.  RR )
3029, 6nndivred 10048 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( sum_ i  e.  ( 1 ... n
) ( 1  / 
i )  /  n
)  e.  RR )
312, 30fsumrecl 12528 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... N
) ( sum_ i  e.  ( 1 ... n
) ( 1  / 
i )  /  n
)  e.  RR )
32 fzfid 11312 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( 1 ... ( n  -  1 ) )  e.  Fin )
33 elfznn 11080 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  e.  ( 1 ... ( n  -  1 ) )  ->  i  e.  NN )
3433adantl 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  /\  i  e.  ( 1 ... ( n  -  1 ) ) )  ->  i  e.  NN )
3534nnrecred 10045 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  /\  i  e.  ( 1 ... ( n  -  1 ) ) )  ->  ( 1  /  i )  e.  RR )
3632, 35fsumrecl 12528 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  ->  sum_ i  e.  ( 1 ... ( n  -  1 ) ) ( 1  /  i
)  e.  RR )
3736, 6nndivred 10048 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( sum_ i  e.  ( 1 ... (
n  -  1 ) ) ( 1  / 
i )  /  n
)  e.  RR )
382, 37fsumrecl 12528 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... N
) ( sum_ i  e.  ( 1 ... (
n  -  1 ) ) ( 1  / 
i )  /  n
)  e.  RR )
396nncnd 10016 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  ->  n  e.  CC )
40 ax-1cn 9048 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  1  e.  CC
41 npcan 9314 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( n  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( n  - 
1 )  +  1 )  =  n )
4239, 40, 41sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( ( n  -  1 )  +  1 )  =  n )
4342fveq2d 5732 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( log `  (
( n  -  1 )  +  1 ) )  =  ( log `  n ) )
4443oveq2d 6097 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( sum_ i  e.  ( 1 ... (
n  -  1 ) ) ( 1  / 
i )  -  ( log `  ( ( n  -  1 )  +  1 ) ) )  =  ( sum_ i  e.  ( 1 ... (
n  -  1 ) ) ( 1  / 
i )  -  ( log `  n ) ) )
45 nnm1nn0 10261 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  -  1 )  e.  NN0 )
46 harmonicbnd3 20846 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( n  -  1 )  e.  NN0  ->  ( sum_ i  e.  ( 1 ... ( n  - 
1 ) ) ( 1  /  i )  -  ( log `  (
( n  -  1 )  +  1 ) ) )  e.  ( 0 [,] gamma )
)
476, 45, 463syl 19 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( sum_ i  e.  ( 1 ... (
n  -  1 ) ) ( 1  / 
i )  -  ( log `  ( ( n  -  1 )  +  1 ) ) )  e.  ( 0 [,]
gamma ) )
4844, 47eqeltrrd 2511 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( sum_ i  e.  ( 1 ... (
n  -  1 ) ) ( 1  / 
i )  -  ( log `  n ) )  e.  ( 0 [,]
gamma ) )
49 0re 9091 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  e.  RR
50 emre 20844 . . . . . . . . . . . . 13  |-  gamma  e.  RR
5149, 50elicc2i 10976 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
sum_ i  e.  ( 1 ... ( n  -  1 ) ) ( 1  /  i
)  -  ( log `  n ) )  e.  ( 0 [,] gamma )  <-> 
( ( sum_ i  e.  ( 1 ... (
n  -  1 ) ) ( 1  / 
i )  -  ( log `  n ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( sum_ i  e.  ( 1 ... ( n  -  1 ) ) ( 1  /  i
)  -  ( log `  n ) )  /\  ( sum_ i  e.  ( 1 ... ( n  -  1 ) ) ( 1  /  i
)  -  ( log `  n ) )  <_  gamma ) )
5251simp2bi 973 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
sum_ i  e.  ( 1 ... ( n  -  1 ) ) ( 1  /  i
)  -  ( log `  n ) )  e.  ( 0 [,] gamma )  ->  0  <_  ( sum_ i  e.  ( 1 ... ( n  - 
1 ) ) ( 1  /  i )  -  ( log `  n
) ) )
5348, 52syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  ->  0  <_  ( sum_ i  e.  ( 1 ... ( n  - 
1 ) ) ( 1  /  i )  -  ( log `  n
) ) )
5436, 8subge0d 9616 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( 0  <_ 
( sum_ i  e.  ( 1 ... ( n  -  1 ) ) ( 1  /  i
)  -  ( log `  n ) )  <->  ( log `  n )  <_  sum_ i  e.  ( 1 ... (
n  -  1 ) ) ( 1  / 
i ) ) )
5553, 54mpbid 202 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( log `  n
)  <_  sum_ i  e.  ( 1 ... (
n  -  1 ) ) ( 1  / 
i ) )
568, 36, 7, 55lediv1dd 10702 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( ( log `  n )  /  n
)  <_  ( sum_ i  e.  ( 1 ... ( n  - 
1 ) ) ( 1  /  i )  /  n ) )
5727nnrpd 10647 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  /\  i  e.  ( 1 ... n ) )  ->  i  e.  RR+ )
5857rpreccld 10658 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  /\  i  e.  ( 1 ... n ) )  ->  ( 1  /  i )  e.  RR+ )
5958rpge0d 10652 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  /\  i  e.  ( 1 ... n ) )  ->  0  <_  ( 1  /  i ) )
60 elfzelz 11059 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  ( 1 ... N )  ->  n  e.  ZZ )
6160adantl 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  ->  n  e.  ZZ )
62 peano2zm 10320 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  ZZ  ->  (
n  -  1 )  e.  ZZ )
6361, 62syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( n  - 
1 )  e.  ZZ )
646nnred 10015 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  ->  n  e.  RR )
6564lem1d 9944 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( n  - 
1 )  <_  n
)
66 eluz2 10494 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  (
n  -  1 ) )  <->  ( ( n  -  1 )  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ  /\  ( n  -  1 )  <_  n ) )
6763, 61, 65, 66syl3anbrc 1138 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  ->  n  e.  (
ZZ>= `  ( n  - 
1 ) ) )
68 fzss2 11092 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  (
n  -  1 ) )  ->  ( 1 ... ( n  - 
1 ) )  C_  ( 1 ... n
) )
6967, 68syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( 1 ... ( n  -  1 ) )  C_  (
1 ... n ) )
7025, 28, 59, 69fsumless 12575 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  ->  sum_ i  e.  ( 1 ... ( n  -  1 ) ) ( 1  /  i
)  <_  sum_ i  e.  ( 1 ... n
) ( 1  / 
i ) )
716nngt0d 10043 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  ->  0  <  n
)
72 lediv1 9875 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
sum_ i  e.  ( 1 ... ( n  -  1 ) ) ( 1  /  i
)  e.  RR  /\  sum_ i  e.  ( 1 ... n ) ( 1  /  i )  e.  RR  /\  (
n  e.  RR  /\  0  <  n ) )  ->  ( sum_ i  e.  ( 1 ... (
n  -  1 ) ) ( 1  / 
i )  <_  sum_ i  e.  ( 1 ... n
) ( 1  / 
i )  <->  ( sum_ i  e.  ( 1 ... ( n  - 
1 ) ) ( 1  /  i )  /  n )  <_ 
( sum_ i  e.  ( 1 ... n ) ( 1  /  i
)  /  n ) ) )
7336, 29, 64, 71, 72syl112anc 1188 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( sum_ i  e.  ( 1 ... (
n  -  1 ) ) ( 1  / 
i )  <_  sum_ i  e.  ( 1 ... n
) ( 1  / 
i )  <->  ( sum_ i  e.  ( 1 ... ( n  - 
1 ) ) ( 1  /  i )  /  n )  <_ 
( sum_ i  e.  ( 1 ... n ) ( 1  /  i
)  /  n ) ) )
7470, 73mpbid 202 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( sum_ i  e.  ( 1 ... (
n  -  1 ) ) ( 1  / 
i )  /  n
)  <_  ( sum_ i  e.  ( 1 ... n ) ( 1  /  i )  /  n ) )
759, 37, 30, 56, 74letrd 9227 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( ( log `  n )  /  n
)  <_  ( sum_ i  e.  ( 1 ... n ) ( 1  /  i )  /  n ) )
762, 9, 30, 75fsumle 12578 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... N
) ( ( log `  n )  /  n
)  <_  sum_ n  e.  ( 1 ... N
) ( sum_ i  e.  ( 1 ... n
) ( 1  / 
i )  /  n
) )
772, 9, 37, 56fsumle 12578 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... N
) ( ( log `  n )  /  n
)  <_  sum_ n  e.  ( 1 ... N
) ( sum_ i  e.  ( 1 ... (
n  -  1 ) ) ( 1  / 
i )  /  n
) )
7810, 10, 31, 38, 76, 77le2addd 9644 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... N ) ( ( log `  n
)  /  n )  +  sum_ n  e.  ( 1 ... N ) ( ( log `  n
)  /  n ) )  <_  ( sum_ n  e.  ( 1 ... N ) ( sum_ i  e.  ( 1 ... n ) ( 1  /  i )  /  n )  + 
sum_ n  e.  (
1 ... N ) (
sum_ i  e.  ( 1 ... ( n  -  1 ) ) ( 1  /  i
)  /  n ) ) )
79 oveq1 6088 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  n  ->  (
m  -  1 )  =  ( n  - 
1 ) )
8079oveq2d 6097 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  n  ->  (
1 ... ( m  - 
1 ) )  =  ( 1 ... (
n  -  1 ) ) )
8180sumeq1d 12495 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  n  ->  sum_ i  e.  ( 1 ... (
m  -  1 ) ) ( 1  / 
i )  =  sum_ i  e.  ( 1 ... ( n  - 
1 ) ) ( 1  /  i ) )
8281, 81jca 519 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  n  ->  ( sum_ i  e.  ( 1 ... ( m  - 
1 ) ) ( 1  /  i )  =  sum_ i  e.  ( 1 ... ( n  -  1 ) ) ( 1  /  i
)  /\  sum_ i  e.  ( 1 ... (
m  -  1 ) ) ( 1  / 
i )  =  sum_ i  e.  ( 1 ... ( n  - 
1 ) ) ( 1  /  i ) ) )
83 oveq1 6088 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  (
m  -  1 )  =  ( ( n  +  1 )  - 
1 ) )
8483oveq2d 6097 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  (
1 ... ( m  - 
1 ) )  =  ( 1 ... (
( n  +  1 )  -  1 ) ) )
8584sumeq1d 12495 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  sum_ i  e.  ( 1 ... (
m  -  1 ) ) ( 1  / 
i )  =  sum_ i  e.  ( 1 ... ( ( n  +  1 )  - 
1 ) ) ( 1  /  i ) )
8685, 85jca 519 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  ( sum_ i  e.  ( 1 ... ( m  - 
1 ) ) ( 1  /  i )  =  sum_ i  e.  ( 1 ... ( ( n  +  1 )  -  1 ) ) ( 1  /  i
)  /\  sum_ i  e.  ( 1 ... (
m  -  1 ) ) ( 1  / 
i )  =  sum_ i  e.  ( 1 ... ( ( n  +  1 )  - 
1 ) ) ( 1  /  i ) ) )
87 oveq1 6088 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  =  1  ->  (
m  -  1 )  =  ( 1  -  1 ) )
88 1m1e0 10068 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1  -  1 )  =  0
8987, 88syl6eq 2484 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  =  1  ->  (
m  -  1 )  =  0 )
9089oveq2d 6097 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  1  ->  (
1 ... ( m  - 
1 ) )  =  ( 1 ... 0
) )
91 fz10 11075 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1 ... 0 )  =  (/)
9290, 91syl6eq 2484 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  1  ->  (
1 ... ( m  - 
1 ) )  =  (/) )
9392sumeq1d 12495 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  1  ->  sum_ i  e.  ( 1 ... (
m  -  1 ) ) ( 1  / 
i )  =  sum_ i  e.  (/)  ( 1  /  i ) )
94 sum0 12515 . . . . . . . . . 10  |-  sum_ i  e.  (/)  ( 1  / 
i )  =  0
9593, 94syl6eq 2484 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  1  ->  sum_ i  e.  ( 1 ... (
m  -  1 ) ) ( 1  / 
i )  =  0 )
9695, 95jca 519 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  1  ->  ( sum_ i  e.  ( 1 ... ( m  - 
1 ) ) ( 1  /  i )  =  0  /\  sum_ i  e.  ( 1 ... ( m  - 
1 ) ) ( 1  /  i )  =  0 ) )
97 oveq1 6088 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  ( N  + 
1 )  ->  (
m  -  1 )  =  ( ( N  +  1 )  - 
1 ) )
9897oveq2d 6097 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  ( N  + 
1 )  ->  (
1 ... ( m  - 
1 ) )  =  ( 1 ... (
( N  +  1 )  -  1 ) ) )
9998sumeq1d 12495 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  ( N  + 
1 )  ->  sum_ i  e.  ( 1 ... (
m  -  1 ) ) ( 1  / 
i )  =  sum_ i  e.  ( 1 ... ( ( N  +  1 )  - 
1 ) ) ( 1  /  i ) )
10099, 99jca 519 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  ( N  + 
1 )  ->  ( sum_ i  e.  ( 1 ... ( m  - 
1 ) ) ( 1  /  i )  =  sum_ i  e.  ( 1 ... ( ( N  +  1 )  -  1 ) ) ( 1  /  i
)  /\  sum_ i  e.  ( 1 ... (
m  -  1 ) ) ( 1  / 
i )  =  sum_ i  e.  ( 1 ... ( ( N  +  1 )  - 
1 ) ) ( 1  /  i ) ) )
101 peano2nn 10012 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  +  1 )  e.  NN )
102101, 5syl6eleq 2526 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  1
) )
103 fzfid 11312 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  m  e.  ( 1 ... ( N  + 
1 ) ) )  ->  ( 1 ... ( m  -  1 ) )  e.  Fin )
104 elfznn 11080 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  e.  ( 1 ... ( m  -  1 ) )  ->  i  e.  NN )
105104adantl 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  m  e.  ( 1 ... ( N  + 
1 ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... ( m  -  1 ) ) )  ->  i  e.  NN )
106105nnrecred 10045 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  m  e.  ( 1 ... ( N  + 
1 ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... ( m  -  1 ) ) )  ->  ( 1  /  i )  e.  RR )
107103, 106fsumrecl 12528 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  m  e.  ( 1 ... ( N  + 
1 ) ) )  ->  sum_ i  e.  ( 1 ... ( m  -  1 ) ) ( 1  /  i
)  e.  RR )
108107recnd 9114 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  m  e.  ( 1 ... ( N  + 
1 ) ) )  ->  sum_ i  e.  ( 1 ... ( m  -  1 ) ) ( 1  /  i
)  e.  CC )
10982, 86, 96, 100, 102, 108, 108fsumparts 12585 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ n  e.  ( 1..^ ( N  +  1 ) ) ( sum_ i  e.  ( 1 ... ( n  -  1 ) ) ( 1  /  i
)  x.  ( sum_ i  e.  ( 1 ... ( ( n  +  1 )  - 
1 ) ) ( 1  /  i )  -  sum_ i  e.  ( 1 ... ( n  -  1 ) ) ( 1  /  i
) ) )  =  ( ( ( sum_ i  e.  ( 1 ... ( ( N  +  1 )  - 
1 ) ) ( 1  /  i )  x.  sum_ i  e.  ( 1 ... ( ( N  +  1 )  -  1 ) ) ( 1  /  i
) )  -  (
0  x.  0 ) )  -  sum_ n  e.  ( 1..^ ( N  +  1 ) ) ( ( sum_ i  e.  ( 1 ... (
( n  +  1 )  -  1 ) ) ( 1  / 
i )  -  sum_ i  e.  ( 1 ... ( n  - 
1 ) ) ( 1  /  i ) )  x.  sum_ i  e.  ( 1 ... (
( n  +  1 )  -  1 ) ) ( 1  / 
i ) ) ) )
110 nnz 10303 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  ZZ )
111 fzval3 11180 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
1 ... N )  =  ( 1..^ ( N  +  1 ) ) )
112110, 111syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1 ... N )  =  ( 1..^ ( N  +  1 ) ) )
113112eqcomd 2441 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1..^ ( N  + 
1 ) )  =  ( 1 ... N
) )
114 pncan 9311 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( n  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( n  + 
1 )  -  1 )  =  n )
11539, 40, 114sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( ( n  +  1 )  - 
1 )  =  n )
116115oveq2d 6097 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( 1 ... ( ( n  + 
1 )  -  1 ) )  =  ( 1 ... n ) )
117116sumeq1d 12495 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  ->  sum_ i  e.  ( 1 ... ( ( n  +  1 )  -  1 ) ) ( 1  /  i
)  =  sum_ i  e.  ( 1 ... n
) ( 1  / 
i ) )
11828recnd 9114 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  /\  i  e.  ( 1 ... n ) )  ->  ( 1  /  i )  e.  CC )
119 oveq2 6089 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( i  =  n  ->  (
1  /  i )  =  ( 1  /  n ) )
1204, 118, 119fsumm1 12537 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  ->  sum_ i  e.  ( 1 ... n ) ( 1  /  i
)  =  ( sum_ i  e.  ( 1 ... ( n  - 
1 ) ) ( 1  /  i )  +  ( 1  /  n ) ) )
121117, 120eqtrd 2468 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  ->  sum_ i  e.  ( 1 ... ( ( n  +  1 )  -  1 ) ) ( 1  /  i
)  =  ( sum_ i  e.  ( 1 ... ( n  - 
1 ) ) ( 1  /  i )  +  ( 1  /  n ) ) )
122121oveq1d 6096 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( sum_ i  e.  ( 1 ... (
( n  +  1 )  -  1 ) ) ( 1  / 
i )  -  sum_ i  e.  ( 1 ... ( n  - 
1 ) ) ( 1  /  i ) )  =  ( (
sum_ i  e.  ( 1 ... ( n  -  1 ) ) ( 1  /  i
)  +  ( 1  /  n ) )  -  sum_ i  e.  ( 1 ... ( n  -  1 ) ) ( 1  /  i
) ) )
12336recnd 9114 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  ->  sum_ i  e.  ( 1 ... ( n  -  1 ) ) ( 1  /  i
)  e.  CC )
1246nnrecred 10045 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( 1  /  n )  e.  RR )
125124recnd 9114 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( 1  /  n )  e.  CC )
126123, 125pncan2d 9413 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( ( sum_ i  e.  ( 1 ... ( n  - 
1 ) ) ( 1  /  i )  +  ( 1  /  n ) )  -  sum_ i  e.  ( 1 ... ( n  - 
1 ) ) ( 1  /  i ) )  =  ( 1  /  n ) )
127122, 126eqtrd 2468 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( sum_ i  e.  ( 1 ... (
( n  +  1 )  -  1 ) ) ( 1  / 
i )  -  sum_ i  e.  ( 1 ... ( n  - 
1 ) ) ( 1  /  i ) )  =  ( 1  /  n ) )
128127oveq2d 6097 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( sum_ i  e.  ( 1 ... (
n  -  1 ) ) ( 1  / 
i )  x.  ( sum_ i  e.  ( 1 ... ( ( n  +  1 )  - 
1 ) ) ( 1  /  i )  -  sum_ i  e.  ( 1 ... ( n  -  1 ) ) ( 1  /  i
) ) )  =  ( sum_ i  e.  ( 1 ... ( n  -  1 ) ) ( 1  /  i
)  x.  ( 1  /  n ) ) )
1296nnne0d 10044 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  ->  n  =/=  0
)
130123, 39, 129divrecd 9793 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( sum_ i  e.  ( 1 ... (
n  -  1 ) ) ( 1  / 
i )  /  n
)  =  ( sum_ i  e.  ( 1 ... ( n  - 
1 ) ) ( 1  /  i )  x.  ( 1  /  n ) ) )
131128, 130eqtr4d 2471 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( sum_ i  e.  ( 1 ... (
n  -  1 ) ) ( 1  / 
i )  x.  ( sum_ i  e.  ( 1 ... ( ( n  +  1 )  - 
1 ) ) ( 1  /  i )  -  sum_ i  e.  ( 1 ... ( n  -  1 ) ) ( 1  /  i
) ) )  =  ( sum_ i  e.  ( 1 ... ( n  -  1 ) ) ( 1  /  i
)  /  n ) )
132113, 131sumeq12rdv 12501 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ n  e.  ( 1..^ ( N  +  1 ) ) ( sum_ i  e.  ( 1 ... ( n  -  1 ) ) ( 1  /  i
)  x.  ( sum_ i  e.  ( 1 ... ( ( n  +  1 )  - 
1 ) ) ( 1  /  i )  -  sum_ i  e.  ( 1 ... ( n  -  1 ) ) ( 1  /  i
) ) )  = 
sum_ n  e.  (
1 ... N ) (
sum_ i  e.  ( 1 ... ( n  -  1 ) ) ( 1  /  i
)  /  n ) )
133 nncn 10008 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  CC )
134 pncan 9311 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( N  + 
1 )  -  1 )  =  N )
135133, 40, 134sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  +  1 )  -  1 )  =  N )
136135oveq2d 6097 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1 ... ( ( N  +  1 )  - 
1 ) )  =  ( 1 ... N
) )
137136sumeq1d 12495 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ i  e.  ( 1 ... (
( N  +  1 )  -  1 ) ) ( 1  / 
i )  =  sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( 1  /  i ) )
138137, 137oveq12d 6099 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  ( sum_ i  e.  ( 1 ... ( ( N  +  1 )  - 
1 ) ) ( 1  /  i )  x.  sum_ i  e.  ( 1 ... ( ( N  +  1 )  -  1 ) ) ( 1  /  i
) )  =  (
sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( 1  /  i
)  x.  sum_ i  e.  ( 1 ... N
) ( 1  / 
i ) ) )
13916recnd 9114 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ i  e.  ( 1 ... N
) ( 1  / 
i )  e.  CC )
140139sqvald 11520 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  ( sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( 1  /  i ) ^ 2 )  =  ( sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( 1  /  i
)  x.  sum_ i  e.  ( 1 ... N
) ( 1  / 
i ) ) )
141138, 140eqtr4d 2471 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  ( sum_ i  e.  ( 1 ... ( ( N  +  1 )  - 
1 ) ) ( 1  /  i )  x.  sum_ i  e.  ( 1 ... ( ( N  +  1 )  -  1 ) ) ( 1  /  i
) )  =  (
sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( 1  /  i
) ^ 2 ) )
142 0cn 9084 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  e.  CC
143142mul01i 9256 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0  x.  0 )  =  0
144143a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  (
0  x.  0 )  =  0 )
145141, 144oveq12d 6099 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( sum_ i  e.  ( 1 ... ( ( N  +  1 )  -  1 ) ) ( 1  /  i
)  x.  sum_ i  e.  ( 1 ... (
( N  +  1 )  -  1 ) ) ( 1  / 
i ) )  -  ( 0  x.  0 ) )  =  ( ( sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( 1  /  i
) ^ 2 )  -  0 ) )
146139sqcld 11521 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  ( sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( 1  /  i ) ^ 2 )  e.  CC )
147146subid1d 9400 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( 1  /  i
) ^ 2 )  -  0 )  =  ( sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( 1  /  i
) ^ 2 ) )
148145, 147eqtrd 2468 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( sum_ i  e.  ( 1 ... ( ( N  +  1 )  -  1 ) ) ( 1  /  i
)  x.  sum_ i  e.  ( 1 ... (
( N  +  1 )  -  1 ) ) ( 1  / 
i ) )  -  ( 0  x.  0 ) )  =  (
sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( 1  /  i
) ^ 2 ) )
149127, 117oveq12d 6099 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( ( sum_ i  e.  ( 1 ... ( ( n  +  1 )  - 
1 ) ) ( 1  /  i )  -  sum_ i  e.  ( 1 ... ( n  -  1 ) ) ( 1  /  i
) )  x.  sum_ i  e.  ( 1 ... ( ( n  +  1 )  - 
1 ) ) ( 1  /  i ) )  =  ( ( 1  /  n )  x.  sum_ i  e.  ( 1 ... n ) ( 1  /  i
) ) )
15029recnd 9114 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  ->  sum_ i  e.  ( 1 ... n ) ( 1  /  i
)  e.  CC )
151150, 39, 129divrec2d 9794 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( sum_ i  e.  ( 1 ... n
) ( 1  / 
i )  /  n
)  =  ( ( 1  /  n )  x.  sum_ i  e.  ( 1 ... n ) ( 1  /  i
) ) )
152149, 151eqtr4d 2471 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( ( sum_ i  e.  ( 1 ... ( ( n  +  1 )  - 
1 ) ) ( 1  /  i )  -  sum_ i  e.  ( 1 ... ( n  -  1 ) ) ( 1  /  i
) )  x.  sum_ i  e.  ( 1 ... ( ( n  +  1 )  - 
1 ) ) ( 1  /  i ) )  =  ( sum_ i  e.  ( 1 ... n ) ( 1  /  i )  /  n ) )
153113, 152sumeq12rdv 12501 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ n  e.  ( 1..^ ( N  +  1 ) ) ( ( sum_ i  e.  ( 1 ... (
( n  +  1 )  -  1 ) ) ( 1  / 
i )  -  sum_ i  e.  ( 1 ... ( n  - 
1 ) ) ( 1  /  i ) )  x.  sum_ i  e.  ( 1 ... (
( n  +  1 )  -  1 ) ) ( 1  / 
i ) )  = 
sum_ n  e.  (
1 ... N ) (
sum_ i  e.  ( 1 ... n ) ( 1  /  i
)  /  n ) )
154148, 153oveq12d 6099 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( sum_ i  e.  ( 1 ... (
( N  +  1 )  -  1 ) ) ( 1  / 
i )  x.  sum_ i  e.  ( 1 ... ( ( N  +  1 )  - 
1 ) ) ( 1  /  i ) )  -  ( 0  x.  0 ) )  -  sum_ n  e.  ( 1..^ ( N  + 
1 ) ) ( ( sum_ i  e.  ( 1 ... ( ( n  +  1 )  -  1 ) ) ( 1  /  i
)  -  sum_ i  e.  ( 1 ... (
n  -  1 ) ) ( 1  / 
i ) )  x. 
sum_ i  e.  ( 1 ... ( ( n  +  1 )  -  1 ) ) ( 1  /  i
) ) )  =  ( ( sum_ i  e.  ( 1 ... N
) ( 1  / 
i ) ^ 2 )  -  sum_ n  e.  ( 1 ... N
) ( sum_ i  e.  ( 1 ... n
) ( 1  / 
i )  /  n
) ) )
155109, 132, 1543eqtr3rd 2477 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( 1  /  i
) ^ 2 )  -  sum_ n  e.  ( 1 ... N ) ( sum_ i  e.  ( 1 ... n ) ( 1  /  i
)  /  n ) )  =  sum_ n  e.  ( 1 ... N
) ( sum_ i  e.  ( 1 ... (
n  -  1 ) ) ( 1  / 
i )  /  n
) )
15631recnd 9114 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... N
) ( sum_ i  e.  ( 1 ... n
) ( 1  / 
i )  /  n
)  e.  CC )
15738recnd 9114 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... N
) ( sum_ i  e.  ( 1 ... (
n  -  1 ) ) ( 1  / 
i )  /  n
)  e.  CC )
158146, 156, 157subaddd 9429 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( sum_ i  e.  ( 1 ... N
) ( 1  / 
i ) ^ 2 )  -  sum_ n  e.  ( 1 ... N
) ( sum_ i  e.  ( 1 ... n
) ( 1  / 
i )  /  n
) )  =  sum_ n  e.  ( 1 ... N ) ( sum_ i  e.  ( 1 ... ( n  - 
1 ) ) ( 1  /  i )  /  n )  <->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... N ) ( sum_ i  e.  ( 1 ... n ) ( 1  /  i )  /  n )  + 
sum_ n  e.  (
1 ... N ) (
sum_ i  e.  ( 1 ... ( n  -  1 ) ) ( 1  /  i
)  /  n ) )  =  ( sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( 1  /  i ) ^ 2 ) ) )
159155, 158mpbid 202 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... N ) (
sum_ i  e.  ( 1 ... n ) ( 1  /  i
)  /  n )  +  sum_ n  e.  ( 1 ... N ) ( sum_ i  e.  ( 1 ... ( n  -  1 ) ) ( 1  /  i
)  /  n ) )  =  ( sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( 1  /  i ) ^ 2 ) )
16078, 159breqtrd 4236 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... N ) ( ( log `  n
)  /  n )  +  sum_ n  e.  ( 1 ... N ) ( ( log `  n
)  /  n ) )  <_  ( sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( 1  /  i ) ^ 2 ) )
16124, 160eqbrtrd 4232 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  (
2  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... N
) ( ( log `  n )  /  n
) )  <_  ( sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( 1  /  i ) ^ 2 ) )
162 flid 11216 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( |_ `  N )  =  N )
163110, 162syl 16 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  ( |_ `  N )  =  N )
164163oveq2d 6097 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1 ... ( |_ `  N ) )  =  ( 1 ... N
) )
165164sumeq1d 12495 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ i  e.  ( 1 ... ( |_ `  N ) ) ( 1  /  i
)  =  sum_ i  e.  ( 1 ... N
) ( 1  / 
i ) )
166 nnre 10007 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  RR )
167 nnge1 10026 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  1  <_  N )
168 harmonicubnd 20848 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  RR  /\  1  <_  N )  ->  sum_ i  e.  ( 1 ... ( |_ `  N ) ) ( 1  /  i )  <_  ( ( log `  N )  +  1 ) )
169166, 167, 168syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ i  e.  ( 1 ... ( |_ `  N ) ) ( 1  /  i
)  <_  ( ( log `  N )  +  1 ) )
170165, 169eqbrtrrd 4234 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ i  e.  ( 1 ... N
) ( 1  / 
i )  <_  (
( log `  N
)  +  1 ) )
17114nnrpd 10647 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  i  e.  ( 1 ... N ) )  ->  i  e.  RR+ )
172171rpreccld 10658 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  i  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( 1  / 
i )  e.  RR+ )
173172rpge0d 10652 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  i  e.  ( 1 ... N ) )  ->  0  <_  (
1  /  i ) )
1742, 15, 173fsumge0 12574 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <_ 
sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( 1  /  i
) )
17549a1i 11 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  0  e.  RR )
176 log1 20480 . . . . . . 7  |-  ( log `  1 )  =  0
177 1rp 10616 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  RR+
178 logleb 20498 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1  e.  RR+  /\  N  e.  RR+ )  ->  (
1  <_  N  <->  ( log `  1 )  <_  ( log `  N ) ) )
179177, 18, 178sylancr 645 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  <_  N  <->  ( log `  1 )  <_  ( log `  N ) ) )
180167, 179mpbid 202 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  ( log `  1 )  <_ 
( log `  N
) )
181176, 180syl5eqbrr 4246 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <_  ( log `  N
) )
18219lep1d 9942 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  ( log `  N )  <_ 
( ( log `  N
)  +  1 ) )
183175, 19, 21, 181, 182letrd 9227 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <_  ( ( log `  N
)  +  1 ) )
18416, 21, 174, 183le2sqd 11558 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  ( sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( 1  /  i )  <_  ( ( log `  N )  +  1 )  <->  ( sum_ i  e.  ( 1 ... N
) ( 1  / 
i ) ^ 2 )  <_  ( (
( log `  N
)  +  1 ) ^ 2 ) ) )
185170, 184mpbid 202 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  ( sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( 1  /  i ) ^ 2 )  <_ 
( ( ( log `  N )  +  1 ) ^ 2 ) )
18612, 17, 22, 161, 185letrd 9227 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  (
2  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... N
) ( ( log `  n )  /  n
) )  <_  (
( ( log `  N
)  +  1 ) ^ 2 ) )
1871a1i 11 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  2  e.  RR )
188 2pos 10082 . . . 4  |-  0  <  2
189188a1i 11 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <  2 )
190 lemuldiv2 9890 . . 3  |-  ( (
sum_ n  e.  (
1 ... N ) ( ( log `  n
)  /  n )  e.  RR  /\  (
( ( log `  N
)  +  1 ) ^ 2 )  e.  RR  /\  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  -> 
( ( 2  x. 
sum_ n  e.  (
1 ... N ) ( ( log `  n
)  /  n ) )  <_  ( (
( log `  N
)  +  1 ) ^ 2 )  <->  sum_ n  e.  ( 1 ... N
) ( ( log `  n )  /  n
)  <_  ( (
( ( log `  N
)  +  1 ) ^ 2 )  / 
2 ) ) )
19110, 22, 187, 189, 190syl112anc 1188 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 2  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... N ) ( ( log `  n )  /  n ) )  <_  ( ( ( log `  N )  +  1 ) ^
2 )  <->  sum_ n  e.  ( 1 ... N
) ( ( log `  n )  /  n
)  <_  ( (
( ( log `  N
)  +  1 ) ^ 2 )  / 
2 ) ) )
192186, 191mpbid 202 1  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... N
) ( ( log `  n )  /  n
)  <_  ( (
( ( log `  N
)  +  1 ) ^ 2 )  / 
2 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    C_ wss 3320   (/)c0 3628   class class class wbr 4212   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   CCcc 8988   RRcr 8989   0cc0 8990   1c1 8991    + caddc 8993    x. cmul 8995    < clt 9120    <_ cle 9121    - cmin 9291    / cdiv 9677   NNcn 10000   2c2 10049   NN0cn0 10221   ZZcz 10282   ZZ>=cuz 10488   RR+crp 10612   [,]cicc 10919   ...cfz 11043  ..^cfzo 11135   |_cfl 11201   ^cexp 11382   sum_csu 12479   logclog 20452   gammacem 20830
This theorem is referenced by:  pntlemk  21300
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-inf2 7596  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068  ax-addf 9069  ax-mulf 9070
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-iin 4096  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-se 4542  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-isom 5463  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-of 6305  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-2o 6725  df-oadd 6728  df-er 6905  df-map 7020  df-pm 7021  df-ixp 7064  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-fi 7416  df-sup 7446  df-oi 7479  df-card 7826  df-cda 8048  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-4 10060  df-5 10061  df-6 10062  df-7 10063  df-8 10064  df-9 10065  df-10 10066  df-n0 10222  df-z 10283  df-dec 10383  df-uz 10489  df-q 10575  df-rp 10613  df-xneg 10710  df-xadd 10711  df-xmul 10712  df-ioo 10920  df-ioc 10921  df-ico 10922  df-icc 10923  df-fz 11044  df-fzo 11136  df-fl 11202  df-mod 11251  df-seq 11324  df-exp 11383  df-fac 11567  df-bc 11594  df-hash 11619  df-shft 11882  df-cj 11904  df-re 11905  df-im 11906  df-sqr 12040  df-abs 12041  df-limsup 12265  df-clim 12282  df-rlim 12283  df-sum 12480  df-ef 12670  df-e 12671  df-sin 12672  df-cos 12673  df-pi 12675  df-struct 13471  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-sets 13475  df-ress 13476  df-plusg 13542  df-mulr 13543  df-starv 13544  df-sca 13545  df-vsca 13546  df-tset 13548  df-ple 13549  df-ds 13551  df-unif 13552  df-hom 13553  df-cco 13554  df-rest 13650  df-topn 13651  df-topgen 13667  df-pt 13668  df-prds 13671  df-xrs 13726  df-0g 13727  df-gsum 13728  df-qtop 13733  df-imas 13734  df-xps 13736  df-mre 13811  df-mrc 13812  df-acs 13814  df-mnd 14690  df-submnd 14739  df-mulg 14815  df-cntz 15116  df-cmn 15414  df-psmet 16694  df-xmet 16695  df-met 16696  df-bl 16697  df-mopn 16698  df-fbas 16699  df-fg 16700  df-cnfld 16704  df-top 16963  df-bases 16965  df-topon 16966  df-topsp 16967  df-cld 17083  df-ntr 17084  df-cls 17085  df-nei 17162  df-lp 17200  df-perf 17201  df-cn 17291  df-cnp 17292  df-haus 17379  df-tx 17594  df-hmeo 17787  df-fil 17878  df-fm 17970  df-flim 17971  df-flf 17972  df-xms 18350  df-ms 18351  df-tms 18352  df-cncf 18908  df-limc 19753  df-dv 19754  df-log 20454  df-em 20831
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