Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  logdivbnd Structured version   Unicode version

Theorem logdivbnd 21250
 Description: A bound on a sum of logs, used in pntlemk 21300. This is not as precise as logdivsum 21227 in its asymptotic behavior, but it is valid for all and does not require a limit value. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Apr-2016.)
Assertion
Ref Expression
logdivbnd
Distinct variable group:   ,

Proof of Theorem logdivbnd
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2re 10069 . . . 4
2 fzfid 11312 . . . . 5
3 elfzuz 11055 . . . . . . . . . 10
43adantl 453 . . . . . . . . 9
5 nnuz 10521 . . . . . . . . 9
64, 5syl6eleqr 2527 . . . . . . . 8
76nnrpd 10647 . . . . . . 7
87relogcld 20518 . . . . . 6
98, 6nndivred 10048 . . . . 5
102, 9fsumrecl 12528 . . . 4
11 remulcl 9075 . . . 4
121, 10, 11sylancr 645 . . 3
13 elfznn 11080 . . . . . . 7
1413adantl 453 . . . . . 6
1514nnrecred 10045 . . . . 5
162, 15fsumrecl 12528 . . . 4
1716resqcld 11549 . . 3
18 nnrp 10621 . . . . . 6
1918relogcld 20518 . . . . 5
20 peano2re 9239 . . . . 5
2119, 20syl 16 . . . 4
2221resqcld 11549 . . 3
2310recnd 9114 . . . . 5
24232timesd 10210 . . . 4
25 fzfid 11312 . . . . . . . . 9
26 elfznn 11080 . . . . . . . . . . 11
2726adantl 453 . . . . . . . . . 10
2827nnrecred 10045 . . . . . . . . 9
2925, 28fsumrecl 12528 . . . . . . . 8
3029, 6nndivred 10048 . . . . . . 7
312, 30fsumrecl 12528 . . . . . 6
32 fzfid 11312 . . . . . . . . 9
33 elfznn 11080 . . . . . . . . . . 11
3433adantl 453 . . . . . . . . . 10
3534nnrecred 10045 . . . . . . . . 9
3632, 35fsumrecl 12528 . . . . . . . 8
3736, 6nndivred 10048 . . . . . . 7
382, 37fsumrecl 12528 . . . . . 6
396nncnd 10016 . . . . . . . . . . . . . . 15
40 ax-1cn 9048 . . . . . . . . . . . . . . 15
41 npcan 9314 . . . . . . . . . . . . . . 15
4239, 40, 41sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . 14
4342fveq2d 5732 . . . . . . . . . . . . 13
4443oveq2d 6097 . . . . . . . . . . . 12
45 nnm1nn0 10261 . . . . . . . . . . . . 13
46 harmonicbnd3 20846 . . . . . . . . . . . . 13
476, 45, 463syl 19 . . . . . . . . . . . 12
4844, 47eqeltrrd 2511 . . . . . . . . . . 11
49 0re 9091 . . . . . . . . . . . . 13
50 emre 20844 . . . . . . . . . . . . 13
5149, 50elicc2i 10976 . . . . . . . . . . . 12
5251simp2bi 973 . . . . . . . . . . 11
5348, 52syl 16 . . . . . . . . . 10
5436, 8subge0d 9616 . . . . . . . . . 10
5553, 54mpbid 202 . . . . . . . . 9
568, 36, 7, 55lediv1dd 10702 . . . . . . . 8
5727nnrpd 10647 . . . . . . . . . . . 12
5857rpreccld 10658 . . . . . . . . . . 11
5958rpge0d 10652 . . . . . . . . . 10
60 elfzelz 11059 . . . . . . . . . . . . . 14
6160adantl 453 . . . . . . . . . . . . 13
62 peano2zm 10320 . . . . . . . . . . . . 13
6361, 62syl 16 . . . . . . . . . . . 12
646nnred 10015 . . . . . . . . . . . . 13
6564lem1d 9944 . . . . . . . . . . . 12
66 eluz2 10494 . . . . . . . . . . . 12
6763, 61, 65, 66syl3anbrc 1138 . . . . . . . . . . 11
68 fzss2 11092 . . . . . . . . . . 11
6967, 68syl 16 . . . . . . . . . 10
7025, 28, 59, 69fsumless 12575 . . . . . . . . 9
716nngt0d 10043 . . . . . . . . . 10
72 lediv1 9875 . . . . . . . . . 10
7336, 29, 64, 71, 72syl112anc 1188 . . . . . . . . 9
7470, 73mpbid 202 . . . . . . . 8
759, 37, 30, 56, 74letrd 9227 . . . . . . 7
762, 9, 30, 75fsumle 12578 . . . . . 6
772, 9, 37, 56fsumle 12578 . . . . . 6
7810, 10, 31, 38, 76, 77le2addd 9644 . . . . 5
79 oveq1 6088 . . . . . . . . . . 11
8079oveq2d 6097 . . . . . . . . . 10
8180sumeq1d 12495 . . . . . . . . 9
8281, 81jca 519 . . . . . . . 8
83 oveq1 6088 . . . . . . . . . . 11
8483oveq2d 6097 . . . . . . . . . 10
8584sumeq1d 12495 . . . . . . . . 9
8685, 85jca 519 . . . . . . . 8
87 oveq1 6088 . . . . . . . . . . . . . 14
88 1m1e0 10068 . . . . . . . . . . . . . 14
8987, 88syl6eq 2484 . . . . . . . . . . . . 13
9089oveq2d 6097 . . . . . . . . . . . 12
91 fz10 11075 . . . . . . . . . . . 12
9290, 91syl6eq 2484 . . . . . . . . . . 11
9392sumeq1d 12495 . . . . . . . . . 10
94 sum0 12515 . . . . . . . . . 10
9593, 94syl6eq 2484 . . . . . . . . 9
9695, 95jca 519 . . . . . . . 8
97 oveq1 6088 . . . . . . . . . . 11
9897oveq2d 6097 . . . . . . . . . 10
9998sumeq1d 12495 . . . . . . . . 9
10099, 99jca 519 . . . . . . . 8
101 peano2nn 10012 . . . . . . . . 9
102101, 5syl6eleq 2526 . . . . . . . 8
103 fzfid 11312 . . . . . . . . . 10
104 elfznn 11080 . . . . . . . . . . . 12
105104adantl 453 . . . . . . . . . . 11
106105nnrecred 10045 . . . . . . . . . 10
107103, 106fsumrecl 12528 . . . . . . . . 9
108107recnd 9114 . . . . . . . 8
10982, 86, 96, 100, 102, 108, 108fsumparts 12585 . . . . . . 7 ..^ ..^
110 nnz 10303 . . . . . . . . . 10
111 fzval3 11180 . . . . . . . . . 10 ..^
112110, 111syl 16 . . . . . . . . 9 ..^
113112eqcomd 2441 . . . . . . . 8 ..^
114 pncan 9311 . . . . . . . . . . . . . . . 16
11539, 40, 114sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . . 15
116115oveq2d 6097 . . . . . . . . . . . . . 14
117116sumeq1d 12495 . . . . . . . . . . . . 13
11828recnd 9114 . . . . . . . . . . . . . 14
119 oveq2 6089 . . . . . . . . . . . . . 14
1204, 118, 119fsumm1 12537 . . . . . . . . . . . . 13
121117, 120eqtrd 2468 . . . . . . . . . . . 12
122121oveq1d 6096 . . . . . . . . . . 11
12336recnd 9114 . . . . . . . . . . . 12
1246nnrecred 10045 . . . . . . . . . . . . 13
125124recnd 9114 . . . . . . . . . . . 12
126123, 125pncan2d 9413 . . . . . . . . . . 11
127122, 126eqtrd 2468 . . . . . . . . . 10
128127oveq2d 6097 . . . . . . . . 9
1296nnne0d 10044 . . . . . . . . . 10
130123, 39, 129divrecd 9793 . . . . . . . . 9
131128, 130eqtr4d 2471 . . . . . . . 8
132113, 131sumeq12rdv 12501 . . . . . . 7 ..^
133 nncn 10008 . . . . . . . . . . . . . . 15
134 pncan 9311 . . . . . . . . . . . . . . 15
135133, 40, 134sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . 14
136135oveq2d 6097 . . . . . . . . . . . . 13
137136sumeq1d 12495 . . . . . . . . . . . 12
138137, 137oveq12d 6099 . . . . . . . . . . 11
13916recnd 9114 . . . . . . . . . . . 12
140139sqvald 11520 . . . . . . . . . . 11
141138, 140eqtr4d 2471 . . . . . . . . . 10
142 0cn 9084 . . . . . . . . . . . 12
143142mul01i 9256 . . . . . . . . . . 11
144143a1i 11 . . . . . . . . . 10
145141, 144oveq12d 6099 . . . . . . . . 9
146139sqcld 11521 . . . . . . . . . 10
147146subid1d 9400 . . . . . . . . 9
148145, 147eqtrd 2468 . . . . . . . 8
149127, 117oveq12d 6099 . . . . . . . . . 10
15029recnd 9114 . . . . . . . . . . 11
151150, 39, 129divrec2d 9794 . . . . . . . . . 10
152149, 151eqtr4d 2471 . . . . . . . . 9
153113, 152sumeq12rdv 12501 . . . . . . . 8 ..^
154148, 153oveq12d 6099 . . . . . . 7 ..^
155109, 132, 1543eqtr3rd 2477 . . . . . 6
15631recnd 9114 . . . . . . 7
15738recnd 9114 . . . . . . 7
158146, 156, 157subaddd 9429 . . . . . 6
159155, 158mpbid 202 . . . . 5
16078, 159breqtrd 4236 . . . 4
16124, 160eqbrtrd 4232 . . 3
162 flid 11216 . . . . . . . 8
163110, 162syl 16 . . . . . . 7
164163oveq2d 6097 . . . . . 6
165164sumeq1d 12495 . . . . 5
166 nnre 10007 . . . . . 6
167 nnge1 10026 . . . . . 6
168 harmonicubnd 20848 . . . . . 6
169166, 167, 168syl2anc 643 . . . . 5
170165, 169eqbrtrrd 4234 . . . 4
17114nnrpd 10647 . . . . . . . 8
172171rpreccld 10658 . . . . . . 7
173172rpge0d 10652 . . . . . 6
1742, 15, 173fsumge0 12574 . . . . 5
17549a1i 11 . . . . . 6
176 log1 20480 . . . . . . 7
177 1rp 10616 . . . . . . . . 9
178 logleb 20498 . . . . . . . . 9
179177, 18, 178sylancr 645 . . . . . . . 8
180167, 179mpbid 202 . . . . . . 7
181176, 180syl5eqbrr 4246 . . . . . 6
18219lep1d 9942 . . . . . 6
183175, 19, 21, 181, 182letrd 9227 . . . . 5
18416, 21, 174, 183le2sqd 11558 . . . 4
185170, 184mpbid 202 . . 3
18612, 17, 22, 161, 185letrd 9227 . 2
1871a1i 11 . . 3
188 2pos 10082 . . . 4
189188a1i 11 . . 3
190 lemuldiv2 9890 . . 3
19110, 22, 187, 189, 190syl112anc 1188 . 2
192186, 191mpbid 202 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   wceq 1652   wcel 1725   wss 3320  c0 3628   class class class wbr 4212  cfv 5454  (class class class)co 6081  cc 8988  cr 8989  cc0 8990  c1 8991   caddc 8993   cmul 8995   clt 9120   cle 9121   cmin 9291   cdiv 9677  cn 10000  c2 10049  cn0 10221  cz 10282  cuz 10488  crp 10612  cicc 10919  cfz 11043  ..^cfzo 11135  cfl 11201  cexp 11382  csu 12479  clog 20452  cem 20830 This theorem is referenced by:  pntlemk  21300 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-inf2 7596  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068  ax-addf 9069  ax-mulf 9070 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-iin 4096  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-se 4542  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-isom 5463  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-of 6305  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-2o 6725  df-oadd 6728  df-er 6905  df-map 7020  df-pm 7021  df-ixp 7064  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-fi 7416  df-sup 7446  df-oi 7479  df-card 7826  df-cda 8048  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-4 10060  df-5 10061  df-6 10062  df-7 10063  df-8 10064  df-9 10065  df-10 10066  df-n0 10222  df-z 10283  df-dec 10383  df-uz 10489  df-q 10575  df-rp 10613  df-xneg 10710  df-xadd 10711  df-xmul 10712  df-ioo 10920  df-ioc 10921  df-ico 10922  df-icc 10923  df-fz 11044  df-fzo 11136  df-fl 11202  df-mod 11251  df-seq 11324  df-exp 11383  df-fac 11567  df-bc 11594  df-hash 11619  df-shft 11882  df-cj 11904  df-re 11905  df-im 11906  df-sqr 12040  df-abs 12041  df-limsup 12265  df-clim 12282  df-rlim 12283  df-sum 12480  df-ef 12670  df-e 12671  df-sin 12672  df-cos 12673  df-pi 12675  df-struct 13471  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-sets 13475  df-ress 13476  df-plusg 13542  df-mulr 13543  df-starv 13544  df-sca 13545  df-vsca 13546  df-tset 13548  df-ple 13549  df-ds 13551  df-unif 13552  df-hom 13553  df-cco 13554  df-rest 13650  df-topn 13651  df-topgen 13667  df-pt 13668  df-prds 13671  df-xrs 13726  df-0g 13727  df-gsum 13728  df-qtop 13733  df-imas 13734  df-xps 13736  df-mre 13811  df-mrc 13812  df-acs 13814  df-mnd 14690  df-submnd 14739  df-mulg 14815  df-cntz 15116  df-cmn 15414  df-psmet 16694  df-xmet 16695  df-met 16696  df-bl 16697  df-mopn 16698  df-fbas 16699  df-fg 16700  df-cnfld 16704  df-top 16963  df-bases 16965  df-topon 16966  df-topsp 16967  df-cld 17083  df-ntr 17084  df-cls 17085  df-nei 17162  df-lp 17200  df-perf 17201  df-cn 17291  df-cnp 17292  df-haus 17379  df-tx 17594  df-hmeo 17787  df-fil 17878  df-fm 17970  df-flim 17971  df-flf 17972  df-xms 18350  df-ms 18351  df-tms 18352  df-cncf 18908  df-limc 19753  df-dv 19754  df-log 20454  df-em 20831
 Copyright terms: Public domain W3C validator