MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  logdivsum Unicode version

Theorem logdivsum 20682
Description: Asymptotic analysis of  sum_ n  <_  x ,  log n  /  n  =  ( log x ) ^ 2  /  2  +  L  +  O ( log x  /  x ). (Contributed by Mario Carneiro, 18-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
logdivsum.1  |-  F  =  ( y  e.  RR+  |->  ( sum_ i  e.  ( 1 ... ( |_
`  y ) ) ( ( log `  i
)  /  i )  -  ( ( ( log `  y ) ^ 2 )  / 
2 ) ) )
Assertion
Ref Expression
logdivsum  |-  ( F : RR+ --> RR  /\  F  e.  dom  ~~> r  /\  (
( F  ~~> r  L  /\  A  e.  RR+  /\  _e  <_  A )  ->  ( abs `  ( ( F `
 A )  -  L ) )  <_ 
( ( log `  A
)  /  A ) ) )
Distinct variable group:    y, i, A
Allowed substitution hints:    F( y, i)    L( y, i)

Proof of Theorem logdivsum
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ioorp 10727 . . . 4  |-  ( 0 (,)  +oo )  =  RR+
21eqcomi 2287 . . 3  |-  RR+  =  ( 0 (,)  +oo )
3 nnuz 10263 . . 3  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
4 1z 10053 . . . 4  |-  1  e.  ZZ
54a1i 10 . . 3  |-  (  T. 
->  1  e.  ZZ )
6 ere 12370 . . . 4  |-  _e  e.  RR
76a1i 10 . . 3  |-  (  T. 
->  _e  e.  RR )
8 0re 8838 . . . . . 6  |-  0  e.  RR
9 epos 12485 . . . . . 6  |-  0  <  _e
108, 6, 9ltleii 8941 . . . . 5  |-  0  <_  _e
1110a1i 10 . . . 4  |-  (  T. 
->  0  <_  _e )
12 1re 8837 . . . . 5  |-  1  e.  RR
13 addge02 9285 . . . . 5  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  _e  e.  RR )  -> 
( 0  <_  _e  <->  1  <_  ( _e  + 
1 ) ) )
1412, 6, 13mp2an 653 . . . 4  |-  ( 0  <_  _e  <->  1  <_  ( _e  +  1 ) )
1511, 14sylib 188 . . 3  |-  (  T. 
->  1  <_  ( _e  +  1 ) )
168a1i 10 . . 3  |-  (  T. 
->  0  e.  RR )
17 relogcl 19932 . . . . . 6  |-  ( y  e.  RR+  ->  ( log `  y )  e.  RR )
1817adantl 452 . . . . 5  |-  ( (  T.  /\  y  e.  RR+ )  ->  ( log `  y )  e.  RR )
1918resqcld 11271 . . . 4  |-  ( (  T.  /\  y  e.  RR+ )  ->  ( ( log `  y ) ^ 2 )  e.  RR )
2019rehalfcld 9958 . . 3  |-  ( (  T.  /\  y  e.  RR+ )  ->  ( ( ( log `  y
) ^ 2 )  /  2 )  e.  RR )
21 rerpdivcl 10381 . . . . 5  |-  ( ( ( log `  y
)  e.  RR  /\  y  e.  RR+ )  -> 
( ( log `  y
)  /  y )  e.  RR )
2217, 21mpancom 650 . . . 4  |-  ( y  e.  RR+  ->  ( ( log `  y )  /  y )  e.  RR )
2322adantl 452 . . 3  |-  ( (  T.  /\  y  e.  RR+ )  ->  ( ( log `  y )  /  y )  e.  RR )
24 nnrp 10363 . . . 4  |-  ( y  e.  NN  ->  y  e.  RR+ )
2524, 23sylan2 460 . . 3  |-  ( (  T.  /\  y  e.  NN )  ->  (
( log `  y
)  /  y )  e.  RR )
26 reex 8828 . . . . . . 7  |-  RR  e.  _V
2726prid1 3734 . . . . . 6  |-  RR  e.  { RR ,  CC }
2827a1i 10 . . . . 5  |-  (  T. 
->  RR  e.  { RR ,  CC } )
29 cnex 8818 . . . . . . 7  |-  CC  e.  _V
3029prid2 3735 . . . . . 6  |-  CC  e.  { RR ,  CC }
3130a1i 10 . . . . 5  |-  (  T. 
->  CC  e.  { RR ,  CC } )
3218recnd 8861 . . . . 5  |-  ( (  T.  /\  y  e.  RR+ )  ->  ( log `  y )  e.  CC )
33 ovex 5883 . . . . . 6  |-  ( 1  /  y )  e. 
_V
3433a1i 10 . . . . 5  |-  ( (  T.  /\  y  e.  RR+ )  ->  ( 1  /  y )  e. 
_V )
35 sqcl 11166 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  CC  ->  (
x ^ 2 )  e.  CC )
3635adantl 452 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  x  e.  CC )  ->  (
x ^ 2 )  e.  CC )
3736halfcld 9956 . . . . 5  |-  ( (  T.  /\  x  e.  CC )  ->  (
( x ^ 2 )  /  2 )  e.  CC )
38 simpr 447 . . . . 5  |-  ( (  T.  /\  x  e.  CC )  ->  x  e.  CC )
39 dvrelog 19984 . . . . . 6  |-  ( RR 
_D  ( log  |`  RR+ )
)  =  ( y  e.  RR+  |->  ( 1  /  y ) )
40 relogf1o 19924 . . . . . . . . . 10  |-  ( log  |`  RR+ ) : RR+ -1-1-onto-> RR
41 f1of 5472 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( log  |`  RR+ ) :
RR+
-1-1-onto-> RR  ->  ( log  |`  RR+ ) : RR+ --> RR )
4240, 41mp1i 11 . . . . . . . . 9  |-  (  T. 
->  ( log  |`  RR+ ) : RR+ --> RR )
4342feqmptd 5575 . . . . . . . 8  |-  (  T. 
->  ( log  |`  RR+ )  =  ( y  e.  RR+  |->  ( ( log  |`  RR+ ) `  y
) ) )
44 fvres 5542 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  RR+  ->  ( ( log  |`  RR+ ) `  y )  =  ( log `  y ) )
4544mpteq2ia 4102 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  RR+  |->  ( ( log  |`  RR+ ) `  y ) )  =  ( y  e.  RR+  |->  ( log `  y ) )
4643, 45syl6eq 2331 . . . . . . 7  |-  (  T. 
->  ( log  |`  RR+ )  =  ( y  e.  RR+  |->  ( log `  y
) ) )
4746oveq2d 5874 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  ( RR  _D  ( log  |`  RR+ ) )  =  ( RR  _D  (
y  e.  RR+  |->  ( log `  y ) ) ) )
4839, 47syl5reqr 2330 . . . . 5  |-  (  T. 
->  ( RR  _D  (
y  e.  RR+  |->  ( log `  y ) ) )  =  ( y  e.  RR+  |->  ( 1  / 
y ) ) )
49 ovex 5883 . . . . . . . 8  |-  ( 2  x.  x )  e. 
_V
5049a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  x  e.  CC )  ->  (
2  x.  x )  e.  _V )
51 2nn 9877 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  NN
52 dvexp 19302 . . . . . . . . 9  |-  ( 2  e.  NN  ->  ( CC  _D  ( x  e.  CC  |->  ( x ^
2 ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( 2  x.  ( x ^ (
2  -  1 ) ) ) ) )
5351, 52mp1i 11 . . . . . . . 8  |-  (  T. 
->  ( CC  _D  (
x  e.  CC  |->  ( x ^ 2 ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( 2  x.  ( x ^ ( 2  -  1 ) ) ) ) )
54 2cn 9816 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  e.  CC
55 ax-1cn 8795 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  e.  CC
56 1p1e2 9840 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1  +  1 )  =  2
5754, 55, 55, 56subaddrii 9135 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2  -  1 )  =  1
5857oveq2i 5869 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x ^ ( 2  -  1 ) )  =  ( x ^ 1 )
59 exp1 11109 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  CC  ->  (
x ^ 1 )  =  x )
6059adantl 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  T.  /\  x  e.  CC )  ->  (
x ^ 1 )  =  x )
6158, 60syl5eq 2327 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  T.  /\  x  e.  CC )  ->  (
x ^ ( 2  -  1 ) )  =  x )
6261oveq2d 5874 . . . . . . . . 9  |-  ( (  T.  /\  x  e.  CC )  ->  (
2  x.  ( x ^ ( 2  -  1 ) ) )  =  ( 2  x.  x ) )
6362mpteq2dva 4106 . . . . . . . 8  |-  (  T. 
->  ( x  e.  CC  |->  ( 2  x.  (
x ^ ( 2  -  1 ) ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( 2  x.  x ) ) )
6453, 63eqtrd 2315 . . . . . . 7  |-  (  T. 
->  ( CC  _D  (
x  e.  CC  |->  ( x ^ 2 ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( 2  x.  x ) ) )
6554a1i 10 . . . . . . 7  |-  (  T. 
->  2  e.  CC )
66 2ne0 9829 . . . . . . . 8  |-  2  =/=  0
6766a1i 10 . . . . . . 7  |-  (  T. 
->  2  =/=  0
)
6831, 36, 50, 64, 65, 67dvmptdivc 19314 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  ( CC  _D  (
x  e.  CC  |->  ( ( x ^ 2 )  /  2 ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( ( 2  x.  x
)  /  2 ) ) )
69 divcan3 9448 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  CC  /\  2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )  ->  (
( 2  x.  x
)  /  2 )  =  x )
7054, 66, 69mp3an23 1269 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  CC  ->  (
( 2  x.  x
)  /  2 )  =  x )
7170adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  x  e.  CC )  ->  (
( 2  x.  x
)  /  2 )  =  x )
7271mpteq2dva 4106 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  ( x  e.  CC  |->  ( ( 2  x.  x )  /  2
) )  =  ( x  e.  CC  |->  x ) )
7368, 72eqtrd 2315 . . . . 5  |-  (  T. 
->  ( CC  _D  (
x  e.  CC  |->  ( ( x ^ 2 )  /  2 ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  x ) )
74 oveq1 5865 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( log `  y
)  ->  ( x ^ 2 )  =  ( ( log `  y
) ^ 2 ) )
7574oveq1d 5873 . . . . 5  |-  ( x  =  ( log `  y
)  ->  ( (
x ^ 2 )  /  2 )  =  ( ( ( log `  y ) ^ 2 )  /  2 ) )
76 id 19 . . . . 5  |-  ( x  =  ( log `  y
)  ->  x  =  ( log `  y ) )
7728, 31, 32, 34, 37, 38, 48, 73, 75, 76dvmptco 19321 . . . 4  |-  (  T. 
->  ( RR  _D  (
y  e.  RR+  |->  ( ( ( log `  y
) ^ 2 )  /  2 ) ) )  =  ( y  e.  RR+  |->  ( ( log `  y )  x.  ( 1  / 
y ) ) ) )
78 rpcn 10362 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  RR+  ->  y  e.  CC )
7978adantl 452 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  y  e.  RR+ )  ->  y  e.  CC )
80 rpne0 10369 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  RR+  ->  y  =/=  0 )
8180adantl 452 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  y  e.  RR+ )  ->  y  =/=  0 )
8232, 79, 81divrecd 9539 . . . . 5  |-  ( (  T.  /\  y  e.  RR+ )  ->  ( ( log `  y )  /  y )  =  ( ( log `  y
)  x.  ( 1  /  y ) ) )
8382mpteq2dva 4106 . . . 4  |-  (  T. 
->  ( y  e.  RR+  |->  ( ( log `  y
)  /  y ) )  =  ( y  e.  RR+  |->  ( ( log `  y )  x.  ( 1  / 
y ) ) ) )
8477, 83eqtr4d 2318 . . 3  |-  (  T. 
->  ( RR  _D  (
y  e.  RR+  |->  ( ( ( log `  y
) ^ 2 )  /  2 ) ) )  =  ( y  e.  RR+  |->  ( ( log `  y )  /  y ) ) )
85 fveq2 5525 . . . 4  |-  ( y  =  i  ->  ( log `  y )  =  ( log `  i
) )
86 id 19 . . . 4  |-  ( y  =  i  ->  y  =  i )
8785, 86oveq12d 5876 . . 3  |-  ( y  =  i  ->  (
( log `  y
)  /  y )  =  ( ( log `  i )  /  i
) )
88 simp3r 984 . . . 4  |-  ( (  T.  /\  ( y  e.  RR+  /\  i  e.  RR+ )  /\  (
_e  <_  y  /\  y  <_  i ) )  -> 
y  <_  i )
89 simp2l 981 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  ( y  e.  RR+  /\  i  e.  RR+ )  /\  (
_e  <_  y  /\  y  <_  i ) )  -> 
y  e.  RR+ )
9089rpred 10390 . . . . 5  |-  ( (  T.  /\  ( y  e.  RR+  /\  i  e.  RR+ )  /\  (
_e  <_  y  /\  y  <_  i ) )  -> 
y  e.  RR )
91 simp3l 983 . . . . 5  |-  ( (  T.  /\  ( y  e.  RR+  /\  i  e.  RR+ )  /\  (
_e  <_  y  /\  y  <_  i ) )  ->  _e  <_  y )
92 simp2r 982 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  ( y  e.  RR+  /\  i  e.  RR+ )  /\  (
_e  <_  y  /\  y  <_  i ) )  -> 
i  e.  RR+ )
9392rpred 10390 . . . . 5  |-  ( (  T.  /\  ( y  e.  RR+  /\  i  e.  RR+ )  /\  (
_e  <_  y  /\  y  <_  i ) )  -> 
i  e.  RR )
946a1i 10 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  ( y  e.  RR+  /\  i  e.  RR+ )  /\  (
_e  <_  y  /\  y  <_  i ) )  ->  _e  e.  RR )
9594, 90, 93, 91, 88letrd 8973 . . . . 5  |-  ( (  T.  /\  ( y  e.  RR+  /\  i  e.  RR+ )  /\  (
_e  <_  y  /\  y  <_  i ) )  ->  _e  <_  i )
96 logdivle 19973 . . . . 5  |-  ( ( ( y  e.  RR  /\  _e  <_  y )  /\  ( i  e.  RR  /\  _e  <_  i )
)  ->  ( y  <_  i  <->  ( ( log `  i )  /  i
)  <_  ( ( log `  y )  / 
y ) ) )
9790, 91, 93, 95, 96syl22anc 1183 . . . 4  |-  ( (  T.  /\  ( y  e.  RR+  /\  i  e.  RR+ )  /\  (
_e  <_  y  /\  y  <_  i ) )  -> 
( y  <_  i  <->  ( ( log `  i
)  /  i )  <_  ( ( log `  y )  /  y
) ) )
9888, 97mpbid 201 . . 3  |-  ( (  T.  /\  ( y  e.  RR+  /\  i  e.  RR+ )  /\  (
_e  <_  y  /\  y  <_  i ) )  -> 
( ( log `  i
)  /  i )  <_  ( ( log `  y )  /  y
) )
99 logdivsum.1 . . 3  |-  F  =  ( y  e.  RR+  |->  ( sum_ i  e.  ( 1 ... ( |_
`  y ) ) ( ( log `  i
)  /  i )  -  ( ( ( log `  y ) ^ 2 )  / 
2 ) ) )
10078cxp1d 20053 . . . . . 6  |-  ( y  e.  RR+  ->  ( y  ^ c  1 )  =  y )
101100oveq2d 5874 . . . . 5  |-  ( y  e.  RR+  ->  ( ( log `  y )  /  ( y  ^ c  1 ) )  =  ( ( log `  y )  /  y
) )
102101mpteq2ia 4102 . . . 4  |-  ( y  e.  RR+  |->  ( ( log `  y )  /  ( y  ^ c  1 ) ) )  =  ( y  e.  RR+  |->  ( ( log `  y )  /  y ) )
103 1rp 10358 . . . . 5  |-  1  e.  RR+
104 cxploglim 20272 . . . . 5  |-  ( 1  e.  RR+  ->  ( y  e.  RR+  |->  ( ( log `  y )  /  ( y  ^ c  1 ) ) )  ~~> r  0 )
105103, 104mp1i 11 . . . 4  |-  (  T. 
->  ( y  e.  RR+  |->  ( ( log `  y
)  /  ( y  ^ c  1 ) ) )  ~~> r  0 )
106102, 105syl5eqbrr 4057 . . 3  |-  (  T. 
->  ( y  e.  RR+  |->  ( ( log `  y
)  /  y ) )  ~~> r  0 )
107 fveq2 5525 . . . 4  |-  ( y  =  A  ->  ( log `  y )  =  ( log `  A
) )
108 id 19 . . . 4  |-  ( y  =  A  ->  y  =  A )
109107, 108oveq12d 5876 . . 3  |-  ( y  =  A  ->  (
( log `  y
)  /  y )  =  ( ( log `  A )  /  A
) )
1102, 3, 5, 7, 15, 16, 20, 23, 25, 84, 87, 98, 99, 106, 109dvfsumrlim3 19380 . 2  |-  (  T. 
->  ( F : RR+ --> RR 
/\  F  e.  dom  ~~> r  /\  ( ( F  ~~> r  L  /\  A  e.  RR+  /\  _e  <_  A )  ->  ( abs `  ( ( F `  A )  -  L
) )  <_  (
( log `  A
)  /  A ) ) ) )
111110trud 1314 1  |-  ( F : RR+ --> RR  /\  F  e.  dom  ~~> r  /\  (
( F  ~~> r  L  /\  A  e.  RR+  /\  _e  <_  A )  ->  ( abs `  ( ( F `
 A )  -  L ) )  <_ 
( ( log `  A
)  /  A ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    T. wtru 1307    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   _Vcvv 2788   {cpr 3641   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077   dom cdm 4689    |` cres 4691   -->wf 5251   -1-1-onto->wf1o 5254   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   CCcc 8735   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738    + caddc 8740    x. cmul 8742    +oocpnf 8864    <_ cle 8868    - cmin 9037    / cdiv 9423   NNcn 9746   2c2 9795   ZZcz 10024   RR+crp 10354   (,)cioo 10656   ...cfz 10782   |_cfl 10924   ^cexp 11104   abscabs 11719    ~~> r crli 11959   sum_csu 12158   _eceu 12344    _D cdv 19213   logclog 19912    ^ c ccxp 19913
This theorem is referenced by:  mulog2sumlem1  20683  mulog2sum  20686  vmalogdivsum2  20687
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-addf 8816  ax-mulf 8817
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-fi 7165  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-ioo 10660  df-ioc 10661  df-ico 10662  df-icc 10663  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-mod 10974  df-seq 11047  df-exp 11105  df-fac 11289  df-bc 11316  df-hash 11338  df-shft 11562  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-limsup 11945  df-clim 11962  df-rlim 11963  df-sum 12159  df-ef 12349  df-e 12350  df-sin 12351  df-cos 12352  df-pi 12354  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-starv 13223  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-hom 13232  df-cco 13233  df-rest 13327  df-topn 13328  df-topgen 13344  df-pt 13345  df-prds 13348  df-xrs 13403  df-0g 13404  df-gsum 13405  df-qtop 13410  df-imas 13411  df-xps 13413  df-mre 13488  df-mrc 13489  df-acs 13491  df-mnd 14367  df-submnd 14416  df-mulg 14492  df-cntz 14793  df-cmn 15091  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-cnfld 16378  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-topsp 16640  df-cld 16756  df-ntr 16757  df-cls 16758  df-nei 16835  df-lp 16868  df-perf 16869  df-cn 16957  df-cnp 16958  df-haus 17043  df-cmp 17114  df-tx 17257  df-hmeo 17446  df-fbas 17520  df-fg 17521  df-fil 17541  df-fm 17633  df-flim 17634  df-flf 17635  df-xms 17885  df-ms 17886  df-tms 17887  df-cncf 18382  df-limc 19216  df-dv 19217  df-log 19914  df-cxp 19915
  Copyright terms: Public domain W3C validator