MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  logdmopn Unicode version

Theorem logdmopn 20493
Description: The "continuous domain" of  log is an open set. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Apr-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
logcn.d  |-  D  =  ( CC  \  (  -oo (,] 0 ) )
Assertion
Ref Expression
logdmopn  |-  D  e.  ( TopOpen ` fld )

Proof of Theorem logdmopn
StepHypRef Expression
1 logcn.d . 2  |-  D  =  ( CC  \  (  -oo (,] 0 ) )
2 eqid 2404 . . . . 5  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
32recld2 18798 . . . 4  |-  RR  e.  ( Clsd `  ( TopOpen ` fld ) )
4 0re 9047 . . . . . 6  |-  0  e.  RR
5 iocmnfcld 18756 . . . . . 6  |-  ( 0  e.  RR  ->  (  -oo (,] 0 )  e.  ( Clsd `  ( topGen `
 ran  (,) )
) )
64, 5ax-mp 8 . . . . 5  |-  (  -oo (,] 0 )  e.  (
Clsd `  ( topGen ` 
ran  (,) ) )
72tgioo2 18787 . . . . . 6  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  RR )
87fveq2i 5690 . . . . 5  |-  ( Clsd `  ( topGen `  ran  (,) )
)  =  ( Clsd `  ( ( TopOpen ` fld )t  RR ) )
96, 8eleqtri 2476 . . . 4  |-  (  -oo (,] 0 )  e.  (
Clsd `  ( ( TopOpen
` fld
)t 
RR ) )
10 restcldr 17192 . . . 4  |-  ( ( RR  e.  ( Clsd `  ( TopOpen ` fld ) )  /\  (  -oo (,] 0 )  e.  ( Clsd `  (
( TopOpen ` fld )t  RR ) ) )  ->  (  -oo (,] 0 )  e.  (
Clsd `  ( TopOpen ` fld ) ) )
113, 9, 10mp2an 654 . . 3  |-  (  -oo (,] 0 )  e.  (
Clsd `  ( TopOpen ` fld ) )
122cnfldtopon 18770 . . . . 5  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )
1312toponunii 16952 . . . 4  |-  CC  =  U. ( TopOpen ` fld )
1413cldopn 17050 . . 3  |-  ( ( 
-oo (,] 0 )  e.  ( Clsd `  ( TopOpen
` fld
) )  ->  ( CC  \  (  -oo (,] 0 ) )  e.  ( TopOpen ` fld ) )
1511, 14ax-mp 8 . 2  |-  ( CC 
\  (  -oo (,] 0 ) )  e.  ( TopOpen ` fld )
161, 15eqeltri 2474 1  |-  D  e.  ( TopOpen ` fld )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1649    e. wcel 1721    \ cdif 3277   ran crn 4838   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   CCcc 8944   RRcr 8945   0cc0 8946    -oocmnf 9074   (,)cioo 10872   (,]cioc 10873   ↾t crest 13603   TopOpenctopn 13604   topGenctg 13620  ℂfldccnfld 16658   Clsdccld 17035
This theorem is referenced by:  dvlog  20495  efopnlem2  20501  atansopn  20725
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-fi 7374  df-sup 7404  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-xneg 10666  df-xadd 10667  df-xmul 10668  df-ioo 10876  df-ioc 10877  df-fz 11000  df-seq 11279  df-exp 11338  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-starv 13499  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-unif 13507  df-rest 13605  df-topn 13606  df-topgen 13622  df-psmet 16649  df-xmet 16650  df-met 16651  df-bl 16652  df-mopn 16653  df-cnfld 16659  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-topsp 16922  df-cld 17038  df-xms 18303  df-ms 18304
  Copyright terms: Public domain W3C validator