MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  logdmss Unicode version

Theorem logdmss 20494
Description: The continuity domain of  log is a subset of the regular domain of  log. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
logcn.d  |-  D  =  ( CC  \  (  -oo (,] 0 ) )
Assertion
Ref Expression
logdmss  |-  D  C_  ( CC  \  { 0 } )

Proof of Theorem logdmss
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 logcn.d . . . . 5  |-  D  =  ( CC  \  (  -oo (,] 0 ) )
21ellogdm 20491 . . . 4  |-  ( x  e.  D  <->  ( x  e.  CC  /\  ( x  e.  RR  ->  x  e.  RR+ ) ) )
32simplbi 447 . . 3  |-  ( x  e.  D  ->  x  e.  CC )
41logdmn0 20492 . . 3  |-  ( x  e.  D  ->  x  =/=  0 )
5 eldifsn 3895 . . 3  |-  ( x  e.  ( CC  \  { 0 } )  <-> 
( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 ) )
63, 4, 5sylanbrc 646 . 2  |-  ( x  e.  D  ->  x  e.  ( CC  \  {
0 } ) )
76ssriv 3320 1  |-  D  C_  ( CC  \  { 0 } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2575    \ cdif 3285    C_ wss 3288   {csn 3782  (class class class)co 6048   CCcc 8952   RRcr 8953   0cc0 8954    -oocmnf 9082   RR+crp 10576   (,]cioc 10881
This theorem is referenced by:  logcn  20499  dvloglem  20500  logf1o2  20502  dvlog  20503  dvlog2  20505  logtayl  20512  dvatan  20736  efrlim  20769  lgamcvg2  24800
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668  ax-cnex 9010  ax-resscn 9011  ax-1cn 9012  ax-icn 9013  ax-addcl 9014  ax-addrcl 9015  ax-mulcl 9016  ax-mulrcl 9017  ax-i2m1 9022  ax-1ne0 9023  ax-rnegex 9025  ax-rrecex 9026  ax-cnre 9027  ax-pre-lttri 9028  ax-pre-lttrn 9029
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-nel 2578  df-ral 2679  df-rex 2680  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-op 3791  df-uni 3984  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-id 4466  df-po 4471  df-so 4472  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-ov 6051  df-oprab 6052  df-mpt2 6053  df-er 6872  df-en 7077  df-dom 7078  df-sdom 7079  df-pnf 9086  df-mnf 9087  df-xr 9088  df-ltxr 9089  df-le 9090  df-rp 10577  df-ioc 10885
  Copyright terms: Public domain W3C validator