MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  logdmss Unicode version

Theorem logdmss 20094
Description: The continuity domain of  log is a subset of the regular domain of  log. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
logcn.d  |-  D  =  ( CC  \  (  -oo (,] 0 ) )
Assertion
Ref Expression
logdmss  |-  D  C_  ( CC  \  { 0 } )

Proof of Theorem logdmss
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 logcn.d . . . . 5  |-  D  =  ( CC  \  (  -oo (,] 0 ) )
21ellogdm 20091 . . . 4  |-  ( x  e.  D  <->  ( x  e.  CC  /\  ( x  e.  RR  ->  x  e.  RR+ ) ) )
32simplbi 446 . . 3  |-  ( x  e.  D  ->  x  e.  CC )
41logdmn0 20092 . . 3  |-  ( x  e.  D  ->  x  =/=  0 )
5 eldifsn 3825 . . 3  |-  ( x  e.  ( CC  \  { 0 } )  <-> 
( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 ) )
63, 4, 5sylanbrc 645 . 2  |-  ( x  e.  D  ->  x  e.  ( CC  \  {
0 } ) )
76ssriv 3260 1  |-  D  C_  ( CC  \  { 0 } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1642    e. wcel 1710    =/= wne 2521    \ cdif 3225    C_ wss 3228   {csn 3716  (class class class)co 5942   CCcc 8822   RRcr 8823   0cc0 8824    -oocmnf 8952   RR+crp 10443   (,]cioc 10746
This theorem is referenced by:  logcn  20099  dvloglem  20100  logf1o2  20102  dvlog  20103  dvlog2  20105  logtayl  20112  dvatan  20336  efrlim  20369  lgamcvg2  24088
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-sep 4220  ax-nul 4228  ax-pow 4267  ax-pr 4293  ax-un 4591  ax-cnex 8880  ax-resscn 8881  ax-1cn 8882  ax-icn 8883  ax-addcl 8884  ax-addrcl 8885  ax-mulcl 8886  ax-mulrcl 8887  ax-i2m1 8892  ax-1ne0 8893  ax-rnegex 8895  ax-rrecex 8896  ax-cnre 8897  ax-pre-lttri 8898  ax-pre-lttrn 8899
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-nel 2524  df-ral 2624  df-rex 2625  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-op 3725  df-uni 3907  df-br 4103  df-opab 4157  df-mpt 4158  df-id 4388  df-po 4393  df-so 4394  df-xp 4774  df-rel 4775  df-cnv 4776  df-co 4777  df-dm 4778  df-rn 4779  df-res 4780  df-ima 4781  df-iota 5298  df-fun 5336  df-fn 5337  df-f 5338  df-f1 5339  df-fo 5340  df-f1o 5341  df-fv 5342  df-ov 5945  df-oprab 5946  df-mpt2 5947  df-er 6744  df-en 6949  df-dom 6950  df-sdom 6951  df-pnf 8956  df-mnf 8957  df-xr 8958  df-ltxr 8959  df-le 8960  df-rp 10444  df-ioc 10750
  Copyright terms: Public domain W3C validator