Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  logf1o2 Unicode version

Theorem logf1o2 20050
 Description: The logarithm maps its continuous domain bijectively onto the set of numbers with imaginary part . The negative reals are mapped to the numbers with imaginary part equal to . (Contributed by Mario Carneiro, 2-May-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
logcn.d
Assertion
Ref Expression
logf1o2

Proof of Theorem logf1o2
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 logf1o 19975 . . . 4
2 f1of1 5509 . . . 4
31, 2ax-mp 8 . . 3
4 logcn.d . . . 4
54logdmss 20042 . . 3
6 f1ores 5525 . . 3
73, 5, 6mp2an 653 . 2
8 f1ofun 5512 . . . . . . 7
91, 8ax-mp 8 . . . . . 6
10 f1of 5510 . . . . . . . . 9
111, 10ax-mp 8 . . . . . . . 8
1211fdmi 5432 . . . . . . 7
135, 12sseqtr4i 3245 . . . . . 6
14 funimass4 5611 . . . . . 6
159, 13, 14mp2an 653 . . . . 5
164ellogdm 20039 . . . . . . . 8
1716simplbi 446 . . . . . . 7
184logdmn0 20040 . . . . . . 7
19 logcl 19979 . . . . . . 7
2017, 18, 19syl2anc 642 . . . . . 6
2120imcld 11727 . . . . . . 7
22 logimcl 19980 . . . . . . . . 9
2317, 18, 22syl2anc 642 . . . . . . . 8
2423simpld 445 . . . . . . 7
254logdmnrp 20041 . . . . . . . . . 10
26 lognegb 19996 . . . . . . . . . . . 12
2717, 18, 26syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11
2827necon3bbid 2513 . . . . . . . . . 10
2925, 28mpbid 201 . . . . . . . . 9
3029necomd 2562 . . . . . . . 8
31 pire 19885 . . . . . . . . . 10
3231a1i 10 . . . . . . . . 9
3323simprd 449 . . . . . . . . 9
3421, 32, 33leltned 9015 . . . . . . . 8
3530, 34mpbird 223 . . . . . . 7
3631renegcli 9153 . . . . . . . . 9
37 rexr 8922 . . . . . . . . 9
3836, 37ax-mp 8 . . . . . . . 8
39 rexr 8922 . . . . . . . . 9
4031, 39ax-mp 8 . . . . . . . 8
41 elioo2 10744 . . . . . . . 8
4238, 40, 41mp2an 653 . . . . . . 7
4321, 24, 35, 42syl3anbrc 1136 . . . . . 6
44 imf 11645 . . . . . . 7
45 ffn 5427 . . . . . . 7
46 elpreima 5683 . . . . . . 7
4744, 45, 46mp2b 9 . . . . . 6
4820, 43, 47sylanbrc 645 . . . . 5
4915, 48mprgbir 2647 . . . 4
50 elpreima 5683 . . . . . . 7
5144, 45, 50mp2b 9 . . . . . 6
52 simpl 443 . . . . . . . . 9
53 eliooord 10757 . . . . . . . . . . 11
5453adantl 452 . . . . . . . . . 10
5554simpld 445 . . . . . . . . 9
5654simprd 449 . . . . . . . . . 10
57 imcl 11643 . . . . . . . . . . . 12
5857adantr 451 . . . . . . . . . . 11
59 ltle 8955 . . . . . . . . . . 11
6058, 31, 59sylancl 643 . . . . . . . . . 10
6156, 60mpd 14 . . . . . . . . 9
62 ellogrn 19970 . . . . . . . . 9
6352, 55, 61, 62syl3anbrc 1136 . . . . . . . 8
64 logef 19988 . . . . . . . 8
6563, 64syl 15 . . . . . . 7
66 efcl 12411 . . . . . . . . . 10
6766adantr 451 . . . . . . . . 9
6858adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14
6968recnd 8906 . . . . . . . . . . . . 13
7031recni 8894 . . . . . . . . . . . . . 14
7170a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13
72 pipos 19886 . . . . . . . . . . . . . . 15
7331, 72gt0ne0ii 9354 . . . . . . . . . . . . . 14
7473a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13
7556adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
7670mulid1i 8884 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
7775, 76syl6breqr 4100 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
78 1re 8882 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
7978a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
8031a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
8172a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
82 ltdivmul 9673 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
8368, 79, 80, 81, 82syl112anc 1186 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8477, 83mpbird 223 . . . . . . . . . . . . . . . 16
85 1e0p1 10199 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8684, 85syl6breq 4099 . . . . . . . . . . . . . . 15
8768recoscld 12471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
8868resincld 12470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
8987, 88crimd 11764 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
90 efeul 12489 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
9190ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
9291oveq1d 5915 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
9387recnd 8906 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
94 ax-icn 8841 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
9588recnd 8906 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
96 mulcl 8866 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
9794, 95, 96sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
9893, 97addcld 8899 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
99 recl 11642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
10099ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
101100recnd 8906 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
102 efcl 12411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
103101, 102syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
104 efne0 12424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
105101, 104syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
10698, 103, 105divcan3d 9586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
10792, 106eqtrd 2348 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
108 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
109100reefcld 12416 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
110108, 109, 105redivcld 9633 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
111107, 110eqeltrrd 2391 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
112111reim0d 11757 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
11389, 112eqtr3d 2350 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
114 sineq0 19942 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
11569, 114syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
116113, 115mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . . 16
117 0z 10082 . . . . . . . . . . . . . . . 16
118 zleltp1 10115 . . . . . . . . . . . . . . . 16
119116, 117, 118sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . . 15
12086, 119mpbird 223 . . . . . . . . . . . . . 14
121 df-neg 9085 . . . . . . . . . . . . . . . 16
12270mulm1i 9269 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
12355adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
124122, 123syl5eqbr 4093 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
12578renegcli 9153 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
126125a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
127 ltmuldiv 9671 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
128126, 68, 80, 81, 127syl112anc 1186 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
129124, 128mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . . 16
130121, 129syl5eqbrr 4094 . . . . . . . . . . . . . . 15
131 zlem1lt 10116 . . . . . . . . . . . . . . . 16
132117, 116, 131sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . . 15
133130, 132mpbird 223 . . . . . . . . . . . . . 14
13468, 80, 74redivcld 9633 . . . . . . . . . . . . . . 15
135 0re 8883 . . . . . . . . . . . . . . 15
136 letri3 8952 . . . . . . . . . . . . . . 15
137134, 135, 136sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . 14
138120, 133, 137mpbir2and 888 . . . . . . . . . . . . 13
13969, 71, 74, 138diveq0d 9588 . . . . . . . . . . . 12
140 reim0b 11651 . . . . . . . . . . . . 13
141140ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . 12
142139, 141mpbird 223 . . . . . . . . . . 11
143142rpefcld 12432 . . . . . . . . . 10
144143ex 423 . . . . . . . . 9
1454ellogdm 20039 . . . . . . . . 9
14667, 144, 145sylanbrc 645 . . . . . . . 8
147 funfvima2 5795 . . . . . . . . 9
1489, 13, 147mp2an 653 . . . . . . . 8
149146, 148syl 15 . . . . . . 7
15065, 149eqeltrrd 2391 . . . . . 6
15151, 150sylbi 187 . . . . 5
152151ssriv 3218 . . . 4
15349, 152eqssi 3229 . . 3
154 f1oeq3 5503 . . 3
155153, 154ax-mp 8 . 2
1567, 155mpbi 199 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 176   wa 358   w3a 934   wceq 1633   wcel 1701   wne 2479  wral 2577   cdif 3183   wss 3186  csn 3674   class class class wbr 4060  ccnv 4725   cdm 4726   crn 4727   cres 4728  cima 4729   wfun 5286   wfn 5287  wf 5288  wf1 5289  wf1o 5291  cfv 5292  (class class class)co 5900  cc 8780  cr 8781  cc0 8782  c1 8783  ci 8784   caddc 8785   cmul 8787   cmnf 8910  cxr 8911   clt 8912   cle 8913   cmin 9082  cneg 9083   cdiv 9468  cz 10071  crp 10401  cioo 10703  cioc 10704  cre 11629  cim 11630  ce 12390  csin 12392  ccos 12393  cpi 12395  clog 19965 This theorem is referenced by:  efopnlem2  20057 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1537  ax-5 1548  ax-17 1607  ax-9 1645  ax-8 1666  ax-13 1703  ax-14 1705  ax-6 1720  ax-7 1725  ax-11 1732  ax-12 1897  ax-ext 2297  ax-rep 4168  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4225  ax-pr 4251  ax-un 4549  ax-inf2 7387  ax-cnex 8838  ax-resscn 8839  ax-1cn 8840  ax-icn 8841  ax-addcl 8842  ax-addrcl 8843  ax-mulcl 8844  ax-mulrcl 8845  ax-mulcom 8846  ax-addass 8847  ax-mulass 8848  ax-distr 8849  ax-i2m1 8850  ax-1ne0 8851  ax-1rid 8852  ax-rnegex 8853  ax-rrecex 8854  ax-cnre 8855  ax-pre-lttri 8856  ax-pre-lttrn 8857  ax-pre-ltadd 8858  ax-pre-mulgt0 8859  ax-pre-sup 8860  ax-addf 8861  ax-mulf 8862 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1533  df-nf 1536  df-sb 1640  df-eu 2180  df-mo 2181  df-clab 2303  df-cleq 2309  df-clel 2312  df-nfc 2441  df-ne 2481  df-nel 2482  df-ral 2582  df-rex 2583  df-reu 2584  df-rmo 2585  df-rab 2586  df-v 2824  df-sbc 3026  df-csb 3116  df-dif 3189  df-un 3191  df-in 3193  df-ss 3200  df-pss 3202  df-nul 3490  df-if 3600  df-pw 3661  df-sn 3680  df-pr 3681  df-tp 3682  df-op 3683  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3944  df-iin 3945  df-br 4061  df-opab 4115  df-mpt 4116  df-tr 4151  df-eprel 4342  df-id 4346  df-po 4351  df-so 4352  df-fr 4389  df-se 4390  df-we 4391  df-ord 4432  df-on 4433  df-lim 4434  df-suc 4435  df-om 4694  df-xp 4732  df-rel 4733  df-cnv 4734  df-co 4735  df-dm 4736  df-rn 4737  df-res 4738  df-ima 4739  df-iota 5256  df-fun 5294  df-fn 5295  df-f 5296  df-f1 5297  df-fo 5298  df-f1o 5299  df-fv 5300  df-isom 5301  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpt2 5905  df-of 6120  df-1st 6164  df-2nd 6165  df-riota 6346  df-recs 6430  df-rdg 6465  df-1o 6521  df-2o 6522  df-oadd 6525  df-er 6702  df-map 6817  df-pm 6818  df-ixp 6861  df-en 6907  df-dom 6908  df-sdom 6909  df-fin 6910  df-fi 7210  df-sup 7239  df-oi 7270  df-card 7617  df-cda 7839  df-pnf 8914  df-mnf 8915  df-xr 8916  df-ltxr 8917  df-le 8918  df-sub 9084  df-neg 9085  df-div 9469  df-nn 9792  df-2 9849  df-3 9850  df-4 9851  df-5 9852  df-6 9853  df-7 9854  df-8 9855  df-9 9856  df-10 9857  df-n0 10013  df-z 10072  df-dec 10172  df-uz 10278  df-q 10364  df-rp 10402  df-xneg 10499  df-xadd 10500  df-xmul 10501  df-ioo 10707  df-ioc 10708  df-ico 10709  df-icc 10710  df-fz 10830  df-fzo 10918  df-fl 10972  df-mod 11021  df-seq 11094  df-exp 11152  df-fac 11336  df-bc 11363  df-hash 11385  df-shft 11609  df-cj 11631  df-re 11632  df-im 11633  df-sqr 11767  df-abs 11768  df-limsup 11992  df-clim 12009  df-rlim 12010  df-sum 12206  df-ef 12396  df-sin 12398  df-cos 12399  df-pi 12401  df-struct 13197  df-ndx 13198  df-slot 13199  df-base 13200  df-sets 13201  df-ress 13202  df-plusg 13268  df-mulr 13269  df-starv 13270  df-sca 13271  df-vsca 13272  df-tset 13274  df-ple 13275  df-ds 13277  df-unif 13278  df-hom 13279  df-cco 13280  df-rest 13376  df-topn 13377  df-topgen 13393  df-pt 13394  df-prds 13397  df-xrs 13452  df-0g 13453  df-gsum 13454  df-qtop 13459  df-imas 13460  df-xps 13462  df-mre 13537  df-mrc 13538  df-acs 13540  df-mnd 14416  df-submnd 14465  df-mulg 14541  df-cntz 14842  df-cmn 15140  df-xmet 16425  df-met 16426  df-bl 16427  df-mopn 16428  df-fbas 16429  df-fg 16430  df-cnfld 16433  df-top 16692  df-bases 16694  df-topon 16695  df-topsp 16696  df-cld 16812  df-ntr 16813  df-cls 16814  df-nei 16891  df-lp 16924  df-perf 16925  df-cn 17013  df-cnp 17014  df-haus 17099  df-tx 17313  df-hmeo 17502  df-fil 17593  df-fm 17685  df-flim 17686  df-flf 17687  df-xms 17937  df-ms 17938  df-tms 17939  df-cncf 18434  df-limc 19269  df-dv 19270  df-log 19967
 Copyright terms: Public domain W3C validator