Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  logf1o2 Structured version   Unicode version

Theorem logf1o2 20543
 Description: The logarithm maps its continuous domain bijectively onto the set of numbers with imaginary part . The negative reals are mapped to the numbers with imaginary part equal to . (Contributed by Mario Carneiro, 2-May-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
logcn.d
Assertion
Ref Expression
logf1o2

Proof of Theorem logf1o2
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 logf1o 20464 . . . 4
2 f1of1 5675 . . . 4
31, 2ax-mp 8 . . 3
4 logcn.d . . . 4
54logdmss 20535 . . 3
6 f1ores 5691 . . 3
73, 5, 6mp2an 655 . 2
8 f1ofun 5678 . . . . . . 7
91, 8ax-mp 8 . . . . . 6
10 f1of 5676 . . . . . . . . 9
111, 10ax-mp 8 . . . . . . . 8
1211fdmi 5598 . . . . . . 7
135, 12sseqtr4i 3383 . . . . . 6
14 funimass4 5779 . . . . . 6
159, 13, 14mp2an 655 . . . . 5
164ellogdm 20532 . . . . . . . 8
1716simplbi 448 . . . . . . 7
184logdmn0 20533 . . . . . . 7
1917, 18logcld 20470 . . . . . 6
2019imcld 12002 . . . . . . 7
2117, 18logimcld 20471 . . . . . . . 8
2221simpld 447 . . . . . . 7
234logdmnrp 20534 . . . . . . . . . 10
24 lognegb 20486 . . . . . . . . . . . 12
2517, 18, 24syl2anc 644 . . . . . . . . . . 11
2625necon3bbid 2637 . . . . . . . . . 10
2723, 26mpbid 203 . . . . . . . . 9
2827necomd 2689 . . . . . . . 8
29 pire 20374 . . . . . . . . . 10
3029a1i 11 . . . . . . . . 9
3121simprd 451 . . . . . . . . 9
3220, 30, 31leltned 9226 . . . . . . . 8
3328, 32mpbird 225 . . . . . . 7
3429renegcli 9364 . . . . . . . . 9
3534rexri 9139 . . . . . . . 8
3629rexri 9139 . . . . . . . 8
37 elioo2 10959 . . . . . . . 8
3835, 36, 37mp2an 655 . . . . . . 7
3920, 22, 33, 38syl3anbrc 1139 . . . . . 6
40 imf 11920 . . . . . . 7
41 ffn 5593 . . . . . . 7
42 elpreima 5852 . . . . . . 7
4340, 41, 42mp2b 10 . . . . . 6
4419, 39, 43sylanbrc 647 . . . . 5
4515, 44mprgbir 2778 . . . 4
46 elpreima 5852 . . . . . . 7
4740, 41, 46mp2b 10 . . . . . 6
48 simpl 445 . . . . . . . . 9
49 eliooord 10972 . . . . . . . . . . 11
5049adantl 454 . . . . . . . . . 10
5150simpld 447 . . . . . . . . 9
5250simprd 451 . . . . . . . . . 10
53 imcl 11918 . . . . . . . . . . . 12
5453adantr 453 . . . . . . . . . . 11
55 ltle 9165 . . . . . . . . . . 11
5654, 29, 55sylancl 645 . . . . . . . . . 10
5752, 56mpd 15 . . . . . . . . 9
58 ellogrn 20459 . . . . . . . . 9
5948, 51, 57, 58syl3anbrc 1139 . . . . . . . 8
60 logef 20478 . . . . . . . 8
6159, 60syl 16 . . . . . . 7
62 efcl 12687 . . . . . . . . . 10
6362adantr 453 . . . . . . . . 9
6454adantr 453 . . . . . . . . . . . . . 14
6564recnd 9116 . . . . . . . . . . . . 13
6629recni 9104 . . . . . . . . . . . . . 14
6766a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13
68 pipos 20375 . . . . . . . . . . . . . . 15
6929, 68gt0ne0ii 9565 . . . . . . . . . . . . . 14
7069a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13
7152adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
7266mulid1i 9094 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
7371, 72syl6breqr 4254 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
74 1re 9092 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
7574a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
7629a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
7768a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
78 ltdivmul 9884 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
7964, 75, 76, 77, 78syl112anc 1189 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8073, 79mpbird 225 . . . . . . . . . . . . . . . 16
81 1e0p1 10412 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8280, 81syl6breq 4253 . . . . . . . . . . . . . . 15
8364recoscld 12747 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
8464resincld 12746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
8583, 84crimd 12039 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
86 efeul 12765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
8786ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
8887oveq1d 6098 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
8983recnd 9116 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
90 ax-icn 9051 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
9184recnd 9116 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
92 mulcl 9076 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
9390, 91, 92sylancr 646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
9489, 93addcld 9109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
95 recl 11917 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
9695ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
9796recnd 9116 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
98 efcl 12687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
9997, 98syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
100 efne0 12700 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
10197, 100syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
10294, 99, 101divcan3d 9797 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
10388, 102eqtrd 2470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
104 simpr 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
10596reefcld 12692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
106104, 105, 101redivcld 9844 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
107103, 106eqeltrrd 2513 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
108107reim0d 12032 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
10985, 108eqtr3d 2472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
110 sineq0 20431 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
11165, 110syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
112109, 111mpbid 203 . . . . . . . . . . . . . . . 16
113 0z 10295 . . . . . . . . . . . . . . . 16
114 zleltp1 10328 . . . . . . . . . . . . . . . 16
115112, 113, 114sylancl 645 . . . . . . . . . . . . . . 15
11682, 115mpbird 225 . . . . . . . . . . . . . 14
117 df-neg 9296 . . . . . . . . . . . . . . . 16
11866mulm1i 9480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
11951adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
120118, 119syl5eqbr 4247 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
12174renegcli 9364 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
122121a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
123 ltmuldiv 9882 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
124122, 64, 76, 77, 123syl112anc 1189 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
125120, 124mpbid 203 . . . . . . . . . . . . . . . 16
126117, 125syl5eqbrr 4248 . . . . . . . . . . . . . . 15
127 zlem1lt 10329 . . . . . . . . . . . . . . . 16
128113, 112, 127sylancr 646 . . . . . . . . . . . . . . 15
129126, 128mpbird 225 . . . . . . . . . . . . . 14
13064, 76, 70redivcld 9844 . . . . . . . . . . . . . . 15
131 0re 9093 . . . . . . . . . . . . . . 15
132 letri3 9162 . . . . . . . . . . . . . . 15
133130, 131, 132sylancl 645 . . . . . . . . . . . . . 14
134116, 129, 133mpbir2and 890 . . . . . . . . . . . . 13
13565, 67, 70, 134diveq0d 9799 . . . . . . . . . . . 12
136 reim0b 11926 . . . . . . . . . . . . 13
137136ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . 12
138135, 137mpbird 225 . . . . . . . . . . 11
139138rpefcld 12708 . . . . . . . . . 10
140139ex 425 . . . . . . . . 9
1414ellogdm 20532 . . . . . . . . 9
14263, 140, 141sylanbrc 647 . . . . . . . 8
143 funfvima2 5976 . . . . . . . . 9
1449, 13, 143mp2an 655 . . . . . . . 8
145142, 144syl 16 . . . . . . 7
14661, 145eqeltrrd 2513 . . . . . 6
14747, 146sylbi 189 . . . . 5
148147ssriv 3354 . . . 4
14945, 148eqssi 3366 . . 3
150 f1oeq3 5669 . . 3
151149, 150ax-mp 8 . 2
1527, 151mpbi 201 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 178   wa 360   w3a 937   wceq 1653   wcel 1726   wne 2601  wral 2707   cdif 3319   wss 3322  csn 3816   class class class wbr 4214  ccnv 4879   cdm 4880   crn 4881   cres 4882  cima 4883   wfun 5450   wfn 5451  wf 5452  wf1 5453  wf1o 5455  cfv 5456  (class class class)co 6083  cc 8990  cr 8991  cc0 8992  c1 8993  ci 8994   caddc 8995   cmul 8997   cmnf 9120  cxr 9121   clt 9122   cle 9123   cmin 9293  cneg 9294   cdiv 9679  cz 10284  crp 10614  cioo 10918  cioc 10919  cre 11904  cim 11905  ce 12666  csin 12668  ccos 12669  cpi 12671  clog 20454 This theorem is referenced by:  efopnlem2  20550 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-inf2 7598  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069  ax-pre-sup 9070  ax-addf 9071  ax-mulf 9072 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-iin 4098  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-se 4544  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-isom 5465  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-of 6307  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-2o 6727  df-oadd 6730  df-er 6907  df-map 7022  df-pm 7023  df-ixp 7066  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-fi 7418  df-sup 7448  df-oi 7481  df-card 7828  df-cda 8050  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-div 9680  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-4 10062  df-5 10063  df-6 10064  df-7 10065  df-8 10066  df-9 10067  df-10 10068  df-n0 10224  df-z 10285  df-dec 10385  df-uz 10491  df-q 10577  df-rp 10615  df-xneg 10712  df-xadd 10713  df-xmul 10714  df-ioo 10922  df-ioc 10923  df-ico 10924  df-icc 10925  df-fz 11046  df-fzo 11138  df-fl 11204  df-mod 11253  df-seq 11326  df-exp 11385  df-fac 11569  df-bc 11596  df-hash 11621  df-shft 11884  df-cj 11906  df-re 11907  df-im 11908  df-sqr 12042  df-abs 12043  df-limsup 12267  df-clim 12284  df-rlim 12285  df-sum 12482  df-ef 12672  df-sin 12674  df-cos 12675  df-pi 12677  df-struct 13473  df-ndx 13474  df-slot 13475  df-base 13476  df-sets 13477  df-ress 13478  df-plusg 13544  df-mulr 13545  df-starv 13546  df-sca 13547  df-vsca 13548  df-tset 13550  df-ple 13551  df-ds 13553  df-unif 13554  df-hom 13555  df-cco 13556  df-rest 13652  df-topn 13653  df-topgen 13669  df-pt 13670  df-prds 13673  df-xrs 13728  df-0g 13729  df-gsum 13730  df-qtop 13735  df-imas 13736  df-xps 13738  df-mre 13813  df-mrc 13814  df-acs 13816  df-mnd 14692  df-submnd 14741  df-mulg 14817  df-cntz 15118  df-cmn 15416  df-psmet 16696  df-xmet 16697  df-met 16698  df-bl 16699  df-mopn 16700  df-fbas 16701  df-fg 16702  df-cnfld 16706  df-top 16965  df-bases 16967  df-topon 16968  df-topsp 16969  df-cld 17085  df-ntr 17086  df-cls 17087  df-nei 17164  df-lp 17202  df-perf 17203  df-cn 17293  df-cnp 17294  df-haus 17381  df-tx 17596  df-hmeo 17789  df-fil 17880  df-fm 17972  df-flim 17973  df-flf 17974  df-xms 18352  df-ms 18353  df-tms 18354  df-cncf 18910  df-limc 19755  df-dv 19756  df-log 20456
 Copyright terms: Public domain W3C validator