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Theorem logf1o2 20543
Description: The logarithm maps its continuous domain bijectively onto the set of numbers with imaginary part  -u pi  <  Im ( z )  <  pi. The negative reals are mapped to the numbers with imaginary part equal to  pi. (Contributed by Mario Carneiro, 2-May-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
logcn.d  |-  D  =  ( CC  \  (  -oo (,] 0 ) )
Assertion
Ref Expression
logf1o2  |-  ( log  |`  D ) : D -1-1-onto-> ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )

Proof of Theorem logf1o2
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 logf1o 20464 . . . 4  |-  log :
( CC  \  {
0 } ) -1-1-onto-> ran  log
2 f1of1 5675 . . . 4  |-  ( log
: ( CC  \  { 0 } ) -1-1-onto-> ran 
log  ->  log : ( CC 
\  { 0 } ) -1-1-> ran  log )
31, 2ax-mp 8 . . 3  |-  log :
( CC  \  {
0 } ) -1-1-> ran  log
4 logcn.d . . . 4  |-  D  =  ( CC  \  (  -oo (,] 0 ) )
54logdmss 20535 . . 3  |-  D  C_  ( CC  \  { 0 } )
6 f1ores 5691 . . 3  |-  ( ( log : ( CC 
\  { 0 } ) -1-1-> ran  log  /\  D  C_  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( log  |`  D ) : D -1-1-onto-> ( log " D
) )
73, 5, 6mp2an 655 . 2  |-  ( log  |`  D ) : D -1-1-onto-> ( log " D )
8 f1ofun 5678 . . . . . . 7  |-  ( log
: ( CC  \  { 0 } ) -1-1-onto-> ran 
log  ->  Fun  log )
91, 8ax-mp 8 . . . . . 6  |-  Fun  log
10 f1of 5676 . . . . . . . . 9  |-  ( log
: ( CC  \  { 0 } ) -1-1-onto-> ran 
log  ->  log : ( CC 
\  { 0 } ) --> ran  log )
111, 10ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  log :
( CC  \  {
0 } ) --> ran 
log
1211fdmi 5598 . . . . . . 7  |-  dom  log  =  ( CC  \  { 0 } )
135, 12sseqtr4i 3383 . . . . . 6  |-  D  C_  dom  log
14 funimass4 5779 . . . . . 6  |-  ( ( Fun  log  /\  D  C_  dom  log )  ->  (
( log " D
)  C_  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )  <->  A. x  e.  D  ( log `  x )  e.  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) ) ) )
159, 13, 14mp2an 655 . . . . 5  |-  ( ( log " D ) 
C_  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )  <->  A. x  e.  D  ( log `  x )  e.  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) ) )
164ellogdm 20532 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  D  <->  ( x  e.  CC  /\  ( x  e.  RR  ->  x  e.  RR+ ) ) )
1716simplbi 448 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  D  ->  x  e.  CC )
184logdmn0 20533 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  D  ->  x  =/=  0 )
1917, 18logcld 20470 . . . . . 6  |-  ( x  e.  D  ->  ( log `  x )  e.  CC )
2019imcld 12002 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  D  ->  (
Im `  ( log `  x ) )  e.  RR )
2117, 18logimcld 20471 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  D  ->  ( -u pi  <  ( Im
`  ( log `  x
) )  /\  (
Im `  ( log `  x ) )  <_  pi ) )
2221simpld 447 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  D  ->  -u pi  <  ( Im `  ( log `  x ) ) )
234logdmnrp 20534 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  D  ->  -.  -u x  e.  RR+ )
24 lognegb 20486 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 )  -> 
( -u x  e.  RR+  <->  (
Im `  ( log `  x ) )  =  pi ) )
2517, 18, 24syl2anc 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  D  ->  ( -u x  e.  RR+  <->  ( Im `  ( log `  x
) )  =  pi ) )
2625necon3bbid 2637 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  D  ->  ( -.  -u x  e.  RR+  <->  (
Im `  ( log `  x ) )  =/= 
pi ) )
2723, 26mpbid 203 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  D  ->  (
Im `  ( log `  x ) )  =/= 
pi )
2827necomd 2689 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  D  ->  pi  =/=  ( Im `  ( log `  x ) ) )
29 pire 20374 . . . . . . . . . 10  |-  pi  e.  RR
3029a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  D  ->  pi  e.  RR )
3121simprd 451 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  D  ->  (
Im `  ( log `  x ) )  <_  pi )
3220, 30, 31leltned 9226 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  D  ->  (
( Im `  ( log `  x ) )  <  pi  <->  pi  =/=  ( Im `  ( log `  x ) ) ) )
3328, 32mpbird 225 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  D  ->  (
Im `  ( log `  x ) )  < 
pi )
3429renegcli 9364 . . . . . . . . 9  |-  -u pi  e.  RR
3534rexri 9139 . . . . . . . 8  |-  -u pi  e.  RR*
3629rexri 9139 . . . . . . . 8  |-  pi  e.  RR*
37 elioo2 10959 . . . . . . . 8  |-  ( (
-u pi  e.  RR*  /\  pi  e.  RR* )  ->  ( ( Im `  ( log `  x ) )  e.  ( -u pi (,) pi )  <->  ( (
Im `  ( log `  x ) )  e.  RR  /\  -u pi  <  ( Im `  ( log `  x ) )  /\  ( Im `  ( log `  x ) )  <  pi ) ) )
3835, 36, 37mp2an 655 . . . . . . 7  |-  ( ( Im `  ( log `  x ) )  e.  ( -u pi (,) pi )  <->  ( ( Im
`  ( log `  x
) )  e.  RR  /\  -u pi  <  ( Im
`  ( log `  x
) )  /\  (
Im `  ( log `  x ) )  < 
pi ) )
3920, 22, 33, 38syl3anbrc 1139 . . . . . 6  |-  ( x  e.  D  ->  (
Im `  ( log `  x ) )  e.  ( -u pi (,) pi ) )
40 imf 11920 . . . . . . 7  |-  Im : CC
--> RR
41 ffn 5593 . . . . . . 7  |-  ( Im : CC --> RR  ->  Im  Fn  CC )
42 elpreima 5852 . . . . . . 7  |-  ( Im  Fn  CC  ->  (
( log `  x
)  e.  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )  <-> 
( ( log `  x
)  e.  CC  /\  ( Im `  ( log `  x ) )  e.  ( -u pi (,) pi ) ) ) )
4340, 41, 42mp2b 10 . . . . . 6  |-  ( ( log `  x )  e.  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )  <->  ( ( log `  x )  e.  CC  /\  ( Im
`  ( log `  x
) )  e.  (
-u pi (,) pi ) ) )
4419, 39, 43sylanbrc 647 . . . . 5  |-  ( x  e.  D  ->  ( log `  x )  e.  ( `' Im "
( -u pi (,) pi ) ) )
4515, 44mprgbir 2778 . . . 4  |-  ( log " D )  C_  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )
46 elpreima 5852 . . . . . . 7  |-  ( Im  Fn  CC  ->  (
x  e.  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )  <-> 
( x  e.  CC  /\  ( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) ) ) )
4740, 41, 46mp2b 10 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )  <->  ( x  e.  CC  /\  ( Im
`  x )  e.  ( -u pi (,) pi ) ) )
48 simpl 445 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x )  e.  ( -u pi (,) pi ) )  ->  x  e.  CC )
49 eliooord 10972 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Im `  x )  e.  ( -u pi (,) pi )  ->  ( -u pi  <  ( Im
`  x )  /\  ( Im `  x )  <  pi ) )
5049adantl 454 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x )  e.  ( -u pi (,) pi ) )  -> 
( -u pi  <  (
Im `  x )  /\  ( Im `  x
)  <  pi )
)
5150simpld 447 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x )  e.  ( -u pi (,) pi ) )  ->  -u pi  <  ( Im
`  x ) )
5250simprd 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x )  e.  ( -u pi (,) pi ) )  -> 
( Im `  x
)  <  pi )
53 imcl 11918 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  CC  ->  (
Im `  x )  e.  RR )
5453adantr 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x )  e.  ( -u pi (,) pi ) )  -> 
( Im `  x
)  e.  RR )
55 ltle 9165 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( Im `  x
)  e.  RR  /\  pi  e.  RR )  -> 
( ( Im `  x )  <  pi  ->  ( Im `  x
)  <_  pi )
)
5654, 29, 55sylancl 645 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x )  e.  ( -u pi (,) pi ) )  -> 
( ( Im `  x )  <  pi  ->  ( Im `  x
)  <_  pi )
)
5752, 56mpd 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x )  e.  ( -u pi (,) pi ) )  -> 
( Im `  x
)  <_  pi )
58 ellogrn 20459 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ran  log  <->  ( x  e.  CC  /\  -u pi  <  ( Im `  x
)  /\  ( Im `  x )  <_  pi ) )
5948, 51, 57, 58syl3anbrc 1139 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x )  e.  ( -u pi (,) pi ) )  ->  x  e.  ran  log )
60 logef 20478 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ran  log  ->  ( log `  ( exp `  x ) )  =  x )
6159, 60syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x )  e.  ( -u pi (,) pi ) )  -> 
( log `  ( exp `  x ) )  =  x )
62 efcl 12687 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  CC  ->  ( exp `  x )  e.  CC )
6362adantr 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x )  e.  ( -u pi (,) pi ) )  -> 
( exp `  x
)  e.  CC )
6454adantr 453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  RR )  ->  ( Im `  x )  e.  RR )
6564recnd 9116 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  RR )  ->  ( Im `  x )  e.  CC )
6629recni 9104 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  pi  e.  CC
6766a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  RR )  ->  pi  e.  CC )
68 pipos 20375 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  0  <  pi
6929, 68gt0ne0ii 9565 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  pi  =/=  0
7069a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  RR )  ->  pi  =/=  0
)
7152adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  RR )  ->  ( Im `  x )  <  pi )
7266mulid1i 9094 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( pi  x.  1 )  =  pi
7371, 72syl6breqr 4254 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  RR )  ->  ( Im `  x )  <  (
pi  x.  1 ) )
74 1re 9092 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  1  e.  RR
7574a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  RR )  ->  1  e.  RR )
7629a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  RR )  ->  pi  e.  RR )
7768a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  RR )  ->  0  <  pi )
78 ltdivmul 9884 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( Im `  x
)  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  (
pi  e.  RR  /\  0  <  pi ) )  ->  ( ( ( Im `  x )  /  pi )  <  1  <->  ( Im `  x )  <  (
pi  x.  1 ) ) )
7964, 75, 76, 77, 78syl112anc 1189 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  RR )  ->  ( ( ( Im `  x )  /  pi )  <  1  <->  ( Im `  x )  <  (
pi  x.  1 ) ) )
8073, 79mpbird 225 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  RR )  ->  ( ( Im
`  x )  /  pi )  <  1
)
81 1e0p1 10412 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  1  =  ( 0  +  1 )
8280, 81syl6breq 4253 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  RR )  ->  ( ( Im
`  x )  /  pi )  <  ( 0  +  1 ) )
8364recoscld 12747 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  RR )  ->  ( cos `  (
Im `  x )
)  e.  RR )
8464resincld 12746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  RR )  ->  ( sin `  (
Im `  x )
)  e.  RR )
8583, 84crimd 12039 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  RR )  ->  ( Im `  ( ( cos `  (
Im `  x )
)  +  ( _i  x.  ( sin `  (
Im `  x )
) ) ) )  =  ( sin `  (
Im `  x )
) )
86 efeul 12765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  e.  CC  ->  ( exp `  x )  =  ( ( exp `  (
Re `  x )
)  x.  ( ( cos `  ( Im
`  x ) )  +  ( _i  x.  ( sin `  ( Im
`  x ) ) ) ) ) )
8786ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  RR )  ->  ( exp `  x
)  =  ( ( exp `  ( Re
`  x ) )  x.  ( ( cos `  ( Im `  x
) )  +  ( _i  x.  ( sin `  ( Im `  x
) ) ) ) ) )
8887oveq1d 6098 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  RR )  ->  ( ( exp `  x )  /  ( exp `  ( Re `  x ) ) )  =  ( ( ( exp `  ( Re
`  x ) )  x.  ( ( cos `  ( Im `  x
) )  +  ( _i  x.  ( sin `  ( Im `  x
) ) ) ) )  /  ( exp `  ( Re `  x
) ) ) )
8983recnd 9116 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  RR )  ->  ( cos `  (
Im `  x )
)  e.  CC )
90 ax-icn 9051 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  _i  e.  CC
9184recnd 9116 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  RR )  ->  ( sin `  (
Im `  x )
)  e.  CC )
92 mulcl 9076 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( sin `  ( Im
`  x ) )  e.  CC )  -> 
( _i  x.  ( sin `  ( Im `  x ) ) )  e.  CC )
9390, 91, 92sylancr 646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  RR )  ->  ( _i  x.  ( sin `  ( Im
`  x ) ) )  e.  CC )
9489, 93addcld 9109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  RR )  ->  ( ( cos `  ( Im `  x
) )  +  ( _i  x.  ( sin `  ( Im `  x
) ) ) )  e.  CC )
95 recl 11917 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( x  e.  CC  ->  (
Re `  x )  e.  RR )
9695ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  RR )  ->  ( Re `  x )  e.  RR )
9796recnd 9116 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  RR )  ->  ( Re `  x )  e.  CC )
98 efcl 12687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( Re `  x )  e.  CC  ->  ( exp `  ( Re `  x ) )  e.  CC )
9997, 98syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  RR )  ->  ( exp `  (
Re `  x )
)  e.  CC )
100 efne0 12700 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( Re `  x )  e.  CC  ->  ( exp `  ( Re `  x ) )  =/=  0 )
10197, 100syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  RR )  ->  ( exp `  (
Re `  x )
)  =/=  0 )
10294, 99, 101divcan3d 9797 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  RR )  ->  ( ( ( exp `  ( Re
`  x ) )  x.  ( ( cos `  ( Im `  x
) )  +  ( _i  x.  ( sin `  ( Im `  x
) ) ) ) )  /  ( exp `  ( Re `  x
) ) )  =  ( ( cos `  (
Im `  x )
)  +  ( _i  x.  ( sin `  (
Im `  x )
) ) ) )
10388, 102eqtrd 2470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  RR )  ->  ( ( exp `  x )  /  ( exp `  ( Re `  x ) ) )  =  ( ( cos `  ( Im `  x
) )  +  ( _i  x.  ( sin `  ( Im `  x
) ) ) ) )
104 simpr 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  RR )  ->  ( exp `  x
)  e.  RR )
10596reefcld 12692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  RR )  ->  ( exp `  (
Re `  x )
)  e.  RR )
106104, 105, 101redivcld 9844 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  RR )  ->  ( ( exp `  x )  /  ( exp `  ( Re `  x ) ) )  e.  RR )
107103, 106eqeltrrd 2513 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  RR )  ->  ( ( cos `  ( Im `  x
) )  +  ( _i  x.  ( sin `  ( Im `  x
) ) ) )  e.  RR )
108107reim0d 12032 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  RR )  ->  ( Im `  ( ( cos `  (
Im `  x )
)  +  ( _i  x.  ( sin `  (
Im `  x )
) ) ) )  =  0 )
10985, 108eqtr3d 2472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  RR )  ->  ( sin `  (
Im `  x )
)  =  0 )
110 sineq0 20431 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( Im `  x )  e.  CC  ->  (
( sin `  (
Im `  x )
)  =  0  <->  (
( Im `  x
)  /  pi )  e.  ZZ ) )
11165, 110syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  RR )  ->  ( ( sin `  ( Im `  x
) )  =  0  <-> 
( ( Im `  x )  /  pi )  e.  ZZ )
)
112109, 111mpbid 203 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  RR )  ->  ( ( Im
`  x )  /  pi )  e.  ZZ )
113 0z 10295 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  0  e.  ZZ
114 zleltp1 10328 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( Im `  x )  /  pi )  e.  ZZ  /\  0  e.  ZZ )  ->  (
( ( Im `  x )  /  pi )  <_  0  <->  ( (
Im `  x )  /  pi )  <  (
0  +  1 ) ) )
115112, 113, 114sylancl 645 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  RR )  ->  ( ( ( Im `  x )  /  pi )  <_ 
0  <->  ( ( Im
`  x )  /  pi )  <  ( 0  +  1 ) ) )
11682, 115mpbird 225 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  RR )  ->  ( ( Im
`  x )  /  pi )  <_  0 )
117 df-neg 9296 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  -u 1  =  ( 0  -  1 )
11866mulm1i 9480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( -u
1  x.  pi )  =  -u pi
11951adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  RR )  ->  -u pi  <  (
Im `  x )
)
120118, 119syl5eqbr 4247 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  RR )  ->  ( -u 1  x.  pi )  <  (
Im `  x )
)
12174renegcli 9364 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  -u 1  e.  RR
122121a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  RR )  ->  -u 1  e.  RR )
123 ltmuldiv 9882 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
-u 1  e.  RR  /\  ( Im `  x
)  e.  RR  /\  ( pi  e.  RR  /\  0  <  pi ) )  ->  ( ( -u 1  x.  pi )  <  ( Im `  x )  <->  -u 1  < 
( ( Im `  x )  /  pi ) ) )
124122, 64, 76, 77, 123syl112anc 1189 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  RR )  ->  ( ( -u
1  x.  pi )  <  ( Im `  x )  <->  -u 1  < 
( ( Im `  x )  /  pi ) ) )
125120, 124mpbid 203 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  RR )  ->  -u 1  <  (
( Im `  x
)  /  pi ) )
126117, 125syl5eqbrr 4248 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  RR )  ->  ( 0  -  1 )  <  (
( Im `  x
)  /  pi ) )
127 zlem1lt 10329 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  ( ( Im `  x )  /  pi )  e.  ZZ )  ->  ( 0  <_  (
( Im `  x
)  /  pi )  <-> 
( 0  -  1 )  <  ( ( Im `  x )  /  pi ) ) )
128113, 112, 127sylancr 646 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  RR )  ->  ( 0  <_ 
( ( Im `  x )  /  pi ) 
<->  ( 0  -  1 )  <  ( ( Im `  x )  /  pi ) ) )
129126, 128mpbird 225 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  RR )  ->  0  <_  (
( Im `  x
)  /  pi ) )
13064, 76, 70redivcld 9844 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  RR )  ->  ( ( Im
`  x )  /  pi )  e.  RR )
131 0re 9093 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  0  e.  RR
132 letri3 9162 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( Im `  x )  /  pi )  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  (
( ( Im `  x )  /  pi )  =  0  <->  ( (
( Im `  x
)  /  pi )  <_  0  /\  0  <_  ( ( Im `  x )  /  pi ) ) ) )
133130, 131, 132sylancl 645 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  RR )  ->  ( ( ( Im `  x )  /  pi )  =  0  <->  ( ( ( Im `  x )  /  pi )  <_ 
0  /\  0  <_  ( ( Im `  x
)  /  pi ) ) ) )
134116, 129, 133mpbir2and 890 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  RR )  ->  ( ( Im
`  x )  /  pi )  =  0
)
13565, 67, 70, 134diveq0d 9799 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  RR )  ->  ( Im `  x )  =  0 )
136 reim0b 11926 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  CC  ->  (
x  e.  RR  <->  ( Im `  x )  =  0 ) )
137136ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  RR )  ->  ( x  e.  RR  <->  ( Im `  x )  =  0 ) )
138135, 137mpbird 225 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  RR )  ->  x  e.  RR )
139138rpefcld 12708 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  RR )  ->  ( exp `  x
)  e.  RR+ )
140139ex 425 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x )  e.  ( -u pi (,) pi ) )  -> 
( ( exp `  x
)  e.  RR  ->  ( exp `  x )  e.  RR+ ) )
1414ellogdm 20532 . . . . . . . . 9  |-  ( ( exp `  x )  e.  D  <->  ( ( exp `  x )  e.  CC  /\  ( ( exp `  x )  e.  RR  ->  ( exp `  x )  e.  RR+ ) ) )
14263, 140, 141sylanbrc 647 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x )  e.  ( -u pi (,) pi ) )  -> 
( exp `  x
)  e.  D )
143 funfvima2 5976 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Fun  log  /\  D  C_  dom  log )  ->  (
( exp `  x
)  e.  D  -> 
( log `  ( exp `  x ) )  e.  ( log " D
) ) )
1449, 13, 143mp2an 655 . . . . . . . 8  |-  ( ( exp `  x )  e.  D  ->  ( log `  ( exp `  x
) )  e.  ( log " D ) )
145142, 144syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x )  e.  ( -u pi (,) pi ) )  -> 
( log `  ( exp `  x ) )  e.  ( log " D
) )
14661, 145eqeltrrd 2513 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x )  e.  ( -u pi (,) pi ) )  ->  x  e.  ( log " D ) )
14747, 146sylbi 189 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )  ->  x  e.  ( log " D
) )
148147ssriv 3354 . . . 4  |-  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) ) 
C_  ( log " D
)
14945, 148eqssi 3366 . . 3  |-  ( log " D )  =  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )
150 f1oeq3 5669 . . 3  |-  ( ( log " D )  =  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )  ->  (
( log  |`  D ) : D -1-1-onto-> ( log " D
)  <->  ( log  |`  D ) : D -1-1-onto-> ( `' Im "
( -u pi (,) pi ) ) ) )
151149, 150ax-mp 8 . 2  |-  ( ( log  |`  D ) : D -1-1-onto-> ( log " D
)  <->  ( log  |`  D ) : D -1-1-onto-> ( `' Im "
( -u pi (,) pi ) ) )
1527, 151mpbi 201 1  |-  ( log  |`  D ) : D -1-1-onto-> ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726    =/= wne 2601   A.wral 2707    \ cdif 3319    C_ wss 3322   {csn 3816   class class class wbr 4214   `'ccnv 4879   dom cdm 4880   ran crn 4881    |` cres 4882   "cima 4883   Fun wfun 5450    Fn wfn 5451   -->wf 5452   -1-1->wf1 5453   -1-1-onto->wf1o 5455   ` cfv 5456  (class class class)co 6083   CCcc 8990   RRcr 8991   0cc0 8992   1c1 8993   _ici 8994    + caddc 8995    x. cmul 8997    -oocmnf 9120   RR*cxr 9121    < clt 9122    <_ cle 9123    - cmin 9293   -ucneg 9294    / cdiv 9679   ZZcz 10284   RR+crp 10614   (,)cioo 10918   (,]cioc 10919   Recre 11904   Imcim 11905   expce 12666   sincsin 12668   cosccos 12669   picpi 12671   logclog 20454
This theorem is referenced by:  efopnlem2  20550
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-inf2 7598  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069  ax-pre-sup 9070  ax-addf 9071  ax-mulf 9072
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-iin 4098  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-se 4544  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-isom 5465  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-of 6307  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-2o 6727  df-oadd 6730  df-er 6907  df-map 7022  df-pm 7023  df-ixp 7066  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-fi 7418  df-sup 7448  df-oi 7481  df-card 7828  df-cda 8050  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-div 9680  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-4 10062  df-5 10063  df-6 10064  df-7 10065  df-8 10066  df-9 10067  df-10 10068  df-n0 10224  df-z 10285  df-dec 10385  df-uz 10491  df-q 10577  df-rp 10615  df-xneg 10712  df-xadd 10713  df-xmul 10714  df-ioo 10922  df-ioc 10923  df-ico 10924  df-icc 10925  df-fz 11046  df-fzo 11138  df-fl 11204  df-mod 11253  df-seq 11326  df-exp 11385  df-fac 11569  df-bc 11596  df-hash 11621  df-shft 11884  df-cj 11906  df-re 11907  df-im 11908  df-sqr 12042  df-abs 12043  df-limsup 12267  df-clim 12284  df-rlim 12285  df-sum 12482  df-ef 12672  df-sin 12674  df-cos 12675  df-pi 12677  df-struct 13473  df-ndx 13474  df-slot 13475  df-base 13476  df-sets 13477  df-ress 13478  df-plusg 13544  df-mulr 13545  df-starv 13546  df-sca 13547  df-vsca 13548  df-tset 13550  df-ple 13551  df-ds 13553  df-unif 13554  df-hom 13555  df-cco 13556  df-rest 13652  df-topn 13653  df-topgen 13669  df-pt 13670  df-prds 13673  df-xrs 13728  df-0g 13729  df-gsum 13730  df-qtop 13735  df-imas 13736  df-xps 13738  df-mre 13813  df-mrc 13814  df-acs 13816  df-mnd 14692  df-submnd 14741  df-mulg 14817  df-cntz 15118  df-cmn 15416  df-psmet 16696  df-xmet 16697  df-met 16698  df-bl 16699  df-mopn 16700  df-fbas 16701  df-fg 16702  df-cnfld 16706  df-top 16965  df-bases 16967  df-topon 16968  df-topsp 16969  df-cld 17085  df-ntr 17086  df-cls 17087  df-nei 17164  df-lp 17202  df-perf 17203  df-cn 17293  df-cnp 17294  df-haus 17381  df-tx 17596  df-hmeo 17789  df-fil 17880  df-fm 17972  df-flim 17973  df-flf 17974  df-xms 18352  df-ms 18353  df-tms 18354  df-cncf 18910  df-limc 19755  df-dv 19756  df-log 20456
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