MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  logf1o2 Unicode version

Theorem logf1o2 19997
Description: The logarithm maps its continuous domain bijectively onto the set of numbers with imaginary part  -u pi  <  Im ( z )  <  pi. The negative reals are mapped to the numbers with imaginary part equal to  pi. (Contributed by Mario Carneiro, 2-May-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
logcn.d  |-  D  =  ( CC  \  (  -oo (,] 0 ) )
Assertion
Ref Expression
logf1o2  |-  ( log  |`  D ) : D -1-1-onto-> ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )

Proof of Theorem logf1o2
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 logf1o 19922 . . . 4  |-  log :
( CC  \  {
0 } ) -1-1-onto-> ran  log
2 f1of1 5471 . . . 4  |-  ( log
: ( CC  \  { 0 } ) -1-1-onto-> ran 
log  ->  log : ( CC 
\  { 0 } ) -1-1-> ran  log )
31, 2ax-mp 8 . . 3  |-  log :
( CC  \  {
0 } ) -1-1-> ran  log
4 logcn.d . . . 4  |-  D  =  ( CC  \  (  -oo (,] 0 ) )
54logdmss 19989 . . 3  |-  D  C_  ( CC  \  { 0 } )
6 f1ores 5487 . . 3  |-  ( ( log : ( CC 
\  { 0 } ) -1-1-> ran  log  /\  D  C_  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( log  |`  D ) : D -1-1-onto-> ( log " D
) )
73, 5, 6mp2an 653 . 2  |-  ( log  |`  D ) : D -1-1-onto-> ( log " D )
8 f1ofun 5474 . . . . . . 7  |-  ( log
: ( CC  \  { 0 } ) -1-1-onto-> ran 
log  ->  Fun  log )
91, 8ax-mp 8 . . . . . 6  |-  Fun  log
10 f1of 5472 . . . . . . . . 9  |-  ( log
: ( CC  \  { 0 } ) -1-1-onto-> ran 
log  ->  log : ( CC 
\  { 0 } ) --> ran  log )
111, 10ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  log :
( CC  \  {
0 } ) --> ran 
log
1211fdmi 5394 . . . . . . 7  |-  dom  log  =  ( CC  \  { 0 } )
135, 12sseqtr4i 3211 . . . . . 6  |-  D  C_  dom  log
14 funimass4 5573 . . . . . 6  |-  ( ( Fun  log  /\  D  C_  dom  log )  ->  (
( log " D
)  C_  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )  <->  A. x  e.  D  ( log `  x )  e.  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) ) ) )
159, 13, 14mp2an 653 . . . . 5  |-  ( ( log " D ) 
C_  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )  <->  A. x  e.  D  ( log `  x )  e.  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) ) )
164ellogdm 19986 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  D  <->  ( x  e.  CC  /\  ( x  e.  RR  ->  x  e.  RR+ ) ) )
1716simplbi 446 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  D  ->  x  e.  CC )
184logdmn0 19987 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  D  ->  x  =/=  0 )
19 logcl 19926 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 )  -> 
( log `  x
)  e.  CC )
2017, 18, 19syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( x  e.  D  ->  ( log `  x )  e.  CC )
2120imcld 11680 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  D  ->  (
Im `  ( log `  x ) )  e.  RR )
22 logimcl 19927 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 )  -> 
( -u pi  <  (
Im `  ( log `  x ) )  /\  ( Im `  ( log `  x ) )  <_  pi ) )
2317, 18, 22syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  D  ->  ( -u pi  <  ( Im
`  ( log `  x
) )  /\  (
Im `  ( log `  x ) )  <_  pi ) )
2423simpld 445 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  D  ->  -u pi  <  ( Im `  ( log `  x ) ) )
254logdmnrp 19988 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  D  ->  -.  -u x  e.  RR+ )
26 lognegb 19943 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 )  -> 
( -u x  e.  RR+  <->  (
Im `  ( log `  x ) )  =  pi ) )
2717, 18, 26syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  D  ->  ( -u x  e.  RR+  <->  ( Im `  ( log `  x
) )  =  pi ) )
2827necon3bbid 2480 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  D  ->  ( -.  -u x  e.  RR+  <->  (
Im `  ( log `  x ) )  =/= 
pi ) )
2925, 28mpbid 201 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  D  ->  (
Im `  ( log `  x ) )  =/= 
pi )
3029necomd 2529 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  D  ->  pi  =/=  ( Im `  ( log `  x ) ) )
31 pire 19832 . . . . . . . . . 10  |-  pi  e.  RR
3231a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  D  ->  pi  e.  RR )
3323simprd 449 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  D  ->  (
Im `  ( log `  x ) )  <_  pi )
3421, 32, 33leltned 8970 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  D  ->  (
( Im `  ( log `  x ) )  <  pi  <->  pi  =/=  ( Im `  ( log `  x ) ) ) )
3530, 34mpbird 223 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  D  ->  (
Im `  ( log `  x ) )  < 
pi )
3631renegcli 9108 . . . . . . . . 9  |-  -u pi  e.  RR
37 rexr 8877 . . . . . . . . 9  |-  ( -u pi  e.  RR  ->  -u pi  e.  RR* )
3836, 37ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  -u pi  e.  RR*
39 rexr 8877 . . . . . . . . 9  |-  ( pi  e.  RR  ->  pi  e.  RR* )
4031, 39ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  pi  e.  RR*
41 elioo2 10697 . . . . . . . 8  |-  ( (
-u pi  e.  RR*  /\  pi  e.  RR* )  ->  ( ( Im `  ( log `  x ) )  e.  ( -u pi (,) pi )  <->  ( (
Im `  ( log `  x ) )  e.  RR  /\  -u pi  <  ( Im `  ( log `  x ) )  /\  ( Im `  ( log `  x ) )  <  pi ) ) )
4238, 40, 41mp2an 653 . . . . . . 7  |-  ( ( Im `  ( log `  x ) )  e.  ( -u pi (,) pi )  <->  ( ( Im
`  ( log `  x
) )  e.  RR  /\  -u pi  <  ( Im
`  ( log `  x
) )  /\  (
Im `  ( log `  x ) )  < 
pi ) )
4321, 24, 35, 42syl3anbrc 1136 . . . . . 6  |-  ( x  e.  D  ->  (
Im `  ( log `  x ) )  e.  ( -u pi (,) pi ) )
44 imf 11598 . . . . . . 7  |-  Im : CC
--> RR
45 ffn 5389 . . . . . . 7  |-  ( Im : CC --> RR  ->  Im  Fn  CC )
46 elpreima 5645 . . . . . . 7  |-  ( Im  Fn  CC  ->  (
( log `  x
)  e.  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )  <-> 
( ( log `  x
)  e.  CC  /\  ( Im `  ( log `  x ) )  e.  ( -u pi (,) pi ) ) ) )
4744, 45, 46mp2b 9 . . . . . 6  |-  ( ( log `  x )  e.  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )  <->  ( ( log `  x )  e.  CC  /\  ( Im
`  ( log `  x
) )  e.  (
-u pi (,) pi ) ) )
4820, 43, 47sylanbrc 645 . . . . 5  |-  ( x  e.  D  ->  ( log `  x )  e.  ( `' Im "
( -u pi (,) pi ) ) )
4915, 48mprgbir 2613 . . . 4  |-  ( log " D )  C_  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )
50 elpreima 5645 . . . . . . 7  |-  ( Im  Fn  CC  ->  (
x  e.  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )  <-> 
( x  e.  CC  /\  ( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) ) ) )
5144, 45, 50mp2b 9 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )  <->  ( x  e.  CC  /\  ( Im
`  x )  e.  ( -u pi (,) pi ) ) )
52 simpl 443 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x )  e.  ( -u pi (,) pi ) )  ->  x  e.  CC )
53 eliooord 10710 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Im `  x )  e.  ( -u pi (,) pi )  ->  ( -u pi  <  ( Im
`  x )  /\  ( Im `  x )  <  pi ) )
5453adantl 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x )  e.  ( -u pi (,) pi ) )  -> 
( -u pi  <  (
Im `  x )  /\  ( Im `  x
)  <  pi )
)
5554simpld 445 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x )  e.  ( -u pi (,) pi ) )  ->  -u pi  <  ( Im
`  x ) )
5654simprd 449 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x )  e.  ( -u pi (,) pi ) )  -> 
( Im `  x
)  <  pi )
57 imcl 11596 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  CC  ->  (
Im `  x )  e.  RR )
5857adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x )  e.  ( -u pi (,) pi ) )  -> 
( Im `  x
)  e.  RR )
59 ltle 8910 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( Im `  x
)  e.  RR  /\  pi  e.  RR )  -> 
( ( Im `  x )  <  pi  ->  ( Im `  x
)  <_  pi )
)
6058, 31, 59sylancl 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x )  e.  ( -u pi (,) pi ) )  -> 
( ( Im `  x )  <  pi  ->  ( Im `  x
)  <_  pi )
)
6156, 60mpd 14 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x )  e.  ( -u pi (,) pi ) )  -> 
( Im `  x
)  <_  pi )
62 ellogrn 19917 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ran  log  <->  ( x  e.  CC  /\  -u pi  <  ( Im `  x
)  /\  ( Im `  x )  <_  pi ) )
6352, 55, 61, 62syl3anbrc 1136 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x )  e.  ( -u pi (,) pi ) )  ->  x  e.  ran  log )
64 logef 19935 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ran  log  ->  ( log `  ( exp `  x ) )  =  x )
6563, 64syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x )  e.  ( -u pi (,) pi ) )  -> 
( log `  ( exp `  x ) )  =  x )
66 efcl 12364 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  CC  ->  ( exp `  x )  e.  CC )
6766adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x )  e.  ( -u pi (,) pi ) )  -> 
( exp `  x
)  e.  CC )
6858adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  RR )  ->  ( Im `  x )  e.  RR )
6968recnd 8861 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  RR )  ->  ( Im `  x )  e.  CC )
7031recni 8849 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  pi  e.  CC
7170a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  RR )  ->  pi  e.  CC )
72 pipos 19833 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  0  <  pi
7331, 72gt0ne0ii 9309 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  pi  =/=  0
7473a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  RR )  ->  pi  =/=  0
)
7556adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  RR )  ->  ( Im `  x )  <  pi )
7670mulid1i 8839 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( pi  x.  1 )  =  pi
7775, 76syl6breqr 4063 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  RR )  ->  ( Im `  x )  <  (
pi  x.  1 ) )
78 1re 8837 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  1  e.  RR
7978a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  RR )  ->  1  e.  RR )
8031a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  RR )  ->  pi  e.  RR )
8172a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  RR )  ->  0  <  pi )
82 ltdivmul 9628 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( Im `  x
)  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  (
pi  e.  RR  /\  0  <  pi ) )  ->  ( ( ( Im `  x )  /  pi )  <  1  <->  ( Im `  x )  <  (
pi  x.  1 ) ) )
8368, 79, 80, 81, 82syl112anc 1186 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  RR )  ->  ( ( ( Im `  x )  /  pi )  <  1  <->  ( Im `  x )  <  (
pi  x.  1 ) ) )
8477, 83mpbird 223 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  RR )  ->  ( ( Im
`  x )  /  pi )  <  1
)
85 1e0p1 10152 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  1  =  ( 0  +  1 )
8684, 85syl6breq 4062 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  RR )  ->  ( ( Im
`  x )  /  pi )  <  ( 0  +  1 ) )
8768recoscld 12424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  RR )  ->  ( cos `  (
Im `  x )
)  e.  RR )
8868resincld 12423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  RR )  ->  ( sin `  (
Im `  x )
)  e.  RR )
8987, 88crimd 11717 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  RR )  ->  ( Im `  ( ( cos `  (
Im `  x )
)  +  ( _i  x.  ( sin `  (
Im `  x )
) ) ) )  =  ( sin `  (
Im `  x )
) )
90 efeul 12442 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  e.  CC  ->  ( exp `  x )  =  ( ( exp `  (
Re `  x )
)  x.  ( ( cos `  ( Im
`  x ) )  +  ( _i  x.  ( sin `  ( Im
`  x ) ) ) ) ) )
9190ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  RR )  ->  ( exp `  x
)  =  ( ( exp `  ( Re
`  x ) )  x.  ( ( cos `  ( Im `  x
) )  +  ( _i  x.  ( sin `  ( Im `  x
) ) ) ) ) )
9291oveq1d 5873 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  RR )  ->  ( ( exp `  x )  /  ( exp `  ( Re `  x ) ) )  =  ( ( ( exp `  ( Re
`  x ) )  x.  ( ( cos `  ( Im `  x
) )  +  ( _i  x.  ( sin `  ( Im `  x
) ) ) ) )  /  ( exp `  ( Re `  x
) ) ) )
9387recnd 8861 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  RR )  ->  ( cos `  (
Im `  x )
)  e.  CC )
94 ax-icn 8796 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  _i  e.  CC
9588recnd 8861 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  RR )  ->  ( sin `  (
Im `  x )
)  e.  CC )
96 mulcl 8821 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( sin `  ( Im
`  x ) )  e.  CC )  -> 
( _i  x.  ( sin `  ( Im `  x ) ) )  e.  CC )
9794, 95, 96sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  RR )  ->  ( _i  x.  ( sin `  ( Im
`  x ) ) )  e.  CC )
9893, 97addcld 8854 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  RR )  ->  ( ( cos `  ( Im `  x
) )  +  ( _i  x.  ( sin `  ( Im `  x
) ) ) )  e.  CC )
99 recl 11595 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( x  e.  CC  ->  (
Re `  x )  e.  RR )
10099ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  RR )  ->  ( Re `  x )  e.  RR )
101100recnd 8861 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  RR )  ->  ( Re `  x )  e.  CC )
102 efcl 12364 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( Re `  x )  e.  CC  ->  ( exp `  ( Re `  x ) )  e.  CC )
103101, 102syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  RR )  ->  ( exp `  (
Re `  x )
)  e.  CC )
104 efne0 12377 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( Re `  x )  e.  CC  ->  ( exp `  ( Re `  x ) )  =/=  0 )
105101, 104syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  RR )  ->  ( exp `  (
Re `  x )
)  =/=  0 )
10698, 103, 105divcan3d 9541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  RR )  ->  ( ( ( exp `  ( Re
`  x ) )  x.  ( ( cos `  ( Im `  x
) )  +  ( _i  x.  ( sin `  ( Im `  x
) ) ) ) )  /  ( exp `  ( Re `  x
) ) )  =  ( ( cos `  (
Im `  x )
)  +  ( _i  x.  ( sin `  (
Im `  x )
) ) ) )
10792, 106eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  RR )  ->  ( ( exp `  x )  /  ( exp `  ( Re `  x ) ) )  =  ( ( cos `  ( Im `  x
) )  +  ( _i  x.  ( sin `  ( Im `  x
) ) ) ) )
108 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  RR )  ->  ( exp `  x
)  e.  RR )
109100reefcld 12369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  RR )  ->  ( exp `  (
Re `  x )
)  e.  RR )
110108, 109, 105redivcld 9588 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  RR )  ->  ( ( exp `  x )  /  ( exp `  ( Re `  x ) ) )  e.  RR )
111107, 110eqeltrrd 2358 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  RR )  ->  ( ( cos `  ( Im `  x
) )  +  ( _i  x.  ( sin `  ( Im `  x
) ) ) )  e.  RR )
112111reim0d 11710 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  RR )  ->  ( Im `  ( ( cos `  (
Im `  x )
)  +  ( _i  x.  ( sin `  (
Im `  x )
) ) ) )  =  0 )
11389, 112eqtr3d 2317 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  RR )  ->  ( sin `  (
Im `  x )
)  =  0 )
114 sineq0 19889 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( Im `  x )  e.  CC  ->  (
( sin `  (
Im `  x )
)  =  0  <->  (
( Im `  x
)  /  pi )  e.  ZZ ) )
11569, 114syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  RR )  ->  ( ( sin `  ( Im `  x
) )  =  0  <-> 
( ( Im `  x )  /  pi )  e.  ZZ )
)
116113, 115mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  RR )  ->  ( ( Im
`  x )  /  pi )  e.  ZZ )
117 0z 10035 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  0  e.  ZZ
118 zleltp1 10068 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( Im `  x )  /  pi )  e.  ZZ  /\  0  e.  ZZ )  ->  (
( ( Im `  x )  /  pi )  <_  0  <->  ( (
Im `  x )  /  pi )  <  (
0  +  1 ) ) )
119116, 117, 118sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  RR )  ->  ( ( ( Im `  x )  /  pi )  <_ 
0  <->  ( ( Im
`  x )  /  pi )  <  ( 0  +  1 ) ) )
12086, 119mpbird 223 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  RR )  ->  ( ( Im
`  x )  /  pi )  <_  0 )
121 df-neg 9040 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  -u 1  =  ( 0  -  1 )
12270mulm1i 9224 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( -u
1  x.  pi )  =  -u pi
12355adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  RR )  ->  -u pi  <  (
Im `  x )
)
124122, 123syl5eqbr 4056 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  RR )  ->  ( -u 1  x.  pi )  <  (
Im `  x )
)
12578renegcli 9108 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  -u 1  e.  RR
126125a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  RR )  ->  -u 1  e.  RR )
127 ltmuldiv 9626 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
-u 1  e.  RR  /\  ( Im `  x
)  e.  RR  /\  ( pi  e.  RR  /\  0  <  pi ) )  ->  ( ( -u 1  x.  pi )  <  ( Im `  x )  <->  -u 1  < 
( ( Im `  x )  /  pi ) ) )
128126, 68, 80, 81, 127syl112anc 1186 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  RR )  ->  ( ( -u
1  x.  pi )  <  ( Im `  x )  <->  -u 1  < 
( ( Im `  x )  /  pi ) ) )
129124, 128mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  RR )  ->  -u 1  <  (
( Im `  x
)  /  pi ) )
130121, 129syl5eqbrr 4057 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  RR )  ->  ( 0  -  1 )  <  (
( Im `  x
)  /  pi ) )
131 zlem1lt 10069 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  ( ( Im `  x )  /  pi )  e.  ZZ )  ->  ( 0  <_  (
( Im `  x
)  /  pi )  <-> 
( 0  -  1 )  <  ( ( Im `  x )  /  pi ) ) )
132117, 116, 131sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  RR )  ->  ( 0  <_ 
( ( Im `  x )  /  pi ) 
<->  ( 0  -  1 )  <  ( ( Im `  x )  /  pi ) ) )
133130, 132mpbird 223 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  RR )  ->  0  <_  (
( Im `  x
)  /  pi ) )
13468, 80, 74redivcld 9588 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  RR )  ->  ( ( Im
`  x )  /  pi )  e.  RR )
135 0re 8838 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  0  e.  RR
136 letri3 8907 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( Im `  x )  /  pi )  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  (
( ( Im `  x )  /  pi )  =  0  <->  ( (
( Im `  x
)  /  pi )  <_  0  /\  0  <_  ( ( Im `  x )  /  pi ) ) ) )
137134, 135, 136sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  RR )  ->  ( ( ( Im `  x )  /  pi )  =  0  <->  ( ( ( Im `  x )  /  pi )  <_ 
0  /\  0  <_  ( ( Im `  x
)  /  pi ) ) ) )
138120, 133, 137mpbir2and 888 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  RR )  ->  ( ( Im
`  x )  /  pi )  =  0
)
13969, 71, 74, 138diveq0d 9543 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  RR )  ->  ( Im `  x )  =  0 )
140 reim0b 11604 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  CC  ->  (
x  e.  RR  <->  ( Im `  x )  =  0 ) )
141140ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  RR )  ->  ( x  e.  RR  <->  ( Im `  x )  =  0 ) )
142139, 141mpbird 223 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  RR )  ->  x  e.  RR )
143142rpefcld 12385 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  RR )  ->  ( exp `  x
)  e.  RR+ )
144143ex 423 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x )  e.  ( -u pi (,) pi ) )  -> 
( ( exp `  x
)  e.  RR  ->  ( exp `  x )  e.  RR+ ) )
1454ellogdm 19986 . . . . . . . . 9  |-  ( ( exp `  x )  e.  D  <->  ( ( exp `  x )  e.  CC  /\  ( ( exp `  x )  e.  RR  ->  ( exp `  x )  e.  RR+ ) ) )
14667, 144, 145sylanbrc 645 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x )  e.  ( -u pi (,) pi ) )  -> 
( exp `  x
)  e.  D )
147 funfvima2 5754 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Fun  log  /\  D  C_  dom  log )  ->  (
( exp `  x
)  e.  D  -> 
( log `  ( exp `  x ) )  e.  ( log " D
) ) )
1489, 13, 147mp2an 653 . . . . . . . 8  |-  ( ( exp `  x )  e.  D  ->  ( log `  ( exp `  x
) )  e.  ( log " D ) )
149146, 148syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x )  e.  ( -u pi (,) pi ) )  -> 
( log `  ( exp `  x ) )  e.  ( log " D
) )
15065, 149eqeltrrd 2358 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x )  e.  ( -u pi (,) pi ) )  ->  x  e.  ( log " D ) )
15151, 150sylbi 187 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )  ->  x  e.  ( log " D
) )
152151ssriv 3184 . . . 4  |-  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) ) 
C_  ( log " D
)
15349, 152eqssi 3195 . . 3  |-  ( log " D )  =  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )
154 f1oeq3 5465 . . 3  |-  ( ( log " D )  =  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )  ->  (
( log  |`  D ) : D -1-1-onto-> ( log " D
)  <->  ( log  |`  D ) : D -1-1-onto-> ( `' Im "
( -u pi (,) pi ) ) ) )
155153, 154ax-mp 8 . 2  |-  ( ( log  |`  D ) : D -1-1-onto-> ( log " D
)  <->  ( log  |`  D ) : D -1-1-onto-> ( `' Im "
( -u pi (,) pi ) ) )
1567, 155mpbi 199 1  |-  ( log  |`  D ) : D -1-1-onto-> ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543    \ cdif 3149    C_ wss 3152   {csn 3640   class class class wbr 4023   `'ccnv 4688   dom cdm 4689   ran crn 4690    |` cres 4691   "cima 4692   Fun wfun 5249    Fn wfn 5250   -->wf 5251   -1-1->wf1 5252   -1-1-onto->wf1o 5254   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   CCcc 8735   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738   _ici 8739    + caddc 8740    x. cmul 8742    -oocmnf 8865   RR*cxr 8866    < clt 8867    <_ cle 8868    - cmin 9037   -ucneg 9038    / cdiv 9423   ZZcz 10024   RR+crp 10354   (,)cioo 10656   (,]cioc 10657   Recre 11582   Imcim 11583   expce 12343   sincsin 12345   cosccos 12346   picpi 12348   logclog 19912
This theorem is referenced by:  efopnlem2  20004
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-addf 8816  ax-mulf 8817
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-fi 7165  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-ioo 10660  df-ioc 10661  df-ico 10662  df-icc 10663  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-mod 10974  df-seq 11047  df-exp 11105  df-fac 11289  df-bc 11316  df-hash 11338  df-shft 11562  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-limsup 11945  df-clim 11962  df-rlim 11963  df-sum 12159  df-ef 12349  df-sin 12351  df-cos 12352  df-pi 12354  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-starv 13223  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-hom 13232  df-cco 13233  df-rest 13327  df-topn 13328  df-topgen 13344  df-pt 13345  df-prds 13348  df-xrs 13403  df-0g 13404  df-gsum 13405  df-qtop 13410  df-imas 13411  df-xps 13413  df-mre 13488  df-mrc 13489  df-acs 13491  df-mnd 14367  df-submnd 14416  df-mulg 14492  df-cntz 14793  df-cmn 15091  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-cnfld 16378  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-topsp 16640  df-cld 16756  df-ntr 16757  df-cls 16758  df-nei 16835  df-lp 16868  df-perf 16869  df-cn 16957  df-cnp 16958  df-haus 17043  df-tx 17257  df-hmeo 17446  df-fbas 17520  df-fg 17521  df-fil 17541  df-fm 17633  df-flim 17634  df-flf 17635  df-xms 17885  df-ms 17886  df-tms 17887  df-cncf 18382  df-limc 19216  df-dv 19217  df-log 19914
  Copyright terms: Public domain W3C validator