MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  logfac Unicode version

Theorem logfac 19970
Description: The logarithm of a factorial can be expressed as a finite sum of logs. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
logfac  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( log `  ( ! `  N
) )  =  sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( log `  k ) )
Distinct variable group:    k, N

Proof of Theorem logfac
Dummy variable  n is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elnn0 9983 . 2  |-  ( N  e.  NN0  <->  ( N  e.  NN  \/  N  =  0 ) )
2 rpmulcl 10391 . . . . . 6  |-  ( ( k  e.  RR+  /\  n  e.  RR+ )  ->  (
k  x.  n )  e.  RR+ )
32adantl 452 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( k  e.  RR+  /\  n  e.  RR+ )
)  ->  ( k  x.  n )  e.  RR+ )
4 vex 2804 . . . . . . 7  |-  k  e. 
_V
5 fvi 5595 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  _V  ->  (  _I  `  k )  =  k )
64, 5ax-mp 8 . . . . . 6  |-  (  _I 
`  k )  =  k
7 elfznn 10835 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  k  e.  NN )
87adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  k  e.  NN )
98nnrpd 10405 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  k  e.  RR+ )
106, 9syl5eqel 2380 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  (  _I  `  k )  e.  RR+ )
11 elnnuz 10280 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  <->  N  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
1211biimpi 186 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
13 relogmul 19961 . . . . . 6  |-  ( ( k  e.  RR+  /\  n  e.  RR+ )  ->  ( log `  ( k  x.  n ) )  =  ( ( log `  k
)  +  ( log `  n ) ) )
1413adantl 452 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( k  e.  RR+  /\  n  e.  RR+ )
)  ->  ( log `  ( k  x.  n
) )  =  ( ( log `  k
)  +  ( log `  n ) ) )
156fveq2i 5544 . . . . . 6  |-  ( log `  (  _I  `  k
) )  =  ( log `  k )
1615a1i 10 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( log `  (  _I  `  k ) )  =  ( log `  k
) )
173, 10, 12, 14, 16seqhomo 11109 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  ( log `  (  seq  1
(  x.  ,  _I  ) `  N )
)  =  (  seq  1 (  +  ,  log ) `  N ) )
18 facnn 11306 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  ( ! `  N )  =  (  seq  1
(  x.  ,  _I  ) `  N )
)
1918fveq2d 5545 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  ( log `  ( ! `  N ) )  =  ( log `  (  seq  1 (  x.  ,  _I  ) `  N ) ) )
20 eqidd 2297 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( log `  k
)  =  ( log `  k ) )
21 relogcl 19948 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  RR+  ->  ( log `  k )  e.  RR )
229, 21syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( log `  k
)  e.  RR )
2322recnd 8877 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( log `  k
)  e.  CC )
2420, 12, 23fsumser 12219 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... N
) ( log `  k
)  =  (  seq  1 (  +  ,  log ) `  N ) )
2517, 19, 243eqtr4d 2338 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  ( log `  ( ! `  N ) )  = 
sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( log `  k
) )
26 log1 19955 . . . . 5  |-  ( log `  1 )  =  0
27 sum0 12210 . . . . 5  |-  sum_ k  e.  (/)  ( log `  k
)  =  0
2826, 27eqtr4i 2319 . . . 4  |-  ( log `  1 )  = 
sum_ k  e.  (/)  ( log `  k )
29 fveq2 5541 . . . . . 6  |-  ( N  =  0  ->  ( ! `  N )  =  ( ! ` 
0 ) )
30 fac0 11307 . . . . . 6  |-  ( ! `
 0 )  =  1
3129, 30syl6eq 2344 . . . . 5  |-  ( N  =  0  ->  ( ! `  N )  =  1 )
3231fveq2d 5545 . . . 4  |-  ( N  =  0  ->  ( log `  ( ! `  N ) )  =  ( log `  1
) )
33 oveq2 5882 . . . . . 6  |-  ( N  =  0  ->  (
1 ... N )  =  ( 1 ... 0
) )
34 fz10 10830 . . . . . 6  |-  ( 1 ... 0 )  =  (/)
3533, 34syl6eq 2344 . . . . 5  |-  ( N  =  0  ->  (
1 ... N )  =  (/) )
3635sumeq1d 12190 . . . 4  |-  ( N  =  0  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... N
) ( log `  k
)  =  sum_ k  e.  (/)  ( log `  k
) )
3728, 32, 363eqtr4a 2354 . . 3  |-  ( N  =  0  ->  ( log `  ( ! `  N ) )  = 
sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( log `  k
) )
3825, 37jaoi 368 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  \/  N  =  0 )  ->  ( log `  ( ! `  N )
)  =  sum_ k  e.  ( 1 ... N
) ( log `  k
) )
391, 38sylbi 187 1  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( log `  ( ! `  N
) )  =  sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( log `  k ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 357    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   _Vcvv 2801   (/)c0 3468    _I cid 4320   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   RRcr 8752   0cc0 8753   1c1 8754    + caddc 8756    x. cmul 8758   NNcn 9762   NN0cn0 9981   ZZ>=cuz 10246   RR+crp 10370   ...cfz 10798    seq cseq 11062   !cfa 11304   sum_csu 12174   logclog 19928
This theorem is referenced by:  birthdaylem2  20263  logfac2  20472  logfaclbnd  20477  logfacbnd3  20478
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831  ax-addf 8832  ax-mulf 8833
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-pm 6791  df-ixp 6834  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-fi 7181  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-cda 7810  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-xneg 10468  df-xadd 10469  df-xmul 10470  df-ioo 10676  df-ioc 10677  df-ico 10678  df-icc 10679  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-fl 10941  df-mod 10990  df-seq 11063  df-exp 11121  df-fac 11305  df-bc 11332  df-hash 11354  df-shft 11578  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-limsup 11961  df-clim 11978  df-rlim 11979  df-sum 12175  df-ef 12365  df-sin 12367  df-cos 12368  df-pi 12370  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-starv 13239  df-sca 13240  df-vsca 13241  df-tset 13243  df-ple 13244  df-ds 13246  df-hom 13248  df-cco 13249  df-rest 13343  df-topn 13344  df-topgen 13360  df-pt 13361  df-prds 13364  df-xrs 13419  df-0g 13420  df-gsum 13421  df-qtop 13426  df-imas 13427  df-xps 13429  df-mre 13504  df-mrc 13505  df-acs 13507  df-mnd 14383  df-submnd 14432  df-mulg 14508  df-cntz 14809  df-cmn 15107  df-xmet 16389  df-met 16390  df-bl 16391  df-mopn 16392  df-cnfld 16394  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-topsp 16656  df-cld 16772  df-ntr 16773  df-cls 16774  df-nei 16851  df-lp 16884  df-perf 16885  df-cn 16973  df-cnp 16974  df-haus 17059  df-tx 17273  df-hmeo 17462  df-fbas 17536  df-fg 17537  df-fil 17557  df-fm 17649  df-flim 17650  df-flf 17651  df-xms 17901  df-ms 17902  df-tms 17903  df-cncf 18398  df-limc 19232  df-dv 19233  df-log 19930
  Copyright terms: Public domain W3C validator