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Theorem logfaclbnd 20573
Description: A lower bound on the logarithm of a factorial. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Apr-2016.)
Assertion
Ref Expression
logfaclbnd  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( A  x.  ( ( log `  A )  -  2 ) )  <_  ( log `  ( ! `  ( |_ `  A ) ) ) )

Proof of Theorem logfaclbnd
Dummy variables  d  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rpcn 10454 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR+  ->  A  e.  CC )
21times2d 10047 . . . 4  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( A  x.  2 )  =  ( A  +  A
) )
32oveq2d 5961 . . 3  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( ( A  x.  ( log `  A ) )  -  ( A  x.  2
) )  =  ( ( A  x.  ( log `  A ) )  -  ( A  +  A ) ) )
4 relogcl 20040 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( log `  A )  e.  RR )
54recnd 8951 . . . 4  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( log `  A )  e.  CC )
6 2cn 9906 . . . . 5  |-  2  e.  CC
76a1i 10 . . . 4  |-  ( A  e.  RR+  ->  2  e.  CC )
81, 5, 7subdid 9325 . . 3  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( A  x.  ( ( log `  A )  -  2 ) )  =  ( ( A  x.  ( log `  A ) )  -  ( A  x.  2 ) ) )
9 rpre 10452 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR+  ->  A  e.  RR )
109, 4remulcld 8953 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( A  x.  ( log `  A
) )  e.  RR )
1110recnd 8951 . . . 4  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( A  x.  ( log `  A
) )  e.  CC )
1211, 1, 1subsub4d 9278 . . 3  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( ( ( A  x.  ( log `  A ) )  -  A )  -  A )  =  ( ( A  x.  ( log `  A ) )  -  ( A  +  A ) ) )
133, 8, 123eqtr4d 2400 . 2  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( A  x.  ( ( log `  A )  -  2 ) )  =  ( ( ( A  x.  ( log `  A ) )  -  A )  -  A ) )
1410, 9resubcld 9301 . . . 4  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( ( A  x.  ( log `  A ) )  -  A )  e.  RR )
15 fzfid 11127 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  e. 
Fin )
16 fzfid 11127 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( 1 ... n )  e. 
Fin )
17 elfznn 10911 . . . . . . . 8  |-  ( d  e.  ( 1 ... n )  ->  d  e.  NN )
1817adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  d  e.  ( 1 ... n ) )  ->  d  e.  NN )
1918nnrecred 9881 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  d  e.  ( 1 ... n ) )  ->  ( 1  /  d )  e.  RR )
2016, 19fsumrecl 12304 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  sum_ d  e.  ( 1 ... n
) ( 1  / 
d )  e.  RR )
2115, 20fsumrecl 12304 . . . 4  |-  ( A  e.  RR+  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )
sum_ d  e.  ( 1 ... n ) ( 1  /  d
)  e.  RR )
22 rprege0 10460 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A ) )
23 flge0nn0 11040 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  -> 
( |_ `  A
)  e.  NN0 )
2422, 23syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( |_
`  A )  e. 
NN0 )
25 faccl 11391 . . . . . . . 8  |-  ( ( |_ `  A )  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( |_ `  A ) )  e.  NN )
2624, 25syl 15 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( ! `
 ( |_ `  A ) )  e.  NN )
2726nnrpd 10481 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( ! `
 ( |_ `  A ) )  e.  RR+ )
2827relogcld 20085 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( log `  ( ! `  ( |_ `  A ) ) )  e.  RR )
2928, 9readdcld 8952 . . . 4  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( ( log `  ( ! `
 ( |_ `  A ) ) )  +  A )  e.  RR )
30 elfznn 10911 . . . . . . . . . 10  |-  ( d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A
) )  ->  d  e.  NN )
3130adantl 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  d  e.  NN )
3231nnrecred 9881 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( 1  /  d )  e.  RR )
3315, 32fsumrecl 12304 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR+  ->  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( 1  /  d
)  e.  RR )
349, 33remulcld 8953 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( A  x.  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) ( 1  /  d
) )  e.  RR )
35 reflcl 11020 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR  ->  ( |_ `  A )  e.  RR )
369, 35syl 15 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( |_
`  A )  e.  RR )
3734, 36resubcld 9301 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( ( A  x.  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( 1  /  d
) )  -  ( |_ `  A ) )  e.  RR )
38 harmoniclbnd 20414 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( log `  A )  <_  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( 1  /  d
) )
39 rpregt0 10459 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( A  e.  RR  /\  0  <  A ) )
40 lemul2 9699 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( log `  A
)  e.  RR  /\  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( 1  /  d )  e.  RR  /\  ( A  e.  RR  /\  0  <  A ) )  -> 
( ( log `  A
)  <_  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( 1  /  d
)  <->  ( A  x.  ( log `  A ) )  <_  ( A  x.  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) ( 1  /  d
) ) ) )
414, 33, 39, 40syl3anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( ( log `  A )  <_  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) ( 1  /  d
)  <->  ( A  x.  ( log `  A ) )  <_  ( A  x.  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) ( 1  /  d
) ) ) )
4238, 41mpbid 201 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( A  x.  ( log `  A
) )  <_  ( A  x.  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( 1  /  d
) ) )
43 flle 11023 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR  ->  ( |_ `  A )  <_  A )
449, 43syl 15 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( |_
`  A )  <_  A )
4510, 36, 34, 9, 42, 44le2subd 9481 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( ( A  x.  ( log `  A ) )  -  A )  <_  (
( A  x.  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( 1  /  d ) )  -  ( |_
`  A ) ) )
4630nnrecred 9881 . . . . . . . . 9  |-  ( d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A
) )  ->  (
1  /  d )  e.  RR )
47 remulcl 8912 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR  /\  ( 1  /  d
)  e.  RR )  ->  ( A  x.  ( 1  /  d
) )  e.  RR )
489, 46, 47syl2an 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( A  x.  ( 1  /  d
) )  e.  RR )
49 peano2rem 9203 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  x.  ( 1  /  d ) )  e.  RR  ->  (
( A  x.  (
1  /  d ) )  -  1 )  e.  RR )
5048, 49syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( ( A  x.  ( 1  /  d ) )  -  1 )  e.  RR )
51 fzfid 11127 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( d ... ( |_ `  A
) )  e.  Fin )
5232adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  n  e.  ( d ... ( |_
`  A ) ) )  ->  ( 1  /  d )  e.  RR )
5351, 52fsumrecl 12304 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  sum_ n  e.  ( d ... ( |_ `  A ) ) ( 1  /  d
)  e.  RR )
549adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  A  e.  RR )
5554, 35syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( |_ `  A )  e.  RR )
56 peano2re 9075 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( |_ `  A )  e.  RR  ->  (
( |_ `  A
)  +  1 )  e.  RR )
5755, 56syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( ( |_ `  A )  +  1 )  e.  RR )
5831nnred 9851 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  d  e.  RR )
59 fllep1 11025 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  RR  ->  A  <_  ( ( |_ `  A )  +  1 ) )
609, 59syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  RR+  ->  A  <_ 
( ( |_ `  A )  +  1 ) )
6160adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  A  <_  ( ( |_ `  A
)  +  1 ) )
6254, 57, 58, 61lesub1dd 9478 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( A  -  d )  <_ 
( ( ( |_
`  A )  +  1 )  -  d
) )
6354, 58resubcld 9301 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( A  -  d )  e.  RR )
6457, 58resubcld 9301 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( (
( |_ `  A
)  +  1 )  -  d )  e.  RR )
6531nnrpd 10481 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  d  e.  RR+ )
6665rpreccld 10492 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( 1  /  d )  e.  RR+ )
6763, 64, 66lemul1d 10521 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( ( A  -  d )  <_  ( ( ( |_
`  A )  +  1 )  -  d
)  <->  ( ( A  -  d )  x.  ( 1  /  d
) )  <_  (
( ( ( |_
`  A )  +  1 )  -  d
)  x.  ( 1  /  d ) ) ) )
6862, 67mpbid 201 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( ( A  -  d )  x.  ( 1  /  d
) )  <_  (
( ( ( |_
`  A )  +  1 )  -  d
)  x.  ( 1  /  d ) ) )
691adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  A  e.  CC )
7031nncnd 9852 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  d  e.  CC )
7132recnd 8951 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( 1  /  d )  e.  CC )
7269, 70, 71subdird 9326 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( ( A  -  d )  x.  ( 1  /  d
) )  =  ( ( A  x.  (
1  /  d ) )  -  ( d  x.  ( 1  / 
d ) ) ) )
7331nnne0d 9880 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  d  =/=  0 )
7470, 73recidd 9621 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( d  x.  ( 1  /  d
) )  =  1 )
7574oveq2d 5961 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( ( A  x.  ( 1  /  d ) )  -  ( d  x.  ( 1  /  d
) ) )  =  ( ( A  x.  ( 1  /  d
) )  -  1 ) )
7672, 75eqtr2d 2391 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( ( A  x.  ( 1  /  d ) )  -  1 )  =  ( ( A  -  d )  x.  (
1  /  d ) ) )
77 fsumconst 12349 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( d ... ( |_ `  A ) )  e.  Fin  /\  (
1  /  d )  e.  CC )  ->  sum_ n  e.  ( d ... ( |_ `  A ) ) ( 1  /  d )  =  ( ( # `  ( d ... ( |_ `  A ) ) )  x.  ( 1  /  d ) ) )
7851, 71, 77syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  sum_ n  e.  ( d ... ( |_ `  A ) ) ( 1  /  d
)  =  ( (
# `  ( d ... ( |_ `  A
) ) )  x.  ( 1  /  d
) ) )
79 elfzuz3 10887 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A
) )  ->  ( |_ `  A )  e.  ( ZZ>= `  d )
)
8079adantl 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( |_ `  A )  e.  (
ZZ>= `  d ) )
81 hashfz 11477 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( |_ `  A )  e.  ( ZZ>= `  d
)  ->  ( # `  (
d ... ( |_ `  A ) ) )  =  ( ( ( |_ `  A )  -  d )  +  1 ) )
8280, 81syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( # `  (
d ... ( |_ `  A ) ) )  =  ( ( ( |_ `  A )  -  d )  +  1 ) )
8336recnd 8951 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( |_
`  A )  e.  CC )
8483adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( |_ `  A )  e.  CC )
85 ax-1cn 8885 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  e.  CC
8685a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  1  e.  CC )
8784, 86, 70addsubd 9268 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( (
( |_ `  A
)  +  1 )  -  d )  =  ( ( ( |_
`  A )  -  d )  +  1 ) )
8882, 87eqtr4d 2393 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( # `  (
d ... ( |_ `  A ) ) )  =  ( ( ( |_ `  A )  +  1 )  -  d ) )
8988oveq1d 5960 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( ( # `
 ( d ... ( |_ `  A
) ) )  x.  ( 1  /  d
) )  =  ( ( ( ( |_
`  A )  +  1 )  -  d
)  x.  ( 1  /  d ) ) )
9078, 89eqtrd 2390 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  sum_ n  e.  ( d ... ( |_ `  A ) ) ( 1  /  d
)  =  ( ( ( ( |_ `  A )  +  1 )  -  d )  x.  ( 1  / 
d ) ) )
9168, 76, 903brtr4d 4134 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( ( A  x.  ( 1  /  d ) )  -  1 )  <_  sum_ n  e.  ( d ... ( |_ `  A ) ) ( 1  /  d ) )
9215, 50, 53, 91fsumle 12354 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR+  ->  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( ( A  x.  ( 1  /  d
) )  -  1 )  <_  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )
sum_ n  e.  (
d ... ( |_ `  A ) ) ( 1  /  d ) )
9315, 1, 71fsummulc2 12343 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( A  x.  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) ( 1  /  d
) )  =  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( A  x.  ( 1  /  d ) ) )
94 fsumconst 12349 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 1 ... ( |_ `  A ) )  e.  Fin  /\  1  e.  CC )  ->  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) 1  =  ( (
# `  ( 1 ... ( |_ `  A
) ) )  x.  1 ) )
9515, 85, 94sylancl 643 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  RR+  ->  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) 1  =  ( (
# `  ( 1 ... ( |_ `  A
) ) )  x.  1 ) )
96 hashfz1 11438 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( |_ `  A )  e.  NN0  ->  ( # `  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  =  ( |_
`  A ) )
9724, 96syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( # `  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  =  ( |_
`  A ) )
9897oveq1d 5960 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( (
# `  ( 1 ... ( |_ `  A
) ) )  x.  1 )  =  ( ( |_ `  A
)  x.  1 ) )
9983mulid1d 8942 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( ( |_ `  A )  x.  1 )  =  ( |_ `  A
) )
10095, 98, 993eqtrrd 2395 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( |_
`  A )  = 
sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) 1 )
10193, 100oveq12d 5963 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( ( A  x.  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( 1  /  d
) )  -  ( |_ `  A ) )  =  ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( A  x.  (
1  /  d ) )  -  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) 1 ) )
10248recnd 8951 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( A  x.  ( 1  /  d
) )  e.  CC )
10315, 102, 86fsumsub 12347 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR+  ->  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( ( A  x.  ( 1  /  d
) )  -  1 )  =  ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( A  x.  ( 1  /  d ) )  -  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) 1 ) )
104101, 103eqtr4d 2393 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( ( A  x.  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( 1  /  d
) )  -  ( |_ `  A ) )  =  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) ( ( A  x.  ( 1  /  d
) )  -  1 ) )
105 eqid 2358 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ZZ>= ` 
1 )  =  (
ZZ>= `  1 )
106105uztrn2 10337 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( d  e.  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  d )
)  ->  n  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
107106adantl 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  (
d  e.  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  d )
) )  ->  n  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
108107biantrurd 494 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  (
d  e.  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  d )
) )  ->  (
( |_ `  A
)  e.  ( ZZ>= `  n )  <->  ( n  e.  ( ZZ>= `  1 )  /\  ( |_ `  A
)  e.  ( ZZ>= `  n ) ) ) )
109 uzss 10340 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  d
)  ->  ( ZZ>= `  n )  C_  ( ZZ>=
`  d ) )
110109ad2antll 709 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  (
d  e.  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  d )
) )  ->  ( ZZ>=
`  n )  C_  ( ZZ>= `  d )
)
111110sseld 3255 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  (
d  e.  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  d )
) )  ->  (
( |_ `  A
)  e.  ( ZZ>= `  n )  ->  ( |_ `  A )  e.  ( ZZ>= `  d )
) )
112111pm4.71rd 616 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  (
d  e.  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  d )
) )  ->  (
( |_ `  A
)  e.  ( ZZ>= `  n )  <->  ( ( |_ `  A )  e.  ( ZZ>= `  d )  /\  ( |_ `  A
)  e.  ( ZZ>= `  n ) ) ) )
113108, 112bitr3d 246 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  (
d  e.  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  d )
) )  ->  (
( n  e.  (
ZZ>= `  1 )  /\  ( |_ `  A )  e.  ( ZZ>= `  n
) )  <->  ( ( |_ `  A )  e.  ( ZZ>= `  d )  /\  ( |_ `  A
)  e.  ( ZZ>= `  n ) ) ) )
114113pm5.32da 622 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( ( ( d  e.  (
ZZ>= `  1 )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  d ) )  /\  ( n  e.  ( ZZ>=
`  1 )  /\  ( |_ `  A )  e.  ( ZZ>= `  n
) ) )  <->  ( (
d  e.  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  d )
)  /\  ( ( |_ `  A )  e.  ( ZZ>= `  d )  /\  ( |_ `  A
)  e.  ( ZZ>= `  n ) ) ) ) )
115 ancom 437 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( n  e.  (
ZZ>= `  1 )  /\  ( |_ `  A )  e.  ( ZZ>= `  n
) )  /\  (
d  e.  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  d )
) )  <->  ( (
d  e.  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  d )
)  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  1 )  /\  ( |_ `  A
)  e.  ( ZZ>= `  n ) ) ) )
116 an4 797 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( d  e.  (
ZZ>= `  1 )  /\  ( |_ `  A )  e.  ( ZZ>= `  d
) )  /\  (
n  e.  ( ZZ>= `  d )  /\  ( |_ `  A )  e.  ( ZZ>= `  n )
) )  <->  ( (
d  e.  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  d )
)  /\  ( ( |_ `  A )  e.  ( ZZ>= `  d )  /\  ( |_ `  A
)  e.  ( ZZ>= `  n ) ) ) )
117114, 115, 1163bitr4g 279 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( ( ( n  e.  (
ZZ>= `  1 )  /\  ( |_ `  A )  e.  ( ZZ>= `  n
) )  /\  (
d  e.  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  d )
) )  <->  ( (
d  e.  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  ( |_ `  A )  e.  ( ZZ>= `  d )
)  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  d )  /\  ( |_ `  A
)  e.  ( ZZ>= `  n ) ) ) ) )
118 elfzuzb 10884 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A
) )  <->  ( n  e.  ( ZZ>= `  1 )  /\  ( |_ `  A
)  e.  ( ZZ>= `  n ) ) )
119 elfzuzb 10884 . . . . . . . . 9  |-  ( d  e.  ( 1 ... n )  <->  ( d  e.  ( ZZ>= `  1 )  /\  n  e.  ( ZZ>=
`  d ) ) )
120118, 119anbi12i 678 . . . . . . . 8  |-  ( ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  /\  d  e.  ( 1 ... n ) )  <-> 
( ( n  e.  ( ZZ>= `  1 )  /\  ( |_ `  A
)  e.  ( ZZ>= `  n ) )  /\  ( d  e.  (
ZZ>= `  1 )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  d ) ) ) )
121 elfzuzb 10884 . . . . . . . . 9  |-  ( d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A
) )  <->  ( d  e.  ( ZZ>= `  1 )  /\  ( |_ `  A
)  e.  ( ZZ>= `  d ) ) )
122 elfzuzb 10884 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  ( d ... ( |_ `  A
) )  <->  ( n  e.  ( ZZ>= `  d )  /\  ( |_ `  A
)  e.  ( ZZ>= `  n ) ) )
123121, 122anbi12i 678 . . . . . . . 8  |-  ( ( d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  /\  n  e.  ( d ... ( |_ `  A
) ) )  <->  ( (
d  e.  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  ( |_ `  A )  e.  ( ZZ>= `  d )
)  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  d )  /\  ( |_ `  A
)  e.  ( ZZ>= `  n ) ) ) )
124117, 120, 1233bitr4g 279 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  /\  d  e.  ( 1 ... n ) )  <-> 
( d  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) )  /\  n  e.  ( d ... ( |_
`  A ) ) ) ) )
12519recnd 8951 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  d  e.  ( 1 ... n ) )  ->  ( 1  /  d )  e.  CC )
126125anasss 628 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  (
n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  /\  d  e.  ( 1 ... n ) ) )  ->  ( 1  /  d )  e.  CC )
12715, 15, 16, 124, 126fsumcom2 12334 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR+  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )
sum_ d  e.  ( 1 ... n ) ( 1  /  d
)  =  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )
sum_ n  e.  (
d ... ( |_ `  A ) ) ( 1  /  d ) )
12892, 104, 1273brtr4d 4134 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( ( A  x.  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( 1  /  d
) )  -  ( |_ `  A ) )  <_  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) )
sum_ d  e.  ( 1 ... n ) ( 1  /  d
) )
12914, 37, 21, 45, 128letrd 9063 . . . 4  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( ( A  x.  ( log `  A ) )  -  A )  <_  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )
sum_ d  e.  ( 1 ... n ) ( 1  /  d
) )
13028, 36readdcld 8952 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( ( log `  ( ! `
 ( |_ `  A ) ) )  +  ( |_ `  A ) )  e.  RR )
131 elfznn 10911 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A
) )  ->  n  e.  NN )
132131adantl 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  n  e.  NN )
133132nnrpd 10481 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  n  e.  RR+ )
134133relogcld 20085 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( log `  n )  e.  RR )
135 peano2re 9075 . . . . . . . 8  |-  ( ( log `  n )  e.  RR  ->  (
( log `  n
)  +  1 )  e.  RR )
136134, 135syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( ( log `  n )  +  1 )  e.  RR )
137 nnz 10137 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  ZZ )
138 flid 11031 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  ZZ  ->  ( |_ `  n )  =  n )
139137, 138syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  ->  ( |_ `  n )  =  n )
140139oveq2d 5961 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  (
1 ... ( |_ `  n ) )  =  ( 1 ... n
) )
141140sumeq1d 12271 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  n ) ) ( 1  /  d
)  =  sum_ d  e.  ( 1 ... n
) ( 1  / 
d ) )
142 nnre 9843 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  RR )
143 nnge1 9862 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  1  <_  n )
144 harmonicubnd 20415 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  RR  /\  1  <_  n )  ->  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  n ) ) ( 1  /  d )  <_  ( ( log `  n )  +  1 ) )
145142, 143, 144syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  n ) ) ( 1  /  d
)  <_  ( ( log `  n )  +  1 ) )
146141, 145eqbrtrrd 4126 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  sum_ d  e.  ( 1 ... n
) ( 1  / 
d )  <_  (
( log `  n
)  +  1 ) )
147132, 146syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  sum_ d  e.  ( 1 ... n
) ( 1  / 
d )  <_  (
( log `  n
)  +  1 ) )
14815, 20, 136, 147fsumle 12354 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR+  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )
sum_ d  e.  ( 1 ... n ) ( 1  /  d
)  <_  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( ( log `  n
)  +  1 ) )
149134recnd 8951 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( log `  n )  e.  CC )
15085a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  1  e.  CC )
15115, 149, 150fsumadd 12308 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR+  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( ( log `  n
)  +  1 )  =  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( log `  n
)  +  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) 1 ) )
152 logfac 20062 . . . . . . . . 9  |-  ( ( |_ `  A )  e.  NN0  ->  ( log `  ( ! `  ( |_ `  A ) ) )  =  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( log `  n
) )
15324, 152syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( log `  ( ! `  ( |_ `  A ) ) )  =  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( log `  n
) )
154 fsumconst 12349 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 1 ... ( |_ `  A ) )  e.  Fin  /\  1  e.  CC )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) 1  =  ( (
# `  ( 1 ... ( |_ `  A
) ) )  x.  1 ) )
15515, 85, 154sylancl 643 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  RR+  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) 1  =  ( (
# `  ( 1 ... ( |_ `  A
) ) )  x.  1 ) )
156155, 98, 993eqtrrd 2395 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( |_
`  A )  = 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  A ) ) 1 )
157153, 156oveq12d 5963 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( ( log `  ( ! `
 ( |_ `  A ) ) )  +  ( |_ `  A ) )  =  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) ( log `  n
)  +  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) 1 ) )
158151, 157eqtr4d 2393 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR+  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( ( log `  n
)  +  1 )  =  ( ( log `  ( ! `  ( |_ `  A ) ) )  +  ( |_
`  A ) ) )
159148, 158breqtrd 4128 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR+  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )
sum_ d  e.  ( 1 ... n ) ( 1  /  d
)  <_  ( ( log `  ( ! `  ( |_ `  A ) ) )  +  ( |_ `  A ) ) )
16036, 9, 28, 44leadd2dd 9477 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( ( log `  ( ! `
 ( |_ `  A ) ) )  +  ( |_ `  A ) )  <_ 
( ( log `  ( ! `  ( |_ `  A ) ) )  +  A ) )
16121, 130, 29, 159, 160letrd 9063 . . . 4  |-  ( A  e.  RR+  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )
sum_ d  e.  ( 1 ... n ) ( 1  /  d
)  <_  ( ( log `  ( ! `  ( |_ `  A ) ) )  +  A
) )
16214, 21, 29, 129, 161letrd 9063 . . 3  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( ( A  x.  ( log `  A ) )  -  A )  <_  (
( log `  ( ! `  ( |_ `  A ) ) )  +  A ) )
16314, 9, 28lesubaddd 9459 . . 3  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( ( ( ( A  x.  ( log `  A ) )  -  A )  -  A )  <_ 
( log `  ( ! `  ( |_ `  A ) ) )  <-> 
( ( A  x.  ( log `  A ) )  -  A )  <_  ( ( log `  ( ! `  ( |_ `  A ) ) )  +  A ) ) )
164162, 163mpbird 223 . 2  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( ( ( A  x.  ( log `  A ) )  -  A )  -  A )  <_  ( log `  ( ! `  ( |_ `  A ) ) ) )
16513, 164eqbrtrd 4124 1  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( A  x.  ( ( log `  A )  -  2 ) )  <_  ( log `  ( ! `  ( |_ `  A ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1642    e. wcel 1710    C_ wss 3228   class class class wbr 4104   ` cfv 5337  (class class class)co 5945   Fincfn 6951   CCcc 8825   RRcr 8826   0cc0 8827   1c1 8828    + caddc 8830    x. cmul 8832    < clt 8957    <_ cle 8958    - cmin 9127    / cdiv 9513   NNcn 9836   2c2 9885   NN0cn0 10057   ZZcz 10116   ZZ>=cuz 10322   RR+crp 10446   ...cfz 10874   |_cfl 11016   !cfa 11381   #chash 11430   sum_csu 12255   logclog 20019
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-rep 4212  ax-sep 4222  ax-nul 4230  ax-pow 4269  ax-pr 4295  ax-un 4594  ax-inf2 7432  ax-cnex 8883  ax-resscn 8884  ax-1cn 8885  ax-icn 8886  ax-addcl 8887  ax-addrcl 8888  ax-mulcl 8889  ax-mulrcl 8890  ax-mulcom 8891  ax-addass 8892  ax-mulass 8893  ax-distr 8894  ax-i2m1 8895  ax-1ne0 8896  ax-1rid 8897  ax-rnegex 8898  ax-rrecex 8899  ax-cnre 8900  ax-pre-lttri 8901  ax-pre-lttrn 8902  ax-pre-ltadd 8903  ax-pre-mulgt0 8904  ax-pre-sup 8905  ax-addf 8906  ax-mulf 8907
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-nel 2524  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rmo 2627  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-uni 3909  df-int 3944  df-iun 3988  df-iin 3989  df-br 4105  df-opab 4159  df-mpt 4160  df-tr 4195  df-eprel 4387  df-id 4391  df-po 4396  df-so 4397  df-fr 4434  df-se 4435  df-we 4436  df-ord 4477  df-on 4478  df-lim 4479  df-suc 4480  df-om 4739  df-xp 4777  df-rel 4778  df-cnv 4779  df-co 4780  df-dm 4781  df-rn 4782  df-res 4783  df-ima 4784  df-iota 5301  df-fun 5339  df-fn 5340  df-f 5341  df-f1 5342  df-fo 5343  df-f1o 5344  df-fv 5345  df-isom 5346  df-ov 5948  df-oprab 5949  df-mpt2 5950  df-of 6165  df-1st 6209  df-2nd 6210  df-riota 6391  df-recs 6475  df-rdg 6510  df-1o 6566  df-2o 6567  df-oadd 6570  df-er 6747  df-map 6862  df-pm 6863  df-ixp 6906  df-en 6952  df-dom 6953  df-sdom 6954  df-fin 6955  df-fi 7255  df-sup 7284  df-oi 7315  df-card 7662  df-cda 7884  df-pnf 8959  df-mnf 8960  df-xr 8961  df-ltxr 8962  df-le 8963  df-sub 9129  df-neg 9130  df-div 9514  df-nn 9837  df-2 9894  df-3 9895  df-4 9896  df-5 9897  df-6 9898  df-7 9899  df-8 9900  df-9 9901  df-10 9902  df-n0 10058  df-z 10117  df-dec 10217  df-uz 10323  df-q 10409  df-rp 10447  df-xneg 10544  df-xadd 10545  df-xmul 10546  df-ioo 10752  df-ioc 10753  df-ico 10754  df-icc 10755  df-fz 10875  df-fzo 10963  df-fl 11017  df-mod 11066  df-seq 11139  df-exp 11198  df-fac 11382  df-bc 11409  df-hash 11431  df-shft 11658  df-cj 11680  df-re 11681  df-im 11682  df-sqr 11816  df-abs 11817  df-limsup 12041  df-clim 12058  df-rlim 12059  df-sum 12256  df-ef 12446  df-e 12447  df-sin 12448  df-cos 12449  df-pi 12451  df-struct 13247  df-ndx 13248  df-slot 13249  df-base 13250  df-sets 13251  df-ress 13252  df-plusg 13318  df-mulr 13319  df-starv 13320  df-sca 13321  df-vsca 13322  df-tset 13324  df-ple 13325  df-ds 13327  df-unif 13328  df-hom 13329  df-cco 13330  df-rest 13426  df-topn 13427  df-topgen 13443  df-pt 13444  df-prds 13447  df-xrs 13502  df-0g 13503  df-gsum 13504  df-qtop 13509  df-imas 13510  df-xps 13512  df-mre 13587  df-mrc 13588  df-acs 13590  df-mnd 14466  df-submnd 14515  df-mulg 14591  df-cntz 14892  df-cmn 15190  df-xmet 16475  df-met 16476  df-bl 16477  df-mopn 16478  df-fbas 16479  df-fg 16480  df-cnfld 16483  df-top 16742  df-bases 16744  df-topon 16745  df-topsp 16746  df-cld 16862  df-ntr 16863  df-cls 16864  df-nei 16941  df-lp 16974  df-perf 16975  df-cn 17063  df-cnp 17064  df-haus 17149  df-tx 17363  df-hmeo 17552  df-fil 17643  df-fm 17735  df-flim 17736  df-flf 17737  df-xms 17987  df-ms 17988  df-tms 17989  df-cncf 18485  df-limc 19320  df-dv 19321  df-log 20021  df-em 20398
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