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Theorem logfaclbnd 20959
Description: A lower bound on the logarithm of a factorial. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Apr-2016.)
Assertion
Ref Expression
logfaclbnd  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( A  x.  ( ( log `  A )  -  2 ) )  <_  ( log `  ( ! `  ( |_ `  A ) ) ) )

Proof of Theorem logfaclbnd
Dummy variables  d  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rpcn 10576 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR+  ->  A  e.  CC )
21times2d 10167 . . . 4  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( A  x.  2 )  =  ( A  +  A
) )
32oveq2d 6056 . . 3  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( ( A  x.  ( log `  A ) )  -  ( A  x.  2
) )  =  ( ( A  x.  ( log `  A ) )  -  ( A  +  A ) ) )
4 relogcl 20426 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( log `  A )  e.  RR )
54recnd 9070 . . . 4  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( log `  A )  e.  CC )
6 2cn 10026 . . . . 5  |-  2  e.  CC
76a1i 11 . . . 4  |-  ( A  e.  RR+  ->  2  e.  CC )
81, 5, 7subdid 9445 . . 3  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( A  x.  ( ( log `  A )  -  2 ) )  =  ( ( A  x.  ( log `  A ) )  -  ( A  x.  2 ) ) )
9 rpre 10574 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR+  ->  A  e.  RR )
109, 4remulcld 9072 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( A  x.  ( log `  A
) )  e.  RR )
1110recnd 9070 . . . 4  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( A  x.  ( log `  A
) )  e.  CC )
1211, 1, 1subsub4d 9398 . . 3  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( ( ( A  x.  ( log `  A ) )  -  A )  -  A )  =  ( ( A  x.  ( log `  A ) )  -  ( A  +  A ) ) )
133, 8, 123eqtr4d 2446 . 2  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( A  x.  ( ( log `  A )  -  2 ) )  =  ( ( ( A  x.  ( log `  A ) )  -  A )  -  A ) )
1410, 9resubcld 9421 . . . 4  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( ( A  x.  ( log `  A ) )  -  A )  e.  RR )
15 fzfid 11267 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  e. 
Fin )
16 fzfid 11267 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( 1 ... n )  e. 
Fin )
17 elfznn 11036 . . . . . . . 8  |-  ( d  e.  ( 1 ... n )  ->  d  e.  NN )
1817adantl 453 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  d  e.  ( 1 ... n ) )  ->  d  e.  NN )
1918nnrecred 10001 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  d  e.  ( 1 ... n ) )  ->  ( 1  /  d )  e.  RR )
2016, 19fsumrecl 12483 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  sum_ d  e.  ( 1 ... n
) ( 1  / 
d )  e.  RR )
2115, 20fsumrecl 12483 . . . 4  |-  ( A  e.  RR+  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )
sum_ d  e.  ( 1 ... n ) ( 1  /  d
)  e.  RR )
22 rprege0 10582 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A ) )
23 flge0nn0 11180 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  -> 
( |_ `  A
)  e.  NN0 )
2422, 23syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( |_
`  A )  e. 
NN0 )
25 faccl 11531 . . . . . . . 8  |-  ( ( |_ `  A )  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( |_ `  A ) )  e.  NN )
2624, 25syl 16 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( ! `
 ( |_ `  A ) )  e.  NN )
2726nnrpd 10603 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( ! `
 ( |_ `  A ) )  e.  RR+ )
2827relogcld 20471 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( log `  ( ! `  ( |_ `  A ) ) )  e.  RR )
2928, 9readdcld 9071 . . . 4  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( ( log `  ( ! `
 ( |_ `  A ) ) )  +  A )  e.  RR )
30 elfznn 11036 . . . . . . . . . 10  |-  ( d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A
) )  ->  d  e.  NN )
3130adantl 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  d  e.  NN )
3231nnrecred 10001 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( 1  /  d )  e.  RR )
3315, 32fsumrecl 12483 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR+  ->  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( 1  /  d
)  e.  RR )
349, 33remulcld 9072 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( A  x.  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) ( 1  /  d
) )  e.  RR )
35 reflcl 11160 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR  ->  ( |_ `  A )  e.  RR )
369, 35syl 16 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( |_
`  A )  e.  RR )
3734, 36resubcld 9421 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( ( A  x.  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( 1  /  d
) )  -  ( |_ `  A ) )  e.  RR )
38 harmoniclbnd 20800 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( log `  A )  <_  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( 1  /  d
) )
39 rpregt0 10581 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( A  e.  RR  /\  0  <  A ) )
40 lemul2 9819 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( log `  A
)  e.  RR  /\  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( 1  /  d )  e.  RR  /\  ( A  e.  RR  /\  0  <  A ) )  -> 
( ( log `  A
)  <_  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( 1  /  d
)  <->  ( A  x.  ( log `  A ) )  <_  ( A  x.  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) ( 1  /  d
) ) ) )
414, 33, 39, 40syl3anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( ( log `  A )  <_  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) ( 1  /  d
)  <->  ( A  x.  ( log `  A ) )  <_  ( A  x.  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) ( 1  /  d
) ) ) )
4238, 41mpbid 202 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( A  x.  ( log `  A
) )  <_  ( A  x.  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( 1  /  d
) ) )
43 flle 11163 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR  ->  ( |_ `  A )  <_  A )
449, 43syl 16 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( |_
`  A )  <_  A )
4510, 36, 34, 9, 42, 44le2subd 9601 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( ( A  x.  ( log `  A ) )  -  A )  <_  (
( A  x.  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( 1  /  d ) )  -  ( |_
`  A ) ) )
4630nnrecred 10001 . . . . . . . . 9  |-  ( d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A
) )  ->  (
1  /  d )  e.  RR )
47 remulcl 9031 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR  /\  ( 1  /  d
)  e.  RR )  ->  ( A  x.  ( 1  /  d
) )  e.  RR )
489, 46, 47syl2an 464 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( A  x.  ( 1  /  d
) )  e.  RR )
49 peano2rem 9323 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  x.  ( 1  /  d ) )  e.  RR  ->  (
( A  x.  (
1  /  d ) )  -  1 )  e.  RR )
5048, 49syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( ( A  x.  ( 1  /  d ) )  -  1 )  e.  RR )
51 fzfid 11267 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( d ... ( |_ `  A
) )  e.  Fin )
5232adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  n  e.  ( d ... ( |_
`  A ) ) )  ->  ( 1  /  d )  e.  RR )
5351, 52fsumrecl 12483 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  sum_ n  e.  ( d ... ( |_ `  A ) ) ( 1  /  d
)  e.  RR )
549adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  A  e.  RR )
5554, 35syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( |_ `  A )  e.  RR )
56 peano2re 9195 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( |_ `  A )  e.  RR  ->  (
( |_ `  A
)  +  1 )  e.  RR )
5755, 56syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( ( |_ `  A )  +  1 )  e.  RR )
5831nnred 9971 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  d  e.  RR )
59 fllep1 11165 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  RR  ->  A  <_  ( ( |_ `  A )  +  1 ) )
609, 59syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  RR+  ->  A  <_ 
( ( |_ `  A )  +  1 ) )
6160adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  A  <_  ( ( |_ `  A
)  +  1 ) )
6254, 57, 58, 61lesub1dd 9598 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( A  -  d )  <_ 
( ( ( |_
`  A )  +  1 )  -  d
) )
6354, 58resubcld 9421 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( A  -  d )  e.  RR )
6457, 58resubcld 9421 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( (
( |_ `  A
)  +  1 )  -  d )  e.  RR )
6531nnrpd 10603 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  d  e.  RR+ )
6665rpreccld 10614 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( 1  /  d )  e.  RR+ )
6763, 64, 66lemul1d 10643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( ( A  -  d )  <_  ( ( ( |_
`  A )  +  1 )  -  d
)  <->  ( ( A  -  d )  x.  ( 1  /  d
) )  <_  (
( ( ( |_
`  A )  +  1 )  -  d
)  x.  ( 1  /  d ) ) ) )
6862, 67mpbid 202 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( ( A  -  d )  x.  ( 1  /  d
) )  <_  (
( ( ( |_
`  A )  +  1 )  -  d
)  x.  ( 1  /  d ) ) )
691adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  A  e.  CC )
7031nncnd 9972 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  d  e.  CC )
7132recnd 9070 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( 1  /  d )  e.  CC )
7269, 70, 71subdird 9446 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( ( A  -  d )  x.  ( 1  /  d
) )  =  ( ( A  x.  (
1  /  d ) )  -  ( d  x.  ( 1  / 
d ) ) ) )
7331nnne0d 10000 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  d  =/=  0 )
7470, 73recidd 9741 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( d  x.  ( 1  /  d
) )  =  1 )
7574oveq2d 6056 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( ( A  x.  ( 1  /  d ) )  -  ( d  x.  ( 1  /  d
) ) )  =  ( ( A  x.  ( 1  /  d
) )  -  1 ) )
7672, 75eqtr2d 2437 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( ( A  x.  ( 1  /  d ) )  -  1 )  =  ( ( A  -  d )  x.  (
1  /  d ) ) )
77 fsumconst 12528 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( d ... ( |_ `  A ) )  e.  Fin  /\  (
1  /  d )  e.  CC )  ->  sum_ n  e.  ( d ... ( |_ `  A ) ) ( 1  /  d )  =  ( ( # `  ( d ... ( |_ `  A ) ) )  x.  ( 1  /  d ) ) )
7851, 71, 77syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  sum_ n  e.  ( d ... ( |_ `  A ) ) ( 1  /  d
)  =  ( (
# `  ( d ... ( |_ `  A
) ) )  x.  ( 1  /  d
) ) )
79 elfzuz3 11012 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A
) )  ->  ( |_ `  A )  e.  ( ZZ>= `  d )
)
8079adantl 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( |_ `  A )  e.  (
ZZ>= `  d ) )
81 hashfz 11647 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( |_ `  A )  e.  ( ZZ>= `  d
)  ->  ( # `  (
d ... ( |_ `  A ) ) )  =  ( ( ( |_ `  A )  -  d )  +  1 ) )
8280, 81syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( # `  (
d ... ( |_ `  A ) ) )  =  ( ( ( |_ `  A )  -  d )  +  1 ) )
8336recnd 9070 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( |_
`  A )  e.  CC )
8483adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( |_ `  A )  e.  CC )
85 ax-1cn 9004 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  e.  CC
8685a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  1  e.  CC )
8784, 86, 70addsubd 9388 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( (
( |_ `  A
)  +  1 )  -  d )  =  ( ( ( |_
`  A )  -  d )  +  1 ) )
8882, 87eqtr4d 2439 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( # `  (
d ... ( |_ `  A ) ) )  =  ( ( ( |_ `  A )  +  1 )  -  d ) )
8988oveq1d 6055 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( ( # `
 ( d ... ( |_ `  A
) ) )  x.  ( 1  /  d
) )  =  ( ( ( ( |_
`  A )  +  1 )  -  d
)  x.  ( 1  /  d ) ) )
9078, 89eqtrd 2436 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  sum_ n  e.  ( d ... ( |_ `  A ) ) ( 1  /  d
)  =  ( ( ( ( |_ `  A )  +  1 )  -  d )  x.  ( 1  / 
d ) ) )
9168, 76, 903brtr4d 4202 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( ( A  x.  ( 1  /  d ) )  -  1 )  <_  sum_ n  e.  ( d ... ( |_ `  A ) ) ( 1  /  d ) )
9215, 50, 53, 91fsumle 12533 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR+  ->  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( ( A  x.  ( 1  /  d
) )  -  1 )  <_  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )
sum_ n  e.  (
d ... ( |_ `  A ) ) ( 1  /  d ) )
9315, 1, 71fsummulc2 12522 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( A  x.  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) ( 1  /  d
) )  =  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( A  x.  ( 1  /  d ) ) )
94 fsumconst 12528 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 1 ... ( |_ `  A ) )  e.  Fin  /\  1  e.  CC )  ->  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) 1  =  ( (
# `  ( 1 ... ( |_ `  A
) ) )  x.  1 ) )
9515, 85, 94sylancl 644 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  RR+  ->  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) 1  =  ( (
# `  ( 1 ... ( |_ `  A
) ) )  x.  1 ) )
96 hashfz1 11585 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( |_ `  A )  e.  NN0  ->  ( # `  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  =  ( |_
`  A ) )
9724, 96syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( # `  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  =  ( |_
`  A ) )
9897oveq1d 6055 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( (
# `  ( 1 ... ( |_ `  A
) ) )  x.  1 )  =  ( ( |_ `  A
)  x.  1 ) )
9983mulid1d 9061 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( ( |_ `  A )  x.  1 )  =  ( |_ `  A
) )
10095, 98, 993eqtrrd 2441 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( |_
`  A )  = 
sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) 1 )
10193, 100oveq12d 6058 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( ( A  x.  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( 1  /  d
) )  -  ( |_ `  A ) )  =  ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( A  x.  (
1  /  d ) )  -  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) 1 ) )
10248recnd 9070 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( A  x.  ( 1  /  d
) )  e.  CC )
10315, 102, 86fsumsub 12526 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR+  ->  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( ( A  x.  ( 1  /  d
) )  -  1 )  =  ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( A  x.  ( 1  /  d ) )  -  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) 1 ) )
104101, 103eqtr4d 2439 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( ( A  x.  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( 1  /  d
) )  -  ( |_ `  A ) )  =  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) ( ( A  x.  ( 1  /  d
) )  -  1 ) )
105 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ZZ>= ` 
1 )  =  (
ZZ>= `  1 )
106105uztrn2 10459 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( d  e.  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  d )
)  ->  n  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
107106adantl 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  (
d  e.  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  d )
) )  ->  n  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
108107biantrurd 495 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  (
d  e.  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  d )
) )  ->  (
( |_ `  A
)  e.  ( ZZ>= `  n )  <->  ( n  e.  ( ZZ>= `  1 )  /\  ( |_ `  A
)  e.  ( ZZ>= `  n ) ) ) )
109 uzss 10462 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  d
)  ->  ( ZZ>= `  n )  C_  ( ZZ>=
`  d ) )
110109ad2antll 710 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  (
d  e.  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  d )
) )  ->  ( ZZ>=
`  n )  C_  ( ZZ>= `  d )
)
111110sseld 3307 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  (
d  e.  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  d )
) )  ->  (
( |_ `  A
)  e.  ( ZZ>= `  n )  ->  ( |_ `  A )  e.  ( ZZ>= `  d )
) )
112111pm4.71rd 617 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  (
d  e.  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  d )
) )  ->  (
( |_ `  A
)  e.  ( ZZ>= `  n )  <->  ( ( |_ `  A )  e.  ( ZZ>= `  d )  /\  ( |_ `  A
)  e.  ( ZZ>= `  n ) ) ) )
113108, 112bitr3d 247 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  (
d  e.  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  d )
) )  ->  (
( n  e.  (
ZZ>= `  1 )  /\  ( |_ `  A )  e.  ( ZZ>= `  n
) )  <->  ( ( |_ `  A )  e.  ( ZZ>= `  d )  /\  ( |_ `  A
)  e.  ( ZZ>= `  n ) ) ) )
114113pm5.32da 623 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( ( ( d  e.  (
ZZ>= `  1 )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  d ) )  /\  ( n  e.  ( ZZ>=
`  1 )  /\  ( |_ `  A )  e.  ( ZZ>= `  n
) ) )  <->  ( (
d  e.  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  d )
)  /\  ( ( |_ `  A )  e.  ( ZZ>= `  d )  /\  ( |_ `  A
)  e.  ( ZZ>= `  n ) ) ) ) )
115 ancom 438 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( n  e.  (
ZZ>= `  1 )  /\  ( |_ `  A )  e.  ( ZZ>= `  n
) )  /\  (
d  e.  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  d )
) )  <->  ( (
d  e.  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  d )
)  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  1 )  /\  ( |_ `  A
)  e.  ( ZZ>= `  n ) ) ) )
116 an4 798 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( d  e.  (
ZZ>= `  1 )  /\  ( |_ `  A )  e.  ( ZZ>= `  d
) )  /\  (
n  e.  ( ZZ>= `  d )  /\  ( |_ `  A )  e.  ( ZZ>= `  n )
) )  <->  ( (
d  e.  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  d )
)  /\  ( ( |_ `  A )  e.  ( ZZ>= `  d )  /\  ( |_ `  A
)  e.  ( ZZ>= `  n ) ) ) )
117114, 115, 1163bitr4g 280 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( ( ( n  e.  (
ZZ>= `  1 )  /\  ( |_ `  A )  e.  ( ZZ>= `  n
) )  /\  (
d  e.  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  d )
) )  <->  ( (
d  e.  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  ( |_ `  A )  e.  ( ZZ>= `  d )
)  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  d )  /\  ( |_ `  A
)  e.  ( ZZ>= `  n ) ) ) ) )
118 elfzuzb 11009 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A
) )  <->  ( n  e.  ( ZZ>= `  1 )  /\  ( |_ `  A
)  e.  ( ZZ>= `  n ) ) )
119 elfzuzb 11009 . . . . . . . . 9  |-  ( d  e.  ( 1 ... n )  <->  ( d  e.  ( ZZ>= `  1 )  /\  n  e.  ( ZZ>=
`  d ) ) )
120118, 119anbi12i 679 . . . . . . . 8  |-  ( ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  /\  d  e.  ( 1 ... n ) )  <-> 
( ( n  e.  ( ZZ>= `  1 )  /\  ( |_ `  A
)  e.  ( ZZ>= `  n ) )  /\  ( d  e.  (
ZZ>= `  1 )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  d ) ) ) )
121 elfzuzb 11009 . . . . . . . . 9  |-  ( d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A
) )  <->  ( d  e.  ( ZZ>= `  1 )  /\  ( |_ `  A
)  e.  ( ZZ>= `  d ) ) )
122 elfzuzb 11009 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  ( d ... ( |_ `  A
) )  <->  ( n  e.  ( ZZ>= `  d )  /\  ( |_ `  A
)  e.  ( ZZ>= `  n ) ) )
123121, 122anbi12i 679 . . . . . . . 8  |-  ( ( d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  /\  n  e.  ( d ... ( |_ `  A
) ) )  <->  ( (
d  e.  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  ( |_ `  A )  e.  ( ZZ>= `  d )
)  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  d )  /\  ( |_ `  A
)  e.  ( ZZ>= `  n ) ) ) )
124117, 120, 1233bitr4g 280 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  /\  d  e.  ( 1 ... n ) )  <-> 
( d  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) )  /\  n  e.  ( d ... ( |_
`  A ) ) ) ) )
12519recnd 9070 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  d  e.  ( 1 ... n ) )  ->  ( 1  /  d )  e.  CC )
126125anasss 629 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  (
n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  /\  d  e.  ( 1 ... n ) ) )  ->  ( 1  /  d )  e.  CC )
12715, 15, 16, 124, 126fsumcom2 12513 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR+  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )
sum_ d  e.  ( 1 ... n ) ( 1  /  d
)  =  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )
sum_ n  e.  (
d ... ( |_ `  A ) ) ( 1  /  d ) )
12892, 104, 1273brtr4d 4202 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( ( A  x.  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( 1  /  d
) )  -  ( |_ `  A ) )  <_  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) )
sum_ d  e.  ( 1 ... n ) ( 1  /  d
) )
12914, 37, 21, 45, 128letrd 9183 . . . 4  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( ( A  x.  ( log `  A ) )  -  A )  <_  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )
sum_ d  e.  ( 1 ... n ) ( 1  /  d
) )
13028, 36readdcld 9071 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( ( log `  ( ! `
 ( |_ `  A ) ) )  +  ( |_ `  A ) )  e.  RR )
131 elfznn 11036 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A
) )  ->  n  e.  NN )
132131adantl 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  n  e.  NN )
133132nnrpd 10603 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  n  e.  RR+ )
134133relogcld 20471 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( log `  n )  e.  RR )
135 peano2re 9195 . . . . . . . 8  |-  ( ( log `  n )  e.  RR  ->  (
( log `  n
)  +  1 )  e.  RR )
136134, 135syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( ( log `  n )  +  1 )  e.  RR )
137 nnz 10259 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  ZZ )
138 flid 11171 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  ZZ  ->  ( |_ `  n )  =  n )
139137, 138syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  ->  ( |_ `  n )  =  n )
140139oveq2d 6056 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  (
1 ... ( |_ `  n ) )  =  ( 1 ... n
) )
141140sumeq1d 12450 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  n ) ) ( 1  /  d
)  =  sum_ d  e.  ( 1 ... n
) ( 1  / 
d ) )
142 nnre 9963 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  RR )
143 nnge1 9982 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  1  <_  n )
144 harmonicubnd 20801 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  RR  /\  1  <_  n )  ->  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  n ) ) ( 1  /  d )  <_  ( ( log `  n )  +  1 ) )
145142, 143, 144syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  n ) ) ( 1  /  d
)  <_  ( ( log `  n )  +  1 ) )
146141, 145eqbrtrrd 4194 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  sum_ d  e.  ( 1 ... n
) ( 1  / 
d )  <_  (
( log `  n
)  +  1 ) )
147132, 146syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  sum_ d  e.  ( 1 ... n
) ( 1  / 
d )  <_  (
( log `  n
)  +  1 ) )
14815, 20, 136, 147fsumle 12533 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR+  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )
sum_ d  e.  ( 1 ... n ) ( 1  /  d
)  <_  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( ( log `  n
)  +  1 ) )
149134recnd 9070 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( log `  n )  e.  CC )
15085a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  1  e.  CC )
15115, 149, 150fsumadd 12487 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR+  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( ( log `  n
)  +  1 )  =  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( log `  n
)  +  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) 1 ) )
152 logfac 20448 . . . . . . . . 9  |-  ( ( |_ `  A )  e.  NN0  ->  ( log `  ( ! `  ( |_ `  A ) ) )  =  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( log `  n
) )
15324, 152syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( log `  ( ! `  ( |_ `  A ) ) )  =  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( log `  n
) )
154 fsumconst 12528 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 1 ... ( |_ `  A ) )  e.  Fin  /\  1  e.  CC )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) 1  =  ( (
# `  ( 1 ... ( |_ `  A
) ) )  x.  1 ) )
15515, 85, 154sylancl 644 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  RR+  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) 1  =  ( (
# `  ( 1 ... ( |_ `  A
) ) )  x.  1 ) )
156155, 98, 993eqtrrd 2441 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( |_
`  A )  = 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  A ) ) 1 )
157153, 156oveq12d 6058 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( ( log `  ( ! `
 ( |_ `  A ) ) )  +  ( |_ `  A ) )  =  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) ( log `  n
)  +  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) 1 ) )
158151, 157eqtr4d 2439 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR+  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( ( log `  n
)  +  1 )  =  ( ( log `  ( ! `  ( |_ `  A ) ) )  +  ( |_
`  A ) ) )
159148, 158breqtrd 4196 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR+  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )
sum_ d  e.  ( 1 ... n ) ( 1  /  d
)  <_  ( ( log `  ( ! `  ( |_ `  A ) ) )  +  ( |_ `  A ) ) )
16036, 9, 28, 44leadd2dd 9597 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( ( log `  ( ! `
 ( |_ `  A ) ) )  +  ( |_ `  A ) )  <_ 
( ( log `  ( ! `  ( |_ `  A ) ) )  +  A ) )
16121, 130, 29, 159, 160letrd 9183 . . . 4  |-  ( A  e.  RR+  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )
sum_ d  e.  ( 1 ... n ) ( 1  /  d
)  <_  ( ( log `  ( ! `  ( |_ `  A ) ) )  +  A
) )
16214, 21, 29, 129, 161letrd 9183 . . 3  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( ( A  x.  ( log `  A ) )  -  A )  <_  (
( log `  ( ! `  ( |_ `  A ) ) )  +  A ) )
16314, 9, 28lesubaddd 9579 . . 3  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( ( ( ( A  x.  ( log `  A ) )  -  A )  -  A )  <_ 
( log `  ( ! `  ( |_ `  A ) ) )  <-> 
( ( A  x.  ( log `  A ) )  -  A )  <_  ( ( log `  ( ! `  ( |_ `  A ) ) )  +  A ) ) )
164162, 163mpbird 224 . 2  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( ( ( A  x.  ( log `  A ) )  -  A )  -  A )  <_  ( log `  ( ! `  ( |_ `  A ) ) ) )
16513, 164eqbrtrd 4192 1  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( A  x.  ( ( log `  A )  -  2 ) )  <_  ( log `  ( ! `  ( |_ `  A ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721    C_ wss 3280   class class class wbr 4172   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   Fincfn 7068   CCcc 8944   RRcr 8945   0cc0 8946   1c1 8947    + caddc 8949    x. cmul 8951    < clt 9076    <_ cle 9077    - cmin 9247    / cdiv 9633   NNcn 9956   2c2 10005   NN0cn0 10177   ZZcz 10238   ZZ>=cuz 10444   RR+crp 10568   ...cfz 10999   |_cfl 11156   !cfa 11521   #chash 11573   sum_csu 12434   logclog 20405
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024  ax-addf 9025  ax-mulf 9026
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-pm 6980  df-ixp 7023  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-fi 7374  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-cda 8004  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-xneg 10666  df-xadd 10667  df-xmul 10668  df-ioo 10876  df-ioc 10877  df-ico 10878  df-icc 10879  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-fl 11157  df-mod 11206  df-seq 11279  df-exp 11338  df-fac 11522  df-bc 11549  df-hash 11574  df-shft 11837  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-limsup 12220  df-clim 12237  df-rlim 12238  df-sum 12435  df-ef 12625  df-e 12626  df-sin 12627  df-cos 12628  df-pi 12630  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-starv 13499  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-unif 13507  df-hom 13508  df-cco 13509  df-rest 13605  df-topn 13606  df-topgen 13622  df-pt 13623  df-prds 13626  df-xrs 13681  df-0g 13682  df-gsum 13683  df-qtop 13688  df-imas 13689  df-xps 13691  df-mre 13766  df-mrc 13767  df-acs 13769  df-mnd 14645  df-submnd 14694  df-mulg 14770  df-cntz 15071  df-cmn 15369  df-psmet 16649  df-xmet 16650  df-met 16651  df-bl 16652  df-mopn 16653  df-fbas 16654  df-fg 16655  df-cnfld 16659  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-topsp 16922  df-cld 17038  df-ntr 17039  df-cls 17040  df-nei 17117  df-lp 17155  df-perf 17156  df-cn 17245  df-cnp 17246  df-haus 17333  df-tx 17547  df-hmeo 17740  df-fil 17831  df-fm 17923  df-flim 17924  df-flf 17925  df-xms 18303  df-ms 18304  df-tms 18305  df-cncf 18861  df-limc 19706  df-dv 19707  df-log 20407  df-em 20784
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