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Theorem logimul 19968
Description: Multiplying a number by  _i increases the logarithm of the number by  _i pi  / 
2. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
logimul  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  ( log `  ( _i  x.  A ) )  =  ( ( log `  A
)  +  ( _i  x.  ( pi  / 
2 ) ) ) )

Proof of Theorem logimul
StepHypRef Expression
1 logcl 19926 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( log `  A
)  e.  CC )
213adant3 975 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  ( log `  A )  e.  CC )
3 ax-icn 8796 . . . . . 6  |-  _i  e.  CC
4 pire 19832 . . . . . . . 8  |-  pi  e.  RR
5 rehalfcl 9938 . . . . . . . 8  |-  ( pi  e.  RR  ->  (
pi  /  2 )  e.  RR )
64, 5ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  ( pi 
/  2 )  e.  RR
76recni 8849 . . . . . 6  |-  ( pi 
/  2 )  e.  CC
83, 7mulcli 8842 . . . . 5  |-  ( _i  x.  ( pi  / 
2 ) )  e.  CC
9 efadd 12375 . . . . 5  |-  ( ( ( log `  A
)  e.  CC  /\  ( _i  x.  (
pi  /  2 ) )  e.  CC )  ->  ( exp `  (
( log `  A
)  +  ( _i  x.  ( pi  / 
2 ) ) ) )  =  ( ( exp `  ( log `  A ) )  x.  ( exp `  (
_i  x.  ( pi  /  2 ) ) ) ) )
102, 8, 9sylancl 643 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  ( exp `  ( ( log `  A )  +  ( _i  x.  ( pi 
/  2 ) ) ) )  =  ( ( exp `  ( log `  A ) )  x.  ( exp `  (
_i  x.  ( pi  /  2 ) ) ) ) )
11 eflog 19933 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( exp `  ( log `  A ) )  =  A )
12113adant3 975 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  ( exp `  ( log `  A
) )  =  A )
13 efhalfpi 19839 . . . . . 6  |-  ( exp `  ( _i  x.  (
pi  /  2 ) ) )  =  _i
1413a1i 10 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  ( exp `  ( _i  x.  ( pi  /  2
) ) )  =  _i )
1512, 14oveq12d 5876 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  (
( exp `  ( log `  A ) )  x.  ( exp `  (
_i  x.  ( pi  /  2 ) ) ) )  =  ( A  x.  _i ) )
16 simp1 955 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  A  e.  CC )
17 mulcom 8823 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  _i  e.  CC )  -> 
( A  x.  _i )  =  ( _i  x.  A ) )
1816, 3, 17sylancl 643 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  ( A  x.  _i )  =  ( _i  x.  A ) )
1910, 15, 183eqtrd 2319 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  ( exp `  ( ( log `  A )  +  ( _i  x.  ( pi 
/  2 ) ) ) )  =  ( _i  x.  A ) )
2019fveq2d 5529 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  ( log `  ( exp `  (
( log `  A
)  +  ( _i  x.  ( pi  / 
2 ) ) ) ) )  =  ( log `  ( _i  x.  A ) ) )
21 addcl 8819 . . . . 5  |-  ( ( ( log `  A
)  e.  CC  /\  ( _i  x.  (
pi  /  2 ) )  e.  CC )  ->  ( ( log `  A )  +  ( _i  x.  ( pi 
/  2 ) ) )  e.  CC )
222, 8, 21sylancl 643 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  (
( log `  A
)  +  ( _i  x.  ( pi  / 
2 ) ) )  e.  CC )
234renegcli 9108 . . . . . . 7  |-  -u pi  e.  RR
2423a1i 10 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  -u pi  e.  RR )
252imcld 11680 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  (
Im `  ( log `  A ) )  e.  RR )
26 readdcl 8820 . . . . . . 7  |-  ( ( ( Im `  ( log `  A ) )  e.  RR  /\  (
pi  /  2 )  e.  RR )  -> 
( ( Im `  ( log `  A ) )  +  ( pi 
/  2 ) )  e.  RR )
2725, 6, 26sylancl 643 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  (
( Im `  ( log `  A ) )  +  ( pi  / 
2 ) )  e.  RR )
28 logimcl 19927 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( -u pi  <  (
Im `  ( log `  A ) )  /\  ( Im `  ( log `  A ) )  <_  pi ) )
29283adant3 975 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  ( -u pi  <  ( Im
`  ( log `  A
) )  /\  (
Im `  ( log `  A ) )  <_  pi ) )
3029simpld 445 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  -u pi  <  ( Im `  ( log `  A ) ) )
31 pipos 19833 . . . . . . . . 9  |-  0  <  pi
324, 31elrpii 10357 . . . . . . . 8  |-  pi  e.  RR+
33 rphalfcl 10378 . . . . . . . 8  |-  ( pi  e.  RR+  ->  ( pi 
/  2 )  e.  RR+ )
3432, 33ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  ( pi 
/  2 )  e.  RR+
35 ltaddrp 10386 . . . . . . 7  |-  ( ( ( Im `  ( log `  A ) )  e.  RR  /\  (
pi  /  2 )  e.  RR+ )  ->  (
Im `  ( log `  A ) )  < 
( ( Im `  ( log `  A ) )  +  ( pi 
/  2 ) ) )
3625, 34, 35sylancl 643 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  (
Im `  ( log `  A ) )  < 
( ( Im `  ( log `  A ) )  +  ( pi 
/  2 ) ) )
3724, 25, 27, 30, 36lttrd 8977 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  -u pi  <  ( ( Im `  ( log `  A ) )  +  ( pi 
/  2 ) ) )
38 imadd 11619 . . . . . . 7  |-  ( ( ( log `  A
)  e.  CC  /\  ( _i  x.  (
pi  /  2 ) )  e.  CC )  ->  ( Im `  ( ( log `  A
)  +  ( _i  x.  ( pi  / 
2 ) ) ) )  =  ( ( Im `  ( log `  A ) )  +  ( Im `  (
_i  x.  ( pi  /  2 ) ) ) ) )
392, 8, 38sylancl 643 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  (
Im `  ( ( log `  A )  +  ( _i  x.  (
pi  /  2 ) ) ) )  =  ( ( Im `  ( log `  A ) )  +  ( Im
`  ( _i  x.  ( pi  /  2
) ) ) ) )
40 reim 11594 . . . . . . . . 9  |-  ( ( pi  /  2 )  e.  CC  ->  (
Re `  ( pi  /  2 ) )  =  ( Im `  (
_i  x.  ( pi  /  2 ) ) ) )
417, 40ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  ( Re
`  ( pi  / 
2 ) )  =  ( Im `  (
_i  x.  ( pi  /  2 ) ) )
42 rere 11607 . . . . . . . . 9  |-  ( ( pi  /  2 )  e.  RR  ->  (
Re `  ( pi  /  2 ) )  =  ( pi  /  2
) )
436, 42ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  ( Re
`  ( pi  / 
2 ) )  =  ( pi  /  2
)
4441, 43eqtr3i 2305 . . . . . . 7  |-  ( Im
`  ( _i  x.  ( pi  /  2
) ) )  =  ( pi  /  2
)
4544oveq2i 5869 . . . . . 6  |-  ( ( Im `  ( log `  A ) )  +  ( Im `  (
_i  x.  ( pi  /  2 ) ) ) )  =  ( ( Im `  ( log `  A ) )  +  ( pi  /  2
) )
4639, 45syl6eq 2331 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  (
Im `  ( ( log `  A )  +  ( _i  x.  (
pi  /  2 ) ) ) )  =  ( ( Im `  ( log `  A ) )  +  ( pi 
/  2 ) ) )
4737, 46breqtrrd 4049 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  -u pi  <  ( Im `  (
( log `  A
)  +  ( _i  x.  ( pi  / 
2 ) ) ) ) )
48 argrege0 19965 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  (
Im `  ( log `  A ) )  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) [,] ( pi  /  2
) ) )
496renegcli 9108 . . . . . . . . . 10  |-  -u (
pi  /  2 )  e.  RR
5049, 6elicc2i 10716 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Im `  ( log `  A ) )  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) [,] ( pi  /  2
) )  <->  ( (
Im `  ( log `  A ) )  e.  RR  /\  -u (
pi  /  2 )  <_  ( Im `  ( log `  A ) )  /\  ( Im
`  ( log `  A
) )  <_  (
pi  /  2 ) ) )
5150simp3bi 972 . . . . . . . 8  |-  ( ( Im `  ( log `  A ) )  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) [,] ( pi  /  2
) )  ->  (
Im `  ( log `  A ) )  <_ 
( pi  /  2
) )
5248, 51syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  (
Im `  ( log `  A ) )  <_ 
( pi  /  2
) )
534recni 8849 . . . . . . . 8  |-  pi  e.  CC
54 2halves 9940 . . . . . . . . 9  |-  ( pi  e.  CC  ->  (
( pi  /  2
)  +  ( pi 
/  2 ) )  =  pi )
5553, 54ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  ( ( pi  /  2 )  +  ( pi  / 
2 ) )  =  pi
5653, 7, 7, 55subaddrii 9135 . . . . . . 7  |-  ( pi 
-  ( pi  / 
2 ) )  =  ( pi  /  2
)
5752, 56syl6breqr 4063 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  (
Im `  ( log `  A ) )  <_ 
( pi  -  (
pi  /  2 ) ) )
586a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  (
pi  /  2 )  e.  RR )
594a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  pi  e.  RR )
60 leaddsub 9250 . . . . . . 7  |-  ( ( ( Im `  ( log `  A ) )  e.  RR  /\  (
pi  /  2 )  e.  RR  /\  pi  e.  RR )  ->  (
( ( Im `  ( log `  A ) )  +  ( pi 
/  2 ) )  <_  pi  <->  ( Im `  ( log `  A
) )  <_  (
pi  -  ( pi  /  2 ) ) ) )
6125, 58, 59, 60syl3anc 1182 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  (
( ( Im `  ( log `  A ) )  +  ( pi 
/  2 ) )  <_  pi  <->  ( Im `  ( log `  A
) )  <_  (
pi  -  ( pi  /  2 ) ) ) )
6257, 61mpbird 223 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  (
( Im `  ( log `  A ) )  +  ( pi  / 
2 ) )  <_  pi )
6346, 62eqbrtrd 4043 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  (
Im `  ( ( log `  A )  +  ( _i  x.  (
pi  /  2 ) ) ) )  <_  pi )
64 ellogrn 19917 . . . 4  |-  ( ( ( log `  A
)  +  ( _i  x.  ( pi  / 
2 ) ) )  e.  ran  log  <->  ( (
( log `  A
)  +  ( _i  x.  ( pi  / 
2 ) ) )  e.  CC  /\  -u pi  <  ( Im `  (
( log `  A
)  +  ( _i  x.  ( pi  / 
2 ) ) ) )  /\  ( Im
`  ( ( log `  A )  +  ( _i  x.  ( pi 
/  2 ) ) ) )  <_  pi ) )
6522, 47, 63, 64syl3anbrc 1136 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  (
( log `  A
)  +  ( _i  x.  ( pi  / 
2 ) ) )  e.  ran  log )
66 logef 19935 . . 3  |-  ( ( ( log `  A
)  +  ( _i  x.  ( pi  / 
2 ) ) )  e.  ran  log  ->  ( log `  ( exp `  ( ( log `  A
)  +  ( _i  x.  ( pi  / 
2 ) ) ) ) )  =  ( ( log `  A
)  +  ( _i  x.  ( pi  / 
2 ) ) ) )
6765, 66syl 15 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  ( log `  ( exp `  (
( log `  A
)  +  ( _i  x.  ( pi  / 
2 ) ) ) ) )  =  ( ( log `  A
)  +  ( _i  x.  ( pi  / 
2 ) ) ) )
6820, 67eqtr3d 2317 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  ( log `  ( _i  x.  A ) )  =  ( ( log `  A
)  +  ( _i  x.  ( pi  / 
2 ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   class class class wbr 4023   ran crn 4690   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   CCcc 8735   RRcr 8736   0cc0 8737   _ici 8739    + caddc 8740    x. cmul 8742    < clt 8867    <_ cle 8868    - cmin 9037   -ucneg 9038    / cdiv 9423   2c2 9795   RR+crp 10354   [,]cicc 10659   Recre 11582   Imcim 11583   expce 12343   picpi 12348   logclog 19912
This theorem is referenced by:  atanlogsublem  20211
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-addf 8816  ax-mulf 8817
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-fi 7165  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-ioo 10660  df-ioc 10661  df-ico 10662  df-icc 10663  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-mod 10974  df-seq 11047  df-exp 11105  df-fac 11289  df-bc 11316  df-hash 11338  df-shft 11562  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-limsup 11945  df-clim 11962  df-rlim 11963  df-sum 12159  df-ef 12349  df-sin 12351  df-cos 12352  df-pi 12354  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-starv 13223  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-hom 13232  df-cco 13233  df-rest 13327  df-topn 13328  df-topgen 13344  df-pt 13345  df-prds 13348  df-xrs 13403  df-0g 13404  df-gsum 13405  df-qtop 13410  df-imas 13411  df-xps 13413  df-mre 13488  df-mrc 13489  df-acs 13491  df-mnd 14367  df-submnd 14416  df-mulg 14492  df-cntz 14793  df-cmn 15091  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-cnfld 16378  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-topsp 16640  df-cld 16756  df-ntr 16757  df-cls 16758  df-nei 16835  df-lp 16868  df-perf 16869  df-cn 16957  df-cnp 16958  df-haus 17043  df-tx 17257  df-hmeo 17446  df-fbas 17520  df-fg 17521  df-fil 17541  df-fm 17633  df-flim 17634  df-flf 17635  df-xms 17885  df-ms 17886  df-tms 17887  df-cncf 18382  df-limc 19216  df-dv 19217  df-log 19914
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