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Theorem logneg2 20510
Description: The logarithm of the negative of a number with positive imaginary part is  _i pi less than the original. (Compare logneg 20482.) (Contributed by Mario Carneiro, 3-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
logneg2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( log `  -u A
)  =  ( ( log `  A )  -  ( _i  x.  pi ) ) )

Proof of Theorem logneg2
StepHypRef Expression
1 imcl 11916 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Im `  A )  e.  RR )
2 gt0ne0 9493 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( Im `  A
)  e.  RR  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( Im `  A
)  =/=  0 )
31, 2sylan 458 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( Im `  A
)  =/=  0 )
4 fveq2 5728 . . . . . . . . 9  |-  ( A  =  0  ->  (
Im `  A )  =  ( Im ` 
0 ) )
5 im0 11958 . . . . . . . . 9  |-  ( Im
`  0 )  =  0
64, 5syl6eq 2484 . . . . . . . 8  |-  ( A  =  0  ->  (
Im `  A )  =  0 )
76necon3i 2643 . . . . . . 7  |-  ( ( Im `  A )  =/=  0  ->  A  =/=  0 )
83, 7syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  A  =/=  0 )
9 logcl 20466 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( log `  A
)  e.  CC )
108, 9syldan 457 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( log `  A
)  e.  CC )
11 ax-icn 9049 . . . . . 6  |-  _i  e.  CC
12 pire 20372 . . . . . . 7  |-  pi  e.  RR
1312recni 9102 . . . . . 6  |-  pi  e.  CC
1411, 13mulcli 9095 . . . . 5  |-  ( _i  x.  pi )  e.  CC
15 efsub 12701 . . . . 5  |-  ( ( ( log `  A
)  e.  CC  /\  ( _i  x.  pi )  e.  CC )  ->  ( exp `  (
( log `  A
)  -  ( _i  x.  pi ) ) )  =  ( ( exp `  ( log `  A ) )  / 
( exp `  (
_i  x.  pi )
) ) )
1610, 14, 15sylancl 644 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( exp `  (
( log `  A
)  -  ( _i  x.  pi ) ) )  =  ( ( exp `  ( log `  A ) )  / 
( exp `  (
_i  x.  pi )
) ) )
17 eflog 20474 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( exp `  ( log `  A ) )  =  A )
188, 17syldan 457 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( exp `  ( log `  A ) )  =  A )
19 efipi 20381 . . . . . 6  |-  ( exp `  ( _i  x.  pi ) )  =  -u
1
2019a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( exp `  (
_i  x.  pi )
)  =  -u 1
)
2118, 20oveq12d 6099 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( ( exp `  ( log `  A ) )  /  ( exp `  (
_i  x.  pi )
) )  =  ( A  /  -u 1
) )
22 ax-1cn 9048 . . . . . . 7  |-  1  e.  CC
23 ax-1ne0 9059 . . . . . . 7  |-  1  =/=  0
24 divneg2 9738 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  1  e.  CC  /\  1  =/=  0 )  ->  -u ( A  /  1 )  =  ( A  /  -u 1
) )
2522, 23, 24mp3an23 1271 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  -u ( A  /  1 )  =  ( A  /  -u 1
) )
26 div1 9707 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  /  1 )  =  A )
2726negeqd 9300 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  -u ( A  /  1 )  = 
-u A )
2825, 27eqtr3d 2470 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  /  -u 1 )  = 
-u A )
2928adantr 452 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( A  /  -u 1
)  =  -u A
)
3016, 21, 293eqtrd 2472 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( exp `  (
( log `  A
)  -  ( _i  x.  pi ) ) )  =  -u A
)
3130fveq2d 5732 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( log `  ( exp `  ( ( log `  A )  -  (
_i  x.  pi )
) ) )  =  ( log `  -u A
) )
32 subcl 9305 . . . . 5  |-  ( ( ( log `  A
)  e.  CC  /\  ( _i  x.  pi )  e.  CC )  ->  ( ( log `  A
)  -  ( _i  x.  pi ) )  e.  CC )
3310, 14, 32sylancl 644 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( ( log `  A
)  -  ( _i  x.  pi ) )  e.  CC )
34 argimgt0 20507 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( Im `  ( log `  A ) )  e.  ( 0 (,) pi ) )
35 eliooord 10970 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Im `  ( log `  A ) )  e.  ( 0 (,) pi )  ->  ( 0  < 
( Im `  ( log `  A ) )  /\  ( Im `  ( log `  A ) )  <  pi ) )
3634, 35syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( 0  <  (
Im `  ( log `  A ) )  /\  ( Im `  ( log `  A ) )  < 
pi ) )
3736simpld 446 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
0  <  ( Im `  ( log `  A
) ) )
38 imcl 11916 . . . . . . . . 9  |-  ( ( log `  A )  e.  CC  ->  (
Im `  ( log `  A ) )  e.  RR )
3910, 38syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( Im `  ( log `  A ) )  e.  RR )
4012renegcli 9362 . . . . . . . 8  |-  -u pi  e.  RR
41 ltaddpos2 9519 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( Im `  ( log `  A ) )  e.  RR  /\  -u pi  e.  RR )  ->  (
0  <  ( Im `  ( log `  A
) )  <->  -u pi  <  ( ( Im `  ( log `  A ) )  +  -u pi ) ) )
4239, 40, 41sylancl 644 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( 0  <  (
Im `  ( log `  A ) )  <->  -u pi  <  ( ( Im `  ( log `  A ) )  +  -u pi ) ) )
4337, 42mpbid 202 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  -u pi  <  ( ( Im `  ( log `  A ) )  + 
-u pi ) )
4439recnd 9114 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( Im `  ( log `  A ) )  e.  CC )
45 negsub 9349 . . . . . . 7  |-  ( ( ( Im `  ( log `  A ) )  e.  CC  /\  pi  e.  CC )  ->  (
( Im `  ( log `  A ) )  +  -u pi )  =  ( ( Im `  ( log `  A ) )  -  pi ) )
4644, 13, 45sylancl 644 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( ( Im `  ( log `  A ) )  +  -u pi )  =  ( (
Im `  ( log `  A ) )  -  pi ) )
4743, 46breqtrd 4236 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  -u pi  <  ( ( Im `  ( log `  A ) )  -  pi ) )
48 imsub 11940 . . . . . . 7  |-  ( ( ( log `  A
)  e.  CC  /\  ( _i  x.  pi )  e.  CC )  ->  ( Im `  (
( log `  A
)  -  ( _i  x.  pi ) ) )  =  ( ( Im `  ( log `  A ) )  -  ( Im `  ( _i  x.  pi ) ) ) )
4910, 14, 48sylancl 644 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( Im `  (
( log `  A
)  -  ( _i  x.  pi ) ) )  =  ( ( Im `  ( log `  A ) )  -  ( Im `  ( _i  x.  pi ) ) ) )
50 reim 11914 . . . . . . . . 9  |-  ( pi  e.  CC  ->  (
Re `  pi )  =  ( Im `  ( _i  x.  pi ) ) )
5113, 50ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  ( Re
`  pi )  =  ( Im `  (
_i  x.  pi )
)
52 rere 11927 . . . . . . . . 9  |-  ( pi  e.  RR  ->  (
Re `  pi )  =  pi )
5312, 52ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  ( Re
`  pi )  =  pi
5451, 53eqtr3i 2458 . . . . . . 7  |-  ( Im
`  ( _i  x.  pi ) )  =  pi
5554oveq2i 6092 . . . . . 6  |-  ( ( Im `  ( log `  A ) )  -  ( Im `  ( _i  x.  pi ) ) )  =  ( ( Im `  ( log `  A ) )  -  pi )
5649, 55syl6eq 2484 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( Im `  (
( log `  A
)  -  ( _i  x.  pi ) ) )  =  ( ( Im `  ( log `  A ) )  -  pi ) )
5747, 56breqtrrd 4238 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  -u pi  <  ( Im
`  ( ( log `  A )  -  (
_i  x.  pi )
) ) )
58 resubcl 9365 . . . . . . 7  |-  ( ( ( Im `  ( log `  A ) )  e.  RR  /\  pi  e.  RR )  ->  (
( Im `  ( log `  A ) )  -  pi )  e.  RR )
5939, 12, 58sylancl 644 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( ( Im `  ( log `  A ) )  -  pi )  e.  RR )
6012a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  pi  e.  RR )
61 0re 9091 . . . . . . . 8  |-  0  e.  RR
62 pipos 20373 . . . . . . . 8  |-  0  <  pi
6361, 12, 62ltleii 9196 . . . . . . 7  |-  0  <_  pi
64 subge02 9543 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( Im `  ( log `  A ) )  e.  RR  /\  pi  e.  RR )  ->  (
0  <_  pi  <->  ( (
Im `  ( log `  A ) )  -  pi )  <_  ( Im
`  ( log `  A
) ) ) )
6539, 12, 64sylancl 644 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( 0  <_  pi  <->  ( ( Im `  ( log `  A ) )  -  pi )  <_ 
( Im `  ( log `  A ) ) ) )
6663, 65mpbii 203 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( ( Im `  ( log `  A ) )  -  pi )  <_  ( Im `  ( log `  A ) ) )
67 logimcl 20467 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( -u pi  <  (
Im `  ( log `  A ) )  /\  ( Im `  ( log `  A ) )  <_  pi ) )
688, 67syldan 457 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( -u pi  <  (
Im `  ( log `  A ) )  /\  ( Im `  ( log `  A ) )  <_  pi ) )
6968simprd 450 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( Im `  ( log `  A ) )  <_  pi )
7059, 39, 60, 66, 69letrd 9227 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( ( Im `  ( log `  A ) )  -  pi )  <_  pi )
7156, 70eqbrtrd 4232 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( Im `  (
( log `  A
)  -  ( _i  x.  pi ) ) )  <_  pi )
72 ellogrn 20457 . . . 4  |-  ( ( ( log `  A
)  -  ( _i  x.  pi ) )  e.  ran  log  <->  ( (
( log `  A
)  -  ( _i  x.  pi ) )  e.  CC  /\  -u pi  <  ( Im `  (
( log `  A
)  -  ( _i  x.  pi ) ) )  /\  ( Im
`  ( ( log `  A )  -  (
_i  x.  pi )
) )  <_  pi ) )
7333, 57, 71, 72syl3anbrc 1138 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( ( log `  A
)  -  ( _i  x.  pi ) )  e.  ran  log )
74 logef 20476 . . 3  |-  ( ( ( log `  A
)  -  ( _i  x.  pi ) )  e.  ran  log  ->  ( log `  ( exp `  ( ( log `  A
)  -  ( _i  x.  pi ) ) ) )  =  ( ( log `  A
)  -  ( _i  x.  pi ) ) )
7573, 74syl 16 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( log `  ( exp `  ( ( log `  A )  -  (
_i  x.  pi )
) ) )  =  ( ( log `  A
)  -  ( _i  x.  pi ) ) )
7631, 75eqtr3d 2470 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( log `  -u A
)  =  ( ( log `  A )  -  ( _i  x.  pi ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2599   class class class wbr 4212   ran crn 4879   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   CCcc 8988   RRcr 8989   0cc0 8990   1c1 8991   _ici 8992    + caddc 8993    x. cmul 8995    < clt 9120    <_ cle 9121    - cmin 9291   -ucneg 9292    / cdiv 9677   (,)cioo 10916   Recre 11902   Imcim 11903   expce 12664   picpi 12669   logclog 20452
This theorem is referenced by:  atanlogsublem  20755
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-inf2 7596  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068  ax-addf 9069  ax-mulf 9070
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-iin 4096  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-se 4542  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-isom 5463  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-of 6305  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-2o 6725  df-oadd 6728  df-er 6905  df-map 7020  df-pm 7021  df-ixp 7064  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-fi 7416  df-sup 7446  df-oi 7479  df-card 7826  df-cda 8048  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-4 10060  df-5 10061  df-6 10062  df-7 10063  df-8 10064  df-9 10065  df-10 10066  df-n0 10222  df-z 10283  df-dec 10383  df-uz 10489  df-q 10575  df-rp 10613  df-xneg 10710  df-xadd 10711  df-xmul 10712  df-ioo 10920  df-ioc 10921  df-ico 10922  df-icc 10923  df-fz 11044  df-fzo 11136  df-fl 11202  df-mod 11251  df-seq 11324  df-exp 11383  df-fac 11567  df-bc 11594  df-hash 11619  df-shft 11882  df-cj 11904  df-re 11905  df-im 11906  df-sqr 12040  df-abs 12041  df-limsup 12265  df-clim 12282  df-rlim 12283  df-sum 12480  df-ef 12670  df-sin 12672  df-cos 12673  df-pi 12675  df-struct 13471  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-sets 13475  df-ress 13476  df-plusg 13542  df-mulr 13543  df-starv 13544  df-sca 13545  df-vsca 13546  df-tset 13548  df-ple 13549  df-ds 13551  df-unif 13552  df-hom 13553  df-cco 13554  df-rest 13650  df-topn 13651  df-topgen 13667  df-pt 13668  df-prds 13671  df-xrs 13726  df-0g 13727  df-gsum 13728  df-qtop 13733  df-imas 13734  df-xps 13736  df-mre 13811  df-mrc 13812  df-acs 13814  df-mnd 14690  df-submnd 14739  df-mulg 14815  df-cntz 15116  df-cmn 15414  df-psmet 16694  df-xmet 16695  df-met 16696  df-bl 16697  df-mopn 16698  df-fbas 16699  df-fg 16700  df-cnfld 16704  df-top 16963  df-bases 16965  df-topon 16966  df-topsp 16967  df-cld 17083  df-ntr 17084  df-cls 17085  df-nei 17162  df-lp 17200  df-perf 17201  df-cn 17291  df-cnp 17292  df-haus 17379  df-tx 17594  df-hmeo 17787  df-fil 17878  df-fm 17970  df-flim 17971  df-flf 17972  df-xms 18350  df-ms 18351  df-tms 18352  df-cncf 18908  df-limc 19753  df-dv 19754  df-log 20454
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