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Theorem logneg2 19985
Description: The logarithm of the negative of a number with positive imaginary part is  _i pi less than the original. (Compare logneg 19957.) (Contributed by Mario Carneiro, 3-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
logneg2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( log `  -u A
)  =  ( ( log `  A )  -  ( _i  x.  pi ) ) )

Proof of Theorem logneg2
StepHypRef Expression
1 imcl 11612 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Im `  A )  e.  RR )
2 gt0ne0 9255 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( Im `  A
)  e.  RR  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( Im `  A
)  =/=  0 )
31, 2sylan 457 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( Im `  A
)  =/=  0 )
4 fveq2 5541 . . . . . . . . 9  |-  ( A  =  0  ->  (
Im `  A )  =  ( Im ` 
0 ) )
5 im0 11654 . . . . . . . . 9  |-  ( Im
`  0 )  =  0
64, 5syl6eq 2344 . . . . . . . 8  |-  ( A  =  0  ->  (
Im `  A )  =  0 )
76necon3i 2498 . . . . . . 7  |-  ( ( Im `  A )  =/=  0  ->  A  =/=  0 )
83, 7syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  A  =/=  0 )
9 logcl 19942 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( log `  A
)  e.  CC )
108, 9syldan 456 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( log `  A
)  e.  CC )
11 ax-icn 8812 . . . . . 6  |-  _i  e.  CC
12 pire 19848 . . . . . . 7  |-  pi  e.  RR
1312recni 8865 . . . . . 6  |-  pi  e.  CC
1411, 13mulcli 8858 . . . . 5  |-  ( _i  x.  pi )  e.  CC
15 efsub 12396 . . . . 5  |-  ( ( ( log `  A
)  e.  CC  /\  ( _i  x.  pi )  e.  CC )  ->  ( exp `  (
( log `  A
)  -  ( _i  x.  pi ) ) )  =  ( ( exp `  ( log `  A ) )  / 
( exp `  (
_i  x.  pi )
) ) )
1610, 14, 15sylancl 643 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( exp `  (
( log `  A
)  -  ( _i  x.  pi ) ) )  =  ( ( exp `  ( log `  A ) )  / 
( exp `  (
_i  x.  pi )
) ) )
17 eflog 19949 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( exp `  ( log `  A ) )  =  A )
188, 17syldan 456 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( exp `  ( log `  A ) )  =  A )
19 efipi 19857 . . . . . 6  |-  ( exp `  ( _i  x.  pi ) )  =  -u
1
2019a1i 10 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( exp `  (
_i  x.  pi )
)  =  -u 1
)
2118, 20oveq12d 5892 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( ( exp `  ( log `  A ) )  /  ( exp `  (
_i  x.  pi )
) )  =  ( A  /  -u 1
) )
22 ax-1cn 8811 . . . . . . 7  |-  1  e.  CC
23 ax-1ne0 8822 . . . . . . 7  |-  1  =/=  0
24 divneg2 9500 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  1  e.  CC  /\  1  =/=  0 )  ->  -u ( A  /  1 )  =  ( A  /  -u 1
) )
2522, 23, 24mp3an23 1269 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  -u ( A  /  1 )  =  ( A  /  -u 1
) )
26 div1 9469 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  /  1 )  =  A )
2726negeqd 9062 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  -u ( A  /  1 )  = 
-u A )
2825, 27eqtr3d 2330 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  /  -u 1 )  = 
-u A )
2928adantr 451 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( A  /  -u 1
)  =  -u A
)
3016, 21, 293eqtrd 2332 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( exp `  (
( log `  A
)  -  ( _i  x.  pi ) ) )  =  -u A
)
3130fveq2d 5545 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( log `  ( exp `  ( ( log `  A )  -  (
_i  x.  pi )
) ) )  =  ( log `  -u A
) )
32 subcl 9067 . . . . 5  |-  ( ( ( log `  A
)  e.  CC  /\  ( _i  x.  pi )  e.  CC )  ->  ( ( log `  A
)  -  ( _i  x.  pi ) )  e.  CC )
3310, 14, 32sylancl 643 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( ( log `  A
)  -  ( _i  x.  pi ) )  e.  CC )
34 argimgt0 19982 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( Im `  ( log `  A ) )  e.  ( 0 (,) pi ) )
35 eliooord 10726 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Im `  ( log `  A ) )  e.  ( 0 (,) pi )  ->  ( 0  < 
( Im `  ( log `  A ) )  /\  ( Im `  ( log `  A ) )  <  pi ) )
3634, 35syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( 0  <  (
Im `  ( log `  A ) )  /\  ( Im `  ( log `  A ) )  < 
pi ) )
3736simpld 445 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
0  <  ( Im `  ( log `  A
) ) )
38 imcl 11612 . . . . . . . . 9  |-  ( ( log `  A )  e.  CC  ->  (
Im `  ( log `  A ) )  e.  RR )
3910, 38syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( Im `  ( log `  A ) )  e.  RR )
4012renegcli 9124 . . . . . . . 8  |-  -u pi  e.  RR
41 ltaddpos2 9281 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( Im `  ( log `  A ) )  e.  RR  /\  -u pi  e.  RR )  ->  (
0  <  ( Im `  ( log `  A
) )  <->  -u pi  <  ( ( Im `  ( log `  A ) )  +  -u pi ) ) )
4239, 40, 41sylancl 643 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( 0  <  (
Im `  ( log `  A ) )  <->  -u pi  <  ( ( Im `  ( log `  A ) )  +  -u pi ) ) )
4337, 42mpbid 201 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  -u pi  <  ( ( Im `  ( log `  A ) )  + 
-u pi ) )
4439recnd 8877 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( Im `  ( log `  A ) )  e.  CC )
45 negsub 9111 . . . . . . 7  |-  ( ( ( Im `  ( log `  A ) )  e.  CC  /\  pi  e.  CC )  ->  (
( Im `  ( log `  A ) )  +  -u pi )  =  ( ( Im `  ( log `  A ) )  -  pi ) )
4644, 13, 45sylancl 643 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( ( Im `  ( log `  A ) )  +  -u pi )  =  ( (
Im `  ( log `  A ) )  -  pi ) )
4743, 46breqtrd 4063 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  -u pi  <  ( ( Im `  ( log `  A ) )  -  pi ) )
48 imsub 11636 . . . . . . 7  |-  ( ( ( log `  A
)  e.  CC  /\  ( _i  x.  pi )  e.  CC )  ->  ( Im `  (
( log `  A
)  -  ( _i  x.  pi ) ) )  =  ( ( Im `  ( log `  A ) )  -  ( Im `  ( _i  x.  pi ) ) ) )
4910, 14, 48sylancl 643 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( Im `  (
( log `  A
)  -  ( _i  x.  pi ) ) )  =  ( ( Im `  ( log `  A ) )  -  ( Im `  ( _i  x.  pi ) ) ) )
50 reim 11610 . . . . . . . . 9  |-  ( pi  e.  CC  ->  (
Re `  pi )  =  ( Im `  ( _i  x.  pi ) ) )
5113, 50ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  ( Re
`  pi )  =  ( Im `  (
_i  x.  pi )
)
52 rere 11623 . . . . . . . . 9  |-  ( pi  e.  RR  ->  (
Re `  pi )  =  pi )
5312, 52ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  ( Re
`  pi )  =  pi
5451, 53eqtr3i 2318 . . . . . . 7  |-  ( Im
`  ( _i  x.  pi ) )  =  pi
5554oveq2i 5885 . . . . . 6  |-  ( ( Im `  ( log `  A ) )  -  ( Im `  ( _i  x.  pi ) ) )  =  ( ( Im `  ( log `  A ) )  -  pi )
5649, 55syl6eq 2344 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( Im `  (
( log `  A
)  -  ( _i  x.  pi ) ) )  =  ( ( Im `  ( log `  A ) )  -  pi ) )
5747, 56breqtrrd 4065 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  -u pi  <  ( Im
`  ( ( log `  A )  -  (
_i  x.  pi )
) ) )
58 resubcl 9127 . . . . . . 7  |-  ( ( ( Im `  ( log `  A ) )  e.  RR  /\  pi  e.  RR )  ->  (
( Im `  ( log `  A ) )  -  pi )  e.  RR )
5939, 12, 58sylancl 643 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( ( Im `  ( log `  A ) )  -  pi )  e.  RR )
6012a1i 10 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  pi  e.  RR )
61 0re 8854 . . . . . . . 8  |-  0  e.  RR
62 pipos 19849 . . . . . . . 8  |-  0  <  pi
6361, 12, 62ltleii 8957 . . . . . . 7  |-  0  <_  pi
64 subge02 9305 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( Im `  ( log `  A ) )  e.  RR  /\  pi  e.  RR )  ->  (
0  <_  pi  <->  ( (
Im `  ( log `  A ) )  -  pi )  <_  ( Im
`  ( log `  A
) ) ) )
6539, 12, 64sylancl 643 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( 0  <_  pi  <->  ( ( Im `  ( log `  A ) )  -  pi )  <_ 
( Im `  ( log `  A ) ) ) )
6663, 65mpbii 202 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( ( Im `  ( log `  A ) )  -  pi )  <_  ( Im `  ( log `  A ) ) )
67 logimcl 19943 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( -u pi  <  (
Im `  ( log `  A ) )  /\  ( Im `  ( log `  A ) )  <_  pi ) )
688, 67syldan 456 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( -u pi  <  (
Im `  ( log `  A ) )  /\  ( Im `  ( log `  A ) )  <_  pi ) )
6968simprd 449 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( Im `  ( log `  A ) )  <_  pi )
7059, 39, 60, 66, 69letrd 8989 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( ( Im `  ( log `  A ) )  -  pi )  <_  pi )
7156, 70eqbrtrd 4059 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( Im `  (
( log `  A
)  -  ( _i  x.  pi ) ) )  <_  pi )
72 ellogrn 19933 . . . 4  |-  ( ( ( log `  A
)  -  ( _i  x.  pi ) )  e.  ran  log  <->  ( (
( log `  A
)  -  ( _i  x.  pi ) )  e.  CC  /\  -u pi  <  ( Im `  (
( log `  A
)  -  ( _i  x.  pi ) ) )  /\  ( Im
`  ( ( log `  A )  -  (
_i  x.  pi )
) )  <_  pi ) )
7333, 57, 71, 72syl3anbrc 1136 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( ( log `  A
)  -  ( _i  x.  pi ) )  e.  ran  log )
74 logef 19951 . . 3  |-  ( ( ( log `  A
)  -  ( _i  x.  pi ) )  e.  ran  log  ->  ( log `  ( exp `  ( ( log `  A
)  -  ( _i  x.  pi ) ) ) )  =  ( ( log `  A
)  -  ( _i  x.  pi ) ) )
7573, 74syl 15 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( log `  ( exp `  ( ( log `  A )  -  (
_i  x.  pi )
) ) )  =  ( ( log `  A
)  -  ( _i  x.  pi ) ) )
7631, 75eqtr3d 2330 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( log `  -u A
)  =  ( ( log `  A )  -  ( _i  x.  pi ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   class class class wbr 4039   ran crn 4706   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   CCcc 8751   RRcr 8752   0cc0 8753   1c1 8754   _ici 8755    + caddc 8756    x. cmul 8758    < clt 8883    <_ cle 8884    - cmin 9053   -ucneg 9054    / cdiv 9439   (,)cioo 10672   Recre 11598   Imcim 11599   expce 12359   picpi 12364   logclog 19928
This theorem is referenced by:  atanlogsublem  20227
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831  ax-addf 8832  ax-mulf 8833
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-pm 6791  df-ixp 6834  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-fi 7181  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-cda 7810  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-xneg 10468  df-xadd 10469  df-xmul 10470  df-ioo 10676  df-ioc 10677  df-ico 10678  df-icc 10679  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-fl 10941  df-mod 10990  df-seq 11063  df-exp 11121  df-fac 11305  df-bc 11332  df-hash 11354  df-shft 11578  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-limsup 11961  df-clim 11978  df-rlim 11979  df-sum 12175  df-ef 12365  df-sin 12367  df-cos 12368  df-pi 12370  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-starv 13239  df-sca 13240  df-vsca 13241  df-tset 13243  df-ple 13244  df-ds 13246  df-hom 13248  df-cco 13249  df-rest 13343  df-topn 13344  df-topgen 13360  df-pt 13361  df-prds 13364  df-xrs 13419  df-0g 13420  df-gsum 13421  df-qtop 13426  df-imas 13427  df-xps 13429  df-mre 13504  df-mrc 13505  df-acs 13507  df-mnd 14383  df-submnd 14432  df-mulg 14508  df-cntz 14809  df-cmn 15107  df-xmet 16389  df-met 16390  df-bl 16391  df-mopn 16392  df-cnfld 16394  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-topsp 16656  df-cld 16772  df-ntr 16773  df-cls 16774  df-nei 16851  df-lp 16884  df-perf 16885  df-cn 16973  df-cnp 16974  df-haus 17059  df-tx 17273  df-hmeo 17462  df-fbas 17536  df-fg 17537  df-fil 17557  df-fm 17649  df-flim 17650  df-flf 17651  df-xms 17901  df-ms 17902  df-tms 17903  df-cncf 18398  df-limc 19232  df-dv 19233  df-log 19930
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