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Theorem logtayl2 20009
Description: Power series expression for the logarithm. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
logtayl2.s  |-  S  =  ( 1 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 )
Assertion
Ref Expression
logtayl2  |-  ( A  e.  S  ->  seq  1 (  +  , 
( k  e.  NN  |->  ( ( ( -u
1 ^ ( k  -  1 ) )  /  k )  x.  ( ( A  - 
1 ) ^ k
) ) ) )  ~~>  ( log `  A
) )
Distinct variable group:    A, k
Allowed substitution hint:    S( k)

Proof of Theorem logtayl2
Dummy variable  n is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 10263 . . 3  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
2 1z 10053 . . . 4  |-  1  e.  ZZ
32a1i 10 . . 3  |-  ( A  e.  S  ->  1  e.  ZZ )
4 neg1cn 9813 . . . 4  |-  -u 1  e.  CC
54a1i 10 . . 3  |-  ( A  e.  S  ->  -u 1  e.  CC )
6 ax-1cn 8795 . . . . . 6  |-  1  e.  CC
7 logtayl2.s . . . . . . . . 9  |-  S  =  ( 1 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 )
87eleq2i 2347 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  S  <->  A  e.  ( 1 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )
9 cnxmet 18282 . . . . . . . . 9  |-  ( abs 
o.  -  )  e.  ( * Met `  CC )
10 1rp 10358 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  RR+
11 rpxr 10361 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  e.  RR+  ->  1  e. 
RR* )
1210, 11ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  RR*
13 elbl 17949 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( * Met `  CC )  /\  1  e.  CC  /\  1  e.  RR* )  ->  ( A  e.  ( 1 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 )  <->  ( A  e.  CC  /\  ( 1 ( abs  o.  -  ) A )  <  1
) ) )
149, 6, 12, 13mp3an 1277 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( 1 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) 1 )  <->  ( A  e.  CC  /\  ( 1 ( abs  o.  -  ) A )  <  1
) )
158, 14bitri 240 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  S  <->  ( A  e.  CC  /\  ( 1 ( abs  o.  -  ) A )  <  1
) )
1615simplbi 446 . . . . . 6  |-  ( A  e.  S  ->  A  e.  CC )
17 subcl 9051 . . . . . 6  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( 1  -  A
)  e.  CC )
186, 16, 17sylancr 644 . . . . 5  |-  ( A  e.  S  ->  (
1  -  A )  e.  CC )
19 eqid 2283 . . . . . . . 8  |-  ( abs 
o.  -  )  =  ( abs  o.  -  )
2019cnmetdval 18280 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( 1 ( abs 
o.  -  ) A
)  =  ( abs `  ( 1  -  A
) ) )
216, 16, 20sylancr 644 . . . . . 6  |-  ( A  e.  S  ->  (
1 ( abs  o.  -  ) A )  =  ( abs `  (
1  -  A ) ) )
2215simprbi 450 . . . . . 6  |-  ( A  e.  S  ->  (
1 ( abs  o.  -  ) A )  <  1 )
2321, 22eqbrtrrd 4045 . . . . 5  |-  ( A  e.  S  ->  ( abs `  ( 1  -  A ) )  <  1 )
24 logtayl 20007 . . . . 5  |-  ( ( ( 1  -  A
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  A ) )  <  1 )  ->  seq  1 (  +  , 
( k  e.  NN  |->  ( ( ( 1  -  A ) ^
k )  /  k
) ) )  ~~>  -u ( log `  ( 1  -  ( 1  -  A
) ) ) )
2518, 23, 24syl2anc 642 . . . 4  |-  ( A  e.  S  ->  seq  1 (  +  , 
( k  e.  NN  |->  ( ( ( 1  -  A ) ^
k )  /  k
) ) )  ~~>  -u ( log `  ( 1  -  ( 1  -  A
) ) ) )
26 nncan 9076 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( 1  -  (
1  -  A ) )  =  A )
276, 16, 26sylancr 644 . . . . . 6  |-  ( A  e.  S  ->  (
1  -  ( 1  -  A ) )  =  A )
2827fveq2d 5529 . . . . 5  |-  ( A  e.  S  ->  ( log `  ( 1  -  ( 1  -  A
) ) )  =  ( log `  A
) )
2928negeqd 9046 . . . 4  |-  ( A  e.  S  ->  -u ( log `  ( 1  -  ( 1  -  A
) ) )  = 
-u ( log `  A
) )
3025, 29breqtrd 4047 . . 3  |-  ( A  e.  S  ->  seq  1 (  +  , 
( k  e.  NN  |->  ( ( ( 1  -  A ) ^
k )  /  k
) ) )  ~~>  -u ( log `  A ) )
31 oveq2 5866 . . . . . . 7  |-  ( k  =  n  ->  (
( 1  -  A
) ^ k )  =  ( ( 1  -  A ) ^
n ) )
32 id 19 . . . . . . 7  |-  ( k  =  n  ->  k  =  n )
3331, 32oveq12d 5876 . . . . . 6  |-  ( k  =  n  ->  (
( ( 1  -  A ) ^ k
)  /  k )  =  ( ( ( 1  -  A ) ^ n )  /  n ) )
34 eqid 2283 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN  |->  ( ( ( 1  -  A
) ^ k )  /  k ) )  =  ( k  e.  NN  |->  ( ( ( 1  -  A ) ^ k )  / 
k ) )
35 ovex 5883 . . . . . 6  |-  ( ( ( 1  -  A
) ^ n )  /  n )  e. 
_V
3633, 34, 35fvmpt 5602 . . . . 5  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( k  e.  NN  |->  ( ( ( 1  -  A ) ^
k )  /  k
) ) `  n
)  =  ( ( ( 1  -  A
) ^ n )  /  n ) )
3736adantl 452 . . . 4  |-  ( ( A  e.  S  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( k  e.  NN  |->  ( ( ( 1  -  A ) ^ k )  / 
k ) ) `  n )  =  ( ( ( 1  -  A ) ^ n
)  /  n ) )
38 nnnn0 9972 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  NN0 )
39 expcl 11121 . . . . . 6  |-  ( ( ( 1  -  A
)  e.  CC  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( ( 1  -  A ) ^ n
)  e.  CC )
4018, 38, 39syl2an 463 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  S  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( 1  -  A ) ^ n
)  e.  CC )
41 nncn 9754 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  CC )
4241adantl 452 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  S  /\  n  e.  NN )  ->  n  e.  CC )
43 nnne0 9778 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  ->  n  =/=  0 )
4443adantl 452 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  S  /\  n  e.  NN )  ->  n  =/=  0 )
4540, 42, 44divcld 9536 . . . 4  |-  ( ( A  e.  S  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( ( 1  -  A ) ^
n )  /  n
)  e.  CC )
4637, 45eqeltrd 2357 . . 3  |-  ( ( A  e.  S  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( k  e.  NN  |->  ( ( ( 1  -  A ) ^ k )  / 
k ) ) `  n )  e.  CC )
4740, 42, 44divnegd 9549 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  S  /\  n  e.  NN )  -> 
-u ( ( ( 1  -  A ) ^ n )  /  n )  =  (
-u ( ( 1  -  A ) ^
n )  /  n
) )
4845mulm1d 9231 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  S  /\  n  e.  NN )  ->  ( -u 1  x.  ( ( ( 1  -  A ) ^
n )  /  n
) )  =  -u ( ( ( 1  -  A ) ^
n )  /  n
) )
4938adantl 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  S  /\  n  e.  NN )  ->  n  e.  NN0 )
50 expcl 11121 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
-u 1  e.  CC  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( -u 1 ^ n )  e.  CC )
514, 49, 50sylancr 644 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  S  /\  n  e.  NN )  ->  ( -u 1 ^ n )  e.  CC )
52 subcl 9051 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( A  -  1 )  e.  CC )
5316, 6, 52sylancl 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  S  ->  ( A  -  1 )  e.  CC )
54 expcl 11121 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  -  1 )  e.  CC  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( ( A  - 
1 ) ^ n
)  e.  CC )
5553, 38, 54syl2an 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  S  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( A  - 
1 ) ^ n
)  e.  CC )
5651, 55mulneg1d 9232 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  S  /\  n  e.  NN )  ->  ( -u ( -u
1 ^ n )  x.  ( ( A  -  1 ) ^
n ) )  = 
-u ( ( -u
1 ^ n )  x.  ( ( A  -  1 ) ^
n ) ) )
574a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  S  /\  n  e.  NN )  -> 
-u 1  e.  CC )
58 ax-1ne0 8806 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  =/=  0
596, 58negne0i 9121 . . . . . . . . . . . 12  |-  -u 1  =/=  0
6059a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  S  /\  n  e.  NN )  -> 
-u 1  =/=  0
)
61 nnz 10045 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  ZZ )
6261adantl 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  S  /\  n  e.  NN )  ->  n  e.  ZZ )
6357, 60, 62expm1d 11255 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  S  /\  n  e.  NN )  ->  ( -u 1 ^ ( n  -  1 ) )  =  ( ( -u 1 ^ n )  /  -u 1
) )
646a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  S  /\  n  e.  NN )  ->  1  e.  CC )
6558a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  S  /\  n  e.  NN )  ->  1  =/=  0 )
6651, 64, 65divneg2d 9550 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  S  /\  n  e.  NN )  -> 
-u ( ( -u
1 ^ n )  /  1 )  =  ( ( -u 1 ^ n )  /  -u 1 ) )
6751div1d 9528 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  S  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( -u 1 ^ n )  / 
1 )  =  (
-u 1 ^ n
) )
6867negeqd 9046 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  S  /\  n  e.  NN )  -> 
-u ( ( -u
1 ^ n )  /  1 )  = 
-u ( -u 1 ^ n ) )
6963, 66, 683eqtr2d 2321 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  S  /\  n  e.  NN )  ->  ( -u 1 ^ ( n  -  1 ) )  =  -u ( -u 1 ^ n
) )
7069oveq1d 5873 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  S  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( -u 1 ^ ( n  - 
1 ) )  x.  ( ( A  - 
1 ) ^ n
) )  =  (
-u ( -u 1 ^ n )  x.  ( ( A  - 
1 ) ^ n
) ) )
7153mulm1d 9231 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  S  ->  ( -u 1  x.  ( A  -  1 ) )  =  -u ( A  - 
1 ) )
72 negsubdi2 9106 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  1  e.  CC )  -> 
-u ( A  - 
1 )  =  ( 1  -  A ) )
7316, 6, 72sylancl 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  S  ->  -u ( A  -  1 )  =  ( 1  -  A ) )
7471, 73eqtr2d 2316 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  S  ->  (
1  -  A )  =  ( -u 1  x.  ( A  -  1 ) ) )
7574oveq1d 5873 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  S  ->  (
( 1  -  A
) ^ n )  =  ( ( -u
1  x.  ( A  -  1 ) ) ^ n ) )
7675adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  S  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( 1  -  A ) ^ n
)  =  ( (
-u 1  x.  ( A  -  1 ) ) ^ n ) )
77 mulexp 11141 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
-u 1  e.  CC  /\  ( A  -  1 )  e.  CC  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( ( -u 1  x.  ( A  -  1 ) ) ^ n
)  =  ( (
-u 1 ^ n
)  x.  ( ( A  -  1 ) ^ n ) ) )
784, 77mp3an1 1264 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  -  1 )  e.  CC  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( ( -u 1  x.  ( A  -  1 ) ) ^ n
)  =  ( (
-u 1 ^ n
)  x.  ( ( A  -  1 ) ^ n ) ) )
7953, 38, 78syl2an 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  S  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( -u 1  x.  ( A  -  1 ) ) ^ n
)  =  ( (
-u 1 ^ n
)  x.  ( ( A  -  1 ) ^ n ) ) )
8076, 79eqtrd 2315 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  S  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( 1  -  A ) ^ n
)  =  ( (
-u 1 ^ n
)  x.  ( ( A  -  1 ) ^ n ) ) )
8180negeqd 9046 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  S  /\  n  e.  NN )  -> 
-u ( ( 1  -  A ) ^
n )  =  -u ( ( -u 1 ^ n )  x.  ( ( A  - 
1 ) ^ n
) ) )
8256, 70, 813eqtr4d 2325 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  S  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( -u 1 ^ ( n  - 
1 ) )  x.  ( ( A  - 
1 ) ^ n
) )  =  -u ( ( 1  -  A ) ^ n
) )
8382oveq1d 5873 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  S  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( ( -u
1 ^ ( n  -  1 ) )  x.  ( ( A  -  1 ) ^
n ) )  /  n )  =  (
-u ( ( 1  -  A ) ^
n )  /  n
) )
8447, 48, 833eqtr4d 2325 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  S  /\  n  e.  NN )  ->  ( -u 1  x.  ( ( ( 1  -  A ) ^
n )  /  n
) )  =  ( ( ( -u 1 ^ ( n  - 
1 ) )  x.  ( ( A  - 
1 ) ^ n
) )  /  n
) )
85 nnm1nn0 10005 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  -  1 )  e.  NN0 )
8685adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  S  /\  n  e.  NN )  ->  ( n  -  1 )  e.  NN0 )
87 expcl 11121 . . . . . . 7  |-  ( (
-u 1  e.  CC  /\  ( n  -  1 )  e.  NN0 )  ->  ( -u 1 ^ ( n  -  1 ) )  e.  CC )
884, 86, 87sylancr 644 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  S  /\  n  e.  NN )  ->  ( -u 1 ^ ( n  -  1 ) )  e.  CC )
8988, 55, 42, 44div23d 9573 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  S  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( ( -u
1 ^ ( n  -  1 ) )  x.  ( ( A  -  1 ) ^
n ) )  /  n )  =  ( ( ( -u 1 ^ ( n  - 
1 ) )  /  n )  x.  (
( A  -  1 ) ^ n ) ) )
9084, 89eqtr2d 2316 . . . 4  |-  ( ( A  e.  S  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( ( -u
1 ^ ( n  -  1 ) )  /  n )  x.  ( ( A  - 
1 ) ^ n
) )  =  (
-u 1  x.  (
( ( 1  -  A ) ^ n
)  /  n ) ) )
91 oveq1 5865 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  n  ->  (
k  -  1 )  =  ( n  - 
1 ) )
9291oveq2d 5874 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  n  ->  ( -u 1 ^ ( k  -  1 ) )  =  ( -u 1 ^ ( n  - 
1 ) ) )
9392, 32oveq12d 5876 . . . . . . 7  |-  ( k  =  n  ->  (
( -u 1 ^ (
k  -  1 ) )  /  k )  =  ( ( -u
1 ^ ( n  -  1 ) )  /  n ) )
94 oveq2 5866 . . . . . . 7  |-  ( k  =  n  ->  (
( A  -  1 ) ^ k )  =  ( ( A  -  1 ) ^
n ) )
9593, 94oveq12d 5876 . . . . . 6  |-  ( k  =  n  ->  (
( ( -u 1 ^ ( k  - 
1 ) )  / 
k )  x.  (
( A  -  1 ) ^ k ) )  =  ( ( ( -u 1 ^ ( n  -  1 ) )  /  n
)  x.  ( ( A  -  1 ) ^ n ) ) )
96 eqid 2283 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN  |->  ( ( ( -u 1 ^ ( k  -  1 ) )  /  k
)  x.  ( ( A  -  1 ) ^ k ) ) )  =  ( k  e.  NN  |->  ( ( ( -u 1 ^ ( k  -  1 ) )  /  k
)  x.  ( ( A  -  1 ) ^ k ) ) )
97 ovex 5883 . . . . . 6  |-  ( ( ( -u 1 ^ ( n  -  1 ) )  /  n
)  x.  ( ( A  -  1 ) ^ n ) )  e.  _V
9895, 96, 97fvmpt 5602 . . . . 5  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( k  e.  NN  |->  ( ( ( -u
1 ^ ( k  -  1 ) )  /  k )  x.  ( ( A  - 
1 ) ^ k
) ) ) `  n )  =  ( ( ( -u 1 ^ ( n  - 
1 ) )  /  n )  x.  (
( A  -  1 ) ^ n ) ) )
9998adantl 452 . . . 4  |-  ( ( A  e.  S  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( k  e.  NN  |->  ( ( (
-u 1 ^ (
k  -  1 ) )  /  k )  x.  ( ( A  -  1 ) ^
k ) ) ) `
 n )  =  ( ( ( -u
1 ^ ( n  -  1 ) )  /  n )  x.  ( ( A  - 
1 ) ^ n
) ) )
10037oveq2d 5874 . . . 4  |-  ( ( A  e.  S  /\  n  e.  NN )  ->  ( -u 1  x.  ( ( k  e.  NN  |->  ( ( ( 1  -  A ) ^ k )  / 
k ) ) `  n ) )  =  ( -u 1  x.  ( ( ( 1  -  A ) ^
n )  /  n
) ) )
10190, 99, 1003eqtr4d 2325 . . 3  |-  ( ( A  e.  S  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( k  e.  NN  |->  ( ( (
-u 1 ^ (
k  -  1 ) )  /  k )  x.  ( ( A  -  1 ) ^
k ) ) ) `
 n )  =  ( -u 1  x.  ( ( k  e.  NN  |->  ( ( ( 1  -  A ) ^ k )  / 
k ) ) `  n ) ) )
1021, 3, 5, 30, 46, 101isermulc2 12131 . 2  |-  ( A  e.  S  ->  seq  1 (  +  , 
( k  e.  NN  |->  ( ( ( -u
1 ^ ( k  -  1 ) )  /  k )  x.  ( ( A  - 
1 ) ^ k
) ) ) )  ~~>  ( -u 1  x.  -u ( log `  A
) ) )
1037dvlog2lem 19999 . . . . . . . 8  |-  S  C_  ( CC  \  (  -oo (,] 0 ) )
104103sseli 3176 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  S  ->  A  e.  ( CC  \  (  -oo (,] 0 ) ) )
105 eqid 2283 . . . . . . . 8  |-  ( CC 
\  (  -oo (,] 0 ) )  =  ( CC  \  (  -oo (,] 0 ) )
106105logdmn0 19987 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( CC  \ 
(  -oo (,] 0 ) )  ->  A  =/=  0 )
107104, 106syl 15 . . . . . 6  |-  ( A  e.  S  ->  A  =/=  0 )
108 logcl 19926 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( log `  A
)  e.  CC )
10916, 107, 108syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( A  e.  S  ->  ( log `  A )  e.  CC )
110109negcld 9144 . . . 4  |-  ( A  e.  S  ->  -u ( log `  A )  e.  CC )
111110mulm1d 9231 . . 3  |-  ( A  e.  S  ->  ( -u 1  x.  -u ( log `  A ) )  =  -u -u ( log `  A
) )
112109negnegd 9148 . . 3  |-  ( A  e.  S  ->  -u -u ( log `  A )  =  ( log `  A
) )
113111, 112eqtrd 2315 . 2  |-  ( A  e.  S  ->  ( -u 1  x.  -u ( log `  A ) )  =  ( log `  A
) )
114102, 113breqtrd 4047 1  |-  ( A  e.  S  ->  seq  1 (  +  , 
( k  e.  NN  |->  ( ( ( -u
1 ^ ( k  -  1 ) )  /  k )  x.  ( ( A  - 
1 ) ^ k
) ) ) )  ~~>  ( log `  A
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446    \ cdif 3149   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077    o. ccom 4693   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   CCcc 8735   0cc0 8737   1c1 8738    + caddc 8740    x. cmul 8742    -oocmnf 8865   RR*cxr 8866    < clt 8867    - cmin 9037   -ucneg 9038    / cdiv 9423   NNcn 9746   NN0cn0 9965   ZZcz 10024   RR+crp 10354   (,]cioc 10657    seq cseq 11046   ^cexp 11104   abscabs 11719    ~~> cli 11958   * Metcxmt 16369   ballcbl 16371   logclog 19912
This theorem is referenced by:  stirlinglem5  27827
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-addf 8816  ax-mulf 8817
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-fi 7165  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-ioo 10660  df-ioc 10661  df-ico 10662  df-icc 10663  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-mod 10974  df-seq 11047  df-exp 11105  df-fac 11289  df-bc 11316  df-hash 11338  df-shft 11562  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-limsup 11945  df-clim 11962  df-rlim 11963  df-sum 12159  df-ef 12349  df-sin 12351  df-cos 12352  df-tan 12353  df-pi 12354  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-starv 13223  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-hom 13232  df-cco 13233  df-rest 13327  df-topn 13328  df-topgen 13344  df-pt 13345  df-prds 13348  df-xrs 13403  df-0g 13404  df-gsum 13405  df-qtop 13410  df-imas 13411  df-xps 13413  df-mre 13488  df-mrc 13489  df-acs 13491  df-mnd 14367  df-submnd 14416  df-mulg 14492  df-cntz 14793  df-cmn 15091  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-cnfld 16378  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-topsp 16640  df-cld 16756  df-ntr 16757  df-cls 16758  df-nei 16835  df-lp 16868  df-perf 16869  df-cn 16957  df-cnp 16958  df-haus 17043  df-cmp 17114  df-tx 17257  df-hmeo 17446  df-fbas 17520  df-fg 17521  df-fil 17541  df-fm 17633  df-flim 17634  df-flf 17635  df-xms 17885  df-ms 17886  df-tms 17887  df-cncf 18382  df-limc 19216  df-dv 19217  df-ulm 19756  df-log 19914
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