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Theorem logtayl2 20545
Description: Power series expression for the logarithm. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
logtayl2.s  |-  S  =  ( 1 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 )
Assertion
Ref Expression
logtayl2  |-  ( A  e.  S  ->  seq  1 (  +  , 
( k  e.  NN  |->  ( ( ( -u
1 ^ ( k  -  1 ) )  /  k )  x.  ( ( A  - 
1 ) ^ k
) ) ) )  ~~>  ( log `  A
) )
Distinct variable group:    A, k
Allowed substitution hint:    S( k)

Proof of Theorem logtayl2
Dummy variable  n is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 10513 . . 3  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
2 1z 10303 . . . 4  |-  1  e.  ZZ
32a1i 11 . . 3  |-  ( A  e.  S  ->  1  e.  ZZ )
4 neg1cn 10059 . . . 4  |-  -u 1  e.  CC
54a1i 11 . . 3  |-  ( A  e.  S  ->  -u 1  e.  CC )
6 ax-1cn 9040 . . . . . 6  |-  1  e.  CC
7 logtayl2.s . . . . . . . . 9  |-  S  =  ( 1 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 )
87eleq2i 2499 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  S  <->  A  e.  ( 1 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )
9 cnxmet 18799 . . . . . . . . 9  |-  ( abs 
o.  -  )  e.  ( * Met `  CC )
10 1rp 10608 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  RR+
11 rpxr 10611 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  e.  RR+  ->  1  e. 
RR* )
1210, 11ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  RR*
13 elbl 18410 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( * Met `  CC )  /\  1  e.  CC  /\  1  e.  RR* )  ->  ( A  e.  ( 1 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 )  <->  ( A  e.  CC  /\  ( 1 ( abs  o.  -  ) A )  <  1
) ) )
149, 6, 12, 13mp3an 1279 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( 1 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) 1 )  <->  ( A  e.  CC  /\  ( 1 ( abs  o.  -  ) A )  <  1
) )
158, 14bitri 241 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  S  <->  ( A  e.  CC  /\  ( 1 ( abs  o.  -  ) A )  <  1
) )
1615simplbi 447 . . . . . 6  |-  ( A  e.  S  ->  A  e.  CC )
17 subcl 9297 . . . . . 6  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( 1  -  A
)  e.  CC )
186, 16, 17sylancr 645 . . . . 5  |-  ( A  e.  S  ->  (
1  -  A )  e.  CC )
19 eqid 2435 . . . . . . . 8  |-  ( abs 
o.  -  )  =  ( abs  o.  -  )
2019cnmetdval 18797 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( 1 ( abs 
o.  -  ) A
)  =  ( abs `  ( 1  -  A
) ) )
216, 16, 20sylancr 645 . . . . . 6  |-  ( A  e.  S  ->  (
1 ( abs  o.  -  ) A )  =  ( abs `  (
1  -  A ) ) )
2215simprbi 451 . . . . . 6  |-  ( A  e.  S  ->  (
1 ( abs  o.  -  ) A )  <  1 )
2321, 22eqbrtrrd 4226 . . . . 5  |-  ( A  e.  S  ->  ( abs `  ( 1  -  A ) )  <  1 )
24 logtayl 20543 . . . . 5  |-  ( ( ( 1  -  A
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  A ) )  <  1 )  ->  seq  1 (  +  , 
( k  e.  NN  |->  ( ( ( 1  -  A ) ^
k )  /  k
) ) )  ~~>  -u ( log `  ( 1  -  ( 1  -  A
) ) ) )
2518, 23, 24syl2anc 643 . . . 4  |-  ( A  e.  S  ->  seq  1 (  +  , 
( k  e.  NN  |->  ( ( ( 1  -  A ) ^
k )  /  k
) ) )  ~~>  -u ( log `  ( 1  -  ( 1  -  A
) ) ) )
26 nncan 9322 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( 1  -  (
1  -  A ) )  =  A )
276, 16, 26sylancr 645 . . . . . 6  |-  ( A  e.  S  ->  (
1  -  ( 1  -  A ) )  =  A )
2827fveq2d 5724 . . . . 5  |-  ( A  e.  S  ->  ( log `  ( 1  -  ( 1  -  A
) ) )  =  ( log `  A
) )
2928negeqd 9292 . . . 4  |-  ( A  e.  S  ->  -u ( log `  ( 1  -  ( 1  -  A
) ) )  = 
-u ( log `  A
) )
3025, 29breqtrd 4228 . . 3  |-  ( A  e.  S  ->  seq  1 (  +  , 
( k  e.  NN  |->  ( ( ( 1  -  A ) ^
k )  /  k
) ) )  ~~>  -u ( log `  A ) )
31 oveq2 6081 . . . . . . 7  |-  ( k  =  n  ->  (
( 1  -  A
) ^ k )  =  ( ( 1  -  A ) ^
n ) )
32 id 20 . . . . . . 7  |-  ( k  =  n  ->  k  =  n )
3331, 32oveq12d 6091 . . . . . 6  |-  ( k  =  n  ->  (
( ( 1  -  A ) ^ k
)  /  k )  =  ( ( ( 1  -  A ) ^ n )  /  n ) )
34 eqid 2435 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN  |->  ( ( ( 1  -  A
) ^ k )  /  k ) )  =  ( k  e.  NN  |->  ( ( ( 1  -  A ) ^ k )  / 
k ) )
35 ovex 6098 . . . . . 6  |-  ( ( ( 1  -  A
) ^ n )  /  n )  e. 
_V
3633, 34, 35fvmpt 5798 . . . . 5  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( k  e.  NN  |->  ( ( ( 1  -  A ) ^
k )  /  k
) ) `  n
)  =  ( ( ( 1  -  A
) ^ n )  /  n ) )
3736adantl 453 . . . 4  |-  ( ( A  e.  S  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( k  e.  NN  |->  ( ( ( 1  -  A ) ^ k )  / 
k ) ) `  n )  =  ( ( ( 1  -  A ) ^ n
)  /  n ) )
38 nnnn0 10220 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  NN0 )
39 expcl 11391 . . . . . 6  |-  ( ( ( 1  -  A
)  e.  CC  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( ( 1  -  A ) ^ n
)  e.  CC )
4018, 38, 39syl2an 464 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  S  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( 1  -  A ) ^ n
)  e.  CC )
41 nncn 10000 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  CC )
4241adantl 453 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  S  /\  n  e.  NN )  ->  n  e.  CC )
43 nnne0 10024 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  ->  n  =/=  0 )
4443adantl 453 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  S  /\  n  e.  NN )  ->  n  =/=  0 )
4540, 42, 44divcld 9782 . . . 4  |-  ( ( A  e.  S  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( ( 1  -  A ) ^
n )  /  n
)  e.  CC )
4637, 45eqeltrd 2509 . . 3  |-  ( ( A  e.  S  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( k  e.  NN  |->  ( ( ( 1  -  A ) ^ k )  / 
k ) ) `  n )  e.  CC )
4740, 42, 44divnegd 9795 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  S  /\  n  e.  NN )  -> 
-u ( ( ( 1  -  A ) ^ n )  /  n )  =  (
-u ( ( 1  -  A ) ^
n )  /  n
) )
4845mulm1d 9477 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  S  /\  n  e.  NN )  ->  ( -u 1  x.  ( ( ( 1  -  A ) ^
n )  /  n
) )  =  -u ( ( ( 1  -  A ) ^
n )  /  n
) )
4938adantl 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  S  /\  n  e.  NN )  ->  n  e.  NN0 )
50 expcl 11391 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
-u 1  e.  CC  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( -u 1 ^ n )  e.  CC )
514, 49, 50sylancr 645 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  S  /\  n  e.  NN )  ->  ( -u 1 ^ n )  e.  CC )
52 subcl 9297 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( A  -  1 )  e.  CC )
5316, 6, 52sylancl 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  S  ->  ( A  -  1 )  e.  CC )
54 expcl 11391 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  -  1 )  e.  CC  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( ( A  - 
1 ) ^ n
)  e.  CC )
5553, 38, 54syl2an 464 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  S  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( A  - 
1 ) ^ n
)  e.  CC )
5651, 55mulneg1d 9478 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  S  /\  n  e.  NN )  ->  ( -u ( -u
1 ^ n )  x.  ( ( A  -  1 ) ^
n ) )  = 
-u ( ( -u
1 ^ n )  x.  ( ( A  -  1 ) ^
n ) ) )
574a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  S  /\  n  e.  NN )  -> 
-u 1  e.  CC )
58 ax-1ne0 9051 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  =/=  0
596, 58negne0i 9367 . . . . . . . . . . . 12  |-  -u 1  =/=  0
6059a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  S  /\  n  e.  NN )  -> 
-u 1  =/=  0
)
61 nnz 10295 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  ZZ )
6261adantl 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  S  /\  n  e.  NN )  ->  n  e.  ZZ )
6357, 60, 62expm1d 11525 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  S  /\  n  e.  NN )  ->  ( -u 1 ^ ( n  -  1 ) )  =  ( ( -u 1 ^ n )  /  -u 1
) )
646a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  S  /\  n  e.  NN )  ->  1  e.  CC )
6558a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  S  /\  n  e.  NN )  ->  1  =/=  0 )
6651, 64, 65divneg2d 9796 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  S  /\  n  e.  NN )  -> 
-u ( ( -u
1 ^ n )  /  1 )  =  ( ( -u 1 ^ n )  /  -u 1 ) )
6751div1d 9774 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  S  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( -u 1 ^ n )  / 
1 )  =  (
-u 1 ^ n
) )
6867negeqd 9292 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  S  /\  n  e.  NN )  -> 
-u ( ( -u
1 ^ n )  /  1 )  = 
-u ( -u 1 ^ n ) )
6963, 66, 683eqtr2d 2473 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  S  /\  n  e.  NN )  ->  ( -u 1 ^ ( n  -  1 ) )  =  -u ( -u 1 ^ n
) )
7069oveq1d 6088 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  S  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( -u 1 ^ ( n  - 
1 ) )  x.  ( ( A  - 
1 ) ^ n
) )  =  (
-u ( -u 1 ^ n )  x.  ( ( A  - 
1 ) ^ n
) ) )
7153mulm1d 9477 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  S  ->  ( -u 1  x.  ( A  -  1 ) )  =  -u ( A  - 
1 ) )
72 negsubdi2 9352 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  1  e.  CC )  -> 
-u ( A  - 
1 )  =  ( 1  -  A ) )
7316, 6, 72sylancl 644 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  S  ->  -u ( A  -  1 )  =  ( 1  -  A ) )
7471, 73eqtr2d 2468 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  S  ->  (
1  -  A )  =  ( -u 1  x.  ( A  -  1 ) ) )
7574oveq1d 6088 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  S  ->  (
( 1  -  A
) ^ n )  =  ( ( -u
1  x.  ( A  -  1 ) ) ^ n ) )
7675adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  S  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( 1  -  A ) ^ n
)  =  ( (
-u 1  x.  ( A  -  1 ) ) ^ n ) )
77 mulexp 11411 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
-u 1  e.  CC  /\  ( A  -  1 )  e.  CC  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( ( -u 1  x.  ( A  -  1 ) ) ^ n
)  =  ( (
-u 1 ^ n
)  x.  ( ( A  -  1 ) ^ n ) ) )
784, 77mp3an1 1266 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  -  1 )  e.  CC  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( ( -u 1  x.  ( A  -  1 ) ) ^ n
)  =  ( (
-u 1 ^ n
)  x.  ( ( A  -  1 ) ^ n ) ) )
7953, 38, 78syl2an 464 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  S  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( -u 1  x.  ( A  -  1 ) ) ^ n
)  =  ( (
-u 1 ^ n
)  x.  ( ( A  -  1 ) ^ n ) ) )
8076, 79eqtrd 2467 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  S  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( 1  -  A ) ^ n
)  =  ( (
-u 1 ^ n
)  x.  ( ( A  -  1 ) ^ n ) ) )
8180negeqd 9292 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  S  /\  n  e.  NN )  -> 
-u ( ( 1  -  A ) ^
n )  =  -u ( ( -u 1 ^ n )  x.  ( ( A  - 
1 ) ^ n
) ) )
8256, 70, 813eqtr4d 2477 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  S  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( -u 1 ^ ( n  - 
1 ) )  x.  ( ( A  - 
1 ) ^ n
) )  =  -u ( ( 1  -  A ) ^ n
) )
8382oveq1d 6088 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  S  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( ( -u
1 ^ ( n  -  1 ) )  x.  ( ( A  -  1 ) ^
n ) )  /  n )  =  (
-u ( ( 1  -  A ) ^
n )  /  n
) )
8447, 48, 833eqtr4d 2477 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  S  /\  n  e.  NN )  ->  ( -u 1  x.  ( ( ( 1  -  A ) ^
n )  /  n
) )  =  ( ( ( -u 1 ^ ( n  - 
1 ) )  x.  ( ( A  - 
1 ) ^ n
) )  /  n
) )
85 nnm1nn0 10253 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  -  1 )  e.  NN0 )
8685adantl 453 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  S  /\  n  e.  NN )  ->  ( n  -  1 )  e.  NN0 )
87 expcl 11391 . . . . . . 7  |-  ( (
-u 1  e.  CC  /\  ( n  -  1 )  e.  NN0 )  ->  ( -u 1 ^ ( n  -  1 ) )  e.  CC )
884, 86, 87sylancr 645 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  S  /\  n  e.  NN )  ->  ( -u 1 ^ ( n  -  1 ) )  e.  CC )
8988, 55, 42, 44div23d 9819 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  S  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( ( -u
1 ^ ( n  -  1 ) )  x.  ( ( A  -  1 ) ^
n ) )  /  n )  =  ( ( ( -u 1 ^ ( n  - 
1 ) )  /  n )  x.  (
( A  -  1 ) ^ n ) ) )
9084, 89eqtr2d 2468 . . . 4  |-  ( ( A  e.  S  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( ( -u
1 ^ ( n  -  1 ) )  /  n )  x.  ( ( A  - 
1 ) ^ n
) )  =  (
-u 1  x.  (
( ( 1  -  A ) ^ n
)  /  n ) ) )
91 oveq1 6080 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  n  ->  (
k  -  1 )  =  ( n  - 
1 ) )
9291oveq2d 6089 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  n  ->  ( -u 1 ^ ( k  -  1 ) )  =  ( -u 1 ^ ( n  - 
1 ) ) )
9392, 32oveq12d 6091 . . . . . . 7  |-  ( k  =  n  ->  (
( -u 1 ^ (
k  -  1 ) )  /  k )  =  ( ( -u
1 ^ ( n  -  1 ) )  /  n ) )
94 oveq2 6081 . . . . . . 7  |-  ( k  =  n  ->  (
( A  -  1 ) ^ k )  =  ( ( A  -  1 ) ^
n ) )
9593, 94oveq12d 6091 . . . . . 6  |-  ( k  =  n  ->  (
( ( -u 1 ^ ( k  - 
1 ) )  / 
k )  x.  (
( A  -  1 ) ^ k ) )  =  ( ( ( -u 1 ^ ( n  -  1 ) )  /  n
)  x.  ( ( A  -  1 ) ^ n ) ) )
96 eqid 2435 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN  |->  ( ( ( -u 1 ^ ( k  -  1 ) )  /  k
)  x.  ( ( A  -  1 ) ^ k ) ) )  =  ( k  e.  NN  |->  ( ( ( -u 1 ^ ( k  -  1 ) )  /  k
)  x.  ( ( A  -  1 ) ^ k ) ) )
97 ovex 6098 . . . . . 6  |-  ( ( ( -u 1 ^ ( n  -  1 ) )  /  n
)  x.  ( ( A  -  1 ) ^ n ) )  e.  _V
9895, 96, 97fvmpt 5798 . . . . 5  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( k  e.  NN  |->  ( ( ( -u
1 ^ ( k  -  1 ) )  /  k )  x.  ( ( A  - 
1 ) ^ k
) ) ) `  n )  =  ( ( ( -u 1 ^ ( n  - 
1 ) )  /  n )  x.  (
( A  -  1 ) ^ n ) ) )
9998adantl 453 . . . 4  |-  ( ( A  e.  S  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( k  e.  NN  |->  ( ( (
-u 1 ^ (
k  -  1 ) )  /  k )  x.  ( ( A  -  1 ) ^
k ) ) ) `
 n )  =  ( ( ( -u
1 ^ ( n  -  1 ) )  /  n )  x.  ( ( A  - 
1 ) ^ n
) ) )
10037oveq2d 6089 . . . 4  |-  ( ( A  e.  S  /\  n  e.  NN )  ->  ( -u 1  x.  ( ( k  e.  NN  |->  ( ( ( 1  -  A ) ^ k )  / 
k ) ) `  n ) )  =  ( -u 1  x.  ( ( ( 1  -  A ) ^
n )  /  n
) ) )
10190, 99, 1003eqtr4d 2477 . . 3  |-  ( ( A  e.  S  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( k  e.  NN  |->  ( ( (
-u 1 ^ (
k  -  1 ) )  /  k )  x.  ( ( A  -  1 ) ^
k ) ) ) `
 n )  =  ( -u 1  x.  ( ( k  e.  NN  |->  ( ( ( 1  -  A ) ^ k )  / 
k ) ) `  n ) ) )
1021, 3, 5, 30, 46, 101isermulc2 12443 . 2  |-  ( A  e.  S  ->  seq  1 (  +  , 
( k  e.  NN  |->  ( ( ( -u
1 ^ ( k  -  1 ) )  /  k )  x.  ( ( A  - 
1 ) ^ k
) ) ) )  ~~>  ( -u 1  x.  -u ( log `  A
) ) )
1037dvlog2lem 20535 . . . . . . . 8  |-  S  C_  ( CC  \  (  -oo (,] 0 ) )
104103sseli 3336 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  S  ->  A  e.  ( CC  \  (  -oo (,] 0 ) ) )
105 eqid 2435 . . . . . . . 8  |-  ( CC 
\  (  -oo (,] 0 ) )  =  ( CC  \  (  -oo (,] 0 ) )
106105logdmn0 20523 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( CC  \ 
(  -oo (,] 0 ) )  ->  A  =/=  0 )
107104, 106syl 16 . . . . . 6  |-  ( A  e.  S  ->  A  =/=  0 )
10816, 107logcld 20460 . . . . 5  |-  ( A  e.  S  ->  ( log `  A )  e.  CC )
109108negcld 9390 . . . 4  |-  ( A  e.  S  ->  -u ( log `  A )  e.  CC )
110109mulm1d 9477 . . 3  |-  ( A  e.  S  ->  ( -u 1  x.  -u ( log `  A ) )  =  -u -u ( log `  A
) )
111108negnegd 9394 . . 3  |-  ( A  e.  S  ->  -u -u ( log `  A )  =  ( log `  A
) )
112110, 111eqtrd 2467 . 2  |-  ( A  e.  S  ->  ( -u 1  x.  -u ( log `  A ) )  =  ( log `  A
) )
113102, 112breqtrd 4228 1  |-  ( A  e.  S  ->  seq  1 (  +  , 
( k  e.  NN  |->  ( ( ( -u
1 ^ ( k  -  1 ) )  /  k )  x.  ( ( A  - 
1 ) ^ k
) ) ) )  ~~>  ( log `  A
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2598    \ cdif 3309   class class class wbr 4204    e. cmpt 4258    o. ccom 4874   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   CCcc 8980   0cc0 8982   1c1 8983    + caddc 8985    x. cmul 8987    -oocmnf 9110   RR*cxr 9111    < clt 9112    - cmin 9283   -ucneg 9284    / cdiv 9669   NNcn 9992   NN0cn0 10213   ZZcz 10274   RR+crp 10604   (,]cioc 10909    seq cseq 11315   ^cexp 11374   abscabs 12031    ~~> cli 12270   * Metcxmt 16678   ballcbl 16680   logclog 20444
This theorem is referenced by:  stirlinglem5  27784
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7588  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060  ax-addf 9061  ax-mulf 9062
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-iin 4088  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-of 6297  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-2o 6717  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-pm 7013  df-ixp 7056  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-fi 7408  df-sup 7438  df-oi 7471  df-card 7818  df-cda 8040  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-4 10052  df-5 10053  df-6 10054  df-7 10055  df-8 10056  df-9 10057  df-10 10058  df-n0 10214  df-z 10275  df-dec 10375  df-uz 10481  df-q 10567  df-rp 10605  df-xneg 10702  df-xadd 10703  df-xmul 10704  df-ioo 10912  df-ioc 10913  df-ico 10914  df-icc 10915  df-fz 11036  df-fzo 11128  df-fl 11194  df-mod 11243  df-seq 11316  df-exp 11375  df-fac 11559  df-bc 11586  df-hash 11611  df-shft 11874  df-cj 11896  df-re 11897  df-im 11898  df-sqr 12032  df-abs 12033  df-limsup 12257  df-clim 12274  df-rlim 12275  df-sum 12472  df-ef 12662  df-sin 12664  df-cos 12665  df-tan 12666  df-pi 12667  df-struct 13463  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-sets 13467  df-ress 13468  df-plusg 13534  df-mulr 13535  df-starv 13536  df-sca 13537  df-vsca 13538  df-tset 13540  df-ple 13541  df-ds 13543  df-unif 13544  df-hom 13545  df-cco 13546  df-rest 13642  df-topn 13643  df-topgen 13659  df-pt 13660  df-prds 13663  df-xrs 13718  df-0g 13719  df-gsum 13720  df-qtop 13725  df-imas 13726  df-xps 13728  df-mre 13803  df-mrc 13804  df-acs 13806  df-mnd 14682  df-submnd 14731  df-mulg 14807  df-cntz 15108  df-cmn 15406  df-psmet 16686  df-xmet 16687  df-met 16688  df-bl 16689  df-mopn 16690  df-fbas 16691  df-fg 16692  df-cnfld 16696  df-top 16955  df-bases 16957  df-topon 16958  df-topsp 16959  df-cld 17075  df-ntr 17076  df-cls 17077  df-nei 17154  df-lp 17192  df-perf 17193  df-cn 17283  df-cnp 17284  df-haus 17371  df-cmp 17442  df-tx 17586  df-hmeo 17779  df-fil 17870  df-fm 17962  df-flim 17963  df-flf 17964  df-xms 18342  df-ms 18343  df-tms 18344  df-cncf 18900  df-limc 19745  df-dv 19746  df-ulm 20285  df-log 20446
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