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Theorem logtayl2 20420
Description: Power series expression for the logarithm. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
logtayl2.s  |-  S  =  ( 1 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 )
Assertion
Ref Expression
logtayl2  |-  ( A  e.  S  ->  seq  1 (  +  , 
( k  e.  NN  |->  ( ( ( -u
1 ^ ( k  -  1 ) )  /  k )  x.  ( ( A  - 
1 ) ^ k
) ) ) )  ~~>  ( log `  A
) )
Distinct variable group:    A, k
Allowed substitution hint:    S( k)

Proof of Theorem logtayl2
Dummy variable  n is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 10453 . . 3  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
2 1z 10243 . . . 4  |-  1  e.  ZZ
32a1i 11 . . 3  |-  ( A  e.  S  ->  1  e.  ZZ )
4 neg1cn 9999 . . . 4  |-  -u 1  e.  CC
54a1i 11 . . 3  |-  ( A  e.  S  ->  -u 1  e.  CC )
6 ax-1cn 8981 . . . . . 6  |-  1  e.  CC
7 logtayl2.s . . . . . . . . 9  |-  S  =  ( 1 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 )
87eleq2i 2451 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  S  <->  A  e.  ( 1 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )
9 cnxmet 18678 . . . . . . . . 9  |-  ( abs 
o.  -  )  e.  ( * Met `  CC )
10 1rp 10548 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  RR+
11 rpxr 10551 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  e.  RR+  ->  1  e. 
RR* )
1210, 11ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  RR*
13 elbl 18323 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( * Met `  CC )  /\  1  e.  CC  /\  1  e.  RR* )  ->  ( A  e.  ( 1 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 )  <->  ( A  e.  CC  /\  ( 1 ( abs  o.  -  ) A )  <  1
) ) )
149, 6, 12, 13mp3an 1279 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( 1 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) 1 )  <->  ( A  e.  CC  /\  ( 1 ( abs  o.  -  ) A )  <  1
) )
158, 14bitri 241 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  S  <->  ( A  e.  CC  /\  ( 1 ( abs  o.  -  ) A )  <  1
) )
1615simplbi 447 . . . . . 6  |-  ( A  e.  S  ->  A  e.  CC )
17 subcl 9237 . . . . . 6  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( 1  -  A
)  e.  CC )
186, 16, 17sylancr 645 . . . . 5  |-  ( A  e.  S  ->  (
1  -  A )  e.  CC )
19 eqid 2387 . . . . . . . 8  |-  ( abs 
o.  -  )  =  ( abs  o.  -  )
2019cnmetdval 18676 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( 1 ( abs 
o.  -  ) A
)  =  ( abs `  ( 1  -  A
) ) )
216, 16, 20sylancr 645 . . . . . 6  |-  ( A  e.  S  ->  (
1 ( abs  o.  -  ) A )  =  ( abs `  (
1  -  A ) ) )
2215simprbi 451 . . . . . 6  |-  ( A  e.  S  ->  (
1 ( abs  o.  -  ) A )  <  1 )
2321, 22eqbrtrrd 4175 . . . . 5  |-  ( A  e.  S  ->  ( abs `  ( 1  -  A ) )  <  1 )
24 logtayl 20418 . . . . 5  |-  ( ( ( 1  -  A
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  A ) )  <  1 )  ->  seq  1 (  +  , 
( k  e.  NN  |->  ( ( ( 1  -  A ) ^
k )  /  k
) ) )  ~~>  -u ( log `  ( 1  -  ( 1  -  A
) ) ) )
2518, 23, 24syl2anc 643 . . . 4  |-  ( A  e.  S  ->  seq  1 (  +  , 
( k  e.  NN  |->  ( ( ( 1  -  A ) ^
k )  /  k
) ) )  ~~>  -u ( log `  ( 1  -  ( 1  -  A
) ) ) )
26 nncan 9262 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( 1  -  (
1  -  A ) )  =  A )
276, 16, 26sylancr 645 . . . . . 6  |-  ( A  e.  S  ->  (
1  -  ( 1  -  A ) )  =  A )
2827fveq2d 5672 . . . . 5  |-  ( A  e.  S  ->  ( log `  ( 1  -  ( 1  -  A
) ) )  =  ( log `  A
) )
2928negeqd 9232 . . . 4  |-  ( A  e.  S  ->  -u ( log `  ( 1  -  ( 1  -  A
) ) )  = 
-u ( log `  A
) )
3025, 29breqtrd 4177 . . 3  |-  ( A  e.  S  ->  seq  1 (  +  , 
( k  e.  NN  |->  ( ( ( 1  -  A ) ^
k )  /  k
) ) )  ~~>  -u ( log `  A ) )
31 oveq2 6028 . . . . . . 7  |-  ( k  =  n  ->  (
( 1  -  A
) ^ k )  =  ( ( 1  -  A ) ^
n ) )
32 id 20 . . . . . . 7  |-  ( k  =  n  ->  k  =  n )
3331, 32oveq12d 6038 . . . . . 6  |-  ( k  =  n  ->  (
( ( 1  -  A ) ^ k
)  /  k )  =  ( ( ( 1  -  A ) ^ n )  /  n ) )
34 eqid 2387 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN  |->  ( ( ( 1  -  A
) ^ k )  /  k ) )  =  ( k  e.  NN  |->  ( ( ( 1  -  A ) ^ k )  / 
k ) )
35 ovex 6045 . . . . . 6  |-  ( ( ( 1  -  A
) ^ n )  /  n )  e. 
_V
3633, 34, 35fvmpt 5745 . . . . 5  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( k  e.  NN  |->  ( ( ( 1  -  A ) ^
k )  /  k
) ) `  n
)  =  ( ( ( 1  -  A
) ^ n )  /  n ) )
3736adantl 453 . . . 4  |-  ( ( A  e.  S  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( k  e.  NN  |->  ( ( ( 1  -  A ) ^ k )  / 
k ) ) `  n )  =  ( ( ( 1  -  A ) ^ n
)  /  n ) )
38 nnnn0 10160 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  NN0 )
39 expcl 11326 . . . . . 6  |-  ( ( ( 1  -  A
)  e.  CC  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( ( 1  -  A ) ^ n
)  e.  CC )
4018, 38, 39syl2an 464 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  S  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( 1  -  A ) ^ n
)  e.  CC )
41 nncn 9940 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  CC )
4241adantl 453 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  S  /\  n  e.  NN )  ->  n  e.  CC )
43 nnne0 9964 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  ->  n  =/=  0 )
4443adantl 453 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  S  /\  n  e.  NN )  ->  n  =/=  0 )
4540, 42, 44divcld 9722 . . . 4  |-  ( ( A  e.  S  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( ( 1  -  A ) ^
n )  /  n
)  e.  CC )
4637, 45eqeltrd 2461 . . 3  |-  ( ( A  e.  S  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( k  e.  NN  |->  ( ( ( 1  -  A ) ^ k )  / 
k ) ) `  n )  e.  CC )
4740, 42, 44divnegd 9735 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  S  /\  n  e.  NN )  -> 
-u ( ( ( 1  -  A ) ^ n )  /  n )  =  (
-u ( ( 1  -  A ) ^
n )  /  n
) )
4845mulm1d 9417 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  S  /\  n  e.  NN )  ->  ( -u 1  x.  ( ( ( 1  -  A ) ^
n )  /  n
) )  =  -u ( ( ( 1  -  A ) ^
n )  /  n
) )
4938adantl 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  S  /\  n  e.  NN )  ->  n  e.  NN0 )
50 expcl 11326 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
-u 1  e.  CC  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( -u 1 ^ n )  e.  CC )
514, 49, 50sylancr 645 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  S  /\  n  e.  NN )  ->  ( -u 1 ^ n )  e.  CC )
52 subcl 9237 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( A  -  1 )  e.  CC )
5316, 6, 52sylancl 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  S  ->  ( A  -  1 )  e.  CC )
54 expcl 11326 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  -  1 )  e.  CC  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( ( A  - 
1 ) ^ n
)  e.  CC )
5553, 38, 54syl2an 464 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  S  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( A  - 
1 ) ^ n
)  e.  CC )
5651, 55mulneg1d 9418 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  S  /\  n  e.  NN )  ->  ( -u ( -u
1 ^ n )  x.  ( ( A  -  1 ) ^
n ) )  = 
-u ( ( -u
1 ^ n )  x.  ( ( A  -  1 ) ^
n ) ) )
574a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  S  /\  n  e.  NN )  -> 
-u 1  e.  CC )
58 ax-1ne0 8992 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  =/=  0
596, 58negne0i 9307 . . . . . . . . . . . 12  |-  -u 1  =/=  0
6059a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  S  /\  n  e.  NN )  -> 
-u 1  =/=  0
)
61 nnz 10235 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  ZZ )
6261adantl 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  S  /\  n  e.  NN )  ->  n  e.  ZZ )
6357, 60, 62expm1d 11460 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  S  /\  n  e.  NN )  ->  ( -u 1 ^ ( n  -  1 ) )  =  ( ( -u 1 ^ n )  /  -u 1
) )
646a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  S  /\  n  e.  NN )  ->  1  e.  CC )
6558a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  S  /\  n  e.  NN )  ->  1  =/=  0 )
6651, 64, 65divneg2d 9736 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  S  /\  n  e.  NN )  -> 
-u ( ( -u
1 ^ n )  /  1 )  =  ( ( -u 1 ^ n )  /  -u 1 ) )
6751div1d 9714 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  S  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( -u 1 ^ n )  / 
1 )  =  (
-u 1 ^ n
) )
6867negeqd 9232 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  S  /\  n  e.  NN )  -> 
-u ( ( -u
1 ^ n )  /  1 )  = 
-u ( -u 1 ^ n ) )
6963, 66, 683eqtr2d 2425 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  S  /\  n  e.  NN )  ->  ( -u 1 ^ ( n  -  1 ) )  =  -u ( -u 1 ^ n
) )
7069oveq1d 6035 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  S  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( -u 1 ^ ( n  - 
1 ) )  x.  ( ( A  - 
1 ) ^ n
) )  =  (
-u ( -u 1 ^ n )  x.  ( ( A  - 
1 ) ^ n
) ) )
7153mulm1d 9417 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  S  ->  ( -u 1  x.  ( A  -  1 ) )  =  -u ( A  - 
1 ) )
72 negsubdi2 9292 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  1  e.  CC )  -> 
-u ( A  - 
1 )  =  ( 1  -  A ) )
7316, 6, 72sylancl 644 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  S  ->  -u ( A  -  1 )  =  ( 1  -  A ) )
7471, 73eqtr2d 2420 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  S  ->  (
1  -  A )  =  ( -u 1  x.  ( A  -  1 ) ) )
7574oveq1d 6035 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  S  ->  (
( 1  -  A
) ^ n )  =  ( ( -u
1  x.  ( A  -  1 ) ) ^ n ) )
7675adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  S  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( 1  -  A ) ^ n
)  =  ( (
-u 1  x.  ( A  -  1 ) ) ^ n ) )
77 mulexp 11346 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
-u 1  e.  CC  /\  ( A  -  1 )  e.  CC  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( ( -u 1  x.  ( A  -  1 ) ) ^ n
)  =  ( (
-u 1 ^ n
)  x.  ( ( A  -  1 ) ^ n ) ) )
784, 77mp3an1 1266 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  -  1 )  e.  CC  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( ( -u 1  x.  ( A  -  1 ) ) ^ n
)  =  ( (
-u 1 ^ n
)  x.  ( ( A  -  1 ) ^ n ) ) )
7953, 38, 78syl2an 464 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  S  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( -u 1  x.  ( A  -  1 ) ) ^ n
)  =  ( (
-u 1 ^ n
)  x.  ( ( A  -  1 ) ^ n ) ) )
8076, 79eqtrd 2419 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  S  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( 1  -  A ) ^ n
)  =  ( (
-u 1 ^ n
)  x.  ( ( A  -  1 ) ^ n ) ) )
8180negeqd 9232 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  S  /\  n  e.  NN )  -> 
-u ( ( 1  -  A ) ^
n )  =  -u ( ( -u 1 ^ n )  x.  ( ( A  - 
1 ) ^ n
) ) )
8256, 70, 813eqtr4d 2429 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  S  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( -u 1 ^ ( n  - 
1 ) )  x.  ( ( A  - 
1 ) ^ n
) )  =  -u ( ( 1  -  A ) ^ n
) )
8382oveq1d 6035 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  S  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( ( -u
1 ^ ( n  -  1 ) )  x.  ( ( A  -  1 ) ^
n ) )  /  n )  =  (
-u ( ( 1  -  A ) ^
n )  /  n
) )
8447, 48, 833eqtr4d 2429 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  S  /\  n  e.  NN )  ->  ( -u 1  x.  ( ( ( 1  -  A ) ^
n )  /  n
) )  =  ( ( ( -u 1 ^ ( n  - 
1 ) )  x.  ( ( A  - 
1 ) ^ n
) )  /  n
) )
85 nnm1nn0 10193 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  -  1 )  e.  NN0 )
8685adantl 453 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  S  /\  n  e.  NN )  ->  ( n  -  1 )  e.  NN0 )
87 expcl 11326 . . . . . . 7  |-  ( (
-u 1  e.  CC  /\  ( n  -  1 )  e.  NN0 )  ->  ( -u 1 ^ ( n  -  1 ) )  e.  CC )
884, 86, 87sylancr 645 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  S  /\  n  e.  NN )  ->  ( -u 1 ^ ( n  -  1 ) )  e.  CC )
8988, 55, 42, 44div23d 9759 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  S  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( ( -u
1 ^ ( n  -  1 ) )  x.  ( ( A  -  1 ) ^
n ) )  /  n )  =  ( ( ( -u 1 ^ ( n  - 
1 ) )  /  n )  x.  (
( A  -  1 ) ^ n ) ) )
9084, 89eqtr2d 2420 . . . 4  |-  ( ( A  e.  S  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( ( -u
1 ^ ( n  -  1 ) )  /  n )  x.  ( ( A  - 
1 ) ^ n
) )  =  (
-u 1  x.  (
( ( 1  -  A ) ^ n
)  /  n ) ) )
91 oveq1 6027 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  n  ->  (
k  -  1 )  =  ( n  - 
1 ) )
9291oveq2d 6036 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  n  ->  ( -u 1 ^ ( k  -  1 ) )  =  ( -u 1 ^ ( n  - 
1 ) ) )
9392, 32oveq12d 6038 . . . . . . 7  |-  ( k  =  n  ->  (
( -u 1 ^ (
k  -  1 ) )  /  k )  =  ( ( -u
1 ^ ( n  -  1 ) )  /  n ) )
94 oveq2 6028 . . . . . . 7  |-  ( k  =  n  ->  (
( A  -  1 ) ^ k )  =  ( ( A  -  1 ) ^
n ) )
9593, 94oveq12d 6038 . . . . . 6  |-  ( k  =  n  ->  (
( ( -u 1 ^ ( k  - 
1 ) )  / 
k )  x.  (
( A  -  1 ) ^ k ) )  =  ( ( ( -u 1 ^ ( n  -  1 ) )  /  n
)  x.  ( ( A  -  1 ) ^ n ) ) )
96 eqid 2387 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN  |->  ( ( ( -u 1 ^ ( k  -  1 ) )  /  k
)  x.  ( ( A  -  1 ) ^ k ) ) )  =  ( k  e.  NN  |->  ( ( ( -u 1 ^ ( k  -  1 ) )  /  k
)  x.  ( ( A  -  1 ) ^ k ) ) )
97 ovex 6045 . . . . . 6  |-  ( ( ( -u 1 ^ ( n  -  1 ) )  /  n
)  x.  ( ( A  -  1 ) ^ n ) )  e.  _V
9895, 96, 97fvmpt 5745 . . . . 5  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( k  e.  NN  |->  ( ( ( -u
1 ^ ( k  -  1 ) )  /  k )  x.  ( ( A  - 
1 ) ^ k
) ) ) `  n )  =  ( ( ( -u 1 ^ ( n  - 
1 ) )  /  n )  x.  (
( A  -  1 ) ^ n ) ) )
9998adantl 453 . . . 4  |-  ( ( A  e.  S  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( k  e.  NN  |->  ( ( (
-u 1 ^ (
k  -  1 ) )  /  k )  x.  ( ( A  -  1 ) ^
k ) ) ) `
 n )  =  ( ( ( -u
1 ^ ( n  -  1 ) )  /  n )  x.  ( ( A  - 
1 ) ^ n
) ) )
10037oveq2d 6036 . . . 4  |-  ( ( A  e.  S  /\  n  e.  NN )  ->  ( -u 1  x.  ( ( k  e.  NN  |->  ( ( ( 1  -  A ) ^ k )  / 
k ) ) `  n ) )  =  ( -u 1  x.  ( ( ( 1  -  A ) ^
n )  /  n
) ) )
10190, 99, 1003eqtr4d 2429 . . 3  |-  ( ( A  e.  S  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( k  e.  NN  |->  ( ( (
-u 1 ^ (
k  -  1 ) )  /  k )  x.  ( ( A  -  1 ) ^
k ) ) ) `
 n )  =  ( -u 1  x.  ( ( k  e.  NN  |->  ( ( ( 1  -  A ) ^ k )  / 
k ) ) `  n ) ) )
1021, 3, 5, 30, 46, 101isermulc2 12378 . 2  |-  ( A  e.  S  ->  seq  1 (  +  , 
( k  e.  NN  |->  ( ( ( -u
1 ^ ( k  -  1 ) )  /  k )  x.  ( ( A  - 
1 ) ^ k
) ) ) )  ~~>  ( -u 1  x.  -u ( log `  A
) ) )
1037dvlog2lem 20410 . . . . . . . 8  |-  S  C_  ( CC  \  (  -oo (,] 0 ) )
104103sseli 3287 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  S  ->  A  e.  ( CC  \  (  -oo (,] 0 ) ) )
105 eqid 2387 . . . . . . . 8  |-  ( CC 
\  (  -oo (,] 0 ) )  =  ( CC  \  (  -oo (,] 0 ) )
106105logdmn0 20398 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( CC  \ 
(  -oo (,] 0 ) )  ->  A  =/=  0 )
107104, 106syl 16 . . . . . 6  |-  ( A  e.  S  ->  A  =/=  0 )
10816, 107logcld 20335 . . . . 5  |-  ( A  e.  S  ->  ( log `  A )  e.  CC )
109108negcld 9330 . . . 4  |-  ( A  e.  S  ->  -u ( log `  A )  e.  CC )
110109mulm1d 9417 . . 3  |-  ( A  e.  S  ->  ( -u 1  x.  -u ( log `  A ) )  =  -u -u ( log `  A
) )
111108negnegd 9334 . . 3  |-  ( A  e.  S  ->  -u -u ( log `  A )  =  ( log `  A
) )
112110, 111eqtrd 2419 . 2  |-  ( A  e.  S  ->  ( -u 1  x.  -u ( log `  A ) )  =  ( log `  A
) )
113102, 112breqtrd 4177 1  |-  ( A  e.  S  ->  seq  1 (  +  , 
( k  e.  NN  |->  ( ( ( -u
1 ^ ( k  -  1 ) )  /  k )  x.  ( ( A  - 
1 ) ^ k
) ) ) )  ~~>  ( log `  A
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717    =/= wne 2550    \ cdif 3260   class class class wbr 4153    e. cmpt 4207    o. ccom 4822   ` cfv 5394  (class class class)co 6020   CCcc 8921   0cc0 8923   1c1 8924    + caddc 8926    x. cmul 8928    -oocmnf 9051   RR*cxr 9052    < clt 9053    - cmin 9223   -ucneg 9224    / cdiv 9609   NNcn 9932   NN0cn0 10153   ZZcz 10214   RR+crp 10544   (,]cioc 10849    seq cseq 11250   ^cexp 11309   abscabs 11966    ~~> cli 12205   * Metcxmt 16612   ballcbl 16614   logclog 20319
This theorem is referenced by:  stirlinglem5  27495
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-rep 4261  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641  ax-inf2 7529  ax-cnex 8979  ax-resscn 8980  ax-1cn 8981  ax-icn 8982  ax-addcl 8983  ax-addrcl 8984  ax-mulcl 8985  ax-mulrcl 8986  ax-mulcom 8987  ax-addass 8988  ax-mulass 8989  ax-distr 8990  ax-i2m1 8991  ax-1ne0 8992  ax-1rid 8993  ax-rnegex 8994  ax-rrecex 8995  ax-cnre 8996  ax-pre-lttri 8997  ax-pre-lttrn 8998  ax-pre-ltadd 8999  ax-pre-mulgt0 9000  ax-pre-sup 9001  ax-addf 9002  ax-mulf 9003
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-nel 2553  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rmo 2657  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-pss 3279  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-tp 3765  df-op 3766  df-uni 3958  df-int 3993  df-iun 4037  df-iin 4038  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-tr 4244  df-eprel 4435  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-fr 4482  df-se 4483  df-we 4484  df-ord 4525  df-on 4526  df-lim 4527  df-suc 4528  df-om 4786  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-isom 5403  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-of 6244  df-1st 6288  df-2nd 6289  df-riota 6485  df-recs 6569  df-rdg 6604  df-1o 6660  df-2o 6661  df-oadd 6664  df-er 6841  df-map 6956  df-pm 6957  df-ixp 7000  df-en 7046  df-dom 7047  df-sdom 7048  df-fin 7049  df-fi 7351  df-sup 7381  df-oi 7412  df-card 7759  df-cda 7981  df-pnf 9055  df-mnf 9056  df-xr 9057  df-ltxr 9058  df-le 9059  df-sub 9225  df-neg 9226  df-div 9610  df-nn 9933  df-2 9990  df-3 9991  df-4 9992  df-5 9993  df-6 9994  df-7 9995  df-8 9996  df-9 9997  df-10 9998  df-n0 10154  df-z 10215  df-dec 10315  df-uz 10421  df-q 10507  df-rp 10545  df-xneg 10642  df-xadd 10643  df-xmul 10644  df-ioo 10852  df-ioc 10853  df-ico 10854  df-icc 10855  df-fz 10976  df-fzo 11066  df-fl 11129  df-mod 11178  df-seq 11251  df-exp 11310  df-fac 11494  df-bc 11521  df-hash 11546  df-shft 11809  df-cj 11831  df-re 11832  df-im 11833  df-sqr 11967  df-abs 11968  df-limsup 12192  df-clim 12209  df-rlim 12210  df-sum 12407  df-ef 12597  df-sin 12599  df-cos 12600  df-tan 12601  df-pi 12602  df-struct 13398  df-ndx 13399  df-slot 13400  df-base 13401  df-sets 13402  df-ress 13403  df-plusg 13469  df-mulr 13470  df-starv 13471  df-sca 13472  df-vsca 13473  df-tset 13475  df-ple 13476  df-ds 13478  df-unif 13479  df-hom 13480  df-cco 13481  df-rest 13577  df-topn 13578  df-topgen 13594  df-pt 13595  df-prds 13598  df-xrs 13653  df-0g 13654  df-gsum 13655  df-qtop 13660  df-imas 13661  df-xps 13663  df-mre 13738  df-mrc 13739  df-acs 13741  df-mnd 14617  df-submnd 14666  df-mulg 14742  df-cntz 15043  df-cmn 15341  df-xmet 16619  df-met 16620  df-bl 16621  df-mopn 16622  df-fbas 16623  df-fg 16624  df-cnfld 16627  df-top 16886  df-bases 16888  df-topon 16889  df-topsp 16890  df-cld 17006  df-ntr 17007  df-cls 17008  df-nei 17085  df-lp 17123  df-perf 17124  df-cn 17213  df-cnp 17214  df-haus 17301  df-cmp 17372  df-tx 17515  df-hmeo 17708  df-fil 17799  df-fm 17891  df-flim 17892  df-flf 17893  df-xms 18259  df-ms 18260  df-tms 18261  df-cncf 18779  df-limc 19620  df-dv 19621  df-ulm 20160  df-log 20321
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