Theorem lpbl 7880

Description: Every ball around a limit point P of a subset S includes a member of S (even if P e/ S).

Hypotheses

Ref	Expression
blopn.1	|- X = dom dom D
blopn.2	|- J = (Open` D)

Assertion

Ref	Expression
lpbl	|- (((D e. Met /\ S (_ X /\ P e. ((limPt` J)` S)) /\ (R e. RR /\ 0 < R)) -> E.x e. S x e. (P( ball ` D)R))

Distinct variable groups:   x,D   x,J   x,P   x,R   x,S   x,X

Proof of Theorem lpbl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ineq1 2210	. . . . . 6 |- (y = (P( ball ` D)R) -> (y i^i (S \ {P})) = ((P( ball ` D)R) i^i (S \ {P})))
2	1	neeq1d 1594	. . . . 5 |- (y = (P( ball ` D)R) -> ((y i^i (S \ {P})) =/= (/) <-> ((P( ball ` D)R) i^i (S \ {P})) =/= (/)))
3	2	rcla4va 1875	. . . 4 |- (((P( ball ` D)R) e. ((nei` J)` {P}) /\ A.y e. ((nei` J)` {P})(y i^i (S \ {P})) =/= (/)) -> ((P( ball ` D)R) i^i (S \ {P})) =/= (/))
4		blopn.1	. . . . . 6 |- X = dom dom D
5		blopn.2	. . . . . 6 |- J = (Open` D)
6	4, 5	blnei 7879	. . . . 5 |- (((D e. Met /\ P e. X) /\ (R e. RR /\ 0 < R)) -> (P( ball ` D)R) e. ((nei` J)` {P}))
7		simpll 412	. . . . . 6 |- (((D e. Met /\ S (_ U.J) /\ P e. ((limPt` J)` S)) -> D e. Met)
8		ssel2 2064	. . . . . . . . 9 |- ((((limPt` J)` S) (_ U.J /\ P e. ((limPt` J)` S)) -> P e. U.J)
9		eqid 1475	. . . . . . . . . 10 |- U.J = U.J
10	9	lpss 7746	. . . . . . . . 9 |- ((J e. Top /\ S (_ U.J) -> ((limPt` J)` S) (_ U.J)
11	8, 10	sylan 448	. . . . . . . 8 |- (((J e. Top /\ S (_ U.J) /\ P e. ((limPt` J)` S)) -> P e. U.J)
12	5	opntop 7870	. . . . . . . 8 |- (D e. Met -> J e. Top)
13	11, 12	sylanl1 460	. . . . . . 7 |- (((D e. Met /\ S (_ U.J) /\ P e. ((limPt` J)` S)) -> P e. U.J)
14	4, 5	uniopn 7861	. . . . . . . 8 |- (D e. Met -> U.J = X)
15	14	ad2antrr 404	. . . . . . 7 |- (((D e. Met /\ S (_ U.J) /\ P e. ((limPt` J)` S)) -> U.J = X)
16	13, 15	eleqtrd 1550	. . . . . 6 |- (((D e. Met /\ S (_ U.J) /\ P e. ((limPt` J)` S)) -> P e. X)
17	7, 16	jca 288	. . . . 5 |- (((D e. Met /\ S (_ U.J) /\ P e. ((limPt` J)` S)) -> (D e. Met /\ P e. X))
18	6, 17	sylan 448	. . . 4 |- ((((D e. Met /\ S (_ U.J) /\ P e. ((limPt` J)` S)) /\ (R e. RR /\ 0 < R)) -> (P( ball ` D)R) e. ((nei` J)` {P}))
19		pm3.27 323	. . . . . . 7 |- (((J e. Top /\ S (_ U.J) /\ P e. ((limPt` J)` S)) -> P e. ((limPt` J)` S))
20	9	islp2 7747	. . . . . . . 8 |- ((J e. Top /\ S (_ U.J /\ P e. U.J) -> (P e. ((limPt` J)` S) <-> A.y e. ((nei` J)` {P})(y i^i (S \ {P})) =/= (/)))
21		simpll 412	. . . . . . . 8 |- (((J e. Top /\ S (_ U.J) /\ P e. ((limPt` J)` S)) -> J e. Top)
22		simplr 413	. . . . . . . 8 |- (((J e. Top /\ S (_ U.J) /\ P e. ((limPt` J)` S)) -> S (_ U.J)
23	20, 21, 22, 11	syl3anc 858	. . . . . . 7 |- (((J e. Top /\ S (_ U.J) /\ P e. ((limPt` J)` S)) -> (P e. ((limPt` J)` S) <-> A.y e. ((nei` J)` {P})(y i^i (S \ {P})) =/= (/)))
24	19, 23	mpbid 195	. . . . . 6 |- (((J e. Top /\ S (_ U.J) /\ P e. ((limPt` J)` S)) -> A.y e. ((nei` J)` {P})(y i^i (S \ {P})) =/= (/))
25	24, 12	sylanl1 460	. . . . 5 |- (((D e. Met /\ S (_ U.J) /\ P e. ((limPt` J)` S)) -> A.y e. ((nei` J)` {P})(y i^i (S \ {P})) =/= (/))
26	25	adantr 389	. . . 4 |- ((((D e. Met /\ S (_ U.J) /\ P e. ((limPt` J)` S)) /\ (R e. RR /\ 0 < R)) -> A.y e. ((nei` J)` {P})(y i^i (S \ {P})) =/= (/))
27	3, 18, 26	sylanc 471	. . 3 |- ((((D e. Met /\ S (_ U.J) /\ P e. ((limPt` J)` S)) /\ (R e. RR /\ 0 < R)) -> ((P( ball ` D)R) i^i (S \ {P})) =/= (/))
28		incom 2208	. . . . . . . 8 |- ((P( ball ` D)R) i^i S) = (S i^i (P( ball ` D)R))
29	28	eqeq1i 1482	. . . . . . 7 |- (((P( ball ` D)R) i^i S) = (/) <-> (S i^i (P( ball ` D)R)) = (/))
30		disj 2311	. . . . . . 7 |- ((S i^i (P( ball ` D)R)) = (/) <-> A.x e. S -. x e. (P( ball ` D)R))
31	29, 30	bitr2 174	. . . . . 6 |- (A.x e. S -. x e. (P( ball ` D)R) <-> ((P( ball ` D)R) i^i S) = (/))
32		difss 2167	. . . . . . . 8 |- (S \ {P}) (_ S
33		sslin 2235	. . . . . . . 8 |- ((S \ {P}) (_ S -> ((P( ball ` D)R) i^i (S \ {P})) (_ ((P( ball ` D)R) i^i S))
34	32, 33	ax-mp 7	. . . . . . 7 |- ((P( ball ` D)R) i^i (S \ {P})) (_ ((P( ball ` D)R) i^i S)
35		sseq0 2304	. . . . . . 7 |- ((((P( ball ` D)R) i^i (S \ {P})) (_ ((P( ball ` D)R) i^i S) /\ ((P( ball ` D)R) i^i S) = (/)) -> ((P( ball ` D)R) i^i (S \ {P})) = (/))
36	34, 35	mpan 695	. . . . . 6 |- (((P( ball ` D)R) i^i S) = (/) -> ((P( ball ` D)R) i^i (S \ {P})) = (/))
37	31, 36	sylbi 199	. . . . 5 |- (A.x e. S -. x e. (P( ball ` D)R) -> ((P( ball ` D)R) i^i (S \ {P})) = (/))
38	37	necon3ai 1606	. . . 4 |- (((P( ball ` D)R) i^i (S \ {P})) =/= (/) -> -. A.x e. S -. x e. (P( ball ` D)R))
39		dfrex2 1656	. . . 4 |- (E.x e. S x e. (P( ball ` D)R) <-> -. A.x e. S -. x e. (P( ball ` D)R))
40	38, 39	sylibr 200	. . 3 |- (((P( ball ` D)R) i^i (S \ {P})) =/= (/) -> E.x e. S x e. (P( ball ` D)R))
41	27, 40	syl 10	. 2 |- ((((D e. Met /\ S (_ U.J) /\ P e. ((limPt` J)` S)) /\ (R e. RR /\ 0 < R)) -> E.x e. S x e. (P( ball ` D)R))
42		pm3.26 319	. . . . 5 |- ((D e. Met /\ S (_ X) -> D e. Met)
43	14	sseq2d 2089	. . . . . 6 |- (D e. Met -> (S (_ U.J <-> S (_ X))
44	43	biimpar 417	. . . . 5 |- ((D e. Met /\ S (_ X) -> S (_ U.J)
45	42, 44	jca 288	. . . 4 |- ((D e. Met /\ S (_ X) -> (D e. Met /\ S (_ U.J))
46	45	anim1i 334	. . 3 |- (((D e. Met /\ S (_ X) /\ P e. ((limPt` J)` S)) -> ((D e. Met /\ S (_ U.J) /\ P e. ((limPt` J)` S)))
47	46	3impa 828	. 2 |- ((D e. Met /\ S (_ X /\ P e. ((limPt` J)` S)) -> ((D e. Met /\ S (_ U.J) /\ P e. ((limPt` J)` S)))
48	41, 47	sylan 448	1 |- (((D e. Met /\ S (_ X /\ P e. ((limPt` J)` S)) /\ (R e. RR /\ 0 < R)) -> E.x e. S x e. (P( ball ` D)R))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   /\ w3a 775   = wceq 956   e. wcel 958   =/= wne 1585  A.wral 1645  E.wrex 1646   \ cdif 2044   i^i cin 2046   (_ wss 2047  (/)c0 2280  {csn 2409  U.cuni 2503   class class class wbr 2619  dom cdm 3170  ` cfv 3182  (class class class)co 3963  RRcr 5233  0cc0 5234   < clt 5486  Topctop 7588  neicnei 7712  limPtclp 7740  Metcme 7789   ball cbl 7791  Opencopn 7792

This theorem is referenced by:  metelcls 7965

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-nel 1588  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-iin 2569  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-en 4368  df-dom