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Theorem lpcls 17433
Description: The limit points of the closure of a subset are the same as the limit points of the set in a T1 space. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Dec-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
lpcls.1  |-  X  = 
U. J
Assertion
Ref Expression
lpcls  |-  ( ( J  e.  Fre  /\  S  C_  X )  -> 
( ( limPt `  J
) `  ( ( cls `  J ) `  S ) )  =  ( ( limPt `  J
) `  S )
)

Proof of Theorem lpcls
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 t1top 17399 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  Fre  ->  J  e.  Top )
2 lpcls.1 . . . . . . . . . 10  |-  X  = 
U. J
32clsss3 17128 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( ( cls `  J
) `  S )  C_  X )
43ssdifssd 3487 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( ( ( cls `  J ) `  S
)  \  { x } )  C_  X
)
52clsss3 17128 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( ( ( cls `  J ) `  S
)  \  { x } )  C_  X
)  ->  ( ( cls `  J ) `  ( ( ( cls `  J ) `  S
)  \  { x } ) )  C_  X )
64, 5syldan 458 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( ( cls `  J
) `  ( (
( cls `  J
) `  S )  \  { x } ) )  C_  X )
71, 6sylan 459 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Fre  /\  S  C_  X )  -> 
( ( cls `  J
) `  ( (
( cls `  J
) `  S )  \  { x } ) )  C_  X )
87sseld 3349 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Fre  /\  S  C_  X )  -> 
( x  e.  ( ( cls `  J
) `  ( (
( cls `  J
) `  S )  \  { x } ) )  ->  x  e.  X ) )
9 ssdifss 3480 . . . . . . . . . . 11  |-  ( S 
C_  X  ->  ( S  \  { x }
)  C_  X )
102clscld 17116 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( S  \  { x } )  C_  X
)  ->  ( ( cls `  J ) `  ( S  \  { x } ) )  e.  ( Clsd `  J
) )
111, 9, 10syl2an 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J  e.  Fre  /\  S  C_  X )  -> 
( ( cls `  J
) `  ( S  \  { x } ) )  e.  ( Clsd `  J ) )
1211adantr 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  Fre  /\  S  C_  X )  /\  x  e.  X
)  ->  ( ( cls `  J ) `  ( S  \  { x } ) )  e.  ( Clsd `  J
) )
132t1sncld 17395 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( J  e.  Fre  /\  x  e.  X )  ->  { x }  e.  ( Clsd `  J )
)
1413adantlr 697 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J  e.  Fre  /\  S  C_  X )  /\  x  e.  X
)  ->  { x }  e.  ( Clsd `  J ) )
15 uncld 17110 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( { x }  e.  ( Clsd `  J )  /\  ( ( cls `  J
) `  ( S  \  { x } ) )  e.  ( Clsd `  J ) )  -> 
( { x }  u.  ( ( cls `  J
) `  ( S  \  { x } ) ) )  e.  (
Clsd `  J )
)
1614, 12, 15syl2anc 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  Fre  /\  S  C_  X )  /\  x  e.  X
)  ->  ( {
x }  u.  (
( cls `  J
) `  ( S  \  { x } ) ) )  e.  (
Clsd `  J )
)
172sscls 17125 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( S  \  { x } )  C_  X
)  ->  ( S  \  { x } ) 
C_  ( ( cls `  J ) `  ( S  \  { x }
) ) )
181, 9, 17syl2an 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( J  e.  Fre  /\  S  C_  X )  -> 
( S  \  {
x } )  C_  ( ( cls `  J
) `  ( S  \  { x } ) ) )
19 ssundif 3713 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( S 
C_  ( { x }  u.  ( ( cls `  J ) `  ( S  \  { x } ) ) )  <-> 
( S  \  {
x } )  C_  ( ( cls `  J
) `  ( S  \  { x } ) ) )
2018, 19sylibr 205 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( J  e.  Fre  /\  S  C_  X )  ->  S  C_  ( { x }  u.  ( ( cls `  J ) `  ( S  \  { x } ) ) ) )
2120adantr 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  Fre  /\  S  C_  X )  /\  x  e.  X
)  ->  S  C_  ( { x }  u.  ( ( cls `  J
) `  ( S  \  { x } ) ) ) )
222clsss2 17141 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( { x }  u.  ( ( cls `  J
) `  ( S  \  { x } ) ) )  e.  (
Clsd `  J )  /\  S  C_  ( { x }  u.  (
( cls `  J
) `  ( S  \  { x } ) ) ) )  -> 
( ( cls `  J
) `  S )  C_  ( { x }  u.  ( ( cls `  J
) `  ( S  \  { x } ) ) ) )
2316, 21, 22syl2anc 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  Fre  /\  S  C_  X )  /\  x  e.  X
)  ->  ( ( cls `  J ) `  S )  C_  ( { x }  u.  ( ( cls `  J
) `  ( S  \  { x } ) ) ) )
24 ssundif 3713 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( cls `  J
) `  S )  C_  ( { x }  u.  ( ( cls `  J
) `  ( S  \  { x } ) ) )  <->  ( (
( cls `  J
) `  S )  \  { x } ) 
C_  ( ( cls `  J ) `  ( S  \  { x }
) ) )
2523, 24sylib 190 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  Fre  /\  S  C_  X )  /\  x  e.  X
)  ->  ( (
( cls `  J
) `  S )  \  { x } ) 
C_  ( ( cls `  J ) `  ( S  \  { x }
) ) )
262clsss2 17141 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( cls `  J
) `  ( S  \  { x } ) )  e.  ( Clsd `  J )  /\  (
( ( cls `  J
) `  S )  \  { x } ) 
C_  ( ( cls `  J ) `  ( S  \  { x }
) ) )  -> 
( ( cls `  J
) `  ( (
( cls `  J
) `  S )  \  { x } ) )  C_  ( ( cls `  J ) `  ( S  \  { x } ) ) )
2712, 25, 26syl2anc 644 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  Fre  /\  S  C_  X )  /\  x  e.  X
)  ->  ( ( cls `  J ) `  ( ( ( cls `  J ) `  S
)  \  { x } ) )  C_  ( ( cls `  J
) `  ( S  \  { x } ) ) )
2827sseld 3349 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Fre  /\  S  C_  X )  /\  x  e.  X
)  ->  ( x  e.  ( ( cls `  J
) `  ( (
( cls `  J
) `  S )  \  { x } ) )  ->  x  e.  ( ( cls `  J
) `  ( S  \  { x } ) ) ) )
2928ex 425 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Fre  /\  S  C_  X )  -> 
( x  e.  X  ->  ( x  e.  ( ( cls `  J
) `  ( (
( cls `  J
) `  S )  \  { x } ) )  ->  x  e.  ( ( cls `  J
) `  ( S  \  { x } ) ) ) ) )
3029com23 75 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Fre  /\  S  C_  X )  -> 
( x  e.  ( ( cls `  J
) `  ( (
( cls `  J
) `  S )  \  { x } ) )  ->  ( x  e.  X  ->  x  e.  ( ( cls `  J
) `  ( S  \  { x } ) ) ) ) )
318, 30mpdd 39 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Fre  /\  S  C_  X )  -> 
( x  e.  ( ( cls `  J
) `  ( (
( cls `  J
) `  S )  \  { x } ) )  ->  x  e.  ( ( cls `  J
) `  ( S  \  { x } ) ) ) )
321adantr 453 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Fre  /\  S  C_  X )  ->  J  e.  Top )
331, 3sylan 459 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Fre  /\  S  C_  X )  -> 
( ( cls `  J
) `  S )  C_  X )
3433ssdifssd 3487 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Fre  /\  S  C_  X )  -> 
( ( ( cls `  J ) `  S
)  \  { x } )  C_  X
)
352sscls 17125 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  ->  S  C_  ( ( cls `  J ) `  S
) )
361, 35sylan 459 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Fre  /\  S  C_  X )  ->  S  C_  ( ( cls `  J ) `  S
) )
3736ssdifd 3485 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Fre  /\  S  C_  X )  -> 
( S  \  {
x } )  C_  ( ( ( cls `  J ) `  S
)  \  { x } ) )
382clsss 17123 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( ( ( cls `  J ) `  S
)  \  { x } )  C_  X  /\  ( S  \  {
x } )  C_  ( ( ( cls `  J ) `  S
)  \  { x } ) )  -> 
( ( cls `  J
) `  ( S  \  { x } ) )  C_  ( ( cls `  J ) `  ( ( ( cls `  J ) `  S
)  \  { x } ) ) )
3932, 34, 37, 38syl3anc 1185 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Fre  /\  S  C_  X )  -> 
( ( cls `  J
) `  ( S  \  { x } ) )  C_  ( ( cls `  J ) `  ( ( ( cls `  J ) `  S
)  \  { x } ) ) )
4039sseld 3349 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Fre  /\  S  C_  X )  -> 
( x  e.  ( ( cls `  J
) `  ( S  \  { x } ) )  ->  x  e.  ( ( cls `  J
) `  ( (
( cls `  J
) `  S )  \  { x } ) ) ) )
4131, 40impbid 185 . . 3  |-  ( ( J  e.  Fre  /\  S  C_  X )  -> 
( x  e.  ( ( cls `  J
) `  ( (
( cls `  J
) `  S )  \  { x } ) )  <->  x  e.  (
( cls `  J
) `  ( S  \  { x } ) ) ) )
422islp 17209 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( ( cls `  J
) `  S )  C_  X )  ->  (
x  e.  ( (
limPt `  J ) `  ( ( cls `  J
) `  S )
)  <->  x  e.  (
( cls `  J
) `  ( (
( cls `  J
) `  S )  \  { x } ) ) ) )
433, 42syldan 458 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( x  e.  ( ( limPt `  J ) `  ( ( cls `  J
) `  S )
)  <->  x  e.  (
( cls `  J
) `  ( (
( cls `  J
) `  S )  \  { x } ) ) ) )
441, 43sylan 459 . . 3  |-  ( ( J  e.  Fre  /\  S  C_  X )  -> 
( x  e.  ( ( limPt `  J ) `  ( ( cls `  J
) `  S )
)  <->  x  e.  (
( cls `  J
) `  ( (
( cls `  J
) `  S )  \  { x } ) ) ) )
452islp 17209 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( x  e.  ( ( limPt `  J ) `  S )  <->  x  e.  ( ( cls `  J
) `  ( S  \  { x } ) ) ) )
461, 45sylan 459 . . 3  |-  ( ( J  e.  Fre  /\  S  C_  X )  -> 
( x  e.  ( ( limPt `  J ) `  S )  <->  x  e.  ( ( cls `  J
) `  ( S  \  { x } ) ) ) )
4741, 44, 463bitr4d 278 . 2  |-  ( ( J  e.  Fre  /\  S  C_  X )  -> 
( x  e.  ( ( limPt `  J ) `  ( ( cls `  J
) `  S )
)  <->  x  e.  (
( limPt `  J ) `  S ) ) )
4847eqrdv 2436 1  |-  ( ( J  e.  Fre  /\  S  C_  X )  -> 
( ( limPt `  J
) `  ( ( cls `  J ) `  S ) )  =  ( ( limPt `  J
) `  S )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726    \ cdif 3319    u. cun 3320    C_ wss 3322   {csn 3816   U.cuni 4017   ` cfv 5457   Topctop 16963   Clsdccld 17085   clsccl 17087   limPtclp 17203   Frect1 17376
This theorem is referenced by:  perfcls  17434
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-iin 4098  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-id 4501  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-top 16968  df-cld 17088  df-cls 17090  df-lp 17205  df-t1 17383
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