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Theorem lpcls 17343
Description: The limit points of the closure of a subset are the same as the limit points of the set in a T1 space. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Dec-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
lpcls.1  |-  X  = 
U. J
Assertion
Ref Expression
lpcls  |-  ( ( J  e.  Fre  /\  S  C_  X )  -> 
( ( limPt `  J
) `  ( ( cls `  J ) `  S ) )  =  ( ( limPt `  J
) `  S )
)

Proof of Theorem lpcls
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 t1top 17309 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  Fre  ->  J  e.  Top )
2 lpcls.1 . . . . . . . . . 10  |-  X  = 
U. J
32clsss3 17039 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( ( cls `  J
) `  S )  C_  X )
43ssdifssd 3421 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( ( ( cls `  J ) `  S
)  \  { x } )  C_  X
)
52clsss3 17039 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( ( ( cls `  J ) `  S
)  \  { x } )  C_  X
)  ->  ( ( cls `  J ) `  ( ( ( cls `  J ) `  S
)  \  { x } ) )  C_  X )
64, 5syldan 457 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( ( cls `  J
) `  ( (
( cls `  J
) `  S )  \  { x } ) )  C_  X )
71, 6sylan 458 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Fre  /\  S  C_  X )  -> 
( ( cls `  J
) `  ( (
( cls `  J
) `  S )  \  { x } ) )  C_  X )
87sseld 3283 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Fre  /\  S  C_  X )  -> 
( x  e.  ( ( cls `  J
) `  ( (
( cls `  J
) `  S )  \  { x } ) )  ->  x  e.  X ) )
9 ssdifss 3414 . . . . . . . . . . 11  |-  ( S 
C_  X  ->  ( S  \  { x }
)  C_  X )
102clscld 17027 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( S  \  { x } )  C_  X
)  ->  ( ( cls `  J ) `  ( S  \  { x } ) )  e.  ( Clsd `  J
) )
111, 9, 10syl2an 464 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J  e.  Fre  /\  S  C_  X )  -> 
( ( cls `  J
) `  ( S  \  { x } ) )  e.  ( Clsd `  J ) )
1211adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  Fre  /\  S  C_  X )  /\  x  e.  X
)  ->  ( ( cls `  J ) `  ( S  \  { x } ) )  e.  ( Clsd `  J
) )
132t1sncld 17305 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( J  e.  Fre  /\  x  e.  X )  ->  { x }  e.  ( Clsd `  J )
)
1413adantlr 696 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J  e.  Fre  /\  S  C_  X )  /\  x  e.  X
)  ->  { x }  e.  ( Clsd `  J ) )
15 uncld 17021 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( { x }  e.  ( Clsd `  J )  /\  ( ( cls `  J
) `  ( S  \  { x } ) )  e.  ( Clsd `  J ) )  -> 
( { x }  u.  ( ( cls `  J
) `  ( S  \  { x } ) ) )  e.  (
Clsd `  J )
)
1614, 12, 15syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  Fre  /\  S  C_  X )  /\  x  e.  X
)  ->  ( {
x }  u.  (
( cls `  J
) `  ( S  \  { x } ) ) )  e.  (
Clsd `  J )
)
172sscls 17036 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( S  \  { x } )  C_  X
)  ->  ( S  \  { x } ) 
C_  ( ( cls `  J ) `  ( S  \  { x }
) ) )
181, 9, 17syl2an 464 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( J  e.  Fre  /\  S  C_  X )  -> 
( S  \  {
x } )  C_  ( ( cls `  J
) `  ( S  \  { x } ) ) )
19 ssundif 3647 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( S 
C_  ( { x }  u.  ( ( cls `  J ) `  ( S  \  { x } ) ) )  <-> 
( S  \  {
x } )  C_  ( ( cls `  J
) `  ( S  \  { x } ) ) )
2018, 19sylibr 204 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( J  e.  Fre  /\  S  C_  X )  ->  S  C_  ( { x }  u.  ( ( cls `  J ) `  ( S  \  { x } ) ) ) )
2120adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  Fre  /\  S  C_  X )  /\  x  e.  X
)  ->  S  C_  ( { x }  u.  ( ( cls `  J
) `  ( S  \  { x } ) ) ) )
222clsss2 17052 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( { x }  u.  ( ( cls `  J
) `  ( S  \  { x } ) ) )  e.  (
Clsd `  J )  /\  S  C_  ( { x }  u.  (
( cls `  J
) `  ( S  \  { x } ) ) ) )  -> 
( ( cls `  J
) `  S )  C_  ( { x }  u.  ( ( cls `  J
) `  ( S  \  { x } ) ) ) )
2316, 21, 22syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  Fre  /\  S  C_  X )  /\  x  e.  X
)  ->  ( ( cls `  J ) `  S )  C_  ( { x }  u.  ( ( cls `  J
) `  ( S  \  { x } ) ) ) )
24 ssundif 3647 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( cls `  J
) `  S )  C_  ( { x }  u.  ( ( cls `  J
) `  ( S  \  { x } ) ) )  <->  ( (
( cls `  J
) `  S )  \  { x } ) 
C_  ( ( cls `  J ) `  ( S  \  { x }
) ) )
2523, 24sylib 189 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  Fre  /\  S  C_  X )  /\  x  e.  X
)  ->  ( (
( cls `  J
) `  S )  \  { x } ) 
C_  ( ( cls `  J ) `  ( S  \  { x }
) ) )
262clsss2 17052 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( cls `  J
) `  ( S  \  { x } ) )  e.  ( Clsd `  J )  /\  (
( ( cls `  J
) `  S )  \  { x } ) 
C_  ( ( cls `  J ) `  ( S  \  { x }
) ) )  -> 
( ( cls `  J
) `  ( (
( cls `  J
) `  S )  \  { x } ) )  C_  ( ( cls `  J ) `  ( S  \  { x } ) ) )
2712, 25, 26syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  Fre  /\  S  C_  X )  /\  x  e.  X
)  ->  ( ( cls `  J ) `  ( ( ( cls `  J ) `  S
)  \  { x } ) )  C_  ( ( cls `  J
) `  ( S  \  { x } ) ) )
2827sseld 3283 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Fre  /\  S  C_  X )  /\  x  e.  X
)  ->  ( x  e.  ( ( cls `  J
) `  ( (
( cls `  J
) `  S )  \  { x } ) )  ->  x  e.  ( ( cls `  J
) `  ( S  \  { x } ) ) ) )
2928ex 424 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Fre  /\  S  C_  X )  -> 
( x  e.  X  ->  ( x  e.  ( ( cls `  J
) `  ( (
( cls `  J
) `  S )  \  { x } ) )  ->  x  e.  ( ( cls `  J
) `  ( S  \  { x } ) ) ) ) )
3029com23 74 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Fre  /\  S  C_  X )  -> 
( x  e.  ( ( cls `  J
) `  ( (
( cls `  J
) `  S )  \  { x } ) )  ->  ( x  e.  X  ->  x  e.  ( ( cls `  J
) `  ( S  \  { x } ) ) ) ) )
318, 30mpdd 38 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Fre  /\  S  C_  X )  -> 
( x  e.  ( ( cls `  J
) `  ( (
( cls `  J
) `  S )  \  { x } ) )  ->  x  e.  ( ( cls `  J
) `  ( S  \  { x } ) ) ) )
321adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Fre  /\  S  C_  X )  ->  J  e.  Top )
331, 3sylan 458 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Fre  /\  S  C_  X )  -> 
( ( cls `  J
) `  S )  C_  X )
3433ssdifssd 3421 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Fre  /\  S  C_  X )  -> 
( ( ( cls `  J ) `  S
)  \  { x } )  C_  X
)
352sscls 17036 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  ->  S  C_  ( ( cls `  J ) `  S
) )
361, 35sylan 458 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Fre  /\  S  C_  X )  ->  S  C_  ( ( cls `  J ) `  S
) )
3736ssdifd 3419 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Fre  /\  S  C_  X )  -> 
( S  \  {
x } )  C_  ( ( ( cls `  J ) `  S
)  \  { x } ) )
382clsss 17034 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( ( ( cls `  J ) `  S
)  \  { x } )  C_  X  /\  ( S  \  {
x } )  C_  ( ( ( cls `  J ) `  S
)  \  { x } ) )  -> 
( ( cls `  J
) `  ( S  \  { x } ) )  C_  ( ( cls `  J ) `  ( ( ( cls `  J ) `  S
)  \  { x } ) ) )
3932, 34, 37, 38syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Fre  /\  S  C_  X )  -> 
( ( cls `  J
) `  ( S  \  { x } ) )  C_  ( ( cls `  J ) `  ( ( ( cls `  J ) `  S
)  \  { x } ) ) )
4039sseld 3283 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Fre  /\  S  C_  X )  -> 
( x  e.  ( ( cls `  J
) `  ( S  \  { x } ) )  ->  x  e.  ( ( cls `  J
) `  ( (
( cls `  J
) `  S )  \  { x } ) ) ) )
4131, 40impbid 184 . . 3  |-  ( ( J  e.  Fre  /\  S  C_  X )  -> 
( x  e.  ( ( cls `  J
) `  ( (
( cls `  J
) `  S )  \  { x } ) )  <->  x  e.  (
( cls `  J
) `  ( S  \  { x } ) ) ) )
422islp 17120 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( ( cls `  J
) `  S )  C_  X )  ->  (
x  e.  ( (
limPt `  J ) `  ( ( cls `  J
) `  S )
)  <->  x  e.  (
( cls `  J
) `  ( (
( cls `  J
) `  S )  \  { x } ) ) ) )
433, 42syldan 457 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( x  e.  ( ( limPt `  J ) `  ( ( cls `  J
) `  S )
)  <->  x  e.  (
( cls `  J
) `  ( (
( cls `  J
) `  S )  \  { x } ) ) ) )
441, 43sylan 458 . . 3  |-  ( ( J  e.  Fre  /\  S  C_  X )  -> 
( x  e.  ( ( limPt `  J ) `  ( ( cls `  J
) `  S )
)  <->  x  e.  (
( cls `  J
) `  ( (
( cls `  J
) `  S )  \  { x } ) ) ) )
452islp 17120 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( x  e.  ( ( limPt `  J ) `  S )  <->  x  e.  ( ( cls `  J
) `  ( S  \  { x } ) ) ) )
461, 45sylan 458 . . 3  |-  ( ( J  e.  Fre  /\  S  C_  X )  -> 
( x  e.  ( ( limPt `  J ) `  S )  <->  x  e.  ( ( cls `  J
) `  ( S  \  { x } ) ) ) )
4741, 44, 463bitr4d 277 . 2  |-  ( ( J  e.  Fre  /\  S  C_  X )  -> 
( x  e.  ( ( limPt `  J ) `  ( ( cls `  J
) `  S )
)  <->  x  e.  (
( limPt `  J ) `  S ) ) )
4847eqrdv 2378 1  |-  ( ( J  e.  Fre  /\  S  C_  X )  -> 
( ( limPt `  J
) `  ( ( cls `  J ) `  S ) )  =  ( ( limPt `  J
) `  S )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717    \ cdif 3253    u. cun 3254    C_ wss 3256   {csn 3750   U.cuni 3950   ` cfv 5387   Topctop 16874   Clsdccld 16996   clsccl 16998   limPtclp 17114   Frect1 17286
This theorem is referenced by:  perfcls  17344
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2361  ax-rep 4254  ax-sep 4264  ax-nul 4272  ax-pow 4311  ax-pr 4337  ax-un 4634
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2235  df-mo 2236  df-clab 2367  df-cleq 2373  df-clel 2376  df-nfc 2505  df-ne 2545  df-ral 2647  df-rex 2648  df-reu 2649  df-rab 2651  df-v 2894  df-sbc 3098  df-csb 3188  df-dif 3259  df-un 3261  df-in 3263  df-ss 3270  df-nul 3565  df-if 3676  df-pw 3737  df-sn 3756  df-pr 3757  df-op 3759  df-uni 3951  df-int 3986  df-iun 4030  df-iin 4031  df-br 4147  df-opab 4201  df-mpt 4202  df-id 4432  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5351  df-fun 5389  df-fn 5390  df-f 5391  df-f1 5392  df-fo 5393  df-f1o 5394  df-fv 5395  df-top 16879  df-cld 16999  df-cls 17001  df-lp 17116  df-t1 17293
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