Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lpirlnr Structured version   Unicode version

Theorem lpirlnr 27298
 Description: Left principal ideal rings are left Noetherian. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
lpirlnr LPIR LNoeR

Proof of Theorem lpirlnr
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lpirrng 16323 . 2 LPIR
2 eqid 2436 . . . . . . . 8 LPIdeal LPIdeal
3 eqid 2436 . . . . . . . 8 RSpan RSpan
4 eqid 2436 . . . . . . . 8
52, 3, 4islpidl 16317 . . . . . . 7 LPIdeal RSpan
61, 5syl 16 . . . . . 6 LPIR LPIdeal RSpan
76biimpa 471 . . . . 5 LPIR LPIdeal RSpan
8 snelpwi 4409 . . . . . . . . . 10
98adantl 453 . . . . . . . . 9 LPIR LPIdeal
10 snfi 7187 . . . . . . . . . 10
1110a1i 11 . . . . . . . . 9 LPIR LPIdeal
12 elin 3530 . . . . . . . . 9
139, 11, 12sylanbrc 646 . . . . . . . 8 LPIR LPIdeal
14 eqid 2436 . . . . . . . 8 RSpan RSpan
15 fveq2 5728 . . . . . . . . . 10 RSpan RSpan
1615eqeq2d 2447 . . . . . . . . 9 RSpan RSpan RSpan RSpan
1716rspcev 3052 . . . . . . . 8 RSpan RSpan RSpan RSpan
1813, 14, 17sylancl 644 . . . . . . 7 LPIR LPIdeal RSpan RSpan
19 eqeq1 2442 . . . . . . . 8 RSpan RSpan RSpan RSpan
2019rexbidv 2726 . . . . . . 7 RSpan RSpan RSpan RSpan
2118, 20syl5ibrcom 214 . . . . . 6 LPIR LPIdeal RSpan RSpan
2221rexlimdva 2830 . . . . 5 LPIR LPIdeal RSpan RSpan
237, 22mpd 15 . . . 4 LPIR LPIdeal RSpan
2423ralrimiva 2789 . . 3 LPIR LPIdeal RSpan
25 eqid 2436 . . . . . 6 LIdeal LIdeal
262, 25islpir 16320 . . . . 5 LPIR LIdeal LPIdeal
2726simprbi 451 . . . 4 LPIR LIdeal LPIdeal
2827raleqdv 2910 . . 3 LPIR LIdeal RSpan LPIdeal RSpan
2924, 28mpbird 224 . 2 LPIR LIdeal RSpan
304, 25, 3islnr2 27295 . 2 LNoeR LIdeal RSpan
311, 29, 30sylanbrc 646 1 LPIR LNoeR
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   wceq 1652   wcel 1725  wral 2705  wrex 2706   cin 3319  cpw 3799  csn 3814  cfv 5454  cfn 7109  cbs 13469  crg 15660  LIdealclidl 16242  RSpancrsp 16243  LPIdealclpidl 16312  LPIRclpir 16313  LNoeRclnr 27290 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-4 10060  df-5 10061  df-6 10062  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-sets 13475  df-ress 13476  df-plusg 13542  df-mulr 13543  df-sca 13545  df-vsca 13546  df-0g 13727  df-mnd 14690  df-grp 14812  df-minusg 14813  df-sbg 14814  df-subg 14941  df-mgp 15649  df-rng 15663  df-ur 15665  df-subrg 15866  df-lmod 15952  df-lss 16009  df-lsp 16048  df-sra 16244  df-rgmod 16245  df-lidl 16246  df-rsp 16247  df-lpidl 16314  df-lpir 16315  df-lfig 27143  df-lnm 27151  df-lnr 27291
 Copyright terms: Public domain W3C validator