Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lplnbase Unicode version

Theorem lplnbase 30345
Description: A lattice plane is a lattice element. (Contributed by NM, 17-Jun-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
lplnbase.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
lplnbase.p  |-  P  =  ( LPlanes `  K )
Assertion
Ref Expression
lplnbase  |-  ( X  e.  P  ->  X  e.  B )

Proof of Theorem lplnbase
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 n0i 3473 . . . 4  |-  ( X  e.  P  ->  -.  P  =  (/) )
2 lplnbase.p . . . . 5  |-  P  =  ( LPlanes `  K )
32eqeq1i 2303 . . . 4  |-  ( P  =  (/)  <->  ( LPlanes `  K
)  =  (/) )
41, 3sylnib 295 . . 3  |-  ( X  e.  P  ->  -.  ( LPlanes `  K )  =  (/) )
5 fvprc 5535 . . 3  |-  ( -.  K  e.  _V  ->  (
LPlanes `  K )  =  (/) )
64, 5nsyl2 119 . 2  |-  ( X  e.  P  ->  K  e.  _V )
7 lplnbase.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  K
)
8 eqid 2296 . . . 4  |-  (  <o  `  K )  =  ( 
<o  `  K )
9 eqid 2296 . . . 4  |-  ( LLines `  K )  =  (
LLines `  K )
107, 8, 9, 2islpln 30341 . . 3  |-  ( K  e.  _V  ->  ( X  e.  P  <->  ( X  e.  B  /\  E. x  e.  ( LLines `  K )
x (  <o  `  K
) X ) ) )
1110simprbda 606 . 2  |-  ( ( K  e.  _V  /\  X  e.  P )  ->  X  e.  B )
126, 11mpancom 650 1  |-  ( X  e.  P  ->  X  e.  B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1632    e. wcel 1696   E.wrex 2557   _Vcvv 2801   (/)c0 3468   class class class wbr 4039   ` cfv 5271   Basecbs 13164    <o ccvr 30074   LLinesclln 30302   LPlanesclpl 30303
This theorem is referenced by:  islpln2  30347  llnmlplnN  30350  lplnnle2at  30352  lplnneat  30356  lplnnelln  30357  llncvrlpln2  30368  2lplnmN  30370  lplncmp  30373  lplnexatN  30374  lplnexllnN  30375  2llnjaN  30377  islvol3  30387  lvoli3  30388  lvolnle3at  30393  lplncvrlvol2  30426  lplncvrlvol  30427  lvolcmp  30428  2lplnm2N  30432  2lplnmj  30433  dalemyeb  30460  dalem10  30484  dalem16  30490  dalem44  30527  dalem55  30538
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fv 5279  df-lplanes 30310
  Copyright terms: Public domain W3C validator