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Theorem lplncmp 30373
Description: If two lattice planes are comparable, they are equal. (Contributed by NM, 24-Jun-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
lplncmp.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
lplncmp.p  |-  P  =  ( LPlanes `  K )
Assertion
Ref Expression
lplncmp  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Y  e.  P )  ->  ( X  .<_  Y  <->  X  =  Y ) )

Proof of Theorem lplncmp
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp2 956 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Y  e.  P )  ->  X  e.  P )
2 simp1 955 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Y  e.  P )  ->  K  e.  HL )
3 eqid 2296 . . . . . . 7  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
4 lplncmp.p . . . . . . 7  |-  P  =  ( LPlanes `  K )
53, 4lplnbase 30345 . . . . . 6  |-  ( X  e.  P  ->  X  e.  ( Base `  K
) )
653ad2ant2 977 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Y  e.  P )  ->  X  e.  ( Base `  K ) )
7 eqid 2296 . . . . . 6  |-  (  <o  `  K )  =  ( 
<o  `  K )
8 eqid 2296 . . . . . 6  |-  ( LLines `  K )  =  (
LLines `  K )
93, 7, 8, 4islpln4 30342 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  ( Base `  K ) )  -> 
( X  e.  P  <->  E. z  e.  ( LLines `  K ) z ( 
<o  `  K ) X ) )
102, 6, 9syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Y  e.  P )  ->  ( X  e.  P  <->  E. z  e.  ( LLines `  K ) z ( 
<o  `  K ) X ) )
111, 10mpbid 201 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Y  e.  P )  ->  E. z  e.  (
LLines `  K ) z (  <o  `  K ) X )
12 simpr3 963 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Y  e.  P )  /\  ( z  e.  (
LLines `  K )  /\  z (  <o  `  K
) X  /\  X  .<_  Y ) )  ->  X  .<_  Y )
13 hlpos 30177 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Poset )
14133ad2ant1 976 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Y  e.  P )  ->  K  e.  Poset )
1514adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Y  e.  P )  /\  ( z  e.  (
LLines `  K )  /\  z (  <o  `  K
) X  /\  X  .<_  Y ) )  ->  K  e.  Poset )
166adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Y  e.  P )  /\  ( z  e.  (
LLines `  K )  /\  z (  <o  `  K
) X  /\  X  .<_  Y ) )  ->  X  e.  ( Base `  K ) )
17 simpl3 960 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Y  e.  P )  /\  ( z  e.  (
LLines `  K )  /\  z (  <o  `  K
) X  /\  X  .<_  Y ) )  ->  Y  e.  P )
183, 4lplnbase 30345 . . . . . . . 8  |-  ( Y  e.  P  ->  Y  e.  ( Base `  K
) )
1917, 18syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Y  e.  P )  /\  ( z  e.  (
LLines `  K )  /\  z (  <o  `  K
) X  /\  X  .<_  Y ) )  ->  Y  e.  ( Base `  K ) )
20 simpr1 961 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Y  e.  P )  /\  ( z  e.  (
LLines `  K )  /\  z (  <o  `  K
) X  /\  X  .<_  Y ) )  -> 
z  e.  ( LLines `  K ) )
213, 8llnbase 30320 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  ( LLines `  K
)  ->  z  e.  ( Base `  K )
)
2220, 21syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Y  e.  P )  /\  ( z  e.  (
LLines `  K )  /\  z (  <o  `  K
) X  /\  X  .<_  Y ) )  -> 
z  e.  ( Base `  K ) )
23 simpr2 962 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Y  e.  P )  /\  ( z  e.  (
LLines `  K )  /\  z (  <o  `  K
) X  /\  X  .<_  Y ) )  -> 
z (  <o  `  K
) X )
24 simpl1 958 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Y  e.  P )  /\  ( z  e.  (
LLines `  K )  /\  z (  <o  `  K
) X  /\  X  .<_  Y ) )  ->  K  e.  HL )
25 lplncmp.l . . . . . . . . . . 11  |-  .<_  =  ( le `  K )
263, 25, 7cvrle 30090 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  z  e.  ( Base `  K )  /\  X  e.  ( Base `  K
) )  /\  z
(  <o  `  K ) X )  ->  z  .<_  X )
2724, 22, 16, 23, 26syl31anc 1185 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Y  e.  P )  /\  ( z  e.  (
LLines `  K )  /\  z (  <o  `  K
) X  /\  X  .<_  Y ) )  -> 
z  .<_  X )
283, 25postr 14103 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  (
z  e.  ( Base `  K )  /\  X  e.  ( Base `  K
)  /\  Y  e.  ( Base `  K )
) )  ->  (
( z  .<_  X  /\  X  .<_  Y )  -> 
z  .<_  Y ) )
2915, 22, 16, 19, 28syl13anc 1184 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Y  e.  P )  /\  ( z  e.  (
LLines `  K )  /\  z (  <o  `  K
) X  /\  X  .<_  Y ) )  -> 
( ( z  .<_  X  /\  X  .<_  Y )  ->  z  .<_  Y ) )
3027, 12, 29mp2and 660 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Y  e.  P )  /\  ( z  e.  (
LLines `  K )  /\  z (  <o  `  K
) X  /\  X  .<_  Y ) )  -> 
z  .<_  Y )
3125, 7, 8, 4llncvrlpln2 30368 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  z  e.  ( LLines `  K )  /\  Y  e.  P )  /\  z  .<_  Y )  ->  z
(  <o  `  K ) Y )
3224, 20, 17, 30, 31syl31anc 1185 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Y  e.  P )  /\  ( z  e.  (
LLines `  K )  /\  z (  <o  `  K
) X  /\  X  .<_  Y ) )  -> 
z (  <o  `  K
) Y )
333, 25, 7cvrcmp 30095 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  ( X  e.  ( Base `  K )  /\  Y  e.  ( Base `  K
)  /\  z  e.  ( Base `  K )
)  /\  ( z
(  <o  `  K ) X  /\  z (  <o  `  K ) Y ) )  ->  ( X  .<_  Y  <->  X  =  Y
) )
3415, 16, 19, 22, 23, 32, 33syl132anc 1200 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Y  e.  P )  /\  ( z  e.  (
LLines `  K )  /\  z (  <o  `  K
) X  /\  X  .<_  Y ) )  -> 
( X  .<_  Y  <->  X  =  Y ) )
3512, 34mpbid 201 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Y  e.  P )  /\  ( z  e.  (
LLines `  K )  /\  z (  <o  `  K
) X  /\  X  .<_  Y ) )  ->  X  =  Y )
36353exp2 1169 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Y  e.  P )  ->  ( z  e.  (
LLines `  K )  -> 
( z (  <o  `  K ) X  -> 
( X  .<_  Y  ->  X  =  Y )
) ) )
3736rexlimdv 2679 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Y  e.  P )  ->  ( E. z  e.  ( LLines `  K )
z (  <o  `  K
) X  ->  ( X  .<_  Y  ->  X  =  Y ) ) )
3811, 37mpd 14 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Y  e.  P )  ->  ( X  .<_  Y  ->  X  =  Y )
)
393, 25posref 14101 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  X  e.  ( Base `  K
) )  ->  X  .<_  X )
4014, 6, 39syl2anc 642 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Y  e.  P )  ->  X  .<_  X )
41 breq2 4043 . . 3  |-  ( X  =  Y  ->  ( X  .<_  X  <->  X  .<_  Y ) )
4240, 41syl5ibcom 211 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Y  e.  P )  ->  ( X  =  Y  ->  X  .<_  Y ) )
4338, 42impbid 183 1  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Y  e.  P )  ->  ( X  .<_  Y  <->  X  =  Y ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   E.wrex 2557   class class class wbr 4039   ` cfv 5271   Basecbs 13164   lecple 13231   Posetcpo 14090    <o ccvr 30074   HLchlt 30162   LLinesclln 30302   LPlanesclpl 30303
This theorem is referenced by:  lplnexllnN  30375  lplnnlt  30376  2llnjaN  30377  dalem-cly  30482  dalem44  30527
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-undef 6314  df-riota 6320  df-poset 14096  df-plt 14108  df-lub 14124  df-glb 14125  df-join 14126  df-meet 14127  df-p0 14161  df-lat 14168  df-clat 14230  df-oposet 29988  df-ol 29990  df-oml 29991  df-covers 30078  df-ats 30079  df-atl 30110  df-cvlat 30134  df-hlat 30163  df-llines 30309  df-lplanes 30310
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