Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lplncmp Structured version   Unicode version

Theorem lplncmp 30359
 Description: If two lattice planes are comparable, they are equal. (Contributed by NM, 24-Jun-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
lplncmp.l
lplncmp.p
Assertion
Ref Expression
lplncmp

Proof of Theorem lplncmp
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp2 958 . . . 4
2 simp1 957 . . . . 5
3 eqid 2436 . . . . . . 7
4 lplncmp.p . . . . . . 7
53, 4lplnbase 30331 . . . . . 6
653ad2ant2 979 . . . . 5
7 eqid 2436 . . . . . 6
8 eqid 2436 . . . . . 6
93, 7, 8, 4islpln4 30328 . . . . 5
102, 6, 9syl2anc 643 . . . 4
111, 10mpbid 202 . . 3
12 simpr3 965 . . . . . 6
13 hlpos 30163 . . . . . . . . 9
14133ad2ant1 978 . . . . . . . 8
1514adantr 452 . . . . . . 7
166adantr 452 . . . . . . 7
17 simpl3 962 . . . . . . . 8
183, 4lplnbase 30331 . . . . . . . 8
1917, 18syl 16 . . . . . . 7
20 simpr1 963 . . . . . . . 8
213, 8llnbase 30306 . . . . . . . 8
2220, 21syl 16 . . . . . . 7
23 simpr2 964 . . . . . . 7
24 simpl1 960 . . . . . . . 8
25 lplncmp.l . . . . . . . . . . 11
263, 25, 7cvrle 30076 . . . . . . . . . 10
2724, 22, 16, 23, 26syl31anc 1187 . . . . . . . . 9
283, 25postr 14410 . . . . . . . . . 10
2915, 22, 16, 19, 28syl13anc 1186 . . . . . . . . 9
3027, 12, 29mp2and 661 . . . . . . . 8
3125, 7, 8, 4llncvrlpln2 30354 . . . . . . . 8
3224, 20, 17, 30, 31syl31anc 1187 . . . . . . 7
333, 25, 7cvrcmp 30081 . . . . . . 7
3415, 16, 19, 22, 23, 32, 33syl132anc 1202 . . . . . 6
3512, 34mpbid 202 . . . . 5
36353exp2 1171 . . . 4
3736rexlimdv 2829 . . 3
3811, 37mpd 15 . 2
393, 25posref 14408 . . . 4
4014, 6, 39syl2anc 643 . . 3
41 breq2 4216 . . 3
4240, 41syl5ibcom 212 . 2
4338, 42impbid 184 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   w3a 936   wceq 1652   wcel 1725  wrex 2706   class class class wbr 4212  cfv 5454  cbs 13469  cple 13536  cpo 14397   ccvr 30060  chlt 30148  clln 30288  clpl 30289 This theorem is referenced by:  lplnexllnN  30361  lplnnlt  30362  2llnjaN  30363  dalem-cly  30468  dalem44  30513 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-undef 6543  df-riota 6549  df-poset 14403  df-plt 14415  df-lub 14431  df-glb 14432  df-join 14433  df-meet 14434  df-p0 14468  df-lat 14475  df-clat 14537  df-oposet 29974  df-ol 29976  df-oml 29977  df-covers 30064  df-ats 30065  df-atl 30096  df-cvlat 30120  df-hlat 30149  df-llines 30295  df-lplanes 30296
 Copyright terms: Public domain W3C validator