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Theorem lplncvrlvol 30427
Description: An element covering a lattice plane is a lattice volume and vice-versa. (Contributed by NM, 15-Jul-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
lplncvrlvol.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
lplncvrlvol.c  |-  C  =  (  <o  `  K )
lplncvrlvol.p  |-  P  =  ( LPlanes `  K )
lplncvrlvol.v  |-  V  =  ( LVols `  K )
Assertion
Ref Expression
lplncvrlvol  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  ->  ( X  e.  P  <->  Y  e.  V
) )

Proof of Theorem lplncvrlvol
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll1 994 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  X  e.  P )  ->  K  e.  HL )
2 simpll3 996 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  X  e.  P )  ->  Y  e.  B )
3 simpr 447 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  X  e.  P )  ->  X  e.  P )
4 simplr 731 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  X  e.  P )  ->  X C Y )
5 lplncvrlvol.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  K
)
6 lplncvrlvol.c . . . 4  |-  C  =  (  <o  `  K )
7 lplncvrlvol.p . . . 4  |-  P  =  ( LPlanes `  K )
8 lplncvrlvol.v . . . 4  |-  V  =  ( LVols `  K )
95, 6, 7, 8lvoli 30386 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  Y  e.  B  /\  X  e.  P )  /\  X C Y )  ->  Y  e.  V
)
101, 2, 3, 4, 9syl31anc 1185 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  X  e.  P )  ->  Y  e.  V )
11 simpll1 994 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  Y  e.  V )  ->  K  e.  HL )
12 simpll2 995 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  Y  e.  V )  ->  X  e.  B )
13 hllat 30175 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
1411, 13syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  Y  e.  V )  ->  K  e.  Lat )
15 simpll3 996 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  Y  e.  V )  ->  Y  e.  B )
16 eqid 2296 . . . . . . . 8  |-  ( le
`  K )  =  ( le `  K
)
175, 16latref 14175 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  Y  e.  B )  ->  Y ( le `  K ) Y )
1814, 15, 17syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  Y  e.  V )  ->  Y
( le `  K
) Y )
1911adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  Y  e.  V )  /\  Y  e.  ( Atoms `  K )
)  ->  K  e.  HL )
20 simplr 731 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  Y  e.  V )  /\  Y  e.  ( Atoms `  K )
)  ->  Y  e.  V )
21 simpr 447 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  Y  e.  V )  /\  Y  e.  ( Atoms `  K )
)  ->  Y  e.  ( Atoms `  K )
)
22 eqid 2296 . . . . . . . . 9  |-  ( Atoms `  K )  =  (
Atoms `  K )
2316, 22, 8lvolnleat 30394 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Y  e.  V  /\  Y  e.  ( Atoms `  K ) )  ->  -.  Y ( le `  K ) Y )
2419, 20, 21, 23syl3anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  Y  e.  V )  /\  Y  e.  ( Atoms `  K )
)  ->  -.  Y
( le `  K
) Y )
2524ex 423 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  Y  e.  V )  ->  ( Y  e.  ( Atoms `  K )  ->  -.  Y ( le `  K ) Y ) )
2618, 25mt2d 109 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  Y  e.  V )  ->  -.  Y  e.  ( Atoms `  K ) )
27 simplr 731 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  Y  e.  V )  ->  X C Y )
28 breq1 4042 . . . . . . . 8  |-  ( X  =  ( 0. `  K )  ->  ( X C Y  <->  ( 0. `  K ) C Y ) )
2927, 28syl5ibcom 211 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  Y  e.  V )  ->  ( X  =  ( 0. `  K )  ->  ( 0. `  K ) C Y ) )
30 eqid 2296 . . . . . . . . 9  |-  ( 0.
`  K )  =  ( 0. `  K
)
315, 30, 6, 22isat2 30099 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Y  e.  B )  ->  ( Y  e.  (
Atoms `  K )  <->  ( 0. `  K ) C Y ) )
3211, 15, 31syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  Y  e.  V )  ->  ( Y  e.  ( Atoms `  K )  <->  ( 0. `  K ) C Y ) )
3329, 32sylibrd 225 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  Y  e.  V )  ->  ( X  =  ( 0. `  K )  ->  Y  e.  ( Atoms `  K )
) )
3433necon3bd 2496 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  Y  e.  V )  ->  ( -.  Y  e.  ( Atoms `  K )  ->  X  =/=  ( 0. `  K ) ) )
3526, 34mpd 14 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  Y  e.  V )  ->  X  =/=  ( 0. `  K
) )
36 eqid 2296 . . . . . . 7  |-  ( LLines `  K )  =  (
LLines `  K )
3736, 8lvolnelln 30400 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Y  e.  V )  ->  -.  Y  e.  (
LLines `  K ) )
3811, 37sylancom 648 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  Y  e.  V )  ->  -.  Y  e.  ( LLines `  K ) )
3911adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  Y  e.  V )  /\  X  e.  ( Atoms `  K )
)  ->  K  e.  HL )
4015adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  Y  e.  V )  /\  X  e.  ( Atoms `  K )
)  ->  Y  e.  B )
41 simpr 447 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  Y  e.  V )  /\  X  e.  ( Atoms `  K )
)  ->  X  e.  ( Atoms `  K )
)
42 simpllr 735 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  Y  e.  V )  /\  X  e.  ( Atoms `  K )
)  ->  X C Y )
435, 6, 22, 36llni 30319 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  Y  e.  B  /\  X  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  X C Y )  ->  Y  e.  ( LLines `  K ) )
4439, 40, 41, 42, 43syl31anc 1185 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  Y  e.  V )  /\  X  e.  ( Atoms `  K )
)  ->  Y  e.  ( LLines `  K )
)
4538, 44mtand 640 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  Y  e.  V )  ->  -.  X  e.  ( Atoms `  K ) )
467, 8lvolnelpln 30401 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Y  e.  V )  ->  -.  Y  e.  P
)
4711, 46sylancom 648 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  Y  e.  V )  ->  -.  Y  e.  P )
485, 6, 36, 7llncvrlpln 30369 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  ->  ( X  e.  ( LLines `  K )  <->  Y  e.  P ) )
4948adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  Y  e.  V )  ->  ( X  e.  ( LLines `  K )  <->  Y  e.  P ) )
5047, 49mtbird 292 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  Y  e.  V )  ->  -.  X  e.  ( LLines `  K ) )
515, 16, 30, 22, 36, 7lplnle 30351 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B )  /\  ( X  =/=  ( 0. `  K
)  /\  -.  X  e.  ( Atoms `  K )  /\  -.  X  e.  (
LLines `  K ) ) )  ->  E. z  e.  P  z ( le `  K ) X )
5211, 12, 35, 45, 50, 51syl23anc 1189 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  Y  e.  V )  ->  E. z  e.  P  z ( le `  K ) X )
53 simpr3 963 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  ( Y  e.  V  /\  z  e.  P  /\  z ( le `  K ) X ) )  ->  z ( le `  K ) X )
54 simpll1 994 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  ( Y  e.  V  /\  z  e.  P  /\  z ( le `  K ) X ) )  ->  K  e.  HL )
55 hlop 30174 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  OP )
5654, 55syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  ( Y  e.  V  /\  z  e.  P  /\  z ( le `  K ) X ) )  ->  K  e.  OP )
57 simpr2 962 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  ( Y  e.  V  /\  z  e.  P  /\  z ( le `  K ) X ) )  ->  z  e.  P )
585, 7lplnbase 30345 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  P  ->  z  e.  B )
5957, 58syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  ( Y  e.  V  /\  z  e.  P  /\  z ( le `  K ) X ) )  ->  z  e.  B )
60 simpll2 995 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  ( Y  e.  V  /\  z  e.  P  /\  z ( le `  K ) X ) )  ->  X  e.  B )
61 simpll3 996 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  ( Y  e.  V  /\  z  e.  P  /\  z ( le `  K ) X ) )  ->  Y  e.  B )
62 simpr1 961 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  ( Y  e.  V  /\  z  e.  P  /\  z ( le `  K ) X ) )  ->  Y  e.  V )
635, 16, 6cvrle 30090 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  ->  X ( le
`  K ) Y )
6463adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  ( Y  e.  V  /\  z  e.  P  /\  z ( le `  K ) X ) )  ->  X ( le `  K ) Y )
65 hlpos 30177 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Poset )
6654, 65syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  ( Y  e.  V  /\  z  e.  P  /\  z ( le `  K ) X ) )  ->  K  e.  Poset
)
675, 16postr 14103 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  (
z  e.  B  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )
)  ->  ( (
z ( le `  K ) X  /\  X ( le `  K ) Y )  ->  z ( le
`  K ) Y ) )
6866, 59, 60, 61, 67syl13anc 1184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  ( Y  e.  V  /\  z  e.  P  /\  z ( le `  K ) X ) )  ->  ( (
z ( le `  K ) X  /\  X ( le `  K ) Y )  ->  z ( le
`  K ) Y ) )
6953, 64, 68mp2and 660 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  ( Y  e.  V  /\  z  e.  P  /\  z ( le `  K ) X ) )  ->  z ( le `  K ) Y )
7016, 6, 7, 8lplncvrlvol2 30426 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  z  e.  P  /\  Y  e.  V )  /\  z ( le `  K ) Y )  ->  z C Y )
7154, 57, 62, 69, 70syl31anc 1185 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  ( Y  e.  V  /\  z  e.  P  /\  z ( le `  K ) X ) )  ->  z C Y )
72 simplr 731 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  ( Y  e.  V  /\  z  e.  P  /\  z ( le `  K ) X ) )  ->  X C Y )
735, 16, 6cvrcmp2 30096 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  OP  /\  ( z  e.  B  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  /\  ( z C Y  /\  X C Y ) )  -> 
( z ( le
`  K ) X  <-> 
z  =  X ) )
7456, 59, 60, 61, 71, 72, 73syl132anc 1200 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  ( Y  e.  V  /\  z  e.  P  /\  z ( le `  K ) X ) )  ->  ( z
( le `  K
) X  <->  z  =  X ) )
7553, 74mpbid 201 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  ( Y  e.  V  /\  z  e.  P  /\  z ( le `  K ) X ) )  ->  z  =  X )
7675, 57eqeltrrd 2371 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  ( Y  e.  V  /\  z  e.  P  /\  z ( le `  K ) X ) )  ->  X  e.  P )
77763exp2 1169 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  ->  ( Y  e.  V  ->  ( z  e.  P  ->  ( z ( le `  K
) X  ->  X  e.  P ) ) ) )
7877imp 418 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  Y  e.  V )  ->  (
z  e.  P  -> 
( z ( le
`  K ) X  ->  X  e.  P
) ) )
7978rexlimdv 2679 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  Y  e.  V )  ->  ( E. z  e.  P  z ( le `  K ) X  ->  X  e.  P )
)
8052, 79mpd 14 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  Y  e.  V )  ->  X  e.  P )
8110, 80impbida 805 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  ->  ( X  e.  P  <->  Y  e.  V
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   E.wrex 2557   class class class wbr 4039   ` cfv 5271   Basecbs 13164   lecple 13231   Posetcpo 14090   0.cp0 14159   Latclat 14167   OPcops 29984    <o ccvr 30074   Atomscatm 30075   HLchlt 30162   LLinesclln 30302   LPlanesclpl 30303   LVolsclvol 30304
This theorem is referenced by:  2lplnmj  30433
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-undef 6314  df-riota 6320  df-poset 14096  df-plt 14108  df-lub 14124  df-glb 14125  df-join 14126  df-meet 14127  df-p0 14161  df-lat 14168  df-clat 14230  df-oposet 29988  df-ol 29990  df-oml 29991  df-covers 30078  df-ats 30079  df-atl 30110  df-cvlat 30134  df-hlat 30163  df-llines 30309  df-lplanes 30310  df-lvols 30311
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