Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lplnexatN Structured version   Unicode version

Theorem lplnexatN 30361
Description: Given a lattice line on a lattice plane, there is an atom whose join with the line equals the plane. (Contributed by NM, 29-Jun-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
lplnexat.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
lplnexat.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
lplnexat.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
lplnexat.n  |-  N  =  ( LLines `  K )
lplnexat.p  |-  P  =  ( LPlanes `  K )
Assertion
Ref Expression
lplnexatN  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Y  e.  N )  /\  Y  .<_  X )  ->  E. q  e.  A  ( -.  q  .<_  Y  /\  X  =  ( Y  .\/  q ) ) )
Distinct variable groups:    A, q    K, q    .<_ , q    Y, q    X, q
Allowed substitution hints:    P( q)    .\/ ( q)    N( q)

Proof of Theorem lplnexatN
StepHypRef Expression
1 simp1 958 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Y  e.  N )  ->  K  e.  HL )
2 simp3 960 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Y  e.  N )  ->  Y  e.  N )
3 simp2 959 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Y  e.  N )  ->  X  e.  P )
41, 2, 33jca 1135 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Y  e.  N )  ->  ( K  e.  HL  /\  Y  e.  N  /\  X  e.  P )
)
5 lplnexat.l . . . 4  |-  .<_  =  ( le `  K )
6 eqid 2437 . . . 4  |-  (  <o  `  K )  =  ( 
<o  `  K )
7 lplnexat.n . . . 4  |-  N  =  ( LLines `  K )
8 lplnexat.p . . . 4  |-  P  =  ( LPlanes `  K )
95, 6, 7, 8llncvrlpln2 30355 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  Y  e.  N  /\  X  e.  P )  /\  Y  .<_  X )  ->  Y (  <o  `  K ) X )
104, 9sylan 459 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Y  e.  N )  /\  Y  .<_  X )  ->  Y (  <o  `  K ) X )
11 simpl1 961 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Y  e.  N )  /\  Y  .<_  X )  ->  K  e.  HL )
12 simpl3 963 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Y  e.  N )  /\  Y  .<_  X )  ->  Y  e.  N
)
13 eqid 2437 . . . . . 6  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
1413, 7llnbase 30307 . . . . 5  |-  ( Y  e.  N  ->  Y  e.  ( Base `  K
) )
1512, 14syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Y  e.  N )  /\  Y  .<_  X )  ->  Y  e.  (
Base `  K )
)
16 simpl2 962 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Y  e.  N )  /\  Y  .<_  X )  ->  X  e.  P
)
1713, 8lplnbase 30332 . . . . 5  |-  ( X  e.  P  ->  X  e.  ( Base `  K
) )
1816, 17syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Y  e.  N )  /\  Y  .<_  X )  ->  X  e.  (
Base `  K )
)
19 lplnexat.j . . . . 5  |-  .\/  =  ( join `  K )
20 lplnexat.a . . . . 5  |-  A  =  ( Atoms `  K )
2113, 5, 19, 6, 20cvrval3 30211 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Y  e.  ( Base `  K )  /\  X  e.  ( Base `  K
) )  ->  ( Y (  <o  `  K
) X  <->  E. q  e.  A  ( -.  q  .<_  Y  /\  ( Y  .\/  q )  =  X ) ) )
2211, 15, 18, 21syl3anc 1185 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Y  e.  N )  /\  Y  .<_  X )  ->  ( Y ( 
<o  `  K ) X  <->  E. q  e.  A  ( -.  q  .<_  Y  /\  ( Y  .\/  q )  =  X ) ) )
23 eqcom 2439 . . . . 5  |-  ( ( Y  .\/  q )  =  X  <->  X  =  ( Y  .\/  q ) )
2423anbi2i 677 . . . 4  |-  ( ( -.  q  .<_  Y  /\  ( Y  .\/  q )  =  X )  <->  ( -.  q  .<_  Y  /\  X  =  ( Y  .\/  q ) ) )
2524rexbii 2731 . . 3  |-  ( E. q  e.  A  ( -.  q  .<_  Y  /\  ( Y  .\/  q )  =  X )  <->  E. q  e.  A  ( -.  q  .<_  Y  /\  X  =  ( Y  .\/  q ) ) )
2622, 25syl6bb 254 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Y  e.  N )  /\  Y  .<_  X )  ->  ( Y ( 
<o  `  K ) X  <->  E. q  e.  A  ( -.  q  .<_  Y  /\  X  =  ( Y  .\/  q ) ) ) )
2710, 26mpbid 203 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Y  e.  N )  /\  Y  .<_  X )  ->  E. q  e.  A  ( -.  q  .<_  Y  /\  X  =  ( Y  .\/  q ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726   E.wrex 2707   class class class wbr 4213   ` cfv 5455  (class class class)co 6082   Basecbs 13470   lecple 13537   joincjn 14402    <o ccvr 30061   Atomscatm 30062   HLchlt 30149   LLinesclln 30289   LPlanesclpl 30290
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2418  ax-rep 4321  ax-sep 4331  ax-nul 4339  ax-pow 4378  ax-pr 4404  ax-un 4702
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2711  df-rex 2712  df-reu 2713  df-rab 2715  df-v 2959  df-sbc 3163  df-csb 3253  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-nul 3630  df-if 3741  df-pw 3802  df-sn 3821  df-pr 3822  df-op 3824  df-uni 4017  df-iun 4096  df-br 4214  df-opab 4268  df-mpt 4269  df-id 4499  df-xp 4885  df-rel 4886  df-cnv 4887  df-co 4888  df-dm 4889  df-rn 4890  df-res 4891  df-ima 4892  df-iota 5419  df-fun 5457  df-fn 5458  df-f 5459  df-f1 5460  df-fo 5461  df-f1o 5462  df-fv 5463  df-ov 6085  df-oprab 6086  df-mpt2 6087  df-1st 6350  df-2nd 6351  df-undef 6544  df-riota 6550  df-poset 14404  df-plt 14416  df-lub 14432  df-glb 14433  df-join 14434  df-meet 14435  df-p0 14469  df-lat 14476  df-clat 14538  df-oposet 29975  df-ol 29977  df-oml 29978  df-covers 30065  df-ats 30066  df-atl 30097  df-cvlat 30121  df-hlat 30150  df-llines 30296  df-lplanes 30297
  Copyright terms: Public domain W3C validator