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Theorem lplnexllnN 29126
Description: Given an atom on a lattice plane, there is a lattice line whose join with the atom equals the plane. (Contributed by NM, 26-Jun-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
lplnexat.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
lplnexat.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
lplnexat.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
lplnexat.n  |-  N  =  ( LLines `  K )
lplnexat.p  |-  P  =  ( LPlanes `  K )
Assertion
Ref Expression
lplnexllnN  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Q  e.  A )  /\  Q  .<_  X )  ->  E. y  e.  N  ( -.  Q  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  Q ) ) )
Distinct variable groups:    y,  .\/    y, 
.<_    y, N    y, Q    y, X
Allowed substitution hints:    A( y)    P( y)    K( y)

Proof of Theorem lplnexllnN
Dummy variables  s 
r  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl2 959 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Q  e.  A )  /\  Q  .<_  X )  ->  X  e.  P
)
2 simpl1 958 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Q  e.  A )  /\  Q  .<_  X )  ->  K  e.  HL )
3 eqid 2283 . . . . . 6  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
4 lplnexat.p . . . . . 6  |-  P  =  ( LPlanes `  K )
53, 4lplnbase 29096 . . . . 5  |-  ( X  e.  P  ->  X  e.  ( Base `  K
) )
61, 5syl 15 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Q  e.  A )  /\  Q  .<_  X )  ->  X  e.  (
Base `  K )
)
7 lplnexat.l . . . . 5  |-  .<_  =  ( le `  K )
8 lplnexat.j . . . . 5  |-  .\/  =  ( join `  K )
9 lplnexat.a . . . . 5  |-  A  =  ( Atoms `  K )
10 lplnexat.n . . . . 5  |-  N  =  ( LLines `  K )
113, 7, 8, 9, 10, 4islpln3 29095 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  ( Base `  K ) )  -> 
( X  e.  P  <->  E. z  e.  N  E. r  e.  A  ( -.  r  .<_  z  /\  X  =  ( z  .\/  r ) ) ) )
122, 6, 11syl2anc 642 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Q  e.  A )  /\  Q  .<_  X )  ->  ( X  e.  P  <->  E. z  e.  N  E. r  e.  A  ( -.  r  .<_  z  /\  X  =  ( z  .\/  r ) ) ) )
131, 12mpbid 201 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Q  e.  A )  /\  Q  .<_  X )  ->  E. z  e.  N  E. r  e.  A  ( -.  r  .<_  z  /\  X  =  ( z  .\/  r ) ) )
14 simpll1 994 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Q  e.  A )  /\  Q  .<_  X )  /\  ( Q  .<_  z  /\  (
z  e.  N  /\  r  e.  A )  /\  ( -.  r  .<_  z  /\  X  =  ( z  .\/  r ) ) ) )  ->  K  e.  HL )
15 simpr2l 1014 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Q  e.  A )  /\  Q  .<_  X )  /\  ( Q  .<_  z  /\  (
z  e.  N  /\  r  e.  A )  /\  ( -.  r  .<_  z  /\  X  =  ( z  .\/  r ) ) ) )  -> 
z  e.  N )
16 simpll3 996 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Q  e.  A )  /\  Q  .<_  X )  /\  ( Q  .<_  z  /\  (
z  e.  N  /\  r  e.  A )  /\  ( -.  r  .<_  z  /\  X  =  ( z  .\/  r ) ) ) )  ->  Q  e.  A )
17 simpr1 961 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Q  e.  A )  /\  Q  .<_  X )  /\  ( Q  .<_  z  /\  (
z  e.  N  /\  r  e.  A )  /\  ( -.  r  .<_  z  /\  X  =  ( z  .\/  r ) ) ) )  ->  Q  .<_  z )
187, 8, 9, 10llnexatN 29083 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  z  e.  N  /\  Q  e.  A )  /\  Q  .<_  z )  ->  E. s  e.  A  ( Q  =/=  s  /\  z  =  ( Q  .\/  s ) ) )
1914, 15, 16, 17, 18syl31anc 1185 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Q  e.  A )  /\  Q  .<_  X )  /\  ( Q  .<_  z  /\  (
z  e.  N  /\  r  e.  A )  /\  ( -.  r  .<_  z  /\  X  =  ( z  .\/  r ) ) ) )  ->  E. s  e.  A  ( Q  =/=  s  /\  z  =  ( Q  .\/  s ) ) )
20 simp1l1 1048 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Q  e.  A )  /\  Q  .<_  X )  /\  ( Q  .<_  z  /\  (
z  e.  N  /\  r  e.  A )  /\  ( -.  r  .<_  z  /\  X  =  ( z  .\/  r ) ) )  /\  (
s  e.  A  /\  ( Q  =/=  s  /\  z  =  ( Q  .\/  s ) ) ) )  ->  K  e.  HL )
21 simp22r 1075 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Q  e.  A )  /\  Q  .<_  X )  /\  ( Q  .<_  z  /\  (
z  e.  N  /\  r  e.  A )  /\  ( -.  r  .<_  z  /\  X  =  ( z  .\/  r ) ) )  /\  (
s  e.  A  /\  ( Q  =/=  s  /\  z  =  ( Q  .\/  s ) ) ) )  ->  r  e.  A )
22 simp3l 983 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Q  e.  A )  /\  Q  .<_  X )  /\  ( Q  .<_  z  /\  (
z  e.  N  /\  r  e.  A )  /\  ( -.  r  .<_  z  /\  X  =  ( z  .\/  r ) ) )  /\  (
s  e.  A  /\  ( Q  =/=  s  /\  z  =  ( Q  .\/  s ) ) ) )  ->  s  e.  A )
23 simp1l3 1050 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Q  e.  A )  /\  Q  .<_  X )  /\  ( Q  .<_  z  /\  (
z  e.  N  /\  r  e.  A )  /\  ( -.  r  .<_  z  /\  X  =  ( z  .\/  r ) ) )  /\  (
s  e.  A  /\  ( Q  =/=  s  /\  z  =  ( Q  .\/  s ) ) ) )  ->  Q  e.  A )
24 simp23l 1076 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Q  e.  A )  /\  Q  .<_  X )  /\  ( Q  .<_  z  /\  (
z  e.  N  /\  r  e.  A )  /\  ( -.  r  .<_  z  /\  X  =  ( z  .\/  r ) ) )  /\  (
s  e.  A  /\  ( Q  =/=  s  /\  z  =  ( Q  .\/  s ) ) ) )  ->  -.  r  .<_  z )
25 simp3rr 1029 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Q  e.  A )  /\  Q  .<_  X )  /\  ( Q  .<_  z  /\  (
z  e.  N  /\  r  e.  A )  /\  ( -.  r  .<_  z  /\  X  =  ( z  .\/  r ) ) )  /\  (
s  e.  A  /\  ( Q  =/=  s  /\  z  =  ( Q  .\/  s ) ) ) )  ->  z  =  ( Q  .\/  s ) )
2625breq2d 4035 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Q  e.  A )  /\  Q  .<_  X )  /\  ( Q  .<_  z  /\  (
z  e.  N  /\  r  e.  A )  /\  ( -.  r  .<_  z  /\  X  =  ( z  .\/  r ) ) )  /\  (
s  e.  A  /\  ( Q  =/=  s  /\  z  =  ( Q  .\/  s ) ) ) )  ->  (
r  .<_  z  <->  r  .<_  ( Q  .\/  s ) ) )
2724, 26mtbid 291 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Q  e.  A )  /\  Q  .<_  X )  /\  ( Q  .<_  z  /\  (
z  e.  N  /\  r  e.  A )  /\  ( -.  r  .<_  z  /\  X  =  ( z  .\/  r ) ) )  /\  (
s  e.  A  /\  ( Q  =/=  s  /\  z  =  ( Q  .\/  s ) ) ) )  ->  -.  r  .<_  ( Q  .\/  s ) )
287, 8, 9atnlej2 28942 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( r  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  s  e.  A
)  /\  -.  r  .<_  ( Q  .\/  s
) )  ->  r  =/=  s )
2920, 21, 23, 22, 27, 28syl131anc 1195 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Q  e.  A )  /\  Q  .<_  X )  /\  ( Q  .<_  z  /\  (
z  e.  N  /\  r  e.  A )  /\  ( -.  r  .<_  z  /\  X  =  ( z  .\/  r ) ) )  /\  (
s  e.  A  /\  ( Q  =/=  s  /\  z  =  ( Q  .\/  s ) ) ) )  ->  r  =/=  s )
308, 9, 10llni2 29074 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  r  e.  A  /\  s  e.  A )  /\  r  =/=  s
)  ->  ( r  .\/  s )  e.  N
)
3120, 21, 22, 29, 30syl31anc 1185 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Q  e.  A )  /\  Q  .<_  X )  /\  ( Q  .<_  z  /\  (
z  e.  N  /\  r  e.  A )  /\  ( -.  r  .<_  z  /\  X  =  ( z  .\/  r ) ) )  /\  (
s  e.  A  /\  ( Q  =/=  s  /\  z  =  ( Q  .\/  s ) ) ) )  ->  (
r  .\/  s )  e.  N )
32 simp3rl 1028 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Q  e.  A )  /\  Q  .<_  X )  /\  ( Q  .<_  z  /\  (
z  e.  N  /\  r  e.  A )  /\  ( -.  r  .<_  z  /\  X  =  ( z  .\/  r ) ) )  /\  (
s  e.  A  /\  ( Q  =/=  s  /\  z  =  ( Q  .\/  s ) ) ) )  ->  Q  =/=  s )
337, 8, 9hlatcon2 29014 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( Q  e.  A  /\  s  e.  A  /\  r  e.  A
)  /\  ( Q  =/=  s  /\  -.  r  .<_  ( Q  .\/  s
) ) )  ->  -.  Q  .<_  ( r 
.\/  s ) )
3420, 23, 22, 21, 32, 27, 33syl132anc 1200 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Q  e.  A )  /\  Q  .<_  X )  /\  ( Q  .<_  z  /\  (
z  e.  N  /\  r  e.  A )  /\  ( -.  r  .<_  z  /\  X  =  ( z  .\/  r ) ) )  /\  (
s  e.  A  /\  ( Q  =/=  s  /\  z  =  ( Q  .\/  s ) ) ) )  ->  -.  Q  .<_  ( r  .\/  s ) )
35 simp23r 1077 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Q  e.  A )  /\  Q  .<_  X )  /\  ( Q  .<_  z  /\  (
z  e.  N  /\  r  e.  A )  /\  ( -.  r  .<_  z  /\  X  =  ( z  .\/  r ) ) )  /\  (
s  e.  A  /\  ( Q  =/=  s  /\  z  =  ( Q  .\/  s ) ) ) )  ->  X  =  ( z  .\/  r ) )
3625oveq1d 5873 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Q  e.  A )  /\  Q  .<_  X )  /\  ( Q  .<_  z  /\  (
z  e.  N  /\  r  e.  A )  /\  ( -.  r  .<_  z  /\  X  =  ( z  .\/  r ) ) )  /\  (
s  e.  A  /\  ( Q  =/=  s  /\  z  =  ( Q  .\/  s ) ) ) )  ->  (
z  .\/  r )  =  ( ( Q 
.\/  s )  .\/  r ) )
37 hllat 28926 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
3820, 37syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Q  e.  A )  /\  Q  .<_  X )  /\  ( Q  .<_  z  /\  (
z  e.  N  /\  r  e.  A )  /\  ( -.  r  .<_  z  /\  X  =  ( z  .\/  r ) ) )  /\  (
s  e.  A  /\  ( Q  =/=  s  /\  z  =  ( Q  .\/  s ) ) ) )  ->  K  e.  Lat )
393, 9atbase 28852 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Q  e.  A  ->  Q  e.  ( Base `  K
) )
4023, 39syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Q  e.  A )  /\  Q  .<_  X )  /\  ( Q  .<_  z  /\  (
z  e.  N  /\  r  e.  A )  /\  ( -.  r  .<_  z  /\  X  =  ( z  .\/  r ) ) )  /\  (
s  e.  A  /\  ( Q  =/=  s  /\  z  =  ( Q  .\/  s ) ) ) )  ->  Q  e.  ( Base `  K
) )
413, 9atbase 28852 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( s  e.  A  ->  s  e.  ( Base `  K
) )
4222, 41syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Q  e.  A )  /\  Q  .<_  X )  /\  ( Q  .<_  z  /\  (
z  e.  N  /\  r  e.  A )  /\  ( -.  r  .<_  z  /\  X  =  ( z  .\/  r ) ) )  /\  (
s  e.  A  /\  ( Q  =/=  s  /\  z  =  ( Q  .\/  s ) ) ) )  ->  s  e.  ( Base `  K
) )
433, 9atbase 28852 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( r  e.  A  ->  r  e.  ( Base `  K
) )
4421, 43syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Q  e.  A )  /\  Q  .<_  X )  /\  ( Q  .<_  z  /\  (
z  e.  N  /\  r  e.  A )  /\  ( -.  r  .<_  z  /\  X  =  ( z  .\/  r ) ) )  /\  (
s  e.  A  /\  ( Q  =/=  s  /\  z  =  ( Q  .\/  s ) ) ) )  ->  r  e.  ( Base `  K
) )
453, 8latj31 14205 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( Q  e.  ( Base `  K )  /\  s  e.  ( Base `  K )  /\  r  e.  ( Base `  K
) ) )  -> 
( ( Q  .\/  s )  .\/  r
)  =  ( ( r  .\/  s ) 
.\/  Q ) )
4638, 40, 42, 44, 45syl13anc 1184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Q  e.  A )  /\  Q  .<_  X )  /\  ( Q  .<_  z  /\  (
z  e.  N  /\  r  e.  A )  /\  ( -.  r  .<_  z  /\  X  =  ( z  .\/  r ) ) )  /\  (
s  e.  A  /\  ( Q  =/=  s  /\  z  =  ( Q  .\/  s ) ) ) )  ->  (
( Q  .\/  s
)  .\/  r )  =  ( ( r 
.\/  s )  .\/  Q ) )
4735, 36, 463eqtrd 2319 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Q  e.  A )  /\  Q  .<_  X )  /\  ( Q  .<_  z  /\  (
z  e.  N  /\  r  e.  A )  /\  ( -.  r  .<_  z  /\  X  =  ( z  .\/  r ) ) )  /\  (
s  e.  A  /\  ( Q  =/=  s  /\  z  =  ( Q  .\/  s ) ) ) )  ->  X  =  ( ( r 
.\/  s )  .\/  Q ) )
48 breq2 4027 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  ( r  .\/  s )  ->  ( Q  .<_  y  <->  Q  .<_  ( r  .\/  s ) ) )
4948notbid 285 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  ( r  .\/  s )  ->  ( -.  Q  .<_  y  <->  -.  Q  .<_  ( r  .\/  s
) ) )
50 oveq1 5865 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  ( r  .\/  s )  ->  (
y  .\/  Q )  =  ( ( r 
.\/  s )  .\/  Q ) )
5150eqeq2d 2294 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  ( r  .\/  s )  ->  ( X  =  ( y  .\/  Q )  <->  X  =  ( ( r  .\/  s )  .\/  Q
) ) )
5249, 51anbi12d 691 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  ( r  .\/  s )  ->  (
( -.  Q  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  Q ) )  <->  ( -.  Q  .<_  ( r  .\/  s
)  /\  X  =  ( ( r  .\/  s )  .\/  Q
) ) ) )
5352rspcev 2884 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( r  .\/  s
)  e.  N  /\  ( -.  Q  .<_  ( r  .\/  s )  /\  X  =  ( ( r  .\/  s
)  .\/  Q )
) )  ->  E. y  e.  N  ( -.  Q  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  Q ) ) )
5431, 34, 47, 53syl12anc 1180 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Q  e.  A )  /\  Q  .<_  X )  /\  ( Q  .<_  z  /\  (
z  e.  N  /\  r  e.  A )  /\  ( -.  r  .<_  z  /\  X  =  ( z  .\/  r ) ) )  /\  (
s  e.  A  /\  ( Q  =/=  s  /\  z  =  ( Q  .\/  s ) ) ) )  ->  E. y  e.  N  ( -.  Q  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  Q ) ) )
55543expia 1153 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Q  e.  A )  /\  Q  .<_  X )  /\  ( Q  .<_  z  /\  (
z  e.  N  /\  r  e.  A )  /\  ( -.  r  .<_  z  /\  X  =  ( z  .\/  r ) ) ) )  -> 
( ( s  e.  A  /\  ( Q  =/=  s  /\  z  =  ( Q  .\/  s ) ) )  ->  E. y  e.  N  ( -.  Q  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  Q ) ) ) )
5655exp3a 425 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Q  e.  A )  /\  Q  .<_  X )  /\  ( Q  .<_  z  /\  (
z  e.  N  /\  r  e.  A )  /\  ( -.  r  .<_  z  /\  X  =  ( z  .\/  r ) ) ) )  -> 
( s  e.  A  ->  ( ( Q  =/=  s  /\  z  =  ( Q  .\/  s
) )  ->  E. y  e.  N  ( -.  Q  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  Q ) ) ) ) )
5756rexlimdv 2666 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Q  e.  A )  /\  Q  .<_  X )  /\  ( Q  .<_  z  /\  (
z  e.  N  /\  r  e.  A )  /\  ( -.  r  .<_  z  /\  X  =  ( z  .\/  r ) ) ) )  -> 
( E. s  e.  A  ( Q  =/=  s  /\  z  =  ( Q  .\/  s
) )  ->  E. y  e.  N  ( -.  Q  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  Q ) ) ) )
5819, 57mpd 14 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Q  e.  A )  /\  Q  .<_  X )  /\  ( Q  .<_  z  /\  (
z  e.  N  /\  r  e.  A )  /\  ( -.  r  .<_  z  /\  X  =  ( z  .\/  r ) ) ) )  ->  E. y  e.  N  ( -.  Q  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  Q ) ) )
59583exp2 1169 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Q  e.  A )  /\  Q  .<_  X )  ->  ( Q  .<_  z  ->  ( ( z  e.  N  /\  r  e.  A )  ->  (
( -.  r  .<_  z  /\  X  =  ( z  .\/  r ) )  ->  E. y  e.  N  ( -.  Q  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  Q ) ) ) ) ) )
60 simpr2l 1014 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Q  e.  A )  /\  Q  .<_  X )  /\  ( -.  Q  .<_  z  /\  ( z  e.  N  /\  r  e.  A
)  /\  ( -.  r  .<_  z  /\  X  =  ( z  .\/  r ) ) ) )  ->  z  e.  N )
61 simpr1 961 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Q  e.  A )  /\  Q  .<_  X )  /\  ( -.  Q  .<_  z  /\  ( z  e.  N  /\  r  e.  A
)  /\  ( -.  r  .<_  z  /\  X  =  ( z  .\/  r ) ) ) )  ->  -.  Q  .<_  z )
62 simpll1 994 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Q  e.  A )  /\  Q  .<_  X )  /\  ( -.  Q  .<_  z  /\  ( z  e.  N  /\  r  e.  A
)  /\  ( -.  r  .<_  z  /\  X  =  ( z  .\/  r ) ) ) )  ->  K  e.  HL )
6362, 37syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Q  e.  A )  /\  Q  .<_  X )  /\  ( -.  Q  .<_  z  /\  ( z  e.  N  /\  r  e.  A
)  /\  ( -.  r  .<_  z  /\  X  =  ( z  .\/  r ) ) ) )  ->  K  e.  Lat )
643, 10llnbase 29071 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  N  ->  z  e.  ( Base `  K
) )
6560, 64syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Q  e.  A )  /\  Q  .<_  X )  /\  ( -.  Q  .<_  z  /\  ( z  e.  N  /\  r  e.  A
)  /\  ( -.  r  .<_  z  /\  X  =  ( z  .\/  r ) ) ) )  ->  z  e.  ( Base `  K )
)
66 simpr2r 1015 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Q  e.  A )  /\  Q  .<_  X )  /\  ( -.  Q  .<_  z  /\  ( z  e.  N  /\  r  e.  A
)  /\  ( -.  r  .<_  z  /\  X  =  ( z  .\/  r ) ) ) )  ->  r  e.  A )
6766, 43syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Q  e.  A )  /\  Q  .<_  X )  /\  ( -.  Q  .<_  z  /\  ( z  e.  N  /\  r  e.  A
)  /\  ( -.  r  .<_  z  /\  X  =  ( z  .\/  r ) ) ) )  ->  r  e.  ( Base `  K )
)
683, 7, 8latlej1 14166 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  z  e.  ( Base `  K )  /\  r  e.  ( Base `  K
) )  ->  z  .<_  ( z  .\/  r
) )
6963, 65, 67, 68syl3anc 1182 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Q  e.  A )  /\  Q  .<_  X )  /\  ( -.  Q  .<_  z  /\  ( z  e.  N  /\  r  e.  A
)  /\  ( -.  r  .<_  z  /\  X  =  ( z  .\/  r ) ) ) )  ->  z  .<_  ( z  .\/  r ) )
70 simpr3r 1017 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Q  e.  A )  /\  Q  .<_  X )  /\  ( -.  Q  .<_  z  /\  ( z  e.  N  /\  r  e.  A
)  /\  ( -.  r  .<_  z  /\  X  =  ( z  .\/  r ) ) ) )  ->  X  =  ( z  .\/  r
) )
7169, 70breqtrrd 4049 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Q  e.  A )  /\  Q  .<_  X )  /\  ( -.  Q  .<_  z  /\  ( z  e.  N  /\  r  e.  A
)  /\  ( -.  r  .<_  z  /\  X  =  ( z  .\/  r ) ) ) )  ->  z  .<_  X )
72 simplr 731 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Q  e.  A )  /\  Q  .<_  X )  /\  ( -.  Q  .<_  z  /\  ( z  e.  N  /\  r  e.  A
)  /\  ( -.  r  .<_  z  /\  X  =  ( z  .\/  r ) ) ) )  ->  Q  .<_  X )
73 simpll3 996 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Q  e.  A )  /\  Q  .<_  X )  /\  ( -.  Q  .<_  z  /\  ( z  e.  N  /\  r  e.  A
)  /\  ( -.  r  .<_  z  /\  X  =  ( z  .\/  r ) ) ) )  ->  Q  e.  A )
7473, 39syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Q  e.  A )  /\  Q  .<_  X )  /\  ( -.  Q  .<_  z  /\  ( z  e.  N  /\  r  e.  A
)  /\  ( -.  r  .<_  z  /\  X  =  ( z  .\/  r ) ) ) )  ->  Q  e.  ( Base `  K )
)
75 simpll2 995 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Q  e.  A )  /\  Q  .<_  X )  /\  ( -.  Q  .<_  z  /\  ( z  e.  N  /\  r  e.  A
)  /\  ( -.  r  .<_  z  /\  X  =  ( z  .\/  r ) ) ) )  ->  X  e.  P )
7675, 5syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Q  e.  A )  /\  Q  .<_  X )  /\  ( -.  Q  .<_  z  /\  ( z  e.  N  /\  r  e.  A
)  /\  ( -.  r  .<_  z  /\  X  =  ( z  .\/  r ) ) ) )  ->  X  e.  ( Base `  K )
)
773, 7, 8latjle12 14168 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( z  e.  (
Base `  K )  /\  Q  e.  ( Base `  K )  /\  X  e.  ( Base `  K ) ) )  ->  ( ( z 
.<_  X  /\  Q  .<_  X )  <->  ( z  .\/  Q )  .<_  X )
)
7863, 65, 74, 76, 77syl13anc 1184 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Q  e.  A )  /\  Q  .<_  X )  /\  ( -.  Q  .<_  z  /\  ( z  e.  N  /\  r  e.  A
)  /\  ( -.  r  .<_  z  /\  X  =  ( z  .\/  r ) ) ) )  ->  ( (
z  .<_  X  /\  Q  .<_  X )  <->  ( z  .\/  Q )  .<_  X ) )
7971, 72, 78mpbi2and 887 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Q  e.  A )  /\  Q  .<_  X )  /\  ( -.  Q  .<_  z  /\  ( z  e.  N  /\  r  e.  A
)  /\  ( -.  r  .<_  z  /\  X  =  ( z  .\/  r ) ) ) )  ->  ( z  .\/  Q )  .<_  X )
803, 8latjcl 14156 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  z  e.  ( Base `  K )  /\  Q  e.  ( Base `  K
) )  ->  (
z  .\/  Q )  e.  ( Base `  K
) )
8163, 65, 74, 80syl3anc 1182 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Q  e.  A )  /\  Q  .<_  X )  /\  ( -.  Q  .<_  z  /\  ( z  e.  N  /\  r  e.  A
)  /\  ( -.  r  .<_  z  /\  X  =  ( z  .\/  r ) ) ) )  ->  ( z  .\/  Q )  e.  (
Base `  K )
)
82 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (  <o  `  K )  =  ( 
<o  `  K )
833, 7, 8, 82, 9cvr1 28972 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  HL  /\  z  e.  ( Base `  K )  /\  Q  e.  A )  ->  ( -.  Q  .<_  z  <->  z (  <o  `  K ) ( z  .\/  Q ) ) )
8462, 65, 73, 83syl3anc 1182 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Q  e.  A )  /\  Q  .<_  X )  /\  ( -.  Q  .<_  z  /\  ( z  e.  N  /\  r  e.  A
)  /\  ( -.  r  .<_  z  /\  X  =  ( z  .\/  r ) ) ) )  ->  ( -.  Q  .<_  z  <->  z (  <o  `  K ) ( z  .\/  Q ) ) )
8561, 84mpbid 201 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Q  e.  A )  /\  Q  .<_  X )  /\  ( -.  Q  .<_  z  /\  ( z  e.  N  /\  r  e.  A
)  /\  ( -.  r  .<_  z  /\  X  =  ( z  .\/  r ) ) ) )  ->  z (  <o  `  K ) ( z  .\/  Q ) )
863, 82, 10, 4lplni 29094 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( z  .\/  Q
)  e.  ( Base `  K )  /\  z  e.  N )  /\  z
(  <o  `  K )
( z  .\/  Q
) )  ->  (
z  .\/  Q )  e.  P )
8762, 81, 60, 85, 86syl31anc 1185 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Q  e.  A )  /\  Q  .<_  X )  /\  ( -.  Q  .<_  z  /\  ( z  e.  N  /\  r  e.  A
)  /\  ( -.  r  .<_  z  /\  X  =  ( z  .\/  r ) ) ) )  ->  ( z  .\/  Q )  e.  P
)
887, 4lplncmp 29124 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( z  .\/  Q
)  e.  P  /\  X  e.  P )  ->  ( ( z  .\/  Q )  .<_  X  <->  ( z  .\/  Q )  =  X ) )
8962, 87, 75, 88syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Q  e.  A )  /\  Q  .<_  X )  /\  ( -.  Q  .<_  z  /\  ( z  e.  N  /\  r  e.  A
)  /\  ( -.  r  .<_  z  /\  X  =  ( z  .\/  r ) ) ) )  ->  ( (
z  .\/  Q )  .<_  X  <->  ( z  .\/  Q )  =  X ) )
9079, 89mpbid 201 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Q  e.  A )  /\  Q  .<_  X )  /\  ( -.  Q  .<_  z  /\  ( z  e.  N  /\  r  e.  A
)  /\  ( -.  r  .<_  z  /\  X  =  ( z  .\/  r ) ) ) )  ->  ( z  .\/  Q )  =  X )
9190eqcomd 2288 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Q  e.  A )  /\  Q  .<_  X )  /\  ( -.  Q  .<_  z  /\  ( z  e.  N  /\  r  e.  A
)  /\  ( -.  r  .<_  z  /\  X  =  ( z  .\/  r ) ) ) )  ->  X  =  ( z  .\/  Q
) )
92 breq2 4027 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  z  ->  ( Q  .<_  y  <->  Q  .<_  z ) )
9392notbid 285 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  z  ->  ( -.  Q  .<_  y  <->  -.  Q  .<_  z ) )
94 oveq1 5865 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  z  ->  (
y  .\/  Q )  =  ( z  .\/  Q ) )
9594eqeq2d 2294 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  z  ->  ( X  =  ( y  .\/  Q )  <->  X  =  ( z  .\/  Q
) ) )
9693, 95anbi12d 691 . . . . . . 7  |-  ( y  =  z  ->  (
( -.  Q  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  Q ) )  <->  ( -.  Q  .<_  z  /\  X  =  ( z  .\/  Q
) ) ) )
9796rspcev 2884 . . . . . 6  |-  ( ( z  e.  N  /\  ( -.  Q  .<_  z  /\  X  =  ( z  .\/  Q ) ) )  ->  E. y  e.  N  ( -.  Q  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  Q ) ) )
9860, 61, 91, 97syl12anc 1180 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Q  e.  A )  /\  Q  .<_  X )  /\  ( -.  Q  .<_  z  /\  ( z  e.  N  /\  r  e.  A
)  /\  ( -.  r  .<_  z  /\  X  =  ( z  .\/  r ) ) ) )  ->  E. y  e.  N  ( -.  Q  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  Q ) ) )
99983exp2 1169 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Q  e.  A )  /\  Q  .<_  X )  ->  ( -.  Q  .<_  z  ->  ( (
z  e.  N  /\  r  e.  A )  ->  ( ( -.  r  .<_  z  /\  X  =  ( z  .\/  r
) )  ->  E. y  e.  N  ( -.  Q  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  Q ) ) ) ) ) )
10059, 99pm2.61d 150 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Q  e.  A )  /\  Q  .<_  X )  ->  ( ( z  e.  N  /\  r  e.  A )  ->  (
( -.  r  .<_  z  /\  X  =  ( z  .\/  r ) )  ->  E. y  e.  N  ( -.  Q  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  Q ) ) ) ) )
101100rexlimdvv 2673 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Q  e.  A )  /\  Q  .<_  X )  ->  ( E. z  e.  N  E. r  e.  A  ( -.  r  .<_  z  /\  X  =  ( z  .\/  r ) )  ->  E. y  e.  N  ( -.  Q  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  Q ) ) ) )
10213, 101mpd 14 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Q  e.  A )  /\  Q  .<_  X )  ->  E. y  e.  N  ( -.  Q  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  Q ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   E.wrex 2544   class class class wbr 4023   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Basecbs 13148   lecple 13215   joincjn 14078   Latclat 14151    <o ccvr 28825   Atomscatm 28826   HLchlt 28913   LLinesclln 29053   LPlanesclpl 29054
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-undef 6298  df-riota 6304  df-poset 14080  df-plt 14092  df-lub 14108  df-glb 14109  df-join 14110  df-meet 14111  df-p0 14145  df-lat 14152  df-clat 14214  df-oposet 28739  df-ol 28741  df-oml 28742  df-covers 28829  df-ats 28830  df-atl 28861  df-cvlat 28885  df-hlat 28914  df-llines 29060  df-lplanes 29061
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