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Theorem lplnexllnN 30361
Description: Given an atom on a lattice plane, there is a lattice line whose join with the atom equals the plane. (Contributed by NM, 26-Jun-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
lplnexat.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
lplnexat.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
lplnexat.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
lplnexat.n  |-  N  =  ( LLines `  K )
lplnexat.p  |-  P  =  ( LPlanes `  K )
Assertion
Ref Expression
lplnexllnN  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Q  e.  A )  /\  Q  .<_  X )  ->  E. y  e.  N  ( -.  Q  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  Q ) ) )
Distinct variable groups:    y,  .\/    y, 
.<_    y, N    y, Q    y, X
Allowed substitution hints:    A( y)    P( y)    K( y)

Proof of Theorem lplnexllnN
Dummy variables  s 
r  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl2 961 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Q  e.  A )  /\  Q  .<_  X )  ->  X  e.  P
)
2 simpl1 960 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Q  e.  A )  /\  Q  .<_  X )  ->  K  e.  HL )
3 eqid 2436 . . . . . 6  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
4 lplnexat.p . . . . . 6  |-  P  =  ( LPlanes `  K )
53, 4lplnbase 30331 . . . . 5  |-  ( X  e.  P  ->  X  e.  ( Base `  K
) )
61, 5syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Q  e.  A )  /\  Q  .<_  X )  ->  X  e.  (
Base `  K )
)
7 lplnexat.l . . . . 5  |-  .<_  =  ( le `  K )
8 lplnexat.j . . . . 5  |-  .\/  =  ( join `  K )
9 lplnexat.a . . . . 5  |-  A  =  ( Atoms `  K )
10 lplnexat.n . . . . 5  |-  N  =  ( LLines `  K )
113, 7, 8, 9, 10, 4islpln3 30330 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  ( Base `  K ) )  -> 
( X  e.  P  <->  E. z  e.  N  E. r  e.  A  ( -.  r  .<_  z  /\  X  =  ( z  .\/  r ) ) ) )
122, 6, 11syl2anc 643 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Q  e.  A )  /\  Q  .<_  X )  ->  ( X  e.  P  <->  E. z  e.  N  E. r  e.  A  ( -.  r  .<_  z  /\  X  =  ( z  .\/  r ) ) ) )
131, 12mpbid 202 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Q  e.  A )  /\  Q  .<_  X )  ->  E. z  e.  N  E. r  e.  A  ( -.  r  .<_  z  /\  X  =  ( z  .\/  r ) ) )
14 simpll1 996 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Q  e.  A )  /\  Q  .<_  X )  /\  ( Q  .<_  z  /\  (
z  e.  N  /\  r  e.  A )  /\  ( -.  r  .<_  z  /\  X  =  ( z  .\/  r ) ) ) )  ->  K  e.  HL )
15 simpr2l 1016 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Q  e.  A )  /\  Q  .<_  X )  /\  ( Q  .<_  z  /\  (
z  e.  N  /\  r  e.  A )  /\  ( -.  r  .<_  z  /\  X  =  ( z  .\/  r ) ) ) )  -> 
z  e.  N )
16 simpll3 998 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Q  e.  A )  /\  Q  .<_  X )  /\  ( Q  .<_  z  /\  (
z  e.  N  /\  r  e.  A )  /\  ( -.  r  .<_  z  /\  X  =  ( z  .\/  r ) ) ) )  ->  Q  e.  A )
17 simpr1 963 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Q  e.  A )  /\  Q  .<_  X )  /\  ( Q  .<_  z  /\  (
z  e.  N  /\  r  e.  A )  /\  ( -.  r  .<_  z  /\  X  =  ( z  .\/  r ) ) ) )  ->  Q  .<_  z )
187, 8, 9, 10llnexatN 30318 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  z  e.  N  /\  Q  e.  A )  /\  Q  .<_  z )  ->  E. s  e.  A  ( Q  =/=  s  /\  z  =  ( Q  .\/  s ) ) )
1914, 15, 16, 17, 18syl31anc 1187 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Q  e.  A )  /\  Q  .<_  X )  /\  ( Q  .<_  z  /\  (
z  e.  N  /\  r  e.  A )  /\  ( -.  r  .<_  z  /\  X  =  ( z  .\/  r ) ) ) )  ->  E. s  e.  A  ( Q  =/=  s  /\  z  =  ( Q  .\/  s ) ) )
20 simp1l1 1050 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Q  e.  A )  /\  Q  .<_  X )  /\  ( Q  .<_  z  /\  (
z  e.  N  /\  r  e.  A )  /\  ( -.  r  .<_  z  /\  X  =  ( z  .\/  r ) ) )  /\  (
s  e.  A  /\  ( Q  =/=  s  /\  z  =  ( Q  .\/  s ) ) ) )  ->  K  e.  HL )
21 simp22r 1077 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Q  e.  A )  /\  Q  .<_  X )  /\  ( Q  .<_  z  /\  (
z  e.  N  /\  r  e.  A )  /\  ( -.  r  .<_  z  /\  X  =  ( z  .\/  r ) ) )  /\  (
s  e.  A  /\  ( Q  =/=  s  /\  z  =  ( Q  .\/  s ) ) ) )  ->  r  e.  A )
22 simp3l 985 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Q  e.  A )  /\  Q  .<_  X )  /\  ( Q  .<_  z  /\  (
z  e.  N  /\  r  e.  A )  /\  ( -.  r  .<_  z  /\  X  =  ( z  .\/  r ) ) )  /\  (
s  e.  A  /\  ( Q  =/=  s  /\  z  =  ( Q  .\/  s ) ) ) )  ->  s  e.  A )
23 simp1l3 1052 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Q  e.  A )  /\  Q  .<_  X )  /\  ( Q  .<_  z  /\  (
z  e.  N  /\  r  e.  A )  /\  ( -.  r  .<_  z  /\  X  =  ( z  .\/  r ) ) )  /\  (
s  e.  A  /\  ( Q  =/=  s  /\  z  =  ( Q  .\/  s ) ) ) )  ->  Q  e.  A )
24 simp23l 1078 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Q  e.  A )  /\  Q  .<_  X )  /\  ( Q  .<_  z  /\  (
z  e.  N  /\  r  e.  A )  /\  ( -.  r  .<_  z  /\  X  =  ( z  .\/  r ) ) )  /\  (
s  e.  A  /\  ( Q  =/=  s  /\  z  =  ( Q  .\/  s ) ) ) )  ->  -.  r  .<_  z )
25 simp3rr 1031 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Q  e.  A )  /\  Q  .<_  X )  /\  ( Q  .<_  z  /\  (
z  e.  N  /\  r  e.  A )  /\  ( -.  r  .<_  z  /\  X  =  ( z  .\/  r ) ) )  /\  (
s  e.  A  /\  ( Q  =/=  s  /\  z  =  ( Q  .\/  s ) ) ) )  ->  z  =  ( Q  .\/  s ) )
2625breq2d 4224 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Q  e.  A )  /\  Q  .<_  X )  /\  ( Q  .<_  z  /\  (
z  e.  N  /\  r  e.  A )  /\  ( -.  r  .<_  z  /\  X  =  ( z  .\/  r ) ) )  /\  (
s  e.  A  /\  ( Q  =/=  s  /\  z  =  ( Q  .\/  s ) ) ) )  ->  (
r  .<_  z  <->  r  .<_  ( Q  .\/  s ) ) )
2724, 26mtbid 292 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Q  e.  A )  /\  Q  .<_  X )  /\  ( Q  .<_  z  /\  (
z  e.  N  /\  r  e.  A )  /\  ( -.  r  .<_  z  /\  X  =  ( z  .\/  r ) ) )  /\  (
s  e.  A  /\  ( Q  =/=  s  /\  z  =  ( Q  .\/  s ) ) ) )  ->  -.  r  .<_  ( Q  .\/  s ) )
287, 8, 9atnlej2 30177 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( r  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  s  e.  A
)  /\  -.  r  .<_  ( Q  .\/  s
) )  ->  r  =/=  s )
2920, 21, 23, 22, 27, 28syl131anc 1197 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Q  e.  A )  /\  Q  .<_  X )  /\  ( Q  .<_  z  /\  (
z  e.  N  /\  r  e.  A )  /\  ( -.  r  .<_  z  /\  X  =  ( z  .\/  r ) ) )  /\  (
s  e.  A  /\  ( Q  =/=  s  /\  z  =  ( Q  .\/  s ) ) ) )  ->  r  =/=  s )
308, 9, 10llni2 30309 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  r  e.  A  /\  s  e.  A )  /\  r  =/=  s
)  ->  ( r  .\/  s )  e.  N
)
3120, 21, 22, 29, 30syl31anc 1187 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Q  e.  A )  /\  Q  .<_  X )  /\  ( Q  .<_  z  /\  (
z  e.  N  /\  r  e.  A )  /\  ( -.  r  .<_  z  /\  X  =  ( z  .\/  r ) ) )  /\  (
s  e.  A  /\  ( Q  =/=  s  /\  z  =  ( Q  .\/  s ) ) ) )  ->  (
r  .\/  s )  e.  N )
32 simp3rl 1030 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Q  e.  A )  /\  Q  .<_  X )  /\  ( Q  .<_  z  /\  (
z  e.  N  /\  r  e.  A )  /\  ( -.  r  .<_  z  /\  X  =  ( z  .\/  r ) ) )  /\  (
s  e.  A  /\  ( Q  =/=  s  /\  z  =  ( Q  .\/  s ) ) ) )  ->  Q  =/=  s )
337, 8, 9hlatcon2 30249 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( Q  e.  A  /\  s  e.  A  /\  r  e.  A
)  /\  ( Q  =/=  s  /\  -.  r  .<_  ( Q  .\/  s
) ) )  ->  -.  Q  .<_  ( r 
.\/  s ) )
3420, 23, 22, 21, 32, 27, 33syl132anc 1202 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Q  e.  A )  /\  Q  .<_  X )  /\  ( Q  .<_  z  /\  (
z  e.  N  /\  r  e.  A )  /\  ( -.  r  .<_  z  /\  X  =  ( z  .\/  r ) ) )  /\  (
s  e.  A  /\  ( Q  =/=  s  /\  z  =  ( Q  .\/  s ) ) ) )  ->  -.  Q  .<_  ( r  .\/  s ) )
35 simp23r 1079 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Q  e.  A )  /\  Q  .<_  X )  /\  ( Q  .<_  z  /\  (
z  e.  N  /\  r  e.  A )  /\  ( -.  r  .<_  z  /\  X  =  ( z  .\/  r ) ) )  /\  (
s  e.  A  /\  ( Q  =/=  s  /\  z  =  ( Q  .\/  s ) ) ) )  ->  X  =  ( z  .\/  r ) )
3625oveq1d 6096 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Q  e.  A )  /\  Q  .<_  X )  /\  ( Q  .<_  z  /\  (
z  e.  N  /\  r  e.  A )  /\  ( -.  r  .<_  z  /\  X  =  ( z  .\/  r ) ) )  /\  (
s  e.  A  /\  ( Q  =/=  s  /\  z  =  ( Q  .\/  s ) ) ) )  ->  (
z  .\/  r )  =  ( ( Q 
.\/  s )  .\/  r ) )
37 hllat 30161 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
3820, 37syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Q  e.  A )  /\  Q  .<_  X )  /\  ( Q  .<_  z  /\  (
z  e.  N  /\  r  e.  A )  /\  ( -.  r  .<_  z  /\  X  =  ( z  .\/  r ) ) )  /\  (
s  e.  A  /\  ( Q  =/=  s  /\  z  =  ( Q  .\/  s ) ) ) )  ->  K  e.  Lat )
393, 9atbase 30087 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Q  e.  A  ->  Q  e.  ( Base `  K
) )
4023, 39syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Q  e.  A )  /\  Q  .<_  X )  /\  ( Q  .<_  z  /\  (
z  e.  N  /\  r  e.  A )  /\  ( -.  r  .<_  z  /\  X  =  ( z  .\/  r ) ) )  /\  (
s  e.  A  /\  ( Q  =/=  s  /\  z  =  ( Q  .\/  s ) ) ) )  ->  Q  e.  ( Base `  K
) )
413, 9atbase 30087 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( s  e.  A  ->  s  e.  ( Base `  K
) )
4222, 41syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Q  e.  A )  /\  Q  .<_  X )  /\  ( Q  .<_  z  /\  (
z  e.  N  /\  r  e.  A )  /\  ( -.  r  .<_  z  /\  X  =  ( z  .\/  r ) ) )  /\  (
s  e.  A  /\  ( Q  =/=  s  /\  z  =  ( Q  .\/  s ) ) ) )  ->  s  e.  ( Base `  K
) )
433, 9atbase 30087 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( r  e.  A  ->  r  e.  ( Base `  K
) )
4421, 43syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Q  e.  A )  /\  Q  .<_  X )  /\  ( Q  .<_  z  /\  (
z  e.  N  /\  r  e.  A )  /\  ( -.  r  .<_  z  /\  X  =  ( z  .\/  r ) ) )  /\  (
s  e.  A  /\  ( Q  =/=  s  /\  z  =  ( Q  .\/  s ) ) ) )  ->  r  e.  ( Base `  K
) )
453, 8latj31 14528 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( Q  e.  ( Base `  K )  /\  s  e.  ( Base `  K )  /\  r  e.  ( Base `  K
) ) )  -> 
( ( Q  .\/  s )  .\/  r
)  =  ( ( r  .\/  s ) 
.\/  Q ) )
4638, 40, 42, 44, 45syl13anc 1186 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Q  e.  A )  /\  Q  .<_  X )  /\  ( Q  .<_  z  /\  (
z  e.  N  /\  r  e.  A )  /\  ( -.  r  .<_  z  /\  X  =  ( z  .\/  r ) ) )  /\  (
s  e.  A  /\  ( Q  =/=  s  /\  z  =  ( Q  .\/  s ) ) ) )  ->  (
( Q  .\/  s
)  .\/  r )  =  ( ( r 
.\/  s )  .\/  Q ) )
4735, 36, 463eqtrd 2472 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Q  e.  A )  /\  Q  .<_  X )  /\  ( Q  .<_  z  /\  (
z  e.  N  /\  r  e.  A )  /\  ( -.  r  .<_  z  /\  X  =  ( z  .\/  r ) ) )  /\  (
s  e.  A  /\  ( Q  =/=  s  /\  z  =  ( Q  .\/  s ) ) ) )  ->  X  =  ( ( r 
.\/  s )  .\/  Q ) )
48 breq2 4216 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  ( r  .\/  s )  ->  ( Q  .<_  y  <->  Q  .<_  ( r  .\/  s ) ) )
4948notbid 286 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  ( r  .\/  s )  ->  ( -.  Q  .<_  y  <->  -.  Q  .<_  ( r  .\/  s
) ) )
50 oveq1 6088 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  ( r  .\/  s )  ->  (
y  .\/  Q )  =  ( ( r 
.\/  s )  .\/  Q ) )
5150eqeq2d 2447 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  ( r  .\/  s )  ->  ( X  =  ( y  .\/  Q )  <->  X  =  ( ( r  .\/  s )  .\/  Q
) ) )
5249, 51anbi12d 692 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  ( r  .\/  s )  ->  (
( -.  Q  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  Q ) )  <->  ( -.  Q  .<_  ( r  .\/  s
)  /\  X  =  ( ( r  .\/  s )  .\/  Q
) ) ) )
5352rspcev 3052 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( r  .\/  s
)  e.  N  /\  ( -.  Q  .<_  ( r  .\/  s )  /\  X  =  ( ( r  .\/  s
)  .\/  Q )
) )  ->  E. y  e.  N  ( -.  Q  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  Q ) ) )
5431, 34, 47, 53syl12anc 1182 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Q  e.  A )  /\  Q  .<_  X )  /\  ( Q  .<_  z  /\  (
z  e.  N  /\  r  e.  A )  /\  ( -.  r  .<_  z  /\  X  =  ( z  .\/  r ) ) )  /\  (
s  e.  A  /\  ( Q  =/=  s  /\  z  =  ( Q  .\/  s ) ) ) )  ->  E. y  e.  N  ( -.  Q  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  Q ) ) )
55543expia 1155 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Q  e.  A )  /\  Q  .<_  X )  /\  ( Q  .<_  z  /\  (
z  e.  N  /\  r  e.  A )  /\  ( -.  r  .<_  z  /\  X  =  ( z  .\/  r ) ) ) )  -> 
( ( s  e.  A  /\  ( Q  =/=  s  /\  z  =  ( Q  .\/  s ) ) )  ->  E. y  e.  N  ( -.  Q  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  Q ) ) ) )
5655exp3a 426 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Q  e.  A )  /\  Q  .<_  X )  /\  ( Q  .<_  z  /\  (
z  e.  N  /\  r  e.  A )  /\  ( -.  r  .<_  z  /\  X  =  ( z  .\/  r ) ) ) )  -> 
( s  e.  A  ->  ( ( Q  =/=  s  /\  z  =  ( Q  .\/  s
) )  ->  E. y  e.  N  ( -.  Q  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  Q ) ) ) ) )
5756rexlimdv 2829 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Q  e.  A )  /\  Q  .<_  X )  /\  ( Q  .<_  z  /\  (
z  e.  N  /\  r  e.  A )  /\  ( -.  r  .<_  z  /\  X  =  ( z  .\/  r ) ) ) )  -> 
( E. s  e.  A  ( Q  =/=  s  /\  z  =  ( Q  .\/  s
) )  ->  E. y  e.  N  ( -.  Q  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  Q ) ) ) )
5819, 57mpd 15 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Q  e.  A )  /\  Q  .<_  X )  /\  ( Q  .<_  z  /\  (
z  e.  N  /\  r  e.  A )  /\  ( -.  r  .<_  z  /\  X  =  ( z  .\/  r ) ) ) )  ->  E. y  e.  N  ( -.  Q  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  Q ) ) )
59583exp2 1171 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Q  e.  A )  /\  Q  .<_  X )  ->  ( Q  .<_  z  ->  ( ( z  e.  N  /\  r  e.  A )  ->  (
( -.  r  .<_  z  /\  X  =  ( z  .\/  r ) )  ->  E. y  e.  N  ( -.  Q  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  Q ) ) ) ) ) )
60 simpr2l 1016 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Q  e.  A )  /\  Q  .<_  X )  /\  ( -.  Q  .<_  z  /\  ( z  e.  N  /\  r  e.  A
)  /\  ( -.  r  .<_  z  /\  X  =  ( z  .\/  r ) ) ) )  ->  z  e.  N )
61 simpr1 963 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Q  e.  A )  /\  Q  .<_  X )  /\  ( -.  Q  .<_  z  /\  ( z  e.  N  /\  r  e.  A
)  /\  ( -.  r  .<_  z  /\  X  =  ( z  .\/  r ) ) ) )  ->  -.  Q  .<_  z )
62 simpll1 996 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Q  e.  A )  /\  Q  .<_  X )  /\  ( -.  Q  .<_  z  /\  ( z  e.  N  /\  r  e.  A
)  /\  ( -.  r  .<_  z  /\  X  =  ( z  .\/  r ) ) ) )  ->  K  e.  HL )
6362, 37syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Q  e.  A )  /\  Q  .<_  X )  /\  ( -.  Q  .<_  z  /\  ( z  e.  N  /\  r  e.  A
)  /\  ( -.  r  .<_  z  /\  X  =  ( z  .\/  r ) ) ) )  ->  K  e.  Lat )
643, 10llnbase 30306 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  N  ->  z  e.  ( Base `  K
) )
6560, 64syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Q  e.  A )  /\  Q  .<_  X )  /\  ( -.  Q  .<_  z  /\  ( z  e.  N  /\  r  e.  A
)  /\  ( -.  r  .<_  z  /\  X  =  ( z  .\/  r ) ) ) )  ->  z  e.  ( Base `  K )
)
66 simpr2r 1017 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Q  e.  A )  /\  Q  .<_  X )  /\  ( -.  Q  .<_  z  /\  ( z  e.  N  /\  r  e.  A
)  /\  ( -.  r  .<_  z  /\  X  =  ( z  .\/  r ) ) ) )  ->  r  e.  A )
6766, 43syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Q  e.  A )  /\  Q  .<_  X )  /\  ( -.  Q  .<_  z  /\  ( z  e.  N  /\  r  e.  A
)  /\  ( -.  r  .<_  z  /\  X  =  ( z  .\/  r ) ) ) )  ->  r  e.  ( Base `  K )
)
683, 7, 8latlej1 14489 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  z  e.  ( Base `  K )  /\  r  e.  ( Base `  K
) )  ->  z  .<_  ( z  .\/  r
) )
6963, 65, 67, 68syl3anc 1184 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Q  e.  A )  /\  Q  .<_  X )  /\  ( -.  Q  .<_  z  /\  ( z  e.  N  /\  r  e.  A
)  /\  ( -.  r  .<_  z  /\  X  =  ( z  .\/  r ) ) ) )  ->  z  .<_  ( z  .\/  r ) )
70 simpr3r 1019 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Q  e.  A )  /\  Q  .<_  X )  /\  ( -.  Q  .<_  z  /\  ( z  e.  N  /\  r  e.  A
)  /\  ( -.  r  .<_  z  /\  X  =  ( z  .\/  r ) ) ) )  ->  X  =  ( z  .\/  r
) )
7169, 70breqtrrd 4238 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Q  e.  A )  /\  Q  .<_  X )  /\  ( -.  Q  .<_  z  /\  ( z  e.  N  /\  r  e.  A
)  /\  ( -.  r  .<_  z  /\  X  =  ( z  .\/  r ) ) ) )  ->  z  .<_  X )
72 simplr 732 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Q  e.  A )  /\  Q  .<_  X )  /\  ( -.  Q  .<_  z  /\  ( z  e.  N  /\  r  e.  A
)  /\  ( -.  r  .<_  z  /\  X  =  ( z  .\/  r ) ) ) )  ->  Q  .<_  X )
73 simpll3 998 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Q  e.  A )  /\  Q  .<_  X )  /\  ( -.  Q  .<_  z  /\  ( z  e.  N  /\  r  e.  A
)  /\  ( -.  r  .<_  z  /\  X  =  ( z  .\/  r ) ) ) )  ->  Q  e.  A )
7473, 39syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Q  e.  A )  /\  Q  .<_  X )  /\  ( -.  Q  .<_  z  /\  ( z  e.  N  /\  r  e.  A
)  /\  ( -.  r  .<_  z  /\  X  =  ( z  .\/  r ) ) ) )  ->  Q  e.  ( Base `  K )
)
75 simpll2 997 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Q  e.  A )  /\  Q  .<_  X )  /\  ( -.  Q  .<_  z  /\  ( z  e.  N  /\  r  e.  A
)  /\  ( -.  r  .<_  z  /\  X  =  ( z  .\/  r ) ) ) )  ->  X  e.  P )
7675, 5syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Q  e.  A )  /\  Q  .<_  X )  /\  ( -.  Q  .<_  z  /\  ( z  e.  N  /\  r  e.  A
)  /\  ( -.  r  .<_  z  /\  X  =  ( z  .\/  r ) ) ) )  ->  X  e.  ( Base `  K )
)
773, 7, 8latjle12 14491 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( z  e.  (
Base `  K )  /\  Q  e.  ( Base `  K )  /\  X  e.  ( Base `  K ) ) )  ->  ( ( z 
.<_  X  /\  Q  .<_  X )  <->  ( z  .\/  Q )  .<_  X )
)
7863, 65, 74, 76, 77syl13anc 1186 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Q  e.  A )  /\  Q  .<_  X )  /\  ( -.  Q  .<_  z  /\  ( z  e.  N  /\  r  e.  A
)  /\  ( -.  r  .<_  z  /\  X  =  ( z  .\/  r ) ) ) )  ->  ( (
z  .<_  X  /\  Q  .<_  X )  <->  ( z  .\/  Q )  .<_  X ) )
7971, 72, 78mpbi2and 888 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Q  e.  A )  /\  Q  .<_  X )  /\  ( -.  Q  .<_  z  /\  ( z  e.  N  /\  r  e.  A
)  /\  ( -.  r  .<_  z  /\  X  =  ( z  .\/  r ) ) ) )  ->  ( z  .\/  Q )  .<_  X )
803, 8latjcl 14479 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  z  e.  ( Base `  K )  /\  Q  e.  ( Base `  K
) )  ->  (
z  .\/  Q )  e.  ( Base `  K
) )
8163, 65, 74, 80syl3anc 1184 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Q  e.  A )  /\  Q  .<_  X )  /\  ( -.  Q  .<_  z  /\  ( z  e.  N  /\  r  e.  A
)  /\  ( -.  r  .<_  z  /\  X  =  ( z  .\/  r ) ) ) )  ->  ( z  .\/  Q )  e.  (
Base `  K )
)
82 eqid 2436 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (  <o  `  K )  =  ( 
<o  `  K )
833, 7, 8, 82, 9cvr1 30207 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  HL  /\  z  e.  ( Base `  K )  /\  Q  e.  A )  ->  ( -.  Q  .<_  z  <->  z (  <o  `  K ) ( z  .\/  Q ) ) )
8462, 65, 73, 83syl3anc 1184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Q  e.  A )  /\  Q  .<_  X )  /\  ( -.  Q  .<_  z  /\  ( z  e.  N  /\  r  e.  A
)  /\  ( -.  r  .<_  z  /\  X  =  ( z  .\/  r ) ) ) )  ->  ( -.  Q  .<_  z  <->  z (  <o  `  K ) ( z  .\/  Q ) ) )
8561, 84mpbid 202 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Q  e.  A )  /\  Q  .<_  X )  /\  ( -.  Q  .<_  z  /\  ( z  e.  N  /\  r  e.  A
)  /\  ( -.  r  .<_  z  /\  X  =  ( z  .\/  r ) ) ) )  ->  z (  <o  `  K ) ( z  .\/  Q ) )
863, 82, 10, 4lplni 30329 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( z  .\/  Q
)  e.  ( Base `  K )  /\  z  e.  N )  /\  z
(  <o  `  K )
( z  .\/  Q
) )  ->  (
z  .\/  Q )  e.  P )
8762, 81, 60, 85, 86syl31anc 1187 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Q  e.  A )  /\  Q  .<_  X )  /\  ( -.  Q  .<_  z  /\  ( z  e.  N  /\  r  e.  A
)  /\  ( -.  r  .<_  z  /\  X  =  ( z  .\/  r ) ) ) )  ->  ( z  .\/  Q )  e.  P
)
887, 4lplncmp 30359 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( z  .\/  Q
)  e.  P  /\  X  e.  P )  ->  ( ( z  .\/  Q )  .<_  X  <->  ( z  .\/  Q )  =  X ) )
8962, 87, 75, 88syl3anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Q  e.  A )  /\  Q  .<_  X )  /\  ( -.  Q  .<_  z  /\  ( z  e.  N  /\  r  e.  A
)  /\  ( -.  r  .<_  z  /\  X  =  ( z  .\/  r ) ) ) )  ->  ( (
z  .\/  Q )  .<_  X  <->  ( z  .\/  Q )  =  X ) )
9079, 89mpbid 202 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Q  e.  A )  /\  Q  .<_  X )  /\  ( -.  Q  .<_  z  /\  ( z  e.  N  /\  r  e.  A
)  /\  ( -.  r  .<_  z  /\  X  =  ( z  .\/  r ) ) ) )  ->  ( z  .\/  Q )  =  X )
9190eqcomd 2441 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Q  e.  A )  /\  Q  .<_  X )  /\  ( -.  Q  .<_  z  /\  ( z  e.  N  /\  r  e.  A
)  /\  ( -.  r  .<_  z  /\  X  =  ( z  .\/  r ) ) ) )  ->  X  =  ( z  .\/  Q
) )
92 breq2 4216 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  z  ->  ( Q  .<_  y  <->  Q  .<_  z ) )
9392notbid 286 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  z  ->  ( -.  Q  .<_  y  <->  -.  Q  .<_  z ) )
94 oveq1 6088 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  z  ->  (
y  .\/  Q )  =  ( z  .\/  Q ) )
9594eqeq2d 2447 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  z  ->  ( X  =  ( y  .\/  Q )  <->  X  =  ( z  .\/  Q
) ) )
9693, 95anbi12d 692 . . . . . . 7  |-  ( y  =  z  ->  (
( -.  Q  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  Q ) )  <->  ( -.  Q  .<_  z  /\  X  =  ( z  .\/  Q
) ) ) )
9796rspcev 3052 . . . . . 6  |-  ( ( z  e.  N  /\  ( -.  Q  .<_  z  /\  X  =  ( z  .\/  Q ) ) )  ->  E. y  e.  N  ( -.  Q  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  Q ) ) )
9860, 61, 91, 97syl12anc 1182 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Q  e.  A )  /\  Q  .<_  X )  /\  ( -.  Q  .<_  z  /\  ( z  e.  N  /\  r  e.  A
)  /\  ( -.  r  .<_  z  /\  X  =  ( z  .\/  r ) ) ) )  ->  E. y  e.  N  ( -.  Q  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  Q ) ) )
99983exp2 1171 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Q  e.  A )  /\  Q  .<_  X )  ->  ( -.  Q  .<_  z  ->  ( (
z  e.  N  /\  r  e.  A )  ->  ( ( -.  r  .<_  z  /\  X  =  ( z  .\/  r
) )  ->  E. y  e.  N  ( -.  Q  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  Q ) ) ) ) ) )
10059, 99pm2.61d 152 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Q  e.  A )  /\  Q  .<_  X )  ->  ( ( z  e.  N  /\  r  e.  A )  ->  (
( -.  r  .<_  z  /\  X  =  ( z  .\/  r ) )  ->  E. y  e.  N  ( -.  Q  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  Q ) ) ) ) )
101100rexlimdvv 2836 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Q  e.  A )  /\  Q  .<_  X )  ->  ( E. z  e.  N  E. r  e.  A  ( -.  r  .<_  z  /\  X  =  ( z  .\/  r ) )  ->  E. y  e.  N  ( -.  Q  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  Q ) ) ) )
10213, 101mpd 15 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Q  e.  A )  /\  Q  .<_  X )  ->  E. y  e.  N  ( -.  Q  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  Q ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2599   E.wrex 2706   class class class wbr 4212   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   Basecbs 13469   lecple 13536   joincjn 14401   Latclat 14474    <o ccvr 30060   Atomscatm 30061   HLchlt 30148   LLinesclln 30288   LPlanesclpl 30289
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-undef 6543  df-riota 6549  df-poset 14403  df-plt 14415  df-lub 14431  df-glb 14432  df-join 14433  df-meet 14434  df-p0 14468  df-lat 14475  df-clat 14537  df-oposet 29974  df-ol 29976  df-oml 29977  df-covers 30064  df-ats 30065  df-atl 30096  df-cvlat 30120  df-hlat 30149  df-llines 30295  df-lplanes 30296
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