Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lplnle Structured version   Unicode version

Theorem lplnle 30337
 Description: Any element greater than 0 and not an atom and not a lattice line majorizes a lattice plane. (Contributed by NM, 28-Jun-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
lplnle.b
lplnle.l
lplnle.z
lplnle.a
lplnle.n
lplnle.p
Assertion
Ref Expression
lplnle
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()   ()   ()

Proof of Theorem lplnle
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lplnle.b . . . 4
2 lplnle.l . . . 4
3 lplnle.z . . . 4
4 lplnle.a . . . 4
5 lplnle.n . . . 4
61, 2, 3, 4, 5llnle 30315 . . 3
763adantr3 1118 . 2
8 simp1ll 1020 . . . . . 6
91, 5llnbase 30306 . . . . . . 7
1093ad2ant2 979 . . . . . 6
11 simp1lr 1021 . . . . . 6
12 simp3 959 . . . . . . 7
13 simp2 958 . . . . . . . 8
14 simp1r3 1055 . . . . . . . 8
15 nelne2 2694 . . . . . . . 8
1613, 14, 15syl2anc 643 . . . . . . 7
17 eqid 2436 . . . . . . . . 9
182, 17pltval 14417 . . . . . . . 8
198, 13, 11, 18syl3anc 1184 . . . . . . 7
2012, 16, 19mpbir2and 889 . . . . . 6
21 eqid 2436 . . . . . . 7
22 eqid 2436 . . . . . . 7
231, 2, 17, 21, 22, 4hlrelat3 30209 . . . . . 6
248, 10, 11, 20, 23syl31anc 1187 . . . . 5
25 simp1ll 1020 . . . . . . . . . . 11
26 hllat 30161 . . . . . . . . . . . . 13
2725, 26syl 16 . . . . . . . . . . . 12
28 simp21 990 . . . . . . . . . . . . 13
2928, 9syl 16 . . . . . . . . . . . 12
30 simp23 992 . . . . . . . . . . . . 13
311, 4atbase 30087 . . . . . . . . . . . . 13
3230, 31syl 16 . . . . . . . . . . . 12
331, 21latjcl 14479 . . . . . . . . . . . 12
3427, 29, 32, 33syl3anc 1184 . . . . . . . . . . 11
35 simp3l 985 . . . . . . . . . . 11
36 lplnle.p . . . . . . . . . . . 12
371, 22, 5, 36lplni 30329 . . . . . . . . . . 11
3825, 34, 28, 35, 37syl31anc 1187 . . . . . . . . . 10
39 simp3r 986 . . . . . . . . . 10
40 breq1 4215 . . . . . . . . . . 11
4140rspcev 3052 . . . . . . . . . 10
4238, 39, 41syl2anc 643 . . . . . . . . 9
43423exp 1152 . . . . . . . 8
44433expd 1170 . . . . . . 7
45443imp 1147 . . . . . 6
4645rexlimdv 2829 . . . . 5
4724, 46mpd 15 . . . 4
48473exp 1152 . . 3
4948rexlimdv 2829 . 2
507, 49mpd 15 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 177   wa 359   w3a 936   wceq 1652   wcel 1725   wne 2599  wrex 2706   class class class wbr 4212  cfv 5454  (class class class)co 6081  cbs 13469  cple 13536  cplt 14398  cjn 14401  cp0 14466  clat 14474   ccvr 30060  catm 30061  chlt 30148  clln 30288  clpl 30289 This theorem is referenced by:  lplncvrlvol  30413 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-undef 6543  df-riota 6549  df-poset 14403  df-plt 14415  df-lub 14431  df-glb 14432  df-join 14433  df-meet 14434  df-p0 14468  df-lat 14475  df-clat 14537  df-oposet 29974  df-ol 29976  df-oml 29977  df-covers 30064  df-ats 30065  df-atl 30096  df-cvlat 30120  df-hlat 30149  df-llines 30295  df-lplanes 30296
 Copyright terms: Public domain W3C validator