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Theorem lplnnle2at 29789
Description: A lattice line (or atom) cannot majorize a lattice plane. (Contributed by NM, 8-Jul-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
lplnnle2at.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
lplnnle2at.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
lplnnle2at.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
lplnnle2at.p  |-  P  =  ( LPlanes `  K )
Assertion
Ref Expression
lplnnle2at  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  P  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
) )  ->  -.  X  .<_  ( Q  .\/  R ) )

Proof of Theorem lplnnle2at
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr1 962 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  P  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
) )  ->  X  e.  P )
2 eqid 2366 . . . . . 6  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
3 eqid 2366 . . . . . 6  |-  (  <o  `  K )  =  ( 
<o  `  K )
4 eqid 2366 . . . . . 6  |-  ( LLines `  K )  =  (
LLines `  K )
5 lplnnle2at.p . . . . . 6  |-  P  =  ( LPlanes `  K )
62, 3, 4, 5islpln 29778 . . . . 5  |-  ( K  e.  HL  ->  ( X  e.  P  <->  ( X  e.  ( Base `  K
)  /\  E. y  e.  ( LLines `  K )
y (  <o  `  K
) X ) ) )
76adantr 451 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  P  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
) )  ->  ( X  e.  P  <->  ( X  e.  ( Base `  K
)  /\  E. y  e.  ( LLines `  K )
y (  <o  `  K
) X ) ) )
81, 7mpbid 201 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  P  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
) )  ->  ( X  e.  ( Base `  K )  /\  E. y  e.  ( LLines `  K ) y ( 
<o  `  K ) X ) )
98simprd 449 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  P  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
) )  ->  E. y  e.  ( LLines `  K )
y (  <o  `  K
) X )
10 oveq1 5988 . . . . . . . . 9  |-  ( Q  =  R  ->  ( Q  .\/  R )  =  ( R  .\/  R
) )
1110breq2d 4137 . . . . . . . 8  |-  ( Q  =  R  ->  ( X  .<_  ( Q  .\/  R )  <->  X  .<_  ( R 
.\/  R ) ) )
1211notbid 285 . . . . . . 7  |-  ( Q  =  R  ->  ( -.  X  .<_  ( Q 
.\/  R )  <->  -.  X  .<_  ( R  .\/  R
) ) )
13 simpl1 959 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  P  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( y  e.  ( LLines `  K )  /\  y (  <o  `  K
) X ) )  /\  Q  =/=  R
)  ->  K  e.  HL )
14 simpl3l 1011 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  P  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( y  e.  ( LLines `  K )  /\  y (  <o  `  K
) X ) )  /\  Q  =/=  R
)  ->  y  e.  ( LLines `  K )
)
15 simpl22 1035 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  P  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( y  e.  ( LLines `  K )  /\  y (  <o  `  K
) X ) )  /\  Q  =/=  R
)  ->  Q  e.  A )
16 simpl23 1036 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  P  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( y  e.  ( LLines `  K )  /\  y (  <o  `  K
) X ) )  /\  Q  =/=  R
)  ->  R  e.  A )
17 simpr 447 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  P  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( y  e.  ( LLines `  K )  /\  y (  <o  `  K
) X ) )  /\  Q  =/=  R
)  ->  Q  =/=  R )
18 lplnnle2at.j . . . . . . . . . . 11  |-  .\/  =  ( join `  K )
19 lplnnle2at.a . . . . . . . . . . 11  |-  A  =  ( Atoms `  K )
2018, 19, 4llni2 29760 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  /\  Q  =/=  R
)  ->  ( Q  .\/  R )  e.  (
LLines `  K ) )
2113, 15, 16, 17, 20syl31anc 1186 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  P  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( y  e.  ( LLines `  K )  /\  y (  <o  `  K
) X ) )  /\  Q  =/=  R
)  ->  ( Q  .\/  R )  e.  (
LLines `  K ) )
22 eqid 2366 . . . . . . . . . 10  |-  ( lt
`  K )  =  ( lt `  K
)
2322, 4llnnlt 29771 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  HL  /\  y  e.  ( LLines `  K )  /\  ( Q  .\/  R )  e.  ( LLines `  K )
)  ->  -.  y
( lt `  K
) ( Q  .\/  R ) )
2413, 14, 21, 23syl3anc 1183 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  P  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( y  e.  ( LLines `  K )  /\  y (  <o  `  K
) X ) )  /\  Q  =/=  R
)  ->  -.  y
( lt `  K
) ( Q  .\/  R ) )
252, 4llnbase 29757 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ( LLines `  K
)  ->  y  e.  ( Base `  K )
)
2614, 25syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  P  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( y  e.  ( LLines `  K )  /\  y (  <o  `  K
) X ) )  /\  Q  =/=  R
)  ->  y  e.  ( Base `  K )
)
27 simpl21 1034 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  P  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( y  e.  ( LLines `  K )  /\  y (  <o  `  K
) X ) )  /\  Q  =/=  R
)  ->  X  e.  P )
282, 5lplnbase 29782 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X  e.  P  ->  X  e.  ( Base `  K
) )
2927, 28syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  P  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( y  e.  ( LLines `  K )  /\  y (  <o  `  K
) X ) )  /\  Q  =/=  R
)  ->  X  e.  ( Base `  K )
)
30 simpl3r 1012 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  P  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( y  e.  ( LLines `  K )  /\  y (  <o  `  K
) X ) )  /\  Q  =/=  R
)  ->  y (  <o  `  K ) X )
312, 22, 3cvrlt 29519 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  y  e.  ( Base `  K )  /\  X  e.  ( Base `  K
) )  /\  y
(  <o  `  K ) X )  ->  y
( lt `  K
) X )
3213, 26, 29, 30, 31syl31anc 1186 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  P  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( y  e.  ( LLines `  K )  /\  y (  <o  `  K
) X ) )  /\  Q  =/=  R
)  ->  y ( lt `  K ) X )
33 hlpos 29614 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Poset )
3413, 33syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  P  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( y  e.  ( LLines `  K )  /\  y (  <o  `  K
) X ) )  /\  Q  =/=  R
)  ->  K  e.  Poset
)
352, 18, 19hlatjcl 29615 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  ->  ( Q  .\/  R
)  e.  ( Base `  K ) )
3613, 15, 16, 35syl3anc 1183 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  P  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( y  e.  ( LLines `  K )  /\  y (  <o  `  K
) X ) )  /\  Q  =/=  R
)  ->  ( Q  .\/  R )  e.  (
Base `  K )
)
37 lplnnle2at.l . . . . . . . . . . 11  |-  .<_  =  ( le `  K )
382, 37, 22pltletr 14315 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  (
y  e.  ( Base `  K )  /\  X  e.  ( Base `  K
)  /\  ( Q  .\/  R )  e.  (
Base `  K )
) )  ->  (
( y ( lt
`  K ) X  /\  X  .<_  ( Q 
.\/  R ) )  ->  y ( lt
`  K ) ( Q  .\/  R ) ) )
3934, 26, 29, 36, 38syl13anc 1185 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  P  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( y  e.  ( LLines `  K )  /\  y (  <o  `  K
) X ) )  /\  Q  =/=  R
)  ->  ( (
y ( lt `  K ) X  /\  X  .<_  ( Q  .\/  R ) )  ->  y
( lt `  K
) ( Q  .\/  R ) ) )
4032, 39mpand 656 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  P  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( y  e.  ( LLines `  K )  /\  y (  <o  `  K
) X ) )  /\  Q  =/=  R
)  ->  ( X  .<_  ( Q  .\/  R
)  ->  y ( lt `  K ) ( Q  .\/  R ) ) )
4124, 40mtod 168 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  P  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( y  e.  ( LLines `  K )  /\  y (  <o  `  K
) X ) )  /\  Q  =/=  R
)  ->  -.  X  .<_  ( Q  .\/  R
) )
42 simp1 956 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  P  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( y  e.  ( LLines `  K )  /\  y (  <o  `  K
) X ) )  ->  K  e.  HL )
43 simp3l 984 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  P  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( y  e.  ( LLines `  K )  /\  y (  <o  `  K
) X ) )  ->  y  e.  (
LLines `  K ) )
44 simp23 991 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  P  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( y  e.  ( LLines `  K )  /\  y (  <o  `  K
) X ) )  ->  R  e.  A
)
4537, 19, 4llnnleat 29761 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  HL  /\  y  e.  ( LLines `  K )  /\  R  e.  A )  ->  -.  y  .<_  R )
4642, 43, 44, 45syl3anc 1183 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  P  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( y  e.  ( LLines `  K )  /\  y (  <o  `  K
) X ) )  ->  -.  y  .<_  R )
4743, 25syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  P  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( y  e.  ( LLines `  K )  /\  y (  <o  `  K
) X ) )  ->  y  e.  (
Base `  K )
)
48 simp21 989 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  P  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( y  e.  ( LLines `  K )  /\  y (  <o  `  K
) X ) )  ->  X  e.  P
)
4948, 28syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  P  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( y  e.  ( LLines `  K )  /\  y (  <o  `  K
) X ) )  ->  X  e.  (
Base `  K )
)
50 simp3r 985 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  P  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( y  e.  ( LLines `  K )  /\  y (  <o  `  K
) X ) )  ->  y (  <o  `  K ) X )
5142, 47, 49, 50, 31syl31anc 1186 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  P  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( y  e.  ( LLines `  K )  /\  y (  <o  `  K
) X ) )  ->  y ( lt
`  K ) X )
52333ad2ant1 977 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  P  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( y  e.  ( LLines `  K )  /\  y (  <o  `  K
) X ) )  ->  K  e.  Poset )
532, 19atbase 29538 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( R  e.  A  ->  R  e.  ( Base `  K
) )
5444, 53syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  P  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( y  e.  ( LLines `  K )  /\  y (  <o  `  K
) X ) )  ->  R  e.  (
Base `  K )
)
552, 37, 22pltletr 14315 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  (
y  e.  ( Base `  K )  /\  X  e.  ( Base `  K
)  /\  R  e.  ( Base `  K )
) )  ->  (
( y ( lt
`  K ) X  /\  X  .<_  R )  ->  y ( lt
`  K ) R ) )
5652, 47, 49, 54, 55syl13anc 1185 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  P  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( y  e.  ( LLines `  K )  /\  y (  <o  `  K
) X ) )  ->  ( ( y ( lt `  K
) X  /\  X  .<_  R )  ->  y
( lt `  K
) R ) )
5751, 56mpand 656 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  P  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( y  e.  ( LLines `  K )  /\  y (  <o  `  K
) X ) )  ->  ( X  .<_  R  ->  y ( lt
`  K ) R ) )
5837, 22pltle 14305 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  HL  /\  y  e.  ( LLines `  K )  /\  R  e.  A )  ->  (
y ( lt `  K ) R  -> 
y  .<_  R ) )
5942, 43, 44, 58syl3anc 1183 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  P  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( y  e.  ( LLines `  K )  /\  y (  <o  `  K
) X ) )  ->  ( y ( lt `  K ) R  ->  y  .<_  R ) )
6057, 59syld 40 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  P  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( y  e.  ( LLines `  K )  /\  y (  <o  `  K
) X ) )  ->  ( X  .<_  R  ->  y  .<_  R ) )
6146, 60mtod 168 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  P  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( y  e.  ( LLines `  K )  /\  y (  <o  `  K
) X ) )  ->  -.  X  .<_  R )
6218, 19hlatjidm 29617 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  HL  /\  R  e.  A )  ->  ( R  .\/  R
)  =  R )
6342, 44, 62syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  P  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( y  e.  ( LLines `  K )  /\  y (  <o  `  K
) X ) )  ->  ( R  .\/  R )  =  R )
6463breq2d 4137 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  P  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( y  e.  ( LLines `  K )  /\  y (  <o  `  K
) X ) )  ->  ( X  .<_  ( R  .\/  R )  <-> 
X  .<_  R ) )
6561, 64mtbird 292 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  P  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( y  e.  ( LLines `  K )  /\  y (  <o  `  K
) X ) )  ->  -.  X  .<_  ( R  .\/  R ) )
6612, 41, 65pm2.61ne 2604 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  P  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( y  e.  ( LLines `  K )  /\  y (  <o  `  K
) X ) )  ->  -.  X  .<_  ( Q  .\/  R ) )
67663exp 1151 . . . . 5  |-  ( K  e.  HL  ->  (
( X  e.  P  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  ->  ( (
y  e.  ( LLines `  K )  /\  y
(  <o  `  K ) X )  ->  -.  X  .<_  ( Q  .\/  R ) ) ) )
6867exp4a 589 . . . 4  |-  ( K  e.  HL  ->  (
( X  e.  P  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  ->  ( y  e.  ( LLines `  K )  ->  ( y (  <o  `  K ) X  ->  -.  X  .<_  ( Q 
.\/  R ) ) ) ) )
6968imp 418 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  P  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
) )  ->  (
y  e.  ( LLines `  K )  ->  (
y (  <o  `  K
) X  ->  -.  X  .<_  ( Q  .\/  R ) ) ) )
7069rexlimdv 2751 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  P  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
) )  ->  ( E. y  e.  ( LLines `
 K ) y (  <o  `  K ) X  ->  -.  X  .<_  ( Q  .\/  R ) ) )
719, 70mpd 14 1  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  P  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
) )  ->  -.  X  .<_  ( Q  .\/  R ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 935    = wceq 1647    e. wcel 1715    =/= wne 2529   E.wrex 2629   class class class wbr 4125   ` cfv 5358  (class class class)co 5981   Basecbs 13356   lecple 13423   Posetcpo 14284   ltcplt 14285   joincjn 14288    <o ccvr 29511   Atomscatm 29512   HLchlt 29599   LLinesclln 29739   LPlanesclpl 29740
This theorem is referenced by:  lplnnleat  29790  lplnnlelln  29791  2atnelpln  29792  lvolnle3at  29830
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1551  ax-5 1562  ax-17 1621  ax-9 1659  ax-8 1680  ax-13 1717  ax-14 1719  ax-6 1734  ax-7 1739  ax-11 1751  ax-12 1937  ax-ext 2347  ax-rep 4233  ax-sep 4243  ax-nul 4251  ax-pow 4290  ax-pr 4316  ax-un 4615
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 937  df-tru 1324  df-ex 1547  df-nf 1550  df-sb 1654  df-eu 2221  df-mo 2222  df-clab 2353  df-cleq 2359  df-clel 2362  df-nfc 2491  df-ne 2531  df-nel 2532  df-ral 2633  df-rex 2634  df-reu 2635  df-rab 2637  df-v 2875  df-sbc 3078  df-csb 3168  df-dif 3241  df-un 3243  df-in 3245  df-ss 3252  df-nul 3544  df-if 3655  df-pw 3716  df-sn 3735  df-pr 3736  df-op 3738  df-uni 3930  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4180  df-mpt 4181  df-id 4412  df-xp 4798  df-rel 4799  df-cnv 4800  df-co 4801  df-dm 4802  df-rn 4803  df-res 4804  df-ima 4805  df-iota 5322  df-fun 5360  df-fn 5361  df-f 5362  df-f1 5363  df-fo 5364  df-f1o 5365  df-fv 5366  df-ov 5984  df-oprab 5985  df-mpt2 5986  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-undef 6440  df-riota 6446  df-poset 14290  df-plt 14302  df-lub 14318  df-glb 14319  df-join 14320  df-meet 14321  df-p0 14355  df-lat 14362  df-clat 14424  df-oposet 29425  df-ol 29427  df-oml 29428  df-covers 29515  df-ats 29516  df-atl 29547  df-cvlat 29571  df-hlat 29600  df-llines 29746  df-lplanes 29747
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