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Theorem lplnnle2at 30027
Description: A lattice line (or atom) cannot majorize a lattice plane. (Contributed by NM, 8-Jul-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
lplnnle2at.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
lplnnle2at.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
lplnnle2at.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
lplnnle2at.p  |-  P  =  ( LPlanes `  K )
Assertion
Ref Expression
lplnnle2at  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  P  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
) )  ->  -.  X  .<_  ( Q  .\/  R ) )

Proof of Theorem lplnnle2at
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr1 963 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  P  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
) )  ->  X  e.  P )
2 eqid 2408 . . . . . 6  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
3 eqid 2408 . . . . . 6  |-  (  <o  `  K )  =  ( 
<o  `  K )
4 eqid 2408 . . . . . 6  |-  ( LLines `  K )  =  (
LLines `  K )
5 lplnnle2at.p . . . . . 6  |-  P  =  ( LPlanes `  K )
62, 3, 4, 5islpln 30016 . . . . 5  |-  ( K  e.  HL  ->  ( X  e.  P  <->  ( X  e.  ( Base `  K
)  /\  E. y  e.  ( LLines `  K )
y (  <o  `  K
) X ) ) )
76adantr 452 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  P  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
) )  ->  ( X  e.  P  <->  ( X  e.  ( Base `  K
)  /\  E. y  e.  ( LLines `  K )
y (  <o  `  K
) X ) ) )
81, 7mpbid 202 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  P  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
) )  ->  ( X  e.  ( Base `  K )  /\  E. y  e.  ( LLines `  K ) y ( 
<o  `  K ) X ) )
98simprd 450 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  P  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
) )  ->  E. y  e.  ( LLines `  K )
y (  <o  `  K
) X )
10 oveq1 6051 . . . . . . . . 9  |-  ( Q  =  R  ->  ( Q  .\/  R )  =  ( R  .\/  R
) )
1110breq2d 4188 . . . . . . . 8  |-  ( Q  =  R  ->  ( X  .<_  ( Q  .\/  R )  <->  X  .<_  ( R 
.\/  R ) ) )
1211notbid 286 . . . . . . 7  |-  ( Q  =  R  ->  ( -.  X  .<_  ( Q 
.\/  R )  <->  -.  X  .<_  ( R  .\/  R
) ) )
13 simpl1 960 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  P  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( y  e.  ( LLines `  K )  /\  y (  <o  `  K
) X ) )  /\  Q  =/=  R
)  ->  K  e.  HL )
14 simpl3l 1012 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  P  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( y  e.  ( LLines `  K )  /\  y (  <o  `  K
) X ) )  /\  Q  =/=  R
)  ->  y  e.  ( LLines `  K )
)
15 simpl22 1036 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  P  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( y  e.  ( LLines `  K )  /\  y (  <o  `  K
) X ) )  /\  Q  =/=  R
)  ->  Q  e.  A )
16 simpl23 1037 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  P  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( y  e.  ( LLines `  K )  /\  y (  <o  `  K
) X ) )  /\  Q  =/=  R
)  ->  R  e.  A )
17 simpr 448 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  P  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( y  e.  ( LLines `  K )  /\  y (  <o  `  K
) X ) )  /\  Q  =/=  R
)  ->  Q  =/=  R )
18 lplnnle2at.j . . . . . . . . . . 11  |-  .\/  =  ( join `  K )
19 lplnnle2at.a . . . . . . . . . . 11  |-  A  =  ( Atoms `  K )
2018, 19, 4llni2 29998 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  /\  Q  =/=  R
)  ->  ( Q  .\/  R )  e.  (
LLines `  K ) )
2113, 15, 16, 17, 20syl31anc 1187 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  P  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( y  e.  ( LLines `  K )  /\  y (  <o  `  K
) X ) )  /\  Q  =/=  R
)  ->  ( Q  .\/  R )  e.  (
LLines `  K ) )
22 eqid 2408 . . . . . . . . . 10  |-  ( lt
`  K )  =  ( lt `  K
)
2322, 4llnnlt 30009 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  HL  /\  y  e.  ( LLines `  K )  /\  ( Q  .\/  R )  e.  ( LLines `  K )
)  ->  -.  y
( lt `  K
) ( Q  .\/  R ) )
2413, 14, 21, 23syl3anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  P  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( y  e.  ( LLines `  K )  /\  y (  <o  `  K
) X ) )  /\  Q  =/=  R
)  ->  -.  y
( lt `  K
) ( Q  .\/  R ) )
252, 4llnbase 29995 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ( LLines `  K
)  ->  y  e.  ( Base `  K )
)
2614, 25syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  P  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( y  e.  ( LLines `  K )  /\  y (  <o  `  K
) X ) )  /\  Q  =/=  R
)  ->  y  e.  ( Base `  K )
)
27 simpl21 1035 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  P  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( y  e.  ( LLines `  K )  /\  y (  <o  `  K
) X ) )  /\  Q  =/=  R
)  ->  X  e.  P )
282, 5lplnbase 30020 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X  e.  P  ->  X  e.  ( Base `  K
) )
2927, 28syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  P  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( y  e.  ( LLines `  K )  /\  y (  <o  `  K
) X ) )  /\  Q  =/=  R
)  ->  X  e.  ( Base `  K )
)
30 simpl3r 1013 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  P  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( y  e.  ( LLines `  K )  /\  y (  <o  `  K
) X ) )  /\  Q  =/=  R
)  ->  y (  <o  `  K ) X )
312, 22, 3cvrlt 29757 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  y  e.  ( Base `  K )  /\  X  e.  ( Base `  K
) )  /\  y
(  <o  `  K ) X )  ->  y
( lt `  K
) X )
3213, 26, 29, 30, 31syl31anc 1187 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  P  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( y  e.  ( LLines `  K )  /\  y (  <o  `  K
) X ) )  /\  Q  =/=  R
)  ->  y ( lt `  K ) X )
33 hlpos 29852 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Poset )
3413, 33syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  P  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( y  e.  ( LLines `  K )  /\  y (  <o  `  K
) X ) )  /\  Q  =/=  R
)  ->  K  e.  Poset
)
352, 18, 19hlatjcl 29853 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  ->  ( Q  .\/  R
)  e.  ( Base `  K ) )
3613, 15, 16, 35syl3anc 1184 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  P  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( y  e.  ( LLines `  K )  /\  y (  <o  `  K
) X ) )  /\  Q  =/=  R
)  ->  ( Q  .\/  R )  e.  (
Base `  K )
)
37 lplnnle2at.l . . . . . . . . . . 11  |-  .<_  =  ( le `  K )
382, 37, 22pltletr 14387 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  (
y  e.  ( Base `  K )  /\  X  e.  ( Base `  K
)  /\  ( Q  .\/  R )  e.  (
Base `  K )
) )  ->  (
( y ( lt
`  K ) X  /\  X  .<_  ( Q 
.\/  R ) )  ->  y ( lt
`  K ) ( Q  .\/  R ) ) )
3934, 26, 29, 36, 38syl13anc 1186 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  P  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( y  e.  ( LLines `  K )  /\  y (  <o  `  K
) X ) )  /\  Q  =/=  R
)  ->  ( (
y ( lt `  K ) X  /\  X  .<_  ( Q  .\/  R ) )  ->  y
( lt `  K
) ( Q  .\/  R ) ) )
4032, 39mpand 657 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  P  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( y  e.  ( LLines `  K )  /\  y (  <o  `  K
) X ) )  /\  Q  =/=  R
)  ->  ( X  .<_  ( Q  .\/  R
)  ->  y ( lt `  K ) ( Q  .\/  R ) ) )
4124, 40mtod 170 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  P  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( y  e.  ( LLines `  K )  /\  y (  <o  `  K
) X ) )  /\  Q  =/=  R
)  ->  -.  X  .<_  ( Q  .\/  R
) )
42 simp1 957 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  P  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( y  e.  ( LLines `  K )  /\  y (  <o  `  K
) X ) )  ->  K  e.  HL )
43 simp3l 985 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  P  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( y  e.  ( LLines `  K )  /\  y (  <o  `  K
) X ) )  ->  y  e.  (
LLines `  K ) )
44 simp23 992 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  P  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( y  e.  ( LLines `  K )  /\  y (  <o  `  K
) X ) )  ->  R  e.  A
)
4537, 19, 4llnnleat 29999 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  HL  /\  y  e.  ( LLines `  K )  /\  R  e.  A )  ->  -.  y  .<_  R )
4642, 43, 44, 45syl3anc 1184 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  P  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( y  e.  ( LLines `  K )  /\  y (  <o  `  K
) X ) )  ->  -.  y  .<_  R )
4743, 25syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  P  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( y  e.  ( LLines `  K )  /\  y (  <o  `  K
) X ) )  ->  y  e.  (
Base `  K )
)
48 simp21 990 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  P  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( y  e.  ( LLines `  K )  /\  y (  <o  `  K
) X ) )  ->  X  e.  P
)
4948, 28syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  P  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( y  e.  ( LLines `  K )  /\  y (  <o  `  K
) X ) )  ->  X  e.  (
Base `  K )
)
50 simp3r 986 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  P  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( y  e.  ( LLines `  K )  /\  y (  <o  `  K
) X ) )  ->  y (  <o  `  K ) X )
5142, 47, 49, 50, 31syl31anc 1187 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  P  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( y  e.  ( LLines `  K )  /\  y (  <o  `  K
) X ) )  ->  y ( lt
`  K ) X )
52333ad2ant1 978 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  P  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( y  e.  ( LLines `  K )  /\  y (  <o  `  K
) X ) )  ->  K  e.  Poset )
532, 19atbase 29776 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( R  e.  A  ->  R  e.  ( Base `  K
) )
5444, 53syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  P  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( y  e.  ( LLines `  K )  /\  y (  <o  `  K
) X ) )  ->  R  e.  (
Base `  K )
)
552, 37, 22pltletr 14387 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  (
y  e.  ( Base `  K )  /\  X  e.  ( Base `  K
)  /\  R  e.  ( Base `  K )
) )  ->  (
( y ( lt
`  K ) X  /\  X  .<_  R )  ->  y ( lt
`  K ) R ) )
5652, 47, 49, 54, 55syl13anc 1186 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  P  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( y  e.  ( LLines `  K )  /\  y (  <o  `  K
) X ) )  ->  ( ( y ( lt `  K
) X  /\  X  .<_  R )  ->  y
( lt `  K
) R ) )
5751, 56mpand 657 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  P  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( y  e.  ( LLines `  K )  /\  y (  <o  `  K
) X ) )  ->  ( X  .<_  R  ->  y ( lt
`  K ) R ) )
5837, 22pltle 14377 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  HL  /\  y  e.  ( LLines `  K )  /\  R  e.  A )  ->  (
y ( lt `  K ) R  -> 
y  .<_  R ) )
5942, 43, 44, 58syl3anc 1184 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  P  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( y  e.  ( LLines `  K )  /\  y (  <o  `  K
) X ) )  ->  ( y ( lt `  K ) R  ->  y  .<_  R ) )
6057, 59syld 42 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  P  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( y  e.  ( LLines `  K )  /\  y (  <o  `  K
) X ) )  ->  ( X  .<_  R  ->  y  .<_  R ) )
6146, 60mtod 170 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  P  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( y  e.  ( LLines `  K )  /\  y (  <o  `  K
) X ) )  ->  -.  X  .<_  R )
6218, 19hlatjidm 29855 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  HL  /\  R  e.  A )  ->  ( R  .\/  R
)  =  R )
6342, 44, 62syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  P  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( y  e.  ( LLines `  K )  /\  y (  <o  `  K
) X ) )  ->  ( R  .\/  R )  =  R )
6463breq2d 4188 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  P  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( y  e.  ( LLines `  K )  /\  y (  <o  `  K
) X ) )  ->  ( X  .<_  ( R  .\/  R )  <-> 
X  .<_  R ) )
6561, 64mtbird 293 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  P  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( y  e.  ( LLines `  K )  /\  y (  <o  `  K
) X ) )  ->  -.  X  .<_  ( R  .\/  R ) )
6612, 41, 65pm2.61ne 2646 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  P  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( y  e.  ( LLines `  K )  /\  y (  <o  `  K
) X ) )  ->  -.  X  .<_  ( Q  .\/  R ) )
67663exp 1152 . . . . 5  |-  ( K  e.  HL  ->  (
( X  e.  P  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  ->  ( (
y  e.  ( LLines `  K )  /\  y
(  <o  `  K ) X )  ->  -.  X  .<_  ( Q  .\/  R ) ) ) )
6867exp4a 590 . . . 4  |-  ( K  e.  HL  ->  (
( X  e.  P  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  ->  ( y  e.  ( LLines `  K )  ->  ( y (  <o  `  K ) X  ->  -.  X  .<_  ( Q 
.\/  R ) ) ) ) )
6968imp 419 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  P  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
) )  ->  (
y  e.  ( LLines `  K )  ->  (
y (  <o  `  K
) X  ->  -.  X  .<_  ( Q  .\/  R ) ) ) )
7069rexlimdv 2793 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  P  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
) )  ->  ( E. y  e.  ( LLines `
 K ) y (  <o  `  K ) X  ->  -.  X  .<_  ( Q  .\/  R ) ) )
719, 70mpd 15 1  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  P  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
) )  ->  -.  X  .<_  ( Q  .\/  R ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2571   E.wrex 2671   class class class wbr 4176   ` cfv 5417  (class class class)co 6044   Basecbs 13428   lecple 13495   Posetcpo 14356   ltcplt 14357   joincjn 14360    <o ccvr 29749   Atomscatm 29750   HLchlt 29837   LLinesclln 29977   LPlanesclpl 29978
This theorem is referenced by:  lplnnleat  30028  lplnnlelln  30029  2atnelpln  30030  lvolnle3at  30068
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2389  ax-rep 4284  ax-sep 4294  ax-nul 4302  ax-pow 4341  ax-pr 4367  ax-un 4664
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2262  df-mo 2263  df-clab 2395  df-cleq 2401  df-clel 2404  df-nfc 2533  df-ne 2573  df-nel 2574  df-ral 2675  df-rex 2676  df-reu 2677  df-rab 2679  df-v 2922  df-sbc 3126  df-csb 3216  df-dif 3287  df-un 3289  df-in 3291  df-ss 3298  df-nul 3593  df-if 3704  df-pw 3765  df-sn 3784  df-pr 3785  df-op 3787  df-uni 3980  df-iun 4059  df-br 4177  df-opab 4231  df-mpt 4232  df-id 4462  df-xp 4847  df-rel 4848  df-cnv 4849  df-co 4850  df-dm 4851  df-rn 4852  df-res 4853  df-ima 4854  df-iota 5381  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-ov 6047  df-oprab 6048  df-mpt2 6049  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-undef 6506  df-riota 6512  df-poset 14362  df-plt 14374  df-lub 14390  df-glb 14391  df-join 14392  df-meet 14393  df-p0 14427  df-lat 14434  df-clat 14496  df-oposet 29663  df-ol 29665  df-oml 29666  df-covers 29753  df-ats 29754  df-atl 29785  df-cvlat 29809  df-hlat 29838  df-llines 29984  df-lplanes 29985
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