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Theorem lplnnle2at 29730
Description: A lattice lattice line (or atom) cannot majorize a lattice plane. (Contributed by NM, 8-Jul-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
lplnnle2at.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
lplnnle2at.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
lplnnle2at.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
lplnnle2at.p  |-  P  =  ( LPlanes `  K )
Assertion
Ref Expression
lplnnle2at  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  P  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
) )  ->  -.  X  .<_  ( Q  .\/  R ) )

Proof of Theorem lplnnle2at
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr1 961 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  P  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
) )  ->  X  e.  P )
2 eqid 2283 . . . . . 6  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
3 eqid 2283 . . . . . 6  |-  (  <o  `  K )  =  ( 
<o  `  K )
4 eqid 2283 . . . . . 6  |-  ( LLines `  K )  =  (
LLines `  K )
5 lplnnle2at.p . . . . . 6  |-  P  =  ( LPlanes `  K )
62, 3, 4, 5islpln 29719 . . . . 5  |-  ( K  e.  HL  ->  ( X  e.  P  <->  ( X  e.  ( Base `  K
)  /\  E. y  e.  ( LLines `  K )
y (  <o  `  K
) X ) ) )
76adantr 451 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  P  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
) )  ->  ( X  e.  P  <->  ( X  e.  ( Base `  K
)  /\  E. y  e.  ( LLines `  K )
y (  <o  `  K
) X ) ) )
81, 7mpbid 201 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  P  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
) )  ->  ( X  e.  ( Base `  K )  /\  E. y  e.  ( LLines `  K ) y ( 
<o  `  K ) X ) )
98simprd 449 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  P  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
) )  ->  E. y  e.  ( LLines `  K )
y (  <o  `  K
) X )
10 oveq1 5865 . . . . . . . . 9  |-  ( Q  =  R  ->  ( Q  .\/  R )  =  ( R  .\/  R
) )
1110breq2d 4035 . . . . . . . 8  |-  ( Q  =  R  ->  ( X  .<_  ( Q  .\/  R )  <->  X  .<_  ( R 
.\/  R ) ) )
1211notbid 285 . . . . . . 7  |-  ( Q  =  R  ->  ( -.  X  .<_  ( Q 
.\/  R )  <->  -.  X  .<_  ( R  .\/  R
) ) )
13 simpl1 958 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  P  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( y  e.  ( LLines `  K )  /\  y (  <o  `  K
) X ) )  /\  Q  =/=  R
)  ->  K  e.  HL )
14 simpl3l 1010 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  P  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( y  e.  ( LLines `  K )  /\  y (  <o  `  K
) X ) )  /\  Q  =/=  R
)  ->  y  e.  ( LLines `  K )
)
15 simpl22 1034 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  P  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( y  e.  ( LLines `  K )  /\  y (  <o  `  K
) X ) )  /\  Q  =/=  R
)  ->  Q  e.  A )
16 simpl23 1035 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  P  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( y  e.  ( LLines `  K )  /\  y (  <o  `  K
) X ) )  /\  Q  =/=  R
)  ->  R  e.  A )
17 simpr 447 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  P  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( y  e.  ( LLines `  K )  /\  y (  <o  `  K
) X ) )  /\  Q  =/=  R
)  ->  Q  =/=  R )
18 lplnnle2at.j . . . . . . . . . . 11  |-  .\/  =  ( join `  K )
19 lplnnle2at.a . . . . . . . . . . 11  |-  A  =  ( Atoms `  K )
2018, 19, 4llni2 29701 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  /\  Q  =/=  R
)  ->  ( Q  .\/  R )  e.  (
LLines `  K ) )
2113, 15, 16, 17, 20syl31anc 1185 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  P  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( y  e.  ( LLines `  K )  /\  y (  <o  `  K
) X ) )  /\  Q  =/=  R
)  ->  ( Q  .\/  R )  e.  (
LLines `  K ) )
22 eqid 2283 . . . . . . . . . 10  |-  ( lt
`  K )  =  ( lt `  K
)
2322, 4llnnlt 29712 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  HL  /\  y  e.  ( LLines `  K )  /\  ( Q  .\/  R )  e.  ( LLines `  K )
)  ->  -.  y
( lt `  K
) ( Q  .\/  R ) )
2413, 14, 21, 23syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  P  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( y  e.  ( LLines `  K )  /\  y (  <o  `  K
) X ) )  /\  Q  =/=  R
)  ->  -.  y
( lt `  K
) ( Q  .\/  R ) )
252, 4llnbase 29698 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ( LLines `  K
)  ->  y  e.  ( Base `  K )
)
2614, 25syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  P  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( y  e.  ( LLines `  K )  /\  y (  <o  `  K
) X ) )  /\  Q  =/=  R
)  ->  y  e.  ( Base `  K )
)
27 simpl21 1033 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  P  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( y  e.  ( LLines `  K )  /\  y (  <o  `  K
) X ) )  /\  Q  =/=  R
)  ->  X  e.  P )
282, 5lplnbase 29723 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X  e.  P  ->  X  e.  ( Base `  K
) )
2927, 28syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  P  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( y  e.  ( LLines `  K )  /\  y (  <o  `  K
) X ) )  /\  Q  =/=  R
)  ->  X  e.  ( Base `  K )
)
30 simpl3r 1011 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  P  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( y  e.  ( LLines `  K )  /\  y (  <o  `  K
) X ) )  /\  Q  =/=  R
)  ->  y (  <o  `  K ) X )
312, 22, 3cvrlt 29460 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  y  e.  ( Base `  K )  /\  X  e.  ( Base `  K
) )  /\  y
(  <o  `  K ) X )  ->  y
( lt `  K
) X )
3213, 26, 29, 30, 31syl31anc 1185 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  P  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( y  e.  ( LLines `  K )  /\  y (  <o  `  K
) X ) )  /\  Q  =/=  R
)  ->  y ( lt `  K ) X )
33 hlpos 29555 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Poset )
3413, 33syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  P  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( y  e.  ( LLines `  K )  /\  y (  <o  `  K
) X ) )  /\  Q  =/=  R
)  ->  K  e.  Poset
)
352, 18, 19hlatjcl 29556 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  ->  ( Q  .\/  R
)  e.  ( Base `  K ) )
3613, 15, 16, 35syl3anc 1182 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  P  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( y  e.  ( LLines `  K )  /\  y (  <o  `  K
) X ) )  /\  Q  =/=  R
)  ->  ( Q  .\/  R )  e.  (
Base `  K )
)
37 lplnnle2at.l . . . . . . . . . . 11  |-  .<_  =  ( le `  K )
382, 37, 22pltletr 14105 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  (
y  e.  ( Base `  K )  /\  X  e.  ( Base `  K
)  /\  ( Q  .\/  R )  e.  (
Base `  K )
) )  ->  (
( y ( lt
`  K ) X  /\  X  .<_  ( Q 
.\/  R ) )  ->  y ( lt
`  K ) ( Q  .\/  R ) ) )
3934, 26, 29, 36, 38syl13anc 1184 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  P  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( y  e.  ( LLines `  K )  /\  y (  <o  `  K
) X ) )  /\  Q  =/=  R
)  ->  ( (
y ( lt `  K ) X  /\  X  .<_  ( Q  .\/  R ) )  ->  y
( lt `  K
) ( Q  .\/  R ) ) )
4032, 39mpand 656 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  P  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( y  e.  ( LLines `  K )  /\  y (  <o  `  K
) X ) )  /\  Q  =/=  R
)  ->  ( X  .<_  ( Q  .\/  R
)  ->  y ( lt `  K ) ( Q  .\/  R ) ) )
4124, 40mtod 168 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  P  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( y  e.  ( LLines `  K )  /\  y (  <o  `  K
) X ) )  /\  Q  =/=  R
)  ->  -.  X  .<_  ( Q  .\/  R
) )
42 simp1 955 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  P  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( y  e.  ( LLines `  K )  /\  y (  <o  `  K
) X ) )  ->  K  e.  HL )
43 simp3l 983 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  P  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( y  e.  ( LLines `  K )  /\  y (  <o  `  K
) X ) )  ->  y  e.  (
LLines `  K ) )
44 simp23 990 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  P  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( y  e.  ( LLines `  K )  /\  y (  <o  `  K
) X ) )  ->  R  e.  A
)
4537, 19, 4llnnleat 29702 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  HL  /\  y  e.  ( LLines `  K )  /\  R  e.  A )  ->  -.  y  .<_  R )
4642, 43, 44, 45syl3anc 1182 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  P  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( y  e.  ( LLines `  K )  /\  y (  <o  `  K
) X ) )  ->  -.  y  .<_  R )
4743, 25syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  P  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( y  e.  ( LLines `  K )  /\  y (  <o  `  K
) X ) )  ->  y  e.  (
Base `  K )
)
48 simp21 988 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  P  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( y  e.  ( LLines `  K )  /\  y (  <o  `  K
) X ) )  ->  X  e.  P
)
4948, 28syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  P  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( y  e.  ( LLines `  K )  /\  y (  <o  `  K
) X ) )  ->  X  e.  (
Base `  K )
)
50 simp3r 984 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  P  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( y  e.  ( LLines `  K )  /\  y (  <o  `  K
) X ) )  ->  y (  <o  `  K ) X )
5142, 47, 49, 50, 31syl31anc 1185 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  P  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( y  e.  ( LLines `  K )  /\  y (  <o  `  K
) X ) )  ->  y ( lt
`  K ) X )
52333ad2ant1 976 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  P  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( y  e.  ( LLines `  K )  /\  y (  <o  `  K
) X ) )  ->  K  e.  Poset )
532, 19atbase 29479 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( R  e.  A  ->  R  e.  ( Base `  K
) )
5444, 53syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  P  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( y  e.  ( LLines `  K )  /\  y (  <o  `  K
) X ) )  ->  R  e.  (
Base `  K )
)
552, 37, 22pltletr 14105 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  (
y  e.  ( Base `  K )  /\  X  e.  ( Base `  K
)  /\  R  e.  ( Base `  K )
) )  ->  (
( y ( lt
`  K ) X  /\  X  .<_  R )  ->  y ( lt
`  K ) R ) )
5652, 47, 49, 54, 55syl13anc 1184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  P  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( y  e.  ( LLines `  K )  /\  y (  <o  `  K
) X ) )  ->  ( ( y ( lt `  K
) X  /\  X  .<_  R )  ->  y
( lt `  K
) R ) )
5751, 56mpand 656 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  P  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( y  e.  ( LLines `  K )  /\  y (  <o  `  K
) X ) )  ->  ( X  .<_  R  ->  y ( lt
`  K ) R ) )
5837, 22pltle 14095 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  HL  /\  y  e.  ( LLines `  K )  /\  R  e.  A )  ->  (
y ( lt `  K ) R  -> 
y  .<_  R ) )
5942, 43, 44, 58syl3anc 1182 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  P  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( y  e.  ( LLines `  K )  /\  y (  <o  `  K
) X ) )  ->  ( y ( lt `  K ) R  ->  y  .<_  R ) )
6057, 59syld 40 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  P  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( y  e.  ( LLines `  K )  /\  y (  <o  `  K
) X ) )  ->  ( X  .<_  R  ->  y  .<_  R ) )
6146, 60mtod 168 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  P  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( y  e.  ( LLines `  K )  /\  y (  <o  `  K
) X ) )  ->  -.  X  .<_  R )
6218, 19hlatjidm 29558 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  HL  /\  R  e.  A )  ->  ( R  .\/  R
)  =  R )
6342, 44, 62syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  P  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( y  e.  ( LLines `  K )  /\  y (  <o  `  K
) X ) )  ->  ( R  .\/  R )  =  R )
6463breq2d 4035 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  P  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( y  e.  ( LLines `  K )  /\  y (  <o  `  K
) X ) )  ->  ( X  .<_  ( R  .\/  R )  <-> 
X  .<_  R ) )
6561, 64mtbird 292 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  P  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( y  e.  ( LLines `  K )  /\  y (  <o  `  K
) X ) )  ->  -.  X  .<_  ( R  .\/  R ) )
6612, 41, 65pm2.61ne 2521 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  P  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( y  e.  ( LLines `  K )  /\  y (  <o  `  K
) X ) )  ->  -.  X  .<_  ( Q  .\/  R ) )
67663exp 1150 . . . . 5  |-  ( K  e.  HL  ->  (
( X  e.  P  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  ->  ( (
y  e.  ( LLines `  K )  /\  y
(  <o  `  K ) X )  ->  -.  X  .<_  ( Q  .\/  R ) ) ) )
6867exp4a 589 . . . 4  |-  ( K  e.  HL  ->  (
( X  e.  P  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  ->  ( y  e.  ( LLines `  K )  ->  ( y (  <o  `  K ) X  ->  -.  X  .<_  ( Q 
.\/  R ) ) ) ) )
6968imp 418 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  P  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
) )  ->  (
y  e.  ( LLines `  K )  ->  (
y (  <o  `  K
) X  ->  -.  X  .<_  ( Q  .\/  R ) ) ) )
7069rexlimdv 2666 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  P  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
) )  ->  ( E. y  e.  ( LLines `
 K ) y (  <o  `  K ) X  ->  -.  X  .<_  ( Q  .\/  R ) ) )
719, 70mpd 14 1  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  P  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
) )  ->  -.  X  .<_  ( Q  .\/  R ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   E.wrex 2544   class class class wbr 4023   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Basecbs 13148   lecple 13215   Posetcpo 14074   ltcplt 14075   joincjn 14078    <o ccvr 29452   Atomscatm 29453   HLchlt 29540   LLinesclln 29680   LPlanesclpl 29681
This theorem is referenced by:  lplnnleat  29731  lplnnlelln  29732  2atnelpln  29733  lvolnle3at  29771
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-undef 6298  df-riota 6304  df-poset 14080  df-plt 14092  df-lub 14108  df-glb 14109  df-join 14110  df-meet 14111  df-p0 14145  df-lat 14152  df-clat 14214  df-oposet 29366  df-ol 29368  df-oml 29369  df-covers 29456  df-ats 29457  df-atl 29488  df-cvlat 29512  df-hlat 29541  df-llines 29687  df-lplanes 29688
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